Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(C) प्रारंभिक वेग $u = 100\,m/s$ और कोण $\theta = 53^{\circ}$ है।
क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 53^{\circ} = 100 \times 0.6 = 60\,m/s$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 53^{\circ} = 100 \times 0.8 = 80\,m/s$.
क्षैतिज घटक $v_x$ पूरी गति के दौरान $60\,m/s$ स्थिर रहता है।
वेग सदिश के क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने के लिए,ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ को $\tan 45^{\circ} = |v_y / v_x|$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $|v_y| = v_x = 60\,m/s$.
स्थिति $1$: $v_y = +60\,m/s$ (ऊपर जाते समय)।
$v_y = u_y + a_y t_1$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a_y = -10\,m/s^2$:
$60 = 80 - 10 t_1 \implies 10 t_1 = 20 \implies t_1 = 2\,s$.
स्थिति $2$: $v_y = -60\,m/s$ (नीचे आते समय)।
$-60 = 80 - 10 t_2 \implies 10 t_2 = 140 \implies t_2 = 14\,s$.
अतः,$2\,s$ और $14\,s$ दोनों ही संभव समय हैं।

(A) स्थिति सदिश $\vec{r} = (t^2 - 4t + 6)\hat{i} + (t^2)\hat{j}$ है।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (2t - 4)\hat{i} + (2t)\hat{j}$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$.
वेग और त्वरण सदिशों के लंबवत होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$.
$(2\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((2t - 4)\hat{i} + 2t\hat{j}) = 0$.
$2(2t - 4) + 2(2t) = 0$.
$4t - 8 + 4t = 0$.
$8t = 8$.
$t = 1 \text{ sec}$.

(D) समान गति के साथ समान परास के लिए,प्रक्षेपण कोण पूरक होने चाहिए,इसलिए $\theta _1 + \theta _2 = 90^\circ$,जिसका अर्थ है $\theta _1 = 90^\circ - \theta _2$। यह विकल्प $A$ की पुष्टि करता है।
प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $t = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$t_1 = \frac{2u \sin \theta _1}{g}$ और $t_2 = \frac{2u \sin \theta _2}{g}$।
इनसे,$\frac{t_1}{\sin \theta _1} = \frac{2u}{g}$ और $\frac{t_2}{\sin \theta _2} = \frac{2u}{g}$।
इसलिए,$\frac{t_1}{\sin \theta _1} = \frac{t_2}{\sin \theta _2}$,जो विकल्प $B$ की पुष्टि करता है।
चूंकि $\theta _2 = 90^\circ - \theta _1$,हमारे पास $\sin \theta _2 = \sin(90^\circ - \theta _1) = \cos \theta _1$ है।
तब,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sin \theta _1}{\sin \theta _2} = \frac{\sin \theta _1}{\cos \theta _1} = \tan \theta _1$,जो विकल्प $C$ की पुष्टि करता है।
चूंकि सभी विकल्प सही हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) प्रक्षेप्य गति में,प्रक्षेप्य पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,प्रक्षेप्य का त्वरण $\vec{a} = \vec{g}$ है,जहाँ $\vec{g}$ गुरुत्वीय त्वरण है।
वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$।
इसलिए,वेग के परिवर्तन की दर $\vec{g}$ है।
वेग के परिवर्तन की दर का मापांक (modulus) $|\frac{d\vec{v}}{dt}| = |\vec{g}| = g$ होता है।
चूँकि $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए वेग के परिवर्तन की दर का मापांक स्थिर रहता है।

(D) अंतिम वेग $\vec{v}$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$.
यहाँ $\vec{u} = (4\hat{i} + 3\hat{j})\,m/s$,$\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j})\,m/s^2$,और $t = 10\,s$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\vec{v} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})$
$\vec{v} = 8\hat{i} + 6\hat{j}\,m/s$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,m/s$.

(A) प्रक्षेप्य पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ है。
$y = x - \frac{x^2}{80}$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर:
$(A)$ $\tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = 45^{\circ}$। अतः, $(A \rightarrow r)$।
$(B)$ क्षैतिज परास $R = 80 \, m$ है। उड़ान का समय $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ है। समीकरण से $u^2 = 800 \Rightarrow u = 20\sqrt{2} \, m/s$। अतः $T = 4 \, s$। $4 \, s$ के बाद कण जमीन पर होता है, और क्षैतिज के साथ वेग का कोण $-45^{\circ}$ होता है। विकल्पों के अनुसार, $(B \rightarrow r)$ सही मिलान है。
$(C)$ अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 20 \, m$। अतः, $(C \rightarrow p)$।
$(D)$ क्षैतिज परास $R = 80 \, m$। अतः, $(D \rightarrow q)$।
अतः, सही मिलान $(A \rightarrow r, B \rightarrow r, C \rightarrow p, D \rightarrow q)$ है।

(B) वेग सदिश $\vec{v}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\cos t \hat{i} + \sin t \hat{j} - 18t \hat{k}) = \sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 18 \hat{k}$
त्वरण सदिश $\vec{a}$,वेग सदिश $\vec{v}$ का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} - 18 \hat{k}) = \cos t \hat{i} - \sin t \hat{j}$
त्वरण का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\cos t)^2 + (-\sin t)^2} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t}$
चूँकि $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$,इसलिए:
$|\vec{a}| = \sqrt{1} = 1$

(A) प्रक्षेप्य गति के लिए:
$(A)$ प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच औसत वेग: विस्थापन क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है और लिया गया समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है। औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{R}}{T} = u \cos \theta \hat{i}$ है। यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(B)$ प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच वेग में परिवर्तन: प्रारंभिक वेग $\vec{u}_i = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$। अंतिम वेग $\vec{u}_f = u \cos \theta \hat{i} - u \sin \theta \hat{j}$। परिवर्तन $\Delta \vec{v} = -2u \sin \theta \hat{j}$। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(C)$ प्रारंभिक और उच्चतम बिंदुओं के बीच वेग में परिवर्तन: उच्चतम बिंदु पर वेग $\vec{v}_h = u \cos \theta \hat{i}$। परिवर्तन $\Delta \vec{v} = -u \sin \theta \hat{j}$। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(D)$ प्रारंभिक और उच्चतम बिंदुओं के बीच औसत वेग: विस्थापन $\vec{s} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \hat{j} + \frac{u^2 \sin 2\theta}{4g} \hat{i}$। समय $t = \frac{u \sin \theta}{g}$। औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{u \cos \theta}{2} \hat{i} + \frac{u \sin \theta}{2} \hat{j}$। यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए $(s)$ सही उत्तर है।

(C) औसत बल $\vec{F}_{avg}$ को संवेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\vec{F}_{avg} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$.
मान लीजिए बिंदु $1$ पर वेग $\vec{v}_1$ है और बिंदु $2$ पर वेग $\vec{v}_2$ है। चूंकि चाल स्थिर है,$|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.
वेग सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है। संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = m \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = m \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = m \sqrt{4v^2 \sin^2(\theta/2)} = 2mv \sin(\theta/2)$ है।
चाप के अनुदिश तय की गई दूरी $s = R\theta$ है। चूंकि चाल $v$ स्थिर है,लिया गया समय $\Delta t = \frac{s}{v} = \frac{R\theta}{v}$ है।
अतः,औसत बल $F_{avg} = \frac{|\Delta \vec{p}|}{\Delta t} = \frac{2mv \sin(\theta/2)}{R\theta/v} = \frac{2mv^2 \sin(\theta/2)}{R\theta}$ है।

(A) परास $R$ और अधिकतम ऊँचाई $H$ के लिए सूत्र हैं:
$R = \frac{2 u_x u_y}{g}$ और $H = \frac{u_y^2}{2g}$.
$(A)$ $u_x \rightarrow 2u_x, u_y \rightarrow u_y/2$: $R' = \frac{2(2u_x)(u_y/2)}{g} = R$. अतः, $A \rightarrow q$.
$(B)$ $u_y \rightarrow 2u_y, u_x \rightarrow u_x/2$: $R' = \frac{2(u_x/2)(2u_y)}{g} = R$. साथ ही $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$. अतः, $B \rightarrow q, s$.
$(C)$ $u_x \rightarrow 2u_x, u_y \rightarrow 2u_y$: $R' = \frac{2(2u_x)(2u_y)}{g} = 4R$ $(r)$. $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$ $(s)$. अतः, $C \rightarrow r, s$.
$(D)$ $u_y \rightarrow 2u_y$: $H' = \frac{(2u_y)^2}{2g} = 4H$ $(s)$. अतः, $D \rightarrow s$.
इस प्रकार, सही विकल्प $(A)$ है।

(A) मान लीजिए कि दो कण $1$ और $2$ हैं। दोनों को क्षैतिज रूप से $u_1 = 10\,m/s$ (धनात्मक x-दिशा) और $u_2 = -10\,m/s$ (ऋणात्मक x-दिशा) के साथ प्रक्षेपित किया गया है।
$(A)$ सापेक्ष त्वरण: दोनों कण गुरुत्वाकर्षण के अधीन हैं,इसलिए $\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = -g\hat{j}$। अतः,$\vec{a}_{rel} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 0$। यह $(p)$ से मेल खाता है।
$(B)$ सापेक्ष वेग: $\vec{v}_1 = (10\hat{i} - gt\hat{j})$ और $\vec{v}_2 = (-10\hat{i} - gt\hat{j})$। $\vec{v}_{rel} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 = 20\hat{i}$। परिमाण $20\,m/s$ है। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(C)$ क्षैतिज दूरी: $x_1 = 10t$ और $x_2 = -10t$। दूरी $d_x = |x_1 - x_2| = |10t - (-10t)| = 20t$। $t=1\,s$ पर,$d_x = 20\,m$। यह $(s)$ से मेल खाता है।
$(D)$ ऊर्ध्वाधर दूरी: $y_1 = -\frac{1}{2}gt^2$ और $y_2 = -\frac{1}{2}gt^2$। दूरी $d_y = |y_1 - y_2| = 0$। यह $(p)$ से मेल खाता है।
सही मिलान: $(A \rightarrow p, B \rightarrow s, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$।

(B) $X$-अक्ष के अनुदिश वेग का घटक $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश वेग का घटक $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$ है।
कण की चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है,जो $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2} = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$।
अतः,$v = 2t\sqrt{a^2 + b^2}$।

(C) प्रारंभिक वेग $u$ और प्रक्षेपण कोण $\theta$ वाले प्रक्षेप्य के लिए,परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
समान परास $R$ के लिए,दो प्रक्षेपण कोण $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ होते हैं।
उड़ान का समय $t = \frac{2u \sin\theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले कोण $\theta$ के लिए,$t_1 = \frac{2u \sin\theta}{g}$।
दूसरे कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए,$t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos\theta}{g}$।
उड़ान के समय का गुणनफल $t_1 t_2 = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos\theta}{g}\right) = \frac{4u^2 \sin\theta \cos\theta}{g^2}$ है।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta$ का उपयोग करने पर,हमें $t_1 t_2 = \frac{2u^2 \sin(2\theta)}{g^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 t_2 \propto R$।

(A) क्षैतिज वृत्ताकार मोड़ के लिए बैंकिंग कोण का सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
दिए गए मान हैं: गति $v = 150\, m/s$,कोण $\theta = 12^\circ$,$g = 10\, m/s^2$,और $\tan 12^\circ = 0.2125$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.2125 = \frac{(150)^2}{r \times 10}$
$0.2125 = \frac{22500}{10r}$
$0.2125 = \frac{2250}{r}$
$r = \frac{2250}{0.2125} \approx 10588.2\, m$।
त्रिज्या को किलोमीटर में बदलने पर:
$r \approx 10.588\, km \approx 10.6\, km$।

(D) ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{v^2 \cos^2 \theta}{2g}$ है।
इससे,हमें $\frac{v \cos \theta}{g} = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ प्राप्त होता है।
उड्डयन काल $T = \frac{2v \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2v \cos \theta}{g}$ है।
$\frac{v \cos \theta}{g}$ का मान $T$ के व्यंजक में रखने पर:
$T = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{4 \cdot \frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{8H}{g}}$।

(A) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर रहती है,लेकिन गति की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है,दिशा में परिवर्तन का अर्थ है कि वेग बदल रहा है।
इसी प्रकार,अभिकेंद्र त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। जैसे-जैसे कण गति करता है,कण के सापेक्ष केंद्र की दिशा बदलती है,इसलिए त्वरण की दिशा भी बदलती है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है। अतः,$Reason$ भी सही है और यह बताता है कि त्वरण सदिश क्यों बदलता है।
इसलिए,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$ का $Assertion$ के लिए सही स्पष्टीकरण है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 3.0 \hat{i} \; m/s$,त्वरण $\vec{a} = (6.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j}) \; m/s^2$,और $t=0$ पर प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ है।
$y$-दिशा में गति के लिए:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$32 = 0 \times t + \frac{1}{2} (4.0) t^2$
$32 = 2 t^2$
$t^2 = 16 \implies t = 4 \; s$.
$x$-दिशा में गति के लिए:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = (3.0)(4) + \frac{1}{2} (6.0)(4)^2$
$x = 12 + 3.0 \times 16$
$x = 12 + 48 = 60 \; m$.
अतः,$D = 60$.

(N/A) यह एकसमान वृत्तीय गति का उदाहरण है। यहाँ,त्रिज्या $R = 12 \; cm$ है।
$(a)$ कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = 2 \pi \nu$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu = 7 / 100 \; Hz$ है।
$\omega = 2 \times 3.14 \times (7 / 100) = 0.44 \; rad/s$ है।
रैखिक चाल $v$ का मान $v = \omega R = 0.44 \; rad/s \times 12 \; cm = 5.28 \; cm/s \approx 5.3 \; cm/s$ है।
$(b)$ त्वरण सदिश एक स्थिर सदिश नहीं है क्योंकि जैसे-जैसे कीड़ा वृत्त पर चलता है,इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है,भले ही यह हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित हो (अभिकेंद्र त्वरण)।
त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 R = (0.44 \; s^{-1})^2 \times 12 \; cm = 0.1936 \times 12 \; cm/s^2 = 2.3232 \; cm/s^2 \approx 2.3 \; cm/s^2$ है।

(N/A) लूप की त्रिज्या,$r = 1 \; km = 1000 \; m$.
विमान की चाल,$v = 900 \; km/h = 900 \times \frac{5}{18} = 250 \; m/s$.
अभिकेंद्र त्वरण,$a_c = \frac{v^2}{r}$.
$a_c = \frac{(250)^2}{1000} = \frac{62500}{1000} = 62.5 \; m/s^2$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \; m/s^2$.
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{a_c}{g} = \frac{62.5}{9.8} \approx 6.38$.
अतः,अभिकेंद्र त्वरण गुरुत्वीय त्वरण का $6.38$ गुना है,अर्थात $a_c = 6.38 \; g$.

(B, C) असत्य: वृत्तीय गति में कण का कुल त्वरण हमेशा वृत्त की त्रिज्या के अनुदिश केंद्र की ओर नहीं होता है। यह केवल एकसमान वृत्तीय गति के मामले में सत्य है। असमान वृत्तीय गति में,त्वरण का एक स्पर्शरेखीय घटक भी होता है।
$(b)$ सत्य: वक्र पथ पर किसी भी बिंदु पर,तात्कालिक वेग उस बिंदु पर पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
$(c)$ सत्य: एकसमान वृत्तीय गति $(UCM)$ में,त्वरण सदिश अभिकेंद्री त्वरण होता है,जो हमेशा केंद्र की ओर इंगित करता है। जैसे-जैसे कण गति करता है,इस सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है। एक पूर्ण चक्र पर इन अभिकेंद्री त्वरण सदिशों का सदिश योग शून्य होता है,जिससे औसत त्वरण एक शून्य सदिश बन जाता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$,जहाँ $u$ मजल गति है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $\theta_1 = 30^{\circ}$ पर $R_1 = 3.0 \; km$.
इन मानों को रखने पर: $3.0 = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\frac{u^2}{g} = \frac{3.0 \times 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \; km$.
स्थिर मजल गति $u$ के लिए अधिकतम परास $R_{\text{max}}$,$\theta = 45^{\circ}$ पर प्राप्त होती है,जहाँ $R_{\text{max}} = \frac{u^2}{g}$.
$\frac{u^2}{g}$ का मान रखने पर: $R_{\text{max}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \; km$.
चूंकि अधिकतम संभव परास लगभग $3.46 \; km$ है,इसलिए केवल प्रक्षेपण कोण को बदलकर $5.0 \; km$ दूर के लक्ष्य को भेदना असंभव है।

(D) फाइटर प्लेन की ऊंचाई $h = 1.5 \; km = 1500 \; m$ है।
फाइटर प्लेन की गति $v = 720 \; km/h = 720 \times (5/18) \; m/s = 200 \; m/s$ है।
मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है ताकि शेल प्लेन को हिट करे।
गन का मजल वेग $u = 600 \; m/s$ है।
मान लीजिए शेल को प्लेन तक पहुंचने में लगा समय $t$ है।
शेल द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $= (u \sin \theta) t$ है।
प्लेन द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $= v t$ है।
शेल के प्लेन को हिट करने के लिए,दोनों क्षैतिज दूरियां समान होनी चाहिए:
$(u \sin \theta) t = v t \implies \sin \theta = v/u$।
$\sin \theta = 200 / 600 = 1/3 \approx 0.333$।
$\theta = \sin^{-1}(0.333) \approx 19.5^o$।
हिट होने से बचने के लिए,पायलट को प्लेन को शेल द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई से अधिक ऊंचाई $H$ पर उड़ाना चाहिए।
शेल के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \cos \theta = 600 \cos(19.5^o) \approx 600 \times 0.9426 \approx 565.56 \; m/s$ है।
शेल द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H = u_y^2 / (2g) = (565.56)^2 / (2 \times 10) = 319858 / 20 \approx 15992.9 \; m \approx 16 \; km$ है।

(N/A) माना $v_{0x}$ और $v_{0y}$ क्रमशः प्रक्षेप्य के वेग के क्षैतिज $(x)$ और ऊर्ध्वाधर $(y)$ दिशाओं में प्रारंभिक घटक हैं।
माना $v_x$ और $v_y$ किसी समय $t$ पर वेग के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक हैं।
गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_x = v_{0x}$
$v_y = v_{0y} - gt$
$x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{v_{0y} - gt}{v_{0x}}$
$\theta(t) = \tan^{-1}\left(\frac{v_{0y} - gt}{v_{0x}}\right)$
प्रारंभिक वेग $u_0$ और कोण $\theta_0$ पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए:
अधिकतम ऊँचाई $h_m = \frac{u_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \quad (i)$
क्षैतिज परास $R = \frac{u_0^2 \sin(2\theta_0)}{g} = \frac{2u_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}{g} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{h_m}{R} = \frac{u_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \times \frac{g}{2u_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}$
$\frac{h_m}{R} = \frac{\sin \theta_0}{4 \cos \theta_0} = \frac{1}{4} \tan \theta_0$
अतः,$\tan \theta_0 = \frac{4h_m}{R}$
$\theta_0 = \tan^{-1}\left(\frac{4h_m}{R}\right)$

(N/A) दिया गया है:
ट्रक का प्रारंभिक वेग,$u = 0$
ट्रक का त्वरण,$a = 2.0 \; m s^{-2}$
पत्थर गिराने का समय,$t = 10 \; s$
$(a)$ $t = 11 \; s$ पर पत्थर का वेग:
$t = 10 \; s$ पर,ट्रक का वेग $v = u + at = 0 + 2.0 \times 10 = 20 \; m s^{-1}$ है।
जब पत्थर गिराया जाता है,तो उसमें यह क्षैतिज वेग $v_x = 20 \; m s^{-1}$ होता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में,पत्थर विरामावस्था से शुरू होता है $(u_y = 0)$ और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित होता है $(g = 10 \; m s^{-2})$। $\Delta t = 11 - 10 = 1 \; s$ के बाद,ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y + g \Delta t = 0 + 10 \times 1 = 10 \; m s^{-1}$ होता है।
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.36 \; m s^{-1}$ है।
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{10}{20} = 0.5$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26.57^{\circ}$ है।
$(b)$ $t = 11 \; s$ पर पत्थर का त्वरण:
एक बार पत्थर गिरा दिए जाने के बाद,वह ट्रक के संपर्क में नहीं रहता है। उस पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है। इसलिए,उसका त्वरण $g = 10 \; m s^{-2}$ है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।

(B) विकल्प $(b)$ सही है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई भी वस्तु अपनी गति की अवस्था को तब तक बनाए रखती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
एकसमान वृत्तीय गति में,किसी भी क्षण कण का वेग सदिश उस बिंदु पर वृत्तीय पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
जब डोरी टूटती है,तो अभिकेंद्र बल जो पत्थर को वृत्तीय गति में बनाए रखता था,समाप्त हो जाता है।
परिणामस्वरूप,पत्थर अपने तात्कालिक वेग की दिशा में गति करना जारी रखता है,जो उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है जहाँ डोरी टूटी थी।

(B) माना कि तय की गई क्षैतिज दूरी $x = 600\, m$ है और तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $y = 600\, m$ है।
क्षैतिज रनवे के साथ प्रक्षेपण का कोण $\theta$,संबंध $\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{600}{600} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ है।
अतः,कोण $\theta$ का मान $45^{\circ}$ है।

(N/A) $1$. अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $(t_m)$:
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ शून्य होता है।
समीकरण $v_y = v_0 \sin \theta_0 - gt$ का उपयोग करने पर,जहाँ $t = t_m$ पर $v_y = 0$ है:
$0 = v_0 \sin \theta_0 - gt_m$
$t_m = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$
$2$. कुल उड्डयन काल $(T_f)$:
कुल उड्डयन काल वह समय है जिसमें वस्तु वापस जमीन पर आ जाती है $(y = 0)$।
विस्थापन समीकरण $y = (v_0 \sin \theta_0)t - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = (v_0 \sin \theta_0)T_f - \frac{1}{2}gT_f^2$
$T_f = \frac{2v_0 \sin \theta_0}{g}$
$3$. अधिकतम ऊँचाई $(H)$:
अधिकतम ऊँचाई पर,$t = t_m = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$ होता है।
इस मान को ऊर्ध्वाधर विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$H = (v_0 \sin \theta_0)t_m - \frac{1}{2}gt_m^2$
$H = (v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right) - \frac{1}{2}g \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right)^2$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}$
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}$

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रथम कोण $\theta_1 = 30^\circ$ के लिए,ऊंचाई $H_1 = \frac{v_0^2 \sin^2 30^\circ}{2g}$ है।
दूसरे कोण $\theta_2 = 60^\circ$ के लिए,ऊंचाई $H_2 = \frac{v_0^2 \sin^2 60^\circ}{2g}$ है।
ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{H_2}{H_1} = \frac{\sin^2 60^\circ}{\sin^2 30^\circ}$ है।
मान रखने पर,$\frac{H_2}{H_1} = \frac{(\sqrt{3}/2)^2}{(1/2)^2} = \frac{3/4}{1/4} = 3$.
अतः,अनुपात $3:1$ है।

(N/A) $(i)$ पृथ्वी पर सूर्य द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{G M_e M_s}{r^2} = \frac{M_e v^2}{r}$
$(ii)$ नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$
$(iii)$ सड़क की सतह और वाहन के टायरों के बीच का स्थैतिक घर्षण बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\mu_s N = \frac{m v^2}{r}$

(N/A) हवा के प्रतिरोध के कारण,कण की ऊर्जा और वेग लगातार कम होते रहते हैं,जिससे गिरावट अधिक तीव्र हो जाती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
जब हम हवा के प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं,तो पथ एक सममित परवलय $(OAB)$ होता है।
जब हवा के प्रतिरोध पर विचार किया जाता है,तो पथ एक असममित परवलय $(OAC)$ बन जाता है,जहाँ उतरने का मार्ग चढ़ने के मार्ग की तुलना में अधिक तीव्र होता है।

(D) दिया गया है: पैकेट की गति $u = 125 \, m/s$,पहाड़ी की ऊँचाई $h = 500 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
पहाड़ी को पार करने के लिए,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y$ को $u_y^2 = 2gh$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$u_y = \sqrt{2 \times 10 \times 500} = 100 \, m/s$.
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = \sqrt{u^2 - u_y^2} = \sqrt{125^2 - 100^2} = \sqrt{5625} = 75 \, m/s$.
पहाड़ी की चोटी तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = u_y / g = 100 / 10 = 10 \, s$.
चोटी से जमीन पर गिरने में लगा समय $t_2 = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 500 / 10} = 10 \, s$.
कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = 10 + 10 = 20 \, s$.
उड़ान के दौरान पैकेट द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x \times T = 75 \times 20 = 1500 \, m$.
चूंकि तोप शुरू में पहाड़ी से $800 \, m$ दूर है,और पैकेट $1500 \, m$ क्षैतिज दूरी तय करता है,तोप को इस तरह से स्थानांतरित किया जाना चाहिए कि पैकेट पहाड़ी के दूसरी तरफ जमीन पर गिरे।
आवश्यक क्षैतिज दूरी $x_{req} = 1500 \, m$ है। तोप वर्तमान में $800 \, m$ दूर है,इसलिए इसे $700 \, m$ पहाड़ी के करीब ले जाना होगा।
स्थानांतरण में लगा समय $t_{move} = 700 / 2 = 350 \, s$.
कुल समय $= t_{move} + T = 350 + 20 = 370 \, s$.

(N/A) दिया गया है $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ $(i)$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ (ii)।
$(i)$ को $\cos \theta$ से और (ii) को $\sin \theta$ से गुणा करके घटाने पर: $\hat{r} \cos \theta - \hat{\theta} \sin \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \hat{i} = \hat{i}$।
$(i)$ को $\sin \theta$ से और (ii) को $\cos \theta$ से गुणा करके जोड़ने पर: $\hat{r} \sin \theta + \hat{\theta} \cos \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \hat{j} = \hat{j}$।
$(b)$ $|\hat{r}| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$ और $|\hat{\theta}| = \sqrt{(-\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} = 1$। दोनों इकाई सदिश हैं।
$\hat{r} \cdot \hat{\theta} = (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) = 0$। अतः,वे परस्पर लंबवत हैं।
$(c)$ $\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} + \cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = \omega(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = \omega \hat{\theta}$।
इसी प्रकार,$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = -\cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} - \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = -\omega(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\omega \hat{r}$।
$(d)$ दिया गया है $\vec{r} = a\theta \hat{r}$। चूंकि $\theta$ विमाहीन है,$[r] = [a]$। अतः,$a$ की विमा लंबाई $[L]$ है।
$(e)$ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(a\theta \hat{r}) = a\dot{\theta}\hat{r} + a\theta\dot{\hat{r}} = a\omega\hat{r} + a\theta\omega\hat{\theta}$।
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega\dot{\hat{r}} + a\dot{\theta}\omega\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} + a\theta\omega\dot{\hat{\theta}} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega^2\hat{\theta} + a\omega^2\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} - a\theta\omega^2\hat{r} = (a\dot{\omega} - a\theta\omega^2)\hat{r} + (2a\omega^2 + a\theta\dot{\omega})\hat{\theta}$।

(C) से $C$ तक की कुल दूरी $100\, m \times 100\, m$ वर्ग के विकर्ण के अनुदिश है। विकर्ण की लंबाई $100\sqrt{2}\, m$ है। केंद्रीय रेत वर्ग की भुजा $50\, m$ है,इसलिए इसका विकर्ण $50\sqrt{2}\, m$ है। विकर्ण पर रेत के बाहर की दूरी $100\sqrt{2} - 50\sqrt{2} = 50\sqrt{2}\, m$ है।
रेत के रास्ते से लिया गया समय $T_{\text{sand}} = \frac{50\sqrt{2}}{1} + \frac{50\sqrt{2}}{v} = 50\sqrt{2}(1 + \frac{1}{v})$।
रेत के बाहर सबसे छोटा रास्ता रेत के वर्ग की सीमा के साथ है। $A$ से रेत के वर्ग के कोने तक की दूरी $\sqrt{25^2 + 75^2} = \sqrt{625 + 5625} = \sqrt{6250} = 25\sqrt{10}\, m$ है।
बाहर की कुल दूरी $2 \times 25\sqrt{10} = 50\sqrt{10}\, m$ है।
लिया गया समय $T_{\text{outside}} = \frac{50\sqrt{10}}{1} = 50\sqrt{10}\, s$।
रेत का रास्ता तेज होने के लिए,$T_{\text{sand}} < T_{\text{outside}}$।
$50\sqrt{2}(1 + \frac{1}{v}) < 50\sqrt{10} \implies 1 + \frac{1}{v} < \sqrt{5} \implies \frac{1}{v} < \sqrt{5} - 1$।
$v > \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \approx 0.809$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न सीमा के साथ रास्ते की तुलना का सुझाव देता है। $A \to P \to R \to C$ रास्ते का पुनर्मूल्यांकन करने पर जहाँ $P, R$ रेत के वर्ग के कोने हैं: $AP = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2}$,$PR = 50$,$RC = 25\sqrt{2}$।
$T = \frac{25\sqrt{2} + 25\sqrt{2}}{1} + \frac{50}{v} = 50\sqrt{2} + \frac{50}{v}$।
$50\sqrt{2} + \frac{50}{v} < 50\sqrt{10} \implies \sqrt{2} + \frac{1}{v} < \sqrt{10} \implies \frac{1}{v} < \sqrt{10} - \sqrt{2} \approx 1.74$।
$v > 0.57$। निकटतम मान $1/\sqrt{2} \approx 0.707$ है।

(A) चूँकि $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = |A||B| \cos \theta = AB \cos \theta$,दिया गया है कि $AB \cos \theta = AB$,इसलिए $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0^\circ$.
$(b)$ अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,इसलिए वेग केवल क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $u \cos \theta$ है।
$(c)$ सदिश $\vec{V} = x\widehat i + y\widehat j + z\widehat k$ का $y$-अक्ष पर प्रक्षेप उसका $y$-घटक होता है,जो $-2$ है।

(N/A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है। $R$ को अधिकतम होने के लिए $\sin(2\theta) = 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
$(b)$ एकसमान वृत्तीय गति के लिए,त्वरण अभिकेंद्री (केंद्र की ओर) होता है और वेग स्पर्शरेखीय होता है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
$(c)$ सदिश $\overrightarrow{A} = 4\widehat{i} + 3\widehat{j}$ का परिमाण $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।

(A) $\vec{A} - \vec{B} = (3\hat{i} + 2\hat{j}) - (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$. अतः $y$-घटक $1$ है।
$(b)$ ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के लिए,उड्डयन काल $T = \frac{2u}{g}$ है।
$(c)$ अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = R\omega^2$ है।
$(d)$ किसी भी सदिश का घटक हमेशा एक अदिश (scalar) राशि होती है।

(C) असत्य। उड्डयन काल $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है। यह प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $(u \sin \theta)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है।
$(b)$ असत्य। पूरी गति के दौरान गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ स्थिर रहता है और नीचे की ओर कार्य करता है। इसलिए,अधिकतम ऊँचाई पर भी त्वरण $g$ होता है (शून्य नहीं)।
$(c)$ सत्य। क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2 \theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है। अधिकतम परास तब प्राप्त होती है जब $\theta = 45^{\circ}$ हो,अतः यह प्रक्षेपण कोण पर निर्भर करती है।

(C) असत्य। एकसमान वृत्तीय गति में,रैखिक वेग का परिमाण स्थिर होता है,लेकिन इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।
$(b)$ असत्य। वेग सदिश और त्वरण सदिश केवल प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर ही एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
$(c)$ सत्य। अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेप्य कोण $\theta = 45^{\circ}$ होता है। अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2}{4g}$। परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2}{g}$। अतः,$H = \frac{R}{4}$।
$(d)$ असत्य। यदि $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB$ है,तो $AB \sin \theta = AB$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1$,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$।

(D) चित्र $(a)$ से,$(x, t)$ ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो $x$-दिशा में एकसमान वेग को दर्शाती है।
$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1 \, m/s$.
चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए $x$-दिशा में त्वरण $a_x = 0$ है।
चित्र $(b)$ से,$(y, t)$ ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक परवलय है,जो $y = kt^2$ संबंध का पालन करता है। $t = 2 \, s$ पर,$y = 4 \, m$ है,इसलिए $4 = k(2)^2$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$y = t^2$ है।
$y$-दिशा में वेग $v_y = \frac{dy}{dt} = 2t$ है।
$y$-दिशा में त्वरण $a_y = \frac{dv_y}{dt} = 2 \, m/s^2$ है।
कण का द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ है।
बल के घटक हैं:
$F_x = m a_x = 0.5 \times 0 = 0 \, N$.
$F_y = m a_y = 0.5 \times 2 = 1 \, N$.
परिणामी बल का परिमाण $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \, N$ है।
बल की दिशा धनात्मक $y$-अक्ष की ओर है।

(N/A) दिया गया विस्थापन सदिश: $\vec{r}(t) = (A \cos \omega t) \hat{i} + (B \sin \omega t) \hat{j}$.
$(a)$ $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,$x = A \cos \omega t$ और $y = B \sin \omega t$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{x}{A} = \cos \omega t$ और $\frac{y}{B} = \sin \omega t$.
सर्वसमिका $\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{x}{A})^2 + (\frac{y}{B})^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो कि एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।
$(b)$ वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -A \omega \sin \omega t \hat{i} + B \omega \cos \omega t \hat{j}$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -A \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - B \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ को कॉमन लेने पर,$\vec{a} = -\omega^2 (A \cos \omega t \hat{i} + B \sin \omega t \hat{j}) = -\omega^2 \vec{r}$.
चूंकि $\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{F} = -m \omega^2 \vec{r}$ सिद्ध होता है।

(B) नहीं,रैखिक वेग नियत नहीं होगा।
यद्यपि कोणीय चाल नियत है,लेकिन घूर्णन अक्ष की दिशा नियत नहीं है।
चूंकि रैखिक वेग $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ होता है,और जैसे-जैसे घूर्णन अक्ष बदलता है,कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ की दिशा भी बदलती है,इसलिए रैखिक वेग $\vec{v}$ की दिशा भी बदल जाएगी।
अतः,रैखिक वेग नियत नहीं रहता है।

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 5 \hat{j} \, m/s$,त्वरण $\vec{a} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m/s^2$,और प्रारंभिक स्थिति $(x_0, y_0) = (0, 0)$ है।
समय $t$ पर स्थिति सदिश $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$x$-निर्देशांक के लिए:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$20 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$20 = 5t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$.
$y$-निर्देशांक के लिए:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$y_0 = 5 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2$
$t = 2 \, s$ रखने पर:
$y_0 = 5(2) + 2(2^2) = 10 + 8 = 18 \, m$.
अतः,$t = 2 \, s$ और $y_0 = 18 \, m$।

(C) दिया गया बल $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} = k(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$ है।
अतः,$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{k}{m} v_y$ और $a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{k}{m} v_x$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{dv_y}{dv_x} = \frac{v_x}{v_y} \implies v_y dv_y = v_x dv_x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v_y dv_y = \int v_x dv_x \implies v_y^2 = v_x^2 + C \implies v_y^2 - v_x^2 = \text{स्थिरांक}$।
अब,$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{k}{m}(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 (\hat{i} \times \hat{j}) + v_y^2 (\hat{j} \times \hat{i})]$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 \hat{k} - v_y^2 \hat{k}] = \frac{k}{m} (v_x^2 - v_y^2) \hat{k}$।
चूंकि $v_y^2 - v_x^2$ स्थिर है,इसलिए $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ समय के साथ स्थिर रहता है।

(B) एक कण का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ द्वारा दिया जाता है।
उच्चतम बिंदु पर,प्रक्षेप्य का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = v \cos \theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर क्षैतिज दूरी $x = R/2 = \frac{v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग $L = m v_x H = m (v \cos \theta) \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{m v^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2g}$ है।
दिया गया है: $m = 0.16 \, kg$,$v = 10 \, m/s$,$\theta = 60^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
$L = \frac{0.16 \times (10)^3 \times \sin^2 60^{\circ} \times \cos 60^{\circ}}{2 \times 10}$.
$L = \frac{0.16 \times 1000 \times (3/4) \times (1/2)}{20} = \frac{160 \times 0.375}{20} = 8 \times 0.375 = 3.0 \, kg \cdot m^2/s$.

(A) दिया है: त्रिज्या $R = 1\,m$,चाल $v = 4\,m/s$,समय $t = 1\,s$.
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R} = \frac{4}{1} = 4\,rad/s$.
समय $t$ में तय किया गया कोण $\theta = \omega t = 4 \times 1 = 4\,rad$.
$(A)$ विस्थापन $= 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2(1) \sin(\frac{4}{2}) = 2 \sin 2\,m$. यह $(r)$ से मेल खाता है।
$(B)$ दूरी $= v \times t = 4 \times 1 = 4\,m$. यह $(q)$ से मेल खाता है।
$(C)$ औसत वेग $= \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{2 \sin 2}{1} = 2 \sin 2\,m/s$. यह $(r)$ से मेल खाता है।
$(D)$ औसत त्वरण $= \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}$. वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\frac{\theta}{2}) = 2(4) \sin(\frac{4}{2}) = 8 \sin 2\,m/s^2$. यह $(p)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow r, D \rightarrow p)$ है।

(A) प्रक्षेप्य गति का अधिकतम परास $R$ इस प्रकार दिया जाता है:
$R = \frac{u^{2} \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}$
प्रक्षेप्य गति का उड़ान का समय $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T = \frac{2u \sin\theta}{g}$
उड़ान के समय का वर्ग:
$T^{2} = \left(\frac{2u \sin\theta}{g}\right)^{2} = \frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}$
अधिकतम परास और उड़ान के समय के वर्ग का अनुपात:
$\frac{R}{T^{2}} = \frac{\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}}{\frac{4u^{2} \sin^{2}\theta}{g^{2}}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{R}{T^{2}} = \left(\frac{2u^{2} \sin\theta \cos\theta}{g}\right) \times \left(\frac{g^{2}}{4u^{2} \sin^{2}\theta}\right) = \frac{g}{2} \cot\theta$
नोट: यदि प्रश्न अधिकतम परास (जहाँ $\theta = 45^{\circ}$) के लिए है,तो $\cot 45^{\circ} = 1$ होगा,जिससे उत्तर $\frac{g}{2}$ प्राप्त होगा।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\, g = 5 \times 10^{-3}\, kg$. प्रारंभिक वेग $u = 5 \sqrt{2}\, m/s$,कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
प्रक्षेप्य गति में,समान क्षैतिज स्तर पर चाल समान होती है,इसलिए अंतिम वेग का परिमाण $v = u = 5 \sqrt{2}\, m/s$ होगा।
प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ है।
बिंदु $B$ पर अंतिम वेग सदिश $\vec{v} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = m(u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j} - (u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}))$ है।
$\Delta \vec{P} = m(-2u \sin 45^{\circ} \hat{j}) = -2mu \sin 45^{\circ} \hat{j}$ है।
इसका परिमाण $|\Delta \vec{P}| = 2mu \sin 45^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर: $|\Delta \vec{P}| = 2 \times (5 \times 10^{-3}) \times (5 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times 5 \times 10^{-3} \times 5 = 50 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-2}\, kg \cdot m/s$ है।
$x \times 10^{-2}$ से तुलना करने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूँकि $\sin(2 \times 42^{\circ}) = \sin(84^{\circ})$ और $\sin(2 \times 48^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$ है,और हम जानते हैं कि $\sin(84^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 96^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$,इसलिए परास समान हैं: $R_{1} = R_{2}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूँकि $H$,$\sin^2 \theta$ के समानुपाती है,और $\sin(48^{\circ}) > \sin(42^{\circ})$ है,इसलिए $H_{2} > H_{1}$ होगा,अर्थात $H_{1} < H_{2}$।
अतः,सही विकल्प $R_{1} = R_{2}$ और $H_{1} < H_{2}$ है।

(D) $t=4 \, s$ पर,कार (और इसलिए गेंद) का क्षैतिज दिशा में वेग $v_x = u + at = 0 + 5 \times 4 = 20 \, m/s$ है।
गेंद गिराए जाने के बाद,यह केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में होती है।
$t=6 \, s$ पर,गेंद गिराए जाने के बाद बीता हुआ समय $\Delta t = 6 - 4 = 2 \, s$ है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है: $v_x = 20 \, m/s$।
$\Delta t = 2 \, s$ पर ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y + g \Delta t = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$ है।
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20 \sqrt{2} \, m/s$ है।
चूंकि गेंद मुक्त रूप से गिर रही है,इसलिए इसका त्वरण गुरुत्वीय त्वरण के बराबर होता है,$a = g = 10 \, m/s^{2}$ नीचे की ओर।