Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Hindi

(B) एक आदर्श गैस के लिए,रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $E_{\phi} = \gamma P$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है और $P$ दाब है।
समतापीय प्रत्यास्थता $E_{\theta} = P$ द्वारा दी जाती है।
रुद्धोष्म प्रत्यास्थता और समतापीय प्रत्यास्थता का अनुपात $\frac{E_{\phi}}{E_{\theta}} = \frac{\gamma P}{P} = \gamma$ है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ होता है,इसलिए अनुपात $\frac{C_p}{C_v}$ प्राप्त होता है।

(B) गैस की रुद्धोष्म प्रत्यास्थता $E_{\text{adiabatic}} = \gamma P$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है और $P$ दाब है।
गैस की समतापीय प्रत्यास्थता $E_{\text{isothermal}} = P$ द्वारा दी जाती है।
रुद्धोष्म और समतापीय प्रत्यास्थता का अनुपात $\frac{E_{\text{adiabatic}}}{E_{\text{isothermal}}} = \frac{\gamma P}{P} = \gamma$ होता है।
त्रि-परमाणुक गैस (अरेखीय) के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 6$ होती है। रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{4}{3}$ है।

(A) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ के रूप में परिभाषित है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2})$ है।
अतः,अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + f/2)}{(f/2)R} = \frac{1 + f/2}{f/2} = \frac{2}{f} + 1 = 1 + \frac{2}{f}$ प्राप्त होता है।

(D) स्थानांतरण,घूर्णन और कंपन की स्वतंत्रता की कोटियों को ध्यान में रखते हुए एक द्विपरमाणुक गैस अणु के लिए:
स्थानांतरण स्वतंत्रता की कोटियाँ $(f_t)$ = $3$.
घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ $(f_r)$ = $2$.
कंपन स्वतंत्रता की कोटियाँ $(f_v)$ = $1$ (जो कुल स्वतंत्रता की कोटियों में $2$ का योगदान देता है क्योंकि इसमें गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों शामिल हैं)।
कुल स्वतंत्रता की कोटियाँ $(f)$ = $f_t + f_r + 2f_v = 3 + 2 + 2(1) = 7$.
हालाँकि,यदि प्रश्न $1$ कंपन मोड को स्वतंत्रता की कोटि के एक भाग के रूप में मानता है (जो कुछ संदर्भों में सरलता के लिए किया जाता है),तो $f = 3 + 2 + 1 = 6$.
सूत्र $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ का उपयोग करने पर:
$f = 6$ के लिए,$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(B) नियॉन $(Ne)$ एक एकपरमाणुक गैस है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $3$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{f}{2}R$ है।
$f = 3$ रखने पर,हमें $C_V = \frac{3}{2}R$ प्राप्त होता है।

(D) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,सामान्य तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ $5$ होती है।
स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा के सूत्र $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R$ का उपयोग करने पर।
$f = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_p = (\frac{5}{2} + 1)R = \frac{7}{2}R$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) एक द्वि-परमाणुक गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{f}{2}R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
सामान्य तापमान पर द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ ($3$ स्थानांतरण + $2$ घूर्णन) होती है।
अतः,$C_V = \frac{5}{2}R$।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R \approx 2 \, cal/mol \cdot K$ का उपयोग करने पर,हमें $C_V \approx \frac{5}{2} \times 2 = 5 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$ प्राप्त होता है।
चूंकि इन तापमानों पर सभी द्वि-परमाणुक गैसों की स्वतंत्रता की कोटि समान होती है,इसलिए नियत आयतन पर उनकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा लगभग $5 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$ के बराबर होती है।

(C) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $C_V = \frac{3R}{2}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{R}{\gamma - 1} = \frac{3R}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $R$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2}$ मिलता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$\gamma - 1 = \frac{2}{3}$ होता है।
अतः,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$\gamma$ का मान लगभग $1.67$ है।

(A) मेयर के संबंध के अनुसार,एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
जब $C_P$ और $C_V$ को कैलोरी प्रति मोल प्रति केल्विन $(cal \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1})$ में व्यक्त किया जाता है और $R$ को जूल प्रति मोल प्रति केल्विन $(J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1})$ में लिया जाता है,तो इकाइयों की संगति बनाए रखने के लिए हमें $R$ को ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक $(J)$ से विभाजित करना पड़ता है।
अतः,संबंध $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ है।

(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
दिया गया है:
मोल की संख्या $n = 1 \, mol$.
नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = 21.2 \, J/mol/^{\circ}C$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 1^{\circ}C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta U = 1 \times 21.2 \times 1 = 21.2 \, J$.
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $21.2 \, J$ है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ इस प्रकार दी जाती है:
$U = \frac{f}{2} RT$
जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
नियत आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा को $C_V = \frac{dU}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$C_V = \frac{d}{dT} (\frac{f}{2} RT) = \frac{f}{2} R$.
चूंकि एक आदर्श गैस के लिए $f$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $C_V$ तापमान $T$ से स्वतंत्र है।
इसी प्रकार,$C_P = C_V + R$ भी तापमान से स्वतंत्र है।
अतः,एक आदर्श गैस की विशिष्ट ऊष्मा $T$ से स्वतंत्र होती है।

(A) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का सूत्र ${C_V} = \frac{f}{2}R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $f = 3$ होती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें ${C_V} = \frac{3}{2}R$ प्राप्त होता है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्मा के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: ${C_P} - {C_V} = R$।
चूंकि इकाइयाँ $cal/gm-mole-K$ में हैं,इसलिए सार्वत्रिक गैस नियतांक $R \approx 2 \; cal/mol-K$ है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,${C_V} = \frac{3}{2}R = 3 \; cal/mol-K$ और ${C_P} = \frac{5}{2}R = 5 \; cal/mol-K$ होता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $A$: ${C_P} - {C_V} = 5 - 3 = 2 = R$। यह मेयर के संबंध को संतुष्ट करता है।
विकल्प $B$: ${C_P} - {C_V} = 6 - 4 = 2 = R$। हालांकि यह मेयर के संबंध को संतुष्ट करता है,लेकिन ${C_V} = 4$ साधारण आदर्श गैसों के लिए मानक मान नहीं है।
विकल्प $C$: ${C_P} < {C_V}$,जो भौतिक रूप से असंभव है क्योंकि ${C_P}$ हमेशा ${C_V}$ से बड़ा होना चाहिए।
विकल्प $D$: ${C_P} - {C_V} = 4.2 - 3 = 1.2 \neq R$।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया सेट सबसे विश्वसनीय है क्योंकि यह एक-परमाणुक गैस के सैद्धांतिक मानों के अनुरूप है।

(A) मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V$ और विशिष्ट ऊष्मा $c_V$ के बीच संबंध $C_V = M \cdot c_V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दिया गया है $c_V = 0.075 \, kcal/kg-K = 0.075 \, cal/g-K$ और $C_V = 2.98 \, cal/mole-K$।
मोलर द्रव्यमान $M$ की गणना:
$M = \frac{C_V}{c_V} = \frac{2.98}{0.075} \approx 39.73 \, g/mole$।
एक परमाणु का द्रव्यमान मोलर द्रव्यमान को एवोगाद्रो संख्या $N_A$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$m = \frac{M}{N_A} = \frac{39.73}{6.02 \times 10^{23}} \approx 6.60 \times 10^{-23} \, g$।

(B) हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V} = \frac{R}{J(\gamma - 1)}$ द्वारा दी जाती है।
$\gamma = 1.5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${C_V} = \frac{R}{J(1.5 - 1)} = \frac{R}{J(0.5)} = \frac{2R}{J}$ प्राप्त होता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,${C_P} - {C_V} = \frac{R}{J}$,हमारे पास ${C_P} = {C_V} + \frac{R}{J}$ है।
${C_V}$ का मान रखने पर,हमें ${C_P} = \frac{2R}{J} + \frac{R}{J} = \frac{3R}{J}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प ${C_P} = \frac{3R}{J}$ है।

(A) परिभाषा के अनुसार,स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ वह ऊष्मा है जो $1 \text{ mole}$ गैस का तापमान $1 \text{ K}$ बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है,जबकि आयतन स्थिर रखा जाता है। इस स्थिति में,कोई बाहरी कार्य नहीं किया जाता है $(W = 0)$,इसलिए दी गई सभी ऊष्मा गैस की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने में उपयोग की जाती है।
हालाँकि,स्थिर दाब $(C_P)$ पर,जब गैस को ऊष्मा दी जाती है,तो यह न केवल आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाती है,बल्कि स्थिर बाहरी दाब के विरुद्ध गैस के विस्तार के लिए बाहरी कार्य $(W = P \Delta V)$ भी करती है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। चूंकि $C_P$ को इस विस्तार कार्य को करने के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होती है,इसलिए स्थिर आयतन प्रक्रिया की तुलना में समान तापमान वृद्धि प्राप्त करने के लिए अधिक ऊष्मा की आपूर्ति की जानी चाहिए। इसलिए,$C_P > C_V$।

(C) गैस की विशिष्ट ऊष्मा धारिता को $C = \frac{dQ}{m \cdot dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि ऊष्मा धारिता प्रक्रिया (पथ) पर निर्भर करती है,इसलिए दिए गए तापमान परिवर्तन $dT$ के लिए,दी गई ऊष्मा $dQ$ प्रक्रिया के अनुसार भिन्न हो सकती है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$dT = 0$,इसलिए $C = \frac{dQ}{0} = \infty$।
रुद्धोष्म (एडियाबेटिक) प्रक्रिया के लिए,$dQ = 0$,इसलिए $C = \frac{0}{m \cdot dT} = 0$।
अतः,गैस की विशिष्ट ऊष्मा ऊष्मगतिकीय प्रक्रिया के आधार पर $0$ और $\infty$ के बीच कोई भी मान ले सकती है।

(B) एक-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
मेयर के संबंध ${C_P} - {C_V} = R$ का उपयोग करके,हम स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_P}$ ज्ञात कर सकते हैं।
${C_P} = R + {C_V} = R + \frac{3}{2}R = \frac{5}{2}R$.

(C) रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
दिया गया है $\gamma = 1.4$,इसलिए $1.4 = 1 + \frac{2}{f}$.
इसका अर्थ है $\frac{2}{f} = 0.4$,अतः $f = \frac{2}{0.4} = 5$.
$f = 5$ स्वतंत्रता की कोटि वाली गैस द्विपरमाणुक होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_v} = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा ${C_p} = {C_v} + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ है।
अतः,गैस द्विपरमाणुक है,${C_p} = \frac{7}{2}R$ और ${C_v} = \frac{5}{2}R$ है।

(D) आदर्श गैस के लिए मेयर के संबंध के अनुसार,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $C_P - C_V = R$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसलिए,सूत्र $C_P - C_V = 2R$ गलत है।

(B) द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या $f = 5$ होती है (सामान्य तापमान पर $3$ स्थानांतरण और $2$ घूर्णन)।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ द्वारा दी जाती है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$ प्राप्त होता है।

(D) मेयर के संबंध के अनुसार,किसी भी आदर्श गैस के लिए,स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$C_p - C_v = R$ होता है।
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,यह सभी आदर्श गैसों के लिए समान रहता है,चाहे उनका आणविक द्रव्यमान या संरचना कुछ भी हो।
हाइड्रोजन गैस के लिए,$C_p - C_v = a = R$ है।
ऑक्सीजन गैस के लिए,$C_p - C_v = b = R$ है।
इसलिए,$a = b$।

(D) दिया गया है कि दो विशिष्ट ऊष्माओं का अंतर $C_P - C_V = R = 4150 \ J/kg \ K$ है।
विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4$ है।
हम जानते हैं कि $C_P = \gamma C_V$ होता है।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $\gamma C_V - C_V = R$।
$C_V(\gamma - 1) = R$।
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$।
मान रखने पर: $C_V = \frac{4150}{1.4 - 1} = \frac{4150}{0.4} = 10375 \ J/kg \ K$।

(A) नियत आयतन पर $n$ मोल गैस का तापमान $\Delta T$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1 \text{ मोल}$,$\Delta T = 1 \text{ K}$ दिया गया है,इसलिए आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = 1 \times C_V \times 1 = C_V$ होगी।
एकपरमाणुक गैस के लिए,नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
अतः,आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = \frac{3}{2}R$ होगी।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का संबंध मेयर के संबंध (Mayer's relation) द्वारा दिया जाता है।
यह संबंध $C_P - C_V = R$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक (universal gas constant) है।

(D) मेयर के संबंध के अनुसार,किसी भी आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
$C_P - C_V = R$.
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का मान लगभग $1.987 \, \text{cal/mol-K}$ होता है,जिसे अक्सर $1.99 \, \text{cal/mol-K}$ के रूप में लिया जाता है।
इसलिए,हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ के लिए,जो मानक स्थितियों में एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है,$C_P - C_V = 1.99 \, \text{cal/mol-K}$ सही कथन है।

(A) $NH_3$ एक अरेखीय बहुपरमाणुक गैस है।
एक अरेखीय बहुपरमाणुक अणु के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) की संख्या $f = 6$ होती है।
विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$
समीकरण में $f = 6$ रखने पर:
$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$।
अतः,$NH_3$ के लिए विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $1.33$ है।

(A) स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा का सूत्र है: $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$।
यहाँ $n = 1 \, mol$ है,इसलिए $(\Delta Q)_V = C_V \Delta T$।
हम जानते हैं कि स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2} R$ होती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है।
अतः,$\Delta T = \frac{(\Delta Q)_V}{C_V} = \frac{(\Delta Q)_V}{\frac{f}{2} R} = \frac{2(\Delta Q)_V}{f R}$।
चूँकि $(\Delta Q)_V$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $\Delta T \propto \frac{1}{f}$।
एक-परमाणुक गैस के लिए $f = 3$ और द्वि-परमाणुक गैस के लिए $f = 5$ होता है।
चूँकि $f_{\text{monoatomic}} < f_{\text{diatomic}}$,इसलिए $\Delta T_{\text{monoatomic}} > \Delta T_{\text{diatomic}}$ होगा।
अतः,तापमान में वृद्धि एक-परमाणुक गैस के लिए अधिक होगी।

(C) मेयर के संबंध के अनुसार,गैस नियतांक $R$ और मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P$ तथा $C_V$ के बीच का संबंध $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ द्वारा दिया जाता है।
$J$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $J = \frac{R}{C_P - C_V}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $R = 8.32 \ J/mol \cdot K$ और $C_P - C_V = 1.98 \ cal/mol \cdot K$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$J = \frac{8.32}{1.98} \approx 4.20 \ J/cal$.

(B) विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma$,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_p$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$।
समविभाजन प्रमेय के अनुसार,$C_v = \frac{f}{2}R$ और $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ होता है।
इसलिए,$\gamma = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = 1 + \frac{2}{f}$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\gamma - 1 = \frac{2}{f}$।
$f$ के लिए हल करने पर,हमें $f = \frac{2}{\gamma - 1}$ प्राप्त होता है।

(C) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma$,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ का अनुपात है।
ऊर्जा के समविभाजन के नियम के अनुसार,प्रति मोल आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{n}{2}RT$ होती है।
अतः,$C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{n}{2}R$।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_P = C_V + R = \frac{n}{2}R + R = R(1 + \frac{n}{2})$।
इसलिए,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + \frac{n}{2})}{\frac{n}{2}R} = \frac{1 + \frac{n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2}{n} + 1 = 1 + \frac{2}{n}$।

(B) स्थिर आयतन पर एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए,$C_V = C_P - R$.
यहाँ $n = 5 \text{ मोल}$,$C_P = 8 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$,$R = 2 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$,और $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$ है।
$C_V = 8 - 2 = 6 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \text{ cal}$।

(C) द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2}R$ होती है।
इस मान को $\frac{R}{C_P}$ व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{R}{C_P} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$.
अतः,सही मान $\frac{2}{7}$ है।

(B) दिया गया है: $\mu = 2 \, moles$,$(\Delta Q)_P = 70 \, cal$,$\Delta T = 35^{\circ}C - 30^{\circ}C = 5 \, K$,$R = 2 \, cal/mol \cdot K$.
स्थिर दबाव पर,दी गई ऊष्मा $(\Delta Q)_P = \mu C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $70 = 2 \times C_P \times 5$.
$70 = 10 \times C_P$,जिससे $C_P = 7 \, cal/mol \cdot K$ प्राप्त होता है।
मेयर के संबंध का उपयोग करते हुए: $C_P - C_V = R$.
$C_V = C_P - R = 7 - 2 = 5 \, cal/mol \cdot K$.
अब,स्थिर आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = \mu C_V \Delta T$ है।
$(\Delta Q)_V = 2 \times 5 \times 5 = 50 \, cal$.

(B) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,अचर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ और अचर दाब पर $C_p = \frac{5}{2}R$ होती है।
दिया है $R = 2 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$,अतः $C_v = 3 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$ और $C_p = 5 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$।
अचर दाब प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा $Q_p = n C_p \Delta T$ है।
यहाँ $Q_p = 40 \, \text{cal}$,$n = 1 \, \text{mole}$,और $\Delta T = 10 \, \text{K}$ है।
अतः $40 = 1 \times C_p \times 10$,जिससे $C_p = 4 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$ प्राप्त होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$ होती है,इसलिए $C_v = C_p / \gamma = 4 \times (3/5) = 2.4 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$।
अचर आयतन के लिए,$Q_v = n C_v \Delta T = 1 \times 2.4 \times 10 = 24 \, \text{cal}$।

(C) स्थिर दाब पर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = C_p / C_v$ द्वारा दिया जाता है।
$NH_3$ (अमोनिया) जैसी बहुपरमाणुक गैस के लिए,जिसमें गैर-रेखीय अणु होते हैं,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 6$ होती है।
एडियाबेटिक इंडेक्स की गणना $\gamma = 1 + (2/f)$ के रूप में की जाती है।
$f = 6$ रखने पर,हमें $\gamma = 1 + (2/6) = 1 + 0.33 = 1.33$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,वास्तविक बहुपरमाणुक गैसों के लिए,कंपन संबंधी स्वतंत्रता की कोटि भी योगदान देती है,जिससे $\gamma$ का मान आमतौर पर आदर्श मान $1.33$ से कम होता है।
दिए गए विकल्पों में से,कमरे के तापमान पर $NH_3$ के लिए $1.28$ सबसे सटीक मान है।

(C) दिया गया है: $C_p = 7.2 \, cal/mol \cdot K$,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$। चूंकि $1 \, cal \approx 4.18 \, J$,हम $R$ को $cal$ में बदलते हैं: $R = 8.3 / 4.18 \approx 2 \, cal/mol \cdot K$।
अचर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = C_p - R$ द्वारा दी जाती है।
$C_v = 7.2 - 2 = 5.2 \, cal/mol \cdot K \approx 5 \, cal/mol \cdot K$।
मोलों की संख्या $n = 5 \, mol$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^\circ C - 10^\circ C = 10 \, K$।
अचर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T$ है।
$\Delta Q = 5 \times 5 \times 10 = 250 \, cal$।

(D) स्थिर दाब पर आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $n = 1 \, mol$,$(\Delta Q)_P = 207 \, J$,और $\Delta T = 10 \, K$ दिया गया है।
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7 \, J/mol \cdot K$.
मेयर के संबंध $C_P - C_V = R$ का उपयोग करने पर,हमें $C_V = C_P - R$ प्राप्त होता है।
$C_V = 20.7 - 8.3 = 12.4 \, J/mol \cdot K$.
स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मा $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ है।
$(\Delta Q)_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124 \, J$.

(C) एक-परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ का सूत्र $C_v = \frac{f}{2}R$ है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है। एक-परमाण्विक गैस के लिए,$f = 3$ होता है। इसलिए,$C_v = \frac{3}{2}R$। यह मान स्थिर है और तापमान $(T)$ पर निर्भर नहीं करता है। अतः,$C_v$ बनाम $T$ का ग्राफ $\frac{3}{2}R$ के मान पर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।

(C) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $C_V = R/(\gamma - 1)$,इसलिए $\Delta U = n (R/(\gamma - 1)) \Delta T$ होगा।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर दाब $p$ पर $p \Delta V = nR \Delta T$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\Delta U = p \Delta V / (\gamma - 1)$ प्राप्त होता है।
यहाँ आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
अतः,$\Delta U = pV / (\gamma - 1)$ होगा।

(D) दी गई ऊष्मा ऊर्जा का वह अंश जो आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाता है,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और नियत दाब पर दी गई ऊष्मा के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$f = \frac{\Delta U}{(\Delta Q)_P} = \frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
एक आदर्श द्वि-परमाणुक गैस के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5}$ होता है।
अतः,अंश $f = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ है।

(B) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{5}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने वाली ऊष्मा ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5} = 0.6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\frac{R}{C_V} = 0.67$।
हम जानते हैं कि $R = C_P - C_V$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{C_P - C_V}{C_V} = 0.67$।
इसे सरल करने पर $\frac{C_P}{C_V} - 1 = 0.67$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,इसलिए $\gamma - 1 = 0.67$,जिससे $\gamma = 1.67$ मिलता है।
एक-परमाणुक गैस के लिए,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ होता है।
अतः,गैस एक-परमाणुक है।

(A) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्मा के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_P - C_V = R$।
दिया गया है कि $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,इसलिए हम $C_P = \gamma C_V$ लिख सकते हैं।
इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\gamma C_V - C_V = R$।
$C_V$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $C_V(\gamma - 1) = R$।
अतः,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$।

(D) दिया गया है: $n = 1$ $mol$,$\Delta T = 10$ $K$,$Q_P = 207$ $J$।
नियत दाब पर,$Q_P = n C_P \Delta T$।
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7$ $J/mol$ $K$।
हम जानते हैं कि $C_P - C_V = R$।
$C_V = C_P - R = 20.7 - 8.3 = 12.4$ $J/mol$ $K$।
नियत आयतन पर,आवश्यक ऊष्मा $Q_V = n C_V \Delta T$ है।
$Q_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124$ $J$।

(B) दिया गया है कि स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{7}{2}R$ है।
हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए मोलर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध $C_P - C_V = R$ है।
$C_P$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{7}{2}R - C_V = R$।
$C_V$ के लिए हल करने पर,$C_V = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$ प्राप्त होता है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ है।
मान रखने पर,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) एक परमाण्विक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2}R$ और स्थिर दाब पर $C_P = \frac{5}{2}R$ होती है।
जब स्थिर दाब पर ऊष्मा $\Delta Q$ दी जाती है,तो कुल ऊष्मा ऊर्जा $\Delta Q = \mu C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \mu C_V \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने के लिए उपयोग की गई ऊष्मा ऊर्जा का भाग $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर आयतन पर तापमान बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा $\Delta Q = \mu C_V \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 3$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{1 \ g}{4 \ g/mol} = \frac{1}{4} \ mol$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta Q = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3R}{2} \right) (T_2 - T_1) = \frac{3R}{8} (T_2 - T_1)$।
चूंकि सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = N_A k_B$ है,इसलिए $R$ का मान रखने पर:
$\Delta Q = \frac{3}{8} N_A k_B (T_2 - T_1)$।