Capillary Tube and Capillarity Questions in Gujarati

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીનું વર્તન પ્રવાહી અને કાચની સપાટી વચ્ચેના સંપર્કકોણ પર આધાર રાખે છે.
પાણી અને કાચ માટે, સંપર્કકોણ લઘુકોણ $( < 90^{\circ})$ હોય છે, જેના પરિણામે પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ બળ લાગે છે, જે પાણીને કેશિકામાં ઉપર ચઢાવે છે.
પારા અને કાચ માટે, સંપર્કકોણ ગુરુકોણ $( > 90^{\circ})$ હોય છે, જેના પરિણામે પૃષ્ઠતાણને કારણે નીચેની તરફ બળ લાગે છે, જે પારાના સ્તરને કેશિકામાં નીચે દબાવે છે.
તેથી, પાણી ઉપર ચઢે છે અને પારો નીચે દબાય છે.

(N/A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં:
$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
$\theta$ એ પ્રવાહી અને કેશિકાની દીવાલ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ છે.
$r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે.
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$(i)$ કારણ કે $h \propto \frac{1}{r}$,જેમ કેશનળીની ત્રિજ્યા $r$ ઘટે છે,તેમ સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ વધે છે. તેથી,જવાબ 'વધારે' છે.
$(ii)$ બહિર્ગોળ મેનિસ્કસ માટે,સંપર્કકોણ $\theta > 90^\circ$ હોય છે,જેનાથી $\cos \theta$ ઋણ બને છે,પરિણામે પ્રવાહીનું સ્તર નીચે ઉતરે છે. અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ માટે,સંપર્કકોણ $\theta < 90^\circ$ હોય છે,જેનાથી $\cos \theta$ ધન બને છે,પરિણામે પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે. તેથી,જવાબ અનુક્રમે 'નીચે ઉતરે છે' અને 'ઉપર ચઢે છે' છે.

(N/A) દીવાનું પ્રજ્વલિત થવું એ $Capillarity$ (કેશિકાત્વ) ની ઘટનાને કારણે છે.
દીવામાં,વાટમાં ખૂબ જ ઝીણા છિદ્રો અથવા કેશિકાઓ હોય છે.
જ્યારે દીવામાં તેલ ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ને કારણે તેલ વાટના આ ઝીણા છિદ્રો દ્વારા ઉપર ચઢે છે.
આ પ્રક્રિયાને કેશિકાત્વ (capillary action) કહેવામાં આવે છે,જે તેલને વાટની ટોચ પરની જ્યોત સુધી પહોંચવા દે છે,જેનાથી દીવો સતત પ્રજ્વલિત રહી શકે છે.

(A) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 20 \ mm$ અને નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{3}$ છે.
પ્રમાણસરતા $h' r' = h r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$h' = h \left( \frac{r}{r'} \right) = 20 \times \left( \frac{r}{r/3} \right) = 20 \times 3 = 60 \ mm$.

(N/A) દીવાનો વાટ પાતળા સુતરાઉ રેસાઓમાંથી બનાવવામાં આવે છે. આ રેસાઓ સૂક્ષ્મ કેશનળીઓ (capillary tubes) તરીકે કાર્ય કરે છે. કેશિકાત્વ (capillarity) ની ઘટનાને કારણે,તેલ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ વાટ દ્વારા ઉપર ચઢે છે. વાટના ઉપરના ભાગમાં તેલનો આ સતત પુરવઠો જ્યોતને જાળવી રાખે છે,જેનાથી દીવો પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરી શકે છે.

(N/A) જમીનમાં માટીના કણોની ગોઠવણીને કારણે સૂક્ષ્મ કેશનળીઓ (capillary tubes) બનેલી હોય છે. આ કેશનળીઓ દ્વારા,જમીનના ઊંડા સ્તરોમાંથી પાણી કેશિકાત્વ (capillarity) ને કારણે સપાટી પર આવે છે અને બાષ્પીભવન પામે છે,જેનાથી જમીન સુકાઈ જાય છે. જ્યારે ખેતર ખેડવામાં આવે છે,ત્યારે આ કેશનળીઓ તૂટી જાય છે. આ વિક્ષેપને કારણે પાણી સપાટી પર ઉપર આવી શકતું નથી,અને પરિણામે જમીનમાં ભેજ જળવાઈ રહે છે.

(N/A) સુતરાઉ કપડાંમાં પાતળા તંતુઓ હોય છે જે કેશિકાઓ (capillaries) તરીકે કાર્ય કરે છે. કેશિકાત્વ (capillarity) ની ઘટનાને કારણે,આ તંતુઓ શરીરનો પરસેવો શોષી લે છે. જ્યારે આ શોષાયેલો પરસેવો વાતાવરણના સંપર્કમાં આવે છે,ત્યારે તેનું બાષ્પીભવન થાય છે. બાષ્પીભવન એ ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા હોવાથી,તે શરીરમાંથી ગુપ્ત ઉષ્મા શોષી લે છે,જેનાથી ઠંડકનો અનુભવ થાય છે અને શરીર સૂકું રહે છે.

(N/A) જ્યારે આવી પેન વડે બોર્ડ પર લખવામાં આવે ત્યારે શાહીએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવી પડે છે. ફાઈબરની રિફિલમાં,શાહી ફાઈબર દ્વારા બનેલી કેશિકાઓમાં કેશિકાત્વ (capillary phenomenon) ને કારણે ગતિ કરે છે. આથી,તે બોર્ડ પર અસ્ખલિત રીતે લખવા માટે ઉપયોગી બને છે.

(N/A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કાચની કેશનળીમાં પાણી માટે,સંપર્કકોણ $\theta$ લઘુકોણ (એટલે કે $\theta < 90^{\circ}$) હોય છે,જેના કારણે $\cos \theta$ ધન મળે છે.
અહીં $S, r, \rho,$ અને $g$ બધા ધન અચળાંકો હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ ધન મળે છે. આ દર્શાવે છે કે વક્ર મેનિસ્કસ (meniscus) દ્વારા ઉદ્ભવતા દબાણના તફાવતને સંતુલિત કરવા માટે પાણી કેશનળીમાં ઉપરની તરફ ચઢે છે.

(N/A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પારા અને કાચ માટે,સંપર્કકોણ $\theta$ ગુરુકોણ (આશરે $135^{\circ}$) હોય છે,જે $90^{\circ}$ કરતા વધારે છે.
$90^{\circ}$ કરતા મોટા ખૂણાઓ માટે $\cos \theta$ ઋણ હોવાથી,$h$ નું મૂલ્ય ઋણ મળે છે.
ઋણ ઊંચાઈ દર્શાવે છે કે કેશનળીમાં પારાનું સ્તર બહારના પાત્રમાં રહેલા પારાના સ્તર કરતા નીચું છે. આ ઘટનાને કેશાકર્ષણ અવરોધ (capillary depression) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = 0$ થાય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ અનંત તરફ જાય છે $(h \propto \frac{1}{g})$.
જોકે,પાણીનો સ્તંભ કેશનળીની લંબાઈ દ્વારા મર્યાદિત છે.
તેથી,પાણી નળીની સમગ્ર લંબાઈ સુધી ઉપર ચઢશે.
આમ,કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $20 \ cm$ હશે.

(N/A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $T = 7.28 \times 10^{-2} \ N/m$,$r = 2.5 \times 10^{-5} \ m$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$ (પાણીની ઘનતા),અને $g = 9.8 \ m/s^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{2 \times (7.28 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(2.5 \times 10^{-5}) \times 10^3 \times 9.8}$
$h = \frac{14.56 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-2} \times 9.8} = \frac{14.56}{24.5} \approx 0.594 \ m \approx 0.6 \ m$.
કેશિકા ક્રિયા દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઊંચાઈ માત્ર $0.6 \ m$ જેટલી હોવાથી,તે ઊંચા વૃક્ષો (જે $10 \ m$ થી $100 \ m$ ઊંચા હોઈ શકે છે) ની ટોચ સુધી પાણી પહોંચાડવા માટે અપૂરતી છે. તેથી,માત્ર પૃષ્ઠતાણ બધા વૃક્ષોની ટોચ સુધી પાણી પહોંચાડવા માટે જવાબદાર હોઈ શકે નહીં.

(C) ધારો કે $r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા છે.
મેનિસ્કસની ભૂમિતિ પરથી,સંપર્કકોણ $\theta$ એ સ્પર્શકો વચ્ચેના ખૂણા સાથે સંબંધિત છે. સ્પર્શકો એકબીજા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતા હોવાથી,સ્પર્શક અને શિરોલંબ દીવાલ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ થાય. આમ,સંપર્કકોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{r}{R}$,તેથી $R = \frac{r}{\cos 30^{\circ}} = \frac{r}{\sqrt{3}/2} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $r = 0.15 \times 10^{-3} m$,તેથી $R = \frac{2 \times 0.15 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}} = \frac{0.3 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}} m$.
પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2 \times 0.05 \times \cos 30^{\circ}}{667 \times 10 \times 0.15 \times 10^{-3}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$h = \frac{2T}{\rho g R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{2 \times 0.05}{667 \times 10 \times (\frac{0.3 \times 10^{-3}}{\sqrt{3}})} = \frac{0.1 \times \sqrt{3}}{6670 \times 0.3 \times 10^{-3}} = \frac{0.1732}{2.001} \approx 0.0865\, m$.
નજીકના મૂલ્યમાં લેતા,$h \approx 0.087\, m$.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{\rho gr}$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $S$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$S = \frac{\rho grh}{2 \cos \theta}$ મળે.
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $r = 0.015 \; cm = 1.5 \times 10^{-4} \; m$.
ઊંચાઈ $h = 15 \; cm = 0.15 \; m$.
ઘનતા $\rho = 900 \; kg \; m^{-3}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \; ms^{-2}$.
સંપર્કકોણ $\theta = 0^{\circ}$,તેથી $\cos \theta = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{900 \times 10 \times 0.15 \times 1.5 \times 10^{-4}}{2 \times 1}$
$S = \frac{9000 \times 0.225 \times 10^{-4}}{2}$
$S = \frac{2025 \times 10^{-4}}{2} = 1012.5 \times 10^{-4} \; N/m$.
$mN/m$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \; N/m = 1000 \; mN/m)$:
$S = 1012.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \; mN/m = 101.25 \; mN/m$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $101$ છે.

(D) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશિકા નળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
$h$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
અહીં $T$,$\theta$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$m \propto r$ મળે છે.
પ્રથમ નળી માટે,$m_1 = 5 \, g$ અને $r_1 = r$.
બીજી નળી માટે,$r_2 = 2r$.
પ્રમાણસરતા $m \propto r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2$.
તેથી,$m_2 = 2 \times m_1 = 2 \times 5 \, g = 10 \, g$.

(B) સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે આવેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ પાસે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ,તેથી $P_A = P_B$.
બંને ભુજાઓમાં મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ અનુક્રમે $P_{atm} - \frac{2T}{r_1}$ અને $P_{atm} - \frac{2T}{r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણને સરખાવતા:
$P_{atm} - \frac{2T}{r_1} + \rho g(x + \Delta h) = P_{atm} - \frac{2T}{r_2} + \rho g x$
$\rho g \Delta h = 2T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
અહીં $r_1 = 2.5 \, mm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$ અને $r_2 = 4.0 \, mm = 4.0 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે.
$\Delta h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
$\Delta h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 10} \left( \frac{1}{2.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4.0 \times 10^{-3}} \right)$
$\Delta h = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{10^4} \times 10^3 \left( \frac{1}{2.5} - \frac{1}{4.0} \right)$
$\Delta h = 14.6 \times 10^{-3} \times (0.4 - 0.25) = 14.6 \times 10^{-3} \times 0.15 = 2.19 \times 10^{-3} \, m = 2.19 \, mm$.

(C) $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ પર લાગતું પરિણામી બળ એ પૃષ્ઠતાણ બળ,પ્રવાહીનું વજન અને સ્નિગ્ધ અવરોધક બળના સરવાળા જેટલું હોય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F_s = T(2 \pi a)$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_g = m g = (\pi a^2 h \rho) g$ છે.
પોઈઝ્યુઈલના નિયમ મુજબ,એકમ લંબાઈ દીઠ દબાણનો ઘટાડો $\frac{\Delta P}{h} = \frac{8 \eta v}{a^2}$ છે. નીચેની તરફ લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F_v = \Delta P \cdot A = (\frac{8 \eta v}{a^2} h) (\pi a^2) = 8 \pi \eta h v$ છે,જ્યાં $v = \frac{dh}{dt}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ જેટલો હોય છે:
$\frac{dp}{dt} = F_s - F_g - F_v$
પદોને મૂકતા:
$\frac{dp}{dt} = T(2 \pi a) - (\pi a^2 \rho g h) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{dp}{dt} = -\pi a^2 \rho gh + F$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$F = T(2 \pi a) - 8 \pi \eta h \frac{dh}{dt}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવાહી અને નળીના દ્રવ્ય માટે $T, \theta, \rho,$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h \propto \frac{1}{r}$
વ્યાસ $d = 2r$ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{d}$ થાય.
અહીં $h_1 = 4 \,cm$ અને $d_2 = \frac{d_1}{2}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{h_1}{h_2} = \frac{d_2}{d_1}$
$\frac{4}{h_2} = \frac{d_1 / 2}{d_1} = \frac{1}{2}$
$h_2 = 4 \times 2 = 8 \,cm$.
તેથી,પાણી $8 \,cm$ ની ઊંચાઈ સુધી વધશે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
દીવાની વાટમાં કેરોસીનનું ઉપર ચઢવું એ કેશિકાત્વ (Capillary action) ની ઘટનાને કારણે છે.
વાટ એ રેસાઓનો સમૂહ છે જે અસંખ્ય ઝીણા છિદ્રો અથવા સાંકડી જગ્યાઓ બનાવે છે,જે કેશનળી તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ અને પ્રવાહી તથા વાટના પદાર્થ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે,કેરોસીન ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ આ કેશનળીઓ દ્વારા ઉપર ચઢે છે,જેનાથી તે જ્યોત સુધી પહોંચી શકે છે.

(B) ખેડ કરવાથી જમીનમાં રહેલી કેશિકાઓ (capillaries) તૂટી જાય છે,જેનાથી જમીનમાં ભેજ જળવાઈ રહે છે.
કેશિકાઓ એ જમીનમાં બનેલા સૂક્ષ્મ છિદ્રો કે નળીઓ છે,જેના દ્વારા પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ને કારણે પાણી સપાટી સુધી ઉપર આવે છે અને બાષ્પીભવન પામે છે.
આ કેશિકાઓને તોડવાથી પાણીનું ઉપરની તરફનું વહન અટકી જાય છે,જેથી બાષ્પીભવન અટકે છે અને જમીનમાં ભેજ જળવાઈ રહે છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર: $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $M$ નીચે મુજબ મળે છે: $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$.
$h$ ની કિંમત દળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = \pi r^2 \left( \frac{2S \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho$
$M = \frac{2 \pi S \cos \theta}{g} \times r$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે દળ $M$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(M \propto r)$.
જો નળીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવું દળ $M'$:
$M' \propto r' = 2r$
$M' = 2M$.
તેથી,કેશનળીમાં ઉપર ચઢતા પ્રવાહીનું દળ $2M$ થશે.

(D) કેશળીમાં પ્રવાહીનું ઊંચાઈ $h = \frac{2T}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કેશળીમાં પાણીનું સ્તર પાત્રના સ્તર જેટલું જ રાખવા માટે,આપણે કેશળીમાં વધારાનું દબાણ $P$ લાગુ પાડવું પડે.
મેનિસ્કસની બંને બાજુ દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{2T}{r} = \frac{4T}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આપેલ છે કે $T = 0.07 \,N/m$ અને $d = 0.28 \times 10^{-3} \,m$,તેથી દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{4 \times 0.07}{0.28 \times 10^{-3}} = \frac{0.28}{0.28 \times 10^{-3}} = 10^3 \,N/m^2$.
કુલ જરૂરી દબાણ $P = P_0 + \Delta P$ છે,જ્યાં $P_0 = 10^5 \,N/m^2$.
$P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \,N/m^2$.
આમ,જવાબ $101$ છે.

(A) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે. લિફ્ટ મુક્ત પતન કરતી હોવાથી,$a = g$,તેથી $g_{eff} = 0$ થાય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h \to \infty$ થાય છે.
જોકે,પાણી કેશ નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી ઉપર ચઢશે. નળીની લંબાઈ $20 \, cm$ હોવાથી,પાણી આખી નળીમાં ભરાઈ જશે.

(A) કેશિકા નળીમાં પાણી જે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢી શકે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી અને કાચ માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0^{\circ}$ ધારતા,મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max} = \frac{2T}{r \rho g}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $h_{max} = \frac{2 \times 0.07}{0.25 \times 10^{-3} \times 1000 \times 9.8} = \frac{0.14}{2.45} = 0.0571 \, m = 5.71 \, cm$.
નળી પાણીની સપાટીથી માત્ર $2 \, cm$ ઉપર હોવાથી,પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચશે અને સંતુલન સ્થિતિ $h' = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ જાળવવા માટે તેનો સંપર્કકોણ $\theta$ બદલશે,જ્યાં $h' = 2 \, cm = 0.02 \, m$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{h' r \rho g}{2T} = \frac{0.02 \times 0.25 \times 10^{-3} \times 1000 \times 9.8}{2 \times 0.07} = \frac{0.049}{0.14} = 0.35$.
ખૂણાની ગણતરી કરતા,$\theta = \cos^{-1}(0.35) \approx 69.5^{\circ} \approx 70^{\circ}$.

(A) કેશનળીમાં રહેલો પાણીનો સ્તંભ બંને છેડે અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બનાવે છે.
ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણનું દબાણ છે.
ઉપરના મેનિસ્કસની બરાબર નીચે દબાણ $P_{upper} = P_0 - \frac{2T}{r}$ છે.
નીચેના મેનિસ્કસની બરાબર નીચે દબાણ $P_{lower} = P_0 - \frac{2T}{r}$ છે.
$L$ લંબાઈના પાણીના સ્તંભમાં ઉપરના મેનિસ્કસથી નીચેના મેનિસ્કસ તરફ જતાં,દબાણમાં ફેરફાર નીચે મુજબ થાય છે:
$P_{lower} = P_{upper} + \rho g L$
કિંમતો મૂકતા:
$P_0 - \frac{2T}{r} = (P_0 - \frac{2T}{r}) + \rho g L$
વાસ્તવમાં,સંતુલન માટે દબાણનો તફાવત હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $\rho g L$ ને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
ઉપરના ભાગે દબાણ $P_0 - \frac{2T}{r}$ છે અને નીચેના ભાગે દબાણ $P_0 - \frac{2T}{r}$ છે. સ્તંભના બંને છેડે દબાણનો તફાવત $\rho g L = \frac{4T}{r}$ થાય છે.
તેથી,$L = \frac{4T}{r \rho g}$.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
ધારો કે સંપર્કકોણ $\theta$ અને ત્રિજ્યા $r$ અચળ રહે છે,તેથી $h \propto \frac{S}{\rho}$ મળે.
પ્રવાહી $A$ માટે: $h_1 = 5 \ cm$,પૃષ્ઠતાણ $= S_1$,ઘનતા $= \rho_1$.
પ્રવાહી $B$ માટે: પૃષ્ઠતાણ $S_2 = 2S_1$,ઘનતા $\rho_2 = 2\rho_1$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{S_1}{S_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{h_2} = \frac{S_1}{2S_1} \times \frac{2\rho_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,$h_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$ થાય.

(C) કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે.
જેમ જેમ પાણીનું તાપમાન વધે છે,તેમ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે છે.
કારણ કે $h \propto T$,પૃષ્ઠતાણમાં ઘટાડો થવાથી કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,ઠંડા પાણીની સરખામણીમાં ગરમ પાણીમાં કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈ ઓછી હોય છે.
આમ,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે સંપર્ક કોણ એ ઘન અને પ્રવાહીની સપાટીના સ્વભાવ તેમજ અણુઓ વચ્ચેના સસંજક (cohesive) અને આસંજક (adhesive) બળો પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશનળીની આંતરિક ત્રિજ્યા છે. $h \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,પ્રવાહીનું સ્તર નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) મેનિસ્કસ પર દબાણનું સંતુલન $\frac{2 \sigma}{R} = \rho g h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા છે.
મેનિસ્કસની ભૂમિતિ પરથી,$R = \frac{r}{\cos \theta}$,જ્યાં $r$ એ કેશિકાની ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ સંપર્કકોણ છે.
ઊંચાઈના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho g r}$.
$(A)$ આપેલ દ્રવ્ય માટે,$\theta$ અચળ છે,તેથી $h \propto \frac{1}{r}$. આમ,$r$ વધતા $h$ ઘટે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(B)$ સૂત્ર પરથી,$h \propto \sigma$,તેથી $h$ એ $\sigma$ પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન ખોટું છે.
$(C)$ જો લિફ્ટ $a$ પ્રવેગથી ઉપર જતી હોય,તો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}} = g + a$ થાય છે. નવી ઊંચાઈ $h' = \frac{2 \sigma \cos \theta}{\rho (g+a) r}$ થાય. $g+a > g$ હોવાથી,$h'$ ઘટે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(D)$ સૂત્ર પરથી,$h \propto \cos \theta$,$\theta$ ના સમપ્રમાણમાં નથી. આ વિધાન ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) ધારો કે $R_c$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે. કેશ નળીની ભૂમિતિ પરથી,શિરોલંબ અક્ષ અને નળીની દીવાલ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha/2$ છે. સંપર્કકોણ $\theta$ એ પ્રવાહી સપાટીના સ્પર્શક અને નળીની દીવાલ વચ્ચે માપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\cos(\theta + \alpha/2) = \frac{b}{R_c}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $R_c = \frac{b}{\cos(\theta + \alpha/2)}$.
વક્ર મેનિસ્કસની આરપાર દબાણનો તફાવત $\Delta P = \frac{2S}{R_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળીની અંદર મેનિસ્કસના સ્તરે દબાણને વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $P_0 - \frac{2S}{R_c} + h\rho g = P_0$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $h\rho g = \frac{2S}{R_c}$ મળે છે.
$R_c$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $h\rho g = \frac{2S \cos(\theta + \alpha/2)}{b}$ મળે છે.
તેથી,$h = \frac{2S}{b\rho g} \cos(\theta + \alpha/2)$.

(A) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho gr}$.
આપેલ કિંમતો: $T = 70 \ dyn/cm$,$\theta = 0^{\circ}$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,અને $r = 0.1 \ mm = 0.01 \ cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{2 \times 70 \times \cos 0^{\circ}}{1 \times 980 \times 0.01} = \frac{140}{9.8} = \frac{1400}{98} = \frac{100}{7} \ cm$.
નળી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય.
નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $\ell$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $\ell = \frac{h}{\sin \alpha}$ છે.
$\alpha = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\ell = \frac{100/7}{\sin 60^{\circ}} = \frac{100/7}{\sqrt{3}/2} = \frac{200}{7\sqrt{3}} \approx 16.49 \ cm$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળી પૂરતી લાંબી હોય,ત્યારે પ્રવાહી $h = 2 \ cm$ ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે અને સંપર્કકોણ $\theta = 0^{\circ}$ હોય છે.
જ્યારે નળીને એવી રીતે કાપવામાં આવે અથવા નીચે ઉતારવામાં આવે કે જેથી પ્રવાહીની સપાટીથી તેની લંબાઈ $h' = 1 \ cm$ રહે,ત્યારે પ્રવાહી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચશે અને સંતુલન જાળવવા માટે તેનો સંપર્કકોણ $\theta'$ માં ફેરવાશે.
અહીં $T$,$r$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \cos \theta = h' \cos \theta'$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times \cos(0^{\circ}) = 1 \times \cos(\theta')$.
$\cos(0^{\circ}) = 1$ હોવાથી,$2 \times 1 = \cos(\theta')$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta') = 0.5$.
તેથી,$\theta' = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$T = \frac{h r \rho g}{2 \cos \theta}$ મળે.
આપેલ કિંમતો: $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$r = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$\theta = 0^{\circ}$,અને $g = 10 \ m/s^2$ (પ્રમાણિત ગુરુત્વાકર્ષણ લેતા).
આ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{0.1 \times (2 \times 10^{-3}) \times 10^3 \times 10}{2 \times \cos(0^{\circ})}$
$T = \frac{0.1 \times 2 \times 10}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1 \ N/m$.

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2S \cos \theta}{\rho rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,પાણી $h_1 = 8 \ cm$ ની ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે,જ્યાં સંપર્કકોણ $\theta_1 = 0^{\circ}$ છે (પાણી અને કાચ માટે).
જ્યારે નળીને $h_2 = 6 \ cm$ ની ઊંચાઈએ કાપવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી ભરાઈ જશે કારણ કે $6 \ cm < 8 \ cm$ છે.
આમ,પાણીના સ્તંભની નવી ઊંચાઈ $6 \ cm$ થશે.
$h \propto \cos \theta$ હોવાથી,$\frac{h_1}{\cos \theta_1} = \frac{h_2}{\cos \theta_2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8}{\cos 0^{\circ}} = \frac{6}{\cos \theta_2}$.
$\cos 0^{\circ} = 1$ હોવાથી,$\cos \theta_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ મળે.
તેથી,નવો સંપર્કકોણ $\theta_2 = \cos^{-1} \left( \frac{3}{4} \right)$ થશે.

(B) પૃષ્ઠતાણને કારણે પ્રવાહીના સ્તંભ પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $F = (2 \pi R) T \cos \theta_C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સંતુલન સ્થિતિમાં,પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ પ્રવાહીના વજનને સંતુલિત કરે છે: $(2 \pi R) T \cos \theta_C = W$.
કેશિકામાં ઉપર ચઢતા પ્રવાહી માટે સંપર્કકોણ $\theta_C = 0^{\circ}$ લેતા,$\cos 0^{\circ} = 1$ થાય.
તેથી,$T = \frac{W}{2 \pi R}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{6.2 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-3}}$.
$T = \frac{6.2 \times 10^{-4}}{12.56 \times 10^{-3}} \approx 0.04936 \,N/m \approx 5 \times 10^{-2} \,N/m$.

(C) કેશળીમાં પ્રવાહીનું સ્તર ઊંચું ચઢે અથવા નીચે ઉતરે તે માટેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આપેલ કિંમતો: પૃષ્ઠતાણ $T = 0.465 \ N/m$,ત્રિજ્યા $r = 1.00 \ mm = 10^{-3} \ m$,ઘનતા $\rho = 13.6 \times 10^3 \ kg/m^3$,સંપર્કકોણ $\theta = 135^{\circ}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2 \times 0.465 \times \cos(135^{\circ})}{10^{-3} \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}$.
અહીં $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$ હોવાથી,ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્તર નીચે ઉતરશે.
$h = \frac{2 \times 0.465 \times (-0.707)}{13.6 \times 9.8} \times 10^3 \approx -4.93 \times 10^{-3} \ m$.
$h \approx -5 \times 10^{-3} \ m = -5 \ mm$.
આમ,પારાના સ્તરમાં થતો ઘટાડો આશરે $5 \ mm$ છે.

(D) કેશાકર્ષણ માટે ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g_{eff}}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g_{eff}$ એ અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{g_{eff}}$.
$A$: ગુરુ પર,$g$ પૃથ્વી કરતા ઘણો વધારે છે,તેથી $h$ એ પૃથ્વીની ઊંચાઈ કરતા ઓછી હશે. આ વિધાન સાચું છે.
$B$: અચળ પ્રવેગ $a$ થી ઉપર જતી લિફ્ટમાં,$g_{eff} = g + a > g$,તેથી $h$ એ પૃથ્વીની ઊંચાઈ કરતા ઓછી હશે. આ વિધાન સાચું છે.
$C$: ચંદ્ર પર,$g$ પૃથ્વી કરતા ઓછો છે,તેથી $h$ એ પૃથ્વીની ઊંચાઈ કરતા વધારે હશે. આ વિધાન સાચું છે.
$D$: અચળ પ્રવેગ $a$ થી નીચે આવતી લિફ્ટમાં,$g_{eff} = g - a < g$,તેથી $h$ એ પૃથ્વીની ઊંચાઈ કરતા વધારે હશે. તેથી,ઊંચાઈ $h$ કરતા ઓછી છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) કેશિકા નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ મળે છે.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = 20 \,mm$ અને ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ આપેલ છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A}{4}$ માટે, નવી ઊંચાઈ $h_2$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/4}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી, $h_2 = 2 \times h_1 = 2 \times 20 \,mm = 40 \,mm$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા, $h_2 = 4 \,cm$ મળે છે.

(A) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ સૂત્ર $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 98 \text{ dyne} = 98 \times 10^{-5} \text{ N}$ (કારણ કે $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$).
પૃષ્ઠતાણ $T = 7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1}$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાનો છે.
સૂત્ર $F = T \times L$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L = F / T$ મળે છે.
$L = (98 \times 10^{-5} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})$.
$L = 14 \times 10^{-3} \text{ m}$.
$L = 0.014 \text{ m} = 1.4 \text{ cm}$.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશિકાની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
સમાન પ્રવાહી અને કાચ માટે $T, \theta, \rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને $h \propto \frac{1}{r}$ અથવા $h \propto \frac{1}{d}$ મળે છે,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
ધારો કે $h_P = 2.4 \ cm$ અને $d_P$ એ કેશિકા $P$ નો વ્યાસ છે.
કેશિકા $Q$ માટે,વ્યાસ $d_Q = 0.80 \times d_P$ છે.
સંબંધ $h_P d_P = h_Q d_Q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$h_Q = h_P \times \frac{d_P}{d_Q} = 2.4 \times \frac{d_P}{0.80 \times d_P} = \frac{2.4}{0.80} = 3.0 \ cm$.
તેથી,કેશિકા $Q$ માં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $3.0 \ cm$ છે.

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, r,$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{g}$ મળે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_0$ છે. તેથી,$x = \frac{k}{g_0}$.
ખાણમાં $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g_0(1 - \frac{d}{R}) = g_0(\frac{R-d}{R})$ થાય છે.
તેથી,નવી ઊંચાઈ $Y = \frac{k}{g_d} = \frac{k}{g_0(\frac{R-d}{R})} = \frac{k}{g_0} \cdot \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
$x = \frac{k}{g_0}$ મૂકતા,આપણને $Y = x \cdot \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $Y:x = \frac{R}{R-d}$,એટલે કે $R:(R-d)$ થાય છે.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ સંપર્કકોણ છે,$r$ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
બંને નળીઓ માટે વ્યાસ (અને તેથી ત્રિજ્યા $r$) સમાન હોવાથી,અને સંપર્કકોણ $\theta$ સમાન હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ $\frac{T}{\rho}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right) \times \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{T_1}{T_2} = \frac{6}{5}$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{6}{5}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$ મળે છે.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{g}$.
ધારો કે $g_e$ એ પૃથ્વી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $g_m$ એ ચંદ્ર પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $g_e = 6g_m$,અથવા $g_m = \frac{g_e}{6}$.
ધારો કે $h_e$ એ પૃથ્વી પરની ઊંચાઈ છે અને $h_m$ એ ચંદ્ર પરની ઊંચાઈ છે.
તેથી,$\frac{h_m}{h_e} = \frac{g_e}{g_m} = \frac{g_e}{g_e / 6} = 6$.
આમ,$h_m = 6h_e$.
ચંદ્રની સપાટી પર પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ પૃથ્વીની સપાટી કરતા છ ગણી હશે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$\rho$ એ ઘનતા અને $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $h \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જો ત્રિજ્યા $\frac{r}{5}$ થાય,તો નવી ઊંચાઈ $h' = 5h$ થશે.
કેશનળીમાં પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ દ્વારા મળે છે.
નવી કેશનળી માટે,નવું દળ $m' = \pi (r')^2 h' \rho$ થશે.
$r' = \frac{r}{5}$ અને $h' = 5h$ મૂકતા:
$m' = \pi (\frac{r}{5})^2 (5h) \rho = \pi (\frac{r^2}{25}) (5h) \rho = \frac{1}{5} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{5}$.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$\theta$ એ સંપર્કકોણ,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi r^2$ હોવાથી,$r = \sqrt{\frac{a}{\pi}}$,એટલે કે $r \propto \sqrt{a}$.
તેથી,$h \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$.
ધારો કે $a_1 = a$ માટે ઊંચાઈ $h_1 = h$ છે અને $a_2 = 4a$ માટે ઊંચાઈ $h_2$ છે.
તેથી,$\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}} = \sqrt{\frac{a}{4a}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$h_2 = \frac{h}{2}$.

(A) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = T \cdot L$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 105 \text{ dyne} = 105 \times 10^{-5} \text{ N} = 1.05 \times 10^{-3} \text{ N}$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 7 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાનો છે.
સૂત્ર $L = F / T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = (1.05 \times 10^{-3} \text{ N}) / (7 \times 10^{-2} \text{ N/m})$
$L = 0.15 \times 10^{-1} \text{ m} = 0.015 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $L = 0.015 \times 100 \text{ cm} = 1.5 \text{ cm}$.
આમ,કેશિકા નળીનો આંતરિક પરિઘ $1.5 \text{ cm}$ છે.

(D) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, r,$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{g}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_2}$,જ્યાં $g_1$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $g_2$ એ $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_2 = g_1 \left(1 - \frac{d}{R}\right) = g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{h_2}{h_1} = \frac{g_1}{g_1 \left(\frac{R-d}{R}\right)} = \frac{R}{R-d}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કેશિકાના પરિઘ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉપરની તરફનું બળ $(F)$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = T \times L$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $L$ એ કેશિકાનો આંતરિક પરિઘ છે.
આપેલ છે: $F = 108 \ dyne = 108 \times 10^{-5} \ N$ (કારણ કે $1 \ dyne = 10^{-5} \ N$).
આપેલ છે: $T = 7.2 \times 10^{-2} \ N/m$.
આપણે પરિઘ $L$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $F = T \times L$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$L = F / T$
$L = (108 \times 10^{-5}) / (7.2 \times 10^{-2})$
$L = (108 / 7.2) \times 10^{-3}$
$L = 15 \times 10^{-3} \ m$
$L = 1.5 \times 10^{-2} \ m = 1.5 \ cm$.
તેથી,કેશિકાનો આંતરિક પરિઘ $1.5 \ cm$ છે.