Capillary Tube and Capillarity Questions in Gujarati

(A) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રવાહી અને નળી માટે $T$,$\rho$,$g$ અને સંપર્ક કોણ $\theta$ અચળ હોવાથી,$h \cdot r = \text{અચળ}$ થાય છે.
શરૂઆતમાં,$h_1 = 8 \ cm$ છે. જ્યારે નળીને એવી રીતે નીચે ધકેલવામાં આવે છે કે પાણીના સ્તરથી ઉપરની ઊંચાઈ $h_2 = 5 \ cm$ થાય,ત્યારે પાણી બહાર છલકાતું નથી કારણ કે મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ સંતુલન સ્થિતિ જાળવવા માટે બદલાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$h_1 r_1 = h_2 R_2$,જ્યાં $R_2$ એ મેનિસ્કસની નવી ત્રિજ્યા છે.
જેમ $h$ એ $8 \ cm$ થી ઘટીને $5 \ cm$ થાય છે,તેમ દબાણ સંતુલન જાળવવા માટે મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા $R$ વધે છે.
તેથી,પાણી બહાર છલકાતું નથી; તે ફક્ત તેના મેનિસ્કસનો આકાર બદલે છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણી માટે,ઘનતા $d$ એ $4^{\circ}C$ તાપમાને મહત્તમ હોય છે.
ઊંચાઈ $h$ એ ઘનતા $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(h \propto \frac{1}{d})$,જ્યારે ઘનતા $d$ મહત્તમ હોય ત્યારે ઊંચાઈ $h$ ન્યૂનતમ હશે.
તેથી,કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચઢશે તે $4^{\circ}C$ તાપમાને ન્યૂનતમ હશે.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ,$r$ એ ત્રિજ્યા,$d$ એ ઘનતા,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ અને $\theta$ એ સંપર્કકોણ છે.
પૃષ્ઠતાણ માટે સૂત્ર: $T = \frac{hrdg}{2 \cos \theta}$.
પાણી $(1)$ અને પારો $(2)$ માટે: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{h_1}{h_2} \times \frac{d_1}{d_2} \times \frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1}$.
આપેલ છે: $h_1 = 10 \text{ cm}$,$h_2 = 3.112 \text{ cm}$ (અવપાત),$d_1 = 1 \text{ g/cm}^3$,$d_2 = 13.6 \text{ g/cm}^3$,$\theta_1 = 0^o$,$\theta_2 = 135^o$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{10}{3.112} \times \frac{1}{13.6} \times \frac{\cos(135^o)}{\cos(0^o)} = \frac{10}{3.112 \times 13.6} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx \frac{1}{6}$.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે.
અહીં,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કેશનળી સમાન હોવાથી,$r$ અને $g$ અચળ છે. તેથી,$h \propto \frac{T \cos \theta}{d}$.
પ્રથમ પ્રવાહી (પાણી) માટે: $h_1 = 6 \text{ cm}$,$T_1 = 70 \text{ dynes/cm}$,$\theta_1 = 0^\circ$,$d_1 = 1 \text{ g/cm}^3$.
બીજા પ્રવાહી માટે: $T_2 = 140 \text{ dynes/cm}$,$\theta_2 = 60^\circ$,$d_2 = 2 \text{ g/cm}^3$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1} \times \frac{d_1}{d_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_2}{6} = \frac{140}{70} \times \frac{\cos 60^\circ}{\cos 0^\circ} \times \frac{1}{2}$.
$\frac{h_2}{6} = 2 \times \frac{0.5}{1} \times 0.5 = 2 \times 0.25 = 0.5$.
તેથી,$h_2 = 6 \times 0.5 = 3 \text{ cm}$.

(D) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
જો ત્રિજ્યા $r$ અડધી કરવામાં આવે $(r' = r/2)$,તો નવી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \frac{2T \cos \theta}{(r/2) \rho g} = 2h$ થશે.
તેથી,પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ બે ગણી થાય છે,ચાર ગણી નહીં.
આમ,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.

(B) કેશનળીમાં પાણીનું સ્તર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. જ્યારે નળીને $h' = 12 \,cm$ ની ઊંચાઈએ કાપવામાં આવે છે,જે કુદરતી ઊંચાઈ $16.3 \,cm$ કરતા ઓછી છે,ત્યારે પાણી બહાર છલકાશે નહીં. તેના બદલે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ એવી રીતે ગોઠવાઈ જશે કે જેથી $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = 12 \,cm$ થાય. આમ,પાણી ફક્ત કાપેલી નળીના ઉપરના છેડા સુધી ચઢશે અને ત્યાં સ્થિર રહેશે,અને મોટી વક્રતા ત્રિજ્યા વાળું મેનિસ્કસ બનાવશે.

(C) વક્ર પ્રવાહી સપાટી પરના દબાણનો તફાવત યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta P = \frac{2T}{R}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે કેશનળીને તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે,ત્યારે મેનિસ્કસના સ્તરે દબાણનું સંતુલન આ મુજબ છે: $P_0 - \frac{2T}{R} = P_0 - \rho gh$,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને મળે છે: $\frac{2T}{R} = \rho gh$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{2T}{\rho gh}$.
આ દર્શાવે છે કે $R$ એ $h$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{1}{h}$.
જેમ જેમ નળીને ઉપર ઉઠાવવામાં આવે છે ($h$ વધે છે),તેમ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વધે છે જ્યાં સુધી તે નળીની ત્રિજ્યા $r$ સુધી ન પહોંચે,જે બિંદુએ પ્રવાહી મેનિસ્કસ અલગ થઈ જાય છે અથવા ઊંચાઈ સંતુલિત કેશિકા ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. $R \propto \frac{1}{h}$ દર્શાવતો આલેખ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ $h$ વધવાની સાથે $R$ ઘટતું દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $C$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) આપેલ સંબંધ $T = \frac{rhg}{2} \times 10^3$ છે.
$r = D/2$ હોવાથી,$r$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ એ $D$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ જેટલી જ હોય છે,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta D}{D}$.
$D$ અને $h$ બંને માટે લઘુત્તમ માપ $\Delta D = \Delta h = 0.01 \times 10^{-2} \; m$ છે.
$T$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta h}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.25 \times 10^{-2}} + \frac{0.01 \times 10^{-2}}{1.45 \times 10^{-2}} = \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45}$.
ટકાવારી ત્રુટિ $= \left( \frac{0.01}{1.25} + \frac{0.01}{1.45} \right) \times 100 = \frac{1}{1.25} + \frac{1}{1.45} = 0.8 + 0.6896 \approx 1.5 \%$.
આમ,પૃષ્ઠતાણમાં સંભવિત ત્રુટિ $1.5 \%$ છે.

(B) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જ્યારે આખી વ્યવસ્થાને મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે. લિફ્ટ મુક્ત પતન કરતી હોવાથી,$a = g$,તેથી $g_{eff} = 0$ થાય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ ઊંચાઈ $h$ અનંત તરફ જાય છે $(h \propto 1/g_{eff})$.
જોકે,પાણીનો સ્તંભ કેશ નળીની ભૌતિક લંબાઈ કરતા વધી શકતો નથી.
તેથી,પાણી કેશ નળીની સંપૂર્ણ લંબાઈ સુધી ભરાઈ જશે,જે $20 \ cm$ છે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીનું વર્તન પ્રવાહી અને નળીની સપાટી વચ્ચેના સંપર્કકોણ $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
જે પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવે છે (દા.ત. પાણી),તેમના માટે સંપર્કકોણ લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ હોય છે,જેના પરિણામે કેશનળીમાં પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે.
જે પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતા નથી (દા.ત. પારો),તેમના માટે સંપર્કકોણ ગુરુકોણ $(\theta > 90^{\circ})$ હોય છે.
પારો કાચ સાથે ગુરુકોણ બનાવે છે,તેથી પારાના અણુઓ વચ્ચેનું સસંજન બળ (cohesive force) એ પારા અને કાચ વચ્ચેના આસંજન બળ (adhesive force) કરતા વધારે હોય છે.
પરિણામે,કેશનળીમાં પારાનું સ્તર પાત્રમાં રહેલા પારાના સ્તર કરતા નીચે જાય છે,જેને કેશનળીમાં અવદાબ (capillary depression) કહેવામાં આવે છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તરમાં થતો ફેરફાર (ઊંચાઈ કે ઘટાડો) સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી માટે: $h_w = 10 \ cm$,$\theta_w = 0^o$,$\rho_w = 1 \ g/cc$,$T_w$ એ પાણીનું પૃષ્ઠતાણ છે.
પારા માટે: $h_m = -3.42 \ cm$ (ઘટાડો),$\theta_m = 135^o$,$\rho_m = 13.6 \ g/cc$,$T_m$ એ પારાનું પૃષ્ઠતાણ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_w}{h_m} = \frac{T_w \cos \theta_w}{T_m \cos \theta_m} \times \frac{\rho_m}{\rho_w}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{-3.42} = \frac{T_w \cos 0^o}{T_m \cos 135^o} \times \frac{13.6}{1}$.
$\cos 0^o = 1$ અને $\cos 135^o = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$ હોવાથી:
$\frac{10}{-3.42} = \frac{T_w}{T_m \times (-0.707)} \times 13.6$.
$\frac{T_w}{T_m} = \frac{10 \times (-0.707)}{-3.42 \times 13.6} = \frac{-7.07}{-46.512} \approx 0.152$.
$0.152 \approx \frac{1}{6.58}$. આમ,ગુણોત્તર આશરે $1:6.5$ છે.

(B) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળીને $h' = 12 \, cm$ ની ઊંચાઈએ (જે મૂળ ઊંચાઈ $h = 16.3 \, cm$ કરતા ઓછી છે) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચશે.
તે બહાર છલકાશે નહીં કારણ કે મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $h \cdot R = \text{અચળ}$ શરતને સંતોષવા માટે ગોઠવાઈ જશે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,મેનિસ્કસ વધુ બહિર્ગોળ બનશે (વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વધશે) જેથી $12 \, cm$ ની નવી ઊંચાઈએ દબાણનું સંતુલન જળવાઈ રહે.
તેથી,પાણી છલકાયા વગર $12 \, cm$ ની ઊંચાઈએ નળીના ઉપરના ભાગમાં સ્થિર રહેશે.

(B) ઉભી કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેશનળીને શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પૃષ્ઠતાણ અને નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે.
જો $l$ એ નમેલી નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ હોય,તો શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = l \cos \alpha$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $h = 2.0\ cm$ અને $\alpha = 60^o$ આપેલ છે,તેથી:
$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0}{\cos 60^o} = \frac{2.0}{0.5} = 4.0\ cm$.

(B) અંતર્ગોળ મેનિસ્કસને કારણે પ્લેટો વચ્ચેના પ્રવાહી સ્તંભની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ કરતા ઓછું હોય છે.
મેનિસ્કસની નીચે $y$ ઊંડાઈએ દબાણ $P(y) = P_0 - \frac{2T}{d} + \rho gy$ છે.
બહાર અને અંદર વચ્ચેનો સરેરાશ દબાણ તફાવત $\Delta P_{avg} = \frac{1}{h} \int_0^h (P_0 - P(y)) dy = \frac{1}{h} \int_0^h (\frac{2T}{d} - \rho gy) dy = \frac{2T}{d} - \frac{\rho gh}{2}$ છે.
પાણીના ઉપર ચઢવાની ઊંચાઈ $h = \frac{2T}{\rho gd}$ હોવાથી,આપણે તેને $\Delta P_{avg}$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\Delta P_{avg} = \frac{2T}{d} - \frac{\rho g}{2} (\frac{2T}{\rho gd}) = \frac{2T}{d} - \frac{T}{d} = \frac{T}{d}$.
આકર્ષણ બળ $F$ એ સરેરાશ દબાણ તફાવત અને ડૂબેલી પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $(l \times h)$ નો ગુણાકાર છે:
$F = \Delta P_{avg} \times l \times h = (\frac{T}{d}) \times l \times (\frac{2T}{\rho gd}) = \frac{2T^2l}{\rho gd^2}$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશનળીમાં મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ $P = P_0 - \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$R = 2.5 \, mm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$ અને $r = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બે નળીઓ માટે,પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તર $E$ પર દબાણ સમાન હોય છે.
ધારો કે $h$ એ પ્રવાહીના સ્તર વચ્ચેનો તફાવત છે. પહોળી નળીમાં મેનિસ્કસના સ્તરે દબાણ $P_B = P_0 - \frac{2T}{R}$ છે.
સાંકડી નળીમાં સમાન સ્તરે દબાણ $P_E = P_0 - \frac{2T}{r} + h \rho g$ છે.
દબાણને સરખાવતા: $P_0 - \frac{2T}{R} = P_0 - \frac{2T}{r} + h \rho g$.
$h$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{2 \times 7 \times 10^{-2}}{10^3 \times 10} \left( \frac{1}{1 \times 10^{-3}} - \frac{1}{2.5 \times 10^{-3}} \right)$.
$h = \frac{14 \times 10^{-2}}{10^4} \times 10^3 \left( 1 - \frac{1}{2.5} \right) = 14 \times 10^{-3} \times (1 - 0.4) = 14 \times 10^{-3} \times 0.6 = 8.4 \times 10^{-3} \, m = 8.4 \, mm$.

(A) કેશ નળીમાં પ્રવાહી જે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ માત્ર પ્રવાહીના ગુણધર્મો અને કેશ નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે,જે નળીના નમનથી બદલાતી નથી.
જ્યારે નળીને શિરોલંબ સાથે $\alpha = 60^{\circ}$ ના ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે નળીની અંદર પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $l$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = l \cos \alpha$ છે.
અહીં $h = 2\, cm$ અને $\alpha = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $2 = l \cos 60^{\circ}$.
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,$2 = l \times 0.5$.
તેથી,$l = \frac{2}{0.5} = 4\, cm$.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે.
અહીં,$h = 5\,cm$,$r = 0.2\,cm$,$\theta = 60^o$,$d = 1\,gm/cm^3$,અને $g = 980\,cm/s^2$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા,$T = \frac{hrdg}{2 \cos \theta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{5 \times 0.2 \times 1 \times 980}{2 \times \cos 60^o}$.
$\cos 60^o = 0.5$ હોવાથી,$T = \frac{5 \times 0.2 \times 980}{2 \times 0.5}$.
$T = \frac{1 \times 980}{1} = 980\,dynes/cm$.

(C) કાચના સળિયા અને કેશનળી વચ્ચેની જગ્યાની અસરકારક ત્રિજ્યા તેમની ત્રિજ્યાના તફાવત દ્વારા મળે છે: $r_{eff} = r_2 - r_1 = 2.0\,mm - 1.0\,mm = 1.0\,mm = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
કેશનળીમાં પાણીના ચઢાણ માટેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T}{\rho g r_{eff}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T = 75 \times 10^{-3}\,N/m$,$\rho = 10^3\,kg/m^3$,$g = 10\,m/s^2$,અને $r_{eff} = 1.0 \times 10^{-3}\,m$.
$h = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{10^3 \times 10 \times 1.0 \times 10^{-3}} = \frac{150 \times 10^{-3}}{10} = 15 \times 10^{-3}\,m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 15\,mm$.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ ઉર્ધ્વગમન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણી અને સાબુના દ્રાવણ બંને માટે,મેનિસ્કસ (ચંદ્રાકાર સપાટી) ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સંપર્ક કોણ $\theta$ લઘુકોણ $(< 90^{\circ})$ છે,તેથી $\cos \theta$ ધન છે.
સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $(T)$ શુદ્ધ પાણી કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછું હોય છે.
કારણ કે $h \propto T$,સાબુના દ્રાવણવાળી કેશિકા નળી $(B)$ માં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ પાણીવાળી કેશિકા નળી $(A)$ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,નળી $(A)$ માં પાણીનો સ્તંભ નળી $(B)$ માં સાબુના દ્રાવણના સ્તંભ કરતા વધુ ઊંચાઈએ જશે અને બંનેમાં મેનિસ્કસ અંતર્ગોળ હશે.

(D) જ્યારે આંગળી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના સ્તંભને ઉપરના અને નીચેના બંને મેનિસ્કસ (meniscus) પર લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળો દ્વારા ટેકો મળે છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F_{up} = 2 \pi r T + 2 \pi r T = 4 \pi r T$ છે.
પાણીના સ્તંભના વજનને કારણે નીચેની તરફનું બળ $F_{down} = Mg = V \rho g = \pi r^2 h \rho g$ છે.
સંતુલન માટે,$F_{up} = F_{down}$,તેથી $4 \pi r T = \pi r^2 h \rho g$.
ઊંચાઈ $h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{4 T}{r \rho g}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $T = 70 \,\, dyne/cm$,$r = 1 \,\, mm = 0.1 \,\, cm$,$\rho = 1 \,\, g/cm^3$,અને $g = 980 \,\, cm/sec^2$:
$h = \frac{4 \times 70}{0.1 \times 1 \times 980} = \frac{280}{98} = 2.857 \approx 2.86 \,\, cm$.
આમ,માત્ર $2.86 \,\, cm$ પાણી કેશિકામાં રહેશે અને બાકીનું નીચે પડી જશે.

(B) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તરમાં થતો વધારો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$,જ્યાં:
$T$ એ પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ છે,
$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,
$r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે,
$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,
$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ઊંચાઈ $h$ એ $T, \theta, r, \rho,$ અને $g$ પર આધાર રાખે છે.
તે વાતાવરણીય દબાણ પર આધાર રાખતું નથી.

(A) મિશ્રણની ઘનતા $(\rho_{\text{mix}})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\rho_{\text{mix}} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{m + m}{\frac{m}{0.8} + \frac{m}{1}} = \frac{2m}{1.25m + m} = \frac{2}{2.25} = \frac{200}{225} = \frac{8}{9} \, g/cm^3$.
કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે। સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$ $(\cos 0^\circ = 1)$ લેતા:
$T = \frac{h r \rho g}{2}$.
આપેલ છે: $h = 5 \, cm$, $r = 1 \, mm = 0.1 \, cm$, $\rho = \frac{8}{9} \, g/cm^3$, અને $g = 980 \, cm/s^2$.
$T = \frac{5 \times 0.1 \times (8/9) \times 980}{2}$.
$T = \frac{0.5 \times 8 \times 980}{18} = \frac{4 \times 980}{18} = \frac{3920}{18} \approx 217.77 \, dyne/cm$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, મૂલ્ય $217.9 \, dyne/cm$ મળે છે।

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર ચઢે છે તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$
અહીં $h_1 = 6.6\,cm$ અને $h_2 = 2.2\,cm$ આપેલ છે:
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2.2}{6.6} = \frac{1}{3}$
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(A) કેશનળી પર લાગતા બળો તેનું વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું બળ $(F_s)$ જે પ્રવાહી-હવાના સંપર્ક સપાટી પર નળીના પરિઘ પર લાગે છે.
આપેલ છે:
નળીનું દળ $m = \pi \,g = \pi \times 10^{-3} \,kg$.
ત્રિજ્યા $r = 2\,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.1\,N/m$.
સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
નળીનું વજન $W = mg = (\pi \times 10^{-3}) \times 10 = 10\pi \times 10^{-3} \,N = 10\pi \,mN$.
પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું બળ $F_s = T \times (2\pi r) \times \cos(\theta)$.
$\theta = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos(0^\circ) = 1$.
$F_s = 0.1 \times 2\pi \times (2 \times 10^{-3}) = 0.4\pi \times 10^{-3} \,N = 0.4\pi \,mN$.
નળીને સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બાહ્ય બળ $F$ નીચે મુજબ હોવું જોઈએ:
$F = W + F_s = 10\pi \,mN + 0.4\pi \,mN = 10.4\pi \,mN$.

(A) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં $T, \theta, r,$ અને $\rho$ અચળ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ એ $g$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
પૃથ્વીની સપાટી પર ઊંચાઈ $x = \frac{k}{g}$ છે,જ્યાં $k = \frac{2T \cos \theta}{r \rho}$.
ખાણમાં $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ થાય છે.
નવી ઊંચાઈ $y = \frac{k}{g'} = \frac{k}{g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{x}{y} = \frac{k/g}{k / [g(1 - d/R)]} = 1 - \frac{d}{R}$ થાય છે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
વિધાન-$II$ સાચું છે કારણ કે તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ સામાન્ય રીતે ઘટે છે.
સૂત્ર મુજબ,$h \propto T$ હોવાથી,જો તાપમાન વધવાથી પૃષ્ઠતાણ $T$ ઘટે,તો પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ પણ ઘટવી જોઈએ.
તેથી,વિધાન-$I$ ખોટું છે કારણ કે તે દાવો કરે છે કે તાપમાન સાથે ઊંચાઈ $h$ વધે છે,જ્યારે વાસ્તવમાં તે ઘટે છે.

(C) સંપર્કકોણ $\theta$ એ સંબંધ $\cos \theta = \frac{T_{SA} - T_{SL}}{T_{LA}}$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $T_{SA}$,$T_{SL}$ અને $T_{LA}$ એ અનુક્રમે ઘન-હવા,ઘન-પ્રવાહી અને પ્રવાહી-હવા વચ્ચેના પૃષ્ઠતાણ છે.
સામાન્ય કાચની કેશિકા માટે,પાણી સપાટીને ભીંજવે છે,જેના પરિણામે લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ મળે છે અને કેશિકામાં પાણી ઉપર ચઢે છે $(h > 0)$.
જ્યારે અંદરની દીવાલ પર મીણનું પડ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે સપાટી હાઇડ્રોફોબિક બને છે. મીણવાળી સપાટી પર પાણી માટે,પાણી અને મીણ વચ્ચેનું આસંજક બળ પાણીના સસંજક બળ કરતા નબળું હોય છે. આનાથી પૃષ્ઠતાણનો સંબંધ એવો બને છે કે $\cos \theta$ ઋણ બને છે.
પરિણામે,સંપર્કકોણ $\theta$ વધીને ગુરુકોણ $(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ બને છે.
કેશિકામાં ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ હોવાથી,જ્યારે $\theta > 90^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\cos \theta$ ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીનું સ્તર બહારના સ્તરની સાપેક્ષમાં નીચે જાય છે. આમ,$h$ ઘટે છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T, \theta, \rho,$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
જ્યારે ત્રિજ્યા $2r$ થાય,ત્યારે નવી ઊંચાઈ $h' = h/2$ થાય.
કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $M = \pi r^2 h \rho$ છે.
નવી નળી માટે,દળ $M' = \pi (2r)^2 h' \rho$ થશે.
$h' = h/2$ મૂકતા,આપણને $M' = \pi (4r^2) (h/2) \rho = 2 \pi r^2 h \rho = 2M$ મળે છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ કે ઘટાડાનું સૂત્ર $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પારા માટે $(1)$: $h = \frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g}$.
પાણી માટે $(2)$: $h = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
અહીં $h$ નું મૂલ્ય સમાન હોવાથી: $\frac{2S_1 \cos \theta_1}{r_1 \rho_1 g} = \frac{2S_2 \cos \theta_2}{r_2 \rho_2 g}$.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2}$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}$.
આપેલ છે: $\frac{S_1}{S_2} = 7.5$,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = 13.6 \Rightarrow \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13.6}$,$\theta_1 = 135^o$,$\theta_2 = 0^o$.
$\cos 135^o = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos 0^o = 1$.
માત્ર મૂલ્ય લેતા: $\frac{r_1}{r_2} = 7.5 \times \frac{1}{13.6} \times \frac{1/\sqrt{2}}{1} \approx 0.39$.
આ મૂલ્ય $2/5 = 0.4$ ની નજીક છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ટ્યુબમાં કેશિકા ઉન્નયન $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી માટે,સંપર્ક કોણ $\theta \approx 0^\circ$ છે,તેથી $\cos \theta = 1$.
$r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી લંબવાળી $U$-ટ્યુબમાં સ્તરનો તફાવત $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
આપેલ છે: $T = 0.07\,N/m$,$\Delta h = 3.6\,cm = 3.6 \times 10^{-2}\,m$,$\rho = 1000\,kg/m^3$,$g = 9.8\,m/s^2$,અને $d_1 = 0.4\,mm = 0.4 \times 10^{-3}\,m$ (તેથી $r_1 = 0.2 \times 10^{-3}\,m$).
કિંમતો મૂકતા: $3.6 \times 10^{-2} = \frac{2 \times 0.07}{1000 \times 9.8} \left( \frac{1}{0.2 \times 10^{-3}} - \frac{1}{r_2} \right)$.
$3.6 \times 10^{-2} = \frac{0.14}{9800} \left( 5000 - \frac{1}{r_2} \right)$.
$r_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r_2 = 4 \times 10^{-3}\,m$ મળે છે.
કારણ કે $d = 2r_2$,તેથી $d = 8 \times 10^{-3}\,m$.

(D) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $F = T \times L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ કેશનળીનો પરિઘ છે $(L = 2 \pi r)$.
આપેલ છે કે ઉપરની તરફનું બળ પાણીના વજનને સંતુલિત કરે છે,તેથી:
$T \times (2 \pi r) = \text{પાણીનું વજન}$
$T \times L = 75 \times 10^{-4} \ N$
પૃષ્ઠતાણ $T = 12 \times 10^{-2} \ N/m$ ની કિંમત મૂકતા:
$(12 \times 10^{-2}) \times L = 75 \times 10^{-4}$
$L = \frac{75 \times 10^{-4}}{12 \times 10^{-2}}$
$L = 6.25 \times 10^{-2} \ m$
આમ,કેશનળીનો આંતરિક પરિઘ $6.25 \times 10^{-2} \ m$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશનળીમાં પ્રવાહીનું સ્તર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho rg}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ભુજા માટે જેની ત્રિજ્યા $r_1$ છે,કેશિકા ઉન્નયન $h_1 = \frac{2T \cos 0^o}{\rho r_1 g} = \frac{2T}{\rho r_1 g}$ છે.
બીજી ભુજા માટે જેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે,કેશિકા ઉન્નયન $h_2 = \frac{2T \cos 0^o}{\rho r_2 g} = \frac{2T}{\rho r_2 g}$ છે.
બે ભુજાઓ વચ્ચેના સ્તરનો તફાવત $h = h_1 - h_2$ છે.
$h_1$ અને $h_2$ ના પદો મૂકતા: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
કૌંસમાં રહેલા પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$.
પૃષ્ઠતાણ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T = \frac{h \rho g r_1 r_2}{2(r_2 - r_1)}$.

(B) આપેલ છે: કેશિકાની ત્રિજ્યા $r = 2.5 \times 10^{-5} \, m$,પૃષ્ઠતાણ $S = 7.28 \times 10^{-2} \, N \, m^{-1}$,સંપર્કકોણ $\theta = 0^{\circ}$,ઘનતા $\rho = 10^3 \, kg \, m^{-3}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$.
કેશિકામાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{2 \times (7.28 \times 10^{-2}) \times \cos 0^{\circ}}{(2.5 \times 10^{-5}) \times 10^3 \times 9.8}$.
$\cos 0^{\circ} = 1$ હોવાથી:
$h = \frac{14.56 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-2} \times 9.8} = \frac{14.56}{24.5} \approx 0.594 \, m$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊંચાઈ $0.59 \, m$ મળે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશનળીમાં પાણી $h$ ઊંચાઈ સુધી ચડે છે,જેનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $m \propto r$.
બીજી કેશનળી માટે જેની ત્રિજ્યા $r' = 2r$ છે,તેનું દળ $m'$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{m'}{m} = \frac{r'}{r} = \frac{2r}{r} = 2$.
તેથી,$m' = 2m = 2 \times 5 \, g = 10 \, g$.

(D) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g_{eff}}$ અનંત તરફ જાય છે.
જોકે,પાણીનો સ્તંભ ભૌતિક રીતે કેશ નળીની લંબાઈ દ્વારા મર્યાદિત છે.
તેથી,પાણી કેશ નળીની સંપૂર્ણ લંબાઈ સુધી ઉપર ચઢશે,જે $20\, cm$ છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_m = \frac{g}{6}$ છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
તેથી,ચંદ્ર પર નવી ઊંચાઈ $h'$ નીચે મુજબ થશે:
$h' = \frac{2T \cos \theta}{r \rho (g/6)} = 6 \times \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) = 6h$.
આમ,ચંદ્ર પર પાણી $6h$ ઊંચાઈ સુધી ચઢશે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ ઊંચાઈ $h$ એ સપાટીના તાણના બળો અને પ્રવાહીના સ્તંભના વજન વચ્ચેના સંતુલન દ્વારા નક્કી થાય છે. જો નળીની ભૌતિક લંબાઈ $h$ કરતા ઓછી હોય,તો પ્રવાહી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચશે. ઉપરના છેડા પર,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા એવી રીતે ગોઠવાશે કે જેથી નવી ઊંચાઈ $h'$ એ નળીની લંબાઈ જેટલી થાય. પ્રવાહી બહાર વહેશે નહીં કારણ કે સંપર્ક કોણ $\theta$ સંતુલન સ્થિતિ $h' = \frac{2T \cos \theta'}{r \rho g}$ ને સંતોષવા માટે વધશે,જ્યાં $\theta' > \theta$ છે. આમ,પાણી બહાર વહ્યા વગર ઉપરના છેડા પર જ સ્થિર રહે છે.

(B) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે. પાણી માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$ લેતા,સૂત્ર $h = \frac{2T}{r \rho g}$ બને છે.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$r = \frac{2T}{h \rho g}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$T = 73 \times 10^{-3}\, N/m$
$h = 10\, cm = 0.1\, m$
$\rho = 10^3\, kg/m^3$
$g = 9.8\, m/s^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$r = \frac{2 \times 73 \times 10^{-3}}{0.1 \times 10^3 \times 9.8}$
$r = \frac{0.146}{98} \approx 0.00149\, m = 0.149\, cm$.
ગણતરી મુજબ,વિકલ્પ $B$ $(0.015\, cm)$ એ નજીકનો જવાબ છે.

(B) કાચની કેશ નળીમાં પાણી માટે,સંપર્ક કોણ લઘુકોણ હોય છે,જેના પરિણામે અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ બને છે.
પાણીના સ્તંભના વજનને સંતુલિત કરવા માટે,પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ચોખ્ખું બળ ઉપરની તરફ હોવું જોઈએ.
જો ઉપરની સપાટી અંતર્ગોળ હોય,તો પૃષ્ઠતાણનું બળ ઉપરની તરફ લાગે છે.
જો નીચેની સપાટી બહિર્ગોળ હોય,તો પૃષ્ઠતાણનું બળ પણ ઉપરની તરફ લાગે છે.
આમ,પાણીના સ્તંભને ટેકો આપવા માટે ઉપરની સપાટી અંતર્ગોળ અને નીચેની સપાટી બહિર્ગોળ હોવી જરૂરી છે,જેથી ચોખ્ખું બળ ઉપરની તરફ મળે.

(D) જ્યારે કેશનળીને શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ અચળ રહે છે કારણ કે તે માત્ર પૃષ્ઠતાણ,નળીની ત્રિજ્યા અને પ્રવાહીની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
જો $l$ એ નમેલી કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ હોય,તો શિરોલંબ ઊંચાઈ $h = l \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 45^o$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ આપેલ છે,તેથી:
$h = l \cos 45^o$
$h = l \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$l = h\sqrt{2}$
તેથી,નમેલી કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $h\sqrt{2}$ થશે.

(C) કેશિકા ઉન્નયનની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ નળી અને પ્રવાહી માટે,જો નળીની લંબાઈ $L$ સંતુલન ઊંચાઈ $h$ કરતા ઓછી હોય,તો પાણી બહાર વહેતું નથી.
તેના બદલે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નવી ઊંચાઈ $L$ સાથે સમાયોજિત થાય છે જેથી $h \cdot r = L \cdot R$ થાય.
અહીં $R = \frac{r}{\cos \theta'}$ છે,જ્યાં $\theta'$ એ નવો સંપર્કકોણ છે,તેથી $h \cdot r = L \cdot \frac{r}{\cos \theta'}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta' = \frac{L}{h}$.
અહીં $h = 5\, cm$ અને $L = 3\, cm$ આપેલ છે,તેથી $\cos \theta' = \frac{3}{5} = 0.6$.
પાણી-કાચ માટે મૂળ સંપર્કકોણ લગભગ $0^\circ$ $(\cos 0^\circ = 1)$ હોય છે,અને $\cos \theta' = 0.6 < 1$ હોવાથી,નવો સંપર્કકોણ $\theta'$ એ $0^\circ$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી,સંપર્કકોણ વધે છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ અને નળીની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં કેશનળીનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ છે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
આપેલ છે કે $h_1 = 22 \ cm$ અને $h_2 = 66 \ cm$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{66}{22} = \frac{3}{1}$ મળે છે.
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $3 : 1$ છે.

(C) કેશનળીમાં પાણીની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
$h$ ની કિંમત દળના સમીકરણમાં મૂકતા: $m = \pi r^2 \left( \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} \right) \rho = \frac{2 \pi r T \cos \theta}{g}$.
અહીં $T$,$\theta$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$m \propto r$ મળે છે.
પ્રથમ કેશનળી માટે,$m_1 = m$ અને $r_1 = r$.
બીજી કેશનળી માટે,$r_2 = 2r$. ધારો કે દળ $m_2$ છે.
તેથી,$\frac{m_2}{m_1} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2$.
આમ,$m_2 = 2m$.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ એ શિરોલંબ સાથેના નમન કોણ $\theta$ થી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,પ્રવાહી સ્તંભની લંબાઈ $l$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $h = l \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કિસ્સાઓ માટે,$h = l_1 \cos 45^o$ અને $h = l_2 \cos 60^o$ થાય.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $l_1 \cos 45^o = l_2 \cos 60^o$.
કિંમતો મૂકતા: $l_1 \times (1 / \sqrt{2}) = l_2 \times (1 / 2)$.
ગુણોત્તર $l_1 / l_2$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $l_1 / l_2 = \sqrt{2} / 2 = 1 / \sqrt{2}$.
આમ,$l_1 : l_2$ નો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(A) જ્યારે કેશિકા નળીને શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પૃષ્ઠતાણ,નળીની ત્રિજ્યા અને પ્રવાહીની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.
નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $\ell$ અને શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\cos \alpha = \frac{h}{\ell}$
તેથી,પાણીના સ્તંભની લંબાઈ:
$\ell = \frac{h}{\cos \alpha}$
અહીં $h = 4 \, cm$ અને $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે:
$\ell = \frac{4}{\cos 30^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$\ell = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \, cm$

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના ચઢાણ કે ઉતરાણનું સૂત્ર $h = \frac{2 \sigma \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $\sigma = \frac{h r \rho g}{2 \cos \theta}$.
કેશિકા નળી સમાન હોવાથી,$r$ અચળ છે. તેથી,$\sigma \propto \frac{h \rho}{\cos \theta}$.
પાણી માટે: $h_w = 10 \, cm$,$\rho_w = 1 \, g/cm^3$,$\theta_w = 0^{\circ}$.
પારા માટે: $h_m = -3.1 \, cm$ (નીચે ઉતરે છે),$\rho_m = 13.6 \, g/cm^3$,$\theta_m = 135^{\circ}$.
પૃષ્ઠતાણનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{h_w \rho_w}{\cos \theta_w} \times \frac{\cos \theta_m}{h_m \rho_m}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{10 \times 1}{\cos 0^{\circ}} \times \frac{\cos 135^{\circ}}{-3.1 \times 13.6}$.
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ અને $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$,તેથી:
$\frac{\sigma_w}{\sigma_m} = \frac{10 \times (-0.707)}{-3.1 \times 13.6} = \frac{-7.07}{-42.16} \approx \frac{1}{6}$.

(D) પારા અને સોડા લાઈમ કાચ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ $\theta = 140^{\circ}$ છે.
સાંકડી નળીની ત્રિજ્યા $r = 1.00 \; mm = 1.00 \times 10^{-3} \; m$ છે.
પારાનું પૃષ્ઠતાણ $s = 0.465 \; N m^{-1}$ છે.
પારાની ઘનતા $\rho = 13.6 \times 10^{3} \; kg m^{-3}$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \; m s^{-2}$ છે.
કેશનળીમાં થતો ઘટાડો $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$h = \frac{2s \cos \theta}{r \rho g}$
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{2 \times 0.465 \times \cos(140^{\circ})}{1.00 \times 10^{-3} \times 13.6 \times 10^{3} \times 9.8}$
$\cos(140^{\circ}) \approx -0.766$ હોવાથી:
$h = \frac{0.93 \times (-0.766)}{133.28} \approx -0.00534 \; m$
$h = -5.34 \; mm$.
ઋણ નિશાની પારાની સપાટીમાં થતો ઘટાડો સૂચવે છે. આમ,પારો $5.34 \; mm$ જેટલો નીચે ઉતરશે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ટ્યુબમાં કેશિકા ઉન્નયન $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $S = 7.3 \times 10^{-2} \;N m^{-1}$,$\theta = 0^\circ$,$\rho = 1.0 \times 10^3 \;kg m^{-3}$,$g = 9.8 \;m s^{-2}$.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 1.5 \times 10^{-3} \;m$ અને $r_2 = 3.0 \times 10^{-3} \;m$ છે.
સ્તર વચ્ચેનો તફાવત $\Delta h = h_1 - h_2 = \frac{2S \cos \theta}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times 1}{10^3 \times 9.8} \left( \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}} \right)$.
$\Delta h = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{9.8 \times 10^3} \left( \frac{2 - 1}{3.0 \times 10^{-3}} \right) = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{9.8 \times 10^3} \times \frac{1}{3.0 \times 10^{-3}} = \frac{14.6}{9.8 \times 3} \times 10^{-2} \;m$.
$\Delta h \approx 0.4966 \times 10^{-2} \;m = 4.966 \;mm \approx 5 \;mm$.

(N/A) કેશનળીમાં (પ્રવાહીમાં શિરોલંબ રાખેલી) પ્રવાહીના ઉપર ચઢવાની કે નીચે ઉતરવાની ઘટનાને કેશિકાત્વ (Capillarity) કહે છે. આ ઘટનામાં પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ મહત્વનો ભાગ ભજવે છે.
લેટિન ભાષામાં 'કેપિલા' (Capilla) નો અર્થ વાળ થાય છે. જો નળી વાળ જેવી પાતળી હોય,તો જે પ્રવાહી માટે સંપર્કકોણ લઘુકોણ હોય તેમાં પ્રવાહી ખૂબ ઊંચે સુધી ચઢે છે. આ પ્રકારની નળીને કેશનળી કહેવાય છે.
ધારો કે $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક શિરોલંબ કેશનળીને પાણી ભરેલા પાત્રમાં ડૂબાડવામાં આવે છે. પાણી અને કાચ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ $\theta$ લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ છે. તેથી,કેશનળીમાં પાણીની સપાટી અંતર્ગોળ બને છે. આનો અર્થ એ છે કે ઉપરની સપાટીની બંને બાજુએ દબાણનો તફાવત છે.
$P_{i} - P_{0} = \frac{2S}{r}$,જ્યાં $r$ એ મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા છે ...$(1)$
આકૃતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{a}{r}$,તેથી $r = \frac{a}{\cos \theta}$ ...$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$P_{i} - P_{0} = \frac{2S \cos \theta}{a}$ ...$(3)$
પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીના સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે,નળીની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $P_{0}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$P_{0} = P_{i} + h \rho g$,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$P_{0} - P_{i} = h \rho g$
આને સમીકરણ $(3)$ સાથે સરખાવતા:
$h \rho g = \frac{2S \cos \theta}{a}$
તેથી,પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ:
$h = \frac{2S \cos \theta}{a \rho g}$

(N/A) કેશિકાત્વ એ એવી ઘટના છે જેમાં પ્રવાહીને કેશનળી (ખૂબ જ ઝીણા કાણાંવાળી નળી) માં ડુબાડતા પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે અથવા નીચે ઉતરે છે. આ અસર પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ અને પ્રવાહી-ઘન સપાટી પર લાગતા આસંજક (adhesive) અને સસંજક (cohesive) બળોને કારણે થાય છે.
કેશિકાત્વના બે વ્યવહારુ ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. દીવાની વાટમાં તેલનું ઉપર ચઢવું: વાટના તાંતણાઓ વચ્ચે રહેલી ઝીણી જગ્યાઓમાંથી કેશિકાત્વને કારણે તેલ ઉપર ચઢે છે,જેનાથી તે જ્યોત સુધી પહોંચી શકે છે.
$2$. બ્લોટિંગ પેપર દ્વારા શાહીનું શોષણ: બ્લોટિંગ પેપરમાં મોટી સંખ્યામાં ઝીણા છિદ્રો હોય છે જે કેશનળી તરીકે કામ કરે છે,જે કેશિકાત્વ દ્વારા શાહીને કાગળમાં ખેંચે છે.