$m$ द्रव्यमान का एक कण $xy$-समतल में इस प्रकार गति कर रहा है कि बिंदु $(x, y)$ पर उसका वेग $\vec{v} = \alpha(y \hat{i} + 2x \hat{j})$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\alpha$ एक अशून्य स्थिरांक है। कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}$ क्या है?

दो वस्तुओं को समान चाल से क्षैतिज के साथ $\theta^{\circ}$ और $(90-\theta)^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। उनकी अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाइयों का अनुपात है

एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर $20 \; m/s$ के वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। $10 \; s$ के बाद,क्षैतिज के साथ इसका झुकाव $\beta$ है। $\tan \beta$ का मान होगा: $(g = 10 \; m/s^2)$

Column-$I$ ($\text{प्रक्षेप्य कोण}$)	Column-$II$
$A. \theta = 45^{\circ}$	$1. \frac{K_h}{K_i} = \frac{1}{4}$
$B. \theta = 60^{\circ}$	$2. \frac{gT^2}{R} = 8$
$C. \theta = 30^{\circ}$	$3. \frac{R}{H} = 4\sqrt{3}$
$D. \theta = \tan^{-1}(4)$	$4. \frac{R}{H} = 4$

$K_i:$ $\text{प्रारंभिक गतिज ऊर्जा}$,$K_h:$ $\text{उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा}$।

एक प्रक्षेप्य को $xy$ तल में मूलबिंदु से ($x$ क्षैतिज है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा है) $x$-अक्ष से $\alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि मूलबिंदु से इसकी दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ को $x$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है,तो परिणामी वक्र प्रक्षेपण कोणों $\alpha_1$ और $\alpha_2$ के लिए अलग-अलग व्यवहार दिखाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $\alpha_1$ के लिए,$r(x)$ $x$ के साथ बढ़ता रहता है,जबकि $\alpha_2$ के लिए,$r(x)$ बढ़ता है और अधिकतम तक पहुँचता है,फिर घटता है और दोबारा बढ़ने से पहले एक न्यूनतम से गुजरता है। इन दो स्थितियों के बीच का परिवर्तन एक क्रांतिक कोण $\alpha_c$ (जहाँ $\alpha_1 < \alpha_c < \alpha_2$) पर होता है। $\alpha_c$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $v_0$ प्रक्षेप्य की प्रारंभिक गति है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।

एक कण को $O$ से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और एक दूसरे कण को उसी क्षण $P$ से ($O$ से $h$ ऊँचाई पर) $v$ वेग के साथ $\theta$ प्रक्षेपण कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। वह समय जब उनके बीच की दूरी न्यूनतम होती है,है