Pressure and Energy Questions in Hindi

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं का माध्य वर्ग वेग $\overline{v^2}$ गैस के परम ताप $T$ के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$\frac{1}{2} m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k_B T$,जिसका अर्थ है कि $\overline{v^2} \propto T$।
चूंकि माध्य वर्ग वेग अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का सीधा माप है,जो परम ताप पर निर्भर करता है,इसलिए विकल्प $(a)$ तापमान से संबंधित या गणना करने का सही तरीका है।

(C) परम शून्य को $0 \,K$ या $-273.15 \,^\circ C$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = 0 \,K$ पर, वेग $v_{rms}$ शून्य हो जाता है।
इसका अर्थ है कि परम शून्य पर अणुओं की यादृच्छिक तापीय गति रुक जाती है।
इसलिए, विकल्प $(C)$ सही है।

(A) आणविक गति सीधे तौर पर किसी निकाय के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित होती है।
गैसों के अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) के अनुसार,गैस का परम तापमान $T$ उसके अणुओं की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के समानुपाती होता है,जिसे $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ संबंध द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
इसलिए,आणविक गति स्वयं को तापमान के रूप में दर्शाती है।
आंतरिक ऊर्जा अणुओं की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों का योग होती है,इसलिए यह केवल आणविक गति का माप नहीं है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(KE_{avg} \propto T)$।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं का औसत वेग $(v_{rms} \propto \sqrt{T})$ बढ़ जाता है।
चूंकि अणु तेजी से गति करते हैं,इसलिए वे प्रति इकाई समय में पात्र की दीवारों से अधिक बार टकराते हैं।
अतः,प्रति इकाई समय में टक्करों की संख्या बढ़ जाती है।

(A) परम ताप $T$ पर एक आदर्श गैस के अणुओं की स्थानांतरीय गति के कारण औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र निम्नलिखित है:
$K.E. = \frac{3}{2} k_B T$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमान नियतांक है।
चूंकि $\frac{3}{2}$ और $k_B$ नियतांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा परम ताप $T$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,$K.E. \propto T$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$kT$ अभिव्यक्ति तापमान $T$ पर निर्भरता को दर्शाती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमान नियतांक है।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु निरंतर यादृच्छिक गति में होते हैं।
जब ये अणु पात्र की दीवारों से टकराते हैं,तो उनके वेग में परिवर्तन होता है,जिसके परिणामस्वरूप संवेग में परिवर्तन होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के बराबर होती है।
चूंकि यह बल दीवारों के एक निश्चित क्षेत्रफल पर लगाया जाता है,इसलिए इसके परिणामस्वरूप गैस द्वारा दबाव उत्पन्न होता है।
अतः,सही उत्तर $C$ है।

(B) आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho = \frac{M}{V}$ घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग-माध्य-मूल गति है।
चूँकि $\rho = \frac{N \cdot m}{V}$ (जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है),इसलिए $P = \frac{1}{3} \frac{N \cdot m}{V} v_{rms}^2$ होता है।
इसका अर्थ है कि $P \propto m \cdot v_{rms}^2$.
मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = m$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ है। प्रारंभिक दाब $P_0 \propto m \cdot v^2$ है।
परिवर्तनों के बाद,नया द्रव्यमान $m_2 = \frac{m}{2}$ और नई गति $v_2 = 2v$ है।
नया दाब $P$,$m_2 \cdot v_2^2 = (\frac{m}{2}) \cdot (2v)^2 = (\frac{m}{2}) \cdot (4v^2) = 2mv^2$ के समानुपाती है।
नए दाब $P$ की तुलना प्रारंभिक दाब $P_0$ से करने पर,हमें $P = 2P_0$ प्राप्त होता है।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है,जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल वेग है।
हम जानते हैं कि प्रति इकाई आयतन औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} \rho v_{rms}^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,हम लिख सकते हैं कि $\rho v_{rms}^2 = 2E$।
इस मान को दबाव के समीकरण में रखने पर: $P = \frac{1}{3} (2E) = \frac{2}{3}E$।
अतः,सही संबंध $P = \frac{2}{3}E$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए स्थानांतरीय गति की कुल औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2}PV$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $V$ आयतन है।
दिया गया है: $E = 1.5 \times 10^5 \text{ J}$ और $V = 20 \text{ litres} = 20 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
दबाव के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P = \frac{2E}{3V}$.
मान रखने पर: $P = \frac{2 \times (1.5 \times 10^5)}{3 \times (20 \times 10^{-3})}$.
$P = \frac{3 \times 10^5}{60 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 10^5}{6 \times 10^{-2}} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.

(A) गैस द्वारा लगाया गया दबाव एक अदिश राशि है जो गैस के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष अणुओं की यादृच्छिक गति पर निर्भर करता है।
रूट मीन स्क्वायर वेग $\bar{c}$ को गैस के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष परिभाषित किया गया है।
जब पूरा निकाय $v$ वेग के साथ गति करता है,तो अणुओं की यादृच्छिक गति (जो दबाव का कारण बनती है) अपरिवर्तित रहती है क्योंकि पात्र के सापेक्ष अणुओं के सापेक्ष वेग समान रहते हैं।
दबाव $P$ को गतिज सिद्धांत के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $P = \frac{1}{3}\rho\bar{c}^2$.
चूंकि दबाव गैस की थोक गति से स्वतंत्र है,इसलिए दबाव $\frac{1}{3}\rho\bar{c}^2$ ही रहता है।

(A) जब $m$ द्रव्यमान का एक अणु $V$ वेग के साथ एक बर्तन की दीवार से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है,तो वह विपरीत दिशा में समान गति के साथ वापस लौटता है।
अणु का प्रारंभिक संवेग,$p_i = mV$ है।
अणु का अंतिम संवेग,$p_f = -mV$ है।
रैखिक संवेग में परिवर्तन,$\Delta p = p_f - p_i = -mV - (mV) = -2mV$ है।
चूंकि प्रश्न में रैखिक संवेग में परिवर्तन का परिमाण पूछा गया है,इसलिए परिवर्तन $2mV$ है।

(D) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब $P = \frac{2}{3} \times \frac{E}{V}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ कुल आंतरिक गतिज ऊर्जा है और $V$ गैस का आयतन है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PV = \frac{2}{3} E$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $PV = \frac{2}{3} E$ है।

(C) ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $32\, g/mol$ है। अतः,$32\, g$ ऑक्सीजन का अर्थ है $n = 1\, mole$.
केल्विन में तापमान $T = -73 + 273 = 200\, K$ है।
आदर्श गैस की माध्य गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2}nRT$ है।
मान रखने पर: $E = \frac{3}{2} \times 1 \times 8.3 \times 200$.
$E = 3 \times 8.3 \times 100 = 2490\, J$.

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$N$ अणुओं की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = N \times \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए: $E_{H_2} = N_{H_2} \times \frac{3}{2} k_B T$।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए: $E_{O_2} = N_{O_2} \times \frac{3}{2} k_B T$।
यह दिया गया है कि $H_2$ के अणुओं की संख्या $O_2$ से दोगुनी है,इसलिए $N_{H_2} = 2 N_{O_2}$।
अतः,कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_{H_2}}{E_{O_2}} = \frac{N_{H_2} \times \frac{3}{2} k_B T}{N_{O_2} \times \frac{3}{2} k_B T} = \frac{N_{H_2}}{N_{O_2}} = \frac{2 N_{O_2}}{N_{O_2}} = \frac{2}{1}$।
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।

(D) आदर्श गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र: $E = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान (केल्विन में) है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और यह दाब या गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है।
दिया गया है:
$T_1 = -23^{\circ}C = 273 - 23 = 250 \, K$
$E_1 = 5 \times 10^{-14} \, erg$
$T_2 = 227^{\circ}C = 273 + 227 = 500 \, K$
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{5 \times 10^{-14}}{E_2} = \frac{250}{500}$
$\frac{5 \times 10^{-14}}{E_2} = \frac{1}{2}$
$E_2 = 2 \times 5 \times 10^{-14} = 10 \times 10^{-14} \, erg$.

(D) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $(T)$ पर निर्भर करती है,न कि गैस के अणुओं की प्रकृति या द्रव्यमान पर,इसलिए समान तापमान पर किन्हीं भी दो गैसों की औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।

(B) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि $k_B$ एक नियतांक है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
दिए गए तापमान $T_1 = 300 \, K$ और $T_2 = 450 \, K$ हैं।
औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{450} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2:3$ है।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस ऐसे अणुओं से बनी होती है जो बिंदु द्रव्यमान होते हैं और एक-दूसरे पर कोई अंतर-आणविक आकर्षण बल नहीं लगाते हैं।
चूंकि कोई अंतर-आणविक बल नहीं होता है,इसलिए गैस की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ शून्य होती है।
अतः,एक आदर्श गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से उसके अणुओं की गतिज ऊर्जा $(KE)$ के कारण होती है।
इस प्रकार,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र है: $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
चूंकि $k_B$ एक सार्वभौमिक नियतांक है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा केवल गैस के तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
अतः,गैस का तापमान जानना उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

(A) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\frac{f}{2}kT = \frac{3}{2}kT$ होती है,जहाँ $k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
एक ग्राम मोल गैस के लिए,अणुओं की संख्या आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ के बराबर होती है।
इसलिए,प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा $E = N_A \times \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}(N_A k)T$ होती है।
चूँकि $R = N_A k$ होता है,इसलिए व्यंजक $E = \frac{3}{2}RT$ हो जाता है।

(C) एक आदर्श गैस परमाणु की औसत गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K.E. \propto T$ है।
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300\, K$ और अंतिम तापमान $T_2 = 600\, K$ है।
चूंकि तापमान दुगुना हो गया है $(T_2 = 2 T_1)$,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा भी दुगुनी हो जाएगी।

(B) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ गैस का परम तापमान है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ परम तापमान $(T)$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T$.
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293 \, K$.
हम चाहते हैं कि अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2$,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ की दोगुनी हो,इसलिए $E_2 = 2E_1$.
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{E_1}{2E_1} = \frac{293}{T_2}$.
$T_2 = 2 \times 293 = 586 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 586 - 273 = 313^{\circ}C$.

(A) दी गई जानकारी:
ऑक्सीजन का द्रव्यमान,$m = 20 \, g$
ऑक्सीजन का आणविक द्रव्यमान,$M = 32 \, g/mol$
मोलों की संख्या,$n = \frac{m}{M} = \frac{20}{32} = 0.625 \, mol$
तापमान,$T = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \, K$
गैस नियतांक,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$
आदर्श गैस के लिए स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2} nRT$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{3}{2} \times 0.625 \times 8.3 \times 320$
$E = 1.5 \times 0.625 \times 8.3 \times 320$
$E = 2490 \, J$
अतः,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $2490 \, J$ है।

(B) एक आदर्श गैस के $n$ मोल की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}nRT$ द्वारा दी जाती है।
$1 \ gm$ गैस के लिए,मोलों की संख्या $n = \frac{1}{M}$ होती है,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस मान को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर,हमें प्रति ग्राम गतिज ऊर्जा $E_{gm} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{M} \right) RT = \frac{3}{2} \frac{RT}{M}$ प्राप्त होती है।

(D) एक मोल (एक ग्राम अणु) आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$K = \frac{3}{2} RT$
दिए गए मान हैं:
$R = 8.31\,J/mol\cdot K$
$T = 273\,K$ ($STP$ पर सामान्य तापमान)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$K = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$K = 12.465 \times 273$
$K \approx 3402.945\,J$
सार्थक अंकों के अनुसार राउंड ऑफ करने पर:
$K \approx 3.4 \times 10^3\,J$

(C) गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,दो अलग-अलग तापमानों पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$E_2 = 2E_1$.
इन मानों को अनुपात सूत्र में रखने पर:
$\frac{E_1}{2E_1} = \frac{300 \ K}{T_2}$
$\frac{1}{2} = \frac{300 \ K}{T_2}$
$T_2 = 600 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(A) एक आदर्श गैस के प्रति अणु स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K.E._{molecule} = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
गैस के एक मोल के लिए,अणुओं की संख्या एवोगैड्रो संख्या $N_A$ के बराबर होती है।
इसलिए,एक मोल के लिए कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K.E._{molar} = N_A \times (\frac{3}{2} k_B T)$ है।
चूंकि सार्वत्रिक गैस स्थिरांक $R = N_A k_B$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,$K.E._{molar} = \frac{3}{2} RT$ प्राप्त होता है।

(A) एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है: $KE \propto T$.
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $E_1$.
आनुपातिकता संबंध का उपयोग करते हुए:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
मान रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300 \ K}{600 \ K} = \frac{1}{2}$
अतः,$E_2 = 2E_1$.

(C) गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम ताप $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T$.
अतः,अनुपात इस प्रकार है: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
दिया गया है:
$E_1 = 6.21 \times 10^{-21} \, J$
$T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \, K$
$T_2 = 227^oC = 227 + 273 = 500 \, K$
मान रखने पर:
$\frac{6.21 \times 10^{-21}}{E_2} = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}$.
$E_2$ के लिए हल करने पर:
$E_2 = \frac{6.21 \times 10^{-21} \times 5}{3} = 2.07 \times 5 \times 10^{-21} \, J = 10.35 \times 10^{-21} \, J$.

(C) आदर्श गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{3}{2} k_B T$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि स्थानांतरण गतिज ऊर्जा केवल गैस के तापमान $T$ पर निर्भर करती है।
यह गैस की प्रकृति (अर्थात मोलर द्रव्यमान) पर निर्भर नहीं करती है।
चूंकि ${O_2}$ और ${N_2}$ दोनों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए उनकी औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,$E_{N_2} = E_{O_2} = 0.048 \; eV$।

(A) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
$T = 0 \; K$ पर,गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ हो जाती है।
चूंकि वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है,इसलिए $T = 0 \; K$ पर $v_{rms} = 0$ होता है।
अतः,परम शून्य तापमान पर गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

(D) आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है।
$K.E. \propto T$
इसलिए,गतिज ऊर्जा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$
तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलने पर:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$
मानों को अनुपात में रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{1200} = \frac{1}{4}$
इसका अर्थ है:
$E_2 = 4E_1$
अतः,गतिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक मान की चार गुना हो जाएगी।

(D) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करती है और इसे $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
चूंकि दोनों गैसें समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों के लिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा समान होगी।
अतः,औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{KE_{H_2}}{KE_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} k_B T}{\frac{3}{2} k_B T} = 1:1$ है।
गैस का आयतन और द्रव्यमान प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करते हैं।

(B) किसी भी गैस अणु (एक-परमाणुक,द्वि-परमाणुक या बहु-परमाणुक) के लिए स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि (translational degrees of freedom) की संख्या हमेशा $3$ होती है।
गैस की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $(KE_{trans})$ का सूत्र $KE_{trans} = \frac{3}{2}nRT$ होता है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,हमें $KE_{trans} = \frac{3}{2}PV$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक-परमाणुक और द्वि-परमाणुक दोनों गैसों के लिए आयतन $V$ और दाब $P$ समान हैं,इसलिए द्वि-परमाणुक गैस के लिए भी कुल स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2}PV$ ही रहेगी।

(A) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(KE)$,गैस के परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है।
यह संबंध इस प्रकार है: $KE = \frac{3}{2} k_B T$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान स्थिरांक है।
परम शून्य तापमान पर,$T = 0 \ K$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $KE = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,परम शून्य तापमान पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।

(A) गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है: $E \propto T$.
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = -68^\circ C$ है। इसे केल्विन में बदलने पर: $T_1 = 273 + (-68) = 205 \ K$.
हम चाहते हैं कि नई गतिज ऊर्जा $E_2$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1$ की दोगुनी हो,इसलिए $E_2 = 2E_1$.
संबंध $\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2}{T_1}$ का उपयोग करने पर:
$2 = \frac{T_2}{205 \ K}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 2 \times 205 = 410 \ K$.
अंतिम तापमान को वापस सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^\circ C) = 410 - 273 = 137^\circ C$.

(A) एकपरमाणुक गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
दिया गया तापमान $T = 30^oC = 30 + 273 = 303\,K$.
बोल्ट्ज़मान नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23}\,J/K$.
मान रखने पर: $E = \frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 303 = 6.27 \times 10^{-21}\,J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{6.27 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.039\,eV$.
चूँकि $0.039\,eV < 1\,eV$,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम ताप $(T)$ के सीधे समानुपाती होती है,जिसे संबंध $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
चूँकि $E \propto T$,इसलिए $T_1$ और $T_2$ ताप पर दो गैसों के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ होगा।
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 350 \ K$ दिया गया है।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{300}{350} = \frac{6}{7}$।

(A) गैसों के अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) के अनुसार,गैस के अणु निरंतर यादृच्छिक गति में होते हैं।
जब ये अणु एक बंद पात्र की दीवारों से टकराते हैं,तो उनके वेग में परिवर्तन होता है (विशेष रूप से,दीवार के लंबवत वेग के घटक में परिवर्तन होता है)।
चूंकि संवेग को $p = mv$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए वेग में परिवर्तन का अर्थ है संवेग में परिवर्तन।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के बराबर होती है।
इसलिए,अणु दीवारों पर संवेग स्थानांतरित करके बल लगाते हैं,जो गैस के दबाव के रूप में प्रकट होता है।

(D) एक आदर्श गैस की माध्य गतिज ऊर्जा $(E)$ उसके परम ताप $(T)$ के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे संबंध $E \propto T$ या $\frac{E_1}{E_2} = \frac{T_1}{T_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है:
$T_1 = 300\, K$
$E_1 = 100\, J$
$T_2 = 450\, K$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{100}{E_2} = \frac{300}{450}$
$E_2 = 100 \times \frac{450}{300}$
$E_2 = 100 \times 1.5 = 150\, J$.
अतः,$450\, K$ पर माध्य ऊर्जा $150\, J$ होगी।

(D) गैस के अणुओं का कुल संवेग सभी अणुओं के व्यक्तिगत संवेगों का सदिश योग होता है।
$\vec{P}_{total} = \sum m_i \vec{v}_i = N \cdot m \cdot \vec{v}_{avg}$
स्थिर पात्र में,गैस के अणु यादृच्छिक दिशाओं में गति करते हैं।
किसी भी तापमान पर गैस के अणुओं का औसत वेग $\vec{v}_{avg}$ हमेशा शून्य होता है क्योंकि प्रत्येक अणु जो $\vec{v}$ वेग से गति कर रहा है,उसके विपरीत $-\vec{v}$ वेग से गति करने वाले दूसरे अणु की संभावना सांख्यिकीय रूप से समान होती है।
अतः,कुल संवेग $\vec{P}_{total} = M \vec{v}_{avg} = 0$ होगा।

(D) गैस के एक अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक $(1.38 \times 10^{-23}\, J/K)$ है और $T$ परम तापमान है।
$1\, V$ के विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा $E = eV$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19}\, C$ है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2}kT = eV$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{2eV}{3k}$
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{4.14 \times 10^{-23}}$
$T \approx 0.7729 \times 10^4\, K = 7.7 \times 10^3\, K$.

(D) एक मोल आदर्श गैस की गतिज ऊर्जा $(E)$ का सूत्र $E = \frac{3}{2}RT$ है।
सामान्य तापमान और दबाव $(NTP)$ पर,मानक तापमान $T = 273 \text{ K}$ होता है।
गैस नियतांक $R = 8.31 \text{ J/mol-K}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{3}{2} \times 8.31 \times 273$
$E = 1.5 \times 8.31 \times 273$
$E = 12.465 \times 273$
$E \approx 3402.945 \text{ J}$
सार्थक अंकों के अनुसार,$E \approx 3.4 \times 10^3 \text{ J}$ प्राप्त होता है।

(C) गैस के अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $E_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है।
$NTP$ पर तापमान $T = 273 \text{ K}$ होता है।
दिया गया है $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$।
मान रखने पर: $E_{avg} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 273$।
$E_{avg} = 1.5 \times 1.38 \times 273 \times 10^{-23} \text{ J}$।
$E_{avg} = 565.11 \times 10^{-23} \text{ J} = 0.565 \times 10^{-20} \text{ J}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $0.56 \times 10^{-20} \text{ J}$ प्राप्त होता है।

(C) $r.m.s.$ वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3P}{\rho}}$ होता है।
दाब $P$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{\rho V_{rms}^2}{3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\rho = 8.99 \times 10^{-2} \ kg/m^3$ और $V_{rms} = 1840 \ m/s$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times (1840)^2}{3}$.
$P = \frac{8.99 \times 10^{-2} \times 3385600}{3}$.
$P = \frac{304365.44}{3} \approx 101455.14 \ N/m^2$.
सार्थक अंकों के अनुसार,$P \approx 1.01 \times 10^5 \ N/m^2$ प्राप्त होता है।

(A) एक मोल आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{3}{2}RT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूँकि $R$ एक नियतांक है,इसलिए गतिज ऊर्जा $E$ तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होती है $(E \propto T)$।
अतः,दो अलग-अलग तापमानों $T$ और $T'$ पर गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{E'}{E} = \frac{T'}{T}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $T = 300 \ K$ और $T' = 400 \ K$ दिया गया है,
इसलिए $\frac{E'}{E} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3} = 1.33$ होगा।

(A) थर्मल न्यूट्रॉन वे न्यूट्रॉन होते हैं जो अपने परिवेश के साथ तापीय संतुलन में होते हैं,आमतौर पर कमरे के तापमान $(T \approx 300 \text{ K})$ पर।
तापीय संतुलन में एक कण की औसत गतिज ऊर्जा $(E_{avg})$ का सूत्र है:
$E_{avg} = \frac{3}{2} K_B T$
दिया गया है:
$K_B = 8 \times 10^{-5} \text{ eV/K}$
$T = 300 \text{ K}$
मान रखने पर:
$E_{avg} = \frac{3}{2} \times (8 \times 10^{-5} \text{ eV/K}) \times 300 \text{ K}$
$E_{avg} = 1.5 \times 2400 \times 10^{-5} \text{ eV}$
$E_{avg} = 3600 \times 10^{-5} \text{ eV}$
$E_{avg} = 0.036 \text{ eV}$
यह मान $0.03 \text{ eV}$ की कोटि का है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु निरंतर यादृच्छिक गति में होते हैं। जब ये अणु पात्र की दीवारों से टकराते हैं,तो उनके संवेग में परिवर्तन होता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के बराबर होती है। चूंकि अणु दीवारों पर एक निश्चित क्षेत्रफल पर बल लगाते हैं,इसलिए इसके परिणामस्वरूप गैस द्वारा दबाव उत्पन्न होता है। अतः,यह दबाव अणुओं द्वारा पात्र की दीवारों को संवेग स्थानांतरित करने के कारण होता है।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) के अनुसार,एक आदर्श गैस की औसत गतिज ऊर्जा $(K_{avg})$ का सूत्र $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
परम शून्य तापमान $(T = 0 \ K)$ पर,अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = \frac{3}{2} k_B (0) = 0$ हो जाती है।
अतः,परम शून्य तापमान पर परमाणुओं या अणुओं की गति रुक जाती है और उनकी गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है।