Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(B) જ્યારે સોડાની બોટલ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે અંદરનું દબાણ ઘટે છે,જેના કારણે ઓગળેલો $CO_2$ ગેસ પરપોટા બનાવે છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા કોઈપણ પદાર્થ પર ઉપરની તરફ લાગતું પ્લવક બળ તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
પરપોટા પર લાગતું પ્લવક બળ $(F_b)$ $F_b = V \rho_{liquid} g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ પરપોટાનું કદ છે,$\rho_{liquid}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પરપોટાનું વજન $(W)$ $W = V \rho_{gas} g$ છે.
ગેસની ઘનતા $(\rho_{gas})$ પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho_{liquid})$ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી,પ્લવક બળ પરપોટાના વજન કરતા ઘણું વધારે હોય છે $(F_b > W)$.
આ ચોખ્ખા ઉપરના બળને કારણે પરપોટા પ્રવેગિત થાય છે અને સપાટી પર ઉપર આવે છે.

(N/A) પ્લવકતા એ તરલ દ્વારા તેમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર ઉપરની તરફ લગાડવામાં આવતું બળ છે. આ બળને પ્લવક બળ (buoyant force) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તરલના આ ગુણધર્મને પ્લવકતા કહેવામાં આવે છે.

(N/A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન તેના પોતાના વજન જેટલું હોય,તો તે પદાર્થ તરે છે.
$1$. લોખંડના ટુકડાનું કદ નાનું હોય છે,તેથી તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન તેના પોતાના વજન કરતા ઓછું હોય છે,જેના કારણે તે ડૂબી જાય છે.
$2$. જહાજને એક મોટી પોલાણવાળી રચના સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે,જે તેનું કદ નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે. આનાથી જહાજ એટલા જથ્થામાં પાણીનું વિસ્થાપન કરી શકે છે જેનું વજન જહાજના કુલ વજન જેટલું હોય છે,જે તરવાની શરતને સંતોષે છે.

(N/A) ના,તળાવમાં પાણીનું સ્તર બદલાશે નહીં.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,હોડી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન એ હોડી અને વ્યક્તિના કુલ વજન જેટલું હોય છે.
જ્યારે વ્યક્તિ તળાવમાંથી એક ડોલ પાણી લે છે,ત્યારે દૂર કરાયેલ પાણીનું વજન તે ડોલ જ્યારે ડૂબેલી હતી ત્યારે તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું જ હોય છે.
જ્યારે ડોલને હોડીની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે હોડીનું કુલ વજન ડોલમાં રહેલા પાણીના વજન જેટલું વધે છે.
આ વધારાનું વજન હોડીને થોડી વધુ ઊંડે ડૂબાડે છે,જેનાથી ડોલમાં રહેલા પાણીના વજન જેટલું જ પાણી ફરીથી વિસ્થાપિત થાય છે.
હોડીમાં ઉમેરવામાં આવેલ પાણીનું કદ એ તળાવમાંથી દૂર કરેલા પાણીના કદ જેટલું જ હોવાથી,તળાવના પાણીના સ્તરમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય છે.

(B) ના, મુક્ત પતન કરતા પાત્રમાં આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત લાગુ પડતો નથી.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ, ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે, જે $F_{b} = V \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં, પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_{eff})$ એ $g - a$ છે. મુક્ત પતનમાં $a = g$ હોવાથી, $g_{eff} = 0$ થાય છે.
પરિણામે, ઉત્પ્લાવક બળ $F_{b} = V \rho (0) = 0$ થાય છે.
આમ, ઉત્પ્લાવક બળ શૂન્ય થઈ જતું હોવાથી આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત લાગુ પડતો નથી.

(B) મોટું બૂચ સપાટી પર ઝડપથી આવશે. આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. મોટા બૂચનું કદ મોટું હોવાથી,તે નાના બૂચની સરખામણીમાં વધુ પાણીનું વિસ્થાપન કરે છે. પરિણામે,મોટા બૂચ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ ઘણું વધારે હોય છે. ઉત્પ્લાવક બળ એ બૂચને સપાટી પર લાવવા માટે જવાબદાર ઉપરની તરફનું બળ હોવાથી,મોટા બૂચ પર વધુ ચોખ્ખો (net) ઉપરની તરફનો પ્રવેગ લાગે છે,જેના કારણે તે સપાટી પર ઝડપથી પહોંચે છે.

(N/A) નદીના પાણી કરતા દરિયાના પાણીમાં તરવું સરળ છે કારણ કે દરિયાના પાણીમાં ક્ષાર ઓગળેલા હોય છે,જે પાણીની ઘનતા વધારે છે. આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) $F = V \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે. દરિયાના પાણીની ઘનતા નદીના પાણી કરતા વધારે હોવાથી,દરિયાના પાણી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ વધારે હોય છે. આ વધેલું ઉત્પ્લાવક બળ શરીરને વધુ સરળતાથી તરવામાં મદદ કરે છે,જેથી પાણીની સપાટી પર રહેવા માટે ઓછી મહેનત કરવી પડે છે.

(B) બરફની ઘનતા $\rho_{\text{ice}} = 0.917 \, g/cm^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_{w} = 1 \, g/cm^3$ છે.
ધારો કે આઈસબર્ગનું કુલ કદ $V$ છે.
ધારો કે પાણીમાં ડૂબેલા આઈસબર્ગનું કદ $V^{\prime}$ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં તરે છે,ત્યારે પદાર્થનું વજન તેના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
આઈસબર્ગનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$V \cdot \rho_{\text{ice}} \cdot g = V^{\prime} \cdot \rho_{w} \cdot g$
બંને બાજુને $V \cdot \rho_{w} \cdot g$ વડે ભાગતા,આપણને ડૂબેલા કદનો અંશ મળે છે:
$\frac{V^{\prime}}{V} = \frac{\rho_{\text{ice}}}{\rho_{w}} = \frac{0.917}{1} = 0.917$.

(N/A) પાત્ર અને પાણી ધરાવતી સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લો. સ્કેલ શરૂઆતમાં શૂન્ય પર સેટ કરેલ છે.
જ્યારે બ્લોકને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પાણી દ્વારા ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) $F_B$ અનુભવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પાણી પર તેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં નીચેની તરફ બળ લગાડે છે.
તેથી,સ્કેલનું રીડિંગ બ્લોક દ્વારા અનુભવાતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલા મૂલ્યથી વધે છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{sub} \rho_w g$,જ્યાં $V_{sub}$ એ બ્લોકનું ડૂબેલું કદ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જો $M$ દળ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો આખો બ્લોક ડૂબેલો હોય,તો $V_{sub} = V = \frac{M}{\rho}$.
આમ,સ્કેલનું રીડિંગ $F_B = \left( \frac{M}{\rho} \right) \rho_w g = M g \left( \frac{\rho_w}{\rho} \right)$ થશે.

(A) ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho_{w}$ છે. $L$ ઊંચાઈનો બ્લોક તેના પર તરે છે. ધારો કે બ્લોકનો $x$ જેટલો ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો છે.
બ્લોકનું કદ $V = L^{3}$.
બ્લોકનું દળ $m = V \rho = L^{3} \rho$.
બ્લોકનું વજન $W = mg = L^{3} \rho g$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે એલિવેટર સ્થિર હોય (અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતું હોય),ત્યારે બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
બ્લોકનું વજન = સ્થાનાંતરિત પાણીનું વજન.
$L^{3} \rho g = (x L^{2}) \rho_{w} g$.
તેથી,ડૂબેલા ભાગનું પ્રમાણ $\frac{x}{L} = \frac{\rho}{\rho_{w}}$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે એલિવેટર $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g' = (g + a)$ થાય છે.
આ ફ્રેમમાં,બ્લોકનું વજન $W' = m(g + a) = L^{3} \rho (g + a)$ થાય છે.
ઉત્પ્લાવક બળ પણ બદલાય છે કારણ કે પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ બદલાય છે: $F_{B}' = V_{submerged} \rho_{w} (g + a) = (x' L^{2}) \rho_{w} (g + a)$,જ્યાં $x'$ એ નવી ડૂબેલી ઊંચાઈ છે.
બંનેને સરખાવતા: $L^{3} \rho (g + a) = x' L^{2} \rho_{w} (g + a)$.
બંને બાજુથી $(g + a)$ રદ કરતા,આપણને $L^{3} \rho = x' L^{2} \rho_{w}$ મળે છે.
તેથી,નવું ડૂબેલા ભાગનું પ્રમાણ $\frac{x'}{L} = \frac{\rho}{\rho_{w}}$ છે.
નિષ્કર્ષ: એલિવેટરના પ્રવેગને ધ્યાનમાં લીધા વિના બ્લોકનો ડૂબેલો ભાગ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) હવાના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times (1)^3 \approx 4.1888\,cm^3 \approx 4.19\,cm^3$ છે.
પરપોટા પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $B$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $B - mg = ma$ છે.
અહીં,$B = V \rho_w g$,જ્યાં $\rho_w = 1\,g\,cm^{-3}$ એ પાણીની ઘનતા છે.
સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $V \rho_w g - mg = ma$.
દળ $m$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા: $m(g + a) = V \rho_w g$.
$m = \frac{V \rho_w g}{g + a} = \frac{V \rho_w}{1 + \frac{a}{g}}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{4.19 \times 1}{1 + \frac{9.8}{980}} = \frac{4.19}{1 + 0.01} = \frac{4.19}{1.01} \approx 4.1485\,g \approx 4.15\,g$.

(B) કવચ પાણીની સપાટીની બરાબર નીચે તરે તે માટે,કવચનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
કવચનું વજન = $V_{material} \times \rho_{material} \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $V_{total} \times \rho_{water} \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
$(R^3 - r^3) \rho_{material} = R^3 \rho_{water}$.
આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઘનતા $\frac{\rho_{material}}{\rho_{water}} = \frac{27}{8}$.
તેથી,$(R^3 - r^3) \frac{27}{8} = R^3$.
$R^3 - r^3 = \frac{8}{27} R^3$.
$r^3 = R^3 - \frac{8}{27} R^3 = \frac{19}{27} R^3$.
$r = R \left( \frac{19}{27} \right)^{1/3} = \frac{R}{3} (19)^{1/3}$.
કારણ કે $(19)^{1/3} \approx 2.668$,તેથી $r \approx \frac{2.668}{3} R \approx 0.889 R$.

(B) કિસ્સો $A$: અહીં વજન કાંટા પર લાગતું બળ ફક્ત પાણીનું વજન છે. તેથી,$w_{A} = mg$.
કિસ્સો $B$: આ કિસ્સામાં,પાત્ર પર લાગતા અધોગામી બળો પાણીનું વજન અને દડા પર પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ ની પ્રતિક્રિયા છે. તેથી,$w_{B} = mg + F_{B}$.
કિસ્સો $C$: આ કિસ્સામાં,અધોગામી બળો પાણીનું વજન અને ઉત્પ્લાવક બળની પ્રતિક્રિયા છે,જે કિસ્સા $B$ જેવું જ છે કારણ કે દડા સમાન કદના છે. તેથી,$w_{C} = mg + F_{B}$.
કિસ્સો $D$: આ કિસ્સામાં,બીકરના તળિયે લાગતા બળો પાણીનું વજન $(mg)$,દડાનું વજન $(m'g)$ અને દોરીમાં ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $(T)$ છે. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ દડા પર ઉપરની તરફ લાગે છે. સંતુલન માટે,$T + F_{B} = m'g$,તેથી $T = m'g - F_{B}$. વજન કાંટા પરનું કુલ બળ $w_{D} = mg + m'g - T = mg + m'g - (m'g - F_{B}) = mg + F_{B}$.
આમ,$w_{B} = w_{C} = w_{D} > w_{A}$.

(B) ધારો કે દરેક સિક્કાનું દળ $m$ છે. શરૂઆતમાં $40$ સિક્કાઓ માટે ડૂબેલી ઊંડાઈ $h_0 = 3 \, cm$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પાત્રનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $(40m)g = A \cdot h_0 \cdot \rho_w \cdot g$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
આમ,$A \rho_w = \frac{40m}{3}$.
જ્યારે $N$ વધારાના સિક્કા ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ દળ $(40+N)m$ થાય છે. નવી ડૂબેલી ઊંડાઈ $h'$ એ $(40+N)m = A \cdot h' \cdot \rho_w$ દ્વારા મળે છે,તેથી $h' = \frac{(40+N)m}{A \rho_w} = \frac{(40+N)m}{40m/3} = \frac{3(40+N)}{40} \, cm$.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ (તળિયાથી માપતા) $CM = \frac{40m(0) + Nm(9)}{(40+N)m} = \frac{9N}{40+N} \, cm$ છે.
ડૂબેલા ભાગનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર $(GC)$ તળિયાથી $h'/2$ અંતરે છે: $GC = \frac{h'}{2} = \frac{3(40+N)}{80} \, cm$.
સ્થિર સંતુલનમાંથી અસ્થિર સંતુલનમાં પરિવર્તન માટે,$CM$ અને $GC$ એકબીજા પર સંપાત થવા જોઈએ $(CM = GC)$:
$\frac{9N}{40+N} = \frac{3(40+N)}{80}$
$720N = 3(40+N)^2$
$240N = 1600 + 80N + N^2$
$N^2 - 160N + 1600 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = \frac{160 \pm \sqrt{160^2 - 4(1600)}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{25600 - 6400}}{2} = \frac{160 \pm \sqrt{19200}}{2} = 80 \pm 40\sqrt{3} \approx 80 \pm 69.28$.
કારણ કે $N < 40$ (પાત્રની ઊંચાઈ $9 \, cm$ છે),આપણે $N = 80 - 69.28 = 10.72$ લઈએ છીએ.
$N$ નું મૂલ્ય $10$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) તરતા બ્લોક માટે,બ્લોકનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $Mg = V_{sub} \rho_{water} g$,જ્યાં $V_{sub}$ એ ડૂબેલા ભાગનું કદ છે.
બ્લોકનું કુલ કદ $V = V_{sub} + V_0$ અચળ હોવાથી (લાકડાના ઉષ્મીય પ્રસરણને અવગણતા),આપણને મળે છે $V_0 = V - V_{sub} = V - \frac{M}{\rho_{water}}$.
જેમ પાણીનું તાપમાન $0^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી વધે છે,તેમ પાણીની ઘનતા $\rho_{water}$ શરૂઆતમાં વધે છે,જે $4^{\circ} C$ પર મહત્તમ થાય છે,અને ત્યારબાદ ઘટે છે.
$V_0 = V - \frac{M}{\rho_{water}}$ હોવાથી,જેમ $\rho_{water}$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{M}{\rho_{water}}$ ઘટે છે,જેના કારણે $V_0$ એ $4^{\circ} C$ સુધી વધે છે.
$4^{\circ} C$ પછી,જેમ $\rho_{water}$ ઘટે છે,તેમ પદ $\frac{M}{\rho_{water}}$ વધે છે,જેના કારણે $V_0$ ઘટે છે.
તેથી,પાણીની ઉપર રહેલા બ્લોકનું કદ $V_0$ એ $4^{\circ} C$ સુધી વધે છે અને ત્યારબાદ $4^{\circ} C$ થી $10^{\circ} C$ સુધી ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) પાણીની સપાટીની ઉપર રહેલા બરફના બ્લોકની જાડાઈનો અંશ $x = 1 - (\rho_{\text{ice}} / \rho_{\text{water}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બરફની ઘનતા $\rho_{\text{ice}} \approx 0.9 \, \text{g/cm}^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_{\text{water}} = 1 \, \text{g/cm}^3$ લેતા,આપણને $x = 1 - 0.9 = 0.1$ મળે છે.
બરફના બ્લોકની જાડાઈ $H = 8 \, m$ છે.
પાણીની સપાટીથી ઉપર બરફના બ્લોકની ઊંચાઈ $h = H \times x = 8 \times 0.1 = 0.8 \, m$ છે.
વ્યક્તિ બરફ પર ઉભી હોવાથી,પાણીની સપાટી સુધીનું અંતર એ પાણીની ઉપર રહેલા બરફની ઊંચાઈ જેટલું હોય છે.
તેથી,જરૂરી દોરડાની લઘુત્તમ લંબાઈ આશરે $0.8 \, m$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $0.9 \, m$ છે.

(D) સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવને માપે છે,જે પદાર્થના આભાસી વજન જેટલું હોય છે.
જ્યારે બોક્સ વાતાવરણમાં હોય છે,ત્યારે તે સ્થાનાંતરિત હવાને કારણે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ અનુભવે છે.
વાતાવરણમાં રીડિંગ $R$ એ $R = W - F_b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ બોક્સનું સાચું વજન છે.
શૂન્યાવકાશિત ચેમ્બરમાં,ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,નવું રીડિંગ $R'$ એ સાચા વજન $W$ જેટલું હશે.
કારણ કે $R' = W$ અને $R = W - F_b$,તેથી $R' > R$ સાબિત થાય છે.
આમ,રીડિંગ $50 \,kg$ કરતા વધારે હશે કારણ કે વાતાવરણીય ઉત્પ્લાવક બળ ગેરહાજર છે.

(D) સાબુના પરપોટાને હવામાં તરવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ = ઉત્પ્લાવક બળ
$g \times (\text{હિલિયમનું દળ} + \text{સાબુના પડનું દળ}) = \text{પરપોટા દ્વારા વિસ્થાપિત હવાનું વજન}$
ધારો કે $r$ એ સાબુના પરપોટાની આંતરિક ત્રિજ્યા છે અને $t$ એ પડની જાડાઈ છે.
હિલિયમનું કદ $V_{He} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સાબુના પડનું કદ $V_{film} \approx 4 \pi r^2 t$ છે (કારણ કે $t \ll r$).
સંતુલનનું સમીકરણ છે:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{He} g + (4 \pi r^2 t) \rho_{soap} g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g$
$g$ વડે ભાગતા અને ફરીથી ગોઠવતા:
$4 \pi r^2 t \rho_{soap} = \frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_{air} - \rho_{He})$
$t = \frac{r}{3} \frac{(\rho_{air} - \rho_{He})}{\rho_{soap}}$
આપેલ છે $r = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$,$\rho_{air} = 1.23 \, kg \, m^{-3}$,$\rho_{He} = 0.18 \, kg \, m^{-3}$,અને $\rho_{soap} = 1000 \, kg \, m^{-3}$.
$t = \frac{10^{-2}}{3} \times \frac{(1.23 - 0.18)}{1000}$
$t = \frac{10^{-2}}{3} \times \frac{1.05}{1000} = \frac{1.05 \times 10^{-5}}{3} = 0.35 \times 10^{-5} \, m = 3.5 \times 10^{-6} \, m$.
કારણ કે $1 \, \mu m = 10^{-6} \, m$,તેથી જાડાઈ $t = 3.50 \, \mu m$ છે.

(B) આપેલ છે,સમઘનનું પૃષ્ઠફળ $=$ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ.
$6a^2 = 4\pi r^2 \Rightarrow \frac{a}{r} = \sqrt{\frac{4\pi}{6}} = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \cdot \rho_f \cdot g$. બંને પદાર્થો સમાન પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણપણે ડૂબેલા હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળનો ગુણોત્તર તેમના કદના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{(F_B)_{\text{cube}}}{(F_B)_{\text{sphere}}} = \frac{V_{\text{cube}}}{V_{\text{sphere}}} = \frac{a^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3}{4\pi} \left( \frac{a}{r} \right)^3$.
$\frac{a}{r} = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{(F_B)_{\text{cube}}}{(F_B)_{\text{sphere}}} = \frac{3}{4\pi} \left( \sqrt{\frac{2\pi}{3}} \right)^3 = \frac{3}{4\pi} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot \sqrt{\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2\pi}{3}} = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$.
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$\frac{\pi}{6} < 1$,તેથી $\sqrt{\frac{\pi}{6}} < 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $(F_B)_{\text{cube}} < (F_B)_{\text{sphere}}$.
આમ,ઉત્પ્લાવક બળ ગોળા માટે વધારે છે.

(B) સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા બ્લોકના સંતુલન માટે,સ્પ્રિંગ બળ અને પ્લાવક બળનો સરવાળો બ્લોકના વજન જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે વસ્તુનું કદ $V$ છે અને સ્પ્રિંગનો અચળાંક $k$ છે.
વસ્તુનું વજન $W = \rho V g$ છે.
$\rho_f$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પ્લાવક બળ $F_B = \rho_f V g$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે.
સંતુલન માટે: $kx + \rho_f V g = \rho V g$.
પ્રથમ પ્રવાહીમાં (ઘનતા $\rho_1$): $k x_1 + \rho_1 V g = \rho V g \quad \dots(i)$
બીજા પ્રવાહીમાં (ઘનતા $\rho_2$): $k x_2 + \rho_2 V g = \rho V g \quad \dots(ii)$
$(i)$ પરથી,$k = \frac{(\rho - \rho_1) V g}{x_1}$.
$(ii)$ પરથી,$k = \frac{(\rho - \rho_2) V g}{x_2}$.
$k$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{(\rho - \rho_1) V g}{x_1} = \frac{(\rho - \rho_2) V g}{x_2}$
$(\rho - \rho_1) x_2 = (\rho - \rho_2) x_1$
$\rho x_2 - \rho_1 x_2 = \rho x_1 - \rho_2 x_1$
$\rho (x_2 - x_1) = \rho_1 x_2 - \rho_2 x_1$
$\rho = \frac{\rho_1 x_2 - \rho_2 x_1}{x_2 - x_1}$

(C) જ્યારે બ્લોકને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રવાહીને કારણે ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ અનુભવે છે.
બેલેન્સ $A$ માટે,રીડિંગ સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવ $T$ ને અનુરૂપ છે. શરૂઆતમાં,$T = mg = 2 \,kg \times g$. જ્યારે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે $T' = mg - F_b$. કારણ કે $F_b > 0$ છે,તેથી નવું રીડિંગ $T'$ એ $2 \,kg$ કરતા ઓછું હશે.
બેલેન્સ $B$ માટે,શરૂઆતનું રીડિંગ બીકર અને પ્રવાહીના વજન જેટલું છે. જ્યારે બ્લોકને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પ્રવાહી પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં નીચેની તરફ બળ $F_b$ લગાડે છે. તેથી,બેલેન્સ $B$ પરનું નવું રીડિંગ એ શરૂઆતનું વજન વત્તા ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ હશે. કારણ કે $F_b > 0$ છે,તેથી નવું રીડિંગ $3 \,kg$ કરતા વધારે હશે. જોકે,સમગ્ર સિસ્ટમનું કુલ વજન (બીકર + પ્રવાહી + બ્લોક) $2 \,kg + 3 \,kg = 5 \,kg$ છે. બ્લોક બીકરના તળિયે ટેકવાયેલો નથી પણ સ્પ્રિંગ $A$ દ્વારા આધારિત છે,તેથી $B$ પરનું રીડિંગ કુલ વજન $5 \,kg$ કરતા ઓછું હશે.
આમ,બેલેન્સ $A$ નું રીડિંગ $2 \,kg$ કરતા ઓછું અને બેલેન્સ $B$ નું રીડિંગ $3 \,kg$ અને $5 \,kg$ ની વચ્ચે હશે.

(C) સમઘન સંતુલનમાં રહે તે માટે,સમઘનનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સમઘનનું વજન $W = m g$,જ્યાં $m$ એ સમઘનનું દળ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = F_{B,A} + F_{B,B} = V_A \rho_A g + V_B \rho_B g$.
અહીં,સમઘનની ધારની લંબાઈ $L = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે. સમઘનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{cube} = L^2 = 100 \, cm^2 = 0.01 \, m^2$ છે.
પ્રવાહી $A$ માં ડૂબેલા સમઘનનું કદ $V_A = A_{cube} \times h_A = 100 \, cm^2 \times 4 \, cm = 400 \, cm^3 = 400 \times 10^{-6} \, m^3$ છે.
પ્રવાહી $B$ માં ડૂબેલા સમઘનનું કદ $V_B = A_{cube} \times h_B = 100 \, cm^2 \times 6 \, cm = 600 \, cm^3 = 600 \times 10^{-6} \, m^3$ છે.
પ્રવાહીઓની ઘનતા $\rho_A = 0.6 \times 1000 \, kg/m^3 = 600 \, kg/m^3$ અને $\rho_B = 0.4 \times 1000 \, kg/m^3 = 400 \, kg/m^3$ છે.
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $m g = (V_A \rho_A + V_B \rho_B) g$.
$m = V_A \rho_A + V_B \rho_B = (400 \times 10^{-6} \, m^3 \times 600 \, kg/m^3) + (600 \times 10^{-6} \, m^3 \times 400 \, kg/m^3)$.
$m = (240,000 \times 10^{-6}) + (240,000 \times 10^{-6}) \, kg = 0.24 \, kg + 0.24 \, kg = 0.48 \, kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા,$m = 0.48 \times 1000 \, g = 480 \, g$.

(B) જ્યારે હોડી લોખંડના ટુકડાઓ સાથે તરી રહી હોય,ત્યારે હોડી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન એ હોડી અને લોખંડના ટુકડાઓના કુલ વજન $(W_{boat} + W_{iron})$ જેટલું હોય છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
જ્યારે લોખંડના ટુકડાઓને પાણીમાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ડૂબી જાય છે કારણ કે લોખંડની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે હોય છે.
આ કિસ્સામાં,લોખંડના ટુકડાઓ તેમના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે.
લોખંડની ઘનતા પાણી કરતા વધારે હોવાથી,જ્યારે લોખંડના ટુકડાઓ ડૂબેલા હોય ત્યારે તેમના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું વજન,જ્યારે તેઓ હોડીમાં હતા ત્યારે વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે,જેના કારણે તળાવમાં પાણીની સપાટી નીચે જાય છે.

(A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,તરતા બરફના ટુકડાનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $M$ એ બરફનું દળ છે અને $V_{air}$ એ હવાના પરપોટાનું કદ છે.
બરફના ટુકડાનું કુલ કદ $V_{ice} + V_{air}$ છે.
બરફના ટુકડાનું વજન $W = Mg$ છે.
તે તરી રહ્યું હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું વજન બરફના ટુકડાના વજન જેટલું છે: $W_{displaced} = Mg$.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = \frac{Mg}{\rho_w g} = \frac{M}{\rho_w}$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે તે $M$ દળના પાણીમાં ફેરવાય છે,જે $V_{melted} = \frac{M}{\rho_w}$ કદ રોકે છે.
જો કે,હવાના પરપોટાએ અગાઉ તેના પોતાના કદ $V_{air}$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કર્યું હતું જેથી ટુકડો તરી શકે.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે હવાના પરપોટા મુક્ત થાય છે,અને પાણીની સપાટી નીચે જાય છે કારણ કે હવાના પરપોટા દ્વારા અગાઉ રોકાયેલું કદ $(V_{air})$ હવે પાણીને વિસ્થાપિત કરતું નથી.
તેથી,પાણીની સપાટી નીચે જશે.

(A) તરતી વસ્તુ માટે,ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) વસ્તુના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $V$ એ બરફના બ્લોકનું કુલ કદ છે અને $V_{imm}$ એ પાણીમાં ડૂબેલા બરફનું કદ છે.
બરફની ઘનતા $\rho_{ice} = 0.9 \, g/cm^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1.0 \, g/cm^3$ છે.
બરફના બ્લોકનું વજન $W = V \cdot \rho_{ice} \cdot g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{imm} \cdot \rho_{water} \cdot g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $V \cdot \rho_{ice} \cdot g = V_{imm} \cdot \rho_{water} \cdot g$.
$\frac{V_{imm}}{V} = \frac{\rho_{ice}}{\rho_{water}} = \frac{0.9}{1.0} = 0.9$.
આનો અર્થ એ છે કે $90\%$ બરફ પાણીમાં ડૂબેલો છે.
પાણીની બહાર તરતા કદનો અંશ $1 - 0.9 = 0.1$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.1 \times 100\% = 10\%$.

(A) ધારો કે બ્લોકનું કદ $V$ છે,બ્લોકની ઘનતા $\rho$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
હવામાં,બ્લોકનું વજન $W_{air} = V \rho g = 60 \, N$ છે.
જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આભાસી વજન $W_{water} = V \rho g - V \rho_w g = 40 \, N$ થાય છે.
$V \rho g = 60$ મૂકતા,આપણને $60 - V \rho_w g = 40$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_w g = 20 \, N$ છે.
હવે,બ્લોકની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ $SG = \frac{\rho}{\rho_w} = \frac{V \rho g}{V \rho_w g}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$SG = \frac{60}{20} = 3$.
તેથી,બ્લોકની વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ $3$ છે.

(B) ધારો કે હવામાં પદાર્થનું વજન $W_a = V \rho_b g$ છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે અને $\rho_b$ તેની ઘનતા છે.
પાણીમાં પદાર્થનું વજન $W_w = \frac{1}{3} W_a$ આપેલું છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = W_a - W_w = W_a - \frac{1}{3} W_a = \frac{2}{3} W_a$.
વળી,$F_B = V \rho_w g$,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા $(1 \ g/cm^3)$ છે.
$F_B$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$V \rho_w g = \frac{2}{3} (V \rho_b g)$
$\rho_w = \frac{2}{3} \rho_b$
$\rho_b = \frac{3}{2} \rho_w = 1.5 \times 1 \ g/cm^3 = 1.5 \ g/cm^3$.
આમ,પદાર્થની ઘનતા $1.5 \ g/cm^3$ છે.

(C) ધારો કે સમઘનની બાજુનું માપ $L \,cm$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \,g/cm^3$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$200 \,g$ દળ સાથેનો સમઘન પાણીમાં તરે છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ વજન સમઘનના સંપૂર્ણ કદ પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$(M_{cube} + 200)g = (L^3 \times \rho_w)g$
બીજા કિસ્સામાં,માત્ર સમઘન તરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું વજન ડૂબેલા કદ પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$M_{cube}g = (L^2 \times (L - 2) \times \rho_w)g$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(M_{cube} + 200)g - M_{cube}g = (L^3 \times \rho_w)g - (L^2(L - 2) \times \rho_w)g$
$200 = L^3 - L^2(L - 2)$
$200 = L^3 - L^3 + 2L^2$
$200 = 2L^2$
$L^2 = 100$
$L = 10 \,cm$.

(A) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W_{app} = W_{actual} - F_B$,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$W_{app} = V_b \rho_s g - V_b \rho_w g = V_b g (\rho_s - \rho_w)$.
આપેલ છે:
બ્લોકનું કદ $V_b = 5 \times 5 \times 5 \, cm^3 = 125 \, cm^3$.
સ્ટીલની સાપેક્ષ ઘનતા $\text{RD}_s = \frac{\rho_s}{\rho_w} = 7$,તેથી $\rho_s = 7 \, g/cm^3$ અને $\rho_w = 1 \, g/cm^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$W_{app} = (5 \times 5 \times 5) \times (7 - 1) \, g wt$
$W_{app} = 6 \times 5 \times 5 \times 5 \, g wt$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોકનું કદ $V_b$ છે અને તેની ઘનતા $\rho_b$ છે.
જ્યારે બ્લોક પાણીમાં તરે છે,ત્યારે બ્લોકનું વજન એ પાણીના વિસ્થાપિત વજન જેટલું હોય છે:
$V_b \cdot \rho_b \cdot g = (\frac{4}{5} V_b) \cdot \rho_w \cdot g$
અહીં $\rho_w = 1000 \, kg/m^3$ આપેલ છે,તેથી:
$\rho_b = \frac{4}{5} \times 1000 = 800 \, kg/m^3$.
જ્યારે બ્લોક બીજા પ્રવાહીમાં 'સંપૂર્ણ ડૂબીને' તરે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે બ્લોકનું આખું કદ પ્રવાહીમાં ડૂબેલું છે:
$V_b \cdot \rho_b \cdot g = V_b \cdot \rho_l \cdot g$
તેથી,$\rho_l = \rho_b = 800 \, kg/m^3$.

(A) ધારો કે ઘન બ્લોકનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho_b$ છે. ધારો કે પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક સંતુલનમાં છે,તેથી બ્લોકનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું છે:
$V \rho_b g = V_{immersed} \rho_l g$
આપેલ છે કે $V_{immersed} = V / 4$,તેથી:
$V \rho_b g = (V / 4) \rho_l g \implies \rho_b = \rho_l / 4$
જ્યારે સિસ્ટમ $a = g / 4$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g' = g + a = g + g / 4 = 5g / 4$ થાય છે.
નવું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B'$ એ બ્લોકના અસરકારક વજન $W'$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$W' = V \rho_b g' = V (\rho_l / 4) (5g / 4)$
$F_B' = V_{immersed}' \rho_l g' = V_{immersed}' \rho_l (5g / 4)$
$W' = F_B'$ ને સરખાવતા:
$V (\rho_l / 4) (5g / 4) = V_{immersed}' \rho_l (5g / 4)$
$V / 4 = V_{immersed}'$
આમ,ડૂબેલા કદનો અંશ $1 / 4$ જ રહેશે.

(C) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. જ્યારે પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
જ્યારે પદાર્થ $h'$ જેટલી મહત્તમ ઊંડાઈ સુધી ડૂબે છે,ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. આપણે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય વત્તા ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $(mg)h' = (V \rho g)h'$
ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $-(F_B)h' = -(V \sigma g)h'$
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર = $K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}(V \rho)(2gh) = -V \rho gh$
કાર્યને ગતિઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$(V \rho g)h' - (V \sigma g)h' = -V \rho gh$
$V g h' (\rho - \sigma) = -V \rho gh$
$h' (\sigma - \rho) = h \rho$
$h' = \frac{h \rho}{\sigma - \rho}$

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
જ્યારે પથ્થરો હોડીમાં હોય છે,ત્યારે હોડી તેટલા કદનું પાણી વિસ્થાપિત કરીને તરે છે જેનું વજન હોડી અને પથ્થરોના કુલ વજન જેટલું હોય છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
ધારો કે હોડીનું દળ $M_b$ છે અને પથ્થરોનું દળ $M_s$ છે. કુલ વજન $(M_b + M_s)g$ છે. હોડી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_1 = \frac{(M_b + M_s)}{\rho_w}$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે પથ્થરોને પાણીમાં નાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ તળિયે બેસી જાય છે. હવે હોડી ફક્ત તેના પોતાના વજન જેટલું જ પાણી વિસ્થાપિત કરે છે,$V_2 = \frac{M_b}{\rho_w}$. પથ્થરો ડૂબી જવાથી,તેઓ તેમના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે,$V_s = \frac{M_s}{\rho_s}$,જ્યાં $\rho_s$ એ પથ્થરોની ઘનતા છે.
પથ્થરો પાણી કરતા વધુ ઘનતા ધરાવતા હોવાથી $(\rho_s > \rho_w)$,ડૂબી ગયેલા પથ્થરો દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ,જ્યારે તેઓ હોડીમાં હતા ત્યારે વિસ્થાપિત કરેલા પાણીના કદ કરતા ઓછું હોય છે $(V_s < \frac{M_s}{\rho_w})$.
તેથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે,જેના કારણે ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર નીચે જાય છે.

(D) ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$ નીચેની તરફ,ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ ઉપરની તરફ અને દોરીમાં તણાવબળ $(T)$ ઉપરની તરફ.
સંતુલન સ્થિતિ માટે,$T + F_B = Mg$,તેથી $T = Mg - F_B$.
ગોળાનું દળ $M = 3 \,kg$ છે. ધાતુની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_{rel, M} = 10$ છે,તેથી ધાતુની ઘનતા $\rho_M = 10 \times 1000 \,kg/m^3$ થાય.
ગોળાનું કદ $V = \frac{M}{\rho_M} = \frac{3}{10 \times 1000} \,m^3 = 3 \times 10^{-4} \,m^3$ છે.
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L = 0.8 \times 1000 \,kg/m^3 = 800 \,kg/m^3$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_L V g = 800 \times (3 \times 10^{-4}) \times 10 = 2.4 \,N$ થાય.
હવામાં ગોળાનું વજન $Mg = 3 \times 10 = 30 \,N$ છે.
તેથી,દોરીમાં તણાવબળ $T = 30 - 2.4 = 27.6 \,N$ મળે.

(C) પ્લવનના નિયમ મુજબ,તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન તે વસ્તુ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
બ્લોકનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,બ્લોકનું વજન પણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિસ્થાપિત પાણીનું વજન પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $V_{displaced} \times \rho_{water} \times g$ જેટલું હોય છે,અને અહીં $\rho_{water}$ તથા $g$ અચળ હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $(V_{displaced})$ સમાન રહેવું જોઈએ.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ બદલાતું ન હોવાથી,પાત્રમાં પાણીનું સ્તર સમાન રહેશે.

(A) પ્લવનના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીમાં તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે દરેક ઘન બ્લોકનું કદ $V$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
$1$લા બ્લોક માટે: બ્લોકનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\implies V \cdot \rho_1 \cdot g = (V/2) \cdot \rho_w \cdot g \implies \rho_1 = \rho_w / 2$.
$2$જા બ્લોક માટે: બ્લોકનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\implies V \cdot \rho_2 \cdot g = (3V/4) \cdot \rho_w \cdot g \implies \rho_2 = 3\rho_w / 4$.
બ્લોકની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 / \rho_2 = (\rho_w / 2) / (3\rho_w / 4) = (1/2) \times (4/3) = 2/3$ થાય છે.

(D) પાણીમાં પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{\text{app}} = W_{\text{air}} - F_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
આપેલ છે કે $W_{\text{air}} = 10 \,g$ અને $W_{\text{app}} = 9 \,g$,તેથી ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = 10 - 9 = 1 \,g \text{ (બળના સંદર્ભમાં)} = 1 \,g \times g$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V_{\text{total}} \times \rho_w \times g$.
અહીં $\rho_w = 1 \,g/cm^3$ હોવાથી,$V_{\text{total}} = 1 \,cm^3$ મળે છે.
કુલ કદ $V_{\text{total}}$ એ સોનાનું કદ $V_g$ અને પોલાણનું કદ $V_c$ નો સરવાળો છે: $V_{\text{total}} = V_g + V_c$.
સોનાનું કદ $V_g = \frac{\text{દળ}}{\rho_g} = \frac{10}{19.3} \approx 0.518 \,cm^3$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $1 = 0.518 + V_c$.
તેથી,$V_c = 1 - 0.518 = 0.482 \,cm^3$.

(B) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,વિસ્થાપિત તેલનું વજન તરતા બરફના ટુકડાના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V_{ice}$ એ બરફનું કદ છે અને $\rho_{ice}$ તેની ઘનતા છે. બરફનું વજન $W = V_{ice} \rho_{ice} g$ છે.
વિસ્થાપિત તેલનું વજન $W_{oil} = V_{displaced} \rho_{oil} g$ છે.
બરફ તરે છે,તેથી $W = W_{oil}$,એટલે કે $V_{displaced} = V_{ice} (\rho_{ice} / \rho_{oil})$.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે તે $V_{water} = V_{ice} (\rho_{ice} / \rho_{water})$ કદના પાણીમાં ફેરવાય છે.
તેલની ઘનતા $\rho_{oil}$ સામાન્ય રીતે પાણીની ઘનતા $\rho_{water}$ કરતા ઓછી હોવાથી,ઓગળેલા પાણીનું કદ $V_{water}$ એ વિસ્થાપિત તેલના કદ $V_{displaced}$ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,પાત્રમાં તેલનું સ્તર નીચે જશે.

(A) ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\sigma$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ છે. ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે.
તારમાં થતું ખેંચાણ $\Delta L$ એ તારમાં ઉદ્ભવતા તણાવ $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\Delta L \propto T$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે પદાર્થ હવામાં હોય,ત્યારે તણાવ $T_1 = Mg = V\sigma g$. ખેંચાણ $\Delta L_1 = 10 \,mm$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબેલો હોય,ત્યારે તણાવ $T_2 = Mg - F_B = V\sigma g - V\rho g$,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે. ખેંચાણ $\Delta L_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \,mm$ છે.
ખેંચાણનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{V\sigma g}{V\sigma g - V\rho g} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10}{20/3} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{\sigma}{\sigma - \rho}$.
ગુણાકાર કરતા:
$3(\sigma - \rho) = 2\sigma \Rightarrow 3\sigma - 3\rho = 2\sigma \Rightarrow \sigma = 3\rho$.
તેથી,પદાર્થની ઘનતા અને પ્રવાહીની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma}{\rho} = 3: 1$ થાય છે.

(A) હવામાં સીસાના ટુકડાનું વજન $W_1 = mg = 200 \,gF$ છે.
સીસાના ટુકડાનું કદ $V = \frac{m}{\rho_{lead}}$ છે,જ્યાં $\rho_{lead}$ એ સીસાની ઘનતા છે.
જ્યારે સીસાને તેના અડધા કદ જેટલો બ્રાઈનમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત બ્રાઈનના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = \text{ડૂબેલું કદ} \times \rho_{brine} \times g = \frac{V}{2} \times \rho_{brine} \times g$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું નવું રીડિંગ $W_2$ એ આભાસી વજન છે:
$W_2 = W_1 - F_B = mg - \frac{V}{2} \rho_{brine} g$.
$V = \frac{m}{\rho_{lead}}$ મૂકતા:
$W_2 = mg - \frac{m}{2 \rho_{lead}} \rho_{brine} g = mg \left(1 - \frac{\rho_{brine}}{2 \rho_{lead}}\right)$.
વિશિષ્ટ ઘનતા $\sigma = \frac{\rho_{substance}}{\rho_{water}}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\rho_{brine}}{\rho_{lead}} = \frac{1.1}{11.4}$ થાય.
$W_2 = 200 \times \left(1 - \frac{1.1}{2 \times 11.4}\right) = 200 \times \left(1 - \frac{1.1}{22.8}\right) = 200 \times \left(1 - 0.048245\right) = 200 \times 0.951755 = 190.351 \,gF$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,રીડિંગ આશરે $190.4 \,gF$ મળે છે.

(B) તરતા પદાર્થ માટે,વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન એ પદાર્થના વજન જેટલું હોય છે: $V_{sub} \rho_{liq} g = V_{cube} \rho_{cube} g$,જ્યાં $V_{sub}$ એ ઘન પદાર્થનું ડૂબેલું કદ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $V_{sub} \rho_{liq} = V_{cube} \rho_{cube}$.
ધારો કે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે. નવા કદ અને ઘનતા નીચે મુજબ છે:
$V'_{cube} = V_{cube}(1 + 3\alpha \Delta T)$
$V'_{liq} = V_{liq}(1 + \gamma \Delta T) \implies \rho'_{liq} = \frac{\rho_{liq}}{1 + \gamma \Delta T} \approx \rho_{liq}(1 - \gamma \Delta T)$
ઘન પદાર્થ ડૂબી જાય તે માટે,ડૂબેલા કદનો અંશ વધવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહીની ઘનતા ઘન પદાર્થની ઘનતા કરતા વધુ ઝડપથી ઘટવી જોઈએ,અથવા અસરકારક રીતે,પ્રવાહીનું પ્રસરણ ઘન પદાર્થ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
ડૂબવા માટેની શરત એ છે કે પ્રવાહીનું પ્રસરણ ઘન પદાર્થ કરતા વધારે હોય,એટલે કે પ્રવાહીનો કદ પ્રસરણાંક ઘન પદાર્થના કદ પ્રસરણાંક કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
ઘન પદાર્થનો કદ પ્રસરણાંક $3\alpha$ છે.
તેથી,ઘન પદાર્થ ડૂબી જશે જો $\gamma > 3\alpha$ હોય.

(B) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન તરતા બરફના ટુકડાના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $M$ એ બરફના ટુકડાનું દળ છે. બરફનું વજન $W = Mg$ છે.
બરફ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ $V_{disp} = \frac{M}{\rho_L}$ છે,જ્યાં $\rho_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે તે $M$ દળના પાણીમાં ફેરવાય છે. આ પાણીનું કદ $V_{water} = \frac{M}{\rho_W}$ છે,જ્યાં $\rho_W$ એ પાણીની ઘનતા છે.
કારણ કે પ્રવાહીની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી છે $(\rho_L < \rho_W)$,તેથી $\frac{M}{\rho_L} > \frac{M}{\rho_W}$ થાય.
તેથી,$V_{disp} > V_{water}$.
બરફ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ ઓગળ્યા પછી બનેલા પાણીના કદ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવાહીનું સ્તર નીચે જશે.

(D) ધારો કે $V_w$ એ પાણીમાં ડૂબેલા બરફનું કદ છે અને $V_k$ એ કેરોસીન તેલમાં ડૂબેલા બરફનું કદ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ, બરફના ટુકડાનું વજન બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
બરફનું વજન $= (V_w + V_k) \rho_{ice} g$
ઉત્પ્લાવક બળ $= V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
બંનેને સરખાવતા: $(V_w + V_k) \rho_{ice} g = V_w \rho_w g + V_k \rho_k g$
$\rho_w g$ વડે ભાગતા (જ્યાં $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
$(V_w + V_k) \times 0.9 = V_w \times 1 + V_k \times 0.8$
$0.9 V_w + 0.9 V_k = V_w + 0.8 V_k$
$0.9 V_k - 0.8 V_k = V_w - 0.9 V_w$
$0.1 V_k = 0.1 V_w$
તેથી, $V_w / V_k = 1 / 1$ અથવા $1: 1$.

(A) ગોળાનું વજન $W = V_{material} \cdot \rho_{sphere} \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લવન બળ (buoyant force) એ ગોળા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_b = V_{total} \cdot \rho_w \cdot g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
ગોળો પાણીમાં તરતો રહે તે માટે,વજન અને પ્લવન બળ સમાન હોવા જોઈએ: $W = F_b$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3 - d^3}{8} \right) \sigma \rho_w g = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{D^3}{8} \right) \rho_w g$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(D^3 - d^3) \sigma = D^3$.
$D^3 \sigma$ વડે ભાગતા: $1 - \frac{d^3}{D^3} = \frac{1}{\sigma}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{d^3}{D^3} = 1 - \frac{1}{\sigma} = \frac{\sigma - 1}{\sigma}$.
વ્યસ્ત કરીને ઘનમૂળ લેતા: $\frac{D}{d} = \left( \frac{\sigma}{\sigma - 1} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,ઉત્પ્લાવક બળ એ બલૂનના વજન જેટલું હોય છે: $Mg = V \rho(h) g$,જેનું સાદું રૂપ $M = V \rho(h)$ થાય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $h_1 = 100 m$ માટે: $480 = V \rho_0 e^{-\frac{100}{6000}}$.
$N$ રેતીની થેલીઓ દૂર કર્યા પછીની અંતિમ સ્થિતિ $h_2 = 150 m$ માટે: $(480 - N) = V \rho_0 e^{-\frac{150}{6000}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{480 - N}{480} = \frac{e^{-\frac{150}{6000}}}{e^{-\frac{100}{6000}}} = e^{-\frac{50}{6000}}$.
નાના $x$ માટે $e^{-x} \approx 1 - x$ અંદાજનો ઉપયોગ કરતા: $1 - \frac{N}{480} \approx 1 - \frac{50}{6000}$.
તેથી,$\frac{N}{480} = \frac{50}{6000} = \frac{1}{120}$.
$N = \frac{480}{120} = 4$.

(A) ધારો કે કવચનું બહારનું કદ $V_0$ છે અને અંદરનું કદ $V_i$ છે.
ધારો કે કવચની અંદરના પાણીનું કદ $V$ છે.
ધારો કે કવચના દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_c$ છે.
કવચ અડધું ડૂબેલું રહે તે માટે,કવચ અને અંદરના પાણીનું કુલ વજન એ વિસ્થાપિત પાણી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
કવચનું વજન $W_s = \rho_c (V_0 - V_i) g$ છે.
અંદરના પાણીનું વજન $W_w = V g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \frac{V_0}{2} g$ છે (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા: $\rho_c (V_0 - V_i) g + V g = \frac{V_0}{2} g$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $\rho_c (V_0 - V_i) = \frac{V_0}{2} - V$.
આમ,$\rho_c = \frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i}$.
જો $\rho_c < 0.5$ હોય,તો $\frac{V_0/2 - V}{V_0 - V_i} < \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ $2(V_0 - V_i)$ વડે ગુણતા: $V_0 - 2V < V_0 - V_i$.
આનું સાદુરૂપ $-2V < -V_i$ અથવા $V > V_i / 2$ થાય છે.
જેથી,$V > V_i / 2$ નો અર્થ એ છે કે કવચ અડધાથી વધુ ભરેલું છે.

(C) ધારો કે દરેક ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
ઉપરના ગોળા માટે (ઘનતા $\rho$): લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg = V\rho g$ નીચેની તરફ),સ્પ્રિંગ બળ ($kx$ ઉપરની તરફ,કારણ કે તે નીચેના ગોળા દ્વારા નીચે ખેંચાય છે),અને ઉત્પ્લાવક બળ ($F_{B1} = V(2\rho)g$ ઉપરની તરફ) છે. સંતુલનમાં: $V\rho g + kx = V(2\rho)g \implies kx = V\rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$. તેથી,$x = \frac{4 \pi R^3 \rho g}{3 k}$. આ વિધાન $(A)$ સાચું હોવાનું સાબિત કરે છે.
નીચેના ગોળા માટે (ઘનતા $3\rho$): બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg = V(3\rho)g$ નીચેની તરફ),સ્પ્રિંગ બળ ($kx$ નીચેની તરફ),અને ઉત્પ્લાવક બળ ($F_{B2} = V(2\rho)g$ ઉપરની તરફ) છે. સંતુલનમાં: $V(3\rho)g = V(2\rho)g + kx \implies kx = V\rho g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$. આ પુષ્ટિ કરે છે કે વિસ્તરણ ખરેખર $\frac{4 \pi R^3 \rho g}{3 k}$ છે.
ઉપરના ગોળા પરનું ઉત્પ્લાવક બળ $(2V\rho g)$ તેના વજન $(V\rho g)$ કરતા વધારે હોવાથી,સંતુલન જાળવવા માટે તે સંપૂર્ણપણે ડૂબેલું હોવું જોઈએ,કારણ કે સ્પ્રિંગ ચોખ્ખા ઉપરના ઉત્પ્લાવક બળને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી નીચેની તરફનું બળ પૂરું પાડે છે. આમ,હલકો ગોળો સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો છે. વિધાન $(D)$ સાચું છે.

(C) $(1)$ ટેસ્ટ-ટ્યુબ ડૂબવાનું શરૂ કરે તે માટે,તેની સરેરાશ ઘનતા પાણીની ઘનતા જેટલી હોવી જોઈએ. કાચનું કદ $V_{\text{glass}} = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{5 \text{ g}}{2.5 \text{ g/cc}} = 2 \text{ cc}$ છે.
ધારો કે જ્યારે તે ડૂબવાનું શરૂ કરે ત્યારે ફસાયેલી હવાનું કદ $V_{\text{gas}}$ છે. ટેસ્ટ-ટ્યુબ સિસ્ટમનું કુલ કદ $V_{\text{total}} = V_{\text{glass}} + V_{\text{gas}} = 2 + V_{\text{gas}}$ છે.
સિસ્ટમ ડૂબવા માટે,ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન જેટલું હોવું જોઈએ: $\rho_{\text{water}} V_{\text{total}} g = m_{\text{total}} g$.
$1 \times (2 + V_{\text{gas}}) = 5 \implies V_{\text{gas}} = 3 \text{ cc}$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_0 - V_{\text{gas}} = 3.3 - 3 = 0.3 \text{ cc}$ છે.
તેથી $X = 0.3$.
$(2)$ ફસાયેલી હવા માટે સમતાપી પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 3.3 = P_2 \times 3$.
$P_2 = 1.1 \times 10^5 \text{ Pa}$.
$\Delta P = P_2 - P_1 = 1.1 \times 10^5 - 10^5 = 0.1 \times 10^5 = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
આપેલ છે કે $\Delta P = Y \times 10^3 \text{ Pa}$,તેથી $Y = 10$.

(D) ઘન પદાર્થનું દળ $M = 400 \ g = 0.4 \ kg$ છે. ધારની લંબાઈ $L = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે. ઘન પદાર્થનું કુલ કદ $V_{total} = L^3 = (0.1 \ m)^3 = 0.001 \ m^3 = 1000 \ cm^3$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે: $Mg = \rho_{water} V_{displaced} g$.
$0.4 = 1000 \times V_{displaced}$.
$V_{displaced} = 0.4 / 1000 = 0.0004 \ m^3 = 400 \ cm^3$.
પાણીની બહાર રહેલું કદ $V_{outside} = V_{total} - V_{displaced} = 1000 \ cm^3 - 400 \ cm^3 = 600 \ cm^3$ થાય.

(A) આપેલ છે: સમઘનની બાજુ $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$. સમઘનનું કદ $V = a^3 = (0.1)^3 = 10^{-3} \ m^3$.
ધારો કે સમઘનનું દળ $m$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે. તેથી,$m = \rho V = \rho \times 10^{-3} \ kg$.
ફાચરથી અજ્ઞાત દળનું અંતર $2 \ cm = 0.02 \ m$ છે,અને ફાચરથી $200 \ g$ $(0.2 \ kg)$ દળનું અંતર $25 \ cm = 0.25 \ m$ છે.
જ્યારે સમઘનનું અડધું કદ ડૂબેલું હોય,ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ નીચે મુજબ છે: $F_B = \rho_{water} \times V_{submerged} \times g = 1000 \ kg/m^3 \times (0.5 \times 10^{-3} \ m^3) \times 10 \ m/s^2 = 5 \ N$.
સળિયો ફાચર બિંદુ $O$ ની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\tau_{net} = (mg - F_B) \times 0.02 \ m - (0.2 \ kg \times 10 \ m/s^2) \times 0.25 \ m = 0$
$(m \times 10 - 5) \times 0.02 = 2 \times 0.25$
$(10m - 5) \times 0.02 = 0.5$
$10m - 5 = 0.5 / 0.02 = 25$
$10m = 30$
$m = 3 \ kg$.