Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(D) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $d$ છે. પ્રવાહીમાં પદાર્થનું આભાસી વજન એ વાસ્તવિક વજનમાંથી ઉત્પ્લાવક બળ બાદ કરવાથી મળે છે.
પ્રથમ પ્રવાહીમાં: $m_1 g = V d g - V d_1 g = V g (d - d_1) \implies m_1 = V(d - d_1) \quad (1)$
બીજા પ્રવાહીમાં: $m_2 g = V d g - V d_2 g = V g (d - d_2) \implies m_2 = V(d - d_2) \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{d - d_1}{d - d_2}$
$m_1(d - d_2) = m_2(d - d_1)$
$m_1 d - m_1 d_2 = m_2 d - m_2 d_1$
$d(m_1 - m_2) = m_1 d_2 - m_2 d_1$
$d = \frac{m_1 d_2 - m_2 d_1}{m_1 - m_2}$

(D) ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
કિસ્સો $1$: પાણીમાં (ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$):
પાણીની અંદરનું કદ = $V - 0.4V = 0.6V$.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન $\implies V \rho g = (0.6V) \rho_w g \implies \rho = 0.6 \rho_w = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
કિસ્સો $2$: તેલમાં (ઘનતા $\rho_o$):
તેલની અંદરનું કદ = $V - 0.6V = 0.4V$.
પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત તેલનું વજન $\implies V \rho g = (0.4V) \rho_o g \implies \rho = 0.4 \rho_o$.
બંને કિસ્સાઓમાંથી પદાર્થની ઘનતાને સરખાવતા: $0.6 \rho_w = 0.4 \rho_o$.
તેલની સાપેક્ષ ઘનતા = $\frac{\rho_o}{\rho_w} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં તરે છે, ત્યારે પદાર્થનું વજન તે પ્રવાહી દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા વજન જેટલું હોય છે. ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $d$ છે.
કિસ્સો $1$: પાણીમાં તરે છે (ઘનતા $\rho_w = 1 \text{ g/cm}^3$)
ડૂબેલું કદ $V_{in} = V - 0.4V = 0.6V$.
પદાર્થનું વજન = પાણીનું વિસ્થાપિત વજન
$V \cdot d \cdot g = (0.6V) \cdot \rho_w \cdot g$
$d = 0.6 \cdot 1 = 0.6 \text{ g/cm}^3$.
કિસ્સો $2$: તેલમાં તરે છે (ઘનતા $\rho_{oil}$)
ડૂબેલું કદ $V_{in} = V - 0.6V = 0.4V$.
પદાર્થનું વજન = તેલનું વિસ્થાપિત વજન
$V \cdot d \cdot g = (0.4V) \cdot \rho_{oil} \cdot g$
$0.6 = 0.4 \cdot \rho_{oil}$
$\rho_{oil} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$.
આમ, તેલની સાપેક્ષ ઘનતા $1.5$ છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે,તેની ઘનતા $d$ છે અને પાણીની ઘનતા $\sigma$ છે.
તરતા પદાર્થ માટે,વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે: $Vdg = V(1 - \frac{1}{n})\sigma g$.
આમ,$d = (\frac{n-1}{n})\sigma$.
જ્યારે પદાર્થ ડૂબેલો હોય,ત્યારે ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = F_B - mg = V\sigma g - Vdg = V\sigma g - V(\frac{n-1}{n})\sigma g = V\sigma g (1 - \frac{n-1}{n}) = V\sigma g (\frac{1}{n})$.
પ્રવેગ $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V\sigma g / n}{Vd} = \frac{\sigma g / n}{(\frac{n-1}{n})\sigma} = \frac{g}{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $h = \frac{1}{2} (\frac{g}{n-1}) t^2$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \sqrt{\frac{2h(n-1)}{g}}$ મળે છે.
તેથી,$t \propto \sqrt{n-1}$.

(B) ધારો કે પદાર્થની ઘનતા $\rho_b = 1.2 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 2.4 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$, પડવાની ઊંચાઈ $h = 1 \text{ m}$ અને પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંડાઈ $d$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, મુક્ત કરવાના બિંદુથી મહત્તમ ઊંડાઈના બિંદુ સુધી પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઉત્પ્લાવક બળ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય છે (કારણ કે ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે).
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $Mg(h + d) = V \rho_b g (h + d)$.
ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય = $-Bd = -V \rho_l g d$.
થયેલા કાર્યને સરખાવતા: $V \rho_b g (h + d) - V \rho_l g d = 0$.
$Vg$ વડે ભાગતા: $\rho_b (h + d) = \rho_l d$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.2 \times 10^3)(1 + d) = (2.4 \times 10^3) d$.
$1.2(1 + d) = 2.4d$.
$1 + d = 2d$.
$d = 1 \text{ m}$.

(D) તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન પ્રવાહી દ્વારા લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
$Mg = F_{b}$
ધારો કે સમઘન બ્લોકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને ડૂબેલા ભાગની ઊંચાઈ $h$ છે.
બ્લોકનું દળ $M = \rho_{b} \times A \times H$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{b} = \rho_{l} \times A \times h \times g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\rho_{b} \times A \times H \times g = \rho_{l} \times A \times h \times g$.
સાદુરૂપ આપતા: $\rho_{b} \times H = \rho_{l} \times h$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $600 \times 8.0 = 900 \times h$.
$h = \frac{600 \times 8.0}{900} = \frac{2}{3} \times 8.0 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \ cm$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ડૂબેલા ભાગની ઊંચાઈ $5.3 \ cm$ મળે છે.

(A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ પદાર્થ તરે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ પદાર્થના વજન જેટલું હોય છે.
જ્યારે ધાતુનો સિક્કો લાકડાના સમઘન પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્ર (સમઘન + સિક્કો) સંતુલનમાં રહે છે.
સમઘનના વધારાના ડૂબેલા કદ દ્વારા મળતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ ધાતુના સિક્કાના વજનને સંતુલિત કરે છે.
સ્થાનાંતરિત થયેલ પાણીનું વધારાનું કદ $V_{sub} = \text{Area} \times \Delta h = (10 \ \text{cm} \times 10 \ \text{cm}) \times 3.87 \ \text{cm} = 387 \ \text{cm}^3$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1 \ \text{g/cm}^3$ હોવાથી,સ્થાનાંતરિત પાણીનું દળ $m = \rho_w \times V_{sub} = 1 \ \text{g/cm}^3 \times 387 \ \text{cm}^3 = 387 \ \text{g}$ થાય.
તેથી,ધાતુના સિક્કાનું દળ $387 \ \text{g}$ છે.