Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Hindi

(D) गैस के एक अणु की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि सभी गैसों के लिए तापमान में परिवर्तन समान है,इसलिए प्रति अणु गतिज ऊर्जा में परिवर्तन भी समान होगा।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{p^2}{2m}$ होती है,जहाँ $p$ संवेग है और $m$ गैस के अणु का द्रव्यमान है।
इसलिए,$p = \sqrt{2m(K.E.)}$।
चूंकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन स्थिर है,इसलिए संवेग $p$ गैस के अणु के द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है $(p \propto \sqrt{m})$।
दिए गए विकल्पों में,आर्गन का मोलर द्रव्यमान सबसे अधिक $(39.95\, g/mol)$ है,उसके बाद नाइट्रोजन $(28.01\, g/mol)$,हीलियम $(4.00\, g/mol)$ और हाइड्रोजन $(2.02\, g/mol)$ का स्थान आता है।
अतः,जिस गैस का द्रव्यमान सबसे अधिक होगा,वह सबसे अधिक संवेग प्राप्त करेगी।
इसलिए,आर्गन सबसे अधिक संवेग प्राप्त करेगी।

(B) गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $E$ का सूत्र $E = \gamma P$ है,जहाँ $\gamma = C_p/C_v$ रुद्धोष्म सूचकांक है और $P$ दाब है।
आर्गन के लिए,रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $E_{Ar} = 1.6P$ है।
हाइड्रोजन के लिए,मान लीजिए दाब $P'$ है। रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $E_{H2} = 1.4P'$ है।
यह दिया गया है कि रुद्धोष्म प्रत्यास्थता समान है,इसलिए $E_{Ar} = E_{H2}$।
अतः,$1.6P = 1.4P'$।
$P'$ के लिए हल करने पर,हमें $P' = \frac{1.6}{1.4}P = \frac{16}{14}P = \frac{8}{7}P$ प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है)।
चूंकि दोनों गैसें तापीय साम्यावस्था में हैं,इसलिए उनके तापमान $T$ समान हैं।
यह दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए समीकरण $PV = \frac{m}{M} RT$ हो जाता है।
दोनों गैसों के लिए,$P_a V_a = \frac{m}{M_a} RT$ और $P_b V_b = \frac{m}{M_b} RT$ होता है।
यदि हम यह मान लें कि गैसें समान हैं या उनका मोलर द्रव्यमान $M$ समान है,तो $P_a V_a = P_b V_b$ सत्य है।
इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों के संदर्भ में,$P_a V_a = P_b V_b$ अपेक्षित परिणाम है।

(B) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,निम्नलिखित अभिधारणाएं मानी जाती हैं:
$1$. गैस के अणु निरंतर यादृच्छिक गति में होते हैं।
$2$. अणु टक्करों के अलावा एक-दूसरे के साथ कोई अन्योन्यक्रिया नहीं करते हैं।
$3$. अणुओं के बीच की टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ (elastic) होती हैं,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।
$4$. अणुओं के बीच की टक्करें बहुत कम समय के लिए होती हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,यह कथन कि 'अणु निरंतर अप्रत्यास्थ टक्करों से गुजरते हैं' गलत है,क्योंकि अणुगति सिद्धांत यह मानता है कि टक्करें प्रत्यास्थ होती हैं। अतः,विकल्प $B$ गलत कथन है।

(C) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि हम यह मान लें कि तापमान आयतन के समानुपाती है $(T \propto V)$,तो $T_a = 2T_b$ होगा।
इसलिए,$C_a = \sqrt{\frac{\gamma R T_a}{M}} = \sqrt{\frac{\gamma R (2T_b)}{M}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{\gamma R T_b}{M}} = \sqrt{2} C_b$.
अतः,$C_a = \sqrt{2} C_b$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ है,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दबाव $P$,आयतन $V$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर हैं,इसलिए $m_1 T_1 = m_2 T_2$ होगा।
दिया गया है $m_1 = 13 \, g$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ और $T_2 = 52 + 273 = 325 \, K$।
मान रखने पर: $13 \times 300 = m_2 \times 325$।
$m_2 = \frac{13 \times 300}{325} = \frac{3900}{325} = 12 \, g$।
बाहर निकाली जाने वाली गैस का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 13 - 12 = 1 \, g$ है।

(C) जब वाल्व खोला जाता है तो मोल की कुल संख्या $n$ संरक्षित रहती है।
$n = n_1 + n_2$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{PV}{RT}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P(V_1 + V_2)}{R T}$
चूंकि निकाय ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। आदर्श गैस के लिए,$U = \frac{f}{2} nRT$ होता है। अतः,$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2) T$।
$n = \frac{PV}{RT}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{P_1 V_1}{R T_1} T_1 + \frac{P_2 V_2}{R T_2} T_2 = (n_1 + n_2) T$।
$n_1 + n_2 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}{R T_1 T_2}$।
अंतिम दबाव $P = \frac{(n_1 + n_2)RT}{V_1 + V_2}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण समीकरण में मान रखने पर: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = (n_1 + n_2) RT$।
अतः,$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{n_1 + n_2} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$।

(C) नियत तापमान पर बॉयल के नियम के अनुसार,$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_{total} V_{final}$।
दिया गया है:
गैस $A$: $P_1 = 0.60 \, atm$,$V_1 = 125 \, ml = 0.125 \, L$।
गैस $B$: $P_2 = 0.80 \, atm$,$V_2 = 150 \, ml = 0.150 \, L$।
पात्र का अंतिम आयतन $V_{final} = 1 \, L$।
मोल के संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$P_{total} = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{V_{final}}$
$P_{total} = \frac{(0.60 \times 0.125) + (0.80 \times 0.150)}{1}$
$P_{total} = 0.075 + 0.120 = 0.195 \, atm$।
अतः,कुल दबाव $0.195 \, atm$ होगा।

(C) एक संतृप्त वाष्प एक विशिष्ट तापमान पर अपनी तरल अवस्था के साथ संतुलन में होती है।
संतृप्त वाष्प द्वारा डाला गया दबाव केवल तापमान पर निर्भर करता है और कंटेनर के आयतन से स्वतंत्र होता है,बशर्ते तापमान स्थिर रहे।
जब आयतन को संपीड़ित किया जाता है,तो उस तापमान पर संतृप्ति की स्थिति बनाए रखने के लिए वाष्प का कुछ हिस्सा तरल में संघनित हो जाता है।
इसलिए,संतृप्त वाष्प का दबाव स्थिर रहता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ समान है।

(A) चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग (किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से मुक्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग) चंद्रमा के सतह के तापमान पर गैस के अणुओं के $r.m.s.$ वेग से काफी कम है।
चूंकि गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग पलायन वेग से अधिक हो जाता है,इसलिए ये अणु चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से आसानी से बाहर निकल जाते हैं। परिणामस्वरूप,चंद्रमा वायुमंडल को बनाए नहीं रख सकता है।
पलायन वेग का व्यंजक $v_e = \sqrt{2gR}$ है। पृथ्वी पर पलायन वेग लगभग $11.2 \; km/s$ है,जबकि चंद्रमा पर यह केवल $2.4 \; km/s$ है। चंद्रमा की सतह के तापमान के कारण,गैस के अणुओं का तापीय वेग इस कम पलायन वेग से अधिक हो जाता है।

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की चाल $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$P$ दाब है और $\rho$ घनत्व है।
गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $c = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ और $c$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}}{\sqrt{\frac{3P}{\rho}}} = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho} \cdot \frac{\rho}{3P}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ है।

(A) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। यदि $T = 0 \, K$ है,तो गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है,लेकिन अणुओं की स्थितिज ऊर्जा शून्य नहीं भी हो सकती है। अतः,परम शून्य तापमान शून्य ऊर्जा तापमान नहीं है। इसलिए,विकल्प $A$ सही है।
$(B)$ वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $RMS$ वेग अलग-अलग होगा। इसलिए,विकल्प $B$ गलत है।
$(C)$ विकल्प $B$ के समान,$RMS$ गति मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है। इसलिए,समान तापमान पर विभिन्न आदर्श गैसों के अणुओं की $RMS$ गति अलग-अलग होगी। इसलिए,विकल्प $C$ गलत है।
$(D)$ एवोगैड्रो के नियम के अनुसार,समान तापमान और दबाव पर,सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। चूंकि दोनों नमूनों का आयतन $NTP$ पर $1 \, cc$ है,इसलिए उनमें अणुओं की संख्या समान होगी। इसलिए,विकल्प $D$ गलत है।

(C) गैस का तापमान उसके अणुओं की यादृच्छिक गति के कारण उनकी औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित होता है।
जब कोई पात्र एक समान गति से चलता है,तो पूरा पात्र (अंदर के गैस के अणुओं सहित) संदर्भ के एक फ्रेम के रूप में चलता है।
चूंकि ट्रक एक समान गति से चल रहा है,इसलिए पात्र के सापेक्ष गैस के अणुओं पर कोई त्वरण कार्य नहीं कर रहा है।
चूंकि गैस का दबाव $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहता है,और ट्रक की एक समान गति के कारण गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए गैस के अणुओं का तापमान समान रहता है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है,न कि इस बात पर कि प्रक्रिया क्या है (नियत दाब या नियत आयतन)।
आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
तापमान में इकाई परिवर्तन के लिए $(\Delta T = 1)$:
$U_1 = n C_v (1) = n C_v$ (नियत दाब पर)।
$U_2 = n C_v (1) = n C_v$ (नियत आयतन पर)।
चूंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है और केवल तापमान पर निर्भर करती है,इसलिए तापमान में दिए गए परिवर्तन के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन किसी भी प्रक्रिया के लिए समान होता है।
अतः,$U_1 : U_2 = n C_v : n C_v = 1 : 1$।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार:
$(I)$ परम शून्य $(T = 0 \ K)$ पर एक अणु की ऊर्जा शून्य नहीं होती है।
$(II)$ $r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। विभिन्न गैसों के लिए $M$ अलग-अलग होता है,इसलिए समान तापमान पर $v_{rms}$ समान नहीं होती है।
$(III)$ $1 \ g$ गैस के लिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{m}{M} \frac{f R T}{2}$ होती है। गैस की प्रकृति के अनुसार $M$ और $f$ अलग-अलग होते हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा समान नहीं होती है।
$(IV)$ एक मोल आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT$ होती है। गैस की परमाणुकता के अनुसार $f$ बदलता है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा सभी गैसों के लिए समान नहीं होती है।
अतः,कोई भी कथन सही नहीं है।

(A) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto T$.
यहाँ $T_1 = 300 \, K$ और $T_2 = 600 \, K$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600}{300} = 2$ है।
अतः,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \, J = 12.42 \times 10^{-21} \, J$.
$r.m.s.$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
इसलिए,$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{600}{300}} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
$(v_{rms})_2 = 1.414 \times 484 \, m/s \approx 684 \, m/s$.
अतः,सही मान $12.42 \times 10^{-21} \, J$ और $684 \, m/s$ हैं।

(A) परिभाषा के अनुसार,एक प्रत्यास्थ टक्कर वह है जिसमें निकाय की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। इसलिए,यह कथन कि टक्करों में गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है,गलत है।

(D) गैस के अणुओं का माध्य वर्ग वेग $\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस $A$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $\langle v_A^2 \rangle = \frac{3kT}{m}$ है।
चूंकि $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$ और $\langle v^2 \rangle = \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle$,इसलिए $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3} \langle v^2 \rangle$ होता है।
अतः,$w^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{3kT}{m} \right) = \frac{kT}{m}$।
गैस $B$ के लिए,माध्य वर्ग वेग $v^2 = \frac{3kT}{2m}$ है।
अनुपात $\frac{w^2}{v^2}$ लेने पर:
$\frac{w^2}{v^2} = \frac{kT/m}{3kT/2m} = \frac{1}{m} \cdot \frac{2m}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.67$।

(B) दिया गया है: $n = \frac{1}{2} \; mol$,$c_v = 3 \; J \; g^{-1} \; K^{-1}$,हीलियम का मोलर द्रव्यमान $M = 4 \; g \; mol^{-1}$।
सबसे पहले,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा की गणना करें: $C_V = M \times c_v = 4 \times 3 = 12 \; J \; mol^{-1} \; K^{-1}$।
स्थिर आयतन पर आदर्श गैस के नियम के अनुसार,$P \propto T$। इसलिए,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
चूंकि दबाव दोगुना हो जाता है,$P_2 = 2P_1$,जिसका अर्थ है $T_2 = 2T_1$।
$S.T.P.$ पर,$T_1 = 273 \; K$। अतः,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 2T_1 - T_1 = T_1 = 273 \; K$।
आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $\Delta Q = n C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta Q = \frac{1}{2} \times 12 \times 273 = 6 \times 273 = 1638 \; J$।

(D) $1$ मोल आदर्श गैस के लिए,$pV = RT$ ... $(i)$.
स्थिर दबाव पर,$P dV = R dT$ ... (ii).
समीकरण $(i)$ और (ii) से,हमें $\frac{dV}{V} = \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
स्थिर दबाव पर आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT} = \frac{1}{T}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि यह केवल $T$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह सभी आदर्श गैसों के लिए समान है।
माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे दबाव $P$ घटता है,$\lambda$ बढ़ता है।
एक अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $\langle K \rangle = \frac{3}{2} kT$ होती है। यह मान केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है और गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति से स्वतंत्र होता है। अतः,तापीय संतुलन में मिश्रण के सभी घटकों की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा समान होती है।
इसलिए,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) त्वरण $a$ के साथ धनात्मक $x$-दिशा में गति कर रहे एक त्वरित संदर्भ फ्रेम में डिब्बे पर विचार करें।
इस गैर-जड़त्वीय फ्रेम में,प्रत्येक गैस अणु पर त्वरण की विपरीत दिशा में (अर्थात,ऋणात्मक $x$-दिशा में) एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है।
इस छद्म बल के कारण,गैस के अणु डिब्बे के पिछले हिस्से की ओर जमा होने लगते हैं।
परिणामस्वरूप,पिछले हिस्से में गैस का घनत्व बढ़ जाता है और सामने के हिस्से में कम हो जाता है।
चूंकि गैस का दबाव उसके घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है (आदर्श गैस नियम $P = \rho RT/M$ से),इसलिए पिछले हिस्से में दबाव अधिक होगा और सामने के हिस्से में कम होगा।
अतः,सामने की तरफ दबाव कम है।

(B) गैस की कुल गतिज ऊर्जा ${E_{total}} = \frac{f}{2}NkT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि है,$N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
चूंकि ${E_{total}}$ स्थिर है,इसलिए $N_1 T_1 = N_2 T_2$ होगा।
यहाँ $N_2 = 2N_1$ दिया गया है,इसलिए $N_1 T_1 = (2N_1) T_2$,जिसका अर्थ है कि ${T_2} = \frac{{{T_1}}}{2}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ से,$P \propto NT$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{{{P_2}}}{{{P_1}}} = \frac{{{N_2}{T_2}}}{{{N_1}{T_1}}} = \left( \frac{2N_1}{N_1} \right) \left( \frac{T_1/2}{T_1} \right) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$।
अतः,${P_2} = {P_1}$ और ${T_2} = \frac{{{T_1}}}{2}$ होगा।

(D) यह दिया गया है कि पात्र $A$ और $B$ में गैसें तापीय साम्यावस्था में हैं,इसलिए उनके तापमान समान होने चाहिए,अर्थात $T_A = T_B = T$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
मोलों की संख्या $n = m/M$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
पात्र $A$ के लिए: $P_A V_A = (m/M_A) RT$।
पात्र $B$ के लिए: $P_B V_B = (m/M_B) RT$।
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान है,हमें $P_A V_A / M_A = P_B V_B / M_B$ प्राप्त होता है।
यदि गैसें अलग-अलग हैं,तो $M_A \neq M_B$,इसलिए $P_A V_A$ का $P_B V_B$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है। हालाँकि,यदि गैसें समान हैं,तो $M_A = M_B$,जिसका अर्थ है कि $P_A V_A = P_B V_B$। चूंकि प्रश्न में पूछा गया है कि क्या 'सत्य हो सकता है',इसलिए विकल्प $D$ एक वैध संभावना है।

(D) निकाय में गैस की कुल मात्रा स्थिर रहती है। मान लीजिए प्रत्येक बल्ब का आयतन $V$ है और $N.T.P.$ पर प्रारंभिक दबाव $P_0$ $(T_0 = 273 \ K)$ है।
प्रारंभ में,मोलों की कुल संख्या $\mu = \mu_1 + \mu_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$ है।
अंत में,दबाव $P = 1.5 P_0$ हो जाता है। एक बल्ब $T_1 = 273 \ K$ तापमान पर है और दूसरा $T_2 = T$ तापमान पर है।
अंतिम मोलों की संख्या $\mu' = \mu_1' + \mu_2' = \frac{P V}{R T_1} + \frac{P V}{R T_2} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$ है।
चूंकि $\mu = \mu'$,हमारे पास है:
$\frac{2 P_0 V}{R (273)} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
$\frac{P_0 V}{R}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$
$T = 273 \times 3 = 819 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^oC) = 819 - 273 = 546^\circ C$।

(D) प्रथम पात्र के लिए,आदर्श गैस समीकरण $P_1V = n_1RT_1$ है,अतः $n_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$ है।
द्वितीय पात्र के लिए,आदर्श गैस समीकरण $P_2V = n_2RT_2$ है,अतः $n_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$ है।
जब पात्रों को जोड़ा जाता है,तो कुल आयतन $2V$ हो जाता है और मोलों की कुल संख्या $n = n_1 + n_2$ होती है।
अंतिम अवस्था $P(2V) = (n_1 + n_2)RT$ द्वारा दी जाती है।
$n_1$ और $n_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$P(2V) = \left( \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2} \right) RT$
$2PV = \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) V T$
दोनों पक्षों को $2VT$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P}{T} = \frac{1}{2} \left( \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2} \right) = \frac{P_1}{2T_1} + \frac{P_2}{2T_2}$.

(B) जब गैस को गर्म किया जाता है,तो उसका दबाव बढ़ जाता है। गैस प्रत्येक पिस्टन पर $F = P \times A$ बल लगाती है,जहाँ $P$ गैस का दबाव है और $A$ पिस्टन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि दोनों पिस्टन एक धागे से जुड़े हुए हैं,इसलिए वे एक प्रणाली के रूप में एक साथ गति करते हैं।
बाएं पिस्टन पर गैस द्वारा लगाया गया बल $F_L = P \times A_L$ है (जो बाईं ओर कार्य करता है)।
दाएं पिस्टन पर गैस द्वारा लगाया गया बल $F_R = P \times A_R$ है (जो दाईं ओर कार्य करता है)।
चित्र से,दाएं पिस्टन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A_R)$ बाएं पिस्टन के क्षेत्रफल $(A_L)$ से अधिक है।
इसलिए,प्रणाली पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_R - F_L = P(A_R - A_L)$ है।
चूंकि $A_R > A_L$,इसलिए कुल बल $F_{net}$ धनात्मक है और दाईं ओर कार्य करता है।
अतः,पिस्टन दाईं ओर गति करेंगे।

(C) नली की कुल लंबाई $100 \, cm$ है और पारे के स्तंभ की लंबाई $10 \, cm$ है। इसलिए, प्रत्येक तरफ हवा के स्तंभ की लंबाई $L = (100 - 10) / 2 = 45 \, cm$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 81^{\circ} C = 354 \, K$ और दबाव $P_1 = 76 \, cm$ $Hg$ है।
मान लीजिए कि पारे का स्तंभ $0^{\circ} C$ वाले सिरे की ओर $x \, cm$ खिसकता है। हवा के स्तंभ की नई लंबाई $(45 - x) \, cm$ और $(45 + x) \, cm$ होगी।
मान लीजिए अंतिम दबाव $P$ है। चूंकि नली क्षैतिज है, संतुलन के लिए दोनों तरफ दबाव समान होना चाहिए।
आदर्श गैस समीकरण $\frac{PV}{T} = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करते हुए:
$0^{\circ} C$ $(273 \, K)$ वाली तरफ के लिए: $\frac{76 \cdot 45}{354} = \frac{P \cdot (45 - x)}{273}$
$273^{\circ} C$ $(546 \, K)$ वाली तरफ के लिए: $\frac{76 \cdot 45}{354} = \frac{P \cdot (45 + x)}{546}$
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर $x = 15 \, cm$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर, $P = 102.4 \, cm$ $Hg$ प्राप्त होता है।

(A) $H_2$ के प्रारंभिक मोल $(n_{H_2})$ $= 14 \, g / 2 \, g/mol = 7 \, mol$.
$O_2$ के प्रारंभिक मोल $(n_{O_2})$ $= 96 \, g / 32 \, g/mol = 3 \, mol$.
रासायनिक अभिक्रिया है: $2H_2 + O_2 \rightarrow 2H_2O$.
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$2 \, mol$ $H_2$,$1 \, mol$ $O_2$ के साथ अभिक्रिया करता है।
अतः,$3 \, mol$ $O_2$,$6 \, mol$ $H_2$ के साथ अभिक्रिया करेगा।
चूंकि हमारे पास $7 \, mol$ $H_2$ है,$O_2$ सीमांत अभिकर्मक है और पूरी तरह समाप्त हो जाएगा।
शेष $H_2$ के मोल $= 7 - 6 = 1 \, mol$.
बना हुआ $H_2O$,$273 \, K$ पर द्रव अवस्था में होता है,इसलिए गैस के दाब में इसका योगदान नगण्य है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $V$ और $T$ स्थिर हैं,$P \propto n$.
प्रारंभिक दाब $P_i = 1 \, atm$ ($STP$ पर $n_i = 7 + 3 = 10 \, mol$ के साथ)।
अंतिम दाब $P_f = (n_f / n_i) \times P_i = (1 / 10) \times 1 \, atm = 0.1 \, atm$.

(C) जार में प्रारंभिक कुल दबाव $P_{total, 1} = 830 \, mm$ $Hg$ है।
$T \, K$ पर पानी का संतृप्त वाष्प दबाव $P_{v, 1} = 30 \, mm$ $Hg$ है।
शुष्क गैस का दबाव $P_{g, 1} = P_{total, 1} - P_{v, 1} = 830 - 30 = 800 \, mm$ $Hg$ है।
जब तापमान $1\%$ कम किया जाता है,तो नया तापमान $T_2 = 0.99 \, T_1$ होता है।
चूंकि आयतन स्थिर है,शुष्क गैस के लिए,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P_{g, 1}}{T_1} = \frac{P_{g, 2}}{T_2}$।
$P_{g, 2} = P_{g, 1} \times \frac{T_2}{T_1} = 800 \times 0.99 = 792 \, mm$ $Hg$।
$T_2$ पर पानी का नया संतृप्त वाष्प दबाव $P_{v, 2} = 25 \, mm$ $Hg$ है।
जार में नया कुल दबाव $P_{total, 2} = P_{g, 2} + P_{v, 2} = 792 + 25 = 817 \, mm$ $Hg$ होगा।

(A) समतापीय संपीड्यता $\beta_T$ को $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $V = \frac{nRT}{P}$।
नियत तापमान पर $P$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर: $\left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T = -\frac{nRT}{P^2}$।
इस मान को परिभाषा में रखने पर: $\beta_T = -\frac{1}{V} \left( -\frac{nRT}{P^2} \right) = \frac{1}{V} \left( \frac{V}{P} \right) = \frac{1}{P}$।
चूंकि गैस को नियत दाब $(P = \text{constant})$ पर गर्म किया जाता है,इसलिए समतापीय संपीड्यता $\beta_T = \frac{1}{P}$ नियत रहती है।

(D) गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $(E_{\phi})$ का सूत्र $E_{\phi} = \gamma P$ होता है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है और $P$ गैस का दबाव है।
$NTP$ (सामान्य तापमान और दबाव) पर,दबाव $P$ का मान $1.013 \times 10^5 \; N/m^2$ होता है,जिसे लगभग $1 \times 10^5 \; N/m^2$ माना जा सकता है।
दिया गया है $\gamma = 1.4$ और $P = 1 \times 10^5 \; N/m^2$,अतः:
$E_{\phi} = 1.4 \times (1 \times 10^5 \; N/m^2) = 1.4 \times 10^5 \; N/m^2$.
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) गैस का आयतन स्थिर रहता है, इसलिए $V = \text{स्थिरांक}$.
गे-लुसाक के नियम के अनुसार, स्थिर आयतन के लिए $P \propto T$ होता है।
चूंकि तापमान दोगुना $(T_0 \to 2T_0)$ हो जाता है, इसलिए गैस का दाब भी दोगुना हो जाएगा।
अतः, नया दाब $P = 2P_0$ होगा।
मान लीजिए तार में तनाव $F$ है। किसी एक पिस्टन के संतुलन पर विचार करने पर, उस पर कार्य करने वाले बल गैस दाब बल $(PA)$ बाहर की ओर, वायुमंडलीय दाब बल $(P_0A)$ अंदर की ओर और तनाव $(F)$ अंदर की ओर हैं।
इसलिए, $F + P_0A = PA$.
$F = (P - P_0)A = (2P_0 - P_0)A = P_0A$.

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \mu C_V T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है,$C_V$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है और $T$ परम ताप है।
एकपरमाणुक गैसों (He,Ar) के लिए,$C_V = \frac{3}{2}R$. द्विपरमाणुक गैसों $(N_2, O_2)$ के लिए,$C_V = \frac{5}{2}R$.
$A$: $\mu = 2$,$C_V = 1.5R$,$T = 300 \, K$. $U_A = 2 \times 1.5R \times 300 = 900R$.
$B$: $m = 56 \, kg = 56000 \, g$. $N_2$ का आणविक द्रव्यमान = $28 \, g/mol$. $\mu = \frac{56000}{28} = 2000 \, moles$. $C_V = 2.5R$,$T = 300 \, K$. $U_B = 2000 \times 2.5R \times 300 = 1,500,000R$.
$C$: $m = 8 \, g$. $O_2$ का आणविक द्रव्यमान = $32 \, g/mol$. $\mu = \frac{8}{32} = 0.25 \, moles$. $C_V = 2.5R$,$T = 300 \, K$. $U_C = 0.25 \times 2.5R \times 300 = 187.5R$.
$D$: $N = 6 \times 10^{26}$ अणु। $\mu = \frac{N}{N_A} = \frac{6 \times 10^{26}}{6 \times 10^{23}} = 1000 \, moles$. $C_V = 1.5R$,$T = 900 \, K$. $U_D = 1000 \times 1.5R \times 900 = 1,350,000R$.
मानों की तुलना करने पर,$U_B$ सबसे अधिक है।

(D) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए ध्वनि की गति समान है,इसलिए $v_{H_2} = v_{O_2}$ होगा।
यह मानते हुए कि दोनों गैसों के लिए $\gamma$ स्थिर है,हमें $\frac{T_{H_2}}{M_{H_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T_{H_2} = T_{O_2} \times \frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}$।
यहाँ $T_{O_2} = 100 + 273 = 373 \, K$,$M_{H_2} = 2 \, g/mol$,और $M_{O_2} = 32 \, g/mol$ है।
मान रखने पर: $T_{H_2} = 373 \times \frac{2}{32} = 373 \times \frac{1}{16} = 23.3125 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 23.3125 - 273 = -249.6875 \, ^{\circ}C \approx -249.7 \, ^{\circ}C$।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\gamma$,$R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $v \propto \sqrt{T}$ होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $T + 600$ है।
दिया गया है कि अंतिम वेग $v_2 = \sqrt{3} v_1$ है,इसलिए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$\sqrt{3} = \sqrt{\frac{T + 600}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{T + 600}{T}$ प्राप्त होता है।
$3T = T + 600$
$2T = 600 \Rightarrow T = 300 \ K$.
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए,$t(^oC) = T(K) - 273$ का उपयोग करते हैं:
$t = 300 - 273 = 27^oC$।

(B) चूंकि पात्र ऊष्मारोधी है और प्रक्रिया स्थिर तापमान पर होती है,इसलिए दी गई ऊष्मा $Q$ निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होती है।
प्रारंभिक अवस्था: $4$ मोल द्वि-परमाणुक गैस। आंतरिक ऊर्जा $U_i = 4 \times (\frac{5}{2}RT) = 10RT$.
अंतिम अवस्था: विघटन के बाद,$2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस शेष रहती है और $2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस $4$ मोल एक-परमाणुक गैस में विघटित हो जाती है। एक-परमाणुक गैस के कुल मोल = $4$। द्वि-परमाणुक गैस के कुल मोल = $2$।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f = (2 \times \frac{5}{2}RT) + (4 \times \frac{3}{2}RT) = 5RT + 6RT = 11RT$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $Q = \Delta U = U_f - U_i = 11RT - 10RT = RT$.

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए, एक आदर्श गैस का अवस्था समीकरण $PV =$ स्थिरांक होता है।
दोनों पक्षों का $P$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(dV/dP) + V = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$-(dV/dP) = V/P$
चूंकि $V = nRT/P$, इस मान को $\beta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = -(dV/dP) = (nRT/P) / P = nRT / P^2$
इस प्रकार, $\beta \propto 1/P^2$। यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय जैसा वक्र दर्शाता है जहाँ $P$ बढ़ने पर $\beta$ तेजी से घटता है। दिए गए विकल्पों में से, ग्राफ $A$ इस व्युत्क्रम संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) चूंकि निकाय विलगित है,आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन शून्य है: $\Delta E_{\text{int}} = 0$.
इसका अर्थ है: $(\Delta E_{\text{int}})_{N_2} + (\Delta E_{\text{int}})_{He} = 0$.
नाइट्रोजन ($N_2$,द्विपरमाणुक) के लिए,$C_V = \frac{5}{2}R$। हीलियम ($He$,एकपरमाणुक) के लिए,$C_V = \frac{3}{2}R$।
सूत्र $\Delta E_{\text{int}} = \mu C_V \Delta T$ का उपयोग करने पर:
$1 \times (\frac{5}{2}R)(T_f - T_o) + 1 \times (\frac{3}{2}R)(T_f - \frac{7}{3}T_o) = 0$.
$R/2$ से विभाजित करने पर:
$5(T_f - T_o) + 3(T_f - \frac{7}{3}T_o) = 0$.
$5T_f - 5T_o + 3T_f - 7T_o = 0$.
$8T_f = 12T_o$.
$T_f = \frac{12}{8}T_o = \frac{3}{2}T_o$.

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$ होता है।
नियत तापमान ($T$ स्थिर है) पर आदर्श गैस के एक निश्चित द्रव्यमान ($n$ स्थिर है) के लिए, गुणनफल $nRT$ एक स्थिरांक है।
इसलिए, $PV = \text{constant}$।
इसका अर्थ है कि आयतन $V$ में परिवर्तन के साथ $PV$ का मान नहीं बदलता है।
अतः, $PV$ बनाम $V$ का ग्राफ $V$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(C) जब गैस से भरा एक बंद पात्र $v$ वेग से गति कर रहा होता है,तो सभी गैस अणुओं में उनकी यादृच्छिक तापीय गति के साथ-साथ एक सामान्य स्थानांतरण वेग $v$ होता है।
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो गैस की थोक गति से जुड़ी स्थूल गतिज ऊर्जा,दीवारों के साथ टकराव और आंतरिक अंतःक्रियाओं के कारण गैस के अणुओं की आंतरिक ऊर्जा (यादृच्छिक गतिज ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है।
हालाँकि,अणुओं की यादृच्छिक तापीय गति पात्र की थोक गति से स्वतंत्र होती है।
इसलिए,पात्र के अचानक रुकने से गैस के अणुओं की यादृच्छिक गति अप्रभावित रहती है।

(C) एकपरमाणुक गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ का सूत्र $C_V = \frac{f}{2}R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है।
इसलिए,$C_V = \frac{3}{2}R$.
चूँकि $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,इसलिए $C_V$ एक स्थिर मान है जो तापमान $T$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,$C_V$ बनाम $T$ का ग्राफ $\frac{3}{2}R$ मान पर एक क्षैतिज सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{mRT}{M}$ से,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
आयतन के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V = (\frac{mR}{MP})T$ प्राप्त होता है।
आयतन बनाम तापमान ग्राफ की ढाल $slope = \frac{mR}{MP}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,$slope_1 = \frac{mR}{MP}$। यह रेखा $B$ के अनुरूप है।
नई स्थिति के लिए,द्रव्यमान $m' = 2m$ और दाब $P' = 2P$ है।
नई ढाल $slope_2 = \frac{m'R}{MP'} = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP}$ है।
चूँकि $slope_1 = slope_2$,इसलिए नई स्थिति भी उसी सीधी रेखा $B$ द्वारा दर्शाई जाएगी।

(D) आदर्श गैस की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto T$।
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 600 \ K$ है,इसलिए अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{600}{300} = 2$ होगा।
अतः,$E_2 = 2 \times E_1 = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \ J = 12.42 \times 10^{-21} \ J$।
$rms$ गति $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
यहाँ $V_1 = 484 \ m/s$ है,इसलिए नई गति $V_2 = V_1 \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 484 \times \sqrt{2} \approx 484 \times 1.414 = 684.37 \ m/s \approx 684 \ m/s$।
अतः,सही उत्तर $12.42 \times 10^{-21} \ J$ और $684 \ m/s$ है।

(D) त्रि-परमाणुक गैस के लिए औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{f}{2} nRT$ होता है।
यहाँ $1\,g$ गैस के लिए मोलों की संख्या $n = \frac{1}{44}$ है।
यदि हम $CO_2$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 7$ लेते हैं (जिसमें कंपन मोड शामिल हैं),तो गतिज ऊर्जा $E = \frac{7}{2} \times \frac{1}{44} RT = \frac{7}{88} RT$ होगी।
चूँकि $R = N_A k$,इसलिए $E = \frac{7}{88} NkT$ प्राप्त होता है।

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल उसके तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे $U = n C_v T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
तापमान में $dT$ परिवर्तन के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $dU = n C_v dT$ होता है।
दिए गए प्रश्न में,$U_1$ तापमान परिवर्तन $dT$ के लिए स्थिर दाब पर आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाता है,जो $dU = n C_v dT$ है।
$U_2$ इकाई तापमान परिवर्तन $(dT = 1)$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन को दर्शाता है,जो $dU = n C_v (1) = n C_v$ है।
चूंकि दोनों व्यंजक समान मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v$ पर निर्भर करते हैं,इसलिए अनुपात $U_1 : U_2$ का मान $1 : 1$ प्राप्त होता है।

(B) आदर्श गैस की कुल गतिज ऊर्जा $(TKE)$ $TKE = N \times (\frac{3}{2} k T)$ द्वारा दी जाती है,जो $NkT$ के समानुपाती होती है।
दिया गया है कि कुल गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है:
$N_1 T_1 = N_2 T_2$
चूंकि $N_1 = N$ और $N_2 = 2N$,हमारे पास है:
$N T_1 = 2N T_2 \Rightarrow T_2 = T_1/2$.
आदर्श गैस समीकरण $P = \frac{NkT}{V}$ का उपयोग करते हुए,दबाव का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{N_2 T_2}{N_1 T_1} = \frac{(2N)(T_1/2)}{N T_1} = \frac{N T_1}{N T_1} = 1$.
इसलिए,$P_2 = P_1$ और $T_2 = T_1/2$ होगा।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{M}{M_w}RT$ से,जहाँ $M$ द्रव्यमान है,$M_w$ मोलर द्रव्यमान है,और $\rho = \frac{M}{V}$ है।
अतः,$P = \frac{\rho R T}{M_w}$,जिसका अर्थ है $\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M_w}$।
चूंकि $R$ और $M_w$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{P_T}{\rho_T T_T} = \frac{P_B}{\rho_B T_B}$ होगा।
घनत्व के अनुपात के लिए सूत्र: $\frac{\rho_T}{\rho_B} = \frac{P_T}{P_B} \times \frac{T_B}{T_T}$।
दिया गया है: $P_T = 70 \ cm-Hg$,$T_T = 7 + 273 = 280 \ K$,$P_B = 76 \ cm-Hg$,$T_B = 27 + 273 = 300 \ K$।
मान रखने पर: $\frac{\rho_T}{\rho_B} = \frac{70}{76} \times \frac{300}{280} = \frac{70}{76} \times \frac{15}{14} = \frac{5 \times 15}{76} = \frac{75}{76} \approx 0.986$।

(C) चूंकि पात्र ऊष्मीय रूप से अछूते हैं,इसलिए निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है।
$U_{total} = U_1 + U_2$
$n_{total} C_v T = n_1 C_v T_1 + n_2 C_v T_2$
$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{PV}{RT}$ होता है।
$n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1}$ और $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}$ मान रखने पर:
$T = \frac{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) T_1 + (\frac{P_2 V_2}{R T_2}) T_2}{(\frac{P_1 V_1}{R T_1}) + (\frac{P_2 V_2}{R T_2})}$
$T = \frac{P_1 V_1 + P_2 V_2}{\frac{P_1 V_1}{R T_1} + \frac{P_2 V_2}{R T_2}} = \frac{(P_1 V_1 + P_2 V_2) R T_1 T_2}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$
अतः,संतुलन तापमान $T = \frac{T_1 T_2 (P_1 V_1 + P_2 V_2)}{P_1 V_1 T_2 + P_2 V_2 T_1}$ होगा।

(C) दिया गया है: परमाणु का द्रव्यमान $m = 3.32 \times 10^{-27} \, kg$,गति $v = 10^3 \, m/s$,प्रति सेकंड परमाणुओं की संख्या $n = 10^{23} \, s^{-1}$,क्षेत्रफल $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$,अभिलंब के साथ कोण $\theta = 45^{\circ}$।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,टक्कर से पहले और बाद में संवेग का परिमाण $p = mv = (3.32 \times 10^{-27}) \times (10^3) = 3.32 \times 10^{-24} \, kg \cdot m/s$ है।
दीवार के अभिलंब के अनुदिश संवेग में परिवर्तन $\Delta p = |p_{final, normal} - p_{initial, normal}| = |(-mv \cos \theta) - (mv \cos \theta)| = 2mv \cos \theta = 2p \cos 45^{\circ} = 2p \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}p$ है।
दीवार पर लगने वाला बल $F = n \times \Delta p = n \times \sqrt{2}p$ है।
दाब $P = \frac{F}{A} = \frac{n \sqrt{2} p}{A} = \frac{10^{23} \times \sqrt{2} \times 3.32 \times 10^{-24}}{2 \times 10^{-4}}$ है।
$P = \frac{1.414 \times 3.32 \times 10^{-1}}{2 \times 10^{-4}} = \frac{4.69448 \times 10^{-1}}{2 \times 10^{-4}} = 2.347 \times 10^3 \, N/m^2$।

(D) माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रत्येक बल्ब का आयतन $V$ है। प्रारंभ में, दोनों बल्ब $N.T.P.$ $(T_0 = 273 \, K)$ पर हैं।
गैस के मोलों की कुल संख्या $n = n_1 + n_2 = \frac{PV}{RT_0} + \frac{PV}{RT_0} = \frac{2PV}{RT_0}$ है।
एक बल्ब को बर्फ में $(T_1 = 273 \, K)$ और दूसरे को गर्म पानी में $(T_2 = T)$ रखने के बाद, नया दबाव $P' = 1.5P$ हो जाता है।
गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है: $n = n'_1 + n'_2$.
$\frac{2PV}{RT_0} = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$.
$P' = 1.5P$ और $T_1 = 273 \, K$ रखने पर:
$\frac{2PV}{R(273)} = \frac{1.5PV}{R(273)} + \frac{1.5PV}{RT}$.
$\frac{PV}{R}$ से भाग देने पर, हमें मिलता है: $\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$.
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$.
$T = 273 \times \frac{1.5}{0.5} = 273 \times 3 = 819 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^\circ C) = 819 - 273 = 546 \, ^\circ C$.