Capillary Tube and Capillarity Questions in Gujarati

(A) જ્યારે બે કાચની પ્લેટોને પાણીમાં એકબીજાની ખૂબ નજીક રાખવામાં આવે છે,ત્યારે કેશિકા ક્રિયા (capillary action) ને કારણે તેમની વચ્ચે પાણી ઉપર ચઢે છે. પ્લેટોની વચ્ચેના પાણીનું દબાણ બહારના વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે. આ દબાણનો તફાવત એક ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે બંને પ્લેટોને એકબીજાની નજીક ખેંચે છે. તેથી,બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે આકર્ષણનું બળ લાગે છે.

(D) અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ (જેમ કે કાચની કેશિકામાં પાણી દ્વારા રચાય છે) માટે,અંતર્ગોળ બાજુનું દબાણ બહિર્ગોળ બાજુના દબાણ કરતા વધારે હોય છે.
પાણીની સપાટી અંતર્ગોળ હોવાથી,સપાટીની બરાબર નીચે (પ્રવાહીની અંદર) દબાણ એ સપાટીની બરાબર ઉપરના દબાણ (વાતાવરણીય દબાણ) કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,વક્ર સપાટીની નીચેનું દબાણ એ ઉપરની બાજુના દબાણ કરતા ઓછું હોય છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે.
અહીં,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવાહી અને નળીના દ્રવ્ય માટે $T$,$\theta$,$d$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને $h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા (અથવા વ્યાસ) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,નાના વ્યાસવાળી નળીમાં પ્રવાહી વધુ ઊંચાઈ સુધી ચઢશે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
ભારહીનતાની સ્થિતિમાં અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ મુક્ત અવકાશમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે.
જેમ $g \to 0$ થાય,તેમ ઊંચાઈ $h$ અનંત $(h \to \infty)$ તરફ જાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પાણી કેશનળીની લંબાઈને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તેના ઉપરના છેડા સુધી ચઢશે.

(B) ધારો કે દરેક પ્લેટની પહોળાઈ $b$ છે। પૃષ્ઠતાણને કારણે, પ્રવાહી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચઢશે।
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ બે સંપર્ક રેખાઓ પર લાગે છે, જેની લંબાઈ $b$ છે:
$F_{\text{up}} = 2 \times (T \cos \theta \times b) = 2Tb \cos \theta$ ... $(i)$
પ્લેટો વચ્ચે ઉપર ચઢેલા પ્રવાહી સ્તંભનું વજન નીચે મુજબ છે:
$W = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} \times g = (b \times x \times h) \times d \times g$ ... (ii)
સંતુલન સ્થિતિમાં, ઉપરની તરફનું બળ પ્રવાહી સ્તંભના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$2Tb \cos \theta = bxhdg$
બંને બાજુને $b$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$2T \cos \theta = xhdg$
તેથી, પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈ:
$h = \frac{2T \cos \theta}{xdg}$

(D) પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $(F_s)$ એ પૃષ્ઠતાણ $(T)$ અને કેશિકા નળીના આંતરિક પરિઘ $(C)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F_s = T \times C$
આપેલ છે કે ઉપરની તરફનું બળ પ્રવાહીના વજન $(W = 75 \times 10^{-4} \, N)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,
$T \times C = 75 \times 10^{-4} \, N$
અહીં $T = 6 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ આપેલ છે,તેથી:
$6 \times 10^{-2} \times C = 75 \times 10^{-4}$
$C = \frac{75 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-2}}$
$C = 12.5 \times 10^{-2} \, m$
આમ,કેશિકાનો આંતરિક પરિઘ $12.5 \times 10^{-2} \, m$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે. બ્લોટિંગ પેપર અને ન્યૂઝપેપરમાં ખૂબ જ ઝીણા છિદ્રો હોય છે જે કેશિકા નળી તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે શાહીની પેન સપાટીને સ્પર્શે છે,ત્યારે કેશિકાત્વની ઘટનાને કારણે શાહી તરત જ કાગળમાં શોષાઈ જાય છે,જેનાથી શાહી ફેલાઈ જાય છે અને અસ્પષ્ટ થઈ જાય છે,જેથી સ્પષ્ટ લખવું અશક્ય બને છે.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વ પ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશ નળીની ત્રિજ્યા છે.
સમાન પ્રવાહી અને નળીના સમાન દ્રવ્ય માટે $T, \theta, \rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને $h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે કેશ નળી $P$ માં ઊંચાઈ $h_P = \frac{2}{3} h_Q$ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{h_Q}{h_P}$ લખી શકાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{h_Q}{(2/3)h_Q} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{D_P}{D_Q} = \frac{2r_P}{2r_Q} = \frac{r_P}{r_Q} = \frac{3}{2}$ થાય.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં પ્રવાહી,દ્રવ્ય અને સંપર્કકોણ સમાન હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r \propto \frac{1}{h}$.
આપેલ છે કે $h_1 = 2.2 \ cm$ અને $h_2 = 6.6 \ cm$.
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{6.6}{2.2} = \frac{3}{1}$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
કેશનળીનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,પૃષ્ઠતાણ $T$,સંપર્કકોણ $\theta$,ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ રહે છે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
અહીં $r_1 = 1 \, mm$,$r_2 = 2 \, mm$ અને $h_1 = 30 \, cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $30 \times 1 = h_2 \times 2$.
$h_2 = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.

(B) જ્યારે $l < h$ લંબાઈની કેશિકા નળીને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચે છે.
ઉપરના છેડે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા એવી રીતે ગોઠવાય છે કે દબાણનું સંતુલન જળવાઈ રહે.
પાણી બહાર છલકાતું નથી કારણ કે મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વધે છે જ્યાં સુધી દબાણનો તફાવત $2T/R$ એ નળીની લંબાઈને અનુરૂપ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $\rho gh$ જેટલો ન થાય.
આમ,પાણી નળીના ઉપરના છેડા પર રહે છે અને મોટી વક્રતા ત્રિજ્યા સાથે મેનિસ્કસ બનાવે છે.

(B) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho r g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે કેશનળીમાં પાણીનો ચઢાવ $10 \, cm$ છે,તેથી પાણીનો સ્તંભ કુદરતી રીતે આ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવાનો પ્રયત્ન કરશે. જો નળીને એવી રીતે કાપવામાં આવે અથવા ડૂબાડવામાં આવે કે પાણીની સપાટીથી ઉપરની લંબાઈ સંતુલન ઊંચાઈ $(8 \, cm < 10 \, cm)$ કરતા ઓછી હોય,તો પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચી જશે. સંતુલન જાળવવા માટે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા એવી રીતે ગોઠવાશે કે જેથી $h' = \frac{2T \cos \theta'}{\rho r' g} = 8 \, cm$ થાય. આમ,પાણી ઉપરના છેડા સુધી પહોંચશે અને દબાણ સંતુલન જાળવવા માટે અલગ વક્રતા ત્રિજ્યા સાથે ગોળાકાર સપાટી બનાવશે.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
કાચની કેશનળીમાં પાણી માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$ લેતા,$\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આપેલ છે: $h = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$,$T = 75 \times 10^{-3}\, N/m$,$\rho = 10^3\, kg/m^3$ અને $g = 10\, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-2} = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{r \times 10^3 \times 10}$.
$3 \times 10^{-2} = \frac{150 \times 10^{-3}}{r \times 10^4} = \frac{15 \times 10^{-3}}{r \times 10^3} = \frac{15 \times 10^{-6}}{r}$.
$r = \frac{15 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-4}\, m = 0.5\, mm$.
વ્યાસ $D = 2r = 2 \times 0.5\, mm = 1.0\, mm$.

(C) પારા અને કાચ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ $(\theta)$ ગુરુકોણ $(\theta > 90^{\circ})$ હોય છે।
આને કારણે, પારાના અણુઓ વચ્ચેનું સસંજક બળ એ પારા અને કાચ વચ્ચેના આસંજક બળ કરતા વધારે હોય છે।
પરિણામે, કેશનળીમાં પારાની સપાટી (મેનિસ્કસ) ઉપરની તરફ બહિર્ગોળ હોય છે।
આના કારણે કેશનળીની અંદર પારાનું સ્તર બહારના સ્તરની સાપેક્ષમાં નીચે ઉતરે છે।

(D) કેશિકા નળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચડે છે તે પૃષ્ઠતાણ અને નળીની ત્રિજ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે,જેનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
જ્યારે કેશિકા નળીને પાણીમાં $l$ ઊંડાઈ સુધી દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી પાણીની મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચડે છે.
જો પાણીની અંદર હોય ત્યારે નીચેનો છેડો બંધ કરવામાં આવે અને નળીને બહાર કાઢવામાં આવે,તો નળીની અંદર ફસાયેલ પાણીનો સ્તંભ $h$ ઊંચાઈ પર જ રહેશે કારણ કે કેશિકા ક્રિયા એ નળી-પ્રવાહીના સંપર્કનો ગુણધર્મ છે.
જ્યારે બંધ છેડો ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનું સ્તર કેશિકા બળો દ્વારા નિર્ધારિત સંતુલન ઊંચાઈ $h$ પર ગોઠવાઈ જશે,જો નળીની લંબાઈ પૂરતી હોય.
તેથી,પાણી $h$ ઊંચાઈ પર રહેશે.

(B) કેશિકા નળીમાં $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી નળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ નળીની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
વ્યાસ $d = 2r$ હોવાથી,ત્રિજ્યા એ વ્યાસના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(r \propto d)$.
તેથી,$h \propto \frac{1}{d}$.
જો વ્યાસ બમણો કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,તો નવી ઊંચાઈ $h'$ એ $h' = \frac{h}{2}$ થશે.
આમ,પ્રવાહી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢશે તે મૂળ ઊંચાઈ કરતા અડધી હશે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તરની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.06 \, N/m$.
વ્યાસ $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-3} \, m$.
સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$,તેથી $\cos 0^\circ = 1$.
ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{2 \times 0.06 \times 1}{0.5 \times 10^{-3} \times 1000 \times 10} = \frac{0.12}{5} = 0.024 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $0.024 \, m = 2.4 \, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $2.44 \, cm$ છે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
બંને નળીઓમાં એક જ પ્રવાહીનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,$T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ રહે છે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $r_1 = 0.2 \ cm$ અને $r_2 = 0.4 \ cm$,તેથી $\frac{h_1}{h_2} = \frac{0.4}{0.2} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $(h)$ એ પૃષ્ઠતાણ,પ્રવાહીની ઘનતા અને નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. તે નળીના નમનકોણથી સ્વતંત્ર છે.
જ્યારે નળીને શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ સમાન રહે છે.
જો $l$ એ નળીની લંબાઈ સાથે પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ હોય,તો ભૌમિતિક રચના મુજબ:
$h = l \cos \theta$
આપેલ છે:
$h = 3 \, cm$
$\theta = {60^\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$3 = l \cos {60^\circ}$
$3 = l \times \frac{1}{2}$
$l = 3 \times 2 = 6 \, cm$
તેથી,નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ $6 \, cm$ છે.

(C) લખવાની પેનની નિબની ટોચને કેશિકાત્વ (capillary action) પૂરી પાડવા માટે વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
કેશિકાત્વને કારણે,શાહી નિબના ચીરામાં ઉપર ચઢે છે,જે પેનને સતત લખવા માટે સક્ષમ બનાવે છે કારણ કે તે કાગળ સુધી શાહીનો સ્થિર પ્રવાહ જાળવી રાખે છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ત્રિજ્યા $r$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$r = \frac{2T \cos \theta}{hdg}$
આથી,સાચો સંબંધ $r = \frac{2T \cos \theta}{hdg}$ છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે. અહીં $g_{eff} < g$ હોવાથી,$h$ નું મૂલ્ય વધશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે પ્રવાહી કેશનળીમાં ઉપર ચઢે છે,ત્યારે પ્રવાહી અને હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર મેનિસ્કસ (ચંદ્રાકાર સપાટી) રચાય છે.
જેમ જેમ પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે,તેમ આપેલ પદાર્થોની જોડી માટે પ્રવાહી અને કાચ વચ્ચેનો સંપર્ક કોણ અચળ રહે છે.
જો કે,હવા અને પ્રવાહી વચ્ચેની સંપર્ક સપાટી (મેનિસ્કસ) આંતરપૃષ્ઠ પરના દબાણના તફાવતને સંતોષવા માટે તેનો આકાર અને વક્રતા જાળવી રાખે છે (યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ).
કેશાકર્ષણના સંદર્ભમાં,જે સપાટી કેશાકર્ષણની ભૂમિતિ નક્કી કરે છે તે હવા-પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠ છે.

(B) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ સમાન પ્રવાહી માટે અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આથી,$h_1 r_1 = h_2 r_2$ થાય.
આપેલ છે કે $h_1 = 1.2 \ mm$ અને $r_2 = \frac{r_1}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$1.2 \times r_1 = h_2 \times \frac{r_1}{2}$ મળે.
$h_2$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$h_2 = 1.2 \times 2 = 2.4 \ mm$ મળે છે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીનું ઉપર ચઢવું એ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પ્રયોગ શૂન્યાવકાશમાં કરવાથી પૃષ્ઠતાણ કે સંપર્કકોણ પર કોઈ અસર થતી નથી.
વાતાવરણીય દબાણ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની સપાટી અને કેશિકાની અંદરના પ્રવાહી પર સમાન રીતે કાર્ય કરતું હોવાથી,શૂન્યાવકાશમાં તેની ગેરહાજરી મેનિસ્કસ (meniscus) પરના દબાણના તફાવતને બદલતી નથી.
તેથી,પ્રવાહી સામાન્ય વાતાવરણીય પરિસ્થિતિઓની જેમ જ કેશિકા નળીમાં ઉપર ચઢશે.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $rh = \text{અચળ}$.
જો પ્રવાહીનું સ્તર $h$ નીચે જાય (ઘટે),તો $rh$ નો ગુણાકાર અચળ રહે તે માટે કેશિકાની ત્રિજ્યા $r$ વધવી જોઈએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે.
અહીં કેશનળીનો વ્યાસ $(r)$,સંપર્કકોણ $(\theta)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ બંને માટે સમાન હોવાથી,ઊંચાઈ એ પૃષ્ઠતાણ $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં અને ઘનતા $(d)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $h \propto \frac{T}{d}$.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{T_1}{T_2} \times \frac{d_2}{d_1}$ થશે.
આપેલ કિંમતો: $T_1 = 60 \text{ dyne/cm}$,$T_2 = 50 \text{ dyne/cm}$,$d_1 = 0.8$ અને $d_2 = 0.6$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{60}{50} \times \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{5} \times \frac{6}{8} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$.

(B) ઉભી કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળીને શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ સમાન રહે છે કારણ કે મેનિસ્કસ પરનું દબાણ તફાવત ફક્ત શિરોલંબ ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે.
જો $l$ એ નમેલી નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ હોય,તો $h = l \cos \alpha$.
અહીં $h = 2.0 \, cm$ અને $\alpha = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
તેથી,$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2.0}{0.5} = 4.0 \, cm$.

(D) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ માટેનું સૂત્ર $T = \frac{rh\rho g}{2 \cos \theta}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$r$ એ કેશિકા નળીની ત્રિજ્યા છે,$h$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $\theta$ એ સંપર્કકોણ છે.
કાચની કેશિકા નળીમાં શુદ્ધ પાણી માટે,સંપર્કકોણ $\theta$ લગભગ $0^\circ$ હોય છે.
કારણ કે $\cos(0^\circ) = 1$ થાય છે,તેથી સૂત્ર $T = \frac{rh\rho g}{2}$ બને છે.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
મુક્ત પતન કરતી લિફ્ટમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે કારણ કે લિફ્ટ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે.
જેમ $g_{eff} \to 0$ થાય,તેમ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ અનંત તરફ જાય છે $(h \propto 1/g_{eff})$.
જો કે,પાણીનો સ્તંભ કેશનળીની ભૌતિક લંબાઈ કરતા વધી શકતો નથી.
તેથી,પાણી કેશનળીની સંપૂર્ણ લંબાઈ ભરાઈ જાય ત્યાં સુધી ઉપર ચઢશે,જે $20 \,cm$ છે.

(B) કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીના સ્તંભનું વજન નળીના પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતા ઉપરની તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ $F = T \times (2\pi r)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: વજન $W = F = 6.28 \times 10^{-4} \ N$,ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3} \ m$,અને $\pi \approx 3.14$.
પૃષ્ઠતાણ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $T = \frac{F}{2\pi r}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{6.28 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-3}}$.
$T = \frac{6.28 \times 10^{-4}}{12.56 \times 10^{-3}} = \frac{6.28}{12.56} \times 10^{-1} = 0.5 \times 10^{-1} = 5 \times 10^{-2} \ N/m$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
એક જ પ્રવાહી અને નળીના સમાન દ્રવ્ય માટે $T, \theta, \rho,$ અને $g$ અચળ હોવાથી,આપણને $h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R_B > R_A$,તેથી $\frac{1}{R_A} > \frac{1}{R_B}$ થાય.
આથી,નળી $A$ માં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h_A$ એ નળી $B$ ની ઊંચાઈ $h_B$ કરતા વધારે હશે $(h_A > h_B)$.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
પાણી માટે,સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$ હોવાથી $\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આપેલ છે: $h = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$,$T = 7.2 \times 10^{-2} \, N/m$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $r = \frac{2T}{h \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2} \times 10^3 \times 10} = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{3 \times 10^2} = 4.8 \times 10^{-4} \, m$.
વ્યાસ $d = 2r$ હોવાથી: $d = 2 \times 4.8 \times 10^{-4} \, m = 9.6 \times 10^{-4} \, m$.

(C) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે.
પાણી અને કાચ માટે સંપર્કકોણ $\theta = 0^\circ$ લેતા,$\cos 0^\circ = 1$ થાય.
આપેલ છે: $h = 0.015 \ m$,$T = 75 \times 10^{-3} \ N/m$,$g = 10 \ m/s^2$,અને પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$.
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $r = \frac{2T}{h \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{0.015 \times 10^3 \times 10}$.
$r = \frac{150 \times 10^{-3}}{150} = 10^{-3} \ m$.
$10^{-3} \ m = 1 \ mm$ હોવાથી,કેશિકાની ત્રિજ્યા $1 \ mm$ છે.

(D) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
ધારો કે $h_1 = 3\, mm$ અને $r_1 = r$.
બીજી નળી માટે,$r_2 = \frac{r}{3}$ છે.
સંબંધ $\frac{h_2}{h_1} = \frac{r_1}{r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{h_2}{3} = \frac{r}{r/3} = 3$ મળે છે.
તેથી,$h_2 = 3 \times 3 = 9\, mm$.

(A) પ્રવાહીનું સાંકડી નળી અથવા છિદ્રાળુ પદાર્થમાં ઉપર ચઢવાની ઘટનાને કેશિકાત્વ (Capillarity) કહેવામાં આવે છે.
ફાનસમાં,વાટ એ સૂક્ષ્મ કેશિકા નળીઓના સમૂહ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કેરોસીન તેલના પૃષ્ઠતાણને કારણે,તેલ અને વાટના પદાર્થ વચ્ચેના આસંજક બળો (adhesive forces),તેલના અણુઓ વચ્ચેના સસંજક બળો (cohesive forces) કરતા વધારે હોય છે,જેના કારણે તેલ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ વાટમાં ઉપર ચઢે છે.

(A) જ્યારે કેશિકા નળીને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બનતો મેનિસ્કસ અંતર્ગોળ (concave) હોય છે.
યંગ-લાપ્લેસ સમીકરણ મુજબ,અંતર્ગોળ બાજુ પરનું દબાણ બહિર્ગોળ બાજુ પરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે.
કેશિકાની અંદર પાણીની સપાટી અંતર્ગોળ હોવાથી,મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ નળીની બહાર પાણીની મુક્ત સપાટી પર લાગતા વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે.
આ દબાણનો તફાવત એક ઉપરની તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે પાણીના સ્તંભને કેશિકા નળીમાં ઉપર ધકેલે છે,જ્યાં સુધી સ્તંભનું હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ આ દબાણના તફાવતને સંતુલિત ન કરે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $M = V \times \rho = (\pi R^2 H) \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશિકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $H$ એ ત્રિજ્યા $R$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $H \propto 1/R$.
આ કિંમતને દળના સમીકરણમાં મૂકતા: $M \propto R^2 \times (1/R) = R$.
તેથી,$M \propto R$.
જો ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે $(R' = R/2)$,તો નવું દળ $M'$ એ $M' = M \times (R'/R) = M \times (1/2) = M/2$ થશે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય,જ્યાં $r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વ્યાસ અડધો કરવામાં આવે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ પણ અડધી થશે $(r_2 = \frac{r_1}{2})$.
તેથી,નવી ઊંચાઈ $h_2$ માટે: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r_1}{r_1/2} = 2$.
આમ,$h_2 = 2h_1 = 2h$.

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff}$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે ઉપગ્રહ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે.
સૂત્રમાં $g = 0$ મૂકતા,આપણને $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho (0)} = \infty$ મળે છે.
ઊંચાઈ અનંત ન હોઈ શકે,તેથી પ્રવાહી કેશ નળીના ઉપરના છેડા સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી ઉપર ચઢશે. તેથી,પાણી કેશ નળીની સંપૂર્ણ લંબાઈ સુધી ઉપર ચઢશે.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ અથવા અવનમન $h$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$d$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આ સંબંધ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે. તેથી,$h$ અને $r$ વચ્ચેનો આલેખ લંબચોરસ અતિવલય છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(A) કેશિકા નળીનો પ્રવાહી અવરોધ $R_f = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કેશિકા માટે,$R_1 = \frac{8 \eta L}{\pi R^4}$.
બીજી કેશિકા માટે,$R_2 = \frac{8 \eta (2L)}{\pi (2R)^4} = \frac{16 \eta L}{\pi (16 R^4)} = \frac{\eta L}{\pi R^4} = \frac{1}{8} R_1$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = R_1 + \frac{1}{8} R_1 = \frac{9}{8} R_1$ થાય છે.
પ્રવાહનો દર $Q = \frac{P}{R_{eq}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $X = \frac{P}{R_1}$ હોવાથી,નવો પ્રવાહ દર $Q = \frac{P}{\frac{9}{8} R_1} = \frac{8}{9} \left( \frac{P}{R_1} \right) = \frac{8}{9} X$ થાય.

(B) શિરોલંબ કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} = 2.0 \, cm$ છે.
જ્યારે કેશનળીને શિરોલંબ સાથે $\alpha = 60^\circ$ ના ખૂણે નમાવવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ અચળ રહે છે કારણ કે તે મેનિસ્કસ પરના દબાણના સંતુલન પર આધાર રાખે છે.
જો નળીમાં પાણીના સ્તંભની લંબાઈ $l$ હોય,તો $h = l \cos \alpha$ થાય.
તેથી,$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0 \, cm}{\cos 60^\circ}$.
અહીં $\cos 60^\circ = 0.5$ હોવાથી,$l = \frac{2.0}{0.5} = 4.0 \, cm$ મળે છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$d$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ધારો કે બંને પ્રવાહી માટે સંપર્કકોણ $\theta$ અને ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,તેથી ઊંચાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right) \times \left( \frac{d_2}{d_1} \right)$
અહીં $T_1 = 60 \, dyne/cm$,$T_2 = 50 \, dyne/cm$,$d_1 = 0.8 \, g/cm^3$ અને $d_2 = 0.6 \, g/cm^3$ આપેલ છે:
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{60}{50} \right) \times \left( \frac{0.6}{0.8} \right)$
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{6}{5} \right) \times \left( \frac{6}{8} \right) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$.

(B) કેશનળીમાં રહેલા પાણીનું દળ $M = V \rho = (\pi R^2 H) \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેશનળીમાં પાણીની ઊંચાઈ તેની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $H \propto \frac{1}{R}$.
આ કિંમતને દળના સમીકરણમાં મૂકતા: $M \propto R^2 \times (\frac{1}{R}) = R$.
તેથી,$M \propto R$.
જો ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે $(R' = R/2)$,તો નવું દળ $M'$ એ $M' = M \times (R'/R) = M \times (1/2) = M/2$ થશે.

(C) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
કેશનળીનું દ્રવ્ય અને પ્રવાહી સમાન હોવાથી,પૃષ્ઠતાણ $T$,સંપર્કકોણ $\theta$,ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ રહે છે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{r}$,જેનો અર્થ છે કે $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $h_1 = 2.2 \ cm$ અને $h_2 = 6.6 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = \frac{6.6}{2.2} = \frac{3}{1}$.
આમ,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ નળીના નમનકોણથી સ્વતંત્ર રહે છે.
જો નળી શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે નમેલી હોય,તો નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ $l = \frac{h}{\cos \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બે ખૂણાઓ $\alpha_1 = 30^o$ અને $\alpha_2 = 60^o$ માટે,લંબાઈઓ $l_1 = \frac{h}{\cos 30^o}$ અને $l_2 = \frac{h}{\cos 60^o}$ થશે.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\cos 60^o}{\cos 30^o}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:\sqrt{3}$ છે.

(C) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો નળીની વાસ્તવિક લંબાઈ $L$ એ સંતુલન ઊંચાઈ $h$ કરતા ઓછી હોય,તો પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી ચઢશે.
ઉપરના છેડે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ એવી રીતે ગોઠવાશે કે જેથી $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = L$ થાય,જ્યાં $h' < h$ છે.
કેમ કે ઉપરના ભાગે દબાણ પૃષ્ઠતાણ દ્વારા સંતુલિત રહે છે,તેથી પાણી બહાર વહેશે નહીં પરંતુ વક્રતા ત્રિજ્યામાં ફેરફાર સાથે નળીના ઉપરના ભાગે સ્થિર રહેશે.

(D) કેશિકામાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ અને $r$ ના આપેલ મૂલ્ય માટે,$h \propto \frac{\cos \theta}{\rho}$ થાય.
પ્રવાહી સમાન ઊંચાઈ સુધી ચઢતા હોવાથી $(h_1 = h_2 = h_3)$,આપણને $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,તેથી $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ થાય.
કોસાઇન વિધેય $[0, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય હોવાથી,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ મળે.
તેથી,$0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ સાચો જવાબ છે.