Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तीनों पात्रों के लिए $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
नियॉन (एकपरमाणुक): $M_1 \approx 20 \text{ g/mol}$.
क्लोरीन (द्विपरमाणुक): $M_2 \approx 71 \text{ g/mol}$.
यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड (बहुपरमाणुक): $M_3 \approx 352 \text{ g/mol}$.
यहाँ $M_1 < M_2 < M_3$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_1}} > \frac{1}{\sqrt{M_2}} > \frac{1}{\sqrt{M_3}}$ होगा।
अतः,सही संबंध $v_{rms}(\text{mono}) > v_{rms}(\text{dia}) > v_{rms}(\text{poly})$ है।

(A) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$.
दिया गया है:
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$.
नाइट्रोजन के एक अणु का द्रव्यमान $m = 4.6 \times 10^{-26} \, kg$.
बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_{B} = 1.4 \times 10^{-23} \, J K^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{273.91 \times 10^{3}} \approx \sqrt{273910} \approx 523.36 \, m/s$.
अतः,अनुमानित चाल $523 \, m/s$ है।

(C) गैस अणु की r.m.s. चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,r.m.s. चाल का अनुपात $\frac{v_{Ar}}{v_{Cl}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}}$ होगा।
यहाँ $v_{Cl} = 490\,m/s$,$M_{Cl} = 70.9\,u$,और $M_{Ar} = 39.9\,u$ दिया गया है।
मान रखने पर: $v_{Ar} = 490 \times \sqrt{\frac{70.9}{39.9}}$.
$v_{Ar} = 490 \times \sqrt{1.7769} \approx 490 \times 1.333 = 653.17\,m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $651.7\,m/s$ है।

(A) गैस अणु की rms गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
गैस अणु की औसत गति का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{rms} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} v_{avg}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8RT}{\pi M}$.
दोनों पक्षों से $\frac{RT}{M}$ को हटाने पर: $3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{\pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{22/7} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8 \times 7}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{56}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{28}{11}$.
$\Rightarrow 1+\frac{5}{x} = 3 \times \frac{11}{28} = \frac{33}{28}$.
$\Rightarrow \frac{5}{x} = \frac{33}{28} - 1 = \frac{5}{28}$.
$\Rightarrow x = 28$.

(C) गैस की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = -50 + 273 = 223\,K$ है और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ है।
गति में $3$ गुना की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम गति $v_2 = v + 3v = 4v$ हो जाती है।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\frac{v}{4v} = \sqrt{\frac{223}{T_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{16} = \frac{223}{T_2}$।
अतः,$T_2 = 223 \times 16 = 3568\,K$।
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = 3568 - 273 = 3295^{\circ}C$।

(D) गैस अणु का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
यहाँ, $T_H$ तापमान पर हाइड्रोजन $(H_2)$ का r.m.s. वेग, $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \,K$ तापमान पर ऑक्सीजन $(O_2)$ के r.m.s. वेग के बराबर है।
हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $M_H = 2 \,g/mol$ और ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $M_O = 32 \,g/mol$ है।
वेगों को बराबर करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$.
मान रखने पर: $\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$.
$T_H = 2 \times 10 = 20 \,K$.

(B) गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(V_{rms})$ सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तापमान $(T)$ और गैस नियतांक $(R)$ दोनों गैसों के लिए समान हैं, इसलिए वेग और मोलर द्रव्यमान $(M)$ के बीच संबंध $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ है।
मान लीजिए $V_H$ हाइड्रोजन का वेग $(M_H = 2 \,g/mol)$ है और $V_O$ ऑक्सीजन का वेग $(M_O = 32 \,g/mol)$ है।
अतः, $\frac{V_H}{V_O} = \sqrt{\frac{M_O}{M_H}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2}{V_O} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
इसलिए, $V_O = \frac{2}{4} = 0.5 \,km/s$।

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति $(V_{rms})$ का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
चूंकि गैसें एक ही नमूने में हैं,इसलिए उनका तापमान $(T)$ समान है।
अतः,$V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M_w}}$.
हीलियम $(He)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ की रूट मीन स्क्वायर गति का अनुपात:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{w, O_2}}{M_{w, He}}}$.
हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M_{w, He} = 4 \ g/mol)$ और ऑक्सीजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{w, O_2} = 32 \ g/mol)$ दिया गया है:
$\frac{V_{He}}{V_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{4}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अतः,अनुपात $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ है।

(D) गैस की rms चाल का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $T = 300 \ K$ पर हैं,इसलिए उनकी rms चालों का अनुपात होगा:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{He}}}}}{\sqrt{\frac{3RT}{M_{\text{Ar}}}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{Ar}}}{M_{\text{He}}}}$
यहाँ $M_{\text{He}} = 4 \ amu$ और $M_{\text{Ar}} = 40 \ amu$ दिया गया है,अतः:
$\frac{v_{\text{rms}} \text{ (हीलियम)}}{v_{\text{rms}} \text{ (आर्गन)}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} \approx 3.16$.

(A) गैस के अणुओं का माध्य वर्ग मूल वेग $(V_{rms})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें माध्य वर्ग वेग $(V_{rms}^2)$ प्राप्त होता है:
$V_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$
चूंकि एक विशिष्ट आदर्श गैस के लिए $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M$ (गैस का मोलर द्रव्यमान) नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$V_{rms}^2 \propto T$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = V_{rms}^2$,$x = T$,और $m = \frac{3R}{M}$ ढाल (slope) है।
इसलिए,माध्य वर्ग वेग और तापमान के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(C) गैस का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वाष्प घनत्व $d$,मोलर द्रव्यमान $M$ के समानुपाती होता है $(d = \frac{M}{2})$,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$ होता है।
वाष्प घनत्व का दिया गया अनुपात $\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{25}$ है।
$r.m.s.$ वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$।

(A) रूट मीन स्क्वायर वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $(V_{rms})_{O_2} = (V_{rms})_{H_2}$,इसलिए $\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और समान पदों को हटाने पर,हमें $\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$M_{O_2} = 32 \ g/mol$,$M_{H_2} = 2 \ g/mol$,और $T_{H_2} = 20 K$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{20}{2}$।
$T_{O_2} = 10 \times 32 = 320 K$।

(C) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $v_{rms}$ रूट मीन स्क्वायर वेग है।
चूंकि दबाव $P_1$ और $P_2$ समान हैं,इसलिए $P_1 = P_2$ है।
अतः,$\frac{1}{3} \rho_1 v_{rms,1}^2 = \frac{1}{3} \rho_2 v_{rms,2}^2$ होगा।
यह समीकरण $\rho_1 v_{rms,1}^2 = \rho_2 v_{rms,2}^2$ में सरल हो जाता है।
वेग के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{v_{rms,1}^2}{v_{rms,2}^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ प्राप्त होता है।
घनत्व का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{v_{rms,1}}{v_{rms,2}} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उनके r.m.s. वेग का अनुपात $4:1$ है।

(B) r.m.s. वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है,$v_{H_2} = 4 \times v_{O_2}$।
ऑक्सीजन का तापमान $T_{O_2} = 47 + 273 = 320 \ K$।
हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \ g/mol$ और ऑक्सीजन का $M_{O_2} = 32 \ g/mol$ है।
संबंध $\sqrt{\frac{3RT_{H_2}}{M_{H_2}}} = 4 \times \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ का उपयोग करने पर।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = 16 \times \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$।
मान रखने पर: $\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times \frac{320}{32}$।
$\frac{T_{H_2}}{2} = 16 \times 10 = 160$।
$T_{H_2} = 320 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 320 - 273 = 47^{\circ} C$।

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
समतापीय प्रक्रिया में,गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है (यह मानते हुए कि गैस का संगठन $M$ स्थिर रहता है),यदि $T$ स्थिर है,तो $v_{rms}$ भी स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,जब किसी गैस को समतापीय रूप से संपीड़ित किया जाता है,तो उसके अणुओं का r.m.s. वेग समान रहता है।

(B) एक आदर्श गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल ($R$.$M$.$S$.) वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना $T_1 = 100 \ K$ पर $R$.$M$.$S$. वेग $v_1 = x$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर $R$.$M$.$S$. वेग $v_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(B) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ चाल $(v_{rms})$ का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 200 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_1$ है और $T_2 = 800 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
इसलिए,$v_2 = 2v_1$.
इसका अर्थ है कि $800 \ K$ पर $r.m.s.$ चाल $200 \ K$ पर मान की दोगुनी होगी।

(C) वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) चाल को व्यक्तिगत चालों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 + v_4^2 + v_5^2 + v_6^2}{N}}$
दी गई चालें: $2, 5, 3, 6, 3, 5 \,m/s$.
अणुओं की संख्या $N = 6$.
वर्गों का योग: $2^2 + 5^2 + 3^2 + 6^2 + 3^2 + 5^2 = 4 + 25 + 9 + 36 + 9 + 25 = 108$.
वर्गों का माध्य: $\frac{108}{6} = 18$.
$v_{rms} = \sqrt{18} \approx 4.24 \,m/s$.

(B) एक आदर्श गैस का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 100 \ K$ पर वेग $v_1$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_1 = x$.
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(C) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यह दिया गया है कि ऑक्सीजन $(O_2)$ और हीलियम $(He)$ की r.m.s. गति समान है,इसलिए:
$\sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$
यहाँ $T_{He} = 57^{\circ} C = 57 + 273 = 330 \ K$,$M_{O_2} = 32$,और $M_{He} = 4$ है।
मान रखने पर:
$\frac{T_{O_2}}{32} = \frac{330}{4}$
$T_{O_2} = \frac{330 \times 32}{4} = 330 \times 8 = 2640 \ K$.

(C) आदर्श गैस के रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग का सूत्र है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
मान लीजिए $T_1 = 100 \ K$ पर r.m.s. वेग $v_1$ है और $T_2 = 400 \ K$ पर r.m.s. वेग $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_1 = x$.
समानुपातिकता $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ का उपयोग करते हुए: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{x} = \sqrt{\frac{400}{100}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_2 = 2x$.

(B) गैस अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$T_{O_2} = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$.
माना $V_H$ हाइड्रोजन का $r.m.s.$ वेग है और $V_O$ ऑक्सीजन का $r.m.s.$ वेग है।
प्रश्न के अनुसार,$V_H = 4.5 \times V_O$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = 4.5 \times \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT_H}{M_H} = (4.5)^2 \times \frac{3RT_O}{M_O}$.
दोनों पक्षों से $3R$ को हटाने पर: $\frac{T_H}{M_H} = 20.25 \times \frac{T_O}{M_O}$.
यहाँ $M_H = 2$ और $M_O = 32$ है: $\frac{T_H}{2} = 20.25 \times \frac{320}{32}$.
$\frac{T_H}{2} = 20.25 \times 10 = 202.5$.
$T_H = 202.5 \times 2 = 405 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_H = 405 - 273 = 132^{\circ} C$.

(A) दिया गया है:
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$r.m.s.$ वेग $v_{rms} = 61 \ m/s$.
गैस नियतांक $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
$v_{rms}$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान ($kg/mol$ में) है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_{rms}^2 = \frac{3RT}{M}$.
$M$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$M = \frac{3RT}{v_{rms}^2}$.
मान रखने पर: $M = \frac{3 \times 8.31 \times 300}{61 \times 61}$.
$M = \frac{7479}{3721} \approx 2.01 \ kg/mol$.
चूंकि मोलर द्रव्यमान लगभग $2 \ kg/mol$ है,इसलिए आणविक भार $2 \ g/mol$ है।

(C) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -80^{\circ} C = -80 + 273 = 193 \ K$.
गैस की r.m.s. चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना प्रारंभिक चाल $v_1$ है और अंतिम चाल $v_2$ है। प्रश्न के अनुसार चाल $2$ गुना बढ़ानी है,जिसका अर्थ है $v_2 = v_1 + 2v_1 = 3v_1$.
संबंध $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{3v_1}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
$3 = \sqrt{\frac{T_2}{193}} \implies 9 = \frac{T_2}{193}$.
$T_2 = 9 \times 193 = 1737 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 1737 - 273 = 1464^{\circ} C$.

(B) गैस के अणु का माध्य वर्ग वेग $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए,$x$-घटक का माध्य वर्ग $\omega^2 = \langle v_x^2 \rangle$ है। चूँकि $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$ और $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$,इसलिए $\langle v^2 \rangle = 3\omega^2$ होता है।
अतः,$3\omega^2 = \frac{3kT}{m} \implies \omega^2 = \frac{kT}{m}$...$(i)$
गैस $B$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $V^2 = \frac{3kT}{2m}$...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{\omega^2}{V^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{kT}{m} \times \frac{2m}{3kT} = \frac{2}{3}$.

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का परम ताप $T$ उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित होता है।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है,$v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है,और $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto v_{rms}^2$ है।
अतः,परम ताप अणुओं के माध्य वर्ग वेग के सीधे समानुपाती होता है।

(A) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ} C = 927 + 273 = 1200 \ K$ दिया गया है।
चाल का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{rms_2}}{v_{rms_1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{1200}{300}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_{rms_2} = 2 \cdot v_{rms_1}$।
इस प्रकार,r.m.s. चाल प्रारंभिक चाल की दोगुनी हो जाती है।

(C) गैस के अणुओं की r.m.s. चाल का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$।
चूंकि गैस समान है,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 527^{\circ} C = 527 + 273 = 800 \ K$
r.m.s. चाल का अनुपात है:
$\frac{V_1}{V_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}} = \sqrt{\frac{400}{800}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(C) प्रारंभिक तापमान $T_1 = -68^{\circ} C = -68 + 273 = 205 \ K$ है।
गैस के अणुओं का r.m.s. वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
माना प्रारंभिक वेग $(v_{rms})_1$ है और अंतिम वेग $(v_{rms})_2 = 2(v_{rms})_1$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
मान रखने पर: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{205}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = \frac{T_2}{205}$।
इसलिए,$T_2 = 4 \times 205 = 820 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 820 - 273 = 547^{\circ} C$।

(A) गैस की $r.m.s.$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
माना पहली गैस का आण्विक द्रव्यमान $M_1 = 32$ और $r.m.s.$ गति $(v_{rms})_1$ है।
माना दूसरी गैस का आण्विक द्रव्यमान $M_2$ और $r.m.s.$ गति $(v_{rms})_2 = 4(v_{rms})_1$ है।
संबंध $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$4 = \sqrt{\frac{32}{M_2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $16 = \frac{32}{M_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$M_2 = \frac{32}{16} = 2$.

(D) गैस के अणुओं का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग $v_{rms}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और अंतिम तापमान $T_2 = 5T$ है।
माना प्रारंभिक r.m.s. वेग $v_1$ है और अंतिम r.m.s. वेग $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{5T}{T}} = \sqrt{5}$.
इसलिए,$v_2 = \sqrt{5} v_1$.
अतः,r.m.s. वेग प्रारंभिक वेग का $\sqrt{5}$ गुना हो जाएगा।

(A) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है कि $T$ तापमान पर r.m.s. चाल,$320 \,K$ पर r.m.s. चाल की $2$ गुनी है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$\frac{v_T}{v_{320}} = 2$
चूंकि $v \propto \sqrt{T}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{T}}{\sqrt{320}} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T}{320} = 2^2$
$\frac{T}{320} = 4$
$T = 4 \times 320 \,K = 1280 \,K$.

(A) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर (rms) वेग $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V^2 = \frac{3 k_B T}{m}$
चूंकि दी गई गैस के लिए $k_B$ और $m$ नियतांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$V^2 \propto T$
या,$\frac{V^2}{T} = \frac{3 k_B}{m} = \text{नियतांक}$
अतः,सही संबंध $\frac{V^2}{T} = \text{नियतांक}$ है।

(D) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v \propto \sqrt{T}$ है।
यहाँ प्रारंभिक तापमान $T_1 = 140 \,K$ और प्रारंभिक r.m.s. चाल $v_1 = v$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 560 \,K$ है।
हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{v_2}{v} = \sqrt{\frac{560}{140}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः, नई r.m.s. चाल $v_2 = 2 v$ होगी।

(B) यह प्रक्रिया समतापीय है,जिसका अर्थ है कि पूरी प्रक्रिया के दौरान गैस का तापमान $T$ स्थिर रहता है।
गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक),$M$ (मोलर द्रव्यमान),और $T$ (तापमान) स्थिर हैं,इसलिए $rms$ चाल अपरिवर्तित रहती है।

(B) एक आदर्श गैस का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$V^2 = \frac{3RT}{M_0}$
$V$ और $T$ चरों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{V^2}{T} = \frac{3R}{M_0}$
चूंकि $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) और $M_0$ (मोलर द्रव्यमान) दी गई गैस के लिए नियतांक हैं, इसलिए अनुपात $\frac{3R}{M_0}$ भी एक नियतांक है।
अतः, $\frac{V^2}{T} = \text{नियतांक}$।

(A) गैस के अणु की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $M = m \times N_A$ (जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है),हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{mN_A}}$
चूंकि $3$,$R$,और $N_A$ नियतांक हैं,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{m}}$
$v_{rms} \propto m^{-\frac{1}{2}} T^{\frac{1}{2}}$

(B) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho c^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $c$ रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल है।
चूँकि दबाव समान हैं,हमारे पास $P_1 = P_2$ है।
इसलिए,$\frac{1}{3} \rho_1 c_1^2 = \frac{1}{3} \rho_2 c_2^2$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{c_1^2}{c_2^2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ प्राप्त होता है।
घनत्वों का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 16$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{16}{1} = 16$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{c_1^2}{c_2^2} = 16$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{c_1}{c_2} = \sqrt{16} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,उनकी rms चालों का अनुपात $(c_1: c_2)$ $4: 1$ है।

(A) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि rms चाल केवल तापमान $T$ और गैस के मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करती है,इसलिए यह गैस के दाब $P$ से स्वतंत्र है।
यह दिया गया है कि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए दाब बढ़ाने पर भी rms चाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,नई rms चाल $V$ ही रहेगी।

(D) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s) चाल का सूत्र: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है,और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
हीलियम $(He)$ के लिए: $M_{He} = 4$,$T_{He} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $M_{O} = 32$,$T_{O} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
r.m.s चाल का अनुपात:
$\frac{v_{He}}{v_{O}} = \sqrt{\frac{T_{He}}{T_{O}} \times \frac{M_{O}}{M_{He}}} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{32}{4}} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(B) गैस अणु का रूट मीन स्क्वायर ($R$.$M$.$S$.) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ के $R$.$M$.$S$. वेग समान हैं,इसलिए $v_{H} = v_{O}$।
सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर: $\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$।
यहाँ $T_O = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,$M_H = 2$,और $M_O = 32$ है।
$T_H$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $T_H = T_O \times \frac{M_H}{M_O}$।
मान रखने पर: $T_H = 320 \times \frac{2}{32} = 320 \times \frac{1}{16} = 20 \ K$।

(A) गैस के अणु का $r.m.s.$ वेग $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $C \propto \sqrt{T}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_{2} = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ दिया गया है।
वेगों का अनुपात $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{C_{2}}{C_{1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) गैस के अणुओं के वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग का सूत्र $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से, हम देख सकते हैं कि $C \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक वेग $C = 200 \,m/s$ है, जहाँ तापमान $T$ और आणविक भार $M$ है।
नई शर्तों के अनुसार: $T' = \frac{T}{2}$ और $M' = 2M$.
नया $RMS$ वेग $C'$ अनुपात द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\frac{C'}{C} = \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{T/2}{T} \times \frac{M}{2M}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः, $C' = \frac{C}{2} = \frac{200}{2} = 100 \,m/s$.

(C) ऑक्सीजन के अणु $(O_2)$ की rms चाल $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तापमान है और $M$ $O_2$ का आणविक द्रव्यमान है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T' = 2T)$ और अणु दो परमाणुओं में विघटित हो जाता है,तो ऑक्सीजन परमाणु का आणविक द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ हो जाता है।
नई rms चाल $u'$ का मान $u' = \sqrt{\frac{3RT'}{M'}} = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M/2}}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $u' = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M}} = 2 \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $u = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,इसलिए $u' = 2u$ होगा।

(C) औसत वेग $(v_{av})$ की गणना वेगों के अंकगणितीय माध्य के रूप में की जाती है:
$v_{av} = \frac{v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4}}{N} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \ km/s$
रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ वेग $(v_{rms})$ की गणना वेगों के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में की जाती है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + v_{4}^{2}}{N}} = \sqrt{\frac{1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{1 + 9 + 25 + 49}{4}} = \sqrt{\frac{84}{4}} = \sqrt{21} \approx 4.583 \ km/s$
$RMS$ वेग और औसत वेग के बीच का अंतर है:
$v_{rms} - v_{av} = 4.583 \ km/s - 4 \ km/s = 0.583 \ km/s$

(A) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto v_{rms}^2$ है।
यहाँ अंतिम वेग $v_2$,प्रारंभिक वेग $v_1$ का आधा है,अर्थात $v_2 = \frac{v_1}{2}$।
इसलिए,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
अतः,$T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{600 \ K}{4} = 150 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 150 - 273 = -123^{\circ} C$।

(A) गैस के अणुओं की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $NTP$ $(T_1 = 273 \ K)$ पर $rms$ गति $v_1$ है और तापमान $T_2$ पर $rms$ गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$,इसलिए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$।

(A) गैस के अणुओं की औसत गति $(v_{av})$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$v_{av} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का आण्विक द्रव्यमान है।
यह मानते हुए कि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,औसत गति आण्विक द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$v_{av} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$
माना $v_{1}$,$SO_{2}$ की गति है और $v_{2}$ अज्ञात गैस की गति है। दिया गया है कि $v_{2} = 4v_{1}$ और $M_{1} = 64$:
$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{M_{1}}{M_{2}}}$
$4 = \sqrt{\frac{64}{M_{2}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = \frac{64}{M_{2}}$
$M_{2} = \frac{64}{16} = 4$
$4$ आण्विक द्रव्यमान वाली गैस हीलियम $(He)$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गैस के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक $rms$ गति $v_1$ है और प्रारंभिक तापमान $T_1$ है। मान लीजिए अंतिम $rms$ गति $v_2$ है और अंतिम तापमान $T_2$ है।
दिया गया है कि $rms$ गति में $25 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $v_2 = v_1 + 0.25v_1 = 1.25v_1$ है।
चूंकि $v \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $1.25 = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1.25)^2 = \frac{T_2}{T_1}$,जिससे $1.5625 = \frac{T_2}{T_1}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $T_2 = 1.5625 T_1$ है।
तापमान में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत वृद्धि $= (1.5625 - 1) \times 100 \% = 0.5625 \times 100 \% = 56.25 \%$।