Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(C) दिए गए वेग घटक $v_x = \frac{dx}{dt} = 8t - 2$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = 2$ हैं।
$v_x$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $x = \int (8t - 2) dt = 4t^2 - 2t + C_1$.
$t = 2 \, s$ पर,$x = 14$,इसलिए $14 = 4(2)^2 - 2(2) + C_1 \Rightarrow 14 = 16 - 4 + C_1 \Rightarrow C_1 = 2$. अतः,$x = 4t^2 - 2t + 2$.
$v_y$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int 2 dt = 2t + C_2$.
$t = 2 \, s$ पर,$y = 4$,इसलिए $4 = 2(2) + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$. अतः,$y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{y}{2}$.
$x$ के समीकरण में $t = \frac{y}{2}$ रखने पर: $x = 4(\frac{y}{2})^2 - 2(\frac{y}{2}) + 2 = 4(\frac{y^2}{4}) - y + 2 = y^2 - y + 2$.

(B) प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = v_0 \cos \alpha \hat{i} + v_0 \sin \alpha \hat{j}$ है।
उसी क्षैतिज तल पर,अंतिम वेग सदिश $\vec{v} = v_0 \cos \alpha \hat{i} - v_0 \sin \alpha \hat{j}$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}$ है।
$\Delta \vec{v} = (v_0 \cos \alpha \hat{i} - v_0 \sin \alpha \hat{j}) - (v_0 \cos \alpha \hat{i} + v_0 \sin \alpha \hat{j})$.
$\Delta \vec{v} = -2 v_0 \sin \alpha \hat{j}$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $2 v_0 \sin \alpha$ है,और ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण का कोणीय वेग $\omega$ उसके आवर्तकाल $T$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित है: $\omega = \frac{2 \pi}{T}$।
चूंकि दोनों कणों के आवर्तकाल समान हैं $(T_1 = T_2 = T)$,इसलिए दोनों कणों के लिए कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2 \pi}{T}$ और $\omega_2 = \frac{2 \pi}{T}$ होगा।
अतः,उनके कोणीय वेग का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2 \pi / T}{2 \pi / T} = 1$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1$ है।

(C) कण $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर चलता है और परिधि का $3/4$ भाग तय करता है।
मान लीजिए प्रारंभिक बिंदु $A$ है और अंतिम बिंदु $B$ है। विस्थापन $A$ और $B$ के बीच की सीधी दूरी है।
एक वृत्त में,यदि कोई कण $3/4$ भाग तय करता है,तो केंद्र पर बना कोण $270^{\circ}$ होता है। विस्थापन सदिश $R$ लंबाई की दो भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,विस्थापन $d = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
औसत वेग $v_{av} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{R\sqrt{2}}{t}$।

(A) जब कोई वस्तु एक वृत्त के अनुदिश स्थिर चाल से गति करती है,तो वह एकसमान वृत्तीय गति करती है।
$1$. वस्तु पर कार्य करने वाला बल अभिकेंद्र बल है,जो हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
$2$. किसी भी क्षण पर वस्तु का विस्थापन वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
$3$. चूंकि अभिकेंद्र बल विस्थापन के लंबवत होता है $(F \perp s)$,इसलिए किया गया कार्य $W = F \cdot s \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$ होता है।
$4$. अतः,वस्तु पर कोई कार्य नहीं किया जाता है।
$5$. त्वरण (अभिकेंद्र त्वरण) मौजूद होता है,दिशा बदलने के कारण वेग बदलता है और वस्तु पर एक अभिकेंद्र बल कार्य करता है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v_1$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v_1^2$ है।
प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
इसलिए,$v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,जहाँ $v_2$ कोण $\theta_2$ पर वेग है।
इससे,$v_2 = \frac{v_1 \cos \theta_1}{\cos \theta_2}$ प्राप्त होता है।
$\theta_2$ कोण पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{v_1 \cos \theta_1}{\cos \theta_2} \right)^2$ है।
$K' = \left( \frac{1}{2} m v_1^2 \right) \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} = K \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2}$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में वृद्धि गतिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होती है।
$PE = K - K' = K - K \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} = K \left( 1 - \frac{\cos^2 \theta_1}{\cos^2 \theta_2} \right)$।

(A) किसी कण की चाल तब न्यूनतम होती है जब वेग सदिश की दिशा में त्वरण का घटक शून्य हो जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_0$ है और त्वरण $\vec{a}$ है।
$\vec{v}_0$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\phi = 143^o$ है।
प्रारंभिक वेग की दिशा में त्वरण का घटक $a_{\parallel} = a \cos(143^o)$ है।
चूंकि $\cos(143^o) = \cos(180^o - 37^o) = -\cos(37^o) = -0.8$,इसलिए $a_{\parallel} = 4 \times (-0.8) = -3.2\, m/s^2$.
समय $t$ पर चाल $v(t) = v_0 + a_{\parallel} t$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम चाल के लिए,वेग सदिश त्वरण सदिश के लंबवत होना चाहिए।
मान लीजिए $\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t$.
न्यूनतम चाल के लिए,$\vec{v}(t) \cdot \vec{a} = 0$.
$(\vec{v}_0 + \vec{a}t) \cdot \vec{a} = 0$
$\vec{v}_0 \cdot \vec{a} + a^2 t = 0$
$v_0 a \cos(143^o) + a^2 t = 0$
$t = -\frac{v_0 \cos(143^o)}{a} = -\frac{40 \times (-0.8)}{4} = \frac{32}{4} = 8\, s$.

(A) माना गेंद का प्रक्षेपण वेग $u$ है।
गेंद अधिकतम क्षैतिज दूरी तब तय करती है जब क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो।
अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है।
दिया गया है $R_{\max} = 100\,m$,इसलिए $\frac{u^2}{g} = 100\,m$ --- $(i)$।
जब गेंद को सीधे ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ ज्ञात करने के लिए,हम गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हैं।
उच्चतम बिंदु पर,अंतिम वेग $v = 0$,त्वरण $a = -g$,और विस्थापन $s = H$ है।
इन मानों को रखने पर: $0^2 - u^2 = 2(-g)H$।
यह $H = \frac{u^2}{2g}$ में सरल हो जाता है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,$H = \frac{1}{2} \times \left(\frac{u^2}{g}\right) = \frac{1}{2} \times 100 = 50\,m$।

(B) $u$ की गति से लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ट्रक $v$ की निरंतर क्षैतिज गति से चल रहा है और गेंद इस क्षैतिज वेग घटक को बनाए रखती है,इसलिए गेंद ट्रक पर उसी बिंदु पर वापस आएगी।
इस समय $T$ के दौरान ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $d = v \times T$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $d = v \times \frac{2u}{g} = \frac{2uv}{g}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: सेकंड वाली सुई की लंबाई $l = 6\, cm = 60\, mm$.
आवर्तकाल $T = 60\, s$.
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\, rad/s$.
सिरे की चाल $v = \omega l = \frac{\pi}{30} \times 60\, mm/s = 2\pi\, mm/s$.
दो लंबवत स्थितियों पर,वेग सदिश $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ हैं,जहाँ $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ है।
वेगों के अंतर का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2| = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ होता है।
$v = 2\pi\, mm/s$ रखने पर,हमें $|\Delta \vec{v}| = 2\pi \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\pi\, mm/s$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 20 \sqrt{2} \, m/s$,कोण $\theta = 45^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
अधिकतम ऊंचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{20 \sqrt{2} \cdot \sin(45^{\circ})}{10} = \frac{20 \sqrt{2} \cdot (1/\sqrt{2})}{10} = 2 \, s$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर क्षैतिज विस्थापन $x = u \cos \theta \cdot t = (20 \sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ})) \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40 \, m$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{(20 \sqrt{2})^2 \cdot (1/\sqrt{2})^2}{2 \cdot 10} = \frac{800 \cdot 0.5}{20} = 20 \, m$ है।
कुल विस्थापन सदिश $\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j} = 40 \hat{i} + 20 \hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20 \sqrt{5} \, m$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{20 \sqrt{5}}{2} = 10 \sqrt{5} \, m/s$ होगा।

(B) औसत त्वरण को वेग में परिवर्तन और समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $a_{av} = \left| \frac{\Delta v}{\Delta t} \right| = \frac{|v_f - v_i|}{t}$.
चूंकि चाल एकसमान है,$|v_f| = |v_i| = v$ है। वेग में परिवर्तन $\Delta v$ अंतिम वेग $v_f$ और प्रारंभिक वेग $v_i$ का सदिश अंतर है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta v| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)}$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $|\Delta v| = \sqrt{2v^2 \cdot 2 \sin^2(\theta/2)} = 2v \sin(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,औसत त्वरण $a_{av} = \frac{2v \sin(\theta/2)}{t}$ है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है जो क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर है। वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ है,जो गति के दौरान स्थिर रहता है। वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ है। क्षैतिज विस्थापन $x = (u \cos \theta)t$ है,इसलिए $t = \frac{x}{u \cos \theta}$। $t$ का मान $v_y$ में रखने पर,हमें $v_y = u \sin \theta - g \left( \frac{x}{u \cos \theta} \right)$ प्राप्त होता है। गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2} m \left( (u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta - \frac{gx}{u \cos \theta})^2 \right)$ है। यह $x$ में $KE = ax^2 + bx + c$ के रूप का एक द्विघात समीकरण है,जहाँ $a > 0$ है। इस प्रकार,$KE$ बनाम $x$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। उच्चतम बिंदु पर,$v_y = 0$ होता है,इसलिए $KE$ न्यूनतम होती है लेकिन शून्य नहीं,क्योंकि $v_x$ शून्य नहीं है। ग्राफ $C$ इस व्यवहार को दर्शाता है।

(C) माना कार का वेग $v_c = 30\,m/s$ है। गेंद को कार के सापेक्ष ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर $u_y$ वेग से फेंका जाता है। उड़ान का समय $T$ वह समय है जो कार को $240\,m$ की दूरी तय करने में लगता है,इसलिए $T = \frac{d}{v_c} = \frac{240}{30} = 8\,s$ है।
गेंद के लिए,उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g}$ है। $T = 8\,s$ और $g = 10\,m/s^2$ रखने पर,$8 = \frac{2u_y}{10}$ प्राप्त होता है,जिससे $u_y = 40\,m/s$ मिलता है।
कार के सापेक्ष,वेग $90^o$ के कोण पर (ऊर्ध्वाधर ऊपर) $40\,m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष,वेग के घटक $u_x = 30\,m/s$ और $u_y = 40\,m/s$ हैं। परिणामी गति $u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\,m/s$ है।
क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण का कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{u_y}{u_x}) = \tan^{-1}(40/30) = \tan^{-1}(4/3)$ है।

(B) दिया गया है कि अधिकतम ऊँचाई $H$, क्षैतिज परास $R$ की $\frac{1}{4}$ है, इसलिए $H = \frac{R}{4}$।
सूत्रों $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{1}{4} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right)$
$\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{2g}$
$\sin \theta = \cos \theta \implies \tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$।
प्रारंभिक संवेग $p = mu$ है। वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = u \cos 45^{\circ} = \frac{u}{\sqrt{2}}$ है।
उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है, इसलिए वेग केवल क्षैतिज घटक $v = u_x = \frac{u}{\sqrt{2}}$ के बराबर होता है।
उच्चतम बिंदु पर संवेग $p' = m v = m \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) = \frac{p}{\sqrt{2}}$ है।
न्यूनतम गतिज ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर होती है:
$K_{\text{min}} = \frac{(p')^2}{2m} = \frac{(p / \sqrt{2})^2}{2m} = \frac{p^2 / 2}{2m} = \frac{p^2}{4m}$।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = n^2 R t^2$ द्वारा दिया गया है।
इससे,वेग का वर्ग $v^2 = n^2 R^2 t^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = nRt$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(nRt) = nR$ है।
कण को दी गई शक्ति $P = F_t v = (M a_t) v$ है।
मान रखने पर,$P = M(nR)(nRt) = M n^2 R^2 t$ प्राप्त होता है।

(C) जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर स्थिर चाल $V$ से गति करती है,तो अभिकेंद्र त्वरण $a$ का सूत्र इस प्रकार है:
$a = \frac{V^2}{r}$
यहाँ दिया गया है कि चाल $V = 10\,ms^{-1}$ स्थिर है,इसलिए समीकरण होगा:
$a = \frac{100}{r}$
यह दर्शाता है कि त्वरण $a,$ त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(a \propto \frac{1}{r})$।
यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) विराम अवस्था में कार के लिए,अधिकतम परास $R_0 = \frac{u^2}{g} = 10 \, m$ है। $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $u^2 = 100$,जिससे $u = 10 \, m/s$ प्राप्त होता है।
जब कार $v = 20 \, m/s$ के वेग से चलती है,तो गोली का क्षैतिज वेग $(u \cos \theta + v)$ और ऊर्ध्वाधर वेग $u \sin \theta$ हो जाता है।
उड्डयन काल $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ है।
क्षैतिज परास $R = (u \cos \theta + v) T = (u \cos \theta + v) \left( \frac{2 u \sin \theta}{g} \right)$ है।
मान रखने पर: $R = (10 \cos \theta + 20) (2 \sin \theta) = 10 \sin 2\theta + 40 \sin \theta$.
अधिकतम परास के लिए,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ रखने पर:
$20 \cos 2\theta + 40 \cos \theta = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1 = 0$.
इस समीकरण को हल करने पर $\cos \theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta \approx 68.5^{\circ}$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$60^{\circ}$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक स्थिति $\vec{r}_0 = (2.0\hat i + 4.0\hat j) \, m$
प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (5.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s$
त्वरण $\vec{a} = (4.0\hat i + 4.0\hat j) \, m/s^2$
समय $t = 2 \, s$
गति के समीकरण $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (5.0\hat i + 4.0\hat j)(2) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(2)^2$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + \frac{1}{2}(4.0\hat i + 4.0\hat j)(4)$
$\vec{r}(2) = (2.0\hat i + 4.0\hat j) + (10.0\hat i + 8.0\hat j) + (8.0\hat i + 8.0\hat j)$
$\vec{r}(2) = (2.0 + 10.0 + 8.0)\hat i + (4.0 + 8.0 + 8.0)\hat j$
$\vec{r}(2) = (20.0\hat i + 20.0\hat j) \, m$
मूल बिंदु से दूरी स्थिति सदिश का परिमाण है:
$|\vec{r}(2)| = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m$.

(C) $t = 0$ पर,कण $A$ बिंदु $(R_1, 0)$ पर है और $+y$ दिशा में गति कर रहा है,अतः $\overrightarrow{V_A} = \omega R_1 \hat{j}$। कण $B$ बिंदु $(R_2, 0)$ पर है और $-y$ दिशा में गति कर रहा है,अतः $\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{j}$।
$t = \frac{\pi}{2\omega}$ समय के बाद,घूमा गया कोण $\theta = \omega t = \omega \left( \frac{\pi}{2\omega} \right) = \frac{\pi}{2}$ (अर्थात $90^\circ$) होगा।
कण $A$ बिंदु $(R_1, 0)$ से $(0, R_1)$ तक जाता है,और इसका वेग सदिश $90^\circ$ वामावर्त (counter-clockwise) घूम जाता है। अतः,$\overrightarrow{V_A} = -\omega R_1 \hat{i}$।
कण $B$ बिंदु $(R_2, 0)$ से $(0, R_2)$ तक जाता है,और इसका वेग सदिश $90^\circ$ दक्षिणावर्त (clockwise) घूम जाता है। अतः,$\overrightarrow{V_B} = -\omega R_2 \hat{i}$।
सापेक्ष वेग $\overrightarrow{V_{rel}} = \overrightarrow{V_A} - \overrightarrow{V_B} = (-\omega R_1 \hat{i}) - (-\omega R_2 \hat{i}) = \omega(R_2 - R_1) \hat{i}$ होगा।

(A) दी गई परास $R$ और प्रारंभिक गति $u$ के लिए,प्रक्षेपण के दो संभावित कोण $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ होते हैं,जो समान परास प्रदान करते हैं।
इन दो कोणों के लिए उड़ान का समय इस प्रकार है:
$t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$
अब,$t_1t_2$ का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$t_1t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right)$
$t_1t_2 = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$t_1t_2 = \frac{2}{g} \left( \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \right) = \frac{2R}{g}$

(C) $\text{प्रक्षेप्य के लिए}$,$\text{उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा}$ $K_h = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2$ $\text{और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा}$ $K_i = \frac{1}{2}mu^2$ $\text{है। अतः}$,$\frac{K_h}{K_i} = \cos^2 \theta$.
$A$ $\text{के लिए}$: $\theta = 45^{\circ}, \frac{R}{H} = 4 \cot(45^{\circ}) = 4$. $\text{अतः}$ $A-4$.
$B$ $\text{के लिए}$: $\theta = 60^{\circ}, \frac{K_h}{K_i} = \cos^2(60^{\circ}) = \frac{1}{4}$. $\text{अतः}$ $B-1$.
$C$ $\text{के लिए}$: $\theta = 30^{\circ}, \frac{R}{H} = 4 \cot(30^{\circ}) = 4\sqrt{3}$. $\text{अतः}$ $C-3$.
$D$ $\text{के लिए}$: $\theta = \tan^{-1}(4), \frac{gT^2}{R} = 2 \tan \theta = 2(4) = 8$. $\text{अतः}$ $D-2$.
$\text{सही मिलान}$: $A-4, B-1, C-3, D-2$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 10\,m/s$,कोण $\theta = 60^{\circ}$,$g = 10\,m/s^2$.
वेग का क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5\,m/s$.
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 60^{\circ} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\,m/s$.
मान लीजिए कि समय $t$ पर गति $v = \sqrt{5g} = \sqrt{50}\,m/s$ है।
गति का वर्ग $v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 50$ होता है।
चूंकि $v_x$ स्थिर $5\,m/s$ रहता है,इसलिए $v_x^2 = 25$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $25 + (u_y - gt)^2 = 50$.
$(5\sqrt{3} - 10t)^2 = 25$.
वर्गमूल लेने पर: $5\sqrt{3} - 10t = \pm 5$.
स्थिति $1$: $10t = 5\sqrt{3} - 5 \implies t_1 = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{10} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
स्थिति $2$: $10t = 5\sqrt{3} + 5 \implies t_2 = \frac{5(\sqrt{3}+1)}{10} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\,s$ है।

(C) माना प्रक्षेपण कोण $\theta$ और $(90^{\circ}-\theta)$ हैं। क्षैतिज परास समान होने के कारण ये कोण पूरक हैं।
माना पहले पत्थर की अधिकतम ऊँचाई $H_1$ है और दूसरे पत्थर की $H_2$ है,जहाँ $H_1 > H_2$ है।
दी गई शर्त है: $H_1 - H_2 = \frac{1}{2}(H_1 + H_2)$।
$2$ से गुणा करने पर,$2H_1 - 2H_2 = H_1 + H_2$,जो सरल होकर $H_1 = 3H_2$ हो जाता है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} \right)$।
यह सरल होकर $\sin^2 \theta = 3 \cos^2 \theta$,या $\tan^2 \theta = 3$ हो जाता है।
अतः,$\tan \theta = \sqrt{3}$,जिससे $\theta = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दो कोण $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं। कम ऊँचाई प्राप्त करने वाले पत्थर का कोण छोटा होगा,जो $30^{\circ}$ है।

(D) समान वृत्तीय गति में,कुल बल हमेशा केंद्र की ओर (अभिकेंद्र बल) निर्देशित होता है। हालाँकि,सामान्य वृत्तीय गति (असमान) के लिए,कुल बल में अभिकेंद्र और स्पर्शरेखीय दोनों घटक होते हैं। इसलिए,यह कथन कि कुल बल केंद्र की ओर 'हो सकता है' सही है,क्योंकि यह समान वृत्तीय गति की विशिष्ट स्थिति का वर्णन करता है। विकल्प $D$ सबसे सटीक कथन है क्योंकि यह समान वृत्तीय गति की संभावना को ध्यान में रखता है।

(B) प्रक्षेप्य की परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
ग्राफ से,अधिकतम परास $R_{max} = 250 \ m$,$\theta = 45^o$ पर प्राप्त होती है।
अतः,$R_{max} = \frac{u^2}{g} = 250 \ m$.
दी गई परास $R = 200 \ m$ के लिए,$200 = 250 \sin(2\theta)$.
$\sin(2\theta) = \frac{200}{250} = 0.8$.
$2\theta = \arcsin(0.8)$.
$2\theta$ के लिए दो संभावित मान $2\theta_1 = 53.13^o$ और $2\theta_2 = 180^o - 53.13^o = 126.87^o$ हैं।
इसलिए,$\theta_1 = \frac{53.13^o}{2} \approx 26.5^o$ और $\theta_2 = \frac{126.87^o}{2} \approx 63.5^o$.

(D) जब एक गेंद को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ होता है।
यह दो निरंतर त्वरणों के अधीन है:
$1$. गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर त्वरण $(g)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. हवा के कारण क्षैतिज त्वरण $(a)$ जो एक निरंतर क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
गेंद का कुल त्वरण इन दो निरंतर त्वरणों का सदिश योग है,जो परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है और कुल त्वरण स्थिर है,इसलिए गेंद परिणामी त्वरण सदिश की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगी।
अतः,गेंद का पथ ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण पर झुकी हुई एक सीधी रेखा होगी।

(C) मान लीजिए प्रक्षेप्य का कुल द्रव्यमान $M = 4m$ है। उच्चतम बिंदु पर,वेग $v_x = u \cos \theta = 100 \cos 37^o = 100 \times (4/5) = 80 \, m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम $(COLM)$ के अनुसार क्षैतिज दिशा में:
$M v_x = m_1 v_1 + m_2 v_2$
चूंकि छोटा भाग $(m_1 = m)$ स्थिर हो जाता है $(v_1 = 0)$ और भारी भाग $(m_2 = 3m)$ वेग $v_2$ से गति करता है:
$(4m)(80) = m(0) + (3m) v_2$
$320m = 3m v_2 \Rightarrow v_2 = \frac{320}{3} \, m/s$.
उच्चतम बिंदु से जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u \sin \theta}{g} = \frac{100 \sin 37^o}{10} = 10 \times (3/5) = 6 \, s$ है।
उच्चतम बिंदु से भारी भाग द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $d = v_2 \times t = \frac{320}{3} \times 6 = 640 \, m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से उच्चतम बिंदु तक की क्षैतिज दूरी $R/2 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{2g} = \frac{100^2 \times 2 \sin 37^o \cos 37^o}{2 \times 10} = 1000 \times (3/5) \times (4/5) = 480 \, m$ है।
प्रक्षेपण बिंदु से कुल दूरी = $(R/2) + d = 480 + 640 = 1120 \, m$।

(C) $BA$ दिशा में प्रभावी त्वरण $a = g \sin 30^{\circ}$ है।
$a = 10 \times \frac{1}{2} = 5\, m/s^2$.
चूंकि पिंड $AB$ समतल के अनुदिश $s = 40\, m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है,इसलिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर।
यहाँ,$v = 0$ (अंतिम वेग),$a = -5\, m/s^2$ (मंदक),और $s = 40\, m$.
$0 = u^2 - 2 \times 5 \times 40 \Rightarrow u^2 = 400 \Rightarrow u = 20\, m/s$.
अब,यदि कण को इस चाल $u = 20\, m/s$ से क्षैतिज के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो परास $R$ होगी:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{(20)^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{10}$.
$R = \frac{400 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \sqrt{3}\, m$.

(C) $u_1$ वेग के साथ लंबवत ऊपर की ओर प्रक्षेपित गेंद के लिए उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
$u_2$ वेग के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित गेंद के लिए उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u_2 \sin 60^{\circ}}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गेंदें एक साथ जमीन पर पहुंचती हैं,इसलिए उनके उड़ान का समय समान है,अतः $T_1 = T_2$.
दोनों समीकरणों को बराबर करने पर: $\frac{2u_1}{g} = \frac{2u_2 \sin 60^{\circ}}{g}$.
समीकरण को सरल बनाने पर: $u_1 = u_2 \sin 60^{\circ}$.
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $u_1 = u_2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\frac{u_1}{u_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) समय $t$ पर प्रक्षेप्य के वेग के घटक $v_x = u \cos \theta$ और $v_y = u \sin \theta - gt$ हैं।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)$ द्वारा दिया जाता है।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर,$K = \frac{1}{2} m [(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta - gt)^2]$।
इसका विस्तार करने पर,$K = \frac{1}{2} m [u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta + g^2 t^2 - 2 u g t \sin \theta] = \frac{1}{2} m [u^2 + g^2 t^2 - 2 u g t \sin \theta]$।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है जो $K = at^2 + bt + c$ के रूप में है,जो ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है।
$t = 0$ पर,$K = \frac{1}{2} m u^2$। अधिकतम ऊँचाई पर $(t = \frac{u \sin \theta}{g})$,ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है,इसलिए $K$ न्यूनतम है लेकिन शून्य नहीं है $(K_{min} = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2)$।
अतः,ग्राफ एक परवलय है जो अधिकतम ऊँचाई तक घटता है और फिर बढ़ता है,जो ग्राफ $A$ के आकार से मेल खाता है।

(B) त्वरण $\vec{a}$ और संवेग $\vec{P}$ का अदिश गुणनफल इस प्रकार है: $\vec{a} \cdot \vec{P} = (4)(8) + (3)(-6) = 32 - 18 = 14 \, J/s$.
चूंकि अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{P} > 0$ है,इसलिए त्वरण सदिश और संवेग सदिश के बीच का कोण $\theta$ न्यून कोण ($90^o$ से कम) है।
त्वरण सदिश को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: एक संवेग के लंबवत (अभिकेंद्र त्वरण) और दूसरा संवेग के समानांतर (स्पर्शरेखीय त्वरण)।
चूंकि संवेग के समानांतर त्वरण का घटक धनात्मक है,इसलिए वेग का परिमाण (चाल) बढ़ रहा है।
अतः,यह त्वरित वृत्तीय गति है।

(B) गति निर्धारित करने के लिए,हम वेग सदिश $\vec{v}$ के सापेक्ष त्वरण $\vec{a}$ के घटकों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. व्यक्ति की गति धीमी होने के लिए,त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक वेग सदिश के विपरीत होना चाहिए। इसका मतलब है कि $\vec{v}$ और $\vec{a}$ के बीच का कोण अधिक कोण ($90^{\circ}$ से अधिक) होना चाहिए।
$2$. व्यक्ति के दाईं ओर मुड़ने के लिए,त्वरण का अभिलंब घटक वेग सदिश के दाईं ओर निर्देशित होना चाहिए।
विकल्प $B$ में,त्वरण सदिश $\vec{a}$ इस प्रकार निर्देशित है कि इसका एक घटक $\vec{v}$ के विपरीत है (गति धीमी हो रही है) और एक घटक $\vec{v}$ के दाईं ओर है (दाईं ओर मुड़ रहा है)। अतः,व्यक्ति की गति धीमी हो रही है और वह दाईं ओर मुड़ रहा है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) घंटे वाली सुई की लंबाई $r = 6\,cm$ है।
$1:00\,PM$ से $5:00\,PM$ तक का समय अंतराल $4$ घंटे है।
घड़ी का डायल $12$ घंटों में विभाजित होता है,इसलिए $12$ घंटे में घंटे वाली सुई $360^\circ$ का कोण बनाती है।
$4$ घंटे में बना कोण $\theta = (4/12) \times 360^\circ = 120^\circ$ होगा।
सुई के सिरे का विस्थापन $d$ प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की जीवा की लंबाई है,जिसे $d = 2r \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $d = 2 \times 6 \times \sin(120^\circ/2) = 12 \times \sin(60^\circ)$।
चूंकि $\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$ है,इसलिए $d = 12 \times (\sqrt{3}/2) = 6\sqrt{3}\,cm$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$,प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 80\,m/s$.
$1$. क्षैतिज घटक $u_x$ ज्ञात करें:
$\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} \implies \tan 30^{\circ} = \frac{80}{u_x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{80}{u_x} \implies u_x = 80\sqrt{3}\,m/s$.
$2$. उड्डयन काल $T$ ज्ञात करें:
$T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 80}{10} = 16\,s$.
$3$. $t = \frac{T}{4} = \frac{16}{4} = 4\,s$ पर वेग ज्ञात करें:
क्षैतिज वेग $v_x = u_x = 80\sqrt{3}\,m/s$.
ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = u_y - gt = 80 - (10 \times 4) = 80 - 40 = 40\,m/s$.
$4$. वेग का परिमाण $v$:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(80\sqrt{3})^2 + (40)^2} = \sqrt{6400 \times 3 + 1600} = \sqrt{19200 + 1600} = \sqrt{20800} = 40\sqrt{13} \approx 144.22\,m/s$.
अतः,$144.22\,m/s$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(B) दिया गया है,$K = as^2$. चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{1}{2}mv^2 = as^2$,जिसका अर्थ है $mv^2 = 2as^2$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $m(2v \frac{dv}{dt}) = 2a(2s \frac{ds}{dt})$.
चूँकि $\frac{ds}{dt} = v$,हमें $2mv \frac{dv}{dt} = 4asv$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्शरेखीय बल (tangential force) $F_t = m \frac{dv}{dt} = 2as$.
अभिकेंद्र बल (centripetal force) $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2as^2}{R}$.
कुल बल $F = \sqrt{F_t^2 + F_c^2} = \sqrt{(2as)^2 + \left( \frac{2as^2}{R} \right)^2}$.
$2as$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$F = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ प्राप्त होता है।

(D) गेंद को प्रारंभिक वेग $u = 0$ के साथ गिराया जाता है। इस पर दो निरंतर त्वरण कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर त्वरण $(g)$ और हवा के कारण क्षैतिज त्वरण $(a)$।
चूंकि प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए परिणामी त्वरण सदिश $\vec{a}_{net} = \vec{g} + \vec{a}$ स्थिर रहता है और एक निश्चित कोण पर कार्य करता है। गेंद परिणामी त्वरण सदिश $\vec{a}_{net}$ की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगी। अतः,कथन $(a)$ सही है।
चूंकि गेंद ऊर्ध्वाधर के साथ एक कोण पर सीधी रेखा में गति करती है,इसलिए विस्थापन एक समकोण त्रिभुज का कर्ण होगा,जिसमें ऊर्ध्वाधर ऊँचाई एक भुजा है। इसलिए,तय की गई वास्तविक दूरी (विस्थापन) $49\,m$ की ऊँचाई से अधिक होगी। अतः,कथन $(b)$ सही है।
जमीन तक पहुँचने में लगा समय केवल ऊर्ध्वाधर गति पर निर्भर करता है। गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 49}{9.8}} = \sqrt{10} \approx 3.16\,s$। अतः,कथन $(c)$ सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) समान प्रारंभिक गति $u$ और समान परास वाले दो प्रक्षेप्यों के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ पूरक होते हैं,अर्थात $\theta_1 + \theta_2 = \pi / 2$।
यहाँ $\theta_1 = \pi / 3$ दिया गया है,इसलिए $\theta_2 = \pi / 2 - \pi / 3 = \pi / 6$।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः,ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_2}{h_1} = \frac{u^2 \sin^2 \theta_2 / 2g}{u^2 \sin^2 \theta_1 / 2g} = \frac{\sin^2 \theta_2}{\sin^2 \theta_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{\sin^2(\pi / 6)}{\sin^2(\pi / 3)} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$।
इस प्रकार,$h_2 = h_1 / 3$ प्राप्त होता है।

(A) जब कोई प्रेक्षक एक अजड़त्वीय फ्रेम में होता है (अर्थात घूमते हुए द्रव्यमान के सापेक्ष स्थिर होता है),तो उसे गति का सही वर्णन करने के लिए छद्म बलों (pseudo-forces) को ध्यान में रखना होता है।
इस घूर्णन फ्रेम में,द्रव्यमान $m$ स्थिर है।
द्रव्यमान पर कार्य करने वाले वास्तविक बल हैं:
$1$. धागे में तनाव $T$,जो धागे की दिशा में आधार $O$ की ओर कार्य करता है।
$2$. द्रव्यमान का भार $W = mg$,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि प्रेक्षक एक घूर्णन फ्रेम में है,इसलिए द्रव्यमान पर त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर एक छद्म बल जिसे अपकेंद्रीय बल $F = m\omega^2r$ कहा जाता है,कार्य करता है।
अतः,स्थिर प्रेक्षक के दृष्टिकोण से द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$,भार $W$ और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करने वाला अपकेंद्रीय बल $F$ हैं।

(C) औसत वेग विस्थापन और समय का अनुपात होता है।
मान लीजिए प्रक्षेपण बिंदु $(0, 0)$ है। प्रक्षेप्य पथ का उच्चतम बिंदु $(\frac{R}{2}, H)$ पर है,जहाँ $R$ क्षैतिज परास है और $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
मूल बिंदु से उच्चतम बिंदु तक का विस्थापन सदिश $\vec{s} = \frac{R}{2}\hat{i} + H\hat{j}$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{R}{2})^2 + H^2}$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{v\sin\theta}{g}$ है।
हम जानते हैं कि $H = \frac{v^2\sin^2\theta}{2g}$ और $R = \frac{v^2\sin2\theta}{g} = \frac{2v^2\sin\theta\cos\theta}{g}$ है।
अतः,$\frac{R}{2} = \frac{v^2\sin\theta\cos\theta}{g}$ है।
$|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{v^2\sin\theta\cos\theta}{g})^2 + (\frac{v^2\sin^2\theta}{2g})^2} = \frac{v^2\sin\theta}{g} \sqrt{\cos^2\theta + \frac{\sin^2\theta}{4}} = \frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{4\cos^2\theta + \sin^2\theta}$ है।
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ का उपयोग करने पर,हमें $|\vec{s}| = \frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{3\cos^2\theta + 1}$ प्राप्त होता है।
औसत वेग $v_{av} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{v^2\sin\theta}{2g} \sqrt{3\cos^2\theta + 1}}{\frac{v\sin\theta}{g}} = \frac{v}{2} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$ है।

(D) समय $t$ पर अंतिम वेग $\vec{v}$ समीकरण $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $\vec{u} = (2\hat{i} + 3\hat{j})$,$\vec{a} = (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j})$,और $t = 10\, s$।
मान रखने पर:
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (3\hat{i} + 2\hat{j})$
$\vec{v} = 5\hat{i} + 5\hat{j}$
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\, units$ होगा।

(D) पथ का समीकरण $y = 9x^2$ है।
दिया गया है कि वेग का $x$-घटक स्थिर है,$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{3} \; m/s$.
चूंकि $v_x$ स्थिर है,इसलिए त्वरण का $x$-घटक $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0$ होगा।
वेग का $y$-घटक ज्ञात करने के लिए,$y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(9x^2) = 18x \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$v_y = 18x \times \frac{1}{3} = 6x$.
अब,त्वरण का $y$-घटक ज्ञात करने के लिए $v_y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(6x) = 6 \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$a_y = 6 \times \frac{1}{3} = 2 \; m/s^2$.
चूंकि $a_x = 0$ है,इसलिए कण का कुल त्वरण $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 \; m/s^2$ होगा।

(D) साइकिल सवार का कुल विस्थापन $0 \text{ m}$ है,क्योंकि प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति (केंद्र $O$) एक ही है।
तय की गई कुल दूरी $OP$,$PQ$ (चाप की लंबाई) और $QO$ के पथों का योग है।
$OP = 1 \text{ km}$,$QO = 1 \text{ km}$.
चूंकि $O$ केंद्र है और $OP$ तथा $OQ$ परस्पर लंबवत त्रिज्याएँ हैं,चाप $PQ$ परिधि का एक चौथाई भाग है: $PQ = \frac{1}{4} \times (2\pi r) = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 1 = \frac{\pi}{2} \text{ km}$.
कुल दूरी $= 1 + \frac{\pi}{2} + 1 = 2 + \frac{\pi}{2} = \frac{4 + \pi}{2} \text{ km}$.
कुल समय $= 10 \text{ मिनट} = \frac{10}{60} \text{ घंटा} = \frac{1}{6} \text{ घंटा}$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{(4 + \pi)/2}{1/6} = \frac{4 + \pi}{2} \times 6 = 3(4 + \pi) \text{ km/h}$.
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,औसत चाल $= 3(4 + 3.14) = 3(7.14) = 21.42 \text{ km/h} \approx 21.4 \text{ km/h}$.
अतः,विस्थापन $0 \text{ m}$ है और औसत चाल $21.4 \text{ km/h}$ है।

(B) समय $t$ के फलन के रूप में स्थिति निर्देशांक दिए गए हैं:
$x = 3 \cos 4t$
$y = 3(1 - \sin 4t)$
वेग के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = 3(-4 \sin 4t) = -12 \sin 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = 3(0 - 4 \cos 4t) = -12 \cos 4t$
वेग का परिमाण $v$ इस प्रकार है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-12 \sin 4t)^2 + (-12 \cos 4t)^2}$
$v = \sqrt{144 \sin^2 4t + 144 \cos^2 4t} = \sqrt{144(\sin^2 4t + \cos^2 4t)}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$v = \sqrt{144} = 12 \text{ m/s}$
चूंकि चाल स्थिर है,$t = 2 \text{ s}$ में तय की गई दूरी:
$\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय} = 12 \text{ m/s} \times 2 \text{ s} = 24 \text{ m}$.

(B) मान लीजिए कि दोनों कण $t$ समय के बाद टकराते हैं। कण $A$ द्वारा तय की गई दूरी $d_A = v_A \times t = 0.5t$ है।
कण $B$ द्वारा तय की गई दूरी $d_B = v_B \times t = 1.5t$ है।
चूंकि वे वृत्ताकार पथ पर विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए वे तब टकराएंगे जब उनके द्वारा तय की गई दूरियों का योग वृत्त की कुल परिधि के बराबर होगा।
$0.5\,m$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि $C = 2\pi r = 2\pi(0.5) = \pi\,m$ है।
अतः,$d_A + d_B = C$.
$0.5t + 1.5t = \pi$.
$2t = \pi$.
$t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57\,s$.

(D) स्थिति सदिश $\vec{r} = \sin t \hat{i} + \cos t \hat{j} + t \hat{k}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \cos t \hat{i} - \sin t \hat{j} + 1 \hat{k}$ है।
त्वरण सदिश $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\sin t \hat{i} - \cos t \hat{j} + 0 \hat{k}$ है।
स्थिति सदिश और त्वरण सदिश के लंबवत होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य होना चाहिए: $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(-\cos t) + (t)(0) = 0$.
$-\sin^2 t - \cos^2 t = 0$.
$-(\sin^2 t + \cos^2 t) = 0$.
$-1 = 0$.
चूंकि $-1$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता,इसलिए ऐसा कोई समय $t$ नहीं है जिसके लिए सदिश लंबवत हों। अतः,वे कभी भी लंबवत नहीं होते हैं।

(D) प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = u \cos \theta = 50 \cos 30^{\circ} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}\,m/s$ है।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 30^{\circ} = 50 \times \frac{1}{2} = 25\,m/s$ है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने का समय $t_1 = \frac{u_y}{g} = \frac{25}{10} = 2.5\,s$ है।
इस समय के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1 = u_x t_1 = (25 \sqrt{3})(2.5) = 62.5 \sqrt{3}\,m$ है।
उच्चतम बिंदु पर,ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है। $10\,N$ का बल ऊपर की ओर कार्य करता है। चूंकि $m = 1\,kg$,ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_y = \frac{F - mg}{m} = \frac{10 - 10}{1} = 0\,m/s^2$ है।
अतः,अगले $5\,s$ के लिए,पिंड $25 \sqrt{3}\,m/s$ के स्थिर क्षैतिज वेग से चलता है और ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है।
इस समय के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी $x_2 = u_x \times 5 = (25 \sqrt{3}) \times 5 = 125 \sqrt{3}\,m$ है।
$5\,s$ के बाद,पिंड उच्चतम बिंदु से गुरुत्वाकर्षण के तहत नीचे गिरता है। नीचे गिरने में लगा समय $t_3 = t_1 = 2.5\,s$ है।
इस समय के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी $x_3 = u_x t_3 = (25 \sqrt{3})(2.5) = 62.5 \sqrt{3}\,m$ है।
कुल क्षैतिज परास $R = x_1 + x_2 + x_3 = 62.5 \sqrt{3} + 125 \sqrt{3} + 62.5 \sqrt{3} = 250 \sqrt{3}\,m$ है।

(D) मान लीजिए कि शुरुआती बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
$t$ समय के बाद,पहले कण की स्थिति $(v_1 t, 0)$ और दूसरे कण की स्थिति $(0, v_2 t)$ है।
इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{v_1 t} + \frac{y}{v_2 t} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $v_2 x + v_1 y = v_1 v_2 t$ प्राप्त होता है।
तीसरा कण उत्तर-पूर्व की ओर गति करता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग सदिश x-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}, \frac{v_3 t}{\sqrt{2}})$ है।
चूंकि तीसरा कण उसी रेखा पर स्थित होना चाहिए,इसलिए उसके निर्देशांकों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$v_2 (\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}) + v_1 (\frac{v_3 t}{\sqrt{2}}) = v_1 v_2 t$.
$t$ से विभाजित करने और $v_3$ के लिए हल करने पर:
$\frac{v_3}{\sqrt{2}} (v_1 + v_2) = v_1 v_2$.
$v_3 = \frac{\sqrt{2} v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(C) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। उच्चतम बिंदु पर वेग $v_H = u \cos \alpha$ है।
अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ है।
ऊंचाई $h = \frac{H}{2} = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{4g}$ पर,वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \alpha$ और ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - 2gh}$ है।
$h$ का मान रखने पर,$v_y = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - 2g(\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{4g})} = \sqrt{u^2 \sin^2 \alpha - \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2}} = \frac{u \sin \alpha}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
ऊंचाई $h$ पर परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 \alpha + \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2}}$ है।
दिया गया है कि $v_H = \sqrt{\frac{2}{5}} v$,इसलिए $v_H^2 = \frac{2}{5} v^2$.
$u^2 \cos^2 \alpha = \frac{2}{5} (u^2 \cos^2 \alpha + \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2})$.
$u^2 \cos^2 \alpha = \frac{2}{5} u^2 \cos^2 \alpha + \frac{1}{5} u^2 \sin^2 \alpha$.
$\frac{3}{5} \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \sin^2 \alpha$.
$\tan^2 \alpha = 3 \implies \tan \alpha = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$।

(C) गेंदों के मिलने के लिए,उन्हें एक ही समय $t$ पर समान क्षैतिज स्थिति और समान ऊर्ध्वाधर स्थिति में होना चाहिए।
माना गेंद $A$ का क्षैतिज वेग $v_{Ax} = 50 \cos 37^{\circ} = 50 \times (4/5) = 40\,m/s$ है।
माना गेंद $B$ का क्षैतिज वेग $v_{Bx} = 0\,m/s$ है (क्योंकि इसे ऊर्ध्वाधर रूप से फेंका जाता है)।
गेंदों के मिलने के लिए,गेंद $A$ को गेंद $B$ की ऊर्ध्वाधर रेखा तक पहुँचने के लिए $120\,m$ की क्षैतिज दूरी तय करनी होगी।
गेंद $A$ द्वारा $B$ की ऊर्ध्वाधर रेखा तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{120\,m}{40\,m/s} = 3\,s$ है।
अब,$t = 3\,s$ पर दोनों गेंदों की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई की जाँच करें:
गेंद $A$ के लिए: $v_{Ay} = 50 \sin 37^{\circ} = 50 \times (3/5) = 30\,m/s$.
$h_A = v_{Ay} t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(3) - \frac{1}{2}(10)(3)^2 = 90 - 45 = 45\,m$.
गेंद $B$ के लिए: $v_{By} = 30\,m/s$.
$h_B = v_{By} t - \frac{1}{2} g t^2 = 30(3) - \frac{1}{2}(10)(3)^2 = 90 - 45 = 45\,m$.
चूंकि $t = 3\,s$ पर $h_A = h_B$ है,इसलिए यदि गेंदों को एक साथ फेंका जाए तो वे $45\,m$ की ऊँचाई पर मिलती हैं।