Speed (velocity) of Gas (rms, mean and Most probable speed) Questions in Hindi

(B) $rms$ वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_w}}$ है।
$H_2$ के लिए दिया गया है: $T_1 = 27 + 273 = 300\, K$,$M_{w1} = 2\, g/mol$,$V_{rms1} = 100\, m/s$.
$O_2$ के लिए दिया गया है: $T_2 = 327 + 273 = 600\, K$,$M_{w2} = 32\, g/mol$.
अनुपात लेने पर: $\frac{V_{rms2}}{V_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1} \times \frac{M_{w1}}{M_{w2}}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_{rms2}}{100} = \sqrt{\frac{600}{300} \times \frac{2}{32}} = \sqrt{2 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$V_{rms2} = 100 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}}\, m/s$.

(D) चाल के लिए व्यंजक इस प्रकार हैं:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx \sqrt{\frac{2.55kT}{m}}$
$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$
इनकी तुलना करने पर,हमें $v_p < \bar{v} < v_{rms}$ प्राप्त होता है।
अणु की औसत गतिज ऊर्जा के लिए:
$E_k = \frac{1}{2} m v_{rms}^2 = \frac{1}{2} m \left( \sqrt{\frac{3kT}{m}} \right)^2 = \frac{3}{2} kT$.
चूंकि $v_p^2 = \frac{2kT}{m}$,इसलिए $kT = \frac{1}{2} m v_p^2$ होता है।
इस मान को $E_k$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E_k = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} m v_p^2 \right) = \frac{3}{4} m v_p^2$.

(D) गैस का $rms$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
$rms$ वेगों के समान होने के लिए, $\sqrt{\frac{3RT_{N_2}}{M_{N_2}}} = \sqrt{\frac{3RT_{O_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
यह सरल होकर $\frac{T_{N_2}}{M_{N_2}} = \frac{T_{O_2}}{M_{O_2}}$ हो जाता है।
दिया गया है $T_{O_2} = 127 + 273 = 400 \, K$, $M_{O_2} = 32 \, g/mol$, और $M_{N_2} = 28 \, g/mol$।
मान रखने पर: $\frac{T_{N_2}}{28} = \frac{400}{32}$।
$T_{N_2} = \frac{400 \times 28}{32} = 12.5 \times 28 = 350 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^\circ C) = 350 - 273 = 77 ^\circ C$।

(D) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(c_{rms})$ सूत्र $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $NTP$ पर दोनों गैसों के लिए तापमान $(T)$ समान है,इसलिए $c_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,वेगों का अनुपात इस प्रकार होगा: $\frac{(c_{rms})_{H_2}}{(c_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}}$.
दिया गया है: $(c_{rms})_{H_2} = 1.84 \, km/s$,$M_{H_2} = 2$,और $M_{O_2} = 32$।
मान रखने पर: $\frac{1.84}{(c_{rms})_{O_2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$.
इस प्रकार,$(c_{rms})_{O_2} = \frac{1.84}{4} = 0.46 \, km/s$।

(D) रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{rms})$ $\sqrt{3RT/M}$ द्वारा दी जाती है,और सबसे संभावित गति $(v_{mp})$ $\sqrt{2RT/M}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\sqrt{3} \neq \sqrt{2}$,ये गतियां समान नहीं हैं। अतः,अभिकथन गलत है।
आणविक गति के लिए मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण वक्र दाईं ओर झुका हुआ (असममित) होता है,जिसका अर्थ है कि इसकी उच्च गति की ओर एक लंबी पूंछ होती है। इसलिए,वितरण सममित नहीं है। अतः,कारण भी गलत है।

(A) एक निश्चित तापमान पर,औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle$ स्थिर रहती है। अतः,औसत चाल $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ होती है।
$U^{235}$ युक्त $UF_6$ का मोलर द्रव्यमान $M_1 = 235 + 6 \times 19 = 235 + 114 = 349 \text{ इकाई}$ है।
$U^{238}$ युक्त $UF_6$ का मोलर द्रव्यमान $M_2 = 238 + 6 \times 19 = 238 + 114 = 352 \text{ इकाई}$ है।
चूंकि $M_1 < M_2$,इसलिए $U^{235}$ युक्त $UF_6$ गैस की औसत चाल अधिक होगी।
चाल का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{352}{349}} \approx \sqrt{1.008596} \approx 1.004288$ है।
प्रतिशत अंतर $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = (1.004288 - 1) \times 100 \approx 0.43 \%$ है।

(B) गैस के अणु की रूट मीन स्क्वायर (rms) गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
हीलियम का तापमान $T_{He} = -20^{\circ}C = 253 \; K$ दिया गया है।
आर्गन का परमाणु द्रव्यमान $M_{Ar} = 39.9 \; u$ और हीलियम का परमाणु द्रव्यमान $M_{He} = 4.0 \; u$ है।
हमें दिया गया है कि $(v_{rms})_{Ar} = (v_{rms})_{He}$।
अतः,$\sqrt{\frac{3RT_{Ar}}{M_{Ar}}} = \sqrt{\frac{3RT_{He}}{M_{He}}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,$\frac{T_{Ar}}{M_{Ar}} = \frac{T_{He}}{M_{He}}$ प्राप्त होता है।
$T_{Ar}$ के लिए हल करने पर,$T_{Ar} = T_{He} \times \frac{M_{Ar}}{M_{He}}$।
मान रखने पर: $T_{Ar} = 253 \times \frac{39.9}{4.0}$।
$T_{Ar} = 253 \times 9.975 = 2523.675 \; K$।
अतः,$T_{Ar} \approx 2.52 \times 10^{3} \; K$ होगा।

(N/A) आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा को इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\langle \frac{1}{2} m v^{2} \rangle = \frac{3}{2} k_{B} T$।
यहाँ,$k_{B}$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,$T$ परम ताप है,$m$ अणु का द्रव्यमान है और $v$ गैस के अणु की चाल है।
यदि $T = 0$ है,तो $\langle \frac{1}{2} m v^{2} \rangle = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\langle v^{2} \rangle = 0$,और परिणामस्वरूप वर्ग-माध्य-मूल चाल $v_{rms} = \sqrt{\langle v^{2} \rangle} = 0$ हो जाती है।
अतः,परम ताप वह ताप है जिस पर गैस के अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ शून्य हो जाती है।
संबंध $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P$ दाब है और $\rho$ घनत्व है,हम देख सकते हैं कि $T = 0$ पर दाब $P$ भी शून्य हो जाता है।

(N/A) $rms$ (रूट मीन स्क्वायर) मान को मानों के वर्गों के माध्य का वर्गमूल कहा जाता है।
$v_{rms}$ गैस के अणुओं की चाल के वर्गों के माध्य का वर्गमूल है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का दाब $P$ इस प्रकार दिया जाता है:
$P = \frac{1}{3} \rho \langle v^2 \rangle$
जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है और $\langle v^2 \rangle$ माध्य वर्ग चाल है।
$\langle v^2 \rangle$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\langle v^2 \rangle = \frac{3P}{\rho}$
चूंकि $v_{rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$,इसलिए $\langle v^2 \rangle$ का मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$

(N/A) आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} k_{B} T$
जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$k_{B}$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
माध्य वर्ग वेग $\langle v^{2} \rangle$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\langle v^{2} \rangle = \frac{3 k_{B} T}{m}$
रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{rms}$ को माध्य वर्ग वेग के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$v_{rms} = \sqrt{\langle v^{2} \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि दिए गए तापमान $T$ के लिए:
$v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$
अतः,स्थिर तापमान पर,भारी अणुओं की तुलना में हल्के अणुओं की रूट मीन स्क्वायर गति अधिक होती है।

(N/A) एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} k_{B} T$
यहाँ,$m$ एक अणु का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
हम जानते हैं कि बोल्ट्जमैन नियतांक $k_{B} = \frac{R}{N_{A}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है।
समीकरण में $k_{B}$ का मान रखने पर:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} (\frac{R}{N_{A}}) T$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$m = \frac{3 R T}{N_{A}}$
चूंकि मोलर द्रव्यमान $M_{0} = m \times N_{A}$ होता है,हम $m = \frac{M_{0}}{N_{A}}$ लिख सकते हैं। यह मान रखने पर:
$(\frac{M_{0}}{N_{A}}) = \frac{3 R T}{N_{A}}$
दोनों पक्षों से $N_{A}$ को हटाने पर:
$M_{0} = 3 R T$
$ = \frac{3 R T}{M_{0}}$
परिभाषा के अनुसार,वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{}$ होता है।
अतः,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{0}}}$।

(A) आदर्श गैस की रूट मीन स्क्वायर चाल $(v_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T = 300 \ K$ तापमान है,और $M$ नाइट्रोजन $(N_2)$ का मोलर द्रव्यमान है।
नाइट्रोजन गैस $(N_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol = 28 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{28 \times 10^{-3}}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{7482.6}{0.028}}$
$v_{rms} = \sqrt{267235.7}$
$v_{rms} \approx 516.95 \ m/s$
निकटतम पूर्णांक में,$v_{rms} \approx 517 \ m/s$।

(N/A) $v_{rms}$ गैस के अणुओं की 'रूट मीन स्क्वायर' (वर्ग माध्य मूल) चाल को दर्शाता है। इसे गैस के व्यक्तिगत अणुओं की चाल के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(1)$ घनत्व $(\rho)$ और दाब $(P)$ के पदों में: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$
$(2)$ अणु के द्रव्यमान $(m)$ के पदों में: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
$(3)$ मोलर द्रव्यमान $(M)$ के पदों में: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
कमरे के तापमान $(T \approx 300 \ K)$ पर हवा के लिए,मोलर द्रव्यमान $(M)$ लगभग $29 \times 10^{-3} \ kg/mol$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{29 \times 10^{-3}}} \approx 460 \ m/s$ प्राप्त होता है।
यह मान $10^2 \ m/s$ से $10^3 \ m/s$ के क्रम का है,लेकिन सामान्यतः नाइट्रोजन या ऑक्सीजन जैसी गैसों के लिए मानक स्थितियों में यह लगभग $500 \ m/s$ होता है,जो $10^2 \ m/s$ के क्रम में आता है।
अतः,सही क्रम $10^2 \ m/s$ है।

(C) गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ और वाष्प घनत्व $\rho \propto M$ होता है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$ होगा।
दिया गया वाष्प घनत्व का अनुपात $\rho_1 : \rho_2 = 6 : 9$ है।
अतः,उनके $v_{rms}$ का अनुपात $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
इस प्रकार,अनुपात $\sqrt{3} : \sqrt{2}$ है।

(NO CHANGE) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ या $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है,और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
चूंकि $v_{rms}$ केवल गैस के तापमान और अणुओं के द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए यह अणुओं की संख्या या गैस के दबाव/आयतन से स्वतंत्र है।
अतः,$v_{rms}$ में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

(N/A) गैस के अणुओं की $rms$ चाल इस प्रकार है:
$c = \sqrt{\frac{3P}{\rho}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$
(जहाँ $M_0$ गैस का मोलर द्रव्यमान है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है)।
गैस में ध्वनि की चाल इस प्रकार है:
$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M_0}} \quad ... (1)$
(जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक या विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात है)।
$c$ और $v$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{c}{v} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M_0}}}{\sqrt{\frac{\gamma RT}{M_0}}} = \sqrt{\frac{3}{\gamma}}$
सभी द्वि-परमाणुक गैसों के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5} = 1.4$ होता है।
यह मान रखने पर:
$\frac{c}{v} = \sqrt{\frac{3}{7/5}} = \sqrt{\frac{15}{7}}$
चूंकि $\sqrt{\frac{15}{7}}$ एक स्थिर मान है और इसमें तापमान $T$ शामिल नहीं है,इसलिए सभी द्वि-परमाणुक गैसों के लिए $\frac{c}{v}$ का अनुपात स्थिर और तापमान से स्वतंत्र है।

(A) गैस के अणु का रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,समान तापमान पर जिस गैस का मोलर द्रव्यमान कम होगा,उसका $v_{\text{rms}}$ अधिक होगा।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान लगभग $2 \text{ g/mol}$ है,जबकि हवा का औसत मोलर द्रव्यमान लगभग $28.97 \text{ g/mol}$ है।
चूंकि हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान हवा की तुलना में काफी कम है,इसलिए हाइड्रोजन का $v_{\text{rms}}$ अधिक होगा।

(C) गैस की वर्ग माध्य मूल चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,हमारे पास अनुपात $\frac{(v_{rms})_{2}}{(v_{rms})_{1}} = \sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}$ है।
दिया गया है कि तापमान $3$ गुना बढ़ा दिया जाता है,इसलिए $T_{2} = 3T_{1}$।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{(v_{rms})_{2}}{(v_{rms})_{1}} = \sqrt{\frac{3T_{1}}{T_{1}}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(v_{rms})_{2} = \sqrt{3}(v_{rms})_{1} \approx 1.732(v_{rms})_{1}$।
$v_{rms}$ में परिवर्तन $(v_{rms})_{2} - (v_{rms})_{1} = 1.732(v_{rms})_{1} - 1(v_{rms})_{1} = 0.732(v_{rms})_{1}$ है।
अतः,$v_{rms}$ में इसके प्रारंभिक मान का $0.732$ गुना की वृद्धि होती है।

(A) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,गैस के विसरण की दर उसके मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(Rate \propto 1/\sqrt{M})$.
चूंकि हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $(M_{H_2} = 2 \ g/mol)$ कार्बन डाइऑक्साइड के मोलर द्रव्यमान $(M_{CO_2} = 44 \ g/mol)$ से बहुत कम है,इसलिए हाइड्रोजन गैस पात्र से तेजी से बाहर निकलेगी।
वैकल्पिक रूप से,रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{\text{rms}})$ का सूत्र $v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}$ है। चूंकि $v_{\text{rms}} \propto 1/\sqrt{M}$,समान तापमान पर हाइड्रोजन का $v_{\text{rms}}$ कार्बन डाइऑक्साइड से अधिक होता है,जिससे विसरण की दर अधिक हो जाती है।

(N/A) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m v_{rms}^{2} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
परम शून्य तापमान पर,$T = 0 \ K$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{1}{2} m v_{rms}^{2} = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अणु का द्रव्यमान $m \neq 0$ है,इसलिए $v_{rms}^{2} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $v_{rms} = 0$ है।
अतः,परम शून्य तापमान पर अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (root mean square velocity) शून्य हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उनकी गति समाप्त हो जाती है।

(N/A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^{2}$ होता है।
इसलिए,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$.
मान $P = 1.01 \times 10^{5} \ Pa$ और $\rho = 0.09 \ kg/m^{3}$ रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.01 \times 10^{5}}{0.09}} = \sqrt{\frac{3.03 \times 10^{5}}{0.09}} = \sqrt{33.67 \times 10^{5}} = \sqrt{3.367 \times 10^{6}} \approx 1834.9 \ m/s$.
$1 \ mole$ आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} RT$ होती है।
$1 \ mole$ के लिए $PV = RT$ संबंध का उपयोग करने पर,$E = \frac{3}{2} PV$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\rho = \frac{M}{V}$,जहाँ $M$ हाइड्रोजन का मोलर द्रव्यमान $(2 \times 10^{-3} \ kg/mol)$ है,इसलिए $1 \ mole$ का आयतन $V = \frac{M}{\rho} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.09} \approx 0.0222 \ m^{3}$ है।
अतः,$E = \frac{3}{2} \times (1.01 \times 10^{5}) \times (0.0222) \approx 3363.3 \ J$.

(C) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $({v_{rms}})$ का सूत्र ${v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि साम्यावस्था में गैस का तापमान $T$,$0 \ K$ से अधिक होता है,इसलिए ${v_{rms}}$ का मान हमेशा धनात्मक और अशून्य होता है।
अतः,यह कथन कि ${v_{rms}}$ शून्य है,गलत है; यह गैस के तापमान और मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करता है।

(A) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
अतः,दिए गए तापमान $T$ के लिए,गैस के अणुओं की चाल उनके मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
परिणामस्वरूप,एक हल्की गैस (जिसका मोलर द्रव्यमान $M$ कम होता है) भारी गैस की तुलना में अधिक गति रखेगी।

(A) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $({v_{rms}})$ को गैसों के गतिज सिद्धांत से ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ के रूप में प्राप्त किया जाता है, जहाँ $P$ दाब है और $\rho$ घनत्व है। अतः, $(a)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
$1 \text{ मोल}$ आदर्श गैस के लिए, सूत्र ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ है, जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है, $T$ तापमान है और $M_0$ मोलर द्रव्यमान है। अतः, $(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
गैस के एक अणु के लिए, सूत्र ${v_{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$ है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है। अतः, $(c)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(a-iii, b-i, c-ii)$ है।

(B) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
ध्यान दें कि $v_{rms}$ गैस के दाब पर निर्भर नहीं करता है।
दिया गया है:
$T_1 = 27^{\circ} \ C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127^{\circ} \ C = 127 + 273 = 400 \ K$
$(v_{rms})_1 = 100 \ m/s$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{(v_{rms})_1}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$
$\frac{100}{(v_{rms})_2} = \sqrt{\frac{300}{400}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(v_{rms})_2 = \frac{100 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(C) $n$ अणुओं के लिए वर्ग माध्य मूल $(v_{rms})$ चाल का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \dots + v_{n}^{2}}{n}}$
दो अणुओं के लिए,सूत्र होगा:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}{2}}$
दिया गया है:
$v_{1} = 9 \times 10^{6} \ m/s$
$v_{2} = 1 \times 10^{6} \ m/s$
मान रखने पर:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{(9 \times 10^{6})^{2} + (1 \times 10^{6})^{2}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{81 \times 10^{12} + 1 \times 10^{12}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{82 \times 10^{12}}{2}}$
$v_{rms} = \sqrt{41 \times 10^{12}}$
$v_{rms} = \sqrt{41} \times 10^{6} \ m/s$
चूंकि $\sqrt{41} \approx 6.403$,
$v_{rms} \approx 6.40 \times 10^{6} \ m/s$

(N/A) रूट मीन स्क्वायर गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{\sum n_i v_i^2}{\sum n_i}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए डेटा का उपयोग करते हुए:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10(200)^2 + 20(400)^2 + 40(600)^2 + 20(800)^2 + 10(1000)^2}{10+20+40+20+10}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10(4 \times 10^4) + 20(16 \times 10^4) + 40(36 \times 10^4) + 20(64 \times 10^4) + 10(100 \times 10^4)}{100}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{10^4(40 + 320 + 1440 + 1280 + 1000)}{100}} = \sqrt{408000} \approx 638.75 \ m/s$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ का उपयोग करते हुए, $T = \frac{m v_{rms}^2}{3k_B} = \frac{3.0 \times 10^{-26} \times (638.75)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 0.098 \ K$.
$(b)$ $v = 1000 \ m/s$ वाले अणुओं को हटाने पर, नए वितरण में कुल $90$ अणु बचते हैं।
$v_{rms}' = \sqrt{\frac{10(200)^2 + 20(400)^2 + 40(600)^2 + 20(800)^2}{90}}$
$v_{rms}' = \sqrt{\frac{10^4(40 + 320 + 1440 + 1280)}{90}} = \sqrt{\frac{3080000}{90}} \approx 585.18 \ m/s$.
$T' = \frac{m (v_{rms}')^2}{3k_B} = \frac{3.0 \times 10^{-26} \times (585.18)^2}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}} \approx 0.082 \ K$.

(B) $H_2$ और $He$ जैसी हल्की गैसों के अणुओं की वायुमंडलीय तापमान पर औसत गति पृथ्वी के पलायन वेग $(v_e \approx 11.2 \ km/s)$ से अधिक होती है।
चूंकि उनकी तापीय गति पलायन वेग से अधिक होती है,इसलिए ये गैस के अणु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को आसानी से पार कर अंतरिक्ष में पलायन कर जाते हैं।
इसलिए,वे पृथ्वी के वायुमंडल में नगण्य मात्रा में पाए जाते हैं।

(A) गैस के अणु की $rms$ चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है कि $H_{2}$ की $rms$ चाल,$N_{2}$ की $rms$ चाल के बराबर है:
$V_{rms(H_{2})} = V_{rms(N_{2})}$
$\sqrt{\frac{3RT_{H_{2}}}{M_{H_{2}}}} = \sqrt{\frac{3RT_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर और उभयनिष्ठ पदों $(3R)$ को हटाने पर:
$\frac{T_{H_{2}}}{M_{H_{2}}} = \frac{T_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}$
यहाँ $T_{N_{2}} = 300^{\circ}C = 300 + 273 = 573 \ K$,$M_{N_{2}} = 28 \ g/mol$,और $M_{H_{2}} = 2 \ g/mol$ है:
$\frac{T_{H_{2}}}{2} = \frac{573}{28}$
$T_{H_{2}} = \frac{573 \times 2}{28} = \frac{573}{14} \approx 40.928 \ K$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,उत्तर $41 \ K$ प्राप्त होता है।

(B) $V$ वेग वाले दो अणुओं के बीच सापेक्ष वेग $\left|V_{\text{rel}}\right| = \sqrt{V^2 + V^2 - 2V^2 \cos \theta} = 2V \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
औसत सापेक्ष वेग $\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{\int_{0}^{\pi} 2V \sin(\theta/2) d\theta}{\int_{0}^{\pi} d\theta} = \frac{4V}{\pi}$ होता है।
चूंकि एक अणु का औसत वेग $\langle V \rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है,इसलिए औसत सापेक्ष वेग $\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ होगा।
यहाँ $R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$,$T = 300 \, K$,और $N_2$ के लिए $M = 28 \times 10^{-3} \, kg/mol$ रखने पर:
$\langle V_{\text{rel}} \rangle = \frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{8 \times 8.314 \times 300}{\pi \times 28 \times 10^{-3}}} \approx \frac{4}{3.14} \times 476.5 \approx 606 \, m/s$.

(C) आदर्श गैस का वर्ग माध्य मूल (rms) वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस का औसत वेग $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दिया जाता है।
rms वेग और औसत वेग का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}$.
व्यंजक को सरल बनाने पर,$R$,$T$ और $M$ पद कट जाते हैं:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \sqrt{\frac{3RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$.
अतः,अनुपात $\sqrt{\frac{3\pi}{8}}$ है।

(C) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
ध्यान दें कि $v_{rms}$ दाब पर निर्भर नहीं करता है।
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 300\, K$ और $(v_{rms})_1 = 200\, ms^{-1}$ है।
यहाँ $T_2 = 127^{\circ} C = 400\, K$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$(v_{rms})_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times (v_{rms})_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 200 = \frac{400}{\sqrt{3}}\, ms^{-1}$.
इसकी तुलना $\frac{x}{\sqrt{3}}$ से करने पर,हमें $x = 400$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के अणुओं की $rms$ चाल का सूत्र $V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{W}}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M_{W}$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $V_{RMS} \propto \frac{1}{\sqrt{M_{W}}}$ होगा।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं: $M_{H} = 2 \ g/mol$,$M_{O} = 32 \ g/mol$ और $M_{C} = 44 \ g/mol$।
चूँकि $M_{H} < M_{O} < M_{C}$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_{H}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{O}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{C}}}$ होगा।
अतः,$V_{H} > V_{O} > V_{C}$ होगा।

(A) गैस अणुओं की $rms$ गति का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,$rms$ गति का अनुपात: $\frac{(V_{rms})_{O_2}}{(V_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{M_{H_2}}{M_{O_2}}}$ होगा।
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $32 \; {g/mol}$ है और हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $2 \; {g/mol}$ है।
मान रखने पर: $\frac{160}{(V_{rms})_{H_2}} = \sqrt{\frac{2}{32}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$(V_{rms})_{H_2} = 160 \times 4 = 640 \; {m/s}$।

(D) गैस अणु की रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{\text{rms}})$ का सूत्र है: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
दिए गए द्रव्यमान $m_{A} < m_{B} < m_{C}$ के अनुसार,$v_{A} > v_{B} > v_{C}$ प्राप्त होता है।
इन गतियों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें मिलता है: $\frac{1}{v_{A}} < \frac{1}{v_{B}} < \frac{1}{v_{C}}$।

(B) वर्ग माध्य मूल चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
सर्वाधिक प्रायिक चाल $v_{p} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{v_{rms}}{v_{p}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{2RT}{M}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
अतः,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3}{2}} v_{p}$।

(B) गैस का रूट मीन स्क्वायर वेग $(V_{rms})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
दिया गया है कि तापमान दोगुना हो जाता है,$T' = 2T$.
जब ऑक्सीजन के अणु $(O_2)$ परमाणु ऑक्सीजन $(O)$ में विघटित होते हैं,तो मोलर द्रव्यमान आधा हो जाता है,इसलिए $M' = M/2$.
इन मानों को $V_{rms} \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$ के समानुपात में रखने पर:
$\frac{(V_{rms})_{atomic}}{(V_{rms})_{molecular}} = \sqrt{\frac{T'}{M'} \cdot \frac{M}{T}} = \sqrt{\frac{2T}{M/2} \cdot \frac{M}{T}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,परमाणु ऑक्सीजन का वेग ऑक्सीजन अणुओं के प्रारंभिक वेग का $2$ गुना हो जाता है।

(D) कथन $I$: एक आदर्श गैस में,अणु यादृच्छिक दिशाओं में गति करते हैं। संवेग $\vec{p}$ वाले प्रत्येक अणु के लिए,संवेग $-\vec{p}$ वाले अणु के मिलने की सांख्यिकीय रूप से समान संभावना होती है। अतः,औसत संवेग $\vec{p}_{avg} = 0$ होता है,जो तापमान से स्वतंत्र है।
कथन $II$: $rms$ चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभ में,$v = \sqrt{\frac{3RT}{M_{O_2}}}$.
जब तापमान दोगुना हो जाता है $(T' = 2T)$ और $O_2$ का $O$ परमाणुओं में विघटन होता है,तो मोलर द्रव्यमान $M' = \frac{M_{O_2}}{2}$ हो जाता है।
नई $rms$ चाल $v' = \sqrt{\frac{3R(2T)}{M_{O_2}/2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{3RT}{M_{O_2}}} = 2v$.
अतः,कथन $I$ गलत है और कथन $II$ सही है।

(C) कण की रूट मीन स्क्वायर चाल $(V_{\text{rms}})$ का सूत्र है: $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
दिया गया है:
कण का द्रव्यमान $(m)$ = $5 \times 10^{-17} \, kg$
बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k)$ = $1.38 \times 10^{-23} \, J \, K^{-1}$
$NTP$ पर तापमान $(T)$ = $293 \, K$
मान रखने पर:
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 293}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1213.02 \times 10^{-23}}{5 \times 10^{-17}}}$
$V_{\text{rms}} = \sqrt{242.604 \times 10^{-6}}$
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \times 10^{-3} \, m/s$
$mm/s$ में बदलने पर $(1 \, m/s = 1000 \, mm/s)$:
$V_{\text{rms}} \approx 15.57 \, mm/s \approx 15 \, mm/s$.

(D) किसी ग्रह पर वायुमंडल तभी संभव है यदि गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ ग्रह की पलायन चाल $(v_e)$ से कम हो।
यदि $v_{rms} \geq v_e$ है,तो गैस के अणुओं के पास ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को पार करने के लिए पर्याप्त गतिज ऊर्जा होती है और वे अंतरिक्ष में पलायन कर जाएंगे।
इसलिए,किसी ग्रह पर वायुमंडल बनाए रखने के लिए,शर्त $v_{rms} < v_e$ होनी चाहिए।

(A) मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन गति वितरण वक्र एक निश्चित तापमान पर गैस में अणुओं की गति के वितरण का वर्णन करता है।
सर्वाधिक संभावित गति $V_p$ सूत्र $V_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $V_p \propto \sqrt{T}$।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,सर्वाधिक संभावित गति $V_p$ बढ़ती है,जिसका अर्थ है कि वक्र का शिखर $V$-अक्ष पर दाईं ओर (उच्च गति की ओर) स्थानांतरित हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल (अणुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है) स्थिर रहना चाहिए,तापमान में वृद्धि के कारण वक्र चपटा और चौड़ा हो जाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ सही ढंग से दर्शाता है कि $T_1 > T_2$ के लिए,$T_1$ का वक्र $T_2$ के वक्र की तुलना में उच्च गति पर अपना शिखर रखता है और अधिक चौड़ा है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
मैक्सवेल का गति वितरण वक्र असममित (दाहिनी ओर झुका हुआ) होता है क्योंकि गैस के अणुओं की गति $0$ से $\infty$ तक होती है।
चूंकि सबसे कम संभव गति $0$ है और सबसे अधिक $\infty$ है,इसलिए वक्र सबसे संभावित गति $(V_{mp})$ के बारे में सममित नहीं हो सकता है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि वितरण तापमान $T$ पर निर्भर करता है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि $V_{rms}$,$V_{av}$ और $V_{mp}$ के बीच का संबंध $V_{rms} > V_{av} > V_{mp}$ है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि सभी गतियों पर वितरण फलन का समाकलन अणुओं की कुल संख्या $N$ देता है।

(B) गैस के अणुओं की $r.m.s.$ गति का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $R$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \sqrt{T}$ होगा।
मान लीजिए $STP$ $(T_1 = 273 \, K)$ पर $r.m.s.$ गति $V_1$ है और $T_2$ तापमान पर गति $V_2$ है।
दिया गया है कि $V_2 = V_1 + 10\% \text{ of } V_1 = 1.1 V_1$।
संबंध $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर,$1.1 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(1.1)^2 = \frac{T_2}{273}$,जिससे $1.21 = \frac{T_2}{273}$ मिलता है।
$T_2 = 1.21 \times 273 = 330.33 \, K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273.15 = 330.33 - 273.15 \approx 57.18^{\circ} C$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $57.3^{\circ} C$ है।

(C) गैस में ध्वनि का वेग $v_s = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{v_s}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{\gamma RT / M}{3RT / M}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$.
यहाँ $\gamma = 1.5$ और $v_s = 600 \, m/s$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{600}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{1.5}{3}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$v_{rms}$ के लिए हल करने पर:
$v_{rms} = 600\sqrt{2} \, m/s$.

(B) औसत गति $v_{av}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v_{av} = \frac{500 + 600 + 700 + 800 + 900}{5} = \frac{3500}{5} = 700 \ m/s$
रूट मीन स्क्वायर गति $v_{rms}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v_{rms} = \sqrt{\frac{500^2 + 600^2 + 700^2 + 800^2 + 900^2}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{250000 + 360000 + 490000 + 640000 + 810000}{5}}$
$v_{rms} = \sqrt{\frac{2550000}{5}} = \sqrt{510000} \approx 714.14 \ m/s$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$v_{rms} \approx 714 \ m/s$.
अतः,रूट मीन स्क्वायर गति,औसत गति से $714 - 700 = 14 \ m/s$ अधिक है।

(C) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम ताप है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_{RMS}$ परम ताप के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होता है:
$V_{RMS} \propto \sqrt{T}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) गैस के अणुओं की rms चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
गैस के अणुओं की औसत चाल $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{rms} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times v_{avg}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M} = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8RT}{\pi M}$.
दोनों पक्षों से $\frac{RT}{M}$ को हटाने पर: $3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8}{\pi}$.
दिया गया है $\pi = \frac{22}{7}$,इसलिए $\frac{8}{\pi} = \frac{8 \times 7}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11}$.
अतः,$3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{28}{11}$.
$33\alpha = 28(\alpha + 5)$.
$33\alpha = 28\alpha + 140$.
$5\alpha = 140$.
$\alpha = 28$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,चूंकि सभी पात्रों के लिए $P$,$V$ और $T$ समान हैं,इसलिए मोलों की संख्या $n$ समान होगी। एवोगेड्रो के नियम के अनुसार,सभी पात्रों में अणुओं की संख्या समान होगी।
गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है,और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $R$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$
$M_{F_2} = 38 \text{ g/mol}$
$M_{SF_6} = 146 \text{ g/mol}$
चूंकि हीलियम का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए इसकी वर्ग माध्य मूल चाल सबसे अधिक होगी।

(D) आदर्श गैस की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना $T_1 = 200 \ K$ और $T_2 = 800 \ K$ है।
दिया गया है कि $V_{rms,1} = v_0$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_{rms,2}}{v_0} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$V_{rms,2} = 2 v_0$.