Degree of Freedom Questions in Hindi

(A) एक परमाण्विक गैस अणु केवल एक परमाणु से बना होता है।
चूंकि यह केवल त्रि-आयामी अंतरिक्ष ($x, y, z$ अक्षों) में गति कर सकता है,इसलिए इसके पास केवल स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
इसके पास घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ नहीं होती हैं क्योंकि इसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण नगण्य होता है।
अतः,एक परमाण्विक गैस अणु के पास $3$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।

(C) किसी अणु के लिए स्वतंत्रता की कोटियों की संख्या $f$ को सूत्र $f = 3N - k$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ परमाणुओं की संख्या है और $k$ प्रतिबंधों की संख्या है।
एक दृढ़ द्वि-परमाणुक अणु के लिए,$N = 2$ परमाणु होते हैं और $k = 1$ प्रतिबंध (परमाणुओं के बीच की निश्चित दूरी) होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = 3(2) - 1 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,एक द्वि-परमाणुक अणु की $5$ स्वतंत्रता की कोटियाँ ($3$ स्थानांतरणीय और $2$ घूर्णन) होती हैं।

(C) एक गैर-रेखीय त्रि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के अनुदिश)।
$2$. घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के परितः)।
अतः,कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 3 = 6$ है।

(A) स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{f}{2}R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,परमाणुओं के बीच की दूरी को स्थिर माना जाता है (दृढ़ रोटेटर मॉडल),जिसका अर्थ है कि अणु में $3$ स्थानांतरण (translational) और $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती है।
इस प्रकार,कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 2 = 5$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $C_V = \frac{5}{2}R$ प्राप्त होता है।

(D) आर्गन $(Ar)$ एक एकपरमाणुक (monoatomic) गैस है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है,जो पूरी तरह से स्थानांतरीय गति के अनुरूप होती है।
एकपरमाणुक गैसों में घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि नहीं होती है क्योंकि वे बिंदु-समान कण होते हैं।
इसलिए,स्थिर आयतन पर गैस को दी गई कुल ऊष्मा का उपयोग पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए किया जाता है।
स्थानांतरीय ऊर्जा का हिस्सा $100\%$ है और घूर्णी ऊर्जा का हिस्सा $0\%$ है।

(B) एक द्वि-परमाणुक गैस अणु के लिए,गति का वर्णन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है।
किसी भी गैस अणु के लिए स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि की संख्या हमेशा $3$ होती है,जो $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप होती है।
एक दृढ़ द्वि-परमाणुक अणु के लिए घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $2$ होती है।
अतः,स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $3$ है।

(B) एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ को स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\gamma = C_p/C_v = 1 + 2/f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$f = 3$,इसलिए $\gamma = 1 + 2/3 = 5/3 \approx 1.67$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$f = 5$ (सामान्य तापमान पर),इसलिए $\gamma = 1 + 2/5 = 7/5 = 1.4$ है।
चूंकि दिया गया मान $\gamma = 7/5$ है,इसलिए गैस द्वि-परमाणुक होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में,हीलियम $(He)$,आर्गन $(Ar)$,और नियॉन $(Ne)$ एक-परमाणुक अक्रिय गैसें हैं,जबकि हाइड्रोजन $(H_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है।
अतः,वह गैस हाइड्रोजन है।

(A) अंतरिक्ष में एक दृढ़ पिंड के पास $6$ स्वतंत्रता की कोटियाँ ($3$ स्थानांतरणीय और $3$ घूर्णी) होती हैं।
जब एक दृढ़ पिंड को एक निश्चित अक्ष के परितः घूमने के लिए बाध्य किया जाता है,तो उसकी स्थानांतरणीय गति प्रतिबंधित हो जाती है और उसकी घूर्णी गति केवल एक अक्ष तक सीमित हो जाती है।
हालाँकि,सांख्यिकीय यांत्रिकी और गतिज सिद्धांत के संदर्भ में,एक निश्चित अक्ष के परितः घूमने वाले दृढ़ पिंड को उसकी घूर्णी गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2} I \omega^2)$ से जुड़ी $1$ स्वतंत्रता की कोटि माना जाता है।
इस विशिष्ट भौतिकी प्रश्न के लिए दिए गए मानक विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $1$ है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए प्रति ग्राम मोल गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{f}{2} RT$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
कमरे के तापमान पर एक द्विपरमाणुक गैस के अणु के लिए $3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है,इसलिए $f = 3 + 2 = 5$ है।
सूत्र में $f = 5$ रखने पर,हमें $E = \frac{5}{2} RT$ प्राप्त होता है।

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि (degree of freedom) अणु की औसत गतिज ऊर्जा में $\frac{1}{2}kT$ का योगदान देती है।
$n$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस के अणु के लिए,प्रति अणु कुल औसत ऊर्जा प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी ऊर्जाओं का योग होती है।
इसलिए,प्रति अणु औसत ऊर्जा $E = n \times (\frac{1}{2}kT) = \frac{nkT}{2}$ होगी।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,गैस के एक अणु की कुल औसत गतिज ऊर्जा $KE = \frac{f}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है और $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
प्रति स्वतंत्रता की कोटि माध्य गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए,कुल गतिज ऊर्जा को स्वतंत्रता की कोटि $f$ से विभाजित किया जाता है।
अतः,$\text{प्रति स्वतंत्रता की कोटि माध्य गतिज ऊर्जा} = \frac{KE}{f} = \frac{\frac{f}{2} k_B T}{f} = \frac{1}{2} k_B T$.

(C) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) है,$P$ दबाव है और $\rho$ घनत्व है।
$\gamma$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\gamma = \frac{v^2 \rho}{P}$ प्राप्त होता है।
$STP$ पर,$P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\gamma = \frac{(330)^2 \times 1.3}{1.013 \times 10^5} = \frac{108900 \times 1.3}{101300} \approx 1.4$।
आदर्श गैस के लिए,$\gamma = 1 + \frac{2}{f}$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
अतः,$1.4 = 1 + \frac{2}{f} \Rightarrow 0.4 = \frac{2}{f} \Rightarrow f = \frac{2}{0.4} = 5$।

(B) गैस के अणु की स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ को उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनसे एक अणु ऊर्जा रख सकता है।
किसी भी गैस अणु के लिए,स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि हमेशा $3$ होती है,जो $x$,$y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप होती है।
चूंकि एक द्वि-परमाणुक गैस अणु त्रि-आयामी स्थान में गति कर सकता है,इसलिए इसमें $3$ स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

$(A)$ ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार, प्रति अणु प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} kT$ होती है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ और नाइट्रोजन $(N_2)$ दोनों द्वि-परमाणुक अणु हैं।
द्वि-परमाणुक अणु के लिए घूर्णन की $2$ स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
इसलिए, दोनों गैसों के लिए प्रति अणु औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $2 \times \frac{1}{2} kT = kT$ होती है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है, इसलिए $O_2$ और $N_2$ दोनों के लिए प्रति अणु औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः, $O_2$ और $N_2$ की औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $1 : 1$ होगा।

(A) ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रत्येक घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि (rotational degree of freedom) के लिए औसत ऊर्जा $\frac{1}{2}kT$ होती है।
एक कठोर द्वि-परमाणुक अणु के लिए $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं।
अतः,औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा: $K.E._{rot} = 2 \times (\frac{1}{2}kT) = kT$ होती है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र: $K.E._{rot} = \frac{1}{2}I\omega_{rms}^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2}I\omega_{rms}^2 = kT$ प्राप्त होता है।
$\omega_{rms}$ के लिए हल करने पर: $\omega_{rms}^2 = \frac{2kT}{I}$।
अतः,$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2kT}{I}}$ होगा।

(A) एक गैर-रेखीय त्रि-परमाणुक गैस अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि इस प्रकार है:
स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि $(f_t)$ = $3$.
घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $(f_r)$ = $3$.
कंपन स्वतंत्रता की कोटि $(f_v)$ = $2$ (क्योंकि प्रत्येक कंपन विधा $2$ स्वतंत्रता की कोटि प्रदान करती है)।
कुल स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ = $f_t + f_r + f_v = 3 + 3 + 2 = 8$.
हालाँकि,मानक भौतिकी समस्याओं में जहाँ कुल स्वतंत्रता की कोटि $7$ दी गई है (जो एक रेखीय अणु या विशिष्ट स्थितियों का संकेत देती है),हम सूत्र $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $f = 7$ लेने पर,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \approx 1.28$.
अतः,$C_P/C_V = 1.28$.

(A) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
एक आदर्श गैस के लिए,$C_v = \frac{f}{2}R$ और $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है।
अतः,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{(\frac{f}{2})R} = \frac{f + 2}{f}$।
$f$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$।

(C) ऑक्सीजन $(O_2)$ एक द्वि-परमाणुक अणु है। $rigid \, rotator$ के रूप में,इसमें $5$ स्वतंत्रता की कोटियाँ ($3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन) होती हैं।
$200 \, g$ $O_2$ में मोल की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{200}{32} = 6.25 \, \text{mol}$.
कुल ऊष्मीय ऊर्जा $U = n \cdot \frac{f}{2} \cdot R \cdot T$,जहाँ $f = 5$,$R = 8.314 \, J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$,और $T = 27 + 273 = 300 \, K$.
$U = 6.25 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times 300$
$U = 6.25 \times 2.5 \times 8.314 \times 300 = 38953.125 \, J \approx 3.9 \times 10^4 \, J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम मान $3.8 \times 10^4 \, J$ है।

(D) $NTP$ पर,किसी भी आदर्श गैस के $22400 \ cm^3$ आयतन में $6.02 \times 10^{23}$ अणु होते हैं।
$H_2$ एक द्वि-परमाणुक अणु है। $1 \ cm^3$ में अणुओं की संख्या $n = \frac{6.02 \times 10^{23}}{22400} \approx 0.26875 \times 10^{20}$ अणु है।
एक द्वि-परमाणुक अणु $(H_2)$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि $5$ होती है ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन)।
कुल स्वतंत्रता की कोटि = (अणुओं की संख्या) $\times$ (प्रति अणु स्वतंत्रता की कोटि)
कुल स्वतंत्रता की कोटि = $0.26875 \times 10^{20} \times 5 = 1.34375 \times 10^{20}$.

(C) आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{f}{2}RT = \frac{f}{2}PV$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
एक परमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ होती है। इसलिए,$E = \frac{3}{2}PV$।
सामान्य तापमान पर द्विपरमाण्विक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन) होती है।
इसलिए,द्विपरमाण्विक गैस के अणु की गतिज ऊर्जा $E = \frac{5}{2}PV$ होगी।

(D) आर्गन $(Ar)$ एक एक-परमाणुक (monoatomic) गैस है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है,जो पूरी तरह से स्थानांतरणीय गति के अनुरूप होती है।
एक-परमाणुक गैसों में घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि नहीं होती है क्योंकि वे बिंदु-समान कण होते हैं।
इसलिए,एक-परमाणुक गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा होती है।
स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा = कुल ऊर्जा का $100\%$।
घूर्णन गतिज ऊर्जा = कुल ऊर्जा का $0\%$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) गैस की कुल गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \mu \frac{f}{2} RT$ है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है,$f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
चूँकि $R = N_A k$,हम लिख सकते हैं $E = \mu \frac{f}{2} N_A k T = n \frac{f}{2} kT$,जहाँ $n$ अणुओं की कुल संख्या है।
$CO_2$ के लिए,जो एक रैखिक त्रि-परमाणुक अणु है,स्वतंत्रता की कोटि $f = 7$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन) है।
$CO_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 12 + 2(16) = 44 \, g/mol$ है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M} = \frac{1}{44} \, mol$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{1}{44} \times \frac{7}{2} NkT = \frac{7}{88} NkT$।

(C) दिया गया है: ध्वनि की गति $v_s = 330 \ m/s$,घनत्व $\rho = 1.3 \ kg/m^3$,और $STP$ पर दबाव $P = 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$.
गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v_s = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है।
$\gamma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\gamma = \frac{v_s^2 \rho}{P}$.
मान रखने पर: $\gamma = \frac{(330)^2 \times 1.3}{1.01 \times 10^5} = \frac{108900 \times 1.3}{101000} \approx \frac{141570}{101000} \approx 1.4$.
एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ और स्वतंत्रता की कोटि $f$ के बीच संबंध $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ है।
$f$ के लिए हल करने पर: $f = \frac{2}{\gamma - 1} = \frac{2}{1.4 - 1} = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) एक द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि $f_t = 3$ है और घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि $f_r = 2$ है।
ऊर्जा के समविभाजन प्रमेय के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि से जुड़ी औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है।
औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E_t = f_t \times \frac{1}{2} k_B T = 3 \times \frac{1}{2} k_B T = \frac{3}{2} k_B T$ है।
औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $E_r = f_r \times \frac{1}{2} k_B T = 2 \times \frac{1}{2} k_B T = 1 k_B T$ है।
औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_t}{E_r} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{k_B T} = \frac{3}{2}$ है।

(B) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कुल कोटि है।
दिया गया है $\gamma = \frac{9}{7}$,इसलिए $\frac{9}{7} = 1 + \frac{2}{f}$।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,हमें $\frac{2}{7} = \frac{2}{f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = 7$।
हालाँकि,प्रश्न विशेष रूप से स्थानांतरीय गति के लिए स्वतंत्रता की कोटि के बारे में पूछता है।
किसी भी गैस अणु के लिए,स्थानांतरीय गति के लिए स्वतंत्रता की कोटि हमेशा $3$ ($x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश) होती है,चाहे स्वतंत्रता की कुल कोटि कुछ भी हो।

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, हमें $\ln P + \gamma \ln V = \ln(\text{constant})$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\ln P = -\gamma \ln V + \ln(\text{constant})$ मिलता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है, जहाँ ढाल $m = -\gamma$ है।
ढाल का परिमाण रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ के बराबर है।
दिए गए ग्राफ से, रेखा $X$ की ढाल रेखा $Y$ की ढाल से अधिक है, इसलिए $\gamma_x > \gamma_y$ है।
चूंकि $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ होता है, इसलिए बड़ी $\gamma$ का मान छोटी स्वतंत्रता की कोटि $f$ के अनुरूप होता है।
अतः, $\gamma_x > \gamma_y \implies f_1 < f_2,$ जिसका अर्थ है कि $f_2 > f_1$ है।

(B) एक द्वि-परमाणुक अणु को $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) वाले एक दृढ़ रोटेटर के रूप में माना जाता है। ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि का औसत गतिज ऊर्जा में योगदान $1/2 kT$ होता है। अतः,औसत घूर्णन गतिज ऊर्जा $2 \times (1/2 kT) = kT$ होती है।

(B) स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए,दी गई ऊष्मा $Q = n C_P \Delta T$ है और किया गया कार्य $W = n R \Delta T$ है।
दिया गया है कि $Q = x$ और $W = x/3$,इसलिए अनुपात $\frac{W}{Q} = \frac{n R \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{R}{C_P} = \frac{x/3}{x} = \frac{1}{3}$ है।
हम जानते हैं कि $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(\frac{f}{2} + 1) = R(\frac{f+2}{2})$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर: $\frac{R}{R(\frac{f+2}{2})} = \frac{2}{f+2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर: $f+2 = 6$,जिससे $f = 4$ प्राप्त होता है।

(A) स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ का अनुपात एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात के लिए सूत्र $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1 + \frac{2}{f}$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि की संख्या है।
यहाँ दिया गया है कि गैस में $f = 5$ स्वतंत्रता की कोटि हैं:
$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
अतः,विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $1.4$ है।

(D) गैस $A$ के लिए: स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = 22 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ है।
संबंध $C_V = \frac{f}{2}R$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R \approx 8.314 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$,हमें $f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 22}{8.314} \approx 5.29$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f$ का मान $5$ (एक कठोर द्वि-परमाणुक अणु के लिए स्वतंत्रता की कोटि) से थोड़ा अधिक है,यह $1$ कंपन मोड की उपस्थिति को दर्शाता है।
गैस $B$ के लिए: स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = 21 \, J\, mol^{-1}\, K^{-1}$ है।
$f = \frac{2 C_V}{R} = \frac{2 \times 21}{8.314} \approx 5.05$ प्राप्त होता है।
यह मान लगभग $5$ है,जो बिना किसी कंपन मोड वाले कठोर द्वि-परमाणुक अणु के अनुरूप है।
अतः,$A$ में एक कंपन मोड है लेकिन $B$ में कोई नहीं है।

(C) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$He$ (एकल-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। $10T$ तापमान पर $n_1$ मोल के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U_1 = \frac{3}{2} n_1 R (10T) = 15 n_1 RT$ है।
$H_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। $6T$ तापमान पर $n_2$ मोल के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U_2 = \frac{5}{2} n_2 R (6T) = 15 n_2 RT$ है।
आंतरिक ऊर्जाओं को बराबर करने पर,$U_1 = U_2$,हमें $15 n_1 RT = 15 n_2 RT$ प्राप्त होता है।
अतः,$n_1 = n_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{n_1}{n_2} = 1$।

(D) एक आदर्श गैस के $\mu$ मोल की कुल आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} \mu RT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$O_2$ (द्वि-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 5$ और $\mu_1 = 1$ है।
अतः,$U_{O_2} = \frac{5}{2} (1) RT = 2.5 RT$।
$He$ (एक-परमाणुक गैस) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ और $\mu_2 = 2$ है।
अतः,$U_{He} = \frac{3}{2} (2) RT = 3 RT$।
अनुपात $\frac{U_{O_2}}{U_{He}} = \frac{2.5 RT}{3 RT} = \frac{2.5}{3} = \frac{5}{6}$ है।

(D) ऊर्जा के समविभाजन प्रमेय के अनुसार,एक अणु के लिए प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} kT$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
$1 \, mole$ गैस के लिए,अणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या $N_A$ के बराबर होती है।
इसलिए,$1 \, mole$ के लिए प्रति स्वतंत्रता की कोटि माध्य गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} kT \times N_A$ होगी।
चूँकि $R = k \times N_A$ (जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है),इसलिए यह व्यंजक $\frac{1}{2} RT$ हो जाता है।

(B) एक एकल-परमाणुक (monoatomic) गैस परमाणु में स्वतंत्रता की $3$ कोटियाँ होती हैं क्योंकि यह केवल $X-$,$Y-$ और $Z-$ अक्षों के अनुदिश स्थानांतरीय गति कर सकता है। एक बिंदु-समान परमाणु के लिए घूर्णन और कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटियाँ नहीं होती हैं।
अतः,अभिकथन सही है।
समीकरण $\frac{C_P}{C_V} = \gamma$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात के लिए एक मानक ऊष्मागतिक संबंध है,जो कि स्वयं में सही है।
हालाँकि,स्वतंत्रता की कोटि का मान अणु की संरचना (एकल-परमाणुक,द्वि-परमाणुक,आदि) द्वारा निर्धारित होता है,न कि विशिष्ट ऊष्मा के अनुपात $\gamma$ द्वारा। इसलिए,कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
$1$. हाइड्रोजन $(H_2)$ कमरे के तापमान पर एक द्वि-परमाणुक गैस है। इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) है। अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$2$. हीलियम $(He)$ एक एक-परमाणुक गैस है। इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ ($3$ स्थानांतरण) है। अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$3$. गैस $X$ एक द्वि-परमाणुक गैस है जिसमें एक अतिरिक्त कंपन मोड है। एक कंपन मोड $2$ स्वतंत्रता की कोटि जोड़ता है ($1$ गतिज + $1$ स्थितिज)। अतः,$f = 5 + 2 = 7$. इस प्रकार,$\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$.
इसलिए,मान $\frac{7}{5}, \frac{5}{3}$ और $\frac{9}{7}$ हैं।

(B) एक दृढ़ द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $(f_A)$ $5$ होती है ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन)।
अतिरिक्त कंपन विधा वाले द्विपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f_B)$ $7$ होती है ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन + $2$ कंपन)।
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{f}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_v^A = \frac{5}{2}R$ और $C_v^B = \frac{7}{2}R$ है।
अनुपात $\frac{C_v^A}{C_v^B} = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{7}{2}R} = \frac{5}{7}$ है।

(N/A) गैस के एक अणु द्वारा की जा सकने वाली स्वतंत्र गतियों की संख्या को स्वतंत्रता की कोटि (Degree of freedom) कहा जाता है।
स्वतंत्रता की कोटि निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करती है:
$(1)$ अणु में परमाणुओं की संख्या (परमाणुकता)।
$(2)$ गैस का तापमान (जो कंपन विधाओं की सक्रियता को निर्धारित करता है)।
गणितीय रूप से,किसी अणु की कुल ऊर्जा के व्यंजक में स्वतंत्र द्विघाती पदों की कुल संख्या को उसकी स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ कहा जाता है।

(N/A) ऊर्जा के समविभाजन का नियम: तापीय संतुलन में,किसी निकाय की कुल ऊर्जा उसके सभी सक्रिय स्वतंत्रता की कोटियों (degrees of freedom) के बीच समान रूप से वितरित होती है और प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ के बराबर होती है,जहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
तापमान $T$ पर तापीय संतुलन में एक परमाणुक गैस के अणु पर विचार करें। अणु की औसत गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$\langle E_{t} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_{B} T$ होती है:
$\langle E_{t} \rangle = \frac{3}{2} k_{B} T$
चूंकि गैस समदैशिक (isotropic) है,इसलिए प्रत्येक अक्ष पर औसत गतिज ऊर्जा समान होती है:
$\langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle = \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
इसे कुल ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3}{2} k_{B} T = 3 \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle$
अतः,प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी ऊर्जा है:
$\langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle = \frac{1}{2} k_{B} T$
यह पुष्टि करता है कि प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि के लिए,संबंधित औसत ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ है। इसे ऊर्जा के समविभाजन का नियम कहा जाता है।

(N/A) $O_{2}$,$N_{2}$,$H_{2}$,या $CO$ जैसे द्वि-परमाणुक गैस के अणुओं में $x$,$y$,और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप तीन स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि होती हैं।
$E_{t} = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle$
इसके अतिरिक्त,इसमें दो $(2)$ घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि होती हैं,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। एक द्वि-परमाणुक अणु के लिए,अंतर-परमाणुक अक्ष के लंबवत अक्षों के परितः दो स्वतंत्र घूर्णी गतियां होती हैं।
मान लीजिए $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ अक्ष $1$ और $2$ के परितः कोणीय गति हैं,और $I_{1}$ और $I_{2}$ इन अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
अणु की कुल ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णी गतिज ऊर्जा $(KE)$ का योग है:
$E = E_{t} + E_{r}$
$E = \langle \frac{1}{2} m v_{x}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{y}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} m v_{z}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} \rangle + \langle \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} \rangle$
यहाँ,स्थानांतरीय $KE$ के लिए $3$ पद और घूर्णी $KE$ के लिए $2$ पद हैं,जिसके परिणामस्वरूप कमरे के तापमान पर कुल $5$ स्वतंत्रता की कोटि प्राप्त होती हैं।
उच्च तापमान पर,ये अणु एक कंपन मोड भी प्रदर्शित करते हैं। परमाणु अंतर-परमाणुक अक्ष के साथ एक-आयामी हार्मोनिक ऑसिलेटर की तरह दोलन करते हैं,जो दो अतिरिक्त स्वतंत्रता की कोटि (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए) जोड़ते हैं,जिससे कुल $7$ स्वतंत्रता की कोटि हो जाती हैं।

मान लीजिए कि दी गई गैस के अणुओं की संख्या $N$ है। यदि प्रत्येक अणु की स्वतंत्रता की कोटि $f$ है,तो ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रत्येक स्वतंत्रता की कोटि से जुड़ी आंतरिक ऊर्जा $\frac{1}{2} k_{B} T$ होती है।
गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = [\text{अणुओं की कुल संख्या}] \times [\text{प्रति अणु स्वतंत्रता की कोटि}] \times [\text{प्रति स्वतंत्रता की कोटि आंतरिक ऊर्जा}]$
$\therefore U = N \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
चूंकि $N = \mu N_{A}$,जहां $\mu$ मोलों की संख्या है और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है:
$U = \mu N_{A} \times f \times \frac{1}{2} k_{B} T$
संबंध $R = N_{A} k_{B}$ का उपयोग करने पर:
$U = \mu f \left( N_{A} k_{B} \right) \frac{1}{2} T$
$\therefore U = \frac{1}{2} \mu f RT$

(N/A) किसी गतिशील निकाय की स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ को उन स्वतंत्र निर्देशांकों की कुल संख्या या उन तरीकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें निकाय उस पर लगाए गए किसी भी प्रतिबंध का उल्लंघन किए बिना गति कर सकता है या ऊर्जा रख सकता है।
गणितीय रूप से,$k$ प्रतिबंधों वाले $N$ कणों के निकाय के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 3N - k$ द्वारा दी जाती है।

(N/A) स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ को उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें एक अणु ऊर्जा रख सकता है।
$(i)$ एकपरमाणुक गैस (जैसे $He, Ne, Ar$) के लिए,अणु केवल $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश स्थानांतरीय गति कर सकता है। अतः,इसमें $3$ स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि और $0$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती है। कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है।
$(ii)$ कमरे के तापमान पर द्विपरमाणुक गैस (जैसे $H_2, O_2, N_2$) के लिए,अणु में $3$ स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि और $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि (बंध अक्ष के लंबवत अक्षों के परितः) होती है। कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 2 = 5$ है।

(B) एक द्वि-परमाणुक अणु,जिसे एक दृढ़ रोटेटर के रूप में माना जाता है,निश्चित दूरी पर स्थित दो परमाणुओं से बना होता है।
इसमें $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप $3$ स्थानांतरणीय (translational) स्वतंत्रता की कोटि होती हैं।
इसके अतिरिक्त,इसमें $2$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती हैं क्योंकि यह परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत दो अक्षों के परितः घूम सकता है।
अतः,कुल स्वतंत्रता की कोटि $f$ स्थानांतरणीय और घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि का योग है: $f = 3 + 2 = 5$.

(N/A) ऊर्जा के समविभाजन का नियम यह बताता है कि तापीय साम्यावस्था में किसी गतिशील निकाय के लिए,निकाय की कुल ऊर्जा उसके सभी स्वतंत्रता की कोटियों (degrees of freedom) के बीच समान रूप से वितरित होती है। प्रति अणु स्वतंत्रता की प्रत्येक कोटि से संबद्ध ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ निकाय का परम ताप है।

(C) गैस के अणु की स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ को उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनसे एक अणु ऊर्जा रख सकता है।
एक गैर-रेखीय (non-linear) बहुपरमाणुक गैस अणु के लिए,$3$ स्थानांतरण (translational) स्वतंत्रता की कोटि और $3$ घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि होती हैं।
इसलिए,गैर-रेखीय बहुपरमाणुक गैस के लिए कुल स्वतंत्रता की कोटि $f = 3 + 3 = 6$ होती है।
यदि बहुपरमाणुक गैस रेखीय है,तो इसमें $3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप $f = 5$ (कमरे के तापमान पर) प्राप्त होता है।
सामान्य तौर पर,एक गैर-रेखीय बहुपरमाणुक अणु के लिए स्वतंत्रता की कोटि $6$ होती है।

(C) किसी कण या वस्तु की स्वतंत्रता की कोटि को अंतरिक्ष में उसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि एक कमरा त्रि-आयामी स्थान है,इसलिए इसमें उड़ने वाली मधुमक्खी $x$,$y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश स्वतंत्र रूप से गति कर सकती है।
अतः,मधुमक्खी के लिए स्वतंत्रता की कोटि $3$ है।

(A) हाँ,तापमान बढ़ने के साथ स्वतंत्रता की कोटि बदल जाती है। कम तापमान पर,केवल स्थानांतरण (translational) और घूर्णन (rotational) स्वतंत्रता की कोटि सक्रिय होती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की कंपन गति (vibrational motion) सक्रिय हो जाती है,जो गैस के अणुओं की कुल स्वतंत्रता की कोटि में जुड़ जाती है।

(C) गैस के अणु की स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ उसकी परमाणुता (एकपरमाणुक,द्विपरमाणुक या बहुपरमाणुक) द्वारा निर्धारित होती है,जो उन स्वतंत्र तरीकों की संख्या को परिभाषित करती है जिनसे एक अणु ऊर्जा को संग्रहीत कर सकता है (स्थानांतरणीय,घूर्णन और कंपन)।
कम तापमान पर,केवल स्थानांतरणीय और घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि सक्रिय होती है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटि भी सक्रिय हो सकती है,इस प्रकार स्वतंत्रता की कोटि परमाणुता और तापमान दोनों पर निर्भर करती है।

(N/A) एक ऊष्मागतिक निकाय में स्वतंत्रता की कुल कोटि,प्रति अणु स्वतंत्रता की कोटि और अणुओं की कुल संख्या के गुणनफल के बराबर होती है।
$NTP$ पर,$1$ मोल आदर्श गैस द्वारा घेरा गया आयतन $22400$ $cc$ होता है।
एवोगाद्रो संख्या $(N_A = 6.023 \times 10^{23})$ का उपयोग करते हुए,$1$ $cc$ में अणुओं की संख्या $(n)$:
$n = \frac{6.023 \times 10^{23}}{22400} \approx 2.688 \times 10^{19}$ अणु।
हाइड्रोजन $(H_2)$ एक द्वि-परमाणुक अणु है। कमरे के तापमान पर,इसकी स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है ($3$ स्थानांतरणीय + $2$ घूर्णन)।
स्वतंत्रता की कुल कोटि $= f \times n = 5 \times 2.688 \times 10^{19} = 1.344 \times 10^{20}$।

(D) एक गैर-रेखीय (त्रिकोणीय) कठोर अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1$. स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटि: $3$ ($x, y, z$ अक्षों के अनुदिश)।
$2$. घूर्णन स्वतंत्रता की कोटि: $3$ (एक गैर-रेखीय अणु के लिए घूर्णन के तीन मुख्य अक्षों के परितः)।
स्वतंत्रता की कुल कोटि $(f)$ = $3 + 3 = 6$।
आदर्श गैस के $n$ मोल की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ $U = \frac{f}{2} nRT$ द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ मोल और $f = 6$ के लिए:
$U = \frac{6}{2} \times 1 \times RT = 3RT$।
अतः,आंतरिक ऊर्जा $3RT$ है।