Mean Free Path and Real Gases Questions in Hindi

(A) वास्तविक गैसें वान डर वाल्स समीकरण का पालन करती हैं:
$(P + \frac{n^2 a}{V^2})(V - nb) = nRT$
उच्च तापमान $(T)$ और निम्न दाब $(P)$ पर,आयतन $V$ बहुत बड़ा हो जाता है। परिणामस्वरूप,सुधार पद $\frac{n^2 a}{V^2}$ और $nb$ क्रमशः $P$ और $V$ की तुलना में नगण्य हो जाते हैं।
इस प्रकार,समीकरण $PV = nRT$ में सरल हो जाता है।
अतः,वास्तविक गैसें उच्च तापमान और निम्न दाब पर आदर्श गैस के रूप में व्यवहार करती हैं।

(B) क्रांतिक तापमान (critical temperature) वह तापमान है जिसके ऊपर किसी गैस को केवल दबाव डालकर तरल अवस्था में नहीं बदला जा सकता है।
क्रांतिक तापमान से नीचे,गैसीय अवस्था में मौजूद पदार्थ को वाष्प कहा जाता है,क्योंकि इसे दबाव बढ़ाकर तरल में बदला जा सकता है।
क्रांतिक तापमान से ऊपर,पदार्थ ऐसी अवस्था में होता है जहाँ इसे कितना भी दबाव लगाने पर भी तरल में नहीं बदला जा सकता,और यह एक गैस की तरह व्यवहार करता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) किसी गैस का क्रांतिक तापमान वह तापमान है जिसके ऊपर गैस को केवल दबाव डालकर द्रवीभूत नहीं किया जा सकता है,चाहे कितना भी दबाव क्यों न लगाया जाए।
इसलिए,किसी गैस को दबाव द्वारा द्रवीभूत करने से पहले उसे उसके क्रांतिक तापमान या उससे नीचे के तापमान तक ठंडा करना आवश्यक है।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ एक गैस अणु द्वारा क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई औसत दूरी है।
माध्य मुक्त पथ का सूत्र इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$
जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है, $T$ तापमान है, $d$ आणविक व्यास है, और $P$ दबाव है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ आणविक व्यास के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$\lambda \propto \frac{1}{d^2}$
इसलिए, $\lambda \propto d^{-2}$।
अतः, विकल्प $(C)$ सही है।

(C) एक वास्तविक गैस कम दबाव और उच्च तापमान की स्थिति में एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है और $PV = RT$ समीकरण का पालन करती है।
उच्च तापमान पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा बहुत अधिक होती है,जिससे अणुओं के बीच आकर्षण या प्रतिकर्षण के अंतर-आणविक बल नगण्य हो जाते हैं।
कम दबाव पर,गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
इसलिए,इन स्थितियों में गैसों के गतिज सिद्धांत की धारणाएं सत्य होती हैं और वास्तविक गैस आदर्श गैस नियम का पालन करती है।

(C) दिया गया ग्राफ किसी पदार्थ का $T-s$ (तापमान-एन्ट्रॉपी) आरेख दर्शाता है।
रेखा $l$ संतृप्त द्रव रेखा को दर्शाती है और रेखा $g$ संतृप्त गैस रेखा को दर्शाती है।
इन दो रेखाओं के बीच का क्षेत्र 'वेट रीजन' (गीला क्षेत्र) है,जहाँ द्रव और गैस दोनों अवस्थाएँ संतुलन में एक साथ मौजूद होती हैं।
$T_c$ क्रांतिक तापमान को दर्शाता है,जो वह अधिकतम तापमान है जिस पर कोई पदार्थ द्रव और गैस दोनों अवस्थाओं में एक साथ रह सकता है।
इसलिए,किसी पदार्थ के गैस और द्रव अवस्थाओं में एक साथ अस्तित्व के लिए,तापमान क्रांतिक तापमान से कम $(T < T_c)$ होना चाहिए।
सही विकल्प - विकल्प-$C$

(A) एक मोल गैस के लिए Vander Waals समीकरण इस प्रकार है:
$(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$
क्रांतिक बिंदु पर,आयतन $V$ के फलन के रूप में दबाव $P$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
$\frac{\partial P}{\partial V} = 0$ और $\frac{\partial^2 P}{\partial V^2} = 0$
अवस्था समीकरण से,$P = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}$ है।
$V$ के सापेक्ष पहला अवकलज लेने पर:
$\frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3} = 0 \implies \frac{RT}{(V-b)^2} = \frac{2a}{V^3}$ ... $(1)$
$V$ के सापेक्ष दूसरा अवकलज लेने पर:
$\frac{\partial^2 P}{\partial V^2} = \frac{2RT}{(V-b)^3} - \frac{6a}{V^4} = 0 \implies \frac{RT}{(V-b)^3} = \frac{3a}{V^4}$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{V-b}{1} = \frac{2a/V^3}{3a/V^4} = \frac{2V}{3}$
$3V - 3b = 2V \implies V_c = 3b$
$V_c = 3b$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{RT_c}{(3b-b)^2} = \frac{2a}{(3b)^3}$
$\frac{RT_c}{4b^2} = \frac{2a}{27b^3}$
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$

(C) वास्तविक गैस के एक मोल के लिए वेंडर वाल्स समीकरण $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b) = RT$ है।
इस समीकरण में,पद $\frac{a}{V^2}$ दबाव सुधार पद है,जो गैस के अणुओं के बीच अंतर-आणविक आकर्षण बलों को दर्शाता है।
पद $b$ आयतन सुधार पद है,जो गैस के अणुओं के सीमित आकार के कारण छोड़े गए आयतन को दर्शाता है।
अतः,$a$ अंतर-आणविक आकर्षण बल को दर्शाता है और $b$ आयतन में सुधार को दर्शाता है।
सही विकल्प - $C$.

(C) वास्तविक गैसों के लिए वैन डेर वाल्स समीकरण $(P + a(n/V)^2)(V - nb) = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में,पद $a(n/V)^2$ अंतर-आणविक आकर्षण बलों के कारण दाब के लिए सुधार कारक को दर्शाता है।
यहाँ,$n$ अणुओं की संख्या है और $V$ गैस का आयतन है।
गैस की सतह पर एक अणु द्वारा अनुभव किया जाने वाला आकर्षण बल अणुओं के घनत्व $(n/V)$ के समानुपाती होता है।
चूंकि दाब में कमी दीवार से टकराने वाले अणुओं के घनत्व और उन्हें वापस खींचने वाले अणुओं के घनत्व के गुणनफल के समानुपाती होती है,इसलिए दाब में कमी $(n/V) \times (n/V) = (n/V)^2$ के समानुपाती होती है।
अतः,दाब $(n/V)^2$ के अनुपात में कम हो जाता है।
इस प्रकार,विकल्प $(C)$ सही उत्तर है।

(B) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
चूंकि एक आदर्श गैस का दबाव $P$ संख्या घनत्व से $P = nkT$ द्वारा संबंधित है,इसलिए स्थिर तापमान पर दबाव कम करने का अर्थ है कि संख्या घनत्व $n$ कम हो जाता है।
चूंकि $n$,$\lambda$ के व्यंजक के हर (denominator) में है,इसलिए $n$ में कमी माध्य मुक्त पथ $\lambda$ में वृद्धि की ओर ले जाती है।
इसलिए,जब एक बंद बर्तन से गैस बाहर निकाली जाती है,तो अणुओं का माध्य मुक्त पथ बढ़ जाता है।

(B) गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है,$T$ तापमान है,$d$ अणु का व्यास है और $P$ दाब है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ दाब के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\lambda \propto \frac{1}{P}$।
यदि माध्य मुक्त पथ $\lambda$ को दोगुना कर दिया जाए (अर्थात $\lambda' = 2\lambda$),तो नया दाब $P'$ इस प्रकार होगा:
$P' = \frac{P}{2}$।
अतः,यदि माध्य मुक्त पथ दोगुना हो जाता है,तो गैस का दाब अपने प्रारंभिक मान का आधा हो जाएगा।

(C) वास्तविक गैसों के लिए वैन डेर वाल्स समीकरण के अनुसार,दाब $P_{real} = P_{ideal} - a(n/V)^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पद $a(n/V)^2$ अंतर-आणविक आकर्षण बलों के कारण दाब में कमी को दर्शाता है।
यदि ये अंतर-आणविक बल अनुपस्थित हैं (अर्थात $a = 0$),तो प्रेक्षित दाब $P$ आदर्श दाब के बराबर होगा,जो बलों की उपस्थिति में प्रेक्षित दाब से अधिक होता है।
इसलिए,ऐसे बलों की अनुपस्थिति में प्रेक्षित दाब,बलों की उपस्थिति में प्रेक्षित दाब $P$ से अधिक होगा।

(B) एक आदर्श गैस के लिए,संपीड्यता कारक $Z = \frac{PV}{nRT} = 1$ होता है। $n = 1$ मोल के लिए,$Z = \frac{PV}{RT} = 1$ होता है।
कम दबाव पर,सभी वास्तविक गैसें एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती हैं,इसलिए जैसे-जैसे $P$,$0$ के करीब पहुंचता है,$\frac{PV}{RT}$,$1$ के करीब पहुंच जाता है।
जैसे-जैसे दबाव बढ़ता है,अणुओं का सीमित आकार और अंतर-आणविक बल विचलन का कारण बनते हैं।
उच्च दबाव पर अधिकांश वास्तविक गैसों के लिए,अणुओं का आयतन महत्वपूर्ण हो जाता है,जिससे गैस एक आदर्श गैस की तुलना में कम संपीड्य हो जाती है,जो $Z > 1$ की ओर ले जाती है। यह ग्राफ में ऊपर की ओर रुझान के अनुरूप है।
वक्र $B$ इस विशिष्ट व्यवहार को दर्शाता है जहां दबाव बढ़ने पर $\frac{PV}{RT}$ का मान $1$ से ऊपर बढ़ जाता है।

(C) संपीड़्यता कारक $Z$ को $Z = PV/RT$ के रूप में परिभाषित किया गया है। एक आदर्श गैस के लिए,सभी दबावों और तापमानों पर $Z = 1$ होता है।
वास्तविक गैसें उच्च दबाव पर आदर्श व्यवहार से विचलित हो जाती हैं।
नाइट्रोजन गैस के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस अधिक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
दिए गए उच्च दबाव पर,तापमान बढ़ने के साथ $Z = 1$ से विचलन कम हो जाता है।
ग्राफ को देखने पर,वक्र $1$ आदर्श गैस व्यवहार $(Z = 1)$ को दर्शाता है।
वक्र $2, 3,$ और $4$ विभिन्न तापमानों पर वास्तविक गैस व्यवहार को दर्शाते हैं।
चूंकि उच्च तापमान आदर्श व्यवहार के करीब ले जाता है,इसलिए जो वक्र आदर्श रेखा $(Z = 1)$ के सबसे करीब रहता है,वह सबसे उच्च तापमान को दर्शाता है।
इसलिए,वक्र $2$ दिखाए गए वास्तविक गैस वक्रों में सबसे उच्च तापमान का प्रतिनिधित्व करता है,क्योंकि यह आदर्श व्यवहार से सबसे कम विचलन दिखाता है।

(B) एक वास्तविक गैस के लिए एंड्रयूज आइसोथर्म आरेख में,क्रांतिक तापमान को उस तापमान के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ आइसोथर्म का क्षैतिज भाग (जो गैस से तरल में चरण संक्रमण को दर्शाता है) एक एकल इन्फ्लेक्शन बिंदु में सिमट जाता है।
दिए गए $P-V$ वक्रों को देखने पर:
- तापमान ${T_4}$ और ${T_3}$ पर,एक स्पष्ट क्षैतिज क्षेत्र है जो तरल और गैस चरणों के सह-अस्तित्व को दर्शाता है।
- तापमान ${T_2}$ पर,क्षैतिज क्षेत्र एक इन्फ्लेक्शन बिंदु तक सिमट गया है,जो क्रांतिक आइसोथर्म की विशेषता है।
- तापमान ${T_1}$ पर,वक्र सुचारू है और कोई चरण संक्रमण नहीं दिखाता है,जो दर्शाता है कि यह क्रांतिक तापमान से ऊपर है।
इसलिए,गैस का क्रांतिक तापमान ${T_2}$ है।

(B) एक वास्तविक गैस के लिए $P-V$ आरेख में,समतापी वक्र का क्षैतिज भाग गैस से द्रव में अवस्था परिवर्तन को दर्शाता है,जिसे द्रवीकरण कहा जाता है।
दिए गए चित्र में,खंड $BC$ उस स्थिर दबाव वाले क्षेत्र को दर्शाता है जहाँ स्थिर तापमान पर तरल और गैस दोनों अवस्थाएँ एक साथ मौजूद होती हैं।
इसलिए,$CB$ (या $BC$) द्रवीकरण की प्रक्रिया को दर्शाता है।
विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। चूंकि प्रक्रिया समतापीय है (तापमान स्थिर रहता है),इसलिए आदर्श गैस $A$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है।
एक वास्तविक गैस $B$ के लिए,आंतरिक ऊर्जा तापमान और आयतन दोनों पर निर्भर करती है क्योंकि इसमें अंतर-आणविक बल मौजूद होते हैं। जब एक वास्तविक गैस का आयतन बढ़ता है,तो इन आकर्षक अंतर-आणविक बलों के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है,जिससे निकाय की आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है।
अतः,वास्तविक गैस $B$ की आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि,आदर्श गैस $A$ की तुलना में अधिक होती है।

(B) कम दबाव पर,इलेक्ट्रॉनों का माध्य मुक्त पथ (mean free path) काफी बढ़ जाता है।
इस कारण से,इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खोए बिना क्रमिक टक्करों के बीच लंबी दूरी तय कर सकते हैं।
परिणामस्वरूप,वे आरोपित विद्युत क्षेत्र से पर्याप्त गतिज ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं ताकि टक्कर होने पर गैस के परमाणुओं का आयनीकरण हो सके।
आयनीकरण की यह प्रक्रिया अधिक आवेश वाहक (आयन और इलेक्ट्रॉन) बनाती है,जो गैस को विद्युत का संचालन करने की अनुमति देती है।

(C) वांडरवाल्स समीकरण $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b) = RT$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण में,पद $\frac{a}{V^2}$ को दाब $P$ में जोड़ा जाता है जो गैस के अणुओं के बीच अंतर-आणविक आकर्षण बल को दर्शाता है। अतः,$a$ अंतर-आणविक आकर्षण बल से संबंधित एक स्थिरांक है।
पद $b$ को मोलर आयतन $V$ से घटाया जाता है जो गैस के अणुओं द्वारा घेरे गए वास्तविक आयतन को दर्शाता है। अतः,$b$ आयतन सुधार (वर्जित आयतन) से संबंधित एक स्थिरांक है।
इसलिए,$a$ अंतर-आणविक आकर्षण बल को और $b$ आयतन सुधार को दर्शाता है।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,मान्यताएं इस प्रकार हैं:
$1$. अणु बिंदु द्रव्यमान होते हैं और सभी दिशाओं में यादृच्छिक रूप से गति करते हैं।
$2$. अणुओं के बीच और पात्र की दीवारों के साथ टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं।
$3$. अणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक आकर्षण या प्रतिकर्षण बल नहीं होता है।
$4$. अणु अलग-अलग वेगों से गति करते हैं,जो मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण का पालन करते हैं।
$5$. दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(C) एक वास्तविक गैस एक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है जब अंतर-आणविक बल नगण्य होते हैं और गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
ये स्थितियाँ उच्च तापमान (जहाँ गतिज ऊर्जा अंतर-आणविक बलों पर हावी होती है) और कम घनत्व (जहाँ अणुओं के बीच की औसत दूरी अधिक होती है,जिससे अणुओं का आयतन नगण्य हो जाता है) पर संतुष्ट होती हैं।
इसलिए,एक वास्तविक गैस उच्च तापमान और कम घनत्व पर आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ का पालन करती है।

(A) वैन डेर वाल्स गैस के लिए,क्रांतिक स्थिरांक इस प्रकार दिए गए हैं:
$P_c = \frac{a}{27b^2}$
$V_c = 3b$
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$
अब,अनुपात $P_cV_c/T_c$ की गणना करें:
$\frac{P_cV_c}{T_c} = \frac{(\frac{a}{27b^2}) \times (3b)}{\frac{8a}{27Rb}}$
$= \frac{\frac{3a}{27b}}{\frac{8a}{27Rb}}$
$= \frac{3a}{27b} \times \frac{27Rb}{8a}$
$= \frac{3}{8} R$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $(\lambda)$ सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ परम तापमान है,$d$ अणु का व्यास है और $P$ गैस का दबाव है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ $\lambda$ दबाव $P$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात,$\lambda \propto \frac{1}{P}$)।
इसलिए,यदि दबाव $P$ कम किया जाता है,तो माध्य मुक्त पथ $\lambda$ बढ़ जाएगा क्योंकि अणु किसी अन्य अणु के साथ टकराने से पहले औसतन अधिक दूरी तय करेंगे।

(D) वांडरवाल्स नियतांक '$b$' गैस के प्रति मोल के लिए वर्जित आयतन (excluded volume) को दर्शाता है।
इसका सूत्र है: $b = 4 \times N_A \times V_{molecule}$,जहाँ $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है और $V_{molecule} = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
यहाँ व्यास $d = 2.94 \times 10^{-10} \ m$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.47 \times 10^{-10} \ m$ होगी।
$b = 4 \times (6.022 \times 10^{23}) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.47 \times 10^{-10})^3$.
$b = 4 \times (6.022 \times 10^{23}) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (3.1765 \times 10^{-30})$.
$b \approx 32 \times 10^{-6} \ m^3/mol$.

(C) दिया गया है: आणविक त्रिज्या $r = 0.5 \ \mathring A$,इसलिए टक्कर व्यास $d = 2r = 1 \ \mathring A = 10^{-10} \ m$।
तापमान $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$।
दबाव $P = 1 \ atm = 1.01 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$।
माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $P = n k_B T$ का उपयोग करते हुए,संख्या घनत्व $n = \frac{P}{k_B T}$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर: $\bar{l} = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi P d^2}$।
$\bar{l} = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 273}{\sqrt{2} \times 3.14159 \times 1.01 \times 10^5 \times (10^{-10})^2}$।
$\bar{l} = \frac{3.7674 \times 10^{-21}}{4.495 \times 10^{-15}} \approx 8.38 \times 10^{-7} \ m$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार: $\bar{l} \approx 8.425 \times 10^{-7} \ m = 8425 \times 10^{-10} \ m = 8425 \ \mathring A$।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में माध्य मुक्त पथ $\lambda$ के दौरान एक इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा किए गए कार्य के बराबर होती है: $W = qE\lambda$.
यहाँ दी गई ऊर्जा $W = 2 \;eV$,आवेश $q = e$,और माध्य मुक्त पथ $\lambda = 4 \times 10^{-8} \;m$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2 \;eV = e \times E \times (4 \times 10^{-8} \;m)$.
चूंकि $1 \;eV$ एक इलेक्ट्रॉन द्वारा $1 \;V$ के विभवांतर से गुजरने पर प्राप्त ऊर्जा है,इसलिए $2 \;e \;V = e \times E \times 4 \times 10^{-8} \;m$.
दोनों पक्षों को $e$ और $4 \times 10^{-8} \;m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $E = \frac{2}{4 \times 10^{-8}} \;V/m$.
$E = 0.5 \times 10^8 \;V/m = 5 \times 10^7 \;V/m$.

(B) गैस के अणुओं के लिए माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{kT}{\pi d^2 P}$ है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि माध्य मुक्त पथ $\lambda$,दाब $P$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{P}$।
यदि माध्य मुक्त पथ को दोगुना कर दिया जाए $(\lambda' = 2\lambda)$,तो नया दाब $P'$ संबंध $\lambda' \propto \frac{1}{P'}$ को संतुष्ट करेगा।
चूंकि $2\lambda \propto \frac{1}{P'}$,इसलिए हमें $P' = \frac{P}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,दाब $P/2$ हो जाएगा।

(B) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$
जहाँ $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है और $d$ अणु का व्यास है।
चूंकि अणु की त्रिज्या $r$ है,इसलिए व्यास $d = 2r$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (2r)^2} = \frac{1}{4\sqrt{2} n \pi r^2}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{r^2}$।
अतः,माध्य मुक्त पथ $r^2$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(B) टक्कर के बीच का औसत समय $\tau = \frac{\lambda}{v_{rms}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ माध्य मुक्त पथ है और $v_{rms}$ वर्ग माध्य मूल चाल है।
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 (N/V)} \propto V$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \propto \sqrt{T}$.
अतः,$\tau \propto \frac{V}{\sqrt{T}}$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $T \propto V^{1-\gamma}$.
इस मान को $\tau$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau \propto \frac{V}{(V^{1-\gamma})^{1/2}} = \frac{V}{V^{(1-\gamma)/2}} = V^{1 - \frac{1-\gamma}{2}} = V^{\frac{2-1+\gamma}{2}} = V^{\frac{\gamma+1}{2}}$.
इसकी तुलना $V^q$ से करने पर,हमें $q = \frac{\gamma+1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) गैस के लिए माध्य मुक्त पथ $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n}$ है,जहाँ $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = n_{mol} RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n_{mol} = \frac{N}{N_a}$,हमें प्राप्त होता है $P = \frac{N}{V} \frac{RT}{N_a} = n \frac{RT}{N_a}$.
अतः,$n = \frac{P N_a}{RT}$.
$\lambda$ के व्यंजक में $n$ का मान रखने पर,$\lambda = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 P N_a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अणुओं की गति समदैशिक (isotropic) होती है,माध्य मुक्त पथ के घटकों का संबंध $\lambda^2 = \lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_z^2$ है। समरूपता के कारण,$\lambda_x = \lambda_y = \lambda_z$,इसलिए $\lambda^2 = 3 \lambda_x^2$,जिसका अर्थ है $\lambda_x = \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
$\lambda$ का मान रखने पर,$\lambda_x = \frac{RT}{\sqrt{3} \sqrt{2} P N_a \pi \sigma^2} = \frac{RT}{\sqrt{6} P N_a \pi \sigma^2}$ प्राप्त होता है।

(A) एक वास्तविक गैस आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है जब अंतर-आणविक बल नगण्य होते हैं और गैस के अणुओं द्वारा घेरा गया आयतन पात्र के कुल आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
कम दबाव पर,अणु एक-दूसरे से दूर होते हैं,जिससे अंतर-आणविक बल नगण्य हो जाते हैं।
उच्च तापमान पर,अणुओं की गतिज ऊर्जा अधिक होती है,जो अंतर-आणविक बलों के प्रभाव को भी नगण्य बना देती है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कम दबाव पर,दिए गए द्रव्यमान के लिए गैस का आयतन काफी बढ़ जाता है,जिसका अर्थ है कि घनत्व $(\rho = m/V)$ बहुत कम हो जाता है।
यह कम घनत्व दर्शाता है कि अणुओं के बीच की औसत दूरी अधिक है,जो यह स्पष्ट करता है कि गैस आदर्श रूप से व्यवहार क्यों करती है।
इसलिए,कथन-$2$ सत्य है और यह कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,मेयर का संबंध $C_p - C_v = R$ द्वारा दिया जाता है।
अवस्था $A$ में,$C_p - C_v = 1.00 R$,जो दर्शाता है कि गैस इस अवस्था में एक आदर्श गैस के रूप में व्यवहार करती है।
अवस्था $B$ में,$C_p - C_v = 1.06 R$,जो $R$ के बराबर नहीं है,जिसका अर्थ है कि गैस इस अवस्था में आदर्श व्यवहार से विचलित होती है।
वास्तविक गैसें उच्च तापमान और कम दबाव पर आदर्श व्यवहार के करीब पहुंचती हैं।
चूंकि अवस्था $A$,अवस्था $B$ की तुलना में आदर्श व्यवहार के अधिक करीब है,इसलिए यह अवस्था $B$ की तुलना में उच्च तापमान और कम दबाव पर होनी चाहिए।
अतः,$P_A < P_B$ और $T_A > T_B$।

(B) आदर्श गैस में,कोई अंतर-आणविक आकर्षण बल नहीं होते हैं। जब यह निर्वात में फैलती है (जूल विस्तार),तो कोई कार्य नहीं किया जाता है $(W = 0)$ और चूंकि प्रणाली ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए कोई ऊष्मा विनिमय नहीं होता है $(Q = 0)$। ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुसार,$\Delta U = Q - W = 0$। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = f(T))$,$\Delta U = 0$ का अर्थ है $\Delta T = 0$। इस प्रकार,तापमान स्थिर रहता है।
वास्तविक गैस में,अंतर-आणविक आकर्षण बल होते हैं। जब एक वास्तविक गैस निर्वात में फैलती है,तो अणुओं को अपने अलगाव को बढ़ाने के लिए इन आकर्षण बलों के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। चूंकि विस्तार रुद्धोष्म $(Q = 0)$ है और कोई बाहरी कार्य नहीं किया जाता है $(W = 0)$,यह आंतरिक कार्य अणुओं की गतिज ऊर्जा की कीमत पर किया जाता है। परिणामस्वरूप,वास्तविक गैस का तापमान कम हो जाता है।
कथन $-2$ सही है क्योंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा पूरी तरह से गतिज (स्थानांतरणीय) होती है,जबकि एक वास्तविक गैस के लिए,इसमें अंतर-आणविक अंतःक्रियाओं के कारण गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों शामिल होती हैं। चूंकि कथन $-2$ यह बताता है कि वास्तविक गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा क्यों बदलती है (जिससे शीतलन होता है) लेकिन आदर्श गैस के लिए नहीं,इसलिए यह कथन $-1$ के लिए सही व्याख्या है।

(B) दो क्रमिक टक्करों के बीच का औसत समय $\tau = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ माध्य मुक्त पथ है और $v_{avg}$ औसत गति है।
चूंकि $\lambda \propto \frac{T}{P}$ और $v_{avg} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\tau \propto \frac{T/P}{\sqrt{T}} \propto \frac{\sqrt{T}}{P}$ होता है।
दिया गया है $P_1 = 2 \, atm$,$T_1 = 300 \, K$,और $\tau_1 = 6 \times 10^{-8} \, s$.
नई स्थिति के लिए,$P_2 = 2 P_1 = 4 \, atm$ और $T_2 = 500 \, K$.
अनुपात $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{P_1}{P_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tau_2}{6 \times 10^{-8}} = \frac{2}{4} \sqrt{\frac{500}{300}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$\tau_2 = 6 \times 10^{-8} \times 0.5 \times 1.29 \approx 3.87 \times 10^{-8} \, s$.
यह $4 \times 10^{-8} \, s$ के सबसे करीब है।

(A) टक्कर आवृत्ति $Z = \frac{v_{avg}}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ माध्य मुक्त पथ है।
माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n}$ है,जहाँ $n = \frac{N}{V} = \frac{N_A}{V}$ संख्या घनत्व है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $\lambda = \frac{V}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Z = \frac{v_{avg} \sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}{V}$.
दिया गया है: $V = 25 \times 10^{-3} \, m^3$,$\sigma = 0.3 \times 10^{-9} \, m$,$v_{rms} = 200 \, m/s$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$v_{avg} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} v_{rms} \approx 0.921 \times 200 \approx 184.2 \, m/s$ का उपयोग करते हुए।
$Z = \frac{184.2 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 6.022 \times 10^{23}}{25 \times 10^{-3}}$.
$Z \approx \frac{184.2 \times 1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23}}{0.025} \approx \frac{439.5}{0.025} \times 10^5 \approx 1.75 \times 10^{10} \, s^{-1}$.
अतः,टक्कर दर $\sim 10^{10} \, s^{-1}$ है।

(D) आदर्श गैस नियम इस धारणा पर आधारित है कि गैस के कणों का आयतन नगण्य है और उनके बीच कोई अंतर-आणविक बल नहीं है।
वास्तविक गैसें उच्च तापमान और कम दबाव पर आदर्श गैसों की तरह व्यवहार करती हैं,जहाँ कणों की गतिज ऊर्जा अधिक होती है और उनके बीच की औसत दूरी बहुत अधिक होती है।
इसके विपरीत,कम तापमान और उच्च दबाव पर,अंतर-आणविक बल महत्वपूर्ण हो जाते हैं और गैस के कणों के आयतन को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,एक गैस कम तापमान और उच्च दबाव पर आदर्श गैस नियम से अधिकतम विचलन दर्शाती है।

(A) गैस के अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ दो क्रमिक टक्करों के बीच की औसत दूरी है।
यह सूत्र $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ तापमान है,$\sigma$ आणविक व्यास है और $P$ दबाव है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{M P}{R T}$ होता है,इसलिए हम माध्य मुक्त पथ को घनत्व के संदर्भ में $\lambda = \frac{m}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 \rho}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन संबंधों से यह स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{P}$ और $\lambda \propto \frac{1}{\rho}$।
अतः,माध्य मुक्त पथ गैस के दबाव और घनत्व दोनों के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि Assertion कहता है कि यह घनत्व के व्युत्क्रमानुपाती है और Reason कहता है कि यह दबाव के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए दोनों सही हैं।
इसके अलावा,दबाव और घनत्व के बीच का संबंध (स्थिर तापमान पर) यह स्पष्ट करता है कि माध्य मुक्त पथ दोनों पर व्युत्क्रमानुपाती रूप से क्यों निर्भर करता है,इसलिए Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(A) माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n_{v} d^{2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_{v}$ संख्या घनत्व है और $d$ परमाणु का व्यास है।
माध्य मुक्त समय $\tau$ को $\tau = \frac{\lambda}{v_{rms}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$\tau$ के व्यंजक में $\lambda$ और $v_{rms}$ का मान रखने पर:
$\tau = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n_{v} d^{2}} \sqrt{\frac{M}{3RT}}$.
चूंकि दोनों गैसों के लिए $n_{v}$,$R$,और $T$ समान हैं,इसलिए माध्य मुक्त समय का अनुपात $\tau_{Ar} / \tau_{Xe}$ होगा:
$\frac{\tau_{Ar}}{\tau_{Xe}} = \sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{Xe}}} \times \left( \frac{d_{Xe}}{d_{Ar}} \right)^{2}$.
दिया गया है $M_{Ar} = 40$,$M_{Xe} = 140$,$d_{Ar} = 2 \times 0.07 \; nm$,और $d_{Xe} = 2 \times 0.1 \; nm$:
$\frac{\tau_{Ar}}{\tau_{Xe}} = \sqrt{\frac{40}{140}} \times \left( \frac{0.1}{0.07} \right)^{2} = \sqrt{\frac{2}{7}} \times \left( \frac{10}{7} \right)^{2} \approx 0.5345 \times 2.0408 \approx 1.09$.

(N/A) थर्मामीटर $A$ के लिए:
पानी के त्रिक बिंदु पर,$T = 273.16 \; K$,$P_A = 1.250 \times 10^{5} \; Pa$.
सल्फर के गलनांक पर,$P_1 = 1.797 \times 10^{5} \; Pa$.
चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हुए,$T_1 = (P_1 / P_A) \times 273.16 = (1.797 / 1.250) \times 273.16 = 392.69 \; K$.
थर्मामीटर $B$ के लिए:
पानी के त्रिक बिंदु पर,$T = 273.16 \; K$,$P_B = 0.200 \times 10^{5} \; Pa$.
सल्फर के गलनांक पर,$P_2 = 0.287 \times 10^{5} \; Pa$.
चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हुए,$T_1 = (P_2 / P_B) \times 273.16 = (0.287 / 0.200) \times 273.16 = 391.98 \; K$.
$(b)$ ऑक्सीजन और हाइड्रोजन गैसें पूरी तरह से आदर्श नहीं हैं। यह विसंगति इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि वास्तविक गैसें आदर्श गैस व्यवहार से विचलित होती हैं। इस विसंगति को कम करने के लिए,प्रयोग को कम दबाव की स्थिति में किया जाना चाहिए,जहाँ गैसें आदर्श गैसों की तरह व्यवहार करती हैं।

माध्य मुक्त पथ $l$ का सूत्र $l = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ संख्या घनत्व है।
जल के अणु के लिए,व्यास $d \approx 2 \times 10^{-10} \; m$ है।
संख्या घनत्व $n = \frac{\rho}{m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho = 0.6 \; kg \; m^{-3}$ और $m$ जल के एक अणु $(H_2O)$ का द्रव्यमान है।
जल के एक अणु का द्रव्यमान $m = \frac{18 \times 10^{-3} \; kg}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3 \times 10^{-26} \; kg$ है।
अतः,$n = \frac{0.6}{3 \times 10^{-26}} = 2 \times 10^{25} \; m^{-3}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$l = \frac{1}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-10})^2 \times 2 \times 10^{25}}$
$l = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-20} \times 2 \times 10^{25}}$
$l = \frac{1}{35.47 \times 10^5} \approx 2.8 \times 10^{-7} \; m$.

(B) ऑक्सीजन अणु का व्यास,$d = 3 \mathring A = 3 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
त्रिज्या,$r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
$STP$ पर $1 \text{ mole}$ ऑक्सीजन गैस द्वारा घेरा गया वास्तविक आयतन $= 22400 \text{ cm}^3$.
$1 \text{ mole}$ ऑक्सीजन गैस का आणविक आयतन,$V_m = N_A \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जहाँ $N_A = 6.023 \times 10^{23} \text{ molecules/mole}$.
$V_m = 6.023 \times 10^{23} \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{-8})^3$.
$V_m \approx 8.51 \text{ cm}^3$.
आणविक आयतन और वास्तविक आयतन का अनुपात $\frac{V_m}{V_{STP}} = \frac{8.51}{22400} \approx 3.8 \times 10^{-4}$ है।

(A) दिया गया है: दाब $P = 2.0 \; atm = 2.026 \times 10^{5} \; Pa$,तापमान $T = 17^{\circ} C = 290 \; K$,त्रिज्या $r = 1.0 \; \mathring{A} = 1.0 \times 10^{-10} \; m$,व्यास $d = 2r = 2.0 \times 10^{-10} \; m$,आणविक द्रव्यमान $M = 28.0 \times 10^{-3} \; kg/mol$.
$1$. वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}} \approx 508.26 \; m/s$.
$2$. माध्य मुक्त पथ $l = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^{2} P}$। बोल्ट्ज़मान नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$ का उपयोग करते हुए,$l = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 290}{\sqrt{2} \times 3.1416 \times (2.0 \times 10^{-10})^{2} \times 2.026 \times 10^{5}} \approx 1.11 \times 10^{-7} \; m$.
$3$. टक्कर आवृत्ति $f = \frac{v_{rms}}{l} = \frac{508.26}{1.11 \times 10^{-7}} \approx 4.58 \times 10^{9} \; s^{-1}$.
$4$. टक्कर का समय $t_{c} = \frac{d}{v_{rms}} = \frac{2.0 \times 10^{-10}}{508.26} \approx 3.93 \times 10^{-13} \; s$.
$5$. दो टक्करों के बीच का समय $t_{f} = \frac{l}{v_{rms}} = \frac{1.11 \times 10^{-7}}{508.26} \approx 2.18 \times 10^{-10} \; s$.
अनुपात $\frac{t_{f}}{t_{c}} = \frac{2.18 \times 10^{-10}}{3.93 \times 10^{-13}} \approx 555 \approx 500$.

(B) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। हालाँकि,एक वास्तविक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा गैस के तापमान और आयतन दोनों पर निर्भर करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वास्तविक गैसों में अंतर-आणविक बल होते हैं,और जैसे-जैसे अणुओं के बीच की दूरी (जो आयतन से संबंधित है) बदलती है,इन बलों से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा भी बदल जाती है।

(N/A) पदार्थ परमाणुओं या अणुओं से बना होता है। परमाणुओं को इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप या टनलिंग माइक्रोस्कोप का उपयोग करके देखा जा सकता है। परमाणु का आयाम $10^{-10} \; m$ की कोटि का होता है।
पदार्थ की तीन अवस्थाएँ ठोस,द्रव और गैस हैं।
$1$. ठोस: ठोसों में परमाणु निकटता से पैक होते हैं,और दो परमाणुओं के बीच की दूरी $2 \; \mathring{A}$ की कोटि की होती है। परमाणुओं की निकटता के कारण,अंतर-परमाणु बल मजबूत होते हैं,जो उन्हें स्वतंत्र रूप से गति करने से रोकते हैं।
$2$. द्रव: द्रवों में परमाणु ठोसों की तरह कठोरता से स्थिर नहीं होते हैं। परमाणु इधर-उधर घूम सकते हैं,जिससे द्रव प्रवाहित हो सकते हैं। ठोसों की तरह,द्रवों में भी परमाणु एक-दूसरे के बहुत करीब होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप महत्वपूर्ण अंतर-परमाणु बल कार्य करते हैं।
$3$. गैस: गैसों में अंतर-परमाणु दूरी बड़ी होती है,जो आमतौर पर $10 \; \mathring{A}$ की कोटि की होती है। परिणामस्वरूप,अंतर-परमाणु बल बहुत कमजोर होते हैं और परमाणु किसी भी दिशा में स्वतंत्र रूप से गति करने के लिए मुक्त होते हैं। गैसें खुले पात्र में नहीं रहती हैं और फैल जाती हैं। गैस का व्यवहार गतिशील संतुलन द्वारा पहचाना जाता है,जहाँ अणु टकराते हैं और अपनी गति बदलते हैं,जबकि उनके औसत गुण स्थिर रहते हैं। एक अणु बिना टकराए जो औसत दूरी तय करता है उसे 'माध्य मुक्त पथ' (mean free path) कहा जाता है,जो $10^{3} \; \mathring{A}$ की कोटि का होता है।

(N/A) माध्य मुक्त पथ को गैस के एक अणु द्वारा दो क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि कोई अणु $n$ क्रमिक टक्करों के बीच $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n$ दूरियाँ तय करता है,तो माध्य मुक्त पथ $\lambda$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n}{n}$.
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,इसे $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $d$ अणु का व्यास है और $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है।

(N/A)

आदर्श गैस	वास्तविक गैस
$(1)$ यह सभी तापमान और दबाव के लिए $PV = \mu RT$ का पालन करती है।	$(1)$ यह सभी तापमान और दबाव के लिए $PV = \mu RT$ का पालन नहीं करती है।
$(2)$ आदर्श गैस के अणुओं का आयतन शून्य माना जाता है।	$(2)$ वास्तविक गैसों के अणुओं का आयतन शून्य नहीं होता है।
$(3)$ आदर्श गैस में अणुओं के बीच कोई अंतर-आणविक बल कार्य नहीं करता है।	$(3)$ अणुओं के बीच की दूरी के आधार पर उनके बीच आकर्षण या प्रतिकर्षण बल कार्य करता है।
$(4)$ अंतर-परमाणु बल शून्य होता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।	$(4)$ अंतर-परमाणु बल शून्य नहीं होता है, इसलिए स्थितिज ऊर्जा शून्य नहीं होती है।
$(5)$ केवल गतिज ऊर्जा होती है।	$(5)$ गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों होती हैं।
$(6)$ परम शून्य तापमान पर आदर्श गैस का आयतन, दबाव और आंतरिक ऊर्जा शून्य हो जाती है।	$(6)$ सभी वास्तविक गैसें परम शून्य तापमान से पहले तरल अवस्था में आ जाती हैं और तरल अवस्था में गैस की आंतरिक ऊर्जा शून्य नहीं होती है।

(N/A) उदाहरण: रसोई में सिलेंडर से लीक होने वाली गैस को कमरे के दूसरे कोनों तक फैलने में काफी समय लगता है।
इसका कारण यह है कि गैस के अणु छोटे आयतन वाले कठोर गोले की तरह व्यवहार करते हैं; इसलिए,वे यादृच्छिक गति के दौरान एक-दूसरे से टकराते हैं,जिससे उनकी गति और दिशा बदल जाती है।
दो क्रमिक टक्करों के बीच,अणु स्थिर गति के साथ एक सीधी रेखा में यात्रा करते हैं।
मुक्त पथ: दो क्रमिक टक्करों के बीच गैस के एक अणु द्वारा स्थिर गति से तय की गई रैखिक दूरी को मुक्त पथ कहा जाता है।
माध्य मुक्त पथ: एक अणु द्वारा तय किए गए ऐसे मुक्त पथों के औसत को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है।
मान लीजिए कि क्रमिक टक्करों में एक अणु के मुक्त पथ $1, 2, 3, \ldots$ क्रमशः $l_{1}, l_{2}, l_{3}, \ldots$ हैं।
$\therefore \text{माध्य मुक्त पथ } \bar{l} = \frac{\text{मुक्त पथों का योग}}{\text{टक्करों की संख्या}} = \frac{l_{1} + l_{2} + l_{3} + \ldots}{n}$

(N/A) दो क्रमिक टक्करों के बीच गैस के अणुओं द्वारा तय की गई औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है।
माध्य मुक्त पथ की गणना दो परिकल्पनाओं पर आधारित है:
$(1)$ गैस के अणु '$d$' व्यास के कठोर गोले हैं।
$(2)$ गतिमान एक अणु के अलावा अन्य अणुओं को स्थिर माना जाता है।
मान लीजिए कि गैस के अणु का व्यास $d$ है और एक अणु की औसत गति $\langle v \rangle$ है।
मान लीजिए कि यह अणु किसी भी ऐसे अणु से टकराता है जो उनके केंद्रों के बीच $d$ दूरी के भीतर आता है।
यह $\Delta t$ समयांतराल में $\pi d^{2} \langle v \rangle \Delta t$ आयतन को कवर करता है।
यदि $n$ प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या है,तो अणु $\Delta t$ समयांतराल में $n \pi d^{2} \langle v \rangle \Delta t$ टक्करें अनुभव करता है।
इस प्रकार,टक्कर की दर $n \pi d^{2} \langle v \rangle$ है।
दो क्रमिक टक्करों के बीच का समयांतराल:
$\tau = \frac{1}{n \pi \langle v \rangle d^{2}}$
दो क्रमिक टक्करों के बीच की औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है,जिसे $\bar{l}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\therefore \bar{l} = \langle v \rangle \tau$
$\therefore \bar{l} = \frac{1}{n \pi d^{2}}$

(N/A) दिया गया है:
औसत गति $\langle v \rangle = 485 \ m/s$
संख्या घनत्व $n = 2.7 \times 10^{25} \ m^{-3}$
व्यास $d = 2 \ \mathring{A} = 2 \times 10^{-10} \ m$
$1$. माध्य मुक्त पथ $(\bar{l})$:
माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ है।
$\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \times (2.7 \times 10^{25}) \times 3.14 \times (2 \times 10^{-10})^2}$
$\bar{l} = \frac{1}{1.414 \times 2.7 \times 10^{25} \times 3.14 \times 4 \times 10^{-20}}$
$\bar{l} \approx 2.08 \times 10^{-7} \ m$.
$2$. विश्राम समय $(\tau)$:
विश्राम समय का सूत्र $\tau = \frac{\bar{l}}{\langle v \rangle}$ है।
$\tau = \frac{2.08 \times 10^{-7}}{485}$
$\tau \approx 4.29 \times 10^{-10} \ s$.

(N/A) $1$. मुक्त पथ: गैस के एक अणु द्वारा दो क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई दूरी को मुक्त पथ कहा जाता है। इस अंतराल के दौरान,अणु स्थिर वेग के साथ एक सीधी रेखा में गति करता है।
$2$. माध्य मुक्त पथ: गैस के एक अणु द्वारा क्रमिक टक्करों के बीच तय की गई औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है। इसे $\lambda$ द्वारा दर्शाया जाता है। यदि कोई अणु $n$ टक्करों के बीच $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ दूरियाँ तय करता है,तो माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है और $d$ अणु का व्यास है।