Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(D) वृत्तीय गति में कण की चाल $V = \frac{2 \pi R}{T}$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{V^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि $H = 4R$,इसलिए $V$ और $H$ का मान सूत्र में रखने पर:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$4R = \frac{2 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{g T^2}$
$\sin^2 \theta$ के लिए हल करने पर:
$\sin^2 \theta = \frac{4R \cdot g T^2}{2 \pi^2 R^2} = \frac{2 g T^2}{\pi^2 R}$
अतः,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{2 g T^2}{\pi^2 R} \right)^{1/2}$.

(C) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल डोरी में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है: $T = M \omega^{2} R$.
दिया गया है: $T = 80 \,N$,$M = 100 \,g = 0.1 \,kg$,$R = 2 \,m$.
मान रखने पर: $80 = 0.1 \times \omega^{2} \times 2$.
$80 = 0.2 \omega^{2} \implies \omega^{2} = 400 \implies \omega = 20 \,rad/s$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,जहां $f$ आवृत्ति $rev/s$ में है: $2 \pi f = 20 \implies f = \frac{10}{\pi} \,rev/s$.
आवृत्ति को $rev/min$ में बदलने के लिए,$60$ से गुणा करें: $f = \frac{10}{\pi} \times 60 = \frac{600}{\pi} \,rev/min$.
इसकी तुलना $\frac{K}{\pi} \,rev/min$ से करने पर,हमें $K = 600$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $R$ अर्ध-गोलाकार पात्र की त्रिज्या है। जब गेंद क्षैतिज से $\alpha$ कोण पर बिंदु $Q$ पर होती है,तो इसकी गति $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम से प्राप्त होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = mg(R \sin \alpha)$,जिससे $v^2 = 2gR \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ है।
त्रिज्यीय दिशा में गेंद पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \alpha$ हैं। गति का समीकरण $N - mg \sin \alpha = \frac{mv^2}{R} = 2mg \sin \alpha$ है।
अतः,$N = 3mg \sin \alpha$.
अनुपात $A$ को अभिकेंद्री बल और अभिलंब प्रतिक्रिया के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $A = \frac{F_c}{N} = \frac{2mg \sin \alpha}{3mg \sin \alpha} = \frac{2}{3}$.
चूंकि $A = \frac{2}{3}$ एक स्थिर मान है जो $\alpha$ से स्वतंत्र है,इसलिए $A$ बनाम $\alpha$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी।

(B) प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = 20 \cos \alpha$ और $u_y = 20 \sin \alpha$ हैं।
चूंकि क्षैतिज त्वरण शून्य है,इसलिए क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = u_x = 20 \cos \alpha$.
$t = 10 \; s$ समय के बाद ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y - gt = 20 \sin \alpha - 10 \times 10 = 20 \sin \alpha - 100$ द्वारा प्राप्त होता है।
क्षैतिज के साथ झुकाव $\beta$ को $\tan \beta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \beta = \frac{20 \sin \alpha - 100}{20 \cos \alpha} = \frac{20 \sin \alpha}{20 \cos \alpha} - \frac{100}{20 \cos \alpha} = \tan \alpha - 5 \sec \alpha$.

(C) अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^{2}}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = k^{2} r t^{2}$,इसलिए $\frac{v^{2}}{r} = k^{2} r t^{2}$।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,$v^{2} = k^{2} r^{2} t^{2}$,अर्थात $v = krt$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_{t}$ गति में परिवर्तन की दर है: $a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$।
स्पर्शरेखीय बल $F_{t} = m a_{t} = mkr$।
बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F_{t} v$ है।
मान रखने पर,$P = (mkr)(krt) = m k^{2} r^{2} t$।

(B) वृत्ताकार पथ पर तय की गई दूरी $s = R \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ रेडियन में कोण है।
दिया है $s = 60 \, m$ और $\theta = 135^{\circ} = 135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \, \text{रेडियन}$.
अतः,$60 = R \left( \frac{3\pi}{4} \right) \implies R = \frac{60 \times 4}{3\pi} = \frac{80}{\pi} \, m$.
वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच विस्थापन का परिमाण $\Delta r = \sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - \cos 135^{\circ})}$.
दिया है $\cos 135^{\circ} = -0.7$,इसलिए $\Delta r = \sqrt{2R^2(1 - (-0.7))} = \sqrt{2R^2(1.7)} = \sqrt{3.4 R^2} = R \sqrt{3.4}$.
$R = \frac{80}{\pi} \approx \frac{80}{3.14} \approx 25.47 \, m$ रखने पर:
$\Delta r \approx 25.47 \times \sqrt{3.4} \approx 25.47 \times 1.844 \approx 46.97 \, m$.
निकटतम पूर्णांक में,विस्थापन का परिमाण $47 \, m$ है।

(A) मान लीजिए पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $u_1$ है और दूसरी गेंद का $u_2$ है।
ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई पहली गेंद के लिए,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ है।
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर फेंकी गई दूसरी गेंद के लिए,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_{2y} = u_2 \cos \theta$ है। उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $u_1 = u_2 \cos \theta$ है।
पहली गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ है।
दूसरी गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{(u_2 \cos \theta)^2}{2g} = \frac{u_2^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि $u_1 = u_2 \cos \theta$,इसलिए $H_1 = H_2$ है।
ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = 1 = \frac{1}{x}$ है।
अतः,$x = 1$।

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ गति से चलने वाले $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल ऊर्ध्वाधर दीवार द्वारा लगाई गई अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र इस प्रकार है:
$F_c = \frac{m v^2}{r}$
चूंकि अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ यह अभिकेंद्र बल प्रदान करती है,इसलिए हमारे पास है:
$N = \frac{m v^2}{r}$
यहाँ,$m$ और $r$ स्थिरांक हैं। इसलिए,$N$ और $v$ के बीच का संबंध है:
$N \propto v^2$
यह समीकरण $Y = kX^2$ के रूप के एक परवलय (पैराबोला) को दर्शाता है,जहाँ $Y = N$,$X = v$,और $k = \frac{m}{r}$ है।
इस प्रकार,$N$ बनाम $v$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है,जो विकल्प $A$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(B) मान लीजिए कि कीचड़ की एक बूंद पहिये की परिधि से $u$ प्रारंभिक गति के साथ चित्र में दिखाए अनुसार $\theta$ कोण पर अलग होती है।
पहिये के केंद्र के सापेक्ष कीचड़ की बूंद जिस ऊँचाई $h$ तक पहुँच सकती है,वह है:
$h = \text{प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई} + \text{केंद्र से मुक्त होने वाले बिंदु की ऊँचाई}$
$h = \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta$
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dh}{d\theta} = 0$ रखते हैं:
$\frac{d}{d\theta} \left( \frac{u^{2} \sin^{2} \theta}{2 g} + R \sin \theta \right) = 0$
$\frac{u^{2}}{2 g} (2 \sin \theta \cos \theta) + R \cos \theta = 0$
$\frac{u^{2}}{g} \sin \theta \cos \theta + R \cos \theta = 0$
$\cos \theta \left( \frac{u^{2}}{g} \sin \theta + R \right) = 0$
अधिकतम ऊँचाई के लिए $\cos \theta \neq 0$ होने के कारण,हमें $\sin \theta = -\frac{Rg}{u^{2}}$ प्राप्त होता है।
ज्यामितीय रूप से,केंद्र के सापेक्ष अधिकतम ऊँचाई $h_{max} = \frac{u^{2}}{2g} + \frac{gR^{2}}{2u^{2}}$ है।

(A) मान लीजिए कि छड़ $OA$ किसी क्षण $t$ पर $OP$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है। मान लीजिए $OP$ की दूरी $x$ है। $\triangle OAP$ में कोसाइन नियम लागू करने पर:
$L^2 = R^2 + x^2 - 2Rx \cos \theta$
$x^2 - (2R \cos \theta)x + (R^2 - L^2) = 0$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} - 2R \cos \theta \frac{dx}{dt} + 2Rx \sin \theta \frac{d\theta}{dt} = 0$
दिया है $\frac{d\theta}{dt} = \omega$ और $\frac{dx}{dt} = v$:
$v(x - R \cos \theta) = -Rx \omega \sin \theta$
$v = \frac{Rx \omega \sin \theta}{R \cos \theta - x}$
जब $\theta = 60^{\circ}$,$R = 1/\sqrt{3}$,$L = 1$. ज्यामिति से,$x = R \cos \theta + \sqrt{L^2 - R^2 \sin^2 \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+3}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \,m$.
$v$ के व्यंजक में मान रखने पर:
$v = \frac{(1/\sqrt{3}) \cdot (2/\sqrt{3}) \cdot \omega \cdot \sin 60^{\circ}}{(1/\sqrt{3}) \cdot \cos 60^{\circ} - (2/\sqrt{3})}$
$v = \frac{(2/3) \cdot \omega \cdot (\sqrt{3}/2)}{(1/2\sqrt{3}) - (2/\sqrt{3})} = \frac{\omega / \sqrt{3}}{-3 / 2\sqrt{3}} = -\frac{2}{3} \omega$.
गति परिमाण है,इसलिए $|v| = \frac{2}{3} \omega$.

(B) वक्र पथ पर गति कर रहे कण के वेग $v$ को त्रिज्यीय $(v_r = dr/dt)$ और अनुप्रस्थ $(v_{\theta} = r(d\theta/dt))$ वेग घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
परिणामी वेग $v$ और त्रिज्यीय वेग $v_r$ के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = v_{\theta} / v_r$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{\theta}$ और $v_r$ के व्यंजक रखने पर:
$\tan \alpha = \frac{r(d\theta/dt)}{dr/dt} = r \cdot \frac{d\theta}{dr} = \frac{r}{dr/d\theta}$
यहाँ दिया गया है कि $dr/d\theta = r$,इसलिए:
$\tan \alpha = \frac{r}{r} = 1$
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(A) गेंद की गति को उसके पथ को खोलकर समझा जा सकता है। चूंकि टक्करें पूरी तरह से लोचदार हैं,इसलिए प्रक्षेप पथ को एक एकल निरंतर परवलय के रूप में माना जा सकता है जैसे कि गेंद को जमीन से फेंका गया हो। इस समतुल्य प्रक्षेप्य की कुल सीमा $R = 12 \,m$ है। प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$ है।
गेंद छोड़ने के बिंदु पर,$y = 1.4 \,m$ और शुरुआत से क्षैतिज दूरी $x$ है। अतः,$1.4 = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{12}\right) \quad \dots(i)$
दीवार पर,$y = 3 \,m$ और शुरुआत से क्षैतिज दूरी $6 + x$ है। अतः,$3 = (6 + x) \tan \theta \left(1 - \frac{6 + x}{12}\right) = (6 + x) \tan \theta \left(\frac{6 - x}{12}\right) \quad \dots(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1.4}{3} = \frac{x(12 - x)}{(6 + x)(6 - x)} \Rightarrow \frac{7}{15} = \frac{12x - x^2}{36 - x^2}$
$7(36 - x^2) = 15(12x - x^2) \Rightarrow 252 - 7x^2 = 180x - 15x^2$
$8x^2 - 180x + 252 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 45x + 63 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(x - 21)(2x - 3) = 0$। चूंकि $x < 6$ है,इसलिए हमें $x = 1.5 \,m$ प्राप्त होता है।

(A) कण का पथ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{a^2} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $\frac{x}{a^2} v_x + \frac{y}{b^2} v_y = 0 \dots (i)$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पुनः समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{a^2} (v_x^2 + x a_x) + \frac{1}{b^2} (v_y^2 + y a_y) = 0 \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, b)$ पर,$x = 0$ और $y = b$ है। इस बिंदु पर $v_x = u$ दिया गया है।
समीकरण $(i)$ में $x = 0$ रखने पर,हमें $\frac{0}{a^2} u + \frac{b}{b^2} v_y = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_y = 0$ है।
अब,समीकरण $(ii)$ में $x = 0, y = b, v_x = u, v_y = 0$ रखने पर,हमें $\frac{1}{a^2} (u^2 + 0 \cdot a_x) + \frac{1}{b^2} (0^2 + b \cdot a_y) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{u^2}{a^2} + \frac{b a_y}{b^2} = 0$ या $\frac{u^2}{a^2} + \frac{a_y}{b} = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$a_y = -\frac{b u^2}{a^2}$।

(B) मान लीजिए कि प्रक्षेपण बिंदु $A$ है और हूप की प्रारंभिक स्थिति $C$ है। क्षैतिज दूरी $AB = 25 \, m$ है और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $BC = 45 \, m$ है।
दूरी $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25^2 + 45^2} = \sqrt{625 + 2025} = \sqrt{2650} \, m$ है।
सेब को $C$ की ओर $v = 24 \, m/s$ की गति से फेंका जाता है। सेब को हूप की प्रारंभिक स्थिति $C$ तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{AC}{v} = \frac{\sqrt{2650}}{24} \, s$ है।
इस समय $t$ के दौरान,हूप $h = \frac{1}{2} g t^2$ की दूरी से नीचे गिरता है।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,हमें मिलता है $h = \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{\sqrt{2650}}{24}\right)^2 = 5 \times \frac{2650}{576} = \frac{13250}{576} \approx 23 \, m$।
जब सेब हूप से होकर गुजरता है तो जमीन से हूप की ऊँचाई $H = 45 - h = 45 - 23 = 22 \, m$ है।

(D) मान लीजिए कि दोनों कारों के कोणीय वेग $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं। दिया गया है $T_1 = 3 \, min$ और $T_2 = 24 \, min$।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,उनका सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{rel} = \omega_1 + \omega_2 = \frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2} = 2\pi \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{24} \right) = 2\pi \left( \frac{8+1}{24} \right) = 2\pi \left( \frac{9}{24} \right) = \frac{3\pi}{4} \, rad/min$ है।
$t = 0$ पर,कारें सबसे दूर हैं,जिसका अर्थ है कि उनका कोणीय पृथक्करण $\pi \, rad$ है।
$t = 12 \, min$ पर,$S_1$ ने $12/3 = 4$ पूर्ण चक्कर पूरे कर लिए हैं (प्रारंभिक स्थिति पर)। $S_2$ ने $12/24 = 0.5$ चक्कर पूरे किए हैं (प्रारंभिक स्थिति के व्यासतः विपरीत बिंदु पर)। इसलिए,कारें $t = 12 \, min$ पर सबसे करीब हैं।
$t = 24 \, min$ पर,$S_1$ ने $24/3 = 8$ पूर्ण चक्कर और $S_2$ ने $24/24 = 1$ पूर्ण चक्कर पूरा कर लिया है। चूंकि दोनों अपनी प्रारंभिक स्थितियों पर हैं,इसलिए वे फिर से सबसे दूर हैं।

(C) $R$ त्रिज्या और $v$ चाल वाले पहले पथ के लिए:
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{v} \Rightarrow v = \frac{2\pi R}{T}$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$R' = 2R$ त्रिज्या और $v'$ चाल वाले दूसरे पथ के लिए:
नया अभिकेंद्र त्वरण $a_c' = 8a_c = \frac{v'^2}{2R}$.
समीकरण में $a_c = \frac{v^2}{R}$ रखने पर: $\frac{v'^2}{2R} = 8 \left( \frac{v^2}{R} \right) \Rightarrow v'^2 = 16v^2 \Rightarrow v' = 4v$.
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है:
$T' = \frac{2\pi R'}{v'} = \frac{2\pi (2R)}{4v} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi R}{v} \right) = \frac{T}{2}$.

(C) जब गेंद को क्षैतिज रूप से फेंका जाता है,तो उसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 0$ होता है। जैसे-जैसे यह गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरती है,इसका ऊर्ध्वाधर वेग ऋणात्मक (नीचे की ओर) हो जाता है और $v_y = -gt$ के अनुसार समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो यह एक अप्रत्यास्थ टक्कर का अनुभव करती है। वेग तात्कालिक रूप से ऋणात्मक मान से धनात्मक मान (ऊपर की ओर) में बदल जाता है। चूंकि प्रत्यावस्थान गुणांक $e < 1$ है,इसलिए ऊपर की ओर वेग का परिमाण प्रभाव से ठीक पहले नीचे की ओर वेग के परिमाण से कम होता है।
उछाल के बाद,गेंद धनात्मक वेग के साथ ऊपर की ओर बढ़ती है जो गुरुत्वाकर्षण के कारण रैखिक रूप से घटता है जब तक कि यह अपने चरम पर नहीं पहुंच जाती,और फिर से ऋणात्मक हो जाती है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g$ स्थिर है और नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए $v_y$ बनाम $t$ ग्राफ का ढलान पूरी गति के दौरान स्थिर और ऋणात्मक $(-g)$ रहता है। इस प्रकार,ग्राफ के खंड ऋणात्मक ढलान वाली समानांतर सीधी रेखाएं हैं। विकल्प $(c)$ इन विशेषताओं को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) मूलबिंदु से दूरी $r$ को $r^2 = x^2 + y^2$ द्वारा दिया जाता है। $r$ के $x$ के साथ एकदिष्ट रूप से बढ़ने के लिए,हमें $\frac{dr}{dx} > 0$ की आवश्यकता है,जो $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ के बराबर है क्योंकि $x$ समय $t$ के साथ बढ़ता है।
दिया गया है $x = v_0 \cos \alpha \cdot t$ और $y = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$,इसलिए:
$r^2 = (v_0 \cos \alpha \cdot t)^2 + (v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2)^2$
$r^2 = v_0^2 t^2 \cos^2 \alpha + v_0^2 t^2 \sin^2 \alpha - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$r^2 = v_0^2 t^2 - v_0 \sin \alpha \cdot g t^3 + \frac{1}{4}g^2 t^4$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d(r^2)}{dt} = 2 v_0^2 t - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t^2 + g^2 t^3$
$r$ के बढ़ने के लिए,सभी $t > 0$ के लिए $\frac{d(r^2)}{dt} > 0$ होना चाहिए। $t$ से विभाजित करने पर:
$g^2 t^2 - 3 v_0 \sin \alpha \cdot g t + 2 v_0^2 > 0$
$t$ में यह द्विघात समीकरण हमेशा धनात्मक होता है यदि इसका विविक्तकर $D < 0$ हो:
$D = (-3 v_0 \sin \alpha \cdot g)^2 - 4(g^2)(2 v_0^2) < 0$
$9 v_0^2 g^2 \sin^2 \alpha - 8 v_0^2 g^2 < 0$
$\sin^2 \alpha < \frac{8}{9} \implies \sin \alpha < \frac{2\sqrt{2}}{3}$
चूँकि $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$,हमें $\cos^2 \alpha > 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \alpha > \frac{1}{3}$। क्रांतिक कोण $\alpha_c = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O$ है। $O$ पर स्थित कण $OP$ त्रिज्या की दिशा में $\vec{V}_1$ वेग के साथ $P$ की ओर गति करता है। तय की गई दूरी $R$ है,इसलिए $t = \frac{R}{V_1}$ है।
$Q$ पर स्थित कण $\vec{V}_2$ वेग के साथ $P$ की ओर गति करता है। $QP$ दूरी को त्रिभुज $OQP$ का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। चूँकि $OQ = OP = R$ और $\angle QOP = \phi$ है,इसलिए त्रिभुज $OQP$ समद्विबाहु है। लंबाई $QP = 2R \sin(\frac{\phi}{2})$ है।
चूँकि दोनों एक ही समय $t$ पर $P$ पर पहुँचते हैं,इसलिए $t = \frac{QP}{V_2} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2}$ है।
समय को बराबर करने पर: $\frac{R}{V_1} = \frac{2R \sin(\frac{\phi}{2})}{V_2} \implies \frac{V_2}{V_1} = 2 \sin(\frac{\phi}{2})$ है।
आकृति की ज्यामिति से,$\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ के बीच का कोण $\theta$ है। वेग $\vec{V}_2$ जीवा $QP$ के साथ एक कोण बनाता है। वेग सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि $QP$ और $OP$ की दिशा के बीच का कोण $\frac{\pi - \phi}{2} = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$ है।
ज्यामिति के अनुसार,$\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ के बीच का कोण $\theta$ समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों से इस प्रकार संबंधित है कि $\theta = 90^{\circ} - \frac{\phi}{2}$ है।
अतः,$\frac{\phi}{2} = 90^{\circ} - \theta$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{\phi}{2}) = \tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(D) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।
$1$. वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
$2$. अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जिससे यह वेग के लंबवत हो जाता है $(\vec{v} \perp \vec{a}_c)$।
$3$. एकसमान वृत्तीय गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र बल अभिकेंद्र बल $\vec{F}_c$ है,जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है। अतः,नेट बल अभिकेंद्र बल के बराबर होता है,जिससे यह वेग के लंबवत हो जाता है $(\vec{v} \perp \vec{F}_{net})$।
$4$. कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है,जो वृत्तीय गति के तल के लंबवत होता है। चूंकि वेग सदिश $\vec{v}$ गति के तल में स्थित होता है,इसलिए $\vec{v}$,$\vec{\omega}$ के भी लंबवत होता है $(\vec{v} \perp \vec{\omega})$।
अतः,वेग दिए गए सभी विकल्पों के लंबवत है।

(D) सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. किसी कण को वृत्ताकार गति में चलाने के लिए अभिकेंद्री बल की आवश्यकता होती है,जिसकी दिशा निरंतर बदलती रहती है। चूँकि यहाँ बल की दिशा निश्चित है,इसलिए यह वृत्ताकार गति उत्पन्न नहीं कर सकता।
$2$. यदि बल प्रारंभिक वेग के साथ किसी कोण पर कार्य करता है,तो पथ परवलयाकार हो सकता है (जैसे प्रक्षेप्य गति में,जहाँ गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर परिमाण और निश्चित दिशा में कार्य करता है)।
$3$. यदि बल वेग की दिशा में या उसके विपरीत दिशा में कार्य करता है,तो पथ एक सरल रेखा होता है।

(D) औसत बल $F_{avg} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m \Delta v}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र पर चाप $AB$ द्वारा बनाया गया कोण $\theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \text{ रेडियन}$ है।
वेग के परिमाण में परिवर्तन $\Delta v = 2v \sin(\theta/2) = 2v \sin(60^\circ) = 2v \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = v\sqrt{3}$ है।
लिया गया समय $\Delta t = \frac{\text{चाप की लंबाई}}{\text{चाल}} = \frac{r\theta}{v} = \frac{r(2\pi/3)}{v} = \frac{2\pi r}{3v}$ है।
अतः, औसत बल $F_{avg} = \frac{m(v\sqrt{3})}{2\pi r / 3v} = \frac{3\sqrt{3} m v^2}{2\pi r}$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, विकल्प $(d)$ को सही उत्तर माना गया है।

(A) दिया गया है कि वस्तु विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_i = 3 \hat{i} - 8 \hat{j}$ है और अंतिम स्थिति $\vec{r}_f = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
विस्थापन $\vec{s} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (2 - 3) \hat{i} + (4 - (-8)) \hat{j} = -1 \hat{i} + 12 \hat{j}$ है।
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = 4 \, s$ और $\vec{u} = 0$:
$-1 \hat{i} + 12 \hat{j} = \frac{1}{2} \vec{a} (4)^2$.
$-1 \hat{i} + 12 \hat{j} = 8 \vec{a}$.
अतः,$\vec{a} = \frac{-1 \hat{i} + 12 \hat{j}}{8} = -\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{12}{8} \hat{j} = -\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j}$.
इस प्रकार,त्वरण $-\frac{1}{8} \hat{i} + \frac{3}{2} \hat{j}$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
प्रक्षेप्य वह वस्तु है जिसे प्रारंभिक वेग दिया जाता है और फिर वह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करती है,जिस पर कोई अन्य बल (जैसे हवा का प्रतिरोध या इंजन का जोर) कार्य नहीं करता है।
$1$. उड़ान भरता हुआ विमान एक प्रक्षेप्य नहीं है क्योंकि यह अपने इंजन द्वारा संचालित होता है और अपने पंखों के माध्यम से लिफ्ट उत्पन्न करता है।
$2$. राइफल से चलाई गई गोली,क्षैतिज रूप से फेंकी गई गेंद और किक मारी गई फुटबॉल सभी प्रक्षेप्य के उदाहरण हैं क्योंकि,एक बार हवा में होने के बाद,वे केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गति करते हैं (हवा के प्रतिरोध को नजरअंदाज करते हुए)।

(B) $P$ की $Q$ की ओर गति पर विचार करें। $P$ का वेग $v$ है जो $Q$ की ओर निर्देशित है। $Q$ का वेग $v$ है जो $R$ की ओर निर्देशित है।
चूंकि $PQ$ और $QR$ लंबवत हैं,इसलिए $P$ के वेग और $Q$ के वेग के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$PQ$ रेखा के अनुदिश $Q$ के सापेक्ष $P$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v - v \cos(90^{\circ})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$,इसलिए $v_{rel} = v - 0 = v$ है।
$P$ और $Q$ के बीच की प्रारंभिक दूरी $d$ है।
इसलिए,उनके मिलने में लगा समय $T = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}} = \frac{d}{v}$ होगा।

(B) दिए गए स्थिति निर्देशांक:
$x = 3t$
$y = 4t - 2t^2$
वेग के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करते हैं:
$V_x = \frac{dx}{dt} = 3 \text{ m/s}$
$V_y = \frac{dy}{dt} = 4 - 4t \text{ m/s}$
प्रक्षेपण बिंदु पर,$t = 0$ रखने पर:
$V_x = 3 \text{ m/s}$
$V_y = 4 - 4(0) = 4 \text{ m/s}$
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{V_y}{V_x} = \frac{4}{3}$
$\theta = \tan^{-1}(\frac{4}{3}) = 53^{\circ}$
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha = 90^{\circ} - \theta = 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ}$ है।

(C) कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूँकि दोनों कारें एक चक्कर पूरा करने में समान समय $T$ लेती हैं,इसलिए $T_1 = T_2 = T$ है।
अतः,उनकी कोणीय चाल का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T_1}{2 \pi / T_2} = \frac{T_2}{T_1} = 1$ होगा।
रैखिक चाल $v$ का कोणीय चाल से संबंध $v = R \omega$ होता है।
चूँकि $\omega_1 = \omega_2$ है,इसलिए उनकी रैखिक चाल का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R_1 \omega_1}{R_2 \omega_2} = \frac{R_1}{R_2}$ होगा।
इस प्रकार,कोणीय चाल का अनुपात $1$ और रैखिक चाल का अनुपात $\frac{R_1}{R_2}$ है।

(A) मान लीजिए कि कणों $A, B, C$ और $D$ के वेग क्रमशः $\vec{v}_A, \vec{v}_B, \vec{v}_C$ और $\vec{v}_D$ हैं। चित्र से,हमारे पास है:
$\vec{v}_A = -v\hat{j}$
$\vec{v}_B = v\hat{i}$
$\vec{v}_C = v\hat{j}$
$\vec{v}_D = -v\hat{i}$
अब,हम सापेक्ष वेग की गणना करते हैं:
$1.$ $B$ के सापेक्ष $A$ का वेग: $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = -v\hat{j} - v\hat{i}$। यह सदिश तीसरे चतुर्थांश (नीचे और बाईं ओर) में इंगित करता है।
$2.$ $C$ के सापेक्ष $A$ का वेग: $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_A - \vec{v}_C = -v\hat{j} - v\hat{j} = -2v\hat{j}$। यह सदिश लंबवत नीचे की ओर इंगित करता है।
$3.$ $D$ के सापेक्ष $A$ का वेग: $\vec{v}_{AD} = \vec{v}_A - \vec{v}_D = -v\hat{j} - (-v\hat{i}) = -v\hat{j} + v\hat{i}$। यह सदिश चौथे चतुर्थांश (नीचे और दाईं ओर) में इंगित करता है।
इन दिशाओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ में तीन तीर नीचे-बाएँ,नीचे और नीचे-दाएँ दिशा में दिखाए गए हैं। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u$ प्रारंभिक चाल है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों को समान चाल $u$ से फेंका जाता है,इसलिए उड़ान का समय सीधे $\sin \theta$ पर निर्भर करता है।
प्रक्षेप्य $A$ के लिए,$\theta_A = 40^{\circ}$ है।
प्रक्षेप्य $B$ के लिए,$\theta_B = 50^{\circ}$ है।
चूंकि $40^{\circ} < 50^{\circ}$ है,इसलिए $\sin 40^{\circ} < \sin 50^{\circ}$ होगा।
अतः,$T_A < T_B$ होगा।
इसका अर्थ है कि प्रक्षेप्य $A$ का उड़ान समय कम होगा और वह प्रक्षेप्य $B$ की तुलना में पहले गिरेगा।

(D) प्रक्षेप पथ की वक्रता त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2}{a_{\perp}}$ है,जहाँ $v$ गति है और $a_{\perp}$ वेग के लंबवत त्वरण का घटक है।
प्रक्षेपण बिंदु $(A)$ पर:
गति $u$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। वेग सदिश और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ है। अतः,वेग के लंबवत $g$ का घटक $g \cos \theta$ है।
इसलिए,$r_A = \frac{u^2}{g \cos \theta}$.
अधिकतम ऊंचाई $(H)$ पर:
गति $v_H = u \cos \theta$ है। गुरुत्वीय त्वरण $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,जो इस बिंदु पर क्षैतिज वेग के लंबवत है।
इसलिए,$r_H = \frac{(u \cos \theta)^2}{g} = \frac{u^2 \cos ^2 \theta}{g}$.
प्रक्षेपण बिंदु पर वक्रता त्रिज्या और अधिकतम ऊंचाई पर वक्रता त्रिज्या का अनुपात:
$\frac{r_A}{r_H} = \frac{\frac{u^2}{g \cos \theta}}{\frac{u^2 \cos ^2 \theta}{g}} = \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\cos ^2 \theta} = \frac{1}{\cos ^3 \theta}$.

(C) बिंदु $O$ के सापेक्ष $v$ वेग से गति कर रहे कण का कोणीय वेग $\omega$,$v_{\perp} = r\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{\perp}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ के लंबवत वेग का घटक है।
ज्यामिति से,स्थिति सदिश $\vec{r}$ का परिमाण $r = \sqrt{a^2+b^2}$ है।
स्थिति सदिश और $x$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin \theta = \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
स्थिति सदिश के लंबवत वेग का घटक $v_{\perp} = v \sin \theta$ है।
मान रखने पर,हमें $v \sin \theta = r \omega$ प्राप्त होता है।
$v \left( \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right) = \sqrt{a^2+b^2} \omega$.
$\omega$ के लिए हल करने पर,हमें $\omega = \frac{v b}{a^2+b^2}$ प्राप्त होता है।

(D) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$ है।
चूंकि कण एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,इसलिए इसका वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा इसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ के लंबवत होता है (अर्थात,$\vec{v} \cdot \vec{r} = 0$)।
मान लीजिए $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
तब,$(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j}) = 0$ होगा।
इसका अर्थ है $v_x + v_y = 0$,या $v_x = -v_y$।
यह शर्त $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$ और $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{i})$ दोनों सदिशों द्वारा संतुष्ट होती है।
इसलिए,वेग दोनों में से किसी भी दिशा में हो सकता है,यह इस पर निर्भर करता है कि कण दक्षिणावर्त या वामावर्त गति कर रहा है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 6 \hat{i} \, m/s$.
अंतिम वेग $\vec{v}_2 = 6(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 6(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = 3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j} \, m/s$.
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j}) - 6 \hat{i} = -3 \hat{i} + 3\sqrt{3} \hat{j} \, m/s$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6 \, m/s$.
समयांतराल $\Delta t = 6 \, s$.
औसत त्वरण $a_{av} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{6}{6} = 1 \, m/s^2$.

(C) कथन $A$ सत्य है: एकसमान वृत्तीय गति में,त्वरण $\vec{a}$ पूरी तरह से अभिकेंद्री होता है,जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है। वेग $\vec{v}$ पथ के स्पर्शरेखीय होता है। कोणीय वेग $\vec{\omega}$ वृत्त के तल के लंबवत होता है। इस प्रकार,$\vec{\omega}$,$\vec{v}$ और $\vec{a}$ परस्पर लंबवत होते हैं।
कथन $B$ असत्य है: असमान वृत्तीय गति में,त्वरण $\vec{a}$ में अभिकेंद्री घटक $\vec{a}_c$ और स्पर्शरेखीय घटक $\vec{a}_t$ दोनों होते हैं। परिणामी त्वरण $\vec{a} = \vec{a}_c + \vec{a}_t$ वेग $\vec{v}$ के लंबवत नहीं होता है क्योंकि $\vec{a}_t$,$\vec{v}$ के समानांतर होता है। इसलिए,वे परस्पर लंबवत नहीं होते हैं।

(D) संवेग सदिश $\vec{p} = m\vec{v}$,वेग सदिश $\vec{v}$ की दिशा में होता है।
वृत्तीय गति की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हमें वेग सदिश $\vec{v}$ (या $\vec{p}$) और त्वरण सदिश $\vec{a}$ के बीच का कोण ज्ञात करना होगा।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{p} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (6 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (2 \times 6) + (3 \times 4) = 12 + 12 = 24 \ kg \cdot m^2/s^3$ है।
चूंकि अदिश गुणनफल धनात्मक है,$\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है,जिसका अर्थ है कि कण की गति बढ़ रही है (स्पर्शरेखीय त्वरण)।
हालाँकि,गति की प्रकृति (एकसमान या असमान) इस बात पर निर्भर करती है कि समय के अंतराल में स्पर्शरेखीय त्वरण शून्य है या नहीं। केवल तात्कालिक मान दिए जाने के कारण,हम गति की दीर्घकालिक प्रकृति के बारे में निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

(D) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अधिकतम ऊंचाई के आधे पर,$h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{4g}$।
गति के समीकरण $v_y^2 = u_y^2 - 2gh$ का उपयोग करके,इस ऊंचाई पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:
$v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2g \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{4g} \right) = u^2 \sin^2 \theta - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2}$।
अतः,$v_y = \frac{u \sin \theta}{\sqrt{2}}$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा दी गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = (mg \hat{j}) \cdot (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = -mg v_y$ (क्योंकि गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर कार्य करता है)।
अतः,$P = -\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$ (ऊपर जाते समय)।
नीचे आते समय,ऊर्ध्वाधर वेग नीचे की ओर होता है,इसलिए $P = +\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$,विकल्प $(c)$ का मान $-\frac{mg u \sin \theta}{\sqrt{2}}$ है,जो ऊपर जाते समय शक्ति को दर्शाता है। इस प्रकार,$(b)$ और $(c)$ दोनों शक्ति के परिमाण या दिशात्मक मामलों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(D) वृत्त की त्रिज्या $r = 10 \ m$ है। एक पूर्ण चक्कर के लिए समय अवधि $T = 4 \ s$ है।
पिंड का कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ है।
समय $t = 3 \ s$ पर,पिंड द्वारा तय किया गया कोण $\theta = \omega t = (\frac{\pi}{2}) \times 3 = \frac{3\pi}{2} \ rad$ है।
यह प्रारंभिक बिंदु से $270^{\circ}$ की स्थिति के अनुरूप है। यदि प्रारंभिक बिंदु $(r, 0)$ है,तो $3 \ s$ के बाद स्थिति $(0, -r)$ होगी।
विस्थापन सदिश प्रारंभिक बिंदु $(r, 0)$ और अंतिम बिंदु $(0, -r)$ के बीच की सीधी रेखा की दूरी है।
विस्थापन $d = \sqrt{(r - 0)^2 + (0 - (-r))^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$.
$r = 10 \ m$ रखने पर,हमें $d = 10\sqrt{2} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) समान प्रारंभिक गति के साथ दो प्रक्षेप्यों की परास समान होने के लिए,उनके प्रक्षेपण कोणों का योग $90^{\circ}$ होना चाहिए।
दिया गया है $\theta_1 = 60^{\circ}$,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अधिकतम ऊंचाइयों का योग $H_1 + H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} + \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 60^{\circ} + \sin^2 30^{\circ})$ है।
मान रखने पर: $H_1 + H_2 = \frac{40^2}{2 \times 10} ((\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2) = \frac{1600}{20} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 80 \times 1 = 80 \ m$।

(B) एक प्रक्षेप्य के लिए,उड़ान का समय $T$ जमीन पर वापस आने में लिया गया कुल समय है। यदि कोई प्रक्षेप्य दो अलग-अलग समय $t_1$ और $t_2$ पर समान ऊंचाई $h$ पर है,तो कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_1 = 3 \, s$ और $t_2 = 5 \, s$,इसलिए कुल उड़ान का समय $T = 3 + 5 = 8 \, s$ है।
उड़ान के समय का सूत्र $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है,$\theta$ प्रक्षेपण का कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $8 = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{10}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $8 = \frac{2 u (0.5)}{10}$.
$8 = \frac{u}{10}$.
अतः,$u = 80 \, m \, s^{-1}$।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 5 \hat{i} \text{ m/s}$,त्वरण $\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ m/s}^2$,और विस्थापन $x = 84 \text{ m}$।
सबसे पहले,$x$-अक्ष के अनुदिश गति पर विचार करें: $u_x = 5 \text{ m/s}$,$a_x = 3 \text{ m/s}^2$,$x = 84 \text{ m}$।
समीकरण $v_x^2 - u_x^2 = 2 a_x x$ का उपयोग करते हुए:
$v_x^2 - 5^2 = 2(3)(84)$
$v_x^2 - 25 = 504$
$v_x^2 = 529 \implies v_x = 23 \text{ m/s}$।
अब,$v_x = u_x + a_x t$ का उपयोग करके समय $t$ ज्ञात करें:
$23 = 5 + 3t \implies 3t = 18 \implies t = 6 \text{ s}$।
अब,$y$-अक्ष के अनुदिश गति पर विचार करें: $u_y = 0$,$a_y = 2 \text{ m/s}^2$,$t = 6 \text{ s}$।
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 2(6) = 12 \text{ m/s}$।
चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दी जाती है:
$v = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \text{ m/s}$।
इसे $\sqrt{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 673$ प्राप्त होता है।

(A) प्रक्षेपण बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L$ का सूत्र $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
उच्चतम बिंदु पर, वेग $v_x = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ है और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ है।
कोणीय संवेग $L = m v_x H = m \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{u^2}{4g} \right) = \frac{m u^3}{4\sqrt{2} g}$ है।
$\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ के रूप में लाने के लिए, अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$L = \frac{m u^3 \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} g} = \frac{\sqrt{2} m u^3}{8g}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{\sqrt{2} m u^3}{Xg}$ से करने पर, हमें $X = 8$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तीय गति में कण की चाल $v = \frac{2 \pi R}{T}$ है।
दिया गया है कि प्रक्षेप्य गति में प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = 4R$ है,हम सूत्र $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ का उपयोग करते हैं।
ऊँचाई के सूत्र में $v = \frac{2 \pi R}{T}$ रखने पर:
$4R = \frac{(\frac{2 \pi R}{T})^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$4R = \frac{4 \pi^2 R^2 \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$1 = \frac{\pi^2 R \sin^2 \theta}{2g T^2}$
$\sin^2 \theta = \frac{2g T^2}{\pi^2 R}$
$\theta = \sin^{-1} \left[ \frac{2g T^2}{\pi^2 R} \right]^{\frac{1}{2}}$.

(D) समय के फलन के रूप में स्थिति निर्देशांक दिए गए हैं:
$x = 2 + 4t$
$y = 3t + 8t^2$
सबसे पहले,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करें:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 4$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3 + 16t$
इसके बाद,वेग के घटकों का अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करें:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 16$
चूंकि त्वरण के घटक अचर हैं ($a_x = 0$ और $a_y = 16$),कण की गति समान रूप से त्वरित है।
पथ निर्धारित करने के लिए,पहले समीकरण से $t$ को $x$ के पदों में लिखें:
$t = \frac{x - 2}{4}$
इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$y = 3\left(\frac{x - 2}{4}\right) + 8\left(\frac{x - 2}{4}\right)^2$
चूंकि यह समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ के रूप में है,यह एक परवलयाकार पथ को दर्शाता है।
अतः,कण की गति परवलयाकार पथ के अनुदिश समान रूप से त्वरित है।

(D) बल $\vec{F}(t)$ रैखिक संवेग $\vec{p}(t)$ के परिवर्तन की दर है।
दिया गया है $\vec{p}(t) = A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}(t) = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} [A \cos(kt) \hat{i} - A \sin(kt) \hat{j}] = -Ak \sin(kt) \hat{i} - Ak \cos(kt) \hat{j}$.
$\vec{F}(t)$ और $\vec{p}(t)$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम उनका अदिश गुणनफल (dot product) निकालते हैं:
$\vec{F}(t) \cdot \vec{p}(t) = (-Ak \sin(kt))(A \cos(kt)) + (-Ak \cos(kt))(-A \sin(kt))$
$= -A^2 k \sin(kt) \cos(kt) + A^2 k \cos(kt) \sin(kt) = 0$.
चूँकि अदिश गुणनफल $\vec{F}(t) \cdot \vec{p}(t) = |\vec{F}(t)| |\vec{p}(t)| \cos \theta = 0$ है और परिमाण शून्य नहीं हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(A) दिया गया वेग $\vec{v} = \alpha y \hat{i} + 2\alpha x \hat{j}$ है।
वेग के घटक $v_x = \alpha y$ और $v_y = 2\alpha x$ हैं।
त्वरण के घटक $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \alpha \frac{dy}{dt} = \alpha v_y = \alpha(2\alpha x) = 2\alpha^2 x$ हैं।
इसी प्रकार,$a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2\alpha \frac{dx}{dt} = 2\alpha v_x = 2\alpha(\alpha y) = 2\alpha^2 y$ है।
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = 2\alpha^2 x \hat{i} + 2\alpha^2 y \hat{j} = 2\alpha^2(x \hat{i} + y \hat{j})$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m\vec{a} = 2m\alpha^2(x \hat{i} + y \hat{j})$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए गेंद $t = 0$ पर फेंकी जाती है। गेंद की ऊर्ध्वाधर गति ट्रेन के त्वरण से स्वतंत्र है।
ऊर्ध्वाधर गति के लिए,जब गेंद प्रारंभिक ऊँचाई पर वापस आती है तो विस्थापन $s_y = 0$ होता है।
$s_y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u_y = 10 \sin 60^{\circ} = 5\sqrt{3} \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^2$:
$0 = 5\sqrt{3} t - 5 t^2 \implies t = \sqrt{3} \ s$।
ट्रेन के फ्रेम में,गेंद का क्षैतिज त्वरण $-a$ है (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में)।
लड़के के सापेक्ष गेंद का क्षैतिज विस्थापन $s_x = u_x t - \frac{1}{2} a t^2$ है,जहाँ $u_x = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \ m/s$।
दिया गया है $s_x = 1.15 \ m$ और $t = \sqrt{3} \ s$:
$1.15 = 5(\sqrt{3}) - \frac{1}{2} a (\sqrt{3})^2$
$1.15 = 8.66 - 1.5 a$
$1.5 a = 7.51$
$a = 5 \ m/s^2$।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = 120 \ m$ है।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, इसलिए $H = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g} = 120 \ m$, जिससे $u^2 = 480g$ प्राप्त होता है।
टकराने से पहले गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ है।
टकराने के बाद, गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}K_i = \frac{1}{4}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2$ है, जहाँ $v$ उछाल के बाद का वेग है।
अतः, $v^2 = \frac{u^2}{2} = \frac{480g}{2} = 240g$ है।
नई अधिकतम ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{v^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g}$ है।
$v^2 = 240g$ और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर, हमें $h = \frac{240g \times (1/2)^2}{2g} = \frac{240g \times (1/4)}{2g} = \frac{60}{2} = 30 \ m$ प्राप्त होता है।

(C) $u$ गति और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए,उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ और क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
पहली उड़ान के लिए औसत वेग $V_1$ विस्थापन बटा समय है: $V_1 = \frac{R}{T} = \frac{u_0^2 \sin 2\theta / g}{2u_0 \sin \theta / g} = u_0 \cos \theta$.
पूरी गति के लिए,कुल विस्थापन $S_{total}$ सभी परासों का योग है: $S_{total} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots = R_1 (1 + \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^4} + \dots) = \frac{R_1}{1 - 1/\alpha^2} = \frac{R_1 \alpha^2}{\alpha^2 - 1}$.
कुल समय $T_{total}$ सभी उड़ान समयों का योग है: $T_{total} = T_1 + T_2 + T_3 + \dots = T_1 (1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \dots) = \frac{T_1}{1 - 1/\alpha} = \frac{T_1 \alpha}{\alpha - 1}$.
पूरी गति के लिए औसत वेग $V_{avg} = \frac{S_{total}}{T_{total}} = \frac{R_1 \alpha^2 / (\alpha^2 - 1)}{T_1 \alpha / (\alpha - 1)} = \frac{R_1}{T_1} \cdot \frac{\alpha^2}{\alpha^2 - 1} \cdot \frac{\alpha - 1}{\alpha} = V_1 \cdot \frac{\alpha}{\alpha + 1}$.
दिया गया है कि $V_{avg} = 0.8 V_1$,इसलिए $\frac{\alpha}{\alpha + 1} = 0.8$.
$\alpha = 0.8 \alpha + 0.8 \implies 0.2 \alpha = 0.8 \implies \alpha = 4$.

(A) मान लीजिए कि दोनों डिस्क का कोणीय वेग $\omega$ है। डिस्क के किनारे पर किसी भी बिंदु का रैखिक वेग $v = R\omega$ है।
समय $t=0$ पर,बिंदु $P$ और $Q$ एक-दूसरे के सामने क्षैतिज स्थिति में हैं।
समय $t$ के बाद,बिंदु $\theta = \omega t$ कोण से घूम जाते हैं।
बिंदु $P$ का वेग सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है,और बिंदु $Q$ का वेग सदिश भी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
वेग के क्षैतिज घटक $v_x(P) = -v \sin \theta$ और $v_x(Q) = v \sin \theta$ हैं।
क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग $v_{rx} = v_x(P) - v_x(Q) = -v \sin \theta - v \sin \theta = -2v \sin \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(P) = -v \cos \theta$ और $v_y(Q) = -v \cos \theta$ हैं।
ऊर्ध्वाधर दिशा में सापेक्ष वेग $v_{ry} = v_y(P) - v_y(Q) = 0$ है।
इस प्रकार,सापेक्ष गति $v_r = |v_{rx}| = |-2v \sin \omega t| = 2v \sin \omega t$ है।
$t=0$ पर,$v_r = 0$ है। जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$v_r$ बढ़ता है,$\omega t = \pi/2$ पर अधिकतम हो जाता है,और $\omega t = \pi$ पर फिर से $0$ हो जाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) $(I)$ दोनों कण $R=1 \ m$ की त्रिज्या के वृत्त में $\omega=1 \ rad/s$ के साथ गति करते हैं। उनके वेग $\vec{v}_A = \omega R(-\sin\theta_A \hat{i} + \cos\theta_A \hat{j})$ और $\vec{v}_B = \omega R(-\sin\theta_B \hat{i} + \cos\theta_B \hat{j})$ हैं। चूंकि $\theta_B = \theta_A + \pi/2$,इसलिए $\vec{v}_B = \omega R(-\cos\theta_A \hat{i} - \sin\theta_A \hat{j})$ होता है। सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ का परिमाण $\sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_A v_B \cos(90^{\circ})} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \ m/s$ प्राप्त होता है। अतः,$I \rightarrow S$.
$(II)$ प्रक्षेप्य गति के लिए,$\vec{v}_A = (v \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (v \sin 45^{\circ} - gt) \hat{j}$ और $\vec{v}_B = (v \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (v \sin 45^{\circ} - g(t-0.1)) \hat{j}$। सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 1 \hat{j}$ प्राप्त होता है। गणना के अनुसार $II \rightarrow T$ प्राप्त होता है।
$(III)$ $v_A = \frac{dx_A}{dt} = \cos t$ और $v_B = \frac{dx_B}{dt} = \cos(t + \pi/2) = -\sin t$। $t = \pi/3$ पर,$v_A = 1/2$ और $v_B = -\sqrt{3}/2$। सापेक्ष वेग $|v_B - v_A| = |-\sqrt{3}/2 - 1/2| = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$। अतः,$III \rightarrow P$.
$(IV)$ $\vec{v}_A = -\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j}$ और $\vec{v}_B = 3 \hat{k}$। सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = -\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 3 \hat{k}$। परिमाण $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$। अतः,$IV \rightarrow R$.