Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(D) શૂન્યાવકાશમાં પદાર્થનું વજન $W = V\rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે.
જ્યારે પદાર્થને હવામાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્થાપિત હવાના વજન જેટલું ઉપરની તરફ બળ (પ્લવન બળ) અનુભવે છે.
પ્લવન બળ $U = V\sigma g$.
હવામાં પદાર્થનું આભાસી વજન આ મુજબ મળે છે: $W_{\text{apparent}} = W - U$.
કિંમતો મૂકતા: $W_{\text{apparent}} = V\rho g - V\sigma g$.
$V\rho g$ સામાન્ય લેતા: $W_{\text{apparent}} = V\rho g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$.
કારણ કે $W = V\rho g$,તેથી આપણને મળે છે: $W_{\text{apparent}} = W\left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right)$.

(B) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લોલક પાણીમાં દોલન કરે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$ થાય છે,જ્યાં $\sigma$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પાણીમાં આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(1 - \sigma/\rho)}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sigma/\rho}}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $T' = \sqrt{2} T$,તેથી $\frac{T'}{T} = \sqrt{2}$.
આમ,$\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{1 - 1/\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$2 = \frac{1}{1 - 1/\rho}$.
$1 - 1/\rho = 1/2$.
$1/\rho = 1 - 1/2 = 1/2$.
તેથી,$\rho = 2$.

(A) ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3.5)^3 \approx 179.59 \, cm^3$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,$35^{\circ} C$ તાપમાને,ગોળાનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$m = V \times \rho_{35} \implies 266.5 = 179.59 \times \rho_{35}$.
$\rho_{35} = \frac{266.5}{179.59} \approx 1.4839 \, g/cm^3$.
$T$ તાપમાને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_T = \frac{\rho_0}{1 + \gamma T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1.4839 = \frac{1.527}{1 + \gamma(35)}$.
$1 + 35\gamma = \frac{1.527}{1.4839} \approx 1.02904$.
$35\gamma = 0.02904$.
$\gamma = \frac{0.02904}{35} \approx 8.3 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $8.486 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$ છે.

(A) વજનમાં થતો ઘટાડો એ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) જેટલો હોય છે,જે $U = V \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ઘન પદાર્થનું કદ છે અને $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$0^o C$ તાપમાને,$W_0 = V_0 \rho_0 g$.
$t^o C$ તાપમાને,$W = V_t \rho_t g$.
કદ પ્રસરણના સૂત્ર $V_t = V_0(1 + \gamma_s t)$ અને ઘનતાના સંબંધ $\rho_t = \rho_0 / (1 + \gamma_l t)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W = V_0(1 + \gamma_s t) \cdot \frac{\rho_0}{1 + \gamma_l t} \cdot g$
$W = W_0 \frac{1 + \gamma_s t}{1 + \gamma_l t} = W_0 (1 + \gamma_s t)(1 + \gamma_l t)^{-1}$.
નાના $\gamma t$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+x)^n \approx 1+nx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$W \approx W_0 (1 + \gamma_s t)(1 - \gamma_l t) \approx W_0 (1 + \gamma_s t - \gamma_l t) = W_0 [1 + (\gamma_s - \gamma_l)t]$.

(D) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $U = V_b \rho_l g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_b$ એ દડાનું કદ છે અને $\rho_l$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
દડાનું કદ તાપમાન સાથે $V_b' = V_b(1 + \gamma_b \Delta T)$ મુજબ બદલાય છે.
પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l' = \rho_l / (1 + \gamma_l \Delta T)$ મુજબ બદલાય છે.
નવું ઉત્પ્લાવક બળ $U' = V_b' \rho_l' g = U \frac{1 + \gamma_b \Delta T}{1 + \gamma_l \Delta T}$ થાય.
દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$U' \approx U(1 + (\gamma_b - \gamma_l) \Delta T)$.
ઉત્પ્લાવક બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $= (\gamma_b - \gamma_l) \Delta T \times 100$ થાય.
અહીં $\gamma_b = 3 \times 10^{-6} / ^\circ C$,$\gamma_l = 8 \times 10^{-6} / ^\circ C$,અને $\Delta T = 100 ^\circ C$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $= (3 \times 10^{-6} - 8 \times 10^{-6}) \times 100 \times 100 = -0.05 \%$.
તેથી,ઉત્પ્લાવક બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $0.05 \%$ છે.

(C) શંકુના પાયા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F_{base} = P \cdot A = (\rho g H) \cdot (\pi R^2) = \pi \rho g H R^2$ છે.
શંકુ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જે $F_B = V \rho g = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ એ શંકુની સમગ્ર સપાટી પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું ચોખ્ખું ઉપરની દિશાનું બળ છે. તે ત્રાંસી સપાટી પર લાગતા ઉપરના બળ $(F_{slant})$ અને પાયા પર લાગતા નીચેના બળ $(F_{base})$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આમ,$F_B = F_{slant} - F_{base}$.
તેથી,$F_{slant} = F_B + F_{base} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \rho g + \pi R^2 H \rho g = \frac{4}{3} \pi \rho g H R^2$.

(A) શંકુની અંદરના પાણીના સંતુલનનો વિચાર કરો.
પાણી પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. પાણીનું વજન જે નીચેની તરફ લાગે છે: $W = V \rho g = (\frac{1}{3} \pi R^2 h) \rho g$.
$2$. ટેબલ દ્વારા પાણી પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ: $F_{\text{table}} = P \times A = (\rho g h) \times (\pi R^2) = \pi R^2 h \rho g$.
$3$. શંકુની ત્રાંસી દીવાલો દ્વારા પાણી પર લાગતું નીચેની તરફનું બળ: $F_{\text{walls}}$.
પાણી સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ શિરોલંબ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$F_{\text{table}} - W - F_{\text{walls}} = 0$
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પાણી દ્વારા શંકુની દીવાલો પર લાગતું બળ એ દીવાલો દ્વારા પાણી પર લાગતા બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,પાણી દ્વારા શંકુ પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ એ દીવાલો દ્વારા પાણી પર લાગતા નીચેની તરફના બળ જેટલું જ હોય છે:
$F_{\text{upward}} = F_{\text{walls}} = F_{\text{table}} - W$
$F_{\text{upward}} = \pi R^2 h \rho g - \frac{1}{3} \pi R^2 h \rho g$
$F_{\text{upward}} = \frac{2}{3} \pi R^2 h \rho g$.

(B) આપેલ છે કે દરેક $1 \ m$ બાજુવાળા બે સમઘન છે,જેમની સાપેક્ષ ઘનતા અનુક્રમે $\rho_A = 0.60$ અને $\rho_B = 1.15$ છે.
અહીં $\rho_A < 1$ અને $\rho_B > 1$ હોવાથી,હલકો સમઘન $(A)$ તરવાનો પ્રયત્ન કરશે જ્યારે ભારે સમઘન $(B)$ ડૂબી જશે. સંતુલન સ્થિતિમાં,તંત્ર તાર વડે જોડાયેલ હોવાથી બંને સમઘન પાણીમાં રહેશે.
ધારો કે હલકા સમઘન $A$ નો પાણીની સપાટીથી ઉપરનો ભાગ $x$ છે. તેથી $A$ નું ડૂબેલું કદ $(1-x) \ m^3$ થશે.
કુલ અધોદિશામાં લાગતું બળ (વજન) $W = W_A + W_B = (\rho_A V + \rho_B V) \rho_w g = (0.60 + 1.15) \times 1^3 \times \rho_w g = 1.75 \rho_w g$.
કુલ ઉર્ધ્વદિશામાં લાગતું બળ (પ્લવન બળ) $F_B = B_A + B_B = \rho_w g V_{sub,A} + \rho_w g V_{sub,B} = \rho_w g (1-x) + \rho_w g (1) = \rho_w g (2-x)$.
બળોને સંતુલિત કરતા: $\rho_w g (2-x) = 1.75 \rho_w g$.
$2 - x = 1.75$.
$x = 0.25 \ m = 25 \ cm$.
આમ,હલકો સમઘન પાણીની સપાટીથી $25 \ cm$ ઊંચાઈએ બહાર રહેશે.

(B) સંતુલન માટે,કુલ અધોગામી બળ (વજન) એ કુલ ઉર્ધ્વગામી બળ (પ્લવન બળ) જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે દરેક ગોળાનું કદ $V$ છે. અડધા ડૂબેલા દરેક ગોળા પર લાગતું પ્લવન બળ $F_B = \rho (V/2) g$ છે.
કુલ વજન = $Mg + 2Mg + mg = (3M + m)g$.
કુલ પ્લવન બળ = $2 \times (\rho V/2) g = \rho V g$.
બળોને સરખાવતા: $(3M + m)g = \rho V g \implies m = \rho V - 3M$.
$m$ દળના સ્થાનની આસપાસ ટોર્ક લેતા (જે $2M$ દળના ગોળાથી $l$ અંતરે અને $M$ દળના ગોળાથી $(d-l)$ અંતરે છે):
$M$ દળના ગોળાને કારણે ટોર્ક: $\tau_1 = (\rho V/2 g - Mg)(d - l)$.
$2M$ દળના ગોળાને કારણે ટોર્ક: $\tau_2 = (\rho V/2 g - 2Mg)l$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$\tau_1 = \tau_2$:
$(\rho V/2 - M)g(d - l) = (\rho V/2 - 2M)gl$.
$(\rho V - 2M)(d - l) = (\rho V - 4M)l$.
$(\rho V - 2M)d - (\rho V - 2M)l = (\rho V - 4M)l$.
$(\rho V - 2M)d = (\rho V - 4M + \rho V - 2M)l = (2\rho V - 6M)l$.
$l = \frac{d(\rho V - 2M)}{2(\rho V - 3M)}$.

(B) ધારો કે બે પદાર્થોના દળ $m_1$ અને $m_2$ છે. શરૂઆતમાં તેઓ એકબીજાને સંતુલિત કરે છે,તેથી $m_1 = m_2$.
જ્યારે પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક પદાર્થનું અસરકારક વજન $W_{eff} = W - F_B$ થાય છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
ત્રાજવું સંતુલનમાં રહે તે માટે,બંને પદાર્થો પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળો સમાન હોવા જોઈએ કારણ કે શરૂઆતનું વજન સમાન હતું.
તેલમાં (ઘનતા $d_1 = 0.9 \ gm/cm^3$) મોટા પદાર્થ (કદ $2V$) પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B1} = (2V) \times 0.9 \times g$ છે.
અજ્ઞાત પ્રવાહીમાં (ઘનતા $\rho$) નાના પદાર્થ (કદ $V$) પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B2} = V \times \rho \times g$ છે.
$F_{B1}$ અને $F_{B2}$ ને સરખાવતા:
$2V \times 0.9 \times g = V \times \rho \times g$.
$\rho$ માટે ઉકેલતા:
$\rho = 2 \times 0.9 = 1.8 \ gm/cm^3$.

(C) ધારો કે બ્લોકનું કદ $V$ છે. જ્યારે તેને પ્રવાહીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના કદનો ચાર-પંચમાંશ ભાગ ડૂબેલો રહે છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,બ્લોકનું વજન એ તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$Mg = \frac{4}{5} V \rho g$ --- $(I)$
જ્યારે $m$ દળનો સિક્કો બ્લોકની ઉપરની સપાટી પર હળવેકથી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લોક બરાબર ડૂબી જાય છે. આનો અર્થ એ છે કે બ્લોક અને સિક્કાનું કુલ વજન એ બ્લોકના સંપૂર્ણ કદ $V$ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું છે:
$(M + m)g = V \rho g$ --- $(II)$
સમીકરણ $(I)$ ને સમીકરણ $(II)$ વડે ભાગતા:
$\frac{Mg}{(M + m)g} = \frac{\frac{4}{5} V \rho g}{V \rho g}$
$\frac{M}{M + m} = \frac{4}{5}$
$5M = 4(M + m)$
$5M = 4M + 4m$
$M = 4m$

(C) છોકરા દ્વારા વહન કરવામાં આવતું કુલ વજન એ છોકરાના હાથ,ડોલ,પાણી અને માછલીના વજનનો સરવાળો છે.
જ્યારે માછલીને ડોલમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ડોલ,પાણી અને માછલીની બનેલી સિસ્ટમ કુલ દળની દ્રષ્ટિએ સમાન રહે છે.
કારણ કે સિસ્ટમનું કુલ દળ (ડોલ + પાણી + માછલી) બદલાતું નથી,તેથી છોકરાના હાથ પર લાગતું કુલ વજન અચળ રહે છે.
માછલી પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ એ ડોલ-પાણી-માછલી સિસ્ટમનું આંતરિક બળ છે અને તે છોકરા દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતા કુલ વજનને અસર કરતું નથી.
તેથી,તેના દ્વારા વહન કરવામાં આવતું વજન પહેલા જેટલું જ રહે છે.

(D) ધારો કે બૂચનું કુલ કદ $V$ છે અને પાણીની અંદર ડૂબેલા કદનો અંશ $f$ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ, તરતી વસ્તુનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
બૂચનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$V \times \rho_{\text{cork}} \times g = (f \times V) \times \rho_{\text{water}} \times g$
અહીં $\rho_{\text{cork}} = 0.5 \, g/cm^3$ અને $\rho_{\text{water}} = 1 \, g/cm^3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V \times 0.5 \times g = f \times V \times 1 \times g$
$0.5 = f$
તેથી, પાણીની અંદર ડૂબેલા કદનો અંશ $0.5$ છે, જે $50 \%$ થાય છે.

(D) પ્લવનના નિયમ મુજબ,જો પદાર્થનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય તો તે તરે છે.
ધારો કે નળાકારનો આડછેદ $A$ છે.
સંયુક્ત નળાકારનું કુલ વજન $W = (d_1 L A + d_2 L A)g = (d_1 + d_2) L A g$ છે.
પ્રવાહીની અંદર રહેલી નળાકારની લંબાઈ $2L - L/2 = 3L/2$ છે.
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન $W_{disp} = (3L/2) A d g$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$(d_1 + d_2) L A g = (3L/2) A d g$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $d_1 + d_2 = \frac{3}{2} d$ મળે છે.
આમ,$d_2 = \frac{3}{2} d - d_1$.
આપેલ છે કે $d_1 > d_2$,તેથી $d_2$ ની કિંમત મૂકતા: $d_1 > \frac{3}{2} d - d_1$.
બંને બાજુ $d_1$ ઉમેરતા: $2 d_1 > \frac{3}{2} d$.
$2$ વડે ભાગતા: $d_1 > \frac{3}{4} d$.

(B) ધારો કે સ્ટીલના ટુકડાનું કદ $V$ છે,પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે અને અજ્ઞાત પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{apparent} = W - F_B$ છે,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
પાણી માટે: $W_1 = W - V \rho_w g \implies W - W_1 = V \rho_w g$ (સમીકરણ $1$).
અજ્ઞાત પ્રવાહી માટે: $W_2 = W - V \rho_L g \implies W - W_2 = V \rho_L g$ (સમીકરણ $2$).
પ્રવાહીની સાપેક્ષ ઘનતા $(RD)$ એ પ્રવાહીની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે: $RD = \frac{\rho_L}{\rho_w}$.
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા: $\frac{W - W_2}{W - W_1} = \frac{V \rho_L g}{V \rho_w g} = \frac{\rho_L}{\rho_w}$.
તેથી,$RD = \frac{W - W_2}{W - W_1}$.

(A) ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_b = 0.8 \rho_w$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે. તે જે ઊંચાઈ પરથી પડે છે તે $h = 2 \ m$ છે.
જ્યારે દડો પાણીની સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ $v^2 = 2gh = 2 \times g \times 2 = 4g$ દ્વારા મળે છે.
પાણીની અંદર,દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ ($F_B = V \rho_w g$ ઉપરની તરફ) છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - mg = V \rho_w g - (V \rho_b) g = V g (\rho_w - 0.8 \rho_w) = 0.2 V \rho_w g$.
દડાનું દળ $m = V \rho_b = 0.8 V \rho_w$ છે.
પાણીની અંદર મંદન $a$ એ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{0.2 V \rho_w g}{0.8 V \rho_w} = \frac{0.2}{0.8} g = \frac{g}{4}$ (ઉપરની તરફ) છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v^2 = 4g$ અને $a = -g/4$ (કારણ કે તે મંદન છે):
$0 = v^2 - 2as_{depth} \Rightarrow 4g = 2 \times (g/4) \times s_{depth}$.
$4g = \frac{g}{2} \times s_{depth} \Rightarrow s_{depth} = 8 \ m$.

(B) પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી ઉર્ધ્વગામી બળ $F = \sigma V g - \rho V g$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = F$,જ્યાં $m = \rho V$:
$\rho V a = V g(\sigma - \rho)$
$a = g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right)$.
જ્યારે દડો $h$ અંતર કાપીને સપાટી પર પહોંચે ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ $v^2 = 2ah$ દ્વારા મળે છે:
$v^2 = 2g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h$.
એકવાર દડો પાણીની બહાર નીકળે,પછી તે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે. ધારો કે તે સપાટીથી ઉપર પહોંચતી ઊંચાઈ $H$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સપાટી પરની ગતિઊર્જા એ $H$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g H$
$H = \frac{v^2}{2g} = \frac{2g \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h}{2g}$
$H = \left( \frac{\sigma}{\rho} - 1 \right) h$.

(A) ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉત્પ્લાવક બળ $B$ જે શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં લાગે છે,જે $B = V_{disp} \rho_w g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. ગોળાનું વજન $W = Mg$ જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$3$. બે તારમાંનું દરેક તણાવ બળ $T_1$,જે સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે લાગે છે.
ગોળો સંતુલનમાં રહે તે માટે,શિરોલંબ દિશાના બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2 T_1 \sin 45^{\circ} + Mg = B$
$2 T_1 \sin 45^{\circ} = B - Mg$
કિંમતો મૂકતા:
$2 T_1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg$
$T_1 \sqrt{2} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg$
$T_1 = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 \rho_w g - Mg}{\sqrt{2}}$

(C) ધારો કે $V_s$ એ ઘન ધાતુનું કદ છે અને $V_c$ એ પોલાણનું કદ છે। દડાનું કુલ કદ $V = V_s + V_c$ છે。
દડાનું દળ $M = 9.8 \ kg$ છે। ધાતુની ઘનતા $\rho_m = 7800 \ kg/m^3$ હોવાથી, ઘન ભાગનું કદ $V_s = M / \rho_m = 9.8 / 7800 \ m^3$ થાય。
જ્યારે પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે, જે $1.5 \ kg \times g$ છે। તેથી, કુલ કદ $V = V_s + V_c = 1.5 / \rho_w$, જ્યાં $\rho_w = 1000 \ kg/m^3$।
આમ, $V = 1.5 / 1000 = 0.0015 \ m^3$।
ઘન ભાગનું કદ $V_s = 9.8 / 7800 \approx 0.001256 \ m^3$ છે。
પોલાણનું કદ $V_c = V - V_s = 0.0015 - 0.001256 = 0.000244 \ m^3$ છે。
પોલાણના કદનો અંશ $(V_c / V) \times 100 = (0.000244 / 0.0015) \times 100 \approx 16.26 \%$ છે。
તેથી, આ પ્રમાણ આશરે $16 \%$ છે。

(A) પ્લવનના નિયમ મુજબ,જો પદાર્થનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય તો પદાર્થ તરે છે.
$W_{\text{body}} = W_{\text{water displaced}}$
$V_{\text{solid}} \cdot \rho_{\text{solid}} \cdot g = V_{\text{displaced}} \cdot \rho_{\text{water}} \cdot g$
અહીં,ઘન પદાર્થનું કદ $V_{\text{solid}} = \frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3)$ છે અને વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{\text{displaced}} = \frac{4}{3}\pi R^3$ છે.
સાપેક્ષ ઘનતા $\sigma = \frac{\rho_{\text{solid}}}{\rho_{\text{water}}}$ આપેલ છે,તેથી $\rho_{\text{solid}} = \sigma \rho_{\text{water}}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{4}{3}\pi(R^3 - r^3) \cdot \sigma \rho_{\text{water}} \cdot g = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \rho_{\text{water}} \cdot g$
$\sigma(R^3 - r^3) = R^3$
$\sigma R^3 - \sigma r^3 = R^3$
$R^3(\sigma - 1) = \sigma r^3$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\sigma}{\sigma - 1}$
$\frac{R}{r} = (\frac{\sigma}{\sigma - 1})^{1/3}$

(B) જ્યારે પાત્ર $a$ જેટલા ઉપરના પ્રવેગથી ગતિ કરતું હોય,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g_{eff} = (g+a)$ થાય છે.
આ નિર્દેશ ફ્રેમમાં પદાર્થનું વજન $W = m g_{eff} = (\rho V)(g+a)$ થશે.
પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) $F_B = V d g_{eff} = V d (g+a)$ થશે.
પદાર્થ દોરી વડે તળિયે બાંધેલો હોવાથી અને $d > \rho$ હોવાથી,ઉત્પ્લાવક બળ તેના વજન કરતાં વધારે હશે,તેથી દોરીમાં તણાવબળ ઉદ્ભવશે.
પ્રવેગી ફ્રેમમાં પદાર્થ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T + W = F_B$
$T = F_B - W$
$T = V d (g+a) - V \rho (g+a)$
$T = V(g+a)(d - \rho)$

(D) ધારો કે $H = 0.1 \ m$ એ શંકુની ઊંચાઈ છે અને $R = 0.05 \ m$ એ પાયાની ત્રિજ્યા છે. શિરોબિંદુથી $y$ ઊંચાઈએ ત્રિજ્યા $r = (R/H)y = 0.5y$ છે.
કિસ્સો $1$: શંકુ $0.8$ સાપેક્ષ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $h_1 = H/3$ ઊંડાઈ સુધી તરે છે. ડૂબેલા ભાગનું કદ $V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1$ છે,જ્યાં $r_1 = R/3$. તેથી,$V_1 = \frac{1}{27} (\frac{1}{3} \pi R^2 H)$.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,શંકુનું વજન $W = \text{પ્લવન બળ} = 0.8 \rho_w g V_1$.
કિસ્સો $2$: અંદર $\rho$ સાપેક્ષ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી $h_2 = H/3$ સુધી ભરવામાં આવે છે. આ પ્રવાહીનું વજન $W_L = \rho \rho_w V_1 g$ છે. હવે શંકુ $h_3 = H/2$ ઊંડાઈ સુધી તરે છે. નવું પ્લવન બળ $F_B = 0.8 \rho_w g V_3$ છે,જ્યાં $V_3 = \frac{1}{3} \pi (R/2)^2 (H/2) = \frac{27}{8} V_1$.
બળ સંતુલન: $W + W_L = F_B$
$0.8 \rho_w g V_1 + \rho \rho_w g V_1 = 0.8 \rho_w g (\frac{27}{8} V_1)$
$0.8 + \rho = 2.7$
$\rho = 1.9$.

(B) પથ્થરનું કદ $V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.5}{500} = 10^{-3} \, m^3$ છે.
પાણી દ્વારા પથ્થર પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho_{water} V g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \, N$ છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પથ્થર પાણી પર સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે,જે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર નીચેની તરફ લાગતા બળમાં વધારો કરે છે.
બેલેન્સનું પ્રારંભિક રીડિંગ $1.5 \, kg$ છે,જે $1.5 \times 10 = 15 \, N$ વજન દર્શાવે છે.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પરનું નવું રીડિંગ પ્રારંભિક વજન અને પથ્થર દ્વારા લાગતા પ્રતિક્રિયા બળનો સરવાળો હશે: $F_{total} = 15 \, N + 10 \, N = 25 \, N$.
આને ફરીથી દળના એકમમાં ફેરવતા,બેલેન્સનું રીડિંગ $\frac{25 \, N}{10 \, m/s^2} = 2.5 \, kg$ મળે છે.

(B) ધારો કે $M_i$ એ બરફનું દળ છે અને $M_m$ એ ધાતુના ઘનનું દળ છે।
જ્યારે બરફ તરે છે, ત્યારે કુલ વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $F_B = (M_i + M_m)g$.
તરતી સિસ્ટમ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_1 = \frac{M_i + M_m}{\rho_w}$ છે, જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે।
બરફ ઓગળ્યા પછી, બરફ પાણીમાં ફેરવાય છે જેનું કદ $V_{ice_melted} = \frac{M_i}{\rho_w}$ છે।
ધાતુનો ઘન ડૂબી જાય છે, તેથી તે તેના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે: $V_{metal} = \frac{M_m}{\rho_m}$, જ્યાં $\rho_m$ એ ધાતુની ઘનતા છે।
ઓગળ્યા પછી વિસ્થાપિત થયેલ કુલ કદ $V_2 = \frac{M_i}{\rho_w} + \frac{M_m}{\rho_m}$ છે।
ધાતુ ડૂબી જાય છે, તેથી તેની ઘનતા $\rho_m > \rho_w$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{M_m}{\rho_m} < \frac{M_m}{\rho_w}$.
તેથી, $V_2 < V_1$, જેનો અર્થ છે કે પાણીનું સ્તર ઘટશે।

(B) નળાકાર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ ઉત્પ્લાવક બળ નળાકારના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A$ એ નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ નળાકારની કુલ લંબાઈ છે અને $h$ એ હવામાં રહેલા નળાકારની લંબાઈ છે.
નળાકારની કુલ લંબાઈ $L = h_A + h_B + h$ છે.
નળાકારનું વજન $W = (A \cdot L) \cdot \rho_C \cdot g = A(h_A + h_B + h) \rho_C g$ થાય.
પ્રવાહી $A$ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_A = A \cdot h_A \cdot \rho_A \cdot g$ છે.
પ્રવાહી $B$ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = A \cdot h_B \cdot \rho_B \cdot g$ છે.
બળોને સરખાવતા: $F_A + F_B = W$.
$A \cdot h_A \cdot \rho_A \cdot g + A \cdot h_B \cdot \rho_B \cdot g = A(h_A + h_B + h) \rho_C g$.
$A \cdot g$ વડે ભાગતા: $h_A \rho_A + h_B \rho_B = (h_A + h_B + h) \rho_C$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.2 \times 0.7) + (0.8 \times 1.2) = (1.2 + 0.8 + h) \times 0.8$.
$0.84 + 0.96 = (2.0 + h) \times 0.8$.
$1.8 = 1.6 + 0.8h$.
$0.2 = 0.8h$.
$h = 0.2 / 0.8 = 0.25 \ cm$.

(B) ધારો કે નળાકાર બ્લોકની લંબાઈ $L$ છે. બ્લોકનું કદ $V = AL$ છે. બ્લોકનું વજન $W = V\rho g = AL\rho g$ છે.
બ્લોક પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણપણે ડૂબેલો છે. પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = \rho/3$ છે. બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જે $F_b = V\rho_l g = AL(\rho/3)g = AL\rho g/3$ છે.
બ્લોક સ્પ્રિંગને $x = L/3$ જેટલી દબાવે છે. સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx = k(L/3)$ છે.
બ્લોક સંતુલનમાં હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે:
$F_s + F_b = W$
$k(L/3) + AL\rho g/3 = AL\rho g$
$k(L/3) = AL\rho g - AL\rho g/3$
$k(L/3) = 2AL\rho g/3$
$k = 2\rho Ag$

(C) ધારો કે પદાર્થ મહત્તમ $H$ ઊંડાઈ સુધી ડૂબે છે. આ ઊંડાઈએ,પદાર્થનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
જ્યારે પદાર્થ પાણીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho g$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = V \rho' g$ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે.
પાણીની અંદર નીચેની તરફનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a = \frac{F_g - F_B}{m} = \frac{V \rho' g - V \rho g}{V \rho'} = g \left( \frac{\rho' - \rho}{\rho'} \right) = -g \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right)$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u^2 = 2gh$ એ પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલાનો વેગ છે,$v = 0$,અને $s = H$:
$0 = 2gh + 2 \left[ -g \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right) \right] H$.
$H$ માટે ઉકેલતા: $2gH \left( \frac{\rho - \rho'}{\rho'} \right) = 2gh$.
$H = \frac{h \rho'}{\rho - \rho'}$.

(D) ખાલી ફુગ્ગાનું વજન $w_1$ છે. જ્યારે ફુગ્ગાને $w$ વજનની હવા વડે ભરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર લાગતું કુલ અધોગામી બળ $w_1 + w$ છે.
જોકે,ફુગ્ગો આસપાસની હવામાં ડૂબેલો હોવાથી,તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ લાગે છે,જે ફુગ્ગા દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલી હવાના વજન જેટલું હોય છે.
ફુગ્ગાની અંદરની હવાની ઘનતા અને બહારની હવાની ઘનતા સમાન હોવાથી,વિસ્થાપિત હવાનું વજન ફુગ્ગાની અંદરની હવાના વજન $w$ જેટલું જ થાય છે.
તેથી,ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = w$.
સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા માપવામાં આવતું આભાસી વજન $w_2$ એ ચોખ્ખું બળ છે: $w_2 = (w_1 + w) - F_B = w_1 + w - w = w_1$.
આમ,$w_2 = w_1$ હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વળી,ગાણિતિક રીતે $w_1 < w_1 + w$ એ કોઈપણ $w > 0$ માટે હંમેશા સાચું છે,તેથી $w_2 < w_1 + w$ વિધાન પણ સાચું છે.
આમ,$A$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે બ્લોકનો $x_1$ ભાગ તેલમાં અને $x_2$ ભાગ પાણીમાં ડૂબેલો છે. બ્લોકની કુલ લંબાઈ $L = 10$ $cm = 0.1$ $m$ છે.
તેલની ઘનતા $\rho_{oil} = 0.6 \times 1000 = 600$ $kg/m^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1000$ $kg/m^3$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,બ્લોકનું વજન કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$mg = F_{oil} + F_{water}$
$0.92 \times 10 = (A \times x_1 \times \rho_{oil} \times g) + (A \times x_2 \times \rho_{water} \times g)$
જ્યાં $A = 0.1 \times 0.1 = 0.01$ $m^2$.
$9.2 = 6x_1 + 10x_2$ ($cm$ માં ગણતરી કરતા).
કુલ લંબાઈ $x_1 + x_2 = 10$ $cm$ હોવાથી,$x_1 = 10 - x_2$ મૂકતા:
$9.2 = 6(10 - x_2) + 10x_2$
$9.2 = 60 - 6x_2 + 10x_2$
$4x_2 = 32 \implies x_2 = 8$ $cm$.
તેથી,$x_1 = 10 - 8 = 2$ $cm$.
આમ,$8$ $cm$ પાણીમાં અને $2$ $cm$ તેલમાં ડૂબેલું છે.

(C) ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ એ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) છે,જે ફુગ્ગા દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલી હવાના વજન જેટલું હોય છે. જેમ ફુગ્ગો ઉપર જાય છે,તેમ ઊંચાઈ સાથે હવાની ઘનતા ઘટતી જાય છે. પરિણામે,ફુગ્ગો જેમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે તેમ ઉત્પ્લાવક બળ ઘટતું જાય છે. એક ચોક્કસ ઊંચાઈએ,ઉત્પ્લાવક બળ ફુગ્ગાના વજન (હિલિયમ અને ફુગ્ગાના મટીરીયલ સહિત) જેટલું થઈ જાય છે,અને પરિણામી બળ શૂન્ય થઈ જાય છે. આ બિંદુએ,ફુગ્ગો ઉપર જવાનું બંધ કરી દે છે. સ્નિગ્ધતા એ તરલનો ગુણધર્મ છે જે સ્તરોની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે,પરંતુ તે ફુગ્ગો ચોક્કસ ઊંચાઈએ અટકી જવાનું કારણ નથી. તેથી,$(A)$ સાચું છે,પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(A) આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે પ્રવાહી $1$ એ પ્રવાહી $2$ પર તરે છે.
હલકું પ્રવાહી ભારે પ્રવાહી પર તરતું હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $\rho_1 < \rho_2$.
દડો બંને પ્રવાહીના આંતરપૃષ્ઠ પર સંતુલનમાં છે.
કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં તરે તે માટે તેની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
દડો આંશિક રીતે પ્રવાહી $1$ માં અને આંશિક રીતે પ્રવાહી $2$ માં ડૂબેલો હોવાથી,તેની ઘનતા $\rho_3$ એ ઉપરના પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho_1)$ કરતા વધારે અને નીચેના પ્રવાહીની ઘનતા $(\rho_2)$ કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી,સંતુલન માટેની શરત $\rho_1 < \rho_3 < \rho_2$ છે.

(C) સંતુલન સ્થિતિમાં,નળાકાર પર લાગતા બળો સ્પ્રિંગ બળ $kx_0$ (ઉપરની તરફ),ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ (ઉપરની તરફ),અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (નીચેની તરફ) છે.
સંતુલનનું સમીકરણ છે: $kx_0 + F_B = Mg$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = V_{submerged} \cdot \sigma \cdot g$.
નળાકાર અડધો ડૂબેલો હોવાથી,ડૂબાયેલું કદ $V_{submerged} = A \cdot \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$F_B = \left( A \cdot \frac{L}{2} \right) \sigma g = \frac{LA\sigma g}{2}$.
આ કિંમતને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$kx_0 + \frac{LA\sigma g}{2} = Mg$
$kx_0 = Mg - \frac{LA\sigma g}{2}$
$x_0 = \frac{Mg - \frac{LA\sigma g}{2}}{k} = \frac{Mg}{k} \left( 1 - \frac{LA\sigma}{2M} \right)$.

(A) ધારો કે $F$ એ ઉપરના પ્રવાહી દ્વારા ઉપરના અર્ધગોળા પર લાગતું નીચેની તરફનું બળ છે. આંતર સપાટી પરના પ્રવાહી દ્વારા ઉપરના અર્ધગોળાની નીચેની સપાટી પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ $P \cdot A$ છે,જ્યાં $P$ એ આંતર સપાટી પરનું દબાણ છે અને $A = \pi r^2$ એ આંતર સપાટી પર ગોળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આંતર સપાટી પરનું દબાણ $P = p_0 + \rho_1gh$ છે.
ઉપરના પ્રવાહીને કારણે ઉપરના અર્ધગોળા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ એ અર્ધગોળા દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_B = V_{\text{hemisphere}} \cdot \rho_1 \cdot g = (\frac{2}{3} \pi r^3) \rho_1 g$.
ઉપરના અર્ધગોળાના સંતુલનને ધ્યાનમાં લેતા,ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ એ ઉપરની તરફના દબાણ બળ અને પ્રવાહી દ્વારા લાગતા નીચેની તરફના બળ $F$ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$P \cdot A - F = F_B$
$(p_0 + \rho_1gh) \pi r^2 - F = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho_1 g$
$F$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$F = (p_0 + \rho_1gh) \pi r^2 - \frac{2}{3} \pi r^3 \rho_1 g$
$F = p_0 \pi r^2 + \rho_1 g \pi r^2 (h - \frac{2}{3} r)$.

(B) જ્યારે પદાર્થને દોરી વડે લટકાવીને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થાનાંતરિત પાણીના વજન $(Z)$ જેટલું ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પાણી પર $Z$ મૂલ્યનું સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં નીચેની તરફ બળ લગાડે છે.
આ વધારાનું નીચેની તરફનું બળ ત્રાજવા પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેથી,ત્રાજવાનું નવું રીડિંગ એ બીકર અને પાણીનું પ્રારંભિક વજન $(X)$ વત્તા વધારાનું નીચેની તરફનું બળ $(Z)$ છે.
નવું રીડિંગ $= X + Z$.

(B) ધારો કે નળાકારનું તેના સંતુલન સ્થાનથી સ્થાનાંતર $x$ છે.
જ્યારે નળાકારને $x$ જેટલો નીચે દબાવવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = -(\rho g A)x$ છે, જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા, $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ અને $A$ એ પાયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ, $ma = -(\rho g A)x$, જે આપે છે $a = -(\frac{\rho g A}{m})x$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega_{\text{cylinder}} = \sqrt{\frac{\rho g A}{m}}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-બ્લોક તંત્ર માટે, કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{\text{spring}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ સમાન છે, તેથી તેમની કોણીય આવૃત્તિઓ સમાન હોવી જોઈએ: $\omega_{\text{cylinder}} = \omega_{\text{spring}}$.
તેથી, $\sqrt{\frac{\rho g A}{m}} = \sqrt{\frac{k}{m}}$, જે સૂચવે છે કે $k = \rho g A$.
અહીં $\rho = 900 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$ અને $A = 30 \, cm^2 = 30 \times 10^{-4} \, m^2$ છે.
$k = 900 \times 10 \times 30 \times 10^{-4} = 27 \, N/m$.

(B) ધારો કે $h$ એ મીણબત્તીની કુલ લંબાઈ છે અને $h_2$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલી મીણબત્તીની લંબાઈ છે. ધારો કે $\rho_w$ એ મીણની ઘનતા છે અને $\rho_{\ell}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે: $\rho_{\ell} = 2\rho_w$ અને $\frac{dh}{dt} = 4\ cm/hr$.
તરતી મીણબત્તી માટે, મીણબત્તીનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$Weight = \text{Buoyant Force}$
$A \cdot h \cdot \rho_w \cdot g = A \cdot h_2 \cdot \rho_{\ell} \cdot g$
કારણ કે $\rho_{\ell} = 2\rho_w$, તેથી:
$h \cdot \rho_w = h_2 \cdot (2\rho_w)$
$h = 2h_2 \Rightarrow h_2 = \frac{h}{2}$
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dh_2}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dh}{dt} = \frac{1}{2} (4\ cm/hr) = 2\ cm/hr$.
આ $\frac{dh_2}{dt}$ એ દર દર્શાવે છે કે જેના પર મીણબત્તીનો નીચેનો ભાગ પ્રવાહીની સપાટીની સાપેક્ષમાં ઉપર આવે છે.
પ્રવાહીની સપાટીની સાપેક્ષમાં ઉપરના છેડાના સ્થાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ કુલ લંબાઈ ઘટવાનો દર માઈનસ ડૂબેલા ભાગના ઉપર આવવાનો દર છે:
$v_{upper} = \frac{dh}{dt} - \frac{dh_2}{dt} = 4\ cm/hr - 2\ cm/hr = 2\ cm/hr$.
આમ, ઉપરનો છેડો $2\ cm/hr$ ના દરે નીચે જશે.

(D) નળાકાર પાત્રના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ તે પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
ત્રણેય પાત્રોમાં પ્રવાહીનું દળ $(m)$ સમાન હોવાથી, દરેક પાત્રમાં પ્રવાહીનું વજન $(W = mg)$ પણ સમાન જ રહેશે.
તેથી, તળિયે લાગતું બળ $(F = W = mg)$ ત્રણેય પાત્રો માટે સમાન હશે.
નોંધ: જોકે તળિયે દબાણ $(P = \rho gh)$ અલગ-અલગ હોઈ શકે છે કારણ કે ઘનતા અલગ હોવાથી ઊંચાઈ $(h)$ અલગ-અલગ હશે, પરંતુ તળિયે લાગતું કુલ બળ સમાન રહે છે કારણ કે પ્રવાહીનું વજન સમાન છે.
આ ઘટનાને હાઇડ્રોસ્ટેટિક પેરાડોક્સ (Hydrostatic Paradox) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે $F_1$ એ નળાકારની ઉપરની સપાટી પર લાગતું અધોદિશામાં બળ છે અને $F_2$ એ નળાકારની નીચેની સપાટી પર લાગતું ઉર્ધ્વદિશામાં બળ છે.
બળ $F_1$ એ વાતાવરણીય દબાણ $p_0$ અને ઉપરની સપાટીની ઉપર રહેલા $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે છે:
$F_1 = (p_0 + \rho gh) \pi R^2$
વસ્તુ પર લાગતું ચોખ્ખું ઉર્ધ્વ બળ (પ્લવન બળ) એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$F_{up} = V_{displaced} \rho g = V \rho g$
વ્યાખ્યા મુજબ,પ્લવન બળ એ તળિયા પર લાગતા ઉર્ધ્વ બળ અને ઉપરની સપાટી પર લાગતા અધોદિશામાં બળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$F_{up} = F_2 - F_1$
તેથી,નળાકારના તળિયા પર લાગતું બળ:
$F_2 = F_1 + F_{up}$
$F_2 = (p_0 + \rho gh) \pi R^2 + V \rho g$
$F_2 = p_0 \pi R^2 + \rho g (\pi R^2 h + V)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધારો કે $V$ એ ઘન બ્લોકનું કુલ કદ છે,$\rho_s$ એ ઘન બ્લોકની ઘનતા છે અને $\rho_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક સંતુલનમાં તરે છે. બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V \rho_s g = V_{sub} \rho_L g$
આપેલ છે કે અડધું કદ ડૂબેલું છે,તેથી $V_{sub} = V/2$. આથી,$V \rho_s g = (V/2) \rho_L g$,જે સૂચવે છે કે $\rho_s / \rho_L = 1/2$.
જ્યારે સિસ્ટમ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ બને છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ છે:
$V \rho_s g_{eff} = V'_{sub} \rho_L g_{eff}$
બંને બાજુને $V \rho_L g_{eff}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V'_{sub} / V = \rho_s / \rho_L$
કારણ કે $\rho_s / \rho_L = 1/2$,ડૂબેલા કદનો અંશ $1/2$ જ રહેશે. આ અંશ સિસ્ટમના પ્રવેગથી સ્વતંત્ર છે.

(C) બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,બ્લોકનું વજન તેલ અને પાણી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
બ્લોકનું વજન = વિસ્થાપિત તેલનું વજન + વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$mg = V_{oil} \rho_{oil} g + V_{water} \rho_{water} g$
$m = V_{oil} \rho_{oil} + V_{water} \rho_{water}$
આપેલ છે કે બ્લોક $10 \ cm$ બાજુનો સમઘન છે,તેથી કુલ ઊંચાઈ $10 \ cm$ છે. $4 \ cm$ પાણીમાં ડૂબેલું હોવાથી,બાકીના $6 \ cm$ તેલમાં છે.
$V_{oil} = 10 \ cm \times 10 \ cm \times 6 \ cm = 600 \ cm^3$
$V_{water} = 10 \ cm \times 10 \ cm \times 4 \ cm = 400 \ cm^3$
તેલની ઘનતા $\rho_{oil} = 0.6 \ g/cm^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_{water} = 1 \ g/cm^3$ છે.
$m = (600 \times 0.6) + (400 \times 1)$
$m = 360 + 400 = 760 \ gm$.

$(D)$ ધારો કે લાકડાના બ્લોકનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho_b$ છે. ધારો કે પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં (સ્થિર), બ્લોક તરે છે, તેથી વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે:
$V \rho_b g = V_{in} \rho_l g$
આપેલ છે કે $V_{in} = 0.4V$, તેથી
$0.4V \rho_l g = V \rho_b g$
જે સૂચવે છે કે
$\rho_b = 0.4 \rho_l$
જ્યારે પાત્ર $a = \frac{g}{2}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ
$g' = g + a = g + \frac{g}{2} = \frac{3g}{2}$
નવું ઉત્પ્લાવક બળ $V'_{in} \rho_l g'$ છે, જ્યાં $V'_{in}$ એ નવું ડૂબેલું કદ છે.
વજન અને નવા ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા:
$V \rho_b g' = V'_{in} \rho_l g'$
કારણ કે $g'$ બંને બાજુ છે, તે રદ થાય છે:
$V \rho_b = V'_{in} \rho_l$
હવે $\rho_b = 0.4 \rho_l$ મૂકતા:
$V (0.4 \rho_l) = V'_{in} \rho_l$
$V'_{in} = 0.4 V$
આથી, પ્રવાહીની અંદર રહેલા કદની ટકાવારી $40\%$ જ રહે છે.

(A) ધારો કે લાકડાનું દળ અને કદ $m_1$ અને $v_1$ છે,અને કોંક્રિટનું દળ અને કદ $m_2$ અને $v_2$ છે.
આપેલ દળનો ગુણોત્તર: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે લાકડાની ઘનતા $\rho_1$ છે અને કોંક્રિટની ઘનતા $\rho_2$ છે. લાકડાની વિશિષ્ટ ઘનતા $S_1 = \frac{\rho_1}{\rho_w} = 0.5$ છે,તેથી $\rho_1 = 0.5 \rho_w$.
સંયોજન સંપૂર્ણપણે ડૂબેલું રહીને તરે તે માટે,કુલ વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$(m_1 + m_2)g = \rho_w (v_1 + v_2)g$
$m_1 + m_2 = \rho_w (\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2})$
બંને બાજુને $m_2$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_1}{m_2} + 1 = \frac{\rho_w}{\rho_1} \cdot \frac{m_1}{m_2} + \frac{\rho_w}{\rho_2}$
અહીં $\frac{\rho_w}{\rho_1} = \frac{1}{S_1} = \frac{1}{0.5} = 2$ અને $\frac{\rho_w}{\rho_2} = \frac{1}{S_2}$ (કોંક્રિટની વિશિષ્ટ ઘનતાનો વ્યસ્ત):
$\frac{3}{5} + 1 = 2 \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{S_2}$
$\frac{8}{5} = \frac{6}{5} + \frac{1}{S_2}$
$\frac{1}{S_2} = \frac{2}{5} \Rightarrow S_2 = 2.5$.
આમ,કોંક્રિટની વિશિષ્ટ ઘનતા $2.5$ છે.

(B) જ્યારે પિત્તળના વજનને પાણીમાં નીચે ઉતારવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના ડૂબેલા કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. આ વિસ્થાપિત પાણી ઓવરફ્લો સ્પાઉટ દ્વારા બહાર નીકળીને ડાબી બાજુના પલ્લા પરના પાત્રમાં જાય છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પિત્તળના વજન પર વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પિત્તળનું વજન પાણી પર તેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં નીચેની તરફનું બળ લગાડે છે,જે જમણી બાજુના પલ્લા પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન ડાબી બાજુના પલ્લામાં ઉમેરાતું હોવાથી,ડાબી બાજુનું કુલ વજન વધે છે. જમણી બાજુના પલ્લા પર ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું વધારાનું નીચેની તરફનું બળ લાગે છે,પરંતુ પાણીનું સ્તર સ્પાઉટ પર સ્થિર રહેતું હોવાથી,જમણી બાજુનું કુલ વજન બદલાતું નથી (પિત્તળની વસ્તુનું વજન દોરી દ્વારા ટેકવાયેલું છે,પલ્લા દ્વારા નહીં). તેથી,ત્રાજવાની ડાબી બાજુ નીચે નમે છે.

(C) ધારો કે $v_2$ એ પદાર્થનું કદ છે અને $v_1$ એ પોલાણનું કદ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થની ઘનતા $\rho = 8000\ kg/m^3$ અને પાણીની ઘનતા $\rho_w = 1000\ kg/m^3$.
હવામાં દળ: $M = \rho v_2 = 10.0\ kg$.
પાણીમાં આભાસી દળ: $M' = M - \text{પ્લવક બળ} = \rho v_2 - \rho_w(v_1 + v_2) = 7.5\ kg$.
બીજા સમીકરણમાં $M = 10.0\ kg$ મૂકતા:
$10.0 - \rho_w(v_1 + v_2) = 7.5 \implies \rho_w(v_1 + v_2) = 2.5\ kg$.
હવે,બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\rho_w(v_1 + v_2)}{\rho v_2} = \frac{2.5}{10.0} = \frac{1}{4}$.
ઘનતાની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1000}{8000} \left( \frac{v_1}{v_2} + 1 \right) = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{8} \left( \frac{v_1}{v_2} + 1 \right) = \frac{1}{4}$.
$\frac{v_1}{v_2} + 1 = 2$.
$\frac{v_1}{v_2} = 1$.

(B) $1$. બરણીમાં,પ્રવાહી $2$ નીચે છે અને પ્રવાહી $1$ ઉપર છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહી $2$ ની ઘનતા પ્રવાહી $1$ ની ઘનતા કરતા વધારે છે $({\rho _2} > {\rho _1})$.
$2$. નક્કર દડો બંને પ્રવાહીના સંપર્ક સપાટી પર તરે છે.
$3$. દડો આંશિક રીતે પ્રવાહી $1$ માં અને આંશિક રીતે પ્રવાહી $2$ માં ડૂબેલો હોવાથી,તેની ઘનતા ${\rho _3}$ એ ઉપરના પ્રવાહીની ઘનતા કરતા વધારે $({\rho _3} > {\rho _1})$ અને નીચેના પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઓછી $({\rho _3} < {\rho _2})$ હોવી જોઈએ.
$4$. આ અસમાનતાઓને જોડતા,આપણને ${\rho _1} < {\rho _3} < {\rho _2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બાહ્ય ભાગની ઘનતા $\rho_1$ છે. તો આંતરિક ભાગની ઘનતા $2\rho_1$ થશે.
આંતરિક સમઘનનું કદ $V_{in} = 5^3 = 125 \ cm^3$ છે.
બાહ્ય ભાગનું કદ $V_{out} = 10^3 - 5^3 = 1000 - 125 = 875 \ cm^3$ છે.
સમઘનનું કુલ દળ $M = (V_{in} \times 2\rho_1) + (V_{out} \times \rho_1) = (125 \times 2\rho_1) + (875 \times \rho_1) = 250\rho_1 + 875\rho_1 = 1125\rho_1$ છે.
સમઘન $2 \ g/cm^3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરતો હોવાથી, સમઘનનું વજન વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ:
$Mg = V_{total} \times \rho_L \times g$
$1125\rho_1 = 1000 \times 2$
$1125\rho_1 = 2000$
$\rho_1 = \frac{2000}{1125} = \frac{16}{9} \ g/cm^3$.
આંતરિક ભાગની ઘનતા $2\rho_1 = 2 \times \frac{16}{9} = \frac{32}{9} \ g/cm^3$ છે.

(A) ધારો કે $20^{\circ} C$ તાપમાને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_{1}$ છે અને $70^{\circ} C$ તાપમાને $\rho_{2}$ છે.
આભાસી વજનનું સૂત્ર: $W_{\text{apparent}} = W_{\text{air}} - V \rho g$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
$20^{\circ} C$ તાપમાને: $40 = 50 - V \rho_{1} g \implies V \rho_{1} g = 10$.
$70^{\circ} C$ તાપમાને: $45 = 50 - V \rho_{2} g \implies V \rho_{2} g = 5$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{V \rho_{1} g}{V \rho_{2} g} = \frac{10}{5} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ઘનતાનો ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) ધારો કે તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + m_0 + m$ છે।
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અનુસાર, $F_{ext} = M_{total} a_{cm}$.
તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય બળો વજન કાંટા દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ અને કુલ વજન $(M + m + m_0)g$ છે।
આમ, $(M + m + m_0)g - N = M_{total} a_{cm}$, જ્યાં $a_{cm}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે।
દડાને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતો હોવાથી, તે પ્રવેગિત થશે (જો $\rho_{ball} > \rho_{liquid}$ હોય તો નીચેની તરફ અથવા જો $\rho_{ball} < \rho_{liquid}$ હોય તો ઉપરની તરફ)।
બંને કિસ્સામાં, તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેની તરફ પ્રવેગિત થશે।
તેથી, $a_{cm} > 0$, જે સૂચવે છે કે $N = (M + m + m_0)g - M_{total} a_{cm}$.
આમ, જ્યારે પણ દડો પાત્રની સાપેક્ષમાં પ્રવેગિત થાય છે, ત્યારે વજન કાંટાનું રીડિંગ $N$ એ કુલ વજન $(M + m + m_0)g$ કરતા ઓછું જ હશે।

(A) ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho_b = 500 \ kg/m^3$ અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l = 1000 \ kg/m^3$ છે. ધારો કે $V$ એ દડાનું કદ છે.
જ્યારે દડો પ્રવાહીની અંદર હોય,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $W = V \rho_b g$ (નીચેની તરફ) છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - W = V \rho_l g - V \rho_b g = V g (\rho_l - \rho_b)$.
પ્રવાહીની અંદર દડાનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V g (\rho_l - \rho_b)}{V \rho_b} = g \frac{(\rho_l - \rho_b)}{\rho_b}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 10 \times \frac{(1000 - 500)}{500} = 10 \times \frac{500}{500} = 10 \ m/s^2$ (ઉપરની તરફ).
ધારો કે દડો જ્યારે પ્રવાહીની સપાટીને અથડાય છે ત્યારે તેનો વેગ $v_0$ છે. પ્રવાહીની અંદરની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 2 \ s$ સમયે અંતિમ વેગ $0$ છે:
$0 = v_0 - a t \Rightarrow v_0 = a t = 10 \times 2 = 20 \ m/s$.
$h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન માટે,$v_0^2 = 2gh$.
$20^2 = 2 \times 10 \times h \Rightarrow 400 = 20h \Rightarrow h = 20 \ m$.

(A) ધારો કે $V$ એ ઘન બ્લોકનું કુલ કદ છે,$\rho_s$ એ ઘન બ્લોકની ઘનતા છે,અને $\rho_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
શરૂઆતમાં,બ્લોક સંતુલનમાં તરે છે. બ્લોકનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$V \rho_s g = V_{sub} \rho_L g$
આપેલ છે કે અડધું કદ ડૂબેલું છે,તેથી $V_{sub} = V/2$. તેથી:
$V \rho_s g = (V/2) \rho_L g \implies \rho_s = \rho_L / 2$.
જ્યારે સિસ્ટમ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ થાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ છે:
$V \rho_s g_{eff} = V'_{sub} \rho_L g_{eff}$
બંને બાજુ $g_{eff}$ વડે ભાગતા:
$V \rho_s = V'_{sub} \rho_L \implies \frac{V'_{sub}}{V} = \frac{\rho_s}{\rho_L}$.
$\rho_s = \rho_L / 2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V'_{sub}}{V} = \frac{\rho_L / 2}{\rho_L} = \frac{1}{2}$.
આમ,સિસ્ટમના પ્રવેગને ધ્યાનમાં લીધા વિના ડૂબેલા કદનો અંશ બદલાતો નથી.