Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(D) નળાકાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને ઉત્પ્લાવક બળ $(F_b)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ એ નળાકાર દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
નળાકારનું કદ $V = \pi r^2 h$ છે.
તેથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = \rho Vg = \rho (\pi r^2 h) g = \pi r^2 \rho gh$ થાય.
નળાકાર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ એ ઉત્પ્લાવક બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો તફાવત છે.
$F_{net} = F_b - mg = \pi r^2 \rho gh - mg$.
આપણે પરિણામી બળનું મૂલ્ય શોધવાનું હોવાથી,આપણે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈશું:
$|F_{net}| = |\pi r^2 \rho gh - mg|$.

(B) શરૂઆતમાં,સીસાનું દળ ડૂબેલું હોવાથી,તે તેના પોતાના કદ $(V_{lead})$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. લાકડાનો ટુકડો તરે છે,જે તેના વજન જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે $(W_{wood}/\rho_{water}g)$.
જ્યારે સીસું બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનું સ્તર નીચે જાય છે કારણ કે $V_{lead}$ જેટલું કદ હવે વિસ્થાપિત થતું નથી.
જ્યારે સીસાને લાકડા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી દ્વારા ટેકવાયેલું કુલ વજન સીસાના વજન જેટલું વધે છે $(W_{lead} = m_{lead}g)$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,લાકડાના ટુકડાએ સીસાના વજનને પાણીની ઘનતા વડે ભાગતા મળતા કદ જેટલું વધારાનું પાણી વિસ્થાપિત કરવું પડે: $\Delta V = W_{lead} / (\rho_{water}g) = m_{lead} / \rho_{water}$.
સીસાની ઘનતા $(\rho_{lead} \approx 11.3 \times 10^3 \ kg/m^3)$ પાણીની ઘનતા $(\rho_{water} = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3)$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,સીસાના વજન દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $(m_{lead}/\rho_{water})$ એ સીસાના પોતાના કદ $(m_{lead}/\rho_{lead})$ કરતા ઘણું વધારે છે.
તેથી,પાણીનું સ્તર સીસું ડૂબેલું હતું તેના કરતા ઊંચે જાય છે,પરંતુ પાત્ર શરૂઆતમાં ભરેલું હોવાથી અને લાકડું મૂકતી વખતે પાણી બહાર નીકળી ગયું હોવાથી,સ્તર પાછું ધાર સુધી આવી જશે.

(A) ગોળો પાણીમાં સંપૂર્ણ ડૂબેલું તરે તે માટે,ગોળાનું વજન પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ગોળાનું વજન = ઘન પદાર્થનું કદ $\times$ પદાર્થની ઘનતા $\times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho g$
ઉત્પ્લાવક બળ = વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $\times$ પાણીની ઘનતા $\times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$
આપેલ સાપેક્ષ ઘનતા $\frac{\rho}{\rho_w} = 9$ હોવાથી:
$9(R^3 - r^3) = R^3$
$9R^3 - 9r^3 = R^3$
$8R^3 = 9r^3$
$r^3 = \frac{8}{9} R^3$

(A) ખાલી ફુગ્ગાનું દળ $= 1\, g$.
પાણીથી ભરેલા ફુગ્ગાનું દળ $= 101\, g$.
ફુગ્ગામાં રહેલા પાણીનું દળ $= 101\, g - 1\, g = 100\, g$.
પાણીની ઘનતા $\rho_w$ હોવાથી,ફુગ્ગાનું કદ $V = \frac{100\, g}{\rho_w} = 100\, cm^3$ થાય.
જ્યારે ફુગ્ગાને સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (Buoyant force) તે ફુગ્ગા દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \cdot \rho_w \cdot g = 100\, cm^3 \cdot 1\, g/cm^3 \cdot g = 100\, g$ (વજનના સંદર્ભમાં).
પાણીમાં ફુગ્ગાનું અસરકારક વજન $W_{\text{eff}} = W_{\text{total}} - F_B$ દ્વારા મળે છે.
$W_{\text{eff}} = 101\, g - 100\, g = 1\, g$.
તેથી,પાણીમાં ફુગ્ગાનું વજન $1\, g$ છે.

(B) ધારો કે દડાનું કદ $V$ છે,દડાની ઘનતા $\rho_b = 0.4 \times 10^3 \, kg/m^3$ છે,અને પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1.0 \times 10^3 \, kg/m^3$ છે.
પાણીની સપાટી પર દડાની સ્થિતિ ઊર્જા $U = mgh = V \rho_b gh$ છે.
જ્યારે દડો પાણીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) $F_B = V \rho_w g$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = V \rho_b g$ અનુભવે છે.
પાણીમાં ડૂબેલા દડા પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_B - W = Vg(\rho_w - \rho_b)$ છે,જે ઉપરની દિશામાં છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,દડો $d$ ઊંડાઈ સુધી ડૂબે ત્યારે ચોખ્ખા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા જેટલું હોવું જોઈએ:
$W_{net} = F_{net} \times d = Vg(\rho_w - \rho_b)d$.
થયેલા કાર્યને પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા સાથે સરખાવતા:
$Vg(\rho_w - \rho_b)d = V \rho_b gh$.
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{\rho_b}{\rho_w - \rho_b} h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{0.4 \times 10^3}{1.0 \times 10^3 - 0.4 \times 10^3} \times 9 \, cm = \frac{0.4}{0.6} \times 9 \, cm = \frac{2}{3} \times 9 \, cm = 6 \, cm$.

(A) તરતી સ્થિતિ માટે, પદાર્થનું વજન એ પ્રવાહી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
નળાકારનું વજન $W = (\text{કદ}) \times (\text{ઘન પદાર્થની ઘનતા}) \times g = (A \times L) \times D \times g$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = (\text{પ્રવાહી 1 માં ડૂબેલું કદ}) \times (\text{પ્રવાહી 1 ની ઘનતા}) \times g + (\text{પ્રવાહી 2 માં ડૂબેલું કદ}) \times (\text{પ્રવાહી 2 ની ઘનતા}) \times g$.
આપેલ છે: હલકા પ્રવાહીમાં (ઘનતા $d$) કદ $V_1 = A \times (3L/4)$ અને ઘટ્ટ પ્રવાહીમાં (ઘનતા $2d$) કદ $V_2 = A \times (L/4)$.
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $(A \times L) \times D \times g = (A \times 3L/4) \times d \times g + (A \times L/4) \times 2d \times g$.
બંને બાજુને $A \times L \times g$ વડે ભાગતા: $D = (3/4)d + (1/4) \times 2d$.
$D = (3/4)d + (2/4)d = 5d/4$.

(D) જ્યારે પદાર્થ પ્રવાહીમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેનો વેગ $u$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mgh = \frac{1}{2} mu^2 \implies u = \sqrt{2gh}$
ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે.
પદાર્થનું દળ $m = Vd$.
પદાર્થનું વજન $W = Vdg$.
પ્લવન બળ $F_B = VDg$.
ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B - W = Vg(D-d)$.
મંદન $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(D-d)}{Vd} = \left( \frac{D-d}{d} \right) g$.
પદાર્થ નીચેની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી, પ્રવેગ $a' = -\left( \frac{D-d}{d} \right) g$ થશે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + a't$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં ક્ષણિક સ્થિરતા સમયે $v = 0$:
$0 = \sqrt{2gh} - \left( \frac{D-d}{d} \right) gt$
$t = \left( \frac{d}{D-d} \right) \sqrt{\frac{2h}{g}}$

(D) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) સૂત્ર $F_B = V_{disp} \cdot \rho_{liquid} \cdot g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે આખી સિસ્ટમ (બીકર અને પ્રવાહી) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતી હોય,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ $g - g = 0$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધારિત હોવાથી,અને $g_{eff} = 0$ હોવાથી,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ શૂન્ય થઈ જાય છે.

(D) જ્યારે પદાર્થને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે ત્યારે તેના વજનમાં થતો આભાસી ઘટાડો એ પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (thrust) જેટલો હોય છે.
વજનમાં ઘટાડો $= 264\, g - 221\, g = 43\, g$.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1\, g/cc$ હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કદ એ તાંબાના ટુકડાના કુલ કદ $(V_{total})$ જેટલું થાય.
$V_{total} = \frac{\text{વજનમાં ઘટાડો}}{\rho_w} = \frac{43\, g}{1\, g/cc} = 43\, cc$.
તાંબાના દ્રવ્યનું કદ $(V_{material})$ તેના દળ અને ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$V_{material} = \frac{\text{દળ}}{\text{તાંબાની ઘનતા}} = \frac{264\, g}{8.8\, g/cc} = 30\, cc$.
આંતરિક પોલાણનું કદ $(V_{cavity})$ એ કુલ કદ અને દ્રવ્યના કદ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V_{cavity} = V_{total} - V_{material} = 43\, cc - 30\, cc = 13\, cc$.

(B) ધારો કે સમઘનની બાજુ $a$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \, g/cm^3$ છે.
જ્યારે $m = 200 \, g$ દળ સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તરે છે. દળનું વજન તેટલા જ કદના પાણીના વજન જેટલા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
જ્યારે દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘન $h = 2 \, cm$ જેટલો ઉપર આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે વિસ્થાપિત પાણીનું કદ સમઘનના આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને ઊંચાઈના ગુણાકાર જેટલું ઘટે છે.
દૂર કરેલા દળનું વજન તે દળને કારણે અગાઉ ડૂબેલા કદ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
દળનું વજન = $(a \times a \times h)$ કદ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન.
$m \cdot g = (a^2 \cdot h) \cdot \rho_w \cdot g$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = a^2 \times 2 \times 1$.
$a^2 = 100$.
$a = 10 \, cm$.

(C) ધારો કે માણસ દ્વારા પીવામાં આવેલા પાણીનું દળ $m$ છે.
શરૂઆતમાં,માણસ અને હોડી પાણીનું $V_1$ કદ વિસ્થાપિત કરે છે જેથી વિસ્થાપિત પાણીનું વજન માણસ અને હોડીના કુલ વજન જેટલું થાય (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
જ્યારે માણસ $m$ દળનું પાણી પીવે છે,ત્યારે માણસ અને હોડીનું કુલ વજન $mg$ જેટલું વધે છે.
આ વધારાના વજનને ટેકો આપવા માટે,હોડીએ વધારાનું $V_{add} = \frac{m}{\rho}$ કદનું પાણી વિસ્થાપિત કરવું પડે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જો કે,તળાવમાંથી $m$ દળનું પાણી પીવાથી,તળાવમાં પાણીનું કુલ કદ $V_{removed} = \frac{m}{\rho}$ જેટલું ઘટે છે.
હોડી દ્વારા વિસ્થાપિત વધારાનું કદ $(V_{add})$ એ તળાવમાંથી દૂર કરેલા પાણીના કદ $(V_{removed})$ ની બરાબર હોવાથી,તળાવની પાણીની સપાટીમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય છે.
તેથી,તળાવમાં પાણીની સપાટી સમાન રહેશે.

(B) ધારો કે $m_i$ એ બરફનું દળ છે અને $m_f$ એ લોખંડના ટુકડાનું દળ છે.
બરફ ઓગળે તે પહેલાં, તંત્રનું કુલ વજન $(m_i + m_f)g$ છે. તંત્ર તરતું હોવાથી, ઉત્પ્લાવક બળ તંત્રના વજન જેટલું હોય છે: $F_b = (m_i + m_f)g$.
તરતા તંત્ર દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = \frac{F_b}{\rho_w g} = \frac{m_i + m_f}{\rho_w} = \frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_w}$ છે.
બરફ ઓગળી ગયા પછી, બરફ પાણી બની જાય છે જેનું કદ $V_{water\_from\_ice} = \frac{m_i}{\rho_w}$ છે. લોખંડનો ટુકડો તળિયે બેસી જાય છે, જે તેનું પોતાનું કદ $V_{iron} = \frac{m_f}{\rho_f}$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે.
પાણી અને લોખંડના ટુકડા દ્વારા રોકાયેલું કુલ કદ $V_{total} = \frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_f}$ છે.
વિસ્થાપિત કદની સરખામણી કરતા: $V_{disp} - V_{total} = (\frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_w}) - (\frac{m_i}{\rho_w} + \frac{m_f}{\rho_f}) = m_f(\frac{1}{\rho_w} - \frac{1}{\rho_f})$.
લોખંડની ઘનતા $\rho_f$ એ પાણીની ઘનતા $\rho_w$ કરતા વધારે હોવાથી, $\frac{1}{\rho_w} > \frac{1}{\rho_f}$ થાય.
તેથી, $V_{disp} > V_{total}$, જેનો અર્થ છે કે પાણીનું સ્તર ઘટે છે.

(C) જ્યારે બ્લોકને પ્રવાહીની અંદર $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રમાં બ્લોક અને સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનો સમાવેશ થાય છે.
બ્લોકની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_b = m_b gh = (\sigma_b V) gh$ છે.
જેમ બ્લોક ઉપર જાય છે,તેમ $V$ જેટલું પ્રવાહી બ્લોકની અગાઉની જગ્યા ભરવા માટે $h$ ઊંચાઈ નીચે આવે છે. સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U_l = -m_l gh = -(\sigma_l V) gh$ છે.
તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \Delta U_b + \Delta U_l$ છે.
$\Delta U = (\sigma_b V) gh - (\sigma_l V) gh = (\sigma_b - \sigma_l) Vgh$.

(B) ઘનાકાર બ્લોકનું કદ $V = l^3$ છે.
ધારો કે પારોની સપાટીથી ઉપર બ્લોકની ઊંચાઈ $h$ છે.
પારામાં ડૂબેલા બ્લોકની ઊંડાઈ $(l - h)$ છે.
સ્થાનાંતરિત થયેલા પારોનું કદ $V_{disp} = (l - h)l^2$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,સ્થાનાંતરિત થયેલા પારોનું વજન એ સ્ટીલના બ્લોકના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્થાનાંતરિત પારોનું વજન = $(l - h)l^2 \rho_m g$.
સ્ટીલના બ્લોકનું વજન = $l^3 \rho_s g$.
બંનેને સરખાવતા: $(l - h)l^2 \rho_m g = l^3 \rho_s g$.
બંને બાજુને $l^2 g$ વડે ભાગતા: $(l - h) \rho_m = l \rho_s$.
$l - h = l \frac{\rho_s}{\rho_m}$.
$h = l - l \frac{\rho_s}{\rho_m} = l(1 - \frac{\rho_s}{\rho_m})$.

(D) ફુગ્ગાની સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = M + m$ છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને સંપૂર્ણપણે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તે તેના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે.
ફુગ્ગામાં $M$ દળનું પાણી છે અને ફુગ્ગાના મટીરીયલનું દળ $m$ છે, તેથી સિસ્ટમનું કુલ કદ એ પાણીના કદ અને ફુગ્ગાના મટીરીયલના કદનો સરવાળો છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ, ફુગ્ગા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = (M + m)g$.
આભાસી વજન $W_{app} = W_{actual} - F_B = (M + m)g - Mg = mg$.
તેથી, આભાસી દળ $m$ છે.

(B) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_B = \rho_{water} V_{displaced} g$, જ્યાં $\rho_{water}$ એ પાણીની ઘનતા છે, $V_{displaced}$ એ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે, અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
જેમ જેમ બરણીને પાણીમાં ઊંડે ધકેલવામાં આવે છે, તેમ બરણીની ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ વધે છે.
બોઈલના નિયમ $(PV = \text{અચળ})$ મુજબ, જેમ ફસાયેલી હવા પરનું દબાણ $P$ વધે છે, તેમ ફસાયેલી હવાનું કદ $V$ ઘટે છે.
બરણી ડૂબેલી હોવાથી, વિસ્થાપિત સિસ્ટમનું કુલ કદ $(V_{displaced})$ એ કાચની બરણીનું પોતાનું કદ અને ફસાયેલી હવાનું કદનો સરવાળો છે.
જેમ ફસાયેલી હવાનું કદ ઘટે છે, તેમ વિસ્થાપિત સિસ્ટમનું કુલ કદ $(V_{displaced})$ ઘટે છે.
પરિણામે, ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_{water} V_{displaced} g$ ઘટે છે.

(C) પ્રથમ પરિસ્થિતિમાં,બ્લોક પાણીમાં તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$V_b \rho_b g = V_s \rho_w g$
$\frac{V_s}{V_b} = \frac{\rho_b}{\rho_w} = \frac{4}{5} \quad ... (i)$
અહીં,$V_b$ એ બ્લોકનું કદ છે,$V_s$ એ ડૂબેલું કદ છે,$\rho_b$ એ બ્લોકની ઘનતા છે,અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બીજી પરિસ્થિતિમાં,બ્લોક તેલ અને પાણીના મિશ્રણમાં તરે છે. બ્લોકનું કુલ વજન તેલ અને પાણી બંને દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V_b \rho_b g = \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_o g + \left(\frac{V_b}{2}\right) \rho_w g$
$V_b g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\rho_b = \frac{\rho_o}{2} + \frac{\rho_w}{2}$
$2 \rho_b = \rho_o + \rho_w$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\rho_b = \frac{4}{5} \rho_w$ મૂકતા:
$2 \left(\frac{4}{5} \rho_w\right) = \rho_o + \rho_w$
$\frac{8}{5} \rho_w - \rho_w = \rho_o$
$\rho_o = \frac{3}{5} \rho_w = 0.6 \rho_w$
તેથી,પાણીની સાપેક્ષમાં તેલની ઘનતા $\frac{\rho_o}{\rho_w} = 0.6$ છે.

(D) ધારો કે ઘન બ્લોકની બાજુ $\ell = 0.5\,m$ છે. ઘનનું કદ $V = \ell^3 = (0.5)^3 = 0.125\,m^3$ છે.
શરૂઆતમાં,$30\%$ કદ પાણીમાં ડૂબેલું છે,તેથી ઉત્પ્લાવક બળ બ્લોકના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$V_{sub} \cdot \rho_w \cdot g = V \cdot \rho_{block} \cdot g$
$0.3 \cdot V \cdot \rho_w = V \cdot \rho_{block}$
$\rho_{block} = 0.3 \cdot \rho_w = 0.3 \cdot 1000 = 300\,kg/m^3$.
બ્લોકનું દળ $m_{block} = V \cdot \rho_{block} = 0.125 \cdot 300 = 37.5\,kg$ છે.
જ્યારે બ્લોક પર વધારાનું દળ $M$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક સંપૂર્ણપણે ડૂબી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ વજન સંપૂર્ણ કદ $V$ માટે ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું થાય છે:
$(m_{block} + M)g = V \cdot \rho_w \cdot g$
$M = V \cdot \rho_w - m_{block} = (0.125 \cdot 1000) - 37.5 = 125 - 37.5 = 87.5\,kg$.

(C) ધારો કે $R$ એ બહારની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ પોલાણની ત્રિજ્યા છે.
ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho = 27 \times \rho_{water} = 27 \rho_{w}$ છે.
ગોળો પાણીમાં બરાબર ડૂબી જાય તે માટે,તેનું વજન તેના પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ગોળાનું વજન = $V_{solid} \times \rho \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 27 \rho_{w} \times g$.
ઉત્પ્લાવક બળ = $V_{total} \times \rho_{w} \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \times \rho_{w} \times g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \times 27 \rho_{w} g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{w} g$.
$27(R^3 - r^3) = R^3$.
$27R^3 - 27r^3 = R^3$.
$26R^3 = 27r^3$.
$\frac{r^3}{R^3} = \frac{26}{27}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$\frac{r}{R} = \frac{(26)^{1/3}}{3}$.

(B) ધારો કે સમઘનનું દળ $m$ છે અને બાજુની લંબાઈ $a$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1\,g/cm^3$ છે.
જ્યારે $200\,g$ દળ સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે એવી રીતે તરે છે કે તેનું સંપૂર્ણ કદ ડૂબેલું હોય છે. કુલ વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$(m + 200)g = a^3 \rho_w g$ --- $(i)$
જ્યારે દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘન પાણીની સપાટીથી $2\,cm$ ઉપર તરે છે. ડૂબેલું કદ $a^2(a - 2)$ છે:
$mg = a^2(a - 2) \rho_w g$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(m + 200)g - mg = a^3 \rho_w g - a^2(a - 2) \rho_w g$
$200 = a^3 \rho_w - (a^3 - 2a^2) \rho_w$
$200 = 2a^2 \rho_w$
$\rho_w = 1\,g/cm^3$ હોવાથી:
$200 = 2a^2$
$a^2 = 100$
$a = 10\,cm$.

(D) ધારો કે ગોળાનું કદ $V$ છે,ગોળાની ઘનતા $\rho_s$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
આપેલ છે કે ગોળો પાણી કરતા $\eta$ ગણો હલકો છે,તેથી $\rho_w = \eta \rho_s$.
ગોળાનું દળ $m = V \rho_s$ છે,તેથી $V = \frac{m}{\rho_s}$.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. દોરીમાં તણાવ બળ $(T)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B = V \rho_w g)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
સંતુલન માટે,ઉપરની તરફ લાગતું બળ નીચેની તરફ લાગતા બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$F_B = W + T$
$T = F_B - W$
$T = V \rho_w g - mg$
$V = \frac{m}{\rho_s}$ અને $\rho_w = \eta \rho_s$ કિંમતો મૂકતા:
$T = \left( \frac{m}{\rho_s} \right) (\eta \rho_s) g - mg$
$T = \eta mg - mg$
$T = (\eta - 1) mg$

(C) ધારો કે લાકડાનું દળ $M$ છે અને કોંક્રિટનું દળ $m$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે. વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ એ પદાર્થની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે.
લાકડાનું કદ $V_w = \frac{M}{0.5 \rho_w} = \frac{2M}{\rho_w}$.
કોંક્રિટનું કદ $V_c = \frac{m}{2.5 \rho_w} = \frac{0.4m}{\rho_w}$.
જ્યારે સંયોજન તેનું સંપૂર્ણ કદ પાણીમાં ડૂબેલું રાખીને તરે છે,ત્યારે કુલ વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું હોવું જોઈએ:
$(M + m)g = (V_w + V_c) \rho_w g$
$M + m = \left(\frac{2M}{\rho_w} + \frac{0.4m}{\rho_w}\right) \rho_w$
$M + m = 2M + 0.4m$
$m - 0.4m = 2M - M$
$0.6m = M$
$\frac{M}{m} = \frac{0.6}{1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

(A) શરૂઆતમાં,બ્લોક અને સિક્કો સાથે તરે છે. બ્લોક અને સિક્કાનું કુલ વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે. ધારો કે $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $m$ એ સિક્કાનું દળ છે. કુલ વજન $(M+m)g$ છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે સિક્કો પાણીમાં પડે છે,ત્યારે બ્લોક એકલો તરે છે. બ્લોકનું વજન $Mg$ છે. બ્લોક દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V'_{disp} = M/\rho_w$ છે. સિક્કો તળિયે બેસી જાય છે અને તેના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે,$V_{coin} = m/\rho_c$,જ્યાં $\rho_c$ એ સિક્કાની ઘનતા છે.
હવે વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ $V_{total} = V'_{disp} + V_{coin} = M/\rho_w + m/\rho_c$ છે. સિક્કાની ઘનતા $\rho_c$ એ પાણીની ઘનતા $\rho_w$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,$m/\rho_c < m/\rho_w$ થાય. તેથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે $(V_{total} < V_{disp})$,જેના કારણે પાણીનું સ્તર $h$ ઘટે છે.
બ્લોકની ડૂબેલી ઊંડાઈ $l$ એ માત્ર બ્લોકના વજન $(Mg)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે બ્લોક અને સિક્કાના કુલ વજન $(Mg+mg)$ કરતા ઓછું છે. આમ,ડૂબેલી ઊંડાઈ $l$ પણ ઘટે છે.

(C) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જે $F_B = V_{sub} \rho_{water} g_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
લાકડાનો ટુકડો અને પાણી બંને આ સમાન અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff}$ અનુભવે છે.
લાકડાના ટુકડાનું વજન $W = V_{total} \rho_{wood} g_{eff}$ છે.
સંતુલન માટે,$W = F_B$,જેનો અર્થ છે કે $V_{total} \rho_{wood} g_{eff} = V_{sub} \rho_{water} g_{eff}$.
ચૂકવણીમાં $g_{eff}$ બંને બાજુથી રદ થઈ જાય છે,તેથી ડૂબેલા કદનો ગુણોત્તર $(V_{sub} / V_{total} = \rho_{wood} / \rho_{water})$ લિફ્ટના પ્રવેગથી સ્વતંત્ર રહે છે.
તેથી,લાકડાનો ટુકડો અડધો ડૂબેલો જ રહેશે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ, માણસનું વધારાનું વજન એ હોડીના નીચે બેસવાને કારણે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
હોડી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંડાઈ}$ છે।
આપેલ છે: $\text{લંબાઈ} = 3\,m$, $\text{પહોળાઈ} = 2\,m$, અને $\text{ઊંડાઈ} = 1\,cm = 0.01\,m$.
$V = 3 \times 2 \times 0.01 = 0.06\,m^3$.
વિસ્થાપિત પાણીનું દળ $m_w = \rho \times V$ છે, જ્યાં $\rho = 1000\,kg/m^3$.
$m_w = 1000 \times 0.06 = 60\,kg$.
માણસનું વજન વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોવાથી, માણસનું દળ $60\,kg$ થાય.

(B) હવામાં ઘરેણાનું વજન $W_{air} = 10\, g$ (દળ $m = 10\, g$) છે.
પાણીમાં ઘરેણાનું વજન $W_{water} = 6\, g$ છે.
વજનમાં થતો આભાસી ઘટાડો એ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલો હોય છે,જે વિસ્થાપિત પાણીના વજન બરાબર છે: $F_{buoyant} = W_{air} - W_{water} = 10\, g - 6\, g = 4\, g$.
પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1\, g/cc$ હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{total} = \frac{F_{buoyant}}{\rho_{water} \cdot g} = 4\, cc$ થાય.
આ $V_{total}$ એ ઘરેણાનું કુલ બાહ્ય કદ (દ્રવ્યનું કદ + પોલાણનું કદ) દર્શાવે છે.
માત્ર દ્રવ્યનું કદ $V_{material} = \frac{m}{\rho_{material}} = \frac{10\, g}{20\, g/cc} = 0.5\, cc$ છે.
તેથી,પોલાણનું કદ $V_{cavity} = V_{total} - V_{material} = 4\, cc - 0.5\, cc = 3.5\, cc$ થાય.

(C) ધારો કે ગોળાનું બહારનું કદ $V$ છે.
આપેલ છે કે અંદરનું કદ બહારના કદ કરતા અડધું છે,તેથી ગોળાના દ્રવ્યનું કદ $V_{material} = V - V/2 = V/2$ થશે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ગોળાનું વજન તેના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
ગોળાનું વજન = $V_{material} \times \rho \times g = (V/2) \times \rho \times g$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $V_{submerged} \times \sigma \times g = (4/5)V \times \sigma \times g$,જ્યાં $\sigma = 10^3 \ kg/m^3$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બંનેને સરખાવતા: $(V/2) \rho g = (4/5) V \sigma g$.
$\rho/2 = 4\sigma/5$.
$\rho = (8/5) \sigma = 1.6 \times 10^3 \ kg/m^3$.

(B) ધારો કે સમઘનનું દળ $m$ છે અને બાજુની લંબાઈ $a$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1\,g/cm^3$ છે.
જ્યારે $200\,g$ દળ સમઘન પર હોય છે,ત્યારે તે સંપૂર્ણપણે ડૂબેલું હોય છે અથવા ચોક્કસ સપાટી પર તરે છે:
$(m + 200)g = a^3 \rho_w g$ --- $(i)$
જ્યારે દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમઘન $2\,cm$ ઉપર આવે છે,એટલે કે ડૂબેલા ભાગની ઊંચાઈ $(a - 2)$ થાય છે. સમઘનનું વજન હવે ડૂબેલા કદ પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$mg = a^2(a - 2) \rho_w g$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(m + 200)g - mg = a^3 \rho_w g - a^2(a - 2) \rho_w g$
$200 = a^3 \rho_w - (a^3 - 2a^2) \rho_w$
$\rho_w = 1\,g/cm^3$ હોવાથી:
$200 = a^3 - a^3 + 2a^2$
$200 = 2a^2$
$a^2 = 100$
$a = 10\,cm$.

(A) ધારો કે હવામાં બ્લોકનું વજન $W_{actual} = 60\,N$ છે.
ધારો કે પાણીમાં બ્લોકનું આભાસી વજન $W_{app} = 40\,N$ છે.
બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વાસ્તવિક વજન અને આભાસી વજન વચ્ચેનો તફાવત છે:
$F_B = W_{actual} - W_{app} = 60\,N - 40\,N = 20\,N$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = V \cdot \rho_w \cdot g = 20\,N$,જ્યાં $V$ એ બ્લોકનું કદ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બ્લોકનું વાસ્તવિક વજન $W_{actual} = V \cdot \rho_s \cdot g = 60\,N$ છે,જ્યાં $\rho_s$ એ બ્લોકની ઘનતા છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{W_{actual}}{F_B} = \frac{V \cdot \rho_s \cdot g}{V \cdot \rho_w \cdot g} = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \text{વિશિષ્ટ ઘનતા}$.
$\text{વિશિષ્ટ ઘનતા} = \frac{60}{20} = 3$.

(B) જ્યારે પથ્થરો હોડીમાં હોય છે, ત્યારે તેઓ તેમના વજન જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે (તરતી વસ્તુઓ માટે આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત). ધારો કે $W_s$ એ પથ્થરોનું વજન છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_1 = W_s / (\rho_w g)$ છે.
જ્યારે પથ્થરોને પાણીમાં નાખવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ ડૂબી જાય છે અને તેમના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. ધારો કે $V_s$ એ પથ્થરોનું કદ છે અને $\rho_s$ એ પથ્થરોની ઘનતા છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_2 = V_s = W_s / (\rho_s g)$ છે.
પથ્થરોની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે હોવાથી $(\rho_s > \rho_w)$, તેથી $V_1 > V_2$ થાય છે.
કારણ કે જ્યારે પથ્થરોને હોડીમાંથી ટાંકીના તળિયે ખસેડવામાં આવે છે ત્યારે વિસ્થાપિત પાણીનું કદ ઘટે છે, તેથી ટાંકીમાં પાણીની સપાટી નીચે જાય છે.

(A) ઘન પદાર્થની સાપેક્ષ ઘનતા $(RD)$ એટલે હવામાં તેનું વજન અને પાણીમાં તેના વજનમાં થતા ઘટાડાનો ગુણોત્તર.
$RD = \frac{\text{હવામાં વજન}}{\text{હવામાં વજન} - \text{પાણીમાં વજન}}$
આપેલ છે:
હવામાં વજન $(W_a)$ = $15 \ N$
પાણીમાં વજન $(W_w)$ = $12 \ N$
$RD = \frac{15}{15 - 12} = \frac{15}{3} = 5$
તેથી,બ્લોકની સાપેક્ષ ઘનતા $5$ છે.

(A) પૃથ્વી પર,હાઇડ્રોજનથી ભરેલો ફુગ્ગો ઉપર જાય છે કારણ કે ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ ફુગ્ગાના વજન કરતા વધારે હોય છે.
ચંદ્ર પર કોઈ વાતાવરણ નથી,જેનો અર્થ છે કે ત્યાં ઉત્પ્લાવક બળ આપવા માટે હવા નથી.
તેથી,ફુગ્ગો ફક્ત ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ મુક્ત પતન (free fall) કરશે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{6}$ છે,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ફુગ્ગો મુક્ત પતનમાં હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ચંદ્ર પરના ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો એટલે કે $\frac{g}{6}$ હશે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(D) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,છોકરો અને લાકડું તરે તે માટે,સિસ્ટમનું કુલ વજન પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $V$ એ લાકડાના ટુકડાનું કદ છે.
છોકરાનું દળ = $60\, kg$.
લાકડાની ઘનતા $\rho_{wood} = 0.6 \times 1000 = 600\, kg/m^3$.
પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$.
સિસ્ટમનું કુલ વજન = છોકરાનું વજન + લાકડાનું વજન
$= 60g + (V \times 600)g$
ઉત્પ્લાવક બળ = લાકડા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$= V \times 1000 \times g$
બંનેને સરખાવતા:
$60g + 600Vg = 1000Vg$
$60 = 1000V - 600V$
$60 = 400V$
$V = \frac{60}{400} = \frac{3}{20}\, m^3$.

(D) ઉત્પ્લાવક બળ ઉત્પ્લાવકતા કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. આ બિંદુ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે ત્યારે જ સંપાત થાય છે જો પદાર્થ સમાંગ (એકસરખી ઘનતા ધરાવતો) હોય. પદાર્થ સમાંગ હોવો જરૂરી નથી,તેથી $Assertion$ ખોટું છે.
$Reason$ વિધાન એ મિકેનિક્સનો સામાન્ય સિદ્ધાંત છે: પદાર્થ પર લાગતા સમાન બળ ક્ષેત્ર (જેમ કે ગુરુત્વાકર્ષણ) માટે,પરિણામી બળ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે. જોકે,ઉત્પ્લાવક બળ એ પદાર્થ પર લાગતું સમાન બળ ક્ષેત્ર નથી; તે પદાર્થની સપાટી પર લાગતા દબાણ બળોનું પરિણામી છે. આમ,$Reason$ પણ ખોટું છે.

(D) ગોળો ન્યૂનતમ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે તે માટે તે સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો હોવો જોઈએ. આ સ્થિતિમાં,ગોળાનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
વજન $W = mg = \int \rho(r) g dV = \int_{0}^{R} \rho_{0} \left(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}}\right) g (4 \pi r^{2} dr)$.
$W = 4 \pi \rho_{0} g \int_{0}^{R} \left(r^{2} - \frac{r^{4}}{R^{2}}\right) dr$.
$W = 4 \pi \rho_{0} g \left[ \frac{r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5R^{2}} \right]_{0}^{R} = 4 \pi \rho_{0} g \left( \frac{R^{3}}{3} - \frac{R^{3}}{5} \right) = 4 \pi \rho_{0} g \left( \frac{2R^{3}}{15} \right) = \frac{8}{15} \pi R^{3} \rho_{0} g$.
ઉત્પ્લાવક બળ $B = V_{sphere} \rho_{l} g = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{l} g$.
$W = B$ લેતા: $\frac{8}{15} \pi R^{3} \rho_{0} g = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho_{l} g$.
$\rho_{l}$ માટે ઉકેલતા: $\rho_{l} = \frac{8}{15} \times \frac{3}{4} \rho_{0} = \frac{2}{5} \rho_{0}$.

(A) ધારો કે નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને $0^{\circ} C$ તથા $4^{\circ} C$ તાપમાને પાણીની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_0$ અને $\rho_4$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાને,નળાકારની ડૂબેલી લંબાઈ $h_0 = 100 \; cm - 20 \; cm = 80 \; cm$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,નળાકારનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે:
$mg = A \times h_0 \times \rho_0 \times g \implies m = A \times 80 \times \rho_0.$
$4^{\circ} C$ તાપમાને,નળાકારની ડૂબેલી લંબાઈ $h_4 = 100 \; cm - 21 \; cm = 79 \; cm$ છે.
નળાકારનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી:
$m = A \times 79 \times \rho_4.$
$m$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$A \times 80 \times \rho_0 = A \times 79 \times \rho_4.$
તેથી,$4^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતા અને $0^{\circ} C$ તાપમાને ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\rho_4}{\rho_0} = \frac{80}{79} \approx 1.0126.$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $1.01$ છે.

(N/A) વાતાવરણના નિયમ મુજબ,સંખ્યા ઘનતા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$n_{2}=n_{1} \exp \left[-m g\left(h_{2}-h_{1}\right) / k_{B} T\right]$
$\rho^{\prime}$ ઘનતા ધરાવતા માધ્યમમાં લટકાવેલ $\rho$ ઘનતા અને $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે,અસરકારક વજન $W_{eff}$ એ વાસ્તવિક વજન માઈનસ ઉત્પ્લાવક બળ (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત) છે.
ધારો કે $V$ એ કણનું કદ છે. તો $m = V\rho$.
ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત માધ્યમના વજન જેટલું છે: $F_{B} = V\rho^{\prime}g = (m/\rho)\rho^{\prime}g$.
અસરકારક વજન છે:
$W_{eff} = mg - F_{B} = mg - (m/\rho)\rho^{\prime}g = mg(1 - \rho^{\prime}/\rho) = mg(\rho - \rho^{\prime})/\rho$.
આ અસરકારક વજનને વાતાવરણના નિયમમાં મૂકતા અને $k_{B} = R/N_{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg(\rho - \rho^{\prime})}{\rho} \frac{(h_{2} - h_{1})}{k_{B}T} \right]$
$k_{B} = R/N_{A}$ મૂકતા:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg(\rho - \rho^{\prime})}{\rho} \frac{(h_{2} - h_{1}) N_{A}}{RT} \right]$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$n_{2} = n_{1} \exp \left[ -\frac{mg N_{A} (\rho - \rho^{\prime}) (h_{2} - h_{1})}{\rho RT} \right]$

(B) જ્યારે પરપોટો પાણીમાં ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ ગતિ કરે છે,જે સ્થિતિઊર્જામાં વધારો સૂચવી શકે છે. જોકે,સપાટી તરફ જતાં હાઈડ્રોસ્ટેટિક દબાણ ઘટવાને કારણે પરપોટો વિસ્તરણ પણ પામે છે. સૌથી મહત્વની વાત એ છે કે,ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) દ્વારા થતું કાર્ય ધન હોય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ હોય છે. પરપોટો પ્રવાહીમાં હોવાથી,તંત્રની સ્થિતિઊર્જા પ્રવાહી અને પરપોટાની ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે. જેમ પરપોટો ઉપર જાય છે,તેમ પાણી (જેની ઘનતા ઘણી વધારે છે) પરપોટા દ્વારા ખાલી થયેલી જગ્યા ભરવા માટે નીચે તરફ ગતિ કરે છે. આના પરિણામે સમગ્ર તંત્ર (પાણી + પરપોટો) ની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં ચોખ્ખો ઘટાડો થાય છે. તેથી,તંત્રની સ્થિતિઊર્જા ઘટે છે.

(A) પ્લવન બળ એ પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણ અથવા આંશિક રીતે ડૂબેલા પદાર્થ પર પ્રવાહી દ્વારા ઉપરની દિશામાં લાગતું બળ છે.
આ બળ પ્રવાહીની વિવિધ ઊંડાઈએ દબાણના તફાવતને કારણે ઉદ્ભવે છે,જ્યાં પદાર્થના તળિયે લાગતું દબાણ ઉપરના ભાગ કરતાં વધારે હોય છે.
આ ઘટનાને પ્લવનશીલતા (buoyancy) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પ્લવન બળ હંમેશા શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં પ્લવન કેન્દ્ર (center of buoyancy) માંથી લાગે છે,જે સ્થાનાંતરિત થયેલા પ્રવાહીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય છે.

(N/A) આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત: "જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં આંશિક કે સંપૂર્ણ રીતે ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે અને તે વિસ્થાપિત પ્રવાહીના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી ઉપરની દિશામાં લાગે છે."
સાબિતી:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, $h$ ઊંચાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક ઘન પદાર્થ $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ છે。
પદાર્થની ડાબી અને જમણી બાજુએ લાગતા બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે。
પદાર્થની ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ $P_{1} = x \rho g$ છે。
પદાર્થની નીચેની સપાટી પરનું દબાણ $P_{2} = (x + h) \rho g$ છે。
ઉપરની સપાટી પર લાગતું બળ $F_{1} = P_{1} A = x \rho g A$ (નીચેની તરફ).
નીચેની સપાટી પર લાગતું બળ $F_{2} = P_{2} A = (x + h) \rho g A$ (ઉપરની તરફ).
પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક (પરિણામી) બળ $F_{b}$:
$F_{b} = F_{2} - F_{1}$
$F_{b} = (x + h) \rho g A - x \rho g A$
$F_{b} = h \rho g A$
અહીં $A h = V$ (પદાર્થનું કદ), અને પદાર્થનું કદ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના કદ જેટલું હોય છે:
$F_{b} = V \rho g$
દળ $m = V \rho$ હોવાથી:
$F_{b} = m g$
આ બળ ઉપરની દિશામાં લાગે છે. અહીં $m$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું દળ છે. આમ, ઉત્પ્લાવક બળ = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન. આ રીતે આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત સાબિત થાય છે.

(N/A) પ્લવનનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થનું વજન તે પદાર્થના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય,ત્યારે તે પદાર્થ પ્રવાહીની સપાટી પર તરે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં આંશિક અથવા સંપૂર્ણ રીતે ડૂબેલો હોય,ત્યારે તેના પર બે બળો લાગે છે:
$(1)$ પદાર્થનું વજન $(W)$: $W = V_s \rho_s g$ (નીચેની દિશામાં),જ્યાં $V_s$ એ પદાર્થનું કદ છે અને $\rho_s$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
$(2)$ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_b)$: $F_b = V_f \rho_f g$ (ઉપરની દિશામાં),જ્યાં $V_f$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે અને $\rho_f$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
કિસ્સાઓ:
$(a)$ જો $W > F_b$ હોય: તો પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય છે (દા.ત.,લોખંડનો ખીલો).
$(b)$ જો $W = F_b$ હોય: તો પદાર્થ કોઈપણ ઊંડાઈએ સંતુલનમાં રહે છે (દા.ત.,સબમરીન).
$(c)$ જો $W < F_b$ હોય: તો પદાર્થ પ્રવાહીની સપાટી પર તરે છે (દા.ત.,લાકડાનો ટુકડો).

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીની સપાટી પર તરે છે,ત્યારે પદાર્થનું વજન એ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
તરવાના સિદ્ધાંત મુજબ: $W_{\text{body}} = W_{\text{displaced liquid}}$.
ધારો કે $V$ એ પદાર્થનું કુલ કદ છે અને $\rho$ તેની ઘનતા છે.
ધારો કે $V^{\prime}$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના ભાગનું કદ છે અને $\rho_{l}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
પદાર્થનું વજન $W = V \rho g$ છે.
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન (પ્લવન બળ) $F_{B} = V^{\prime} \rho_{l} g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $V \rho g = V^{\prime} \rho_{l} g$.
આમ,ડૂબેલા કદ અને કુલ કદનો ગુણોત્તર આ મુજબ મળે છે: $\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{\rho}{\rho_{l}}$.
તેથી,ડૂબેલા ભાગનું કદ $V^{\prime} = V \left( \frac{\rho}{\rho_{l}} \right)$ થાય.

(N/A) પ્લવક બળ એ તરલ દ્વારા કોઈ પદાર્થ પર લાગતું ઉપરની દિશાનું બળ છે,જે પદાર્થ તરલમાં સંપૂર્ણ અથવા આંશિક રીતે ડૂબેલો હોય ત્યારે લાગે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,આ બળનું મૂલ્ય પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા તરલના વજન જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$F_b = \rho \cdot V \cdot g$,જ્યાં $\rho$ એ તરલની ઘનતા છે,$V$ એ વિસ્થાપિત તરલનું કદ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.

(B) પ્લવક બળ એ પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવતું ઉપરની તરફનું બળ છે જે ડૂબેલા પદાર્થના વજનનો વિરોધ કરે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,આ બળ શિરોલંબ દિશામાં,ખાસ કરીને ઉપરની દિશામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે.
તેથી,પ્લવક બળની દિશા હંમેશા ઉપરની તરફ હોય છે.

(N/A) આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થને તરલમાં આંશિક અથવા સંપૂર્ણ રીતે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા તરલના વજન જેટલું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવે છે.
ગાણિતિક રીતે,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ને $F_B = V \rho g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત તરલનું કદ છે,$\rho$ એ તરલની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.

(N/A) પ્લવનનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીનું વજન તે પદાર્થના કુલ વજન જેટલું હોય, તો તે પદાર્થ પ્રવાહીમાં તરે છે.
ગાણિતિક રીતે, $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરતા $M$ દળના પદાર્થ માટે, શરત નીચે મુજબ છે:
$\text{પદાર્થનું } \text{વજન } = \text{વિસ્થાપિત } \text{પ્રવાહીનું } \text{વજન}$
$Mg = V_{submerged} \rho g$
જ્યાં $V_{submerged}$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું કદ છે.

(N/A) ધારો કે $V$ કુલ કદ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો પદાર્થ $\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે છે,અને $V_{sub}$ એ ડૂબેલા ભાગનું કદ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન એ ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
પદાર્થનું વજન = $V \rho g$
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $V_{sub} \sigma g$
બંનેને સરખાવતા: $V \rho g = V_{sub} \sigma g$
તેથી,ડૂબેલા ભાગનું કદ $V_{sub} = V \left( \frac{\rho}{\sigma} \right)$ થાય છે.

(A) જ્યારે પદાર્થનું વજન $(W)$ તેના પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ કરતા વધારે હોય ત્યારે પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય છે.
ગાણિતિક રીતે,ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho_b$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ છે.
પદાર્થનું વજન $W = V \rho_b g$ છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g$ છે.
પદાર્થ ડૂબી જાય તે માટે,$W > F_B$ હોવું જોઈએ.
આ કિંમતો મૂકતા,$V \rho_b g > V \rho_l g$,જેનું સાદું રૂપ $\rho_b > \rho_l$ થાય છે.
તેથી,જો પદાર્થની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા વધારે હોય તો પદાર્થ ડૂબી જાય છે.

(C) જો પદાર્થની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા જેટલી જ હોય,તો તે પદાર્થ પ્રવાહીમાં કોઈપણ ઊંડાઈએ સંતુલનમાં રહી શકે છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન $(W = V \rho_{body} g)$ એ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B = V \rho_{liquid} g)$ જેટલું હોવું જોઈએ.
જો $\rho_{body} = \rho_{liquid}$ હોય,તો $W = F_B$ થાય.
ઉત્પ્લાવક બળ માત્ર વિસ્થાપિત પ્રવાહીના કદ અને પ્રવાહીની ઘનતા પર આધાર રાખે છે (જે સમાન માનવામાં આવે છે),તેથી ઊંડાઈ સાથે ઉત્પ્લાવક બળ બદલાતું નથી.
આથી,કોઈપણ ઊંડાઈએ ચોખ્ખું બળ $(W - F_B)$ શૂન્ય રહે છે,જેના કારણે પદાર્થ તટસ્થ સંતુલનમાં રહે છે.

(B) જ્યારે પદાર્થનું વજન પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવતા ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) દ્વારા બરાબર સંતુલિત થાય ત્યારે પદાર્થ પ્રવાહીની સપાટી પર તરે છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે પદાર્થનું વજન,પદાર્થના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,$W_{body} = F_{buoyant}$.
જો $W_{body} > F_{buoyant}$ હોય,તો પદાર્થ ડૂબી જશે.
જો $W_{body} < F_{buoyant}$ હોય,તો પદાર્થ સપાટી પર આવશે અને આંશિક રીતે ડૂબેલી સ્થિતિમાં તરશે.