Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(D) आदर्श गैस के लिए,समतापीय प्रत्यास्थता दबाव $P$ के बराबर होती है। अतः,हमें अंतिम दबाव $P_2$ और प्रारंभिक दबाव $P_1$ का अनुपात ज्ञात करना होगा।
आदर्श गैस समीकरण से,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है: $V_2 = 4V_1$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$,और $T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_1}{V_2} \times \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.
अतः,प्रत्यास्थता $E_2 = \frac{1}{3} E_1$ होगी,जिसका अर्थ है कि प्रत्यास्थता मूल मान की $1/3$ गुना हो जाएगी।

(C) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस का दबाव $P$ और आयतन $V$ संबंधों $P = P_0(1 + \gamma t)$ और $V = V_0(1 + \gamma t)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $\gamma = 1/273.15\, ^\circ C^{-1}$ है।
$t = -273.15\, ^\circ C$ के लिए,हमें $P = P_0(1 + (1/273.15) \times (-273.15)) = P_0(1 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$V = V_0(1 + (1/273.15) \times (-273.15)) = V_0(1 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,परम शून्य $(0\, K)$ तापमान पर,एक आदर्श गैस का आयतन और दबाव सैद्धांतिक रूप से शून्य हो जाते हैं।

(C) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए गैस का दाब उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $P \propto T$ या $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक दाब $P_1 = P$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$
सूत्र में मान रखने पर:
$P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = P \times \frac{1200}{300}$
$P_2 = 4P$
अतः,नया दाब $4P$ होगा।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन उसके परम तापमान के समानुपाती होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^\circ C = 273 \ K$. प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$. अंतिम आयतन $V_2 = 2V$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{V}{273} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 2 \times 273 = 546 \ K$.
अंतिम तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^\circ C) = 546 - 273 = 273^\circ C$.

(B) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर, गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए, दबाव और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है, अर्थात $PV = \text{constant}$.
चूंकि इस प्रक्रिया के दौरान तापमान स्थिर रहता है, इसलिए इसे समतापीय (isothermal) परिवर्तन कहा जाता है।
अतः, विकल्प $B$ सही है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
$R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R = \frac{PV}{nT}$ प्राप्त होता है।
दाब $P$ का $S.I.$ मात्रक पास्कल ($Pa$ या $N/m^2$) है,आयतन $V$ का मात्रक $m^3$ है,$n$ का मात्रक $mol$ है और तापमान $T$ का मात्रक $K$ है।
इन मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{(N/m^2) \cdot m^3}{mol \cdot K} = \frac{N \cdot m}{mol \cdot K} = \frac{J}{mol \cdot K}$.
अतः,सार्वत्रिक गैस नियतांक का $S.I.$ मात्रक $J\,mol^{-1}\,K^{-1}$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर किसी गैस का आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$.
इसलिए,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$.
अंतिम आयतन $V_2 = 3V$.
मान रखने पर: $\frac{V}{300} = \frac{3V}{T_2}$.
$T_2 = 300 \times 3 = 900 \ K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए: $t(^{\circ}C) = T(K) - 273$.
$t = 900 - 273 = 627^{\circ}C$.

(C) दिया गया है कि $27^{\circ}C = 300 \ K$ तापमान पर गैस का घनत्व $(d_1)$ $24$ है।
हमें $127^{\circ}C = 400 \ K$ तापमान पर घनत्व $(d_2)$ ज्ञात करना है,जबकि दाब $(P)$ स्थिर है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ से,हम लिख सकते हैं $P = (m/V)(RT/M) = d(RT/M)$।
अतः,$d = \frac{PM}{RT}$।
चूंकि दाब $(P)$ और मोलर द्रव्यमान $(M)$ स्थिर हैं,इसलिए $d \propto \frac{1}{T}$।
अतः,$\frac{d_1}{d_2} = \frac{T_2}{T_1}$।
मान रखने पर: $\frac{24}{d_2} = \frac{400}{300}$।
$d_2 = \frac{24 \times 300}{400} = 18$।
इस प्रकार,$127^{\circ}C$ पर घनत्व $18$ होगा। सही विकल्प $(c)$ है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन उसके परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है: $V \propto T$.
इसका अर्थ है: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$V_1 = 200\, ml$
$T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293\, K$
$T_2 = -20^{\circ}C = -20 + 273 = 253\, K$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{200}{293} = \frac{V_2}{253}$
$V_2 = \frac{200 \times 253}{293}$
$V_2 = \frac{50600}{293} \approx 172.69\, ml$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,आयतन $172.6\, ml$ होगा।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = \mu RT$ होता है।
परम शून्य तापमान पर,$T = 0 \ K$ होता है।
समीकरण में $T = 0$ रखने पर,हमें $PV = \mu R(0) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि गैस का आयतन $V$ शून्य नहीं हो सकता,इसलिए दाब $P$ शून्य होना चाहिए।

(D) वह तापमान जिस पर एक वास्तविक गैस दबाव की एक सराहनीय सीमा पर आदर्श गैस नियम का पालन करती है,उसे बॉयल तापमान कहा जाता है।
आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$ होता है।
वास्तविक गैसें अपने क्रांतिक तापमान से काफी ऊपर के उच्च तापमान पर आदर्श गैसों की तरह व्यवहार करती हैं।
दिए गए विकल्पों में से,हीलियम $(He)$ एक उत्कृष्ट गैस है जिसका क्रांतिक तापमान बहुत कम होता है और इसमें अंतर-आणविक बल बहुत कमजोर होते हैं,जिससे यह $CO_2$ या $O_3$ जैसे जटिल अणुओं की तुलना में तापमान की बहुत व्यापक सीमा में आदर्श गैस के रूप में व्यवहार कर सकती है।
इसलिए,$He$ तापमान की अधिकतम सीमा के लिए बॉयल के नियम का पालन करती है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(B) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, दबाव और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है $(PV = \text{constant})$.
जब आप गुब्बारे में हवा भरते हैं, तो आप गुब्बारे में हवा के और अधिक अणु जोड़ रहे होते हैं। इसलिए, गैस के मोलों की संख्या $(n)$ स्थिर नहीं रहती है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = nRT$.
चूंकि तापमान $(T)$ स्थिर है और जैसे-जैसे आप गुब्बारे में हवा भरते हैं, मोलों की संख्या $(n)$ बढ़ती है, इसलिए $PV$ का गुणनफल बढ़ना चाहिए $(PV \propto n)$.
चूंकि गुब्बारे के अंदर हवा का द्रव्यमान (और इसलिए मोलों की संख्या) स्थिर नहीं रहता है, इसलिए बॉयल का नियम लागू नहीं होता है।

(A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, दबाव आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है ($P \propto 1/V$ या $PV = \text{स्थिरांक}$)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,
यदि $PV$ को स्थिर रहना है, तो मोलों की संख्या $(n)$ स्थिर रहनी चाहिए (निश्चित द्रव्यमान) और तापमान $(T)$ भी स्थिर रहना चाहिए।
इसके अतिरिक्त, बॉयल का नियम आदर्श गैसों पर ही लागू होता है।
इसलिए, सही शर्त यह है कि गैस आदर्श होनी चाहिए और उसका द्रव्यमान तथा तापमान स्थिर होना चाहिए।
अतः, विकल्प $(A)$ सही है।

(A) एक बंद पात्र में गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$.
माना प्रारंभिक दबाव $P_1$ और प्रारंभिक तापमान $T_1$ (केल्विन में) है।
जब तापमान $1\,^{\circ}C$ बढ़ाया जाता है,तो नया तापमान $T_2 = T_1 + 1$ हो जाता है।
दबाव में $0.4\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया दबाव $P_2 = P_1 + 0.004 P_1 = 1.004 P_1$ है।
संबंध $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{P_1}{T_1} = \frac{1.004 P_1}{T_1 + 1}$
$T_1 + 1 = 1.004 T_1$
$1 = 1.004 T_1 - T_1$
$1 = 0.004 T_1$
$T_1 = \frac{1}{0.004} = 250\, K$.

(A) आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
गैस की निश्चित मात्रा ($n$ स्थिर है) और निश्चित आयतन ($V = 1 \, cm^3$ दोनों मामलों में) के लिए,दबाव और तापमान के बीच का संबंध $P \propto T$ है।
मान लीजिए कि समुद्र तल पर प्रारंभिक दबाव $P_0$ है और प्रारंभिक तापमान $T_0$ है।
दी गई ऊंचाई पर,दबाव $P = P_0/3$ है।
संबंध $\frac{P_0}{T_0} = \frac{P}{T}$ का उपयोग करते हुए,हम $P = P_0/3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{P_0}{T_0} = \frac{P_0/3}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = T_0/3$ प्राप्त होता है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,अचर दाब पर आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,आयतन परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है: $V \propto T$.
इसका अर्थ है: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
दिया गया है: $V_1 = V$,$V_2 = 2V$,और $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
मान रखने पर: $\frac{V}{2V} = \frac{300}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
डिग्री सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(A) एवोगैड्रो के नियम के अनुसार,समान तापमान और दबाव पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
चूंकि क्लोरीन $(Cl_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ दोनों $NTP$ (सामान्य तापमान और दबाव) पर लिए गए हैं और उनके आयतन समान हैं,इसलिए उनमें अणुओं की संख्या भी समान होगी।
अतः,अणुओं की संख्या का अनुपात $1:1$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$ होता है।
दिया गया है:
$N.T.P.$ पर प्रारंभिक दाब,$P_{1} = 76 \ cm$ $Hg$.
प्रारंभिक आयतन,$V_{1} = 5 \ L$.
अंतिम आयतन,$V_{2} = 5 \ L + 30 \ L = 35 \ L$.
सूत्र का उपयोग करने पर:
$76 \times 5 = P_{2} \times 35$
$P_{2} = \frac{76 \times 5}{35}$
$P_{2} = \frac{76}{7} \approx 10.857 \ cm$ $Hg$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,परिणामी दाब $10.86 \ cm$ $Hg$ प्राप्त होता है। निकटतम विकल्प $10.85 \ cm$ $Hg$ है।

(A) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
नियत दाब ($P$ स्थिर) पर और गैस की निश्चित मात्रा के लिए ($n$ स्थिर),आयतन $(V)$ और तापमान $(T)$ के बीच का संबंध चार्ल्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V \propto T$।
यदि आयतन $V$ बढ़कर $4V$ हो जाता है,तो समानता बनाए रखने के लिए तापमान $T$ को भी बढ़कर $4T$ होना चाहिए।
इसलिए,नियत दाब पर तापमान को $4$ गुना बढ़ना चाहिए।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) यह संबंध $P = K\rho$ द्वारा दिया गया है।
आदर्श गैस नियम से,हम जानते हैं कि $PV = nRT = \frac{m}{M_0} RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M_0$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{\rho RT}{M_0}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $P = K\rho$ से करने पर,हम पाते हैं कि $K = \frac{RT}{M_0}$ है।
चूंकि $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $M_0$ गैस का मोलर द्रव्यमान है,$K$ तभी स्थिर रहता है जब तापमान $T$ को स्थिर रखा जाए।
इसलिए,बॉयल का नियम केवल तभी सत्य होता है जब तापमान स्थिर हो।

(C) गैसों का अणुगति सिद्धांत बताता है कि गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है।
अणुगति सिद्धांत से,दबाव $P$ और आयतन $V$ का संबंध इस प्रकार है: $PV = \frac{1}{3} m n v_{\text{rms}}^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2} m n v_{\text{rms}}^2) = \frac{2}{3} E_k$,जहाँ $E_k$ कुल गतिज ऊर्जा है।
बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर औसत $KE$ स्थिर रहता है। इसलिए,$v_{\text{rms}}$ अपरिवर्तित रहता है। यदि आयतन बढ़ता है,तो गैस का दबाव इस प्रकार घटता है कि $PV = \text{स्थिरांक}$ बना रहे।
चार्ल्स का नियम बताता है कि यदि हम स्थिर दबाव बनाए रखने के लिए आयतन को बदलने की अनुमति दें,तो तापमान बढ़ने के साथ आयतन बढ़ेगा,अर्थात $V = KT$।
चूंकि गैसों का अणुगति सिद्धांत दोनों नियमों को व्युत्पन्न करता है,इसलिए विकल्प $(C)$ सही है।

(D) नियत आयतन पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए गे-लुसाक के नियम के अनुसार,दबाव $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 760 \, mm$,तापमान $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \, K$।
अंतिम तापमान $T_2 = 100^{\circ}C = 373 \, K$।
संबंध $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करते हुए:
$P_2 = P_1 \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = 760 \times \frac{373}{273}$
$P_2 \approx 1038 \, mm$।
चूंकि $1038 \, mm$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$।
इसका अर्थ है: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^\circ C = 327 + 273 = 600 \ K$।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$।
मान रखने पर:
$\frac{V}{V_2} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$।
अतः,अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ होगा।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर गैस का आयतन $V$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$।
मान लीजिए $T_1 = 20^\circ C = 293 \ K$ पर मोलों की संख्या $n_1$ है और $T_2 = 40^\circ C = 313 \ K$ पर मोलों की संख्या $n_2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जब आयतन और दबाव स्थिर रहते हैं,तो $n \propto 1/T$ संबंध प्राप्त होता है।
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{293}{313}$।
बाहर निकलने वाली गैस का अंश $\frac{n_1 - n_2}{n_1} = 1 - \frac{n_2}{n_1} = 1 - \frac{293}{313}$ है।
$\frac{\Delta n}{n_1} = \frac{313 - 293}{313} = \frac{20}{313} \approx 0.0639$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,यह अंश लगभग $0.07$ है।

(D) दिया गया है: तापमान $T$ नियत है। दाब $5\%$ बढ़ता है,इसलिए $P_2 = 1.05 P_1$ है।
बॉयल के नियम के अनुसार,नियत तापमान पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
मान रखने पर: $P_1 V_1 = (1.05 P_1) V_2$।
$V_2$ के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.95238 V_1$।
आयतन में कमी $\Delta V = V_1 - V_2 = V_1 - 0.95238 V_1 = 0.04762 V_1$ है।
आयतन में प्रतिशत कमी $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = 0.04762 \times 100 = 4.76 \%$ है।

(A) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस की निश्चित मात्रा के लिए,दबाव और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है।
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 70 \ cm$ $Hg$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1200 \ ml$
अंतिम दबाव $P_2 = 120 \ cm$ $Hg$
अंतिम आयतन $V_2 = ?$
समीकरण में मान रखने पर:
$70 \times 1200 = 120 \times V_2$
$V_2 = \frac{70 \times 1200}{120}$
$V_2 = 70 \times 10 = 700 \ ml$
अतः,गैस का नया आयतन $700 \ ml$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ गैस के मोलों की संख्या है।
दिए गए समीकरण $PV = RT$ में,हम देख सकते हैं कि $n = 1$ है।
इसलिए,आयतन $V$,$1$ ग्राम मोल आदर्श गैस का आयतन दर्शाता है।
सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है: $O_2$ का द्रव्यमान $(m_1)$ = $1 \, g$,$O_2$ का आणविक भार $(M_1)$ = $32 \, g/mol$,$O_2$ का तापमान $(T_1)$ = $15 + 273 = 288 \, K$.
$N_2$ का द्रव्यमान $(m_2)$ = $1 \, g$,$N_2$ का आणविक भार $(M_2)$ = $28 \, g/mol$,$N_2$ का तापमान $(T_2)$ = $x \, K$.
चूंकि गैसें एक ही बोतल में हैं,आयतन $(V)$ स्थिर है। समान दबाव $(P)$ के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से $n_1 T_1 = n_2 T_2$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$n = \frac{m}{M}$ है,इसलिए $\frac{m_1}{M_1} T_1 = \frac{m_2}{M_2} T_2$.
मान रखने पर: $\left(\frac{1}{32}\right) \times 288 = \left(\frac{1}{28}\right) \times T_2$.
$T_2 = \frac{28}{32} \times 288 = 252 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 252 - 273 = -21^{\circ}C$.

(A) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$.
चूंकि गैस की मात्रा $(n)$ और गैस नियतांक $(R)$ स्थिर रहते हैं, हमारे पास संबंध $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ है।
दिया गया है: $P_1 = 0.1 \, \text{atm}$, $V_1 = 10 \, \text{litres}$, $T_1 = 100 \, K$.
नई स्थितियाँ: $P_2 = 2P_1$ और $V_2 = 2V_1$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(2P_1)(2V_1)}{T_2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{T_1} = \frac{4}{T_2}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $T_2 = 4T_1$.
अतः, $T_2 = 4 \times 100 \, K = 400 \, K$.

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{PV}{T} = nR$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $n$ मोलों की संख्या है।
यदि गैस का द्रव्यमान नियत है,तो मोलों की संख्या $n$ स्थिर रहती है।
चूंकि $n$ और $R$ दोनों नियतांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(nR)$ भी एक नियतांक होगा।
अतः,समीकरण $\frac{PV}{T} = \text{स्थिरांक}$ एक आदर्श गैस के नियत द्रव्यमान के लिए किसी भी प्रकार की ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान सत्य है।
सही विकल्प $D$ है।

(A) $NTP$ (सामान्य तापमान और दबाव) पर,मानक स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
दबाव $P = 1.013 \times 10^5 \; Pa$
तापमान $T = 273.15 \; K$
आयतन $V = 1 \; L = 10^{-3} \; m^3$
द्रव्यमान $m = 1.293 \; g = 1.293 \times 10^{-3} \; kg$
आदर्श गैस समीकरण $PV = m R_{specific} T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R_{specific}$ विशिष्ट गैस नियतांक है:
$R_{specific} = \frac{PV}{mT}$
$R_{specific} = \frac{(1.013 \times 10^5 \; Pa) \times (10^{-3} \; m^3)}{(1.293 \times 10^{-3} \; kg) \times (273.15 \; K)}$
$R_{specific} \approx \frac{101.3}{0.3531} \approx 287 \; J/(kg \cdot K)$
चूंकि प्रश्न में $J/(K \cdot g)$ इकाई पूछी गई है,हम $kg$ को $g$ में बदलते हैं:
$R_{specific} = \frac{287 \; J}{1000 \; g \cdot K} = 0.287 \; J/(K \cdot g) \approx 0.29 \; J/(K \cdot g)$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $V = \frac{m}{\rho}$,हमें $P = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{स्थिरांक}$।
अतः,$\frac{P_1}{\rho_1 T_1} = \frac{P_2}{\rho_2 T_2}$।
दिया गया है:
स्थिति $1$ पर: $T_1 = 21^{\circ}C = 294.15 \,K$,$P_1 = 768 \,mm \,Hg$,$V_1 = 1 \,L$।
स्थिति $2$ $(NTP)$ पर: $T_2 = 273.15 \,K$,$P_2 = 760 \,mm \,Hg$,$\rho_2 = 1.2 \,g/L$।
संबंध $\rho_1 = \rho_2 \times \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$\rho_1 = 1.2 \times \frac{768}{760} \times \frac{273.15}{294.15} \approx 1.13 \,g/L$।
चूंकि $V_1 = 1 \,L$,द्रव्यमान $m = \rho_1 \times V_1 = 1.13 \,g/L \times 1 \,L = 1.13 \,g$।

(A) $1$ ग्राम मोल गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का मान लगभग $8.314 \; J/(mol \cdot K)$ होता है।
इस मान को कैलोरी में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \; cal \approx 4.184 \; J$ का उपयोग करते हैं (भौतिकी के प्रश्नों में इसे अक्सर $4.2 \; J$ या $4.18 \; J$ के रूप में लिया जाता है)।
$R = \frac{8.314 \; J/K}{4.184 \; J/cal} \approx 1.987 \; cal/(mol \cdot K)$।
इस मान को निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $R \approx 2 \; cal/(mol \cdot K)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) बोल्ट्ज़मैन नियतांक के संदर्भ में आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = NkT$,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है।
$N = \frac{PV}{kT}$
दिया गया है:
$P = 1.64 \times 10^{-3} \text{ atm} = 1.64 \times 10^{-3} \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.66 \times 10^2 \text{ Pa}$
$V = 1 \text{ cc} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^3$
$T = 200 \text{ K}$
$k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$
मान रखने पर:
$N = \frac{(1.64 \times 10^{-3} \times 1.013 \times 10^5) \times (10^{-6})}{1.38 \times 10^{-23} \times 200}$
$N = \frac{166.132 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}{276 \times 10^{-21}}$
$N = \frac{0.166132}{276 \times 10^{-21}} \approx 6.02 \times 10^{16}$

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
पात्र $A$ के लिए: $P_A = P$,$V_A = V$,$T_A = T$. अतः,$N_A = \frac{PV}{kT}$.
पात्र $B$ के लिए: $P_B = 2P$,$V_B = V/4$,$T_B = 2T$. अतः,$N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k(2T)} = \frac{PV/2}{2kT} = \frac{PV}{4kT}$.
अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/kT}{PV/4kT} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ होता है।
जब तापमान $T$ को स्थिर रखा जाता है,तो $PV$ का गुणनफल $nRT$ के बराबर होता है।
चूंकि $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ स्थिर है,इसलिए $nRT$ का गुणनफल स्थिर रहता है,जिसे $C$ के रूप में दर्शाया गया है।
अतः,$C = nRT$।
यहाँ,$n$ गैस के मोलों की संख्या को दर्शाता है,जो कि बंद गैस की मात्रा है।
इस प्रकार,$C$ का परिमाण बंद गैस की मात्रा पर निर्भर करता है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए दाब और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है: $P_1V_1 = P_2V_2$.
दिया गया है:
प्रारंभिक दाब $P_1 = 1\, atm$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 10\, cc$
अंतिम दाब $P_2 = 4\, atm$
अंतिम आयतन $V_2 = ?$
समीकरण में मान रखने पर:
$1\, atm \times 10\, cc = 4\, atm \times V_2$
$V_2 = \frac{10}{4}\, cc$
$V_2 = 2.5\, cc$.

(D) बोल्ट्जमैन नियतांक के पदों में आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है।
हम जानते हैं कि अणुओं की कुल संख्या $N = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक अणु का द्रव्यमान}} = \frac{M}{m}$ होती है।
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर: $PV = \left( \frac{M}{m} \right) kT.$
घनत्व $\rho = \frac{M}{V}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$P = \left( \frac{M}{V} \right) \frac{kT}{m} = \rho \frac{kT}{m}.$
अतः,घनत्व के लिए व्यंजक $\rho = \frac{Pm}{kT}$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
चूंकि गैस की दी गई मात्रा के लिए $\mu$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमारे पास $PV \propto T$ है।
अतः,दाब और आयतन का गुणनफल गैस के परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है।

(C) संयुक्त गैस नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दी गई स्थितियाँ: $P_1 = 1 \ atm$,$V_1 = 500 \ m^3$,और $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम स्थितियाँ: $P_2 = 0.5 \ atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \ K$,और हमें $V_2$ ज्ञात करना है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1 \times 500}{300} = \frac{0.5 \times V_2}{270}$.
$V_2$ के लिए हल करने पर: $V_2 = \frac{500 \times 270}{300 \times 0.5} = \frac{500 \times 270}{150} = 500 \times 1.8 = 900 \ m^3$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए आयतन $V$ नियत है। $R$ भी एक नियतांक है।
अतः,$P \propto \mu T$.
प्रथम पात्र के लिए ($O_2$ युक्त): $P_1 = P$,$\mu_1 = 1$,$T_1 = T$.
द्वितीय पात्र के लिए ($He$ युक्त): $P_2 = ?$,$\mu_2 = 1$,$T_2 = 2T$.
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{\mu_2 T_2}{\mu_1 T_1}$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P} = \frac{1 \times 2T}{1 \times T} = 2$.
इस प्रकार,$P_2 = 2P$.

(B) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = \mu RT$.
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है,इसलिए $PV \propto \mu$,जिसका अर्थ है $\frac{P_1 V_1}{\mu_1} = \frac{P_2 V_2}{\mu_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 50\, mm$,$V_1 = 100\, ml$,$\mu_1 = 1\, mole$.
$P_2 = 100\, mm$,$\mu_2 = 2\, moles$,$V_2 = ?$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{50 \times 100}{1} = \frac{100 \times V_2}{2}$.
$5000 = 50 \times V_2$.
$V_2 = \frac{5000}{50} = 100\, ml$.

(A) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
दिया गया है:
$P_1 = 76 \ cm \ of \ Hg$,$V_1 = 1 \ L$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$P_2 = 2 P_1 = 152 \ cm \ of \ Hg$,$V_2 = 2 V_1 = 2 \ L$
मान रखने पर:
$\frac{76 \times 1}{300} = \frac{152 \times 2}{T_2}$
$T_2$ के लिए हल करने पर:
$T_2 = \frac{152 \times 2 \times 300}{76} = 2 \times 2 \times 300 = 1200 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^\circ C) = 1200 - 273 = 927^\circ C$

(A) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है: $m = 2.2 \, g$,$M = 44 \, g/mol$,$T = 0^\circ C = 273 \, K$,$P = 2 \, atm$.
गैस नियतांक $R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{nRT}{P} = \left( \frac{2.2}{44} \right) \times \frac{0.0821 \times 273}{2}$.
$V = 0.05 \times \frac{22.4133}{2}$.
$V = 0.05 \times 11.2066 = 0.56033 \, L$.
अतः,आयतन लगभग $0.56 \, L$ है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 30 \ atm$.
अंतिम दबाव $P_2 = 1 \ atm$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$.
अंतिम आयतन $V_2 = 10V$.
आदर्श गैस समीकरण $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$T_2 = \frac{P_2 V_2}{P_1 V_1} \times T_1$
$T_2 = \frac{1 \ atm \times 10V}{30 \ atm \times V} \times 300 \ K$
$T_2 = \frac{1}{3} \times 300 \ K = 100 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^\circ C) = 100 - 273 = -173^\circ C$.

(C) मान लीजिए प्रारंभिक आयतन $V_{i}$ है और प्रारंभिक तापमान $T_{i}$ है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,प्रारंभिक दबाव $P_{i} = \frac{n R T_{i}}{V_{i}}$ है।
दिया गया है कि अंतिम आयतन $V_{f} = 2 V_{i}$ और अंतिम तापमान $T_{f} = \frac{T_{i}}{2}$ है।
अंतिम दबाव $P_{f} = \frac{n R T_{f}}{V_{f}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P_{f} = \frac{n R (T_{i} / 2)}{2 V_{i}} = \frac{1}{4} \left( \frac{n R T_{i}}{V_{i}} \right)$.
अतः,$P_{f} = \frac{1}{4} P_{i} = 0.25 P_{i}$।
इस प्रकार,दबाव प्रारंभिक दबाव का $0.25$ गुना हो जाता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण के संयुक्त रूप का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिए गए मान:
$P_1 = 4 \, atm$,$V_1 = 1500 \, m^3$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$.
$P_2 = 2 \, atm$,$T_2 = -3 + 273 = 270 \, K$.
$V_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{T_1 P_2}$.
मान रखने पर:
$V_2 = \frac{4 \times 1500 \times 270}{300 \times 2}$.
$V_2 = \frac{6000 \times 270}{600} = 10 \times 270 = 2700 \, m^3$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
इसे $n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $n = \frac{PV}{RT}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P$ दाब है,$V$ आयतन है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम ताप है।
प्रत्येक पद के $SI$ मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n = \frac{(\text{Pa}) \cdot (\text{m}^3)}{(\text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \cdot (\text{K})}$
चूंकि $1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2$ और $1 \text{ J} = 1 \text{ N} \cdot \text{m}$,मात्रक इस प्रकार सरल हो जाते हैं:
$n = \frac{(\text{N/m}^2) \cdot (\text{m}^3)}{\text{J/mol}} = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{J/mol}} = \frac{\text{J}}{\text{J/mol}} = \text{mol}$.
अतः,$n$ गैस के मोलों की संख्या को दर्शाता है।
सही विकल्प $D$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
प्रारंभिक स्थितियाँ: $P_1 = P$,$V_1 = V$,$T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 K$.
अंतिम स्थितियाँ: $P_2 = 2P$,$V_2 = 3V$.
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{P \times V}{300} = \frac{(2P) \times (3V)}{T_2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{300} = \frac{6}{T_2}$.
$T_2 = 6 \times 300 = 1800 K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T(^oC) = T(K) - 273 = 1800 - 273 = 1527^oC$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
मोलों की संख्या $n$ की गणना $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}}$ सूत्र द्वारा की जाती है।
यहाँ $O_2$ का द्रव्यमान $8 \, g$ है और $O_2$ का मोलर द्रव्यमान $32 \, g/mol$ है।
इसलिए,$n = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \, mol$.
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर:
$PV = \left( \frac{1}{4} \right) RT$
$PV = \frac{RT}{4}$