Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(B) ધારો કે સમઘનનું કુલ કદ $V$ છે અને પાણીમાં ડૂબેલું કદ $V_1$ છે. બીજા પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ $(V - V_1)$ થશે.
સમઘન સંતુલનમાં હોવાથી,સમઘનનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
$Weight = F_{B,liquid} + F_{B,water}$
$V \rho_{cube} g = (V - V_1) \rho_{liquid} g + V_1 \rho_{water} g$
$g$ વડે ભાગતા અને આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$V \times 0.9 = (V - V_1) \times 0.7 + V_1 \times 1.0$
$0.9 V = 0.7 V - 0.7 V_1 + 1.0 V_1$
$0.9 V - 0.7 V = 0.3 V_1$
$0.2 V = 0.3 V_1$
$\frac{V_1}{V} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$
આમ,સમઘનનો $2/3$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો છે.

(A) ધારો કે આઈસબર્ગનું કુલ કદ $V$ છે અને સમુદ્રના પાણીમાં ડૂબેલું કદ $V_{\text{sub}}$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ, આઈસબર્ગનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા સમુદ્રના પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
$V \cdot \rho_{\text{ice}} \cdot g = V_{\text{sub}} \cdot \rho_{\text{sea water}} \cdot g$
$V \cdot 0.9 = V_{\text{sub}} \cdot 1.1$
$V_{\text{sub}} = \frac{0.9}{1.1} V = \frac{9}{11} V$
પાણીની બહાર રહેલું કદ $V_{\text{unsub}} = V - V_{\text{sub}} = V - \frac{9}{11} V = \frac{2}{11} V$ છે.
આઈસબર્ગનો પાણીની બહાર રહેલો ટકાવારી ભાગ $\left( \frac{V_{\text{unsub}}}{V} \right) \times 100 = \left( \frac{2}{11} \right) \times 100 \approx 18.18 \%$ થાય.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$,કદ $V$ અને ઘનતા $\varrho$ છે. તેથી,$m = V \varrho$.
જ્યારે ગોળાને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીની સપાટીને સ્પર્શતા પહેલા તેનો વેગ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
પ્રવાહીની અંદર,ગોળા પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \sigma g$ (ઉપરની તરફ) છે.
પ્રવાહીની અંદર ગોળા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - mg = V \sigma g - V \varrho g = Vg(\sigma - \varrho)$ છે.
પ્રવાહીની અંદર ગોળાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \varrho)}{V \varrho} = g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ વજન કરતા વધારે હોવાથી $(\sigma > \varrho)$,ગોળો પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરશે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે. ગતિના સમીકરણ $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_f = 0$ (મહત્તમ ઊંડાઈએ),$v_i^2 = 2gh$,અને $a = -g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$:
$0 = 2gh - 2 \left( g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho} \right) d$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{h \varrho}{(\sigma - \varrho)}$.

(B) નળાકાર સંતુલનમાં તરે તે માટે, નળાકારનું કુલ વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A$ એ નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ તેનું ઘનત્વ છે.
નળાકારનું વજન $W = (\text{કદ}) \times (\text{ઘનત્વ}) \times g = (A \ell) d g$.
ઉપરના પ્રવાહી (ઘનત્વ $\varrho$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_1 = (\text{ઉપરના પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ}) \times \varrho \times g = A (\ell - \ell/4) \varrho g = A (3\ell/4) \varrho g$.
નીચેના પ્રવાહી (ઘનત્વ $3\varrho$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_2 = (\text{નીચેના પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ}) \times (3\varrho) \times g = A (\ell/4) (3\varrho) g = A (3\ell/4) \varrho g$.
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા: $A \ell d g = A (3\ell/4) \varrho g + A (3\ell/4) \varrho g$.
$d \ell = (3\ell/4) \varrho + (3\ell/4) \varrho = (6\ell/4) \varrho = (3/2) \varrho \ell$.
તેથી, $d = \frac{3}{2} \varrho$.

(D) નળાકારની નીચેની સપાટી પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ એ નળાકાર દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીનું વજન અને નળાકારની ઉપરની સપાટી પર પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે લાગતા બળનો સરવાળો છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho V g$ છે.
નળાકારની ઉપરના પ્રવાહી સ્તંભને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ $F_{top} = P_{top} \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2)$ છે.
નળાકાર પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B + F_{top} = \rho V g + \rho g h \pi R^2$ છે.
આમ,નળાકારના તળિયા પર લાગતું બળ $F_{bottom} = \rho g (V + \pi R^2 h)$ છે.

(A) દડો અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે. તેથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_b$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 3\rho_b$ છે.
દડાનું વજન $W = V \rho_b g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
જેમ દડો ઉપર આવે છે,તેમ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ઉપરની તરફ લાગે છે અને સ્નિગ્ધ બળ (ઘર્ષણ) $F_v$ વજન $W$ ની સાથે નીચેની તરફ લાગે છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g = V (3\rho_b) g = 3 V \rho_b g$ છે.
વેગ અચળ હોવાથી,પરિણામી બળ શૂન્ય છે:
$F_B = W + F_v$
$F_v = F_B - W = 3 V \rho_b g - V \rho_b g = 2 V \rho_b g$.
ઘર્ષણ બળ અને વજનનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_v}{W} = \frac{2 V \rho_b g}{V \rho_b g} = \frac{2}{1}$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. જ્યારે પદાર્થ સરોવરની સપાટી સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
પાણીની અંદર,પદાર્થ પર લાગતા બળો તેનું વજન $W = \rho V g$ (નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \sigma V g$ (ઉપરની તરફ) છે.
પરિણામી ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B - W = Vg(\sigma - \rho)$ છે.
પાણીની અંદર પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \rho)}{\rho V} = \frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$ છે.
બળ ઉપરની તરફ હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની તરફ (ગતિની વિરુદ્ધ) લાગે છે,તેથી $a = -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho}$.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $H$ છે. આ ઊંડાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aH$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - (\sqrt{2gh})^2 = 2 \left( -\frac{g(\sigma - \rho)}{\rho} \right) H$
$-2gh = -\frac{2g(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$h = \frac{(\sigma - \rho)}{\rho} H$
$H = \frac{h \rho}{(\sigma - \rho)}$.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. જ્યારે પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે પદાર્થ પાણીમાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \delta g$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = V \rho g$ અનુભવે છે.
પરિણામી ઉપરનું બળ (અવરોધક બળ) $F_{net} = F_B - W = Vg(\delta - \rho)$ છે.
પાણીમાં પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\delta - \rho)}{V \rho} = g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right)$ છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $v$ સપાટી પરનો વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે),આપણને $2gh = 2 \left[ g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right) \right] d$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,આપણને $d = \frac{h \rho}{(\delta - \rho)}$ મળે છે.

(A) જ્યારે બ્લોકને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલા નાના અંતરે ઉર્ધ્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીનું વધારાનું સ્થાનાંતરિત કદ $V = A x$ થાય છે.
બ્લોક પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \rho V g = \rho (A x) g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F_{\text{restoring}} = -\rho A g x$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = M a$,જ્યાં $M$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આમ,$M a = -\rho A g x$,જે $a = -(\frac{\rho A g}{M}) x$ આપે છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$.
આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ હોવાથી,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ થાય.
તેથી,$n \propto \sqrt{A}$.

(A) પ્લવનના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીમાં તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન તે પ્રવાહી દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V$ એ આઈસબર્ગનું કુલ કદ છે અને $V_{sub}$ એ પાણીમાં ડૂબેલું કદ છે.
આઈસબર્ગનું વજન = $V \cdot \rho_{i} \cdot g$
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
બંનેને સરખાવતા: $V \cdot \rho_{i} \cdot g = V_{sub} \cdot \rho_{w} \cdot g$
ડૂબેલા કદનો અંશ $\frac{V_{sub}}{V} = \frac{\rho_{i}}{\rho_{w}}$ છે.
આપેલ છે કે $\rho_{i} = 0.917 \ g \ cm^{-3}$ અને $\rho_{w} = 1.00 \ g \ cm^{-3}$.
તેથી,$\frac{V_{sub}}{V} = \frac{0.917}{1.00} = 0.917$.

(B) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણીની ઘનતા $4 \ ^\circ C$ તાપમાને મહત્તમ $(\rho_4 \approx 1000 \ kg/m^3)$ હોય છે અને $0 \ ^\circ C$ તાપમાને ઓછી $(\rho_0 \approx 999.8 \ kg/m^3)$ હોય છે.
એલ્યુમિનિયમના ગોળાનું કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,$0 \ ^\circ C$ તાપમાને ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \rho_0 g$ અને $4 \ ^\circ C$ તાપમાને $F'_b = V \rho_4 g$ થાય.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\rho_0 < \rho_4$ હોવાથી,$F_b < F'_b$ સાબિત થાય છે.
તેથી,$0 \ ^\circ C$ તાપમાને પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $4 \ ^\circ C$ તાપમાને પાણી કરતા ઓછું હોય છે.

(B) પ્લવનના નિયમ મુજબ,સંતુલનમાં તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન) જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V$ એ દરેક ઘન પદાર્થનું કુલ કદ છે,$\rho_P$ અને $\rho_Q$ તેમની ઘનતા છે,અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
ઘન પદાર્થ $P$ માટે: $V \rho_P g = (V/2) \rho_w g \Rightarrow \rho_P = \frac{1}{2} \rho_w$.
ઘન પદાર્થ $Q$ માટે: $V \rho_Q g = (2V/3) \rho_w g \Rightarrow \rho_Q = \frac{2}{3} \rho_w$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_P}{\rho_Q} = \frac{\frac{1}{2} \rho_w}{\frac{2}{3} \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ થાય.

(A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના વજનમાં થતો દેખીતો ઘટાડો તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલો હોય છે.
વજનમાં ઘટાડો $w = V \rho_{w} g$,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે અને $\rho_{w}$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બંને ગોળાઓનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,$m = V_{iron} \rho_{iron} = V_{lead} \rho_{lead}$ થાય.
તેથી,કદ $V = \frac{m}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત વજનમાં ઘટાડાના સૂત્રમાં મૂકતા: $w = \frac{m}{\rho} \rho_{w} g = m g \frac{\rho_{w}}{\rho}$.
લોખંડના ગોળા માટે,$w_{1} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{iron}}$.
સીસાના ગોળા માટે,$w_{2} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{lead}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{w_{1}}{w_{2}} = \frac{\rho_{lead}}{\rho_{iron}}$.
સીસાની ઘનતા લોખંડની ઘનતા કરતા વધારે હોવાથી $(\rho_{lead} > \rho_{iron})$,તેથી $\frac{w_{1}}{w_{2}} > 1$ થાય.

(D) ધારો કે $W_s$ અને $W_a$ એ હવામાં સ્ટીલ અને એલ્યુમિનિયમનું વજન છે,અને $V_s$ અને $V_a$ તેમના કદ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે. પાણીમાં ડૂબાડતા,આભાસી વજન $W_{app} = W - V\rho_w g$ થાય છે. આપેલ છે કે આભાસી વજન સમાન છે: $W_s - V_s \rho_w g = W_a - V_a \rho_w g$. $W = V \rho g$ હોવાથી,$V = W / (\rho g)$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W_s - (W_s / \rho_s) \rho_w g = W_a - (W_a / \rho_a) \rho_w g$,જેનું સાદું રૂપ $W_s(1 - \rho_w / \rho_s) = W_a(1 - \rho_w / \rho_a)$ થાય છે. સ્ટીલની ઘનતા $\rho_s \approx 7800 \ kg/m^3$ એ એલ્યુમિનિયમની ઘનતા $\rho_a \approx 2700 \ kg/m^3$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,$(1 - \rho_w / \rho_s)$ પદ $(1 - \rho_w / \rho_a)$ કરતા મોટું છે. તેથી,સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે $W_s$ એ $W_a$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. આમ,હવામાં એલ્યુમિનિયમનો ટુકડો વધુ વજન ધરાવે છે.

(B) પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) એ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે। ઉત્પ્લાવક બળોનો ગુણોત્તર એ પ્રવાહીઓની ઘનતા (અથવા વિશિષ્ટ ઘનતા) ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે।
$\frac{\text{પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}}{\text{પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}} = \frac{\text{પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઘનતા}}{\text{પાણીની વિશિષ્ટ ઘનતા}}$
પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $= 50 \,g - 40 \,g = 10 \,g$.
ધારો કે પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ $x$ છે.
$\frac{x}{10 \,g} = \frac{1.5}{1}$
$x = 15 \,g$.
પ્રવાહીમાં પદાર્થનું વજન આ રીતે મળે છે: $\text{હવામાં વજન} - \text{પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ}$.
વજન $= 50 \,g - 15 \,g = 35 \,g$.

(B) આપેલ છે: વસ્તુનું દળ $m = 10 \ kg$,અંતર $S = 2 \ m$,સમય $t = 1 \ s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times a \times (1)^2$
$2 = \frac{1}{2}a \Rightarrow a = 4 \ m/s^2$.
હવે,ડૂબતી વસ્તુ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ કરતા:
$mg - F_B = ma$
જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = m(g - a) = 10 \times (10 - 4) = 10 \times 6 = 60 \ N$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = m_{liquid} \times g$
$60 = m_{liquid} \times 10$
$m_{liquid} = 6 \ kg$.

(D) તરતી વસ્તુ માટે, વસ્તુનું વજન તે સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. આ સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\rho_s V g = \rho_f V_{sub} g$, જ્યાં $\rho_s$ એ ઘન પદાર્થની ઘનતા છે, $\rho_f$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $V_{sub}$ એ ડૂબેલું કદ છે।
$1$. પાણીમાં: $\rho_s V g = \rho_w (0.5 V) g$.
આપેલ છે કે $\rho_w = 1000 \,kg \,m^{-3}$, તેથી $\rho_s = 0.5 \times 1000 = 500 \,kg \,m^{-3}$.
$2$. તેલમાં: $\rho_s V g = \rho_{oil} (0.8 V) g$.
$\rho_s = 500 \,kg \,m^{-3}$ મૂકતા, આપણને મળે છે $500 = 0.8 \times \rho_{oil}$.
તેથી, $\rho_{oil} = \frac{500}{0.8} = 625 \,kg \,m^{-3}$.

(C) પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન એ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ $(1000 \ kg/m^3)$ છે.
જ્યારે પાણી પર તરે છે,ત્યારે ડૂબેલું કદ $V_{sub} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V$ છે.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\Rightarrow V \rho g = V_{sub} \rho_w g$.
$V \rho = \frac{2}{3}V \rho_w \Rightarrow \rho = \frac{2}{3} \rho_w = \frac{2}{3} \times 1000 = \frac{2000}{3} \ kg/m^3$.
હવે,પદાર્થ $1.5$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી પર તરે છે,તેથી પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1.5 \times 1000 = 1500 \ kg/m^3$ છે.
ધારો કે આ પ્રવાહીમાં ડૂબેલું કદ $V'_{sub}$ છે.
$V \rho g = V'_{sub} \rho_l g \Rightarrow V \times \frac{2000}{3} = V'_{sub} \times 1500$.
$V'_{sub} = V \times \frac{2000}{3 \times 1500} = V \times \frac{2000}{4500} = \frac{4}{9}V$.
સપાટીની ઉપર રહેલું કદ $V_{above} = V - V'_{sub} = V - \frac{4}{9}V = \frac{5}{9}V$ થાય.

(A) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ફ્લાસ્કનું વજન અને તેની અંદર રહેલા પાણીનું વજન એ ફ્લાસ્ક દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $V_{ext}$ એ ફ્લાસ્કનું બાહ્ય કદ (વિસ્થાપિત પાણીનું કદ) છે.
ફ્લાસ્કનું દળ $m_f = 390 \ g$.
અંદરના પાણીનું કદ $V_w = 250 \ cm^3$.
અંદરના પાણીનું દળ $m_w = \rho_w \times V_w = 1 \times 250 = 250 \ g$.
સિસ્ટમનું કુલ વજન = $(390 + 250) \ g = 640 \ g$.
ફ્લાસ્ક તરતી હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ કુલ વજન જેટલું હોય છે,તેથી વિસ્થાપિત પાણીનું દળ $640 \ g$ થાય.
આમ,ફ્લાસ્કનું બાહ્ય કદ $V_{ext} = 640 \ cm^3$ છે.
કાચના દ્રવ્યનું કદ $V_{glass} = V_{ext} - V_{internal} = 640 - 500 = 140 \ cm^3$.
કાચની ઘનતા $\rho_{glass} = \frac{m_f}{V_{glass}} = \frac{390}{140} \approx 2.785 \ g/cm^3$.
વિશિષ્ટ ઘનતા = $\frac{\rho_{glass}}{\rho_w} = \frac{2.785}{1} \approx 2.8$.

(B) ધારો કે લાકડાના બ્લોકનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\sigma$ છે. ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho$ છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક પાણીમાં $(4/5)V$ જેટલા કદ સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$V \sigma g = (4/5)V \rho g$
$\sigma = (4/5) \rho$ ...$(i)$
જ્યારે તેલ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક એવી રીતે ડૂબે છે કે તેનું અડધું કદ $(V/2)$ પાણીમાં અને અડધું $(V/2)$ તેલમાં રહે છે. ધારો કે તેલની ઘનતા $\rho_o$ છે.
કુલ ઉત્પ્લાવક બળ બ્લોકના વજન જેટલું થાય છે:
$V \sigma g = (V/2) \rho g + (V/2) \rho_o g$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\sigma = (4/5) \rho$ મૂકતા:
$(4/5) V \rho = (1/2) V \rho + (1/2) V \rho_o$
$V$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા:
$(8/5) \rho = \rho + \rho_o$
$\rho_o = (8/5 - 1) \rho = (3/5) \rho$
આમ,પાણીની સાપેક્ષમાં તેલની ઘનતા $3/5$ છે.

(C) આપેલ છે કે,પદાર્થનો $(1/3)$ ભાગ પાણીની સપાટીની ઉપર છે.
તેથી,પાણીની બહાર રહેલા પદાર્થનું કદ $V_o = (1/3)V$ છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કુલ કદ છે.
તેથી,પાણીની અંદર રહેલા પદાર્થનું કદ $V_i = V - V_o = V - (V/3) = (2V/3)$ થશે.
ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\sigma$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg \ m^{-3}$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$W = F_B$
$Mg = V_i \rho g$
દળ $M = V \sigma$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$V \sigma g = V_i \rho g$
$\sigma = (V_i / V) \rho$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = \frac{(2V/3)}{V} \times 10^3 = \frac{2}{3} \times 10^3 = \frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$.
આમ,ઘન પદાર્થની ઘનતા $\frac{2000}{3} \ kg \ m^{-3}$ છે.

(D) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W_{app} = W_{actual} - F_B$, જ્યાં $W_{actual}$ એ વાસ્તવિક વજન છે અને $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે।
$V$ કદ અને $\rho_{obj}$ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ માટે, જે $\rho_{fluid}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબેલું છે, ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_{fluid} g$ થાય છે।
થેલીનું વાસ્તવિક વજન $W_{actual} = m g = V \rho_{obj} g$ છે।
થેલીમાં પાણી ભરેલું હોવાથી, પદાર્થની ઘનતા (પાણી) એ આસપાસના પ્રવાહી (પાણી) ની ઘનતા જેટલી જ છે, એટલે કે $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$।
તેથી, $W_{app} = V \rho_{obj} g - V \rho_{fluid} g = 0$।
આમ, સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું અવલોકન $0 \,kg$ હશે।

(D) $\text{બ્લોકનું દળ},m = 0.5 \,kg$.
$\text{પીત્તળની ઘનતા},\rho = 8 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$.
$\text{બ્લોકનું કદ},V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{8 \times 10^3} = 6.25 \times 10^{-5} \,m^3$.
$\text{જ્યારે બ્લોક સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબેલો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ } F_b \text{ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે}:$
$F_b = V \cdot \rho_w \cdot g = (6.25 \times 10^{-5} \,m^3) \times (10^3 \,kg \,m^{-3}) \times (10 \,ms^{-2}) = 0.625 \,N$.
$\text{દોરીમાં તણાવ } T \text{ એ બ્લોકના વજન અને ઉત્પ્લાવક બળનો તફાવત છે}:$
$T = mg - F_b = (0.5 \,kg \times 10 \,ms^{-2}) - 0.625 \,N = 5 \,N - 0.625 \,N = 4.375 \,N$.
$\text{અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા}: 4.375 = \frac{4375}{1000} = \frac{35}{8} \,N$.

(D) ધાતુના બ્લોકની ઘનતા,$\rho = 5 \text{ g cm}^{-3}$.
બ્લોકનું કદ,$V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$.
બ્લોકનું દળ,$m = \rho \times V = 5 \times 125 = 625 \text{ g}$.
હવામાં બ્લોકનું વજન,$W = m \times g = 625 \text{ gf}$.
પાણીમાં ધાતુના બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ,$F_u = \text{વિસ્થાપિત પાણીનું કદ} \times \text{પાણીની ઘનતા} \times g$.
જ્યાં $\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}$,તેથી $F_u = 125 \text{ cm}^3 \times 1 \text{ g cm}^{-3} = 125 \text{ gf}$.
આભાસી વજન = હવામાં વજન - ઉત્પ્લાવક બળ.
આભાસી વજન $= 625 \text{ gf} - 125 \text{ gf} = 500 \text{ gf}$.
આને આપેલ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $500 = 5 \times 5 \times 5 \times 4 \text{ gf}$.

(D) આર્કિમિડીઝનું ઉપરની તરફનું બળ (પ્લવક બળ) એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
ગાણિતિક રીતે, પ્લવક બળ $F_B = V \rho g$ છે, જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે, $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે।
જો ગુરુત્વાકર્ષણ ન હોય, તો $g = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે પ્લવક બળ $F_B = 0$ થાય।
સ્નિગ્ધતા, પૃષ્ઠતાણ અને દબાણ (આંતર-આણ્વિય બળો અથવા બાહ્ય દબાણને કારણે સ્થિર પ્રવાહીમાં) તેમના અસ્તિત્વ માટે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખતા નથી।
તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરીમાં આર્કિમિડીઝનું ઉપરની તરફનું બળ અસ્તિત્વમાં રહેશે નહીં।

(C) ધારો કે $V$ એ પદાર્થનું કદ છે,$\rho_b$ એ પદાર્થની ઘનતા છે,$\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \,kg/m^3)$ છે,અને $\rho_l$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
હવામાં: $T_1 = V \rho_b g = 40.2 \,N$.
પાણીમાં: $T_2 = V(\rho_b - \rho_w)g = 28.4 \,N$.
પાણીમાં ઉત્પ્લાવક બળ: $F_{Bw} = T_1 - T_2 = 40.2 - 28.4 = 11.8 \,N$.
કારણ કે $F_{Bw} = V \rho_w g$,તેથી $V g = 11.8 / 1000 = 0.0118 \,m^3 \cdot kg/m^3 \cdot m/s^2$.
પ્રવાહીમાં: $T_3 = V(\rho_b - \rho_l)g = 16.6 \,N$.
પ્રવાહીમાં ઉત્પ્લાવક બળ: $F_{Bl} = T_1 - T_3 = 40.2 - 16.6 = 23.6 \,N$.
કારણ કે $F_{Bl} = V \rho_l g$,તેથી $V \rho_l g = 23.6 \,N$.
બંને ઉત્પ્લાવક બળના સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{V \rho_l g}{V \rho_w g} = \frac{23.6}{11.8} = 2$.
તેથી,$\rho_l = 2 \rho_w = 2 \times 1000 \,kg/m^3 = 2000 \,kg/m^3$.

(D) ધારો કે $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ પોલાણની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $R = 2 \ cm$,પદાર્થની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_s = 8$,પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \ g/cm^3$.
ગોળો પાણીમાં ડૂબી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું છે.
ગોળાનું વજન = $\text{પદાર્થનું કદ} \times \rho_s \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 8 \times g$.
ઉત્પ્લાવક બળ = $\text{ગોળાનું કુલ કદ} \times \rho_w \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \times 1 \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 8 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$8(R^3 - r^3) = R^3$.
$8R^3 - 8r^3 = R^3 \Rightarrow 7R^3 = 8r^3$.
$r^3 = \frac{7}{8} R^3 = \frac{7}{8} \times (2)^3 = \frac{7}{8} \times 8 = 7 \ cm^3$.
પોલાણનું કદ $V_c = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 = \frac{88}{3} \ cm^3$.

(A) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho_b$ છે. ધારો કે $20^{\circ} C$ અને $100^{\circ} C$ તાપમાને પ્રવાહીની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_1$ અને $\rho_2$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન.
$20^{\circ} C$ તાપમાને: $V \rho_b g = (\frac{2}{3} V) \rho_1 g \implies \rho_b = \frac{2}{3} \rho_1$.
$100^{\circ} C$ તાપમાને: $V \rho_b g = (\frac{3}{4} V) \rho_2 g \implies \rho_b = \frac{3}{4} \rho_2$.
$\rho_b$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2}{3} \rho_1 = \frac{3}{4} \rho_2 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{9}{8}$.
ઘનતા $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta t}$ હોવાથી,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = 1 + \gamma \Delta T$ (જ્યાં $\Delta T = 80^{\circ} C$).
$1 + \gamma (80) = \frac{9}{8} \implies 80 \gamma = \frac{1}{8} \implies \gamma = \frac{1}{640} = 0.0015625 {}^{\circ} C^{-1}$.
$\gamma = 15.6 \times 10^{-4} {}^{\circ} C^{-1}$.

(D) બ્લોકનું દળ, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
પ્રારંભિક લંબાઈમાં વધારો, $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
સંતુલન સ્થિતિમાં, સ્પ્રિંગ બળ તેના વજન જેટલું હોય છે: $kx = mg$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.02 \times 10}{0.01} = 20 \,N/m$.
જ્યારે બ્લોક પાણીમાં ડૂબે છે, ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_w V g$ લાગે છે, જ્યાં $V = \frac{m}{\rho_c}$.
નવી સંતુલન સ્થિતિ $kx' + F_B = mg$ છે, જ્યાં $x'$ એ નવો વધારો છે。
$kx' = mg - \rho_w \left(\frac{m}{\rho_c}\right) g = mg \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right)$.
$x' = \frac{mg}{k} \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right) = x \left(1 - \frac{1000}{9000}\right)$.
$x' = 0.01 \times \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 0.01 \times \frac{8}{9} \approx 0.00888 \,m$.
$x' \approx 0.89 \,cm$.

(C) ધારો કે બ્લોકનું કુલ બાહ્ય કદ $V = 1000 \text{ ml} = 10^{-3} \text{ m}^3$ છે.
લાકડાની વિશિષ્ટ ઘનતા $\rho_w / \rho_{water} = 0.75$ છે.
તેથી,લાકડાના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho_w = 0.75 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 750 \text{ kg/m}^3$ છે.
ધારો કે પોલાણનું કદ $V_c$ છે. લાકડાના વાસ્તવિક દ્રવ્યનું કદ $V_m = V - V_c$ થશે.
બ્લોકનું દળ $M = \rho_w \times V_m = 750 \times (10^{-3} - V_c)$ થશે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
બ્લોક તેના અડધા કદ જેટલા પાણીમાં તરે છે,તેથી $V_{displaced} = \frac{V}{2} = 500 \text{ ml} = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^3$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $\rho_{water} \times V_{displaced} \times g = 1000 \times 5 \times 10^{-4} \times g = 0.5g$.
બ્લોકનું વજન = $M \times g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $0.5g = 750 \times (10^{-3} - V_c) \times g$.
$0.5 = 0.75 - 750 \times V_c$.
$750 \times V_c = 0.25$.
$V_c = \frac{0.25}{750} = \frac{1}{3000} \text{ m}^3$.
$V_c = \frac{1}{3000} \times 10^6 \text{ ml} = 333.33 \text{ ml}$.

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુ $a = 40 \ cm = 0.4 \ m$ છે. સમઘનનું કદ $V = a^3 = (0.4)^3 = 0.064 \ m^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$ છે.
શરૂઆતમાં,સમઘન તેના કદના $\frac{1}{4}$ ભાગ સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,સમઘનનું વજન એ સ્થાનાંતરિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$m_{cube} \cdot g = \rho_w \cdot V_{immersed} \cdot g$
$m_{cube} = 1000 \cdot (\frac{1}{4} \cdot 0.064) = 1000 \cdot 0.016 = 16 \ kg$.
જ્યારે $M$ દળની તકતી સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વજન $(m_{cube} + M)g$ થાય છે. નવું ડૂબેલું કદ $V$ નો $\frac{2}{5}$ ભાગ છે:
$(m_{cube} + M)g = \rho_w \cdot (\frac{2}{5} \cdot V) \cdot g$
$16 + M = 1000 \cdot (\frac{2}{5} \cdot 0.064)$
$16 + M = 1000 \cdot 0.0256 = 25.6$
$M = 25.6 - 16 = 9.6 \ kg$.

(D) આપેલ છે: સમઘનની બાજુ $a = 10 \ cm$,તેથી દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = 100 \ cm^2$.
પાણીમાં સમઘનની ઊંડાઈ $x = 3 \ cm$.
તેલમાં સમઘનની ઊંડાઈ $h = a - x = 10 - 3 = 7 \ cm$.
તેલની ઘનતા $\delta_1 = 0.9 \ g \ cm^{-3}$.
પાણીની ઘનતા $\delta_2 = 1 \ g \ cm^{-3}$.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,સમઘનનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
$W = F_{B1} + F_{B2}$
$mg = (\delta_1 \cdot V_{oil} \cdot g) + (\delta_2 \cdot V_{water} \cdot g)$
$m = \delta_1 \cdot A \cdot h + \delta_2 \cdot A \cdot x$
$m = 0.9 \times 100 \times 7 + 1 \times 100 \times 3$
$m = 630 + 300 = 930 \ g$
તેથી,લાકડાના સમઘનનું દળ $930 \ g$ છે.

(B) પોલા ગોળાના દ્રવ્યનું કદ $V_S = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$ છે,જ્યાં $R = 4 \ cm$ અને $r = 2 \ cm$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,ઉત્પ્લાવક બળ એ પદાર્થના વજન જેટલું હોય છે.
$B = W$
$\rho_L V_{sub} g = \rho_S V_S g$
ગોળો અડધો ડૂબેલો હોવાથી,ડૂબેલું કદ $V_{sub} = \frac{1}{2} \times ( \frac{4}{3} \pi R^3 ) = \frac{2}{3} \pi R^3$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$2.0 \times \frac{2}{3} \pi (4)^3 = \rho_S \times \frac{4}{3} \pi (4^3 - 2^3)$
$2.0 \times 64 = \rho_S \times (64 - 8)$
$128 = \rho_S \times 56$
$\rho_S = \frac{128}{56} \approx 1.14 \ g \ cm^{-3}$.

(B) લાકડાના બ્લોકનું કદ $V_w = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{160}{0.8 \times 1} = 200 \,cm^3$.
ધારો કે ધાતુના ટુકડાનું દળ $x \,g$ છે।
ધાતુના ટુકડાનું કદ $V_m = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{x}{10 \times 1} = \frac{x}{10} \,cm^3$.
સિસ્ટમ પાણીમાં તરે તે માટે, સિસ્ટમનું કુલ વજન પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું હોવું જોઈએ જ્યારે આખી સિસ્ટમ ડૂબેલી હોય।
કુલ વજન $W = (m_w + m_m)g = (160 + x)g$.
સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_{total} = V_w + V_m = (200 + \frac{x}{10}) \,cm^3$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{total} \times \rho_{water} \times g = (200 + \frac{x}{10}) \times 1 \times g$.
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $(160 + x)g = (200 + \frac{x}{10})g$.
$160 + x = 200 + 0.1x$.
$0.9x = 40$.
$x = \frac{400}{9} \approx 44.4 \,g$.

(C) આપેલ છે: લોખંડના ગોળાનું દળ, $m = 100 \,kg$. લોખંડની ઘનતા, $\rho_{\text{iron}} = 8 \times 10^3 \,kg/m^3$. દરિયાના પાણીની ઘનતા, $\rho_{\text{sea water}} = 1000 \,kg/m^3$. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
જ્યારે ગોળાને દરિયાના પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર ઉપરની દિશામાં ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) લાગે છે।
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ, ગોળાનું આભાસી વજન તેના વાસ્તવિક વજન અને ઉત્પ્લાવક બળના તફાવત જેટલું હોય છે।
કેબલમાં તણાવ $T$ એ ગોળાના આભાસી વજન જેટલું હોય છે।
$T = W - F_B = mg - V \rho_{\text{sea water}} g = mg \left(1 - \frac{\rho_{\text{sea water}}}{\rho_{\text{iron}}}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 100 \times 10 \left(1 - \frac{1000}{8 \times 10^3}\right) = 1000 \left(1 - \frac{1}{8}\right) = 1000 \times \frac{7}{8} = 875 \,N$.

(D) જ્યારે નળાકારને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના પોતાના કદ $V$ જેટલું પ્રવાહી સ્થાનાંતરિત કરે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહી દ્વારા નળાકાર પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \sigma g$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,નળાકાર પ્રવાહી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જેનાથી પાત્રના તળિયે દબાણમાં વધારો થાય છે.
નળાકારનું કદ $V = \frac{m}{\rho}$ છે.
દબાણમાં થતો વધારો $\Delta P$ એ પ્રવાહી પર લાગતા બળ અને પાત્રના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે:
$\Delta P = \frac{F_B}{A} = \frac{V \sigma g}{A}$.
સમીકરણમાં $V = \frac{m}{\rho}$ મૂકતા:
$\Delta P = \frac{(m/\rho) \sigma g}{A} = \frac{m \sigma g}{\rho A}$.

(D) હવામાં બ્લોકનું વજન, $w_{\text{air}} = 6000 \,N$.
પાણીમાં બ્લોકનું વજન, $w_{\text{water}} = 4000 \,N$.
બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = w_{\text{air}} - w_{\text{water}} = 6000 - 4000 = 2000 \,N$.
બ્લોકનું કુલ કદ $(V_{\text{total}})$ એ વિસ્થાપિત પાણીના કદ જેટલું છે: $V_{\text{total}} = \frac{F_B}{\rho_{\text{water}} \cdot g} = \frac{2000}{1000 \cdot 10} = 0.2 \,m^3$.
લોખંડના દ્રવ્યનું વાસ્તવિક કદ $(V_{\text{iron}})$ હવામાં તેના વજન પરથી ગણવામાં આવે છે: $V_{\text{iron}} = \frac{w_{\text{air}}}{\rho_{\text{iron}} \cdot g} = \frac{6000}{6000 \cdot 10} = 0.1 \,m^3$.
પોલાણનું કદ $(V_{\text{cavity}})$ એ કુલ કદ અને લોખંડના કદ વચ્ચેનો તફાવત છે: $V_{\text{cavity}} = V_{\text{total}} - V_{\text{iron}} = 0.2 \,m^3 - 0.1 \,m^3 = 0.1 \,m^3$.

(B) પદાર્થની ઘનતા,$\rho = 3 \,g/cc$.
પ્રવાહીની ઘનતા,$\sigma = 7 \,g/cc$.
ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને પ્રવાહીમાં ડૂબેલા કદનો અંશ $n$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
$V \rho g = (n V) \sigma g$.
બંને બાજુ $V g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\rho = n \sigma$.
તેથી,ડૂબેલા ભાગનો અંશ $n = \frac{\rho}{\sigma} = \frac{3}{7}$.
પ્રવાહીની બહાર રહેલા બ્લોકના કદનો અંશ $1 - n = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57$ છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોક પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$,નીચેની તરફ લાગતું બ્લોકનું વજન $(W)$ અને નીચેની તરફ લાગતું દોરીનું તણાવ $(T)$ છે.
સંતુલન માટે: $F_B = W + T$.
તેથી,$T = F_B - W$.
આપેલ છે: બ્લોકની ઘનતા $\rho_s = 0.5 \ g/cc = 500 \ kg/m^3$,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1 \ g/cc = 1000 \ kg/m^3$,$T = 20 \ N$,અને $g = 10 \ m/s^2$.
$T = \rho_l V g - \rho_s V g = V g (\rho_l - \rho_s)$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = V \times 10 \times (1000 - 500)$.
$20 = V \times 10 \times 500$.
$20 = 5000 V$.
$V = \frac{20}{5000} = \frac{1}{250} \ m^3$.
બ્લોકનું દળ $m = \rho_s V$ છે.
$m = 500 \times \frac{1}{250} = 2 \ kg$.

(C) આભાસી વજનમાં ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલો હોય છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
$30^{\circ} C$ તાપમાને: વજનમાં ઘટાડો = $45 - 25 = 20 \ g$.
ધાતુનું કદ $V_{30} = \frac{\text{ઘટાડો}}{\rho_{30}} = \frac{20 \ g}{1.5 \ g/cm^3} = 13.33 \ cm^3$.
$40^{\circ} C$ તાપમાને: વજનમાં ઘટાડો = $45 - 27 = 18 \ g$.
ધાતુનું કદ $V_{40} = \frac{\text{ઘટાડો}}{\rho_{40}} = \frac{18 \ g}{1.25 \ g/cm^3} = 14.40 \ cm^3$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ માટેનું સૂત્ર $V_{40} = V_{30}(1 + \gamma \Delta T)$ છે.
$\gamma = \frac{V_{40} - V_{30}}{V_{30} \Delta T} = \frac{14.40 - 13.33}{13.33 \times (40 - 30)} = \frac{1.07}{133.3} \approx 8.03 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{8.03 \times 10^{-3}}{3} \approx 2.67 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.

(A) ધારો કે $V_1$ એ પાણીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટનું કદ છે અને $V_2$ એ મર્ક્યુરીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટનું કદ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ગ્રેનાઈટ પર લાગતું કુલ ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
પાણી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B1} = V_1 \rho_1 g$ છે.
મર્ક્યુરી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B2} = V_2 \rho_2 g$ છે.
ગ્રેનાઈટનું વજન $W = (V_1 + V_2) \rho g$ છે.
બળોને સરખાવતા: $V_1 \rho_1 g + V_2 \rho_2 g = (V_1 + V_2) \rho g$.
$g$ વડે ભાગતા: $V_1 \rho_1 + V_2 \rho_2 = V_1 \rho + V_2 \rho$.
$V_1$ અને $V_2$ ના પદોને ગોઠવતા: $V_1 \rho_1 - V_1 \rho = V_2 \rho - V_2 \rho_2$.
$V_1(\rho_1 - \rho) = V_2(\rho - \rho_2)$.
તેથી,પાણીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટના કદ $(V_1)$ અને મર્ક્યુરીમાં રહેલા ગ્રેનાઈટના કદ $(V_2)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho - \rho_2}{\rho_1 - \rho} = \frac{\rho_2 - \rho}{\rho - \rho_1}$ થાય.

(B) ધાતુની ઘનતા $\rho$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ (અથવા $1000 \text{ kg/m}^3$) છે.
પોલો ગોળો પાણીમાં તરે તે માટે,તેનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન કરતાં ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધાતુના કવચનું કદ $V_m = 4 \pi R^2 t$ છે (કારણ કે $t \ll R$).
ગોળાનું દળ $m_s = V_m \times \rho = 4 \pi R^2 t \rho$ છે.
ગોળા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_w = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું દળ $m_w = V_w \times \rho_w = \frac{4}{3} \pi R^3 \times 1$ છે (જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતાના સાપેક્ષમાં છે).
તરવા માટેની શરત,$m_s \leq m_w$:
$4 \pi R^2 t \rho \leq \frac{4}{3} \pi R^3$
બંને બાજુ $4 \pi R^2$ વડે ભાગતા:
$t \rho \leq \frac{R}{3}$
$t \leq \frac{R}{3 \rho}$

(C) જ્યારે પ્રવાહી સ્થિર હોય ત્યારે ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. જ્યારે પ્રવાહી પ્રવેગિત હોય,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}}$ ધ્યાનમાં લેવું આવશ્યક છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બ્લોક સંતુલનમાં છે: $V_{\text{immersed}} \rho g = V_{\text{total}} \rho_b g$,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $\rho_b$ એ બ્લોકની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $40 \%$ ભાગ સપાટીની ઉપર છે,તેથી $60 \%$ ભાગ ડૂબેલો છે,એટલે કે $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$.
આમ,$0.6 V \rho g = V \rho_b g \implies \rho_b = 0.6 \rho$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર જાય છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{\text{eff}} = g + a = 1.5 g$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g)$ બને છે.
પ્રવેગિત ફ્રેમમાં બ્લોકનું વજન $W_{\text{eff}} = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$ થાય છે.
સંતુલન માટે,$F_B = W_{\text{eff}} \implies V_{\text{immersed}} \rho (1.5 g) = V_{\text{total}} \rho_b (1.5 g)$.
$1.5 g$ વડે ભાગતા,આપણને $V_{\text{immersed}} \rho = V_{\text{total}} \rho_b$ મળે છે.
$\rho_b = 0.6 \rho$ મૂકતા,આપણને $V_{\text{immersed}} = 0.6 V_{\text{total}}$ મળે છે.
તેથી,ડૂબેલા કદનો અંશ $60 \%$ રહે છે અને સપાટીની ઉપરનો ભાગ $40 \%$ જ રહે છે.

(C) સળિયાને આડી સંતુલન સ્થિતિમાં રાખવા માટે,મધ્યબિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
શરૂઆતમાં,ટોર્ક સંતુલન છે: $w \cdot l = w_{1} \cdot l_{1}$.
જ્યારે $w$ વજન ધરાવતો ધાતુનો ટુકડો પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B}$ અનુભવે છે. અસરકારક વજન $w' = w - F_{B}$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \rho_{w} g$ છે,જ્યાં $V$ એ ધાતુનું કદ છે અને $\rho_{w}$ એ પાણીની ઘનતા છે. $w = V \rho_{metal} g$ હોવાથી,$F_{B} = w \cdot \frac{\rho_{w}}{\rho_{metal}} = \frac{w}{\sigma}$,જ્યાં $\sigma$ એ ધાતુની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
આમ,નવું અસરકારક વજન $w' = w(1 - \frac{1}{\sigma})$ છે.
નવા સંતુલન માટે,ટોર્ક સંતુલન છે: $w' \cdot l = w_{1} \cdot l_{2}$.
$w'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $w(1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ પરથી,$w = \frac{w_{1} l_{1}}{l}$.
નવા સંતુલન સમીકરણમાં $w$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{w_{1} l_{1}}{l} (1 - \frac{1}{\sigma}) l = w_{1} l_{2}$.
$l_{1} (1 - \frac{1}{\sigma}) = l_{2}$.
$1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$.
$\frac{1}{\sigma} = 1 - \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{l_{1} - l_{2}}{l_{1}}$.
તેથી,$\sigma = \frac{l_{1}}{l_{1} - l_{2}}$.

(A) ધારો કે પ્રથમ ધાતુનું વજન $x$ છે અને બીજી ધાતુનું વજન $(w_1 - x)$ છે.
ધારો કે બે ધાતુઓના કદ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
$v_1 = \frac{x}{\rho_1}$ અને $v_2 = \frac{w_1 - x}{\rho_2}$.
મિશ્રધાતુનું કુલ કદ $V = v_1 + v_2 = \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2}$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,વજનમાં ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલો હોય છે:
$w_1 - w_2 = V \rho_w = \left( \frac{x}{\rho_1} + \frac{w_1 - x}{\rho_2} \right) \rho_w$.
$\rho_1 \rho_2$ વડે ગુણતા:
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + (w_1 - x) \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = (x \rho_2 + w_1 \rho_1 - x \rho_1) \rho_w$.
$(w_1 - w_2) \rho_1 \rho_2 = x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w + w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1 \rho_2 - w_2 \rho_1 \rho_2 - w_1 \rho_1 \rho_w$.
$x(\rho_2 - \rho_1) \rho_w = w_1 \rho_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_1 \rho_2$.
$x = \frac{\rho_1}{\rho_w(\rho_2 - \rho_1)} [w_1(\rho_2 - \rho_w) - w_2 \rho_2]$.

(A) ધારો કે નળાકાર બ્લોકનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,બ્લોક $\rho_{1}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$V \rho g = V x_{1} \rho_{1} g$
$\Rightarrow \rho = x_{1} \rho_{1} \quad ... (1)$
બીજા કિસ્સામાં,બ્લોક $\rho_{1}$ અને $\rho_{2}$ ઘનતા ધરાવતા બે અમીશ્રિત પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો છે. કદનો અંશ $x_{2}$ એ $\rho_{1}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં છે અને બાકીનો અંશ $(1 - x_{2})$ એ $\rho_{2}$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં છે. કુલ ઉત્પ્લાવક બળ એ બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે:
$V \rho g = V x_{2} \rho_{1} g + V (1 - x_{2}) \rho_{2} g$
$\Rightarrow \rho = x_{2} \rho_{1} + (1 - x_{2}) \rho_{2} \quad ... (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$x_{1} \rho_{1} = x_{2} \rho_{1} + (1 - x_{2}) \rho_{2}$
$x_{1} \rho_{1} - x_{2} \rho_{1} = (1 - x_{2}) \rho_{2}$
$\rho_{1} (x_{1} - x_{2}) = \rho_{2} (1 - x_{2})$
$\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}} = \frac{1 - x_{2}}{x_{1} - x_{2}}$

(D) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ ગ્રામ છે અને પદાર્થનું કદ $V$ $\text{cm}^3$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$ છે. આભાસી વજન $W'$ એ $W' = W_{actual} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$1.2$ વિશિષ્ટ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે,ઘનતા $\rho_l = 1.2 \text{ g/cm}^3$ છે. વજન $44 \text{ gwt}$ છે,તેથી:
$44 = m - 1.2V$ $(i)$
પાણી માટે,વજન $50 \text{ gwt}$ છે,તેથી:
$50 = m - V$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(50 - 44) = (m - V) - (m - 1.2V)$
$6 = 0.2V$
$V = 30 \text{ cm}^3$
$V = 30$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$50 = m - 30$
$m = 80 \text{ g}$

(C) ધારો કે પથ્થરનું કદ $V$ છે,પથ્થરની ઘનતા $\sigma$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho$ છે.
પથ્થરની સાપેક્ષ ઘનતા $K$ એ $K = \frac{\sigma}{\rho}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\sigma = K\rho$.
પથ્થર જ્યારે ડૂબે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પથ્થરનું વજન નીચેની તરફ લાગે છે: $W = V\sigma g = V(K\rho)g$.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ લાગે છે: $F_B = V\rho g$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = W - F_B = ma$,જ્યાં $m = V\sigma$ એ પથ્થરનું દળ છે.
$V\sigma g - V\rho g = (V\sigma)a$
$V\sigma$ વડે ભાગતા:
$a = g - \frac{V\rho g}{V\sigma} = g - \frac{\rho}{\sigma}g$
કારણ કે $K = \frac{\sigma}{\rho}$,તેથી $\frac{\rho}{\sigma} = \frac{1}{K}$.
તેથી,પ્રવેગ $a = g - \frac{g}{K} = g\left(1 - \frac{1}{K}\right)$.