Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(A) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक $(8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1})$ है,$T$ केल्विन में तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान ($kg \ mol^{-1}$ में) है।
दिया गया है: $v_{rms} = 2000 \ m \ s^{-1}$,$T = 322 \ K$.
$M$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.314 \times 322}{(2000)^2} = \frac{8031.324}{4,000,000} \approx 0.0020078 \ kg \ mol^{-1} = 2.0078 \ g \ mol^{-1}$.
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान लगभग $2 \ g \ mol^{-1}$ होता है।
अतः,वह गैस हाइड्रोजन है।

(D) किसी दिए गए तापमान $T$ पर $m$ द्रव्यमान वाले गैस अणु का rms वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $v_{rms}$ अणु के द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।

(A) गैस के अणु की rms चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 90^{\circ} C = 90 + 273 = 363 \ K$ है।
rms चाल का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{363}{300}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ है।
rms चाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100 = (\frac{v_2}{v_1} - 1) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$(1.1 - 1) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10 \%$ प्राप्त होता है।

(A) गैस की $rms$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि हीलियम $(He)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की $rms$ चाल समान है,इसलिए $V_{rms, He} = V_{rms, O_2}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और उभयनिष्ठ पदों $(3R)$ को हटाने पर: $\frac{T_{He}}{M_{He}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$।
तापमान के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{M_{He}}{M_{O_2}}$।
हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M_{He})$ $4 \ g/mol$ है और ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{O_2})$ $32 \ g/mol$ है।
अतः,$\frac{T_{He}}{T_{O_2}} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$।

(B) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ है, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ परम तापमान है और $M_0$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $R$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं, इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_0}}$ होगा।
अतः, हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की rms चाल का अनुपात:
$\frac{(V_{rms})_{H_2}}{(V_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
दिया गया है कि $(V_{rms})_{O_2} = 500 \,m/s$, इसलिए:
$(V_{rms})_{H_2} = 4 \times 500 \,m/s = 2000 \,m/s$.

(C) गैस की rms चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_1}}$ द्वारा दी जाती है।
गैस की औसत चाल $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi m_2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $v_1 = 1.5 v_2$,हम व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sqrt{\frac{3RT}{m_1}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{8RT}{\pi m_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3RT}{m_1} = (1.5)^2 \times \frac{8RT}{\pi m_2}$.
$\frac{3}{m_1} = 2.25 \times \frac{8}{\pi m_2}$.
अनुपात $\frac{m_1}{m_2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{3 \pi}{2.25 \times 8} = \frac{3 \times 3.14159}{18} = \frac{9.42477}{18} \approx 0.52$.

(B) गैस का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
मान लीजिए $T_0 = 0^{\circ} C = 273 \,K$ पर r.m.s. वेग $v_0$ है।
मान लीजिए $T$ तापमान पर r.m.s. वेग $v_T$ है।
प्रश्न के अनुसार, $v_T = 3v_0$ है।
समानुपातिकता $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_T}{v_0} = \sqrt{\frac{T}{T_0}}$
$3 = \sqrt{\frac{T}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = \frac{T}{273}$
$T = 9 \times 273 = 2457 \,K$।
इस तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए:
$T(^{\circ} C) = 2457 - 273 = 2184^{\circ} C$।

(D) एक आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ है।
वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{v_2 - v_1}{v_1} \right) \times 100 = \left( \frac{v_2}{v_1} - 1 \right) \times 100$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= (1.1547 - 1) \times 100 = 0.1547 \times 100 = 15.47\% \approx 15.5\%$।

(A) दिया गया है कि पाँच अणुओं की चालें $v_1=1, v_2=2, v_3=3, v_4=4, v_5=5 \ km/s$ हैं।
रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}{5}} = \sqrt{\frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{55}{5}} = \sqrt{11} \ km/s$.
औसत चाल इस प्रकार है:
$v_{av} = \frac{v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5}{5} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \ km/s$.
rms वेग और औसत वेग का अनुपात:
$\frac{v_{rms}}{v_{av}} = \frac{\sqrt{11}}{3} = \sqrt{11}: 3$.

(C) गैस का रूट मीन स्क्वायर (rms) वेग सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$ और $v_1 = 500 \,m \cdot s^{-1}$ दिया गया है।
$T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \,K$ दिया गया है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$\frac{v_2}{500} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_2 = 500 \times 2 = 1000 \,m \cdot s^{-1}$।

(B) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि गैस के अणु की rms चाल केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करती है।
पात्र $A$ में,$O_2$ की rms चाल $v_1 = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$ है।
पात्र $C$ में,तापमान अभी भी $T$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2}$ ही रहता है। मिश्रण में अन्य गैसों (जैसे $N_2$) की उपस्थिति $O_2$ अणुओं की व्यक्तिगत rms चाल को प्रभावित नहीं करती है,क्योंकि मिश्रण में विभिन्न गैसों के अणु एक दिए गए तापमान पर अपनी गतिज ऊर्जा वितरण के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं।
इसलिए,पात्र $C$ में $O_2$ अणुओं की rms चाल पात्र $A$ के समान ही रहती है,जो कि $v_1$ है।

(D) गैस के अणु की rms चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 k T}{m}}$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $m$ अणु का द्रव्यमान है।
चंद्रमा की सतह से पलायन वेग का सूत्र $v_{\text{escape}} = \sqrt{2 g R}$ है,जहाँ $g$ चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ चंद्रमा की त्रिज्या है।
दोनों चालों को बराबर करने पर:
$\sqrt{\frac{3 k T}{m}} = \sqrt{2 g R}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{3 k T}{m} = 2 g R$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2 m g R}{3 k}$

(C) rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,ऑक्सीजन अणुओं $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_1 = 32 \,g/mol$ है और तापमान $T_1$ है। दिया गया है $v_1 = 600 \,ms^{-1}$।
अतः,$600 = \sqrt{\frac{3RT_1}{32}} \quad ... (i)$
विघटन के बाद,ऑक्सीजन अणु $(O_2)$ परमाणु ऑक्सीजन $(O)$ में बदल जाता है। नया मोलर द्रव्यमान $M_2 = 16 \,g/mol$ है और नया तापमान $T_2 = 2T_1$ है。
नई rms चाल $v_2$ इस प्रकार है: $v_2 = \sqrt{\frac{3RT_2}{M_2}} = \sqrt{\frac{3R(2T_1)}{16}} \quad ... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_2}{600} = \frac{\sqrt{\frac{6RT_1}{16}}}{\sqrt{\frac{3RT_1}{32}}} = \sqrt{\frac{6RT_1}{16} \times \frac{32}{3RT_1}} = \sqrt{2 \times 2} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_2 = 600 \times 2 = 1200 \,ms^{-1}$।

(C) गैस के अणु की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
प्रारंभ में,ऑक्सीजन अणुओं $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_1 = 32 \text{ g/mol}$ है और तापमान $T$ है। अतः,$v = \sqrt{\frac{3RT}{32}}$.
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T_2 = 2T)$ और ऑक्सीजन अणु परमाणु ऑक्सीजन $(O)$ में विघटित हो जाते हैं,तो मोलर द्रव्यमान $M_2 = 16 \text{ g/mol}$ हो जाता है।
नई rms चाल $v'$ का मान $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{16}}$ है।
इसे सरल करने पर,$v' = \sqrt{\frac{6RT}{16}} = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{3RT}{16}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{3RT}{32}}$,हमारे पास $\sqrt{\frac{3RT}{16}} = \sqrt{2} \times v$ है।
इसलिए,$v' = \sqrt{2} \times (\sqrt{2} v) = 2v$.

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$, जहाँ $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है $T_1 = 77^{\circ} C = 77 + 273 = 350 \,K$ और $v_1 = 50 \,ms^{-1}$।
दिया गया है $T_2 = 150.5^{\circ} C = 150.5 + 273 = 423.5 \,K$।
अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v_2 = v_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 50 \times \sqrt{\frac{423.5}{350}}$।
$v_2 = 50 \times \sqrt{1.21} = 50 \times 1.1 = 55 \,ms^{-1}$।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
चूँकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,अंतिम rms चाल $(v_2)$ और प्रारंभिक rms चाल $(v_1)$ का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होता है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$.
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{400}} = \sqrt{2}$.
अतः,rms चाल प्रारंभिक चाल की $\sqrt{2}$ गुना हो जाती है।

(D) गैस के अणुओं की rms चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$।
अंतिम तापमान $T_f = 159^{\circ} C = 159 + 273 = 432 \ K$।
rms चाल में प्रतिशत वृद्धि: $\frac{V_{rms,f} - V_{rms,i}}{V_{rms,i}} \times 100$।
$V_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करने पर: $\left( \frac{\sqrt{T_f} - \sqrt{T_i}}{\sqrt{T_i}} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{\sqrt{432} - \sqrt{300}}{\sqrt{300}} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{20.784 - 17.320}{17.320} \right) \times 100$।
$= \left( \frac{3.464}{17.320} \right) \times 100 \approx 20 \%$।

(A) $RMS$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
दिया गया है कि $v_{rms, O} = 0.75 \times v_{rms, N} = \frac{3}{4} v_{rms, N}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_{rms, O}}{v_{rms, N}} = \sqrt{\frac{T_O}{T_N} \times \frac{M_N}{M_O}}$.
यहाँ $T_N = 287 + 273 = 560 \ K$,$M_N = 28 \ g/mol$,और $M_O = 32 \ g/mol$ है।
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{T_O}{560} \times \frac{28}{32}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{9}{16} = \frac{T_O}{560} \times \frac{7}{8}$.
$T_O = \frac{9}{16} \times \frac{8}{7} \times 560 = 360 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_O = 360 - 273 = 87^{\circ} C$.

(D) गैस अणु का माध्य वर्ग वेग $v^2 = \frac{3kT}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $v_A^2 = \frac{3kT}{m}$ है।
चूंकि $v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$ और समरूपता के कारण $v_x^2 = v_y^2 = v_z^2$ होता है,इसलिए $v_x^2 = \frac{v^2}{3}$ है।
अतः,$V_1^2 = v_{Ax}^2 = \frac{v_A^2}{3} = \frac{3kT}{3m} = \frac{kT}{m}$।
इसलिए,$V_1 = \sqrt{\frac{kT}{m}}$। $(1)$
गैस $B$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $V_2^2 = \frac{3kT}{2m}$ है।
इसलिए,$V_2 = \sqrt{\frac{3kT}{2m}}$। $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\sqrt{kT/m}}{\sqrt{3kT/2m}} = \sqrt{\frac{kT}{m} \cdot \frac{2m}{3kT}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$।

(D) गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$,चालों का अनुपात $\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 159 + 273 = 432 \ K$.
$\frac{V_{rms_2}}{V_{rms_1}} = \sqrt{\frac{432}{300}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
प्रतिशत वृद्धि $= \left( \frac{V_{rms_2} - V_{rms_1}}{V_{rms_1}} \right) \times 100 = (1.2 - 1) \times 100 = 20 \%$.

(A) $\text{गैस अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (rms) गति का सूत्र } v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \text{ है, जहाँ } R \text{ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, } T \text{ परम तापमान है, और } M \text{ गैस का मोलर द्रव्यमान है।}
\text{दिए गए तापमान } T \text{ के लिए, rms गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: } v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}.
\text{इसलिए, हीलियम } (He) \text{ और नाइट्रोजन } (N_2) \text{ की rms गति का अनुपात } \frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{M_{N_2}}{M_{He}}} \text{ है।}
\text{नाइट्रोजन } (N_2) \text{ का मोलर द्रव्यमान } M_{N_2} = 28 \ g \ mol^{-1} \text{ है और हीलियम } (He) \text{ का मोलर द्रव्यमान } M_{He} = 4 \ g \ mol^{-1} \text{ है।}
\text{दिया गया है कि } v_{N_2} = 100 \ m \ s^{-1}, \text{ मान रखने पर: } \frac{v_{He}}{100} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}.
\text{अतः, } v_{He} = 100 \sqrt{7} \ m \ s^{-1}$।

(B) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \times 10^{-3} \ kg/mol$ और तापमान $T_{H_2} = 20 \ K$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
हमें दिया गया है कि r.m.s. वेग समान हैं: $v_{rms(H_2)} = v_{rms(O_2)}$.
इसलिए,$\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{20}{2} = \frac{T_{O_2}}{32}$.
$10 = \frac{T_{O_2}}{32} \implies T_{O_2} = 320 \ K$.

(C) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दिया गया है,$(V_{rms})_{Ne} = (V_{rms})_{He}$.
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{Ne}}{M_{Ne}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सामान्य पदों को हटाने पर: $\frac{T_{Ne}}{M_{Ne}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$.
यहाँ $T_{He} = -33^{\circ} C = (-33 + 273) \ K = 240 \ K$,$M_{Ne} = 20.2 \ u$,और $M_{He} = 4.0 \ u$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{Ne}}{20.2} = \frac{240}{4.0}$.
$\frac{T_{Ne}}{20.2} = 60$.
$T_{Ne} = 60 \times 20.2 = 1212 \ K$.

(C) गैस के अणुओं की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,$T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है और $m$ अणु का द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = (27 + 273) K = 300 K$ दिया गया है।
माना प्रारंभिक rms चाल $v_1$ है। हम तापमान $T_2$ पर अंतिम rms चाल $v_2 = 2v_1$ चाहते हैं।
समानुपातिकता $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$2 = \sqrt{\frac{T_2}{300}}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = \frac{T_2}{300}$,जिससे $T_2 = 1200 K$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = (1200 - 273)^{\circ} C = 927^{\circ} C$।

(C) गैस के अणुओं की $rms$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
गैस $A$ के लिए: $m_A = 4 \ u$,$T_A = 27^{\circ} C = 300 \ K$.
गैस $B$ के लिए: $m_B = 2 \times 20 \ u = 40 \ u$,$T_B = ?$.
शर्त के अनुसार,$(v_{rms})_A = (v_{rms})_B$ होने पर:
$\frac{T_A}{m_A} = \frac{T_B}{m_B}$
$\frac{27}{4} = \frac{T_B}{40}$
$T_B = \frac{27 \times 40}{4} = 270^{\circ} C$.

(B) आदर्श गैस के कणों की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
यह दर्शाता है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,जहाँ $T$ केल्विन पैमाने पर निरपेक्ष तापमान है।
अतः,rms चाल का अनुपात:
$\frac{v_{1,rms}}{v_{2,rms}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
दिया गया है कि अंतिम rms चाल,प्रारंभिक rms चाल की $2$ गुनी है,अर्थात $v_{2,rms} = 2v_{1,rms}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
इन मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{v_{1,rms}}{2v_{1,rms}} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4} = \frac{300}{T_2}$
$T_2 = 1200 \ K$
अंतिम तापमान को सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^{\circ} C) = 1200 - 273 = 927^{\circ} C$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) एक आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर (rms) वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि rms वेग परम तापमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है:
$v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$
मान लीजिए $T_1 = T$ तापमान पर $v_1 = v$ है।
जब तापमान बढ़ाकर $T_2 = 4T$ कर दिया जाता है,तो नया rms वेग $v_2$ मान लीजिए।
आनुपातिकता $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{4T}{T}}$
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{4} = 2$
$v_2 = 2v$
अतः,नया rms वेग $2v$ होगा।

(C) दिया है:
भारी यूरेनियम समस्थानिक का द्रव्यमान $(M_1)$ $= 238$ इकाई
हल्के यूरेनियम समस्थानिक का द्रव्यमान $(M_2)$ $= 235$ इकाई
हम जानते हैं कि $rms$ वेग $(v_{\text{rms}})$ का सूत्र है:
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
अतः,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
$rms$ वेग के अंतर का भारी समस्थानिक के $rms$ वेग से प्रतिशत अनुपात:
$\text{अनुपात} = \left( \frac{v_{\text{rms, lighter}} - v_{\text{rms, heavier}}}{v_{\text{rms, heavier}}} \right) \times 100$
$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\text{अनुपात} = \left( \frac{\frac{1}{\sqrt{235}} - \frac{1}{\sqrt{238}}}{\frac{1}{\sqrt{238}}} \right) \times 100 = \left( \frac{\sqrt{238}}{\sqrt{235}} - 1 \right) \times 100$
$\text{अनुपात} = \left( \sqrt{\frac{238}{235}} - 1 \right) \times 100 \approx (\sqrt{1.01276} - 1) \times 100$
$\text{अनुपात} \approx (1.00636 - 1) \times 100 = 0.00636 \times 100 = 0.636 \% \approx 0.64 \%$

(B) किसी दिए गए तापमान $T$ पर गैस अणुओं के $RMS$ वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $NTP$ पर $T$ स्थिर है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,$M_1 = 32 \,g/mol$ और $v_1 = 0.5 \,km/s$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए,$M_2 = 2 \,g/mol$ है और मान लीजिए वेग $v_2$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{0.5}{v_2} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
अतः,$v_2 = 0.5 \times 4 = 2 \,km/s$ होगा।

(B) गैस के अणुओं का औसत वेग $(v_{avg})$ निरपेक्ष तापमान $(T)$ से $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \ K$ है और अंतिम औसत वेग $(v_{avg})_2 = 4(v_{avg})_1$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{(v_{avg})_1}{(v_{avg})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{4} = \sqrt{\frac{300}{T_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{16} = \frac{300}{T_2}$.
अतः,$T_2 = 300 \times 16 = 4800 \ K$.
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$.
सरलता के लिए $273$ का उपयोग करने पर: $T_2 = 4800 - 273 = 4527^{\circ} C$.

(C, D) चाल के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
$\overline{V} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
$V_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $V_{p} < \overline{V} < V_{\text{rms}}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा के लिए:
$K.E. = \frac{1}{2} m V_{\text{rms}}^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{3RT}{M} \right)$.
चूंकि $V_{p}^{2} = \frac{2RT}{M}$,इसलिए $\frac{RT}{M} = \frac{V_{p}^{2}}{2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$K.E. = \frac{1}{2} m \cdot 3 \cdot \left( \frac{V_{p}^{2}}{2} \right) = \frac{3}{4} m V_{p}^{2}$.
अतः,विकल्प $D$ भी सही है।

(B) $P(v)$ बनाम $v$ वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल कणों की कुल संख्या $N$ का प्रतिनिधित्व करता है।
ग्राफ से,क्षेत्रफल $0$ से $v_0$ तक एक त्रिभुज है और $v_0$ से $2 v_0$ तक एक आयत है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times v_0 \times a + (2 v_0 - v_0) \times a = \frac{1}{2} v_0 a + v_0 a = \frac{3}{2} v_0 a$.
चूंकि कुल क्षेत्रफल $N$ के बराबर है,हमारे पास $\frac{3}{2} v_0 a = N$ है,जिसका अर्थ है $v_0 a = \frac{2}{3} N$.
हमें $1.2 v_0$ और $1.8 v_0$ के बीच गति वाले कणों की संख्या ज्ञात करनी है। यह इन सीमाओं के बीच वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के अनुरूप है।
चूंकि $v > v_0$ के लिए $P(v) = a$ है,इसलिए यह क्षेत्रफल $(1.8 v_0 - 1.2 v_0) = 0.6 v_0$ चौड़ाई और $a$ ऊंचाई वाला एक आयत है।
कणों की संख्या $= 0.6 v_0 \times a = 0.6 (v_0 a) = 0.6 \times (\frac{2}{3} N) = 0.4 N$.

(B) औसत गति $\overline{V}$ की गणना वेगों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है: $\overline{V} = \frac{1 + 3 + 5 + 5 + 6 + 5}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.16 \,m/s$.
रूट मीन स्क्वायर गति $V_{rms}$ की गणना वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में की जाती है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 5^2 + 6^2 + 5^2}{6}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 25 + 36 + 25}{6}} = \sqrt{\frac{121}{6}} = \frac{11}{\sqrt{6}} \approx 4.49 \,m/s$.
दोनों मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $4.49 > 4.16$,इसलिए $V_{rms} > \overline{V}$.

(C) आदर्श गैस का प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 273 + 27 = 300 \ K$ है।
जब तापमान को $6^{\circ} C$ बढ़ाया जाता है,तो अंतिम तापमान $T_{2} = 300 + 6 = 306 \ K$ हो जाता है।
rms वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
अतः,वेग का अनुपात $\frac{v_{rms_{2}}}{v_{rms_{1}}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}} = \sqrt{\frac{306}{300}} = \sqrt{1.02}$ होगा।
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^{n} \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{1.02} = (1 + 0.02)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.02) = 1.01$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$v_{rms_{2}} \approx 1.01 \ v_{rms_{1}}$,जो $1 \%$ की वृद्धि दर्शाता है।

(C) गैस के rms वेग का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $R$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,$M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ है। दिया गया है कि $v_{\text{rms}, H_2} = c$ है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए,$M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_{\text{rms}, H_2}}{v_{\text{rms}, O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_{\text{rms}, O_2} = \frac{v_{\text{rms}, H_2}}{4} = \frac{c}{4}$ होगा।

(C) गैस की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इससे हम देख सकते हैं कि $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $T_1 = T$ और $M_1 = M$ ($O_2$ अणुओं के लिए) है। अतः $v_1 = v \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
अंतिम स्थिति में,तापमान दोगुना हो जाता है,इसलिए $T_2 = 2T$। ऑक्सीजन के अणु परमाणुओं में विघटित हो जाते हैं,इसलिए मोलर द्रव्यमान आधा हो जाता है,$M_2 = M/2$।
नई rms चाल $v_2$,$\sqrt{\frac{T_2}{M_2}} = \sqrt{\frac{2T}{M/2}} = \sqrt{\frac{4T}{M}} = 2 \sqrt{\frac{T}{M}}$ के समानुपाती है।
दोनों की तुलना करने पर,$v_2 = 2 \times v_1 = 2v$ प्राप्त होता है।

(D) गैस के अणुओं की r.m.s. चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100^{\circ} C = 373 \text{ K}$ है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{3R(373)}{M}}$.
हमें वह तापमान $T_2$ ज्ञात करना है जिस पर नई चाल $v' = \sqrt{3}v$ हो जाए।
चूंकि $v_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \sqrt{\frac{T_2}{373}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{T_2}{373}$.
$T_2 = 3 \times 373 = 1119 \text{ K}$.
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = 1119 - 273 = 846^{\circ} C$.

(B) एक आदर्श गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना $T_1 = 120 \,K$ पर चाल $v_1 = v$ है और $T_2 = 480 \,K$ पर चाल $v_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{480}{120}}$।
$\frac{v_2}{v} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$v_2 = 2v$।

(A) गैस के अणुओं की सबसे संभावित गति $v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_p \propto \sqrt{T}$।
समतापीय वक्र स्थिर तापमान की रेखाओं को दर्शाते हैं। $P-V$ आरेख में,मूल बिंदु से दूर स्थित समतापीय वक्र उच्च तापमान के अनुरूप होते हैं।
चित्र से,समतापीय वक्र $EF$ मूल बिंदु से सबसे दूर है,उसके बाद $CD$ है,और $AB$ सबसे निकट है।
बिंदु $3$ और $4$ समतापीय वक्र $EF$ पर स्थित हैं,इसलिए $T_3 = T_4$। अतः,$3$ पर $v_p = 4$ पर $v_p$।
बिंदु $2$ समतापीय वक्र $CD$ पर स्थित है,इसलिए $T_2$ $CD$ का तापमान है।
बिंदु $1$ समतापीय वक्र $AB$ पर स्थित है,इसलिए $T_1$ $AB$ का तापमान है।
चूंकि तापमान का क्रम $T_3 = T_4 > T_2 > T_1$ है,इसलिए सबसे संभावित गति का क्रम $3$ पर $v_p = 4$ पर $v_p > 2$ पर $v_p > 1$ पर $v_p$ होगा।

(C) r.m.s. चाल का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $V_{rms, O_2} = V_{rms, H_2}$ है।
ऑक्सीजन का तापमान $T_{O_2} = 273 + 47 = 320 \ K$ है।
चालों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$.
मान रखने पर: $\frac{320}{32} = \frac{T_{H_2}}{2}$.
$10 = \frac{T_{H_2}}{2} \implies T_{H_2} = 20 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 20 - 273 = -253^{\circ}C$.

(C) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि मिश्रण में दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए उनकी रूट मीन स्क्वायर गति का अनुपात केवल उनके मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करता है।
अनुपात $\frac{v_{\text{rms}}^{\text{Ar}}}{v_{\text{rms}}^{\text{Cl}}} = \frac{\sqrt{3RT/M_{\text{Ar}}}}{\sqrt{3RT/M_{\text{Cl}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Cl}}}{M_{\text{Ar}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि आर्गन का परमाणु द्रव्यमान $M_{\text{Ar}} = 40.0 \text{u}$ और क्लोरीन का आणविक द्रव्यमान $M_{\text{Cl}} = 70.0 \text{u}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v_{\text{rms}}^{\text{Ar}}}{v_{\text{rms}}^{\text{Cl}}} = \sqrt{\frac{70}{40}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।