Motion of Body (or Connected Bodies) on an inclined plane Questions in Gujarati

(C) લિફ્ટ સમાન વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. તેથી,બ્લોક પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' જ રહે છે.
ઘર્ષણરહિત ઢાળ પર નીચે સરકતા બ્લોક માટે,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = l$ છે:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 30^{\circ}) (2)^2 = \frac{1}{2} g (0.5) (4) = g$.
હવે,$45^{\circ}$ ના ઢાળ માટે,ધારો કે લાગતો સમય '$t$' છે:
$l = \frac{1}{2} (g \sin 45^{\circ}) t^2$.
'$l$' અચળ હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g = \frac{1}{2} g \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) t^2$.
$1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} t^2 \Rightarrow t^2 = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$t = \sqrt{2.828} \approx 1.68\,s$.

(B) તંત્ર સ્થિર (સંતુલન) અવસ્થામાં હોવાથી,દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ એ $m_{2}$ ના વજનબળ અને $m_{1}$ ના ઢળતા સમતલની દિશાના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
$T = m_{2}g$
$T = m_{1}g \sin \theta$
બંનેને સરખાવતા,$m_{2}g = m_{1}g \sin \theta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{3}{5}$.
$\sin \theta = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ થાય.
ઢળતા સમતલ દ્વારા $m_{1}$ દળના પદાર્થ પર લાગતું બળ એ લંબબળ $N$ છે,જે ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં વજનબળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે:
$N = m_{1}g \cos \theta$
કિંમતો મૂકતા: $N = 5 \times 10 \times \frac{4}{5} = 40\,N$.

(A) બ્લોકનું વજન,$W = Mg$,શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
આ વજનને આપણે બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$1$. ઢળતી સપાટીને લંબ ઘટક: $Mg \cos \theta$.
$2$. ઢળતી સપાટીને સમાંતર ઘટક: $Mg \sin \theta$.
બ્લોક ઢળતી સપાટી પર સ્થિર હોવાથી,સપાટીને લંબ દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સપાટી બ્લોક પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ લગાડે છે,જે વજનના લંબ ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$N = Mg \cos \theta$.
સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ છે (ઘર્ષણરહિત સપાટી ધારતા અથવા વિકલ્પો મુજબ માત્ર લંબ ઘટક ધ્યાનમાં લેતા).
આમ,સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $Mg \cos \theta$ છે.

(D) સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ છે.
જ્યારે $m$ દળનો બ્લોક $\theta$ ખૂણે નમેલા ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
આપણે ગુરુત્વાકર્ષણ બળને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$1$. ઢળતા સમતલને લંબ ઘટક: $mg \cos \theta$.
$2$. ઢળતા સમતલને સમાંતર ઘટક: $mg \sin \theta$.
બ્લોક સમતલને લંબ દિશામાં ગતિ કરતો નથી,તેથી સમતલ દ્વારા લાગતું લંબ બળ $N$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળના લંબ ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$N = mg \cos \theta$.
આમ,સમતલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $mg \cos \theta$ છે.

(A) બળ $F$ ગરગડી (pulley) પર લગાડવામાં આવે છે. $M$ દળના બ્લોક સાથે જોડાયેલી દોરીમાં તણાવ $F$ છે. દોરી ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને તેનો એક છેડો ઢળતી સપાટી પર જડિત છે. બળ $F$ એ ઢળતી સપાટી સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે. ઢળતી સપાટીની દિશામાં $F$ નો ઘટક $F \cos \theta$ છે. બ્લોકને ઉપર ખેંચતું કુલ બળ $T_{total} = F + F \cos \theta$ છે.
બ્લોક ઉપરની તરફ ગતિ કરે તે માટે,આ બળ ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$F + F \cos \theta = M g \sin \theta$
$F(1 + \cos \theta) = M g \sin \theta$
$F = \frac{M g \sin \theta}{1 + \cos \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = \frac{M g (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}$
$F = M g \tan \frac{\theta}{2}$

(B) ધારો કે $m_1 = 4 \, kg$ દળ $60^{\circ}$ ના ઢાળ પર છે અને $m_2 = 1 \, kg$ દળ $30^{\circ}$ ના ઢાળ પર છે.
$4 \, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_1 g \sin 60^{\circ} - T = m_1 a \implies 4 \times 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - T = 4a \implies 20\sqrt{3} - T = 4a \dots (1)$
$1 \, kg$ ના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_2 g \sin 30^{\circ} = m_2 a \implies T - 1 \times 10 \times \frac{1}{2} = 1a \implies T - 5 = a \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$a = T - 5$. આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$20\sqrt{3} - T = 4(T - 5)$
$20\sqrt{3} - T = 4T - 20$
$5T = 20\sqrt{3} + 20$
$T = 4(\sqrt{3} + 1) \, N$.

(A) ધારો કે પદાર્થ $H$ ઊંચાઈથી પડે છે. તે જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ ઢળતા સમતલ સાથે અથડાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેણે $(H-h)$ અંતર કાપ્યું છે.
$(H-h)$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ છે.
આ બિંદુએ,અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને વેગ સમક્ષિતિજ બની જાય છે. ત્યારબાદ પદાર્થ $0$ ના પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ સાથે $h$ ઊંચાઈથી નીચે પડે છે. બાકીનું $h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
$T$ મહત્તમ હોય તે માટે $h$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $T$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$\frac{dT}{dh} = \sqrt{\frac{2}{g}} \left( \frac{1}{2\sqrt{H-h}} \cdot (-1) + \frac{1}{2\sqrt{h}} \right) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{H-h}}$,જે $h = H - h$ અથવા $2h = H$ આપે છે.
તેથી,$\frac{H}{h} = 2$.

(A) ધારો કે ફૂટબોલની ત્રિજ્યા $R$ છે અને કાણાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કાણાનો વ્યાસ $2r$ છે. જ્યારે પાટિયાને $\theta$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે ફૂટબોલ કાણાની ધાર પર ટકે છે.
ગતિની શરૂઆતની સ્થિતિમાં (ગબડવાની તૈયારીમાં),કાણાની બીજી બાજુથી લાગતું લંબબળ શૂન્ય થઈ જાય છે.
ધારો કે ફૂટબોલનું કેન્દ્ર $O$ છે. ફૂટબોલ કાણાની ધાર પર બિંદુ $P$ આગળ સંપર્કમાં છે. કેન્દ્ર $O$ થી સંપર્ક બિંદુ $P$ સુધીનું અંતર $R$ છે.
કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા પાટિયાને લંબ રેખા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
ફૂટબોલનું કેન્દ્ર,કાણાનું કેન્દ્ર અને સંપર્ક બિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,કાણાના કેન્દ્રથી સંપર્ક બિંદુ સુધીનું અંતર $r$ છે.
આમ,$\sin \theta = \frac{r}{R}$.
તેથી,ફૂટબોલ ગબડે નહીં તે માટે $\theta$ નો મહત્તમ ખૂણો $\sin \theta = \frac{r}{R}$ દ્વારા મળે છે.

(B) લીસા ઢળતા સમતલ પર બ્લોકને સ્થિર રાખવા માટે,બ્લોક પર લાગતા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
ઢળતા સમતલની દિશામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો નીચેની તરફ લાગતો ઘટક $mg \sin 37^{\circ}$ છે.
આડું બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,અને ઢળતા સમતલની દિશામાં ઉપરની તરફ લાગતો તેનો ઘટક $F \cos 37^{\circ}$ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,આ બંને બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$F \cos 37^{\circ} = mg \sin 37^{\circ}$
$\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$ અને $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$F \left( \frac{4}{5} \right) = mg \left( \frac{3}{5} \right)$
$F = \frac{3 mg}{4}$

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 2m + 4m + 6m = 12m$ છે.
જમણી બાજુના બ્લોક્સ માટે ઢાળની દિશામાં લાગતું પ્રેરક બળ $F_1 = (4m + 6m)g \sin 53^{\circ} = 10mg \sin 53^{\circ}$ છે.
ડાબી બાજુના બ્લોક માટે ઢાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું બળ $F_2 = 2mg \sin 37^{\circ}$ છે.
તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = Ma$,જ્યાં $F_{net} = F_1 - F_2$:
$10mg \sin 53^{\circ} - 2mg \sin 37^{\circ} = 12ma$
આપેલ કિંમતો $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ અને $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$ મૂકતા:
$10mg \left(\frac{4}{5}\right) - 2mg \left(\frac{3}{5}\right) = 12ma$
$8mg - 1.2mg = 12ma$
$6.8mg = 12ma$
$a = \frac{6.8}{12} g = \frac{68}{120} g = \frac{17}{30} g$.

(A) આપેલ તંત્ર માટે,ગતિનું સમીકરણ કુલ બળને કુલ દળ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$a = \frac{M_2 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$
જ્યારે $M_1$ નું દળ બમણું $(M_1' = 2M_1)$ અને $M_2$ નું દળ અડધું $(M_2' = M_2/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પ્રવેગ $a'$ નીચે મુજબ મળે:
$a' = \frac{M_2' g \sin \theta}{M_1' + M_2'} = \frac{(M_2/2) g \sin \theta}{2M_1 + M_2/2}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$a' = \frac{M_2 g \sin \theta}{4M_1 + M_2}$
હવે,$a'$ ને $a$ ના પદમાં દર્શાવતા:
$a' = \left( \frac{M_2 g \sin \theta}{M_1 + M_2} \right) \times \left( \frac{M_1 + M_2}{4M_1 + M_2} \right) = a \left( \frac{M_1 + M_2}{4M_1 + M_2} \right)$

(B) ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે, તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જ્યારે પદાર્થને સમતલ પર ઉપર ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકને સંતુલિત કરે છે.
ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ લાગતું વજન $W = mg$ નો ઘટક $mg \sin \theta$ છે.
આપેલ છે:
લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 500 \,N$
ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$
પદાર્થ અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી, બળો સંતુલનમાં છે:
$F = mg \sin 30^{\circ}$
$500 \,N = mg \cdot \frac{1}{2}$
$mg = 500 \,N \times 2$
$mg = 1000 \,N$
તેથી, પદાર્થનું વજન $1000 \,N$ છે.

(B) ધારો કે $m_2 = 300 \ g$ અને $m_1 = 200 \ g$. ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$m_2$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $m_2 g \sin \theta - T = m_2 a$ $(i)$
$m_1$ દળના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - m_1 g \sin \theta = m_1 a$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(m_2 - m_1) g \sin \theta = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - m_1) g \sin \theta}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મુકતા: $a = \frac{(300 - 200) g \sin 30^{\circ}}{300 + 200}$
$a = \frac{100 \times g \times 0.5}{500} = \frac{50}{500} g = \frac{1}{10} g$
$a = 0.1 g = 10 \% \text{ of } g$.

(C) $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L = \frac{h}{\sin \theta}$ છે.
લીસા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા બ્લોકનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = L$:
$L = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2 \implies \frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2} g \sin \theta \ t^2$.
આમ,$t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h = 20 \ m$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = 2 \ s$.
સમતલ $A$ $(\theta_1 = 30^{\circ})$ માટે: $t_1 = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{0.5} \times 2 = 4 \ s$.
સમતલ $B$ $(\theta_2 = 60^{\circ})$ માટે: $t_2 = \frac{1}{\sin 60^{\circ}} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$.
તેથી,$t_1 - t_2 = 4 - \frac{4}{\sqrt{3}} = 4 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) \ s$.

(B) બ્લોક્સની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે.
ઊભી રીતે લટકતા બ્લોક $A$ માટે:
$m_A g = k x$
$\Rightarrow k = \frac{m_A g}{x}$
ઢાળવાળા સમતલ પરના બ્લોક $B$ માટે:
$m_B g \sin 30^{\circ} = k x^{\prime}$
$\Rightarrow x^{\prime} = \frac{m_B g \sin 30^{\circ}}{k} = \frac{m_B g \sin 30^{\circ}}{(m_A g / x)} = \frac{m_B}{m_A} x \sin 30^{\circ}$
બંને બ્લોક્સ સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી,દળ એ કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(m = \rho V)$:
$\Rightarrow x^{\prime} = \frac{V_B}{V_A} x \sin 30^{\circ} = \frac{0.75}{0.25} \times 0.2 \times \sin 30^{\circ}$
$\Rightarrow x^{\prime} = 3 \times 0.2 \times 0.5 = 0.3 \ m$
ટોચથી બ્લોકનું કુલ અંતર એ અખિંચાયેલી લંબાઈ $l$ અને વિસ્તરણ $x^{\prime}$ નો સરવાળો છે:
$d = l + x^{\prime} = 1.0 \ m + 0.3 \ m = 1.3 \ m$.

(A) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે. ઢાળ પર લાગતા બળો $mg \sin 60^{\circ}$ અને $mg \sin 30^{\circ}$ છે.
$mg \sin 60^{\circ} > mg \sin 30^{\circ}$ હોવાથી,તંત્ર એવી રીતે પ્રવેગિત થાય છે કે $60^{\circ}$ ના ઢાળ પરનો બ્લોક નીચે તરફ ગતિ કરે.
$60^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે: $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ --- $(i)$
$30^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે: $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ --- (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$
$a = \frac{g}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4}$.
બ્લોક્સ માટે પ્રવેગ સદિશો $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ અને $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
$\vec{a}_{cm} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$\cos 60^{\circ} = 1/2, \cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2, \sin 30^{\circ} = 1/2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}_{cm}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $|\vec{a}_{cm}| = \frac{(\sqrt{3}-1)g}{4\sqrt{2}}$.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = (8 + 5 + 3) \,kg = 16 \,kg$ છે।
બ્લોક્સ એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,આખા તંત્રને $M = 16 \,kg$ દળના એક પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય જે $a$ પ્રવેગ સાથે ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરે છે।
લગાડવામાં આવેલ બાહ્ય બળ $F = 104 \,N$ છે।
ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગતો કુલ વજનનો ઘટક $Mg \sin 30^{\circ}$ છે।
તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$F - Mg \sin 30^{\circ} = Ma$
$104 - 16 \times 10 \times \sin 30^{\circ} = 16a$
$104 - 160 \times 0.5 = 16a$
$104 - 80 = 16a$
$24 = 16a$
$a = \frac{24}{16} = 1.5 \,m / s^2$.
આમ,બ્લોક્સનો પ્રવેગ $1.5 \,m / s^2$ છે।