Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(A) माना प्रक्षेपण वेग $v$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
दिया गया है कि परास $R$,अधिकतम ऊँचाई $H$ की दोगुनी है,अर्थात $R = 2H$।
हम जानते हैं कि परास और अधिकतम ऊँचाई के सूत्र इस प्रकार हैं:
$R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
$H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$
इन मानों को दी गई शर्त $R = 2H$ में रखने पर:
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$।
त्रिभुज से जहाँ $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{2}{1}$,कर्ण $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अब,परास $R$ की गणना करने पर:
$R = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{2v^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4v^2}{5g}$।

(D) मान लीजिए कि प्रक्षेप्य को टॉवर के आधार से $200 \ m$ की दूरी पर स्थित एक बिंदु $O$ से फायर किया जाता है। टॉवर की ऊँचाई $h = 100 \ m$ है और यह प्रक्षेपण बिंदु से $x = 200 \ m$ की क्षैतिज दूरी पर स्थित है। प्रक्षेप्य टॉवर के ऊपर से गुजरता है,जिसका अर्थ है कि $x = 200 \ m$ पर,ऊँचाई $y = 100 \ m$ है।
प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
जहाँ $R$ क्षैतिज परास (range) है।
चूंकि प्रक्षेप्य $x = 200 \ m$ पर टॉवर के ऊपर से गुजरता है और टॉवर से $200 \ m$ आगे जमीन पर गिरता है,इसलिए कुल परास $R = 200 \ m + 200 \ m = 400 \ m$ है।
प्रक्षेप पथ के समीकरण में मान रखने पर:
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - \frac{200}{400}\right)$
$100 = 200 \tan \theta \left(1 - 0.5\right)$
$100 = 200 \tan \theta \times 0.5$
$100 = 100 \tan \theta$
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$

(C) दिया गया है, प्रक्षेपण कोण, $\theta = 60^{\circ}$ और प्रारंभिक वेग, $u = 140 \,ms^{-1}$।
वेग को दो घटकों में विभाजित किया गया है: क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 60^{\circ} = 140 \times 0.5 = 70 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 60^{\circ} = 140 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 70\sqrt{3} \,ms^{-1}$।
मान लीजिए $t$ समय के बाद, वेग सदिश क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। $t$ समय पर, क्षैतिज घटक $v_x = u_x = 70 \,ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u_y - gt = 70\sqrt{3} - 10t$ है।
चूंकि कोण $45^{\circ}$ है, $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$, जिसका अर्थ है $v_y = v_x$।
मान रखने पर: $70\sqrt{3} - 10t = 70$।
$10t = 70\sqrt{3} - 70$।
$t = 7(\sqrt{3} - 1) = 7(1.732 - 1) = 7(0.732) = 5.124 \,s$।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है। वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
किसी भी समय $t$ पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ होता है।
समय $t$ पर क्षैतिज के साथ कोण $\alpha$ को $\tan \alpha = \frac{v_y}{u_x} = \frac{u \sin \theta - gt}{u \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$t_1 = 4 \ s$ पर,$\alpha = 30^{\circ}$:
$\tan 30^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(4)}{u \cos \theta} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 40}{u \cos \theta} \implies u \cos \theta = \sqrt{3}(u \sin \theta - 40) \quad (1)$
$t_2 = 4 + 2 = 6 \ s$ पर,पत्थर क्षैतिज रूप से चल रहा है,इसलिए $\alpha = 0^{\circ}$:
$\tan 0^{\circ} = \frac{u \sin \theta - 10(6)}{u \cos \theta} = 0 \implies u \sin \theta = 60 \ ms^{-1} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$u \cos \theta = \sqrt{3}(60 - 40) = 20 \sqrt{3} \ ms^{-1} \quad (3)$
प्रारंभिक वेग $u$ का परिमाण $\sqrt{(u \sin \theta)^2 + (u \cos \theta)^2} = \sqrt{(60)^2 + (20 \sqrt{3})^2} = \sqrt{3600 + 1200} = \sqrt{4800} = 40 \sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।

(D) दिया गया है कि, पहले कूद में कार द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_1 = 80 \,m$ है।
दूसरे कूद में कार द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_2 = 45 \,m$ है।
माना कार का प्रारंभिक वेग $u$ है और झुकाव कोण क्रमशः $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहले मामले के लिए: $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_1}{2g} = 80 \,m$ ... $(i)$
दूसरे मामले के लिए: $H_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2}{2g} = 45 \,m$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2} = \frac{80}{45} = \frac{16}{9}$.
वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$.
चूंकि कार दूसरे किनारे पर उसी बिंदु पर पहुँचती है, इसलिए दोनों कूद के लिए क्षैतिज परास $R$ समान है।
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
चूंकि $R_1 = R_2$, इसलिए $\sin \theta_1 \cos \theta_1 = \sin \theta_2 \cos \theta_2$, जिसका अर्थ है $\sin 2\theta_1 = \sin 2\theta_2$। यह तब होता है यदि $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$, अर्थात $\cos \theta_1 = \sin \theta_2$।
$\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{4}{3}$ से, हमें $\frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $\sin \theta_1 = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta_1 = \frac{3}{5}$।
$(i)$ से, $\frac{u^2}{2g} (\frac{4}{5})^2 = 80 \Rightarrow \frac{u^2}{g} = 80 \times 2 \times \frac{25}{16} = 250$.
परास $d = \frac{u^2 \sin 2\theta_1}{g} = \frac{u^2}{g} (2 \sin \theta_1 \cos \theta_1) = 250 \times 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = 240 \,m$.

(C) चरण $1$. दी गई जानकारी:
प्रारंभिक वेग,$u = 10 \ m/s$
प्रक्षेप कोण,$\theta = 60^{\circ}$
समय,$t = 1 \ s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m/s^2$
चरण $2$. $t = 1 \ s$ पर वेग के घटक:
क्षैतिज घटक: $v_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s$
ऊर्ध्वाधर घटक: $v_y = u \sin 60^{\circ} - gt = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 10(1) = 5\sqrt{3} - 10 \approx 8.66 - 10 = -1.34 \ m/s$
चरण $3$. वक्रता त्रिज्या का सूत्र:
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{v^3}{a_{\perp}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ चाल है और $a_{\perp}$ वेग के लंबवत त्वरण का घटक है।
$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 5^2 + (5\sqrt{3} - 10)^2 = 25 + (75 + 100 - 100\sqrt{3}) = 200 - 100\sqrt{3} \approx 26.8 \ (m/s)^2$
$a_{\perp} = g \cos \alpha$,जहाँ $\alpha$ वह कोण है जो वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है।
$\cos \alpha = \frac{v_x}{v} = \frac{5}{\sqrt{26.8}} \approx 0.966$
$a_{\perp} = 10 \times 0.966 = 9.66 \ m/s^2$
$R = \frac{v^2}{a_{\perp}} = \frac{26.8}{9.66} \approx 2.77 \ m \approx 2.8 \ m$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) प्रक्षेप्य की न्यूनतम गतिज ऊर्जा उसके उच्चतम बिंदु पर होती है,जहाँ वेग $v_x = u \cos \theta$ होता है। अतः,$K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$.
दिया है $\frac{K_{min,1}}{K_{min,2}} = \frac{u_1^2 \cos^2 \theta_1}{u_2^2 \cos^2 \theta_2} = 4:1$.
अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है। दिया है $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 \sin^2 \theta_1}{u_2^2 \sin^2 \theta_2} = 4:1$.
ऊंचाई के अनुपात को गतिज ऊर्जा के अनुपात से विभाजित करने पर: $\frac{H_1/H_2}{K_{min,1}/K_{min,2}} = \frac{\tan^2 \theta_1}{\tan^2 \theta_2} = \frac{4}{4} = 1$,इसलिए $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$,जिसका अर्थ है कि $\theta_1 = \theta_2$.
चूंकि $\theta_1 = \theta_2$,प्रारंभिक वेगों का अनुपात $\frac{u_1^2}{u_2^2} = 4$ है,इसलिए $\frac{u_1}{u_2} = 2$.
परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है। परास का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{u_1^2}{u_2^2} = 4:1$ होगा।

(D) पिंडों के टकराने के लिए,समान समय $t$ पर उनके $x$ और $y$ निर्देशांक समान होने चाहिए।
माना पहला पिंड $A$ है और दूसरा $B$ है।
पिंड $A$ के लिए: $x_A = (10 \cos 30^\circ)t = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot t = 5\sqrt{3}t$ और $y_A = (10 \sin 30^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = 5t - 5t^2$ ($g = 10 \ ms^{-2}$ लेते हुए)।
पिंड $B$ के लिए: $x_B = (\sqrt{3}-1) + (v \cos 45^\circ)t = (\sqrt{3}-1) + \frac{v}{\sqrt{2}}t$ और $y_B = (v \sin 45^\circ)t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2$।
$y_A = y_B$ को बराबर करने पर: $5t - 5t^2 = \frac{v}{\sqrt{2}}t - 5t^2 \implies 5 = \frac{v}{\sqrt{2}} \implies v = 5\sqrt{2} \ ms^{-1}$।
$x_A = x_B$ को बराबर करने पर: $5\sqrt{3}t = (\sqrt{3}-1) + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}t \implies 5\sqrt{3}t = \sqrt{3}-1 + 5t$।
$t(5\sqrt{3}-5) = \sqrt{3}-1 \implies t(5(\sqrt{3}-1)) = \sqrt{3}-1$।
$t = \frac{\sqrt{3}-1}{5(\sqrt{3}-1)} = \frac{1}{5} = 0.2 \ s$।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
पहले पत्थर के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
दूसरे पत्थर के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
दिया गया है कि $H_2 = H_1 + 10$,इसलिए $\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 10$.
$u = 20 \ ms^{-1}$ और $g = 10 \ ms^{-2}$ का मान रखने पर:
$\frac{400}{20} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 10$.
$20 (\cos 2\theta) = 10$.
$\cos 2\theta = 0.5$.
$2\theta = 60^{\circ}$,अतः $\theta = 30^{\circ}$.

(A) मान लीजिए कि गेंद को $V_0$ गति से क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है। गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $V_x = V_0 \cos \theta$ है।
व्यक्ति गेंद को पकड़ने के लिए उसी क्षैतिज दिशा में $V_p = 0.5 V_0$ की निरंतर गति से दौड़ता है।
व्यक्ति द्वारा गेंद को पकड़ने के लिए,व्यक्ति द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी उड़ान के समय $T$ पर गेंद की क्षैतिज परास (Range) के बराबर होनी चाहिए।
गेंद की क्षैतिज परास $R = (V_0 \cos \theta) T$ है,जहाँ $T = \frac{2 V_0 \sin \theta}{g}$ है।
समय $T$ में व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी $d = V_p T = (0.5 V_0) T$ है।
व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी को गेंद की क्षैतिज परास के बराबर रखने पर: $0.5 V_0 T = V_0 \cos \theta T$।
दोनों पक्षों को $V_0 T$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $T \neq 0$),हमें प्राप्त होता है: $0.5 = \cos \theta$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$।

$(A)$ प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_i = 4 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ है।
अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_f = 4 \sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ है।
विस्थापन $\vec{s}$ समय के साथ वेग का समाकलन है। एकसमान त्वरण मानते हुए, $\vec{s} = \vec{v}_{avg} \times t = \frac{\vec{v}_i + \vec{v}_f}{2} \times t$ होता है।
$\vec{v}_{avg} = \frac{(4 \hat{i}) + (4 \hat{i} + 4 \hat{j})}{2} = \frac{8 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ प्राप्त होता है।
औसत वेग का परिमाण $|\vec{v}_{avg}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \,m \,s^{-1}$ है।

(C) दिया गया है: अभिकेंद्र त्वरण $a_c = 18 \,m/s^2$, त्रिज्या $r = 50 \,cm = 0.5 \,m$, समय $t = \frac{\pi}{18} \,s$।
एकसमान वृत्तीय गति में, $a_c = \frac{v^2}{r}$, इसलिए $v = \sqrt{a_c \cdot r} = \sqrt{18 \times 0.5} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$।
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3}{0.5} = 6 \,rad/s$ है।
समय $t$ में कोणीय विस्थापन $\theta = \omega t = 6 \times \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3} \,rad$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $\Delta v = 2v \sin(\frac{\theta}{2})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $\Delta v = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi/3}{2}) = 6 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 6 \times 0.5 = 3 \,m/s$।

(B) गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है। अतः,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ है।
चूँकि $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ है।
अतः,$a_t = (s\sqrt{\frac{2a}{m}})(\sqrt{\frac{2a}{m}}) = \frac{2as}{m}$।
स्पर्शरेखीय बल $F_t = ma_t = 2as$ है।
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m(2as^2/m)}{R} = \frac{2as^2}{R}$ है।
कुल बल $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + (\frac{2as^2}{R})^2}$ है।
$2as$ को कॉमन लेने पर,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ प्राप्त होता है।

(B) कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{1}{2} m v^2$ होता है।
चूंकि कण अचर चाल $v$ से गति कर रहा है,इसलिए गति के दौरान उसके वेग का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
द्रव्यमान $m$ और चाल $v$ के अचर होने के कारण,वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K$ स्थिर रहती है।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta K)$ को अंतिम गतिज ऊर्जा $(K_f)$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $(K_i)$ के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि $K_f = K_i = \frac{1}{2} m v^2$,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि दो कणों के स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}$ और $\vec{r}_2 = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ हैं।
कणों के $t = 10 \ s$ पर टकराने के लिए,उस क्षण पर उनकी स्थिति समान होनी चाहिए: $\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(4\hat{i} + 4\hat{j} + 57\hat{k}) + (0.4\hat{i})(10) = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \vec{v}_2(10)$.
प्रश्न में दिए गए समाधान के तर्क के अनुसार,यदि हम पहले सदिश को $4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ मानते हैं:
$10\vec{v}_2 = (4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k} + 4\hat{i}) - (2\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}) = 6\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{v}_2 = 0.6(\hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}) \ ms^{-1}$.

(B) कण $v$ की एकसमान चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करता है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = v \hat{i}$ है।
व्यासाग्र बिंदु पर,वेग $\vec{v}_f = -v \hat{i}$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = M(-v \hat{i}) - M(v \hat{i}) = -2 M v \hat{i}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2 M v$ है।
चूंकि चाल $v$ एकसमान है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M v^2$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहती है।
अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $0$ है।

(B) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 3 \hat{i} \text{ m s}^{-1}$ और त्वरण $\vec{a} = -1 \hat{i} - 0.5 \hat{j} \text{ m s}^{-2}$ है।
गति के समीकरण $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ का उपयोग करते हुए,समय $t$ पर वेग:
$\vec{v}(t) = (3 - t) \hat{i} - 0.5t \hat{j}$.
अधिकतम $x$-निर्देशांक के लिए,वेग का $x$-घटक शून्य होना चाहिए:
$v_x = 3 - t = 0 \implies t = 3 \text{ s}$.
अब,स्थिति समीकरण $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{r}(3) = (3 \hat{i})(3) + \frac{1}{2}(-1 \hat{i} - 0.5 \hat{j})(3)^2$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} + \frac{1}{2}(-9 \hat{i} - 4.5 \hat{j})$
$\vec{r}(3) = 9 \hat{i} - 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j} = 4.5 \hat{i} - 2.25 \hat{j}$.
$\frac{9}{2}$ कॉमन लेने पर:
$\vec{r}(3) = \frac{9}{2} \hat{i} - \frac{9}{4} \hat{j} = \frac{9}{2} (\hat{i} - \frac{\hat{j}}{2}) \text{ m}$.

(A) दिया गया है: त्वरण $\vec{a} = 4 \hat{i} + 4 \hat{j} \, m \, s^{-2}$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 4 \hat{i} \, m \, s^{-1}$।
$x$-अक्ष पर विस्थापन $s_x = 6 \, m$ है।
गति के समीकरण $s_x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$ का उपयोग करने पर:
$6 = 4t + \frac{1}{2}(4)t^2$
$6 = 4t + 2t^2 \Rightarrow 2t^2 + 4t - 6 = 0 \Rightarrow t^2 + 2t - 3 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $(t+3)(t-1) = 0$। चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 1 \, s$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 1 \, s$ पर वेग के घटक ज्ञात करें:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 4(1) = 8 \, m \, s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + 4(1) = 4 \, m \, s^{-1}$.
परिणामी चाल $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \, m \, s^{-1}$।

(D) दिया गया है कि कण का वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m s}^{-1}$ है।
अतः,$v_x = \frac{dx}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = 2 \text{ m s}^{-1}$ है।
$x$-दिशा में त्वरण $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$ है (क्योंकि $v_x$ स्थिर है)।
$y$-दिशा में त्वरण $a_y = \frac{dv_y}{dt} = a$ है।
पथ का समीकरण $y = 4x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = 8x \frac{dx}{dt}$,जिसका अर्थ है $v_y = 8x v_x$।
पुनः समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv_y}{dt} = 8 \left( x \frac{dv_x}{dt} + v_x \frac{dx}{dt} \right)$।
मान रखने पर: $a_y = a$,$a_x = 0$,$v_x = 2$,और $\frac{dx}{dt} = v_x = 2$:
$a = 8(x \cdot 0 + 2 \cdot 2) = 8(4) = 32 \text{ m s}^{-2}$।

(A) माना पहला पिंड $A$ है और दूसरा पिंड $B$ है। दोनों को $t=0$ पर मूल बिंदु $(0,0)$ से फेंका जाता है।
पिंड $A$ के लिए (सीधा ऊपर फेंका गया): $\vec{v}_A = v_0 \hat{j}$,$\vec{a}_A = -g \hat{j}$।
समय $t$ पर $A$ की स्थिति: $\vec{r}_A = (v_0 t) \hat{j} - \frac{1}{2} g t^2 \hat{j}$।
पिंड $B$ के लिए (ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ पर फेंका गया,जो क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ है): $\vec{v}_B = v_0 \cos 30^{\circ} \hat{i} + v_0 \sin 30^{\circ} \hat{j}$।
समय $t$ पर $B$ की स्थिति: $\vec{r}_B = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - \frac{1}{2} g t^2) \hat{j}$।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (v_0 \cos 30^{\circ} t) \hat{i} + (v_0 \sin 30^{\circ} t - v_0 t) \hat{j}$।
मान $v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ और $t = 2 \ s$ रखने पर:
$\vec{r}_{AB} = (10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2) \hat{i} + (10 \times \frac{1}{2} \times 2 - 10 \times 2) \hat{j} = 10\sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$।
दूरी $\vec{r}_{AB}$ का परिमाण है:
$|\vec{r}_{AB}| = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \ m$।

(C) दिया गया है कि स्थिति सदिश $r = a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $r$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}) = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-a \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}) = -a \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j}$.
$-\omega^2$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -\omega^2 (a \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j})$.
चूंकि कोष्ठक में दिया गया पद मूल स्थिति सदिश $r$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$a = -\omega^2 r$.
यह दर्शाता है कि त्वरण सदिश $-r$ की दिशा में है।

(D) वेग के घटक स्थिति निर्देशांकों के समय के सापेक्ष अवकलन द्वारा प्राप्त होते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t) = 5 \text{ m/s}$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(135t - 5t^3) = 135 - 15t^2 \text{ m/s}$
त्वरण के घटक वेग के घटकों के समय के सापेक्ष अवकलन द्वारा प्राप्त होते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0 \text{ m/s}^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(135 - 15t^2) = -30t \text{ m/s}^2$
दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = v_x a_x + v_y a_y = 0$
$(5)(0) + (135 - 15t^2)(-30t) = 0$
चूंकि $t > 0$,हमें प्राप्त होता है:
$135 - 15t^2 = 0$
$15t^2 = 135$
$t^2 = 9$
$t = 3 \text{ s}$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक कदम की लंबाई $d$ है। प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ है।
$1$. पूर्व में $2$ कदम: स्थिति $(2d, 0)$ हो जाती है।
$2$. दाएं (दक्षिण) मुड़कर $4$ कदम: स्थिति $(2d, -4d)$ हो जाती है।
$3$. दाएं (पश्चिम) मुड़कर $6$ कदम: स्थिति $(2d - 6d, -4d) = (-4d, -4d)$ हो जाती है।
$4$. दाएं (उत्तर) मुड़कर शेष कदम चलता है। अब तक कुल $2 + 4 + 6 = 12$ कदम चले गए हैं। शेष कदम $= 20 - 12 = 8$ कदम उत्तर की ओर।
अंतिम स्थिति $= (-4d, -4d + 8d) = (-4d, 4d)$ है।
अंतिम स्थिति दूसरे चतुर्थांश (पश्चिम और उत्तर) में है। चूंकि $x$ और $y$ निर्देशांकों का परिमाण समान है $(|-4d| = |4d|)$,इसलिए यह स्थिति पश्चिम से उत्तर की ओर ठीक $45^{\circ}$ के कोण पर है,जो कि उत्तर-पश्चिम दिशा है।

(C) प्रक्षेप्य गति में,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u \cos \theta \times t_1$ है,जहाँ $t_1 = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
अतः,$x_1 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$।
दूसरे पिंड के लिए जिसे '$(90^{\circ}-\theta)$' कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के लिए तय की गई दूरी $x_2 = u \cos(90^{\circ}-\theta) \times t_2 = u \sin \theta \times \frac{u \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g}$ है।
चूँकि पिंड विपरीत दिशाओं में प्रक्षेपित किए गए हैं,उनके बीच की कुल क्षैतिज दूरी $D = x_1 + x_2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होगी।

(B) पिंड $P$ के लिए,क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta_P = 30^{\circ}$ है।
पिंड $Q$ के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ प्रक्षेपण कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_Q = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
दिया गया है कि $\frac{R_P}{R_Q} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{u_P^2 \sin(2 \times 30^{\circ}) / g}{u_Q^2 \sin(2 \times 60^{\circ}) / g} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,अनुपात $\frac{u_P^2}{u_Q^2} = \frac{1}{2}$ हो जाता है,अर्थात $u_P^2 : u_Q^2 = 1 : 2$।
अधिकतम ऊंचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः,$\frac{H_P}{H_Q} = \frac{u_P^2 \sin^2 30^{\circ}}{u_Q^2 \sin^2 60^{\circ}} = \left(\frac{u_P^2}{u_Q^2}\right) \times \left(\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}\right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{H_P}{H_Q} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$।
इस प्रकार,अनुपात $H_P : H_Q = 1 : 6$ है।

(D) प्रारंभिक वेग के घटक इस प्रकार हैं:
$u_x = u \cos \theta = 40 \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3} \ m \ s^{-1}$
$u_y = u \sin \theta = 40 \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \ m \ s^{-1}$
समय $t = 2.0 \ s$ में क्षैतिज विस्थापन $(x)$:
$x = u_x \times t = (20 \sqrt{3}) \times 2 = 40 \sqrt{3} \ m$
समय $t = 2.0 \ s$ में ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(y)$:
$y = u_y \times t - \frac{1}{2} g t^2 = (20 \times 2) - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 = 40 - 20 = 20 \ m$
कुल विस्थापन $(S)$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(40 \sqrt{3})^2 + (20)^2}$
$S = \sqrt{1600 \times 3 + 400} = \sqrt{4800 + 400} = \sqrt{5200}$
$S = \sqrt{400 \times 13} = 20 \sqrt{13} \ m$

(A) मान लीजिए कि विमान $t=0$ पर प्रेक्षक $O$ के ठीक ऊपर $H$ ऊँचाई पर बिंदु $A$ पर है। समय $T$ के बाद,विमान बिंदु $B$ पर पहुँचता है जिससे क्षैतिज दूरी $AB = VT$ हो जाती है।
प्रेक्षण बिंदु $O$ पर पथ $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\alpha$ है।
$t=0$ पर उन्नयन कोण $\theta_1 = 0$ है।
बिंदु $O$ पर रेखाखंड $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\theta = \theta_2 - \theta_1$ है,जहाँ $\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ और $\theta_1 = 0$ है।
अतः,अंतरित कोण $\tan^{-1}(\frac{VT}{H})$ है।

(B) मान लीजिए कण $t$ समय में बिंदु $P$ पर पहुंचता है। क्षैतिज दूरी इस प्रकार है:
$x = u \cos \theta \cdot t$
$10 = u \cos 45^{\circ} \cdot t$
$10 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t \implies t = \frac{10 \sqrt{2}}{u} \quad \dots (i)$
ऊर्ध्वाधर दूरी इस प्रकार है:
$y = u \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
$7.5 = u \sin 45^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t - 5 t^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $t$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right) - 5 \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right)^2$
$7.5 = 10 - 5 \cdot \frac{100 \cdot 2}{u^2}$
$7.5 = 10 - \frac{1000}{u^2}$
$\frac{1000}{u^2} = 10 - 7.5 = 2.5$
$u^2 = \frac{1000}{2.5} = 400$
$u = 20 \ m/s$

(A) माना $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_1 = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
$t$ समय बाद,वेग सदिश $\vec{v}_2 = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ होगा।
चूंकि गति की दिशा प्रारंभिक दिशा के लंबवत है,इसलिए दोनों वेग सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u \sin \theta (u \sin \theta - gt) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$
$u^2 = ugt \sin \theta$
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$
यहाँ $u = 15 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है:
$t = \frac{15}{10 \times \sin 30^{\circ}} = \frac{15}{10 \times 0.5} = \frac{15}{5} = 3 \ s$.

(A) प्रक्षेप्य को बिंदु $A$ से प्रक्षेपित किया जाता है। बिंदु $C$ और $D$ के बीच गिरने के लिए, प्रक्षेप्य की परास (Range) $R$ को शर्त $AB + BC \leq R \leq AB + BC + CD$ को पूरा करना होगा।
चित्र से, $AB = 8 \,m$, $BC = 12 \,m$, और $CD = 4.2 \,m$ है।
इसलिए, न्यूनतम परास $R_{min} = 8 + 12 = 20 \,m$ और अधिकतम परास $R_{max} = 8 + 12 + 4.2 = 24.2 \,m$ है।
प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
यहाँ $\theta = 15^{\circ}$ दिया गया है, इसलिए $2\theta = 30^{\circ}$ और $\sin 30^{\circ} = 0.5$ होता है।
मान रखने पर: $20 \leq \frac{u^2 \times 0.5}{10} \leq 24.2$.
$20 \leq \frac{u^2}{20} \leq 24.2$.
$400 \leq u^2 \leq 484$.
वर्गमूल लेने पर, हमें $20 \,m/s \leq u \leq 22 \,m/s$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से, $21.5 \,m/s$ इस सीमा के भीतर है। अतः, विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) गतिज ऊर्जा $KE$ को $KE = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $m$ स्थिर है, $KE \propto p^2$ है। अतः, $KE$ और $p^2$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह ग्राफ $(D)$ से मेल खाता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ के लिए, $v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2gy$ का उपयोग करते हुए, गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - 2gy) = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$ है। यह $KE = -mgy + C$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है, जो ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। ग्राफ $(A)$ $V$-आकार दिखाता है, जो इस रैखिक संबंध के लिए गलत है।
समय $t$ के लिए, $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)^2)$ है। यह $t$ में एक द्विघात समीकरण $(KE \propto t^2)$ है, जो एक परवलय को दर्शाता है। ग्राफ $(B)$ परवलयिक परिवर्तन दिखाता है।
क्षैतिज विस्थापन $x$ के लिए, $x = (u \cos \theta)t \Rightarrow t = \frac{x}{u \cos \theta}$ है। इसे $KE$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर द्विघात संबंध $KE \propto x^2$ प्राप्त होता है, जो परवलयिक भी है। ग्राफ $(C)$ परवलयिक परिवर्तन दिखाता है।
इसलिए, ग्राफ $(A)$ $y$ के साथ $KE$ के परिवर्तन का सही प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(B) माना टक्कर का समय $t$ है। टक्कर के समय,दोनों कणों के $x$ और $y$ निर्देशांक समान होने चाहिए।
कण $A$ के लिए:
$x_A = v t$,$y_A = 30 \ m$.
कण $B$ के लिए:
$a_x = a \sin 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.2\sqrt{3} \ m/s^2$.
$a_y = a \cos 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{1}{2} = 0.2 \ m/s^2$.
चूंकि $B$ मूल बिंदु से शून्य प्रारंभिक वेग के साथ शुरू होता है:
$x_B = \frac{1}{2} a_x t^2 = \frac{1}{2} (0.2\sqrt{3}) t^2 = 0.1\sqrt{3} t^2$.
$y_B = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} (0.2) t^2 = 0.1 t^2$.
टक्कर के लिए,$y_A = y_B$:
$30 = 0.1 t^2 \Rightarrow t^2 = 300 \Rightarrow t = 10\sqrt{3} \ s$.
टक्कर के लिए,$x_A = x_B$:
$v t = 0.1\sqrt{3} t^2 \Rightarrow v = 0.1\sqrt{3} t$.
$t = 10\sqrt{3}$ रखने पर:
$v = 0.1\sqrt{3} \times 10\sqrt{3} = 1 \times 3 = 3 \ m/s$.
अतः,$|v|$ का मान $3 \ m/s$ है।

(B) रैखिक वेग $\vec{v}$,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच संबंध $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ है।
वृत्ताकार गति कर रहे कण के लिए,कोणीय वेग $\vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{|\vec{r}|^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{r} = \hat{i} + 9 \hat{j} - 8 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{r} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 9 & -8 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(45 - 32) - \hat{j}(5 - (-24)) + \hat{k}(-4 - 27) = 13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}$.
इसके बाद,$|\vec{r}|^2 = 1^2 + 9^2 + (-8)^2 = 1 + 81 + 64 = 146$ की गणना करें।
अतः,$\vec{\omega} = \frac{13 \hat{i} - 29 \hat{j} - 31 \hat{k}}{146}$।

(A) बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = a \sin(\omega t)\hat{i} + a(1 - \cos(\omega t))\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v}$ स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega \cos(\omega t)\hat{i} + a\omega \sin(\omega t)\hat{j}$.
त्वरण सदिश $\vec{a}$ वेग सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2 \sin(\omega t)\hat{i} + a\omega^2 \cos(\omega t)\hat{j}$.
$\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट $\vec{v} \cdot \vec{a}$ की गणना करें:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (a\omega \cos(\omega t))(-a\omega^2 \sin(\omega t)) + (a\omega \sin(\omega t))(a\omega^2 \cos(\omega t))$
$\vec{v} \cdot \vec{a} = -a^2\omega^3 \cos(\omega t)\sin(\omega t) + a^2\omega^3 \sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) वृत्तीय गति में एक कण का कोणीय संवेग $L = I\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ द्वारा दी जाती है।
हम गतिज ऊर्जा को कोणीय संवेग के पदों में $K = \frac{1}{2}L\omega$ के रूप में लिख सकते हैं।
इससे,कोणीय संवेग $L = \frac{2K}{\omega}$ होता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ दोगुनी हो जाती है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$ भी दोगुना हो जाता है,अतः $\omega_2 = 2\omega_1$।
गतिज ऊर्जा आधी हो जाती है,अतः $K_2 = \frac{K_1}{2}$।
अब,नए कोणीय संवेग $L_2$ की गणना करते हैं:
$L_2 = \frac{2K_2}{\omega_2} = \frac{2(K_1/2)}{2\omega_1} = \frac{K_1}{2\omega_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{2K_1}{\omega_1} \right) = \frac{L_1}{4}$।
अतः,नया कोणीय संवेग $\frac{L}{4}$ होगा।

(B) औसत बल आघूर्ण $\tau_{avg}$ को कोणीय संवेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\tau_{avg} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
प्रक्षेपण बिंदु पर,कोणीय संवेग $L_i = 0$ है।
टकराव के बिंदु पर,प्रक्षेप्य प्रक्षेपण बिंदु से $R$ (परास) की क्षैतिज दूरी पर होता है। ऊर्ध्वाधर वेग घटक $v_y = -u \sin \theta$ और क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ है।
टकराव के बिंदु पर कोणीय संवेग $L_f = m \times v_y \times R = m(-u \sin \theta) \times \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = -\frac{m u^3 \sin \theta \sin 2\theta}{g}$ है।
वैकल्पिक रूप से,गुरुत्वाकर्षण के कारण बल आघूर्ण का उपयोग करते हुए: $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times m\vec{g}$.
औसत बल आघूर्ण $\tau_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T \tau dt = \frac{1}{T} \int_0^T (mg \cdot x) dt = \frac{mg}{T} \int_0^T (u \cos \theta) t dt = \frac{mg u \cos \theta}{T} [\frac{t^2}{2}]_0^T = \frac{mg u \cos \theta T}{2}$.
चूंकि $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$,इसलिए $\tau_{avg} = \frac{mg u \cos \theta}{2} \times \frac{2u \sin \theta}{g} = m u^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} m u^2 \sin 2\theta$.
मान रखने पर: $m = 1 \ kg$,$u = 10 \ ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$.
$\tau_{avg} = \frac{1}{2} \times 1 \times (10)^2 \times \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 = 50 \ Nm$.

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 250 \ g = 0.25 \ kg$,डोरी की लंबाई $l = 50 \ cm = 0.5 \ m$,और अधिकतम तनाव $T_{\max} = 72 \ N$ है।
क्षैतिज वृत्ताकार गति के लिए,डोरी में तनाव आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$T = m \omega^2 R$.
यहाँ,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ डोरी की लंबाई $l$ के बराबर है (यह मानते हुए कि डोरी क्षैतिज रहती है)।
$T_{\max} = m \omega_{\max}^2 l$.
मान रखने पर:
$72 = 0.25 \times \omega_{\max}^2 \times 0.5$.
$72 = 0.125 \times \omega_{\max}^2$.
$\omega_{\max}^2 = \frac{72}{0.125} = 576$.
$\omega_{\max} = \sqrt{576} = 24 \ rad/s$.

(C) जब किसी पत्थर को प्रारंभिक वेग $u$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र है:
$h = \frac{u^2}{2g}$
इससे,हम प्रारंभिक वेग के वर्ग को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$u^2 = 2gh$
जब उसी पत्थर को क्षैतिज रूप से (प्रक्षेप्य गति के रूप में) अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ प्राप्त करने के लिए फेंका जाता है,तो प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होना चाहिए। अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र है:
$R_{\max} = \frac{u^2}{g}$
पहले समीकरण से $u^2$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$R_{\max} = \frac{2gh}{g}$
$R_{\max} = 2h$
अतः,वह अधिकतम क्षैतिज दूरी जिस तक व्यक्ति पत्थर को फेंक सकता है,$2h$ है।

(A, B) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{r} = b \cos \omega t \hat{i} + b \sin \omega t \hat{j}$.
वेग सदिश: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -b \omega \sin \omega t \hat{i} + b \omega \cos \omega t \hat{j}$.
वेग का परिमाण: $v = |\vec{v}| = \sqrt{(-b \omega \sin \omega t)^2 + (b \omega \cos \omega t)^2} = b \omega$.
चूंकि $v$ स्थिर है,गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mb^2\omega^2$ स्थिर है। अतः,$\frac{E}{\omega} = \frac{1}{2}mb^2\omega$ स्थिर है। कथन $(A)$ सत्य है।
प्रक्षेप पथ: $x = b \cos \omega t$ और $y = b \sin \omega t$. वर्ग करके जोड़ने पर: $x^2 + y^2 = b^2(\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = b^2$. यह एक वृत्त है। कथन $(B)$ सत्य है।
त्वरण: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -b \omega^2 \cos \omega t \hat{i} - b \omega^2 \sin \omega t \hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$.
घटक: $a_x = -b \omega^2 \cos \omega t$ और $a_y = -b \omega^2 \sin \omega t$. अतः,$a_x^2 + a_y^2 = (b \omega^2)^2$,जो $a_x-a_y$ समतल में एक वृत्त है। कथन $(C)$ असत्य है।
चूंकि $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$ और $\vec{v} \perp \vec{r}$,$\vec{a}$ वेग $\vec{v}$ के समानांतर नहीं है। कथन $(D)$ असत्य है।

(D) प्रक्षेपण बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,कण का वेग पूरी तरह से क्षैतिज होता है,जो $v_x = u \cos \theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर स्थिति सदिश का ऊर्ध्वाधर घटक अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ के बराबर होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर कोणीय संवेग का परिमाण $L = m v_x H = m (u \cos \theta) \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $L = \frac{m u^3}{2g} \sin^2 \theta \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = 0^{\circ}$ के लिए,$L = 0$. $\theta = 90^{\circ}$ (या $\frac{\pi}{2}$) के लिए,$L = 0$.
$0$ और $\frac{\pi}{2}$ के बीच,फलन $f(\theta) = \sin^2 \theta \cos \theta$ धनात्मक है और एक अधिकतम मान प्राप्त करता है। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(D) बिंदु $A$ पर, गतिज ऊर्जा $(KE)_A = K = \frac{1}{2}mu^2$ है।
उच्चतम बिंदु $B$ पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है, इसलिए वेग $v_B = u \cos 60^{\circ} = \frac{u}{2}$ है।
बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा $(KE)_B = \frac{1}{2}m(\frac{u}{2})^2 = \frac{1}{4}(\frac{1}{2}mu^2) = \frac{K}{4}$ है।
चूंकि बिंदु $A$ और $C$ एक ही क्षैतिज स्तर पर हैं, इसलिए $C$ पर गति $A$ पर गति के बराबर है। अतः, $(KE)_C = (KE)_A = K$ है।
बिंदु $B$ और $C$ पर गतिज ऊर्जा का अंतर $|(KE)_C - (KE)_B| = |K - \frac{K}{4}| = \frac{3K}{4}$ है।
इस अंतर का बिंदु $A$ पर गतिज ऊर्जा से अनुपात $\frac{3K/4}{K} = \frac{3}{4}$ है।

(D) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
माना प्रारंभिक चाल $u$ है। प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 60^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि किसी बिंदु पर,क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर चाल $v = 20 \text{ m/s}$ है,इसलिए इस वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ m/s}$ है।
चूंकि $u_x = v_x$,इसलिए:
$u \cos 60^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u \times \frac{1}{2} = \frac{20}{\sqrt{2}}$
$u = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \text{ m/s}$.