Motion In Two And Three Dimension Questions in Hindi

(D) मक्खी का विस्थापन आयताकार हॉल के स्पेस विकर्ण की लंबाई के बराबर होता है।
$l$,$b$,और $h$ आयामों वाले आयताकार समानांतर चतुर्भुज के स्पेस विकर्ण $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$
दिए गए आयाम $l = 10\,m$,$b = 12\,m$,और $h = 14\,m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{10^2 + 12^2 + 14^2}$
$d = \sqrt{100 + 144 + 196}$
$d = \sqrt{440}$
$d \approx 20.97\,m$
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $d \approx 21\,m$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
$6\,m$ उत्तर की ओर गति $y$-अक्ष पर,$8\,m$ पूर्व की ओर गति $x$-अक्ष पर और $10\,m$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति $z$-अक्ष पर है।
पिंड का स्थिति सदिश $\vec{r} = 8\hat{i} + 6\hat{j} + 10\hat{k}$ है।
परिणामी विस्थापन का परिमाण $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $r = \sqrt{8^2 + 6^2 + 10^2}$.
$r = \sqrt{64 + 36 + 100} = \sqrt{200}$.
$r = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\,m$.

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
सबसे पहले,हवाई जहाज $400 \,m$ उत्तर ($y$-अक्ष पर) और $300 \,m$ दक्षिण (ऋणात्मक $y$-अक्ष पर) उड़ता है।
क्षैतिज तल में कुल विस्थापन $400 \,m - 300 \,m = 100 \,m$ उत्तर की ओर है।
इसके बाद,यह $1200 \,m$ ऊपर की ओर ($z$-अक्ष पर) उड़ता है।
अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r} = 100 \hat{j} + 1200 \hat{k}$ है।
कुल विस्थापन का परिमाण $r = \sqrt{(100)^2 + (1200)^2}$ होगा।
$r = \sqrt{10000 + 1440000} = \sqrt{1450000}$.
$r = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204 \,m$.

(D) $X$-अक्ष के अनुदिश वेग का घटक $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश वेग का घटक $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$ है।
कण के वेग का परिमाण (चाल) $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ है।
मान रखने पर,हमें $v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2} = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$v = 2t\sqrt{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) वेग के घटक स्थिति के समय के सापेक्ष अवकलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t) = 6t - 6 \text{ m/s}$.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t) = 2t - 2 \text{ m/s}$.
$t = 1 \text{ s}$ पर,$v_x = 6(1) - 6 = 0 \text{ m/s}$ और $v_y = 2(1) - 2 = 0 \text{ m/s}$.
चूंकि दोनों घटक शून्य हैं,इसलिए $t = 1 \text{ s}$ पर वेग का परिमाण $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = 0 \text{ m/s}$ है।
अतः,$t = 1 \text{ s}$ पर कण का वेग शून्य है।

(B) त्वरण के घटक समय के सापेक्ष स्थिति के द्वितीय अवकलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
$x$-निर्देशांक के लिए: $x = 7t + 4t^2$.
वेग $v_x = \frac{dx}{dt} = 7 + 8t$.
त्वरण $a_x = \frac{dv_x}{dt} = 8 \ m/s^2$.
$y$-निर्देशांक के लिए: $y = 5t$.
वेग $v_y = \frac{dy}{dt} = 5$.
त्वरण $a_y = \frac{dv_y}{dt} = 0 \ m/s^2$.
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \ m/s^2$.
चूंकि त्वरण स्थिर है,इसलिए $t = 5 \ s$ पर भी यह $8 \ m/s^2$ ही रहेगा।

(C) कण के स्थिति निर्देशांक $x = \alpha t^3$ और $y = \beta t^3$ दिए गए हैं।
वेग के घटक समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3) = 3\alpha t^2$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\beta t^3) = 3\beta t^2$
कण की चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$
$v = \sqrt{9t^4(\alpha^2 + \beta^2)}$
$v = 3t^2\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच औसत वेग सदिश $\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{(x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j}}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ है।
बिंदुओं $A(0, 2)$ और $B(5, 3)$ के लिए,ढाल $m = \frac{3 - 2}{5 - 0} = \frac{1}{5} = 0.2$ है।
किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक वेग उस बिंदु पर प्रक्षेप पथ के स्पर्शरेखा की ढाल द्वारा दिया जाता है,$v_y / v_x = dy/dx$.
हम एक ऐसा बिंदु ढूंढ रहे हैं जहाँ स्पर्शरेखा की ढाल,छेदक रेखा की ढाल के बराबर हो,अर्थात $dy/dx = 0.2$.
ग्राफ को देखने पर,बिंदु $(4, 2)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल धनात्मक है और यह $(0, 2)$ और $(5, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल से मेल खाती है।
अतः,सही निर्देशांक $(4, 2)$ हैं।

(C) दिया गया है कि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = 0$ और $u_y = 0$ हैं।
त्वरण के घटक $a_x = 6 \; m/s^2$ और $a_y = 8 \; m/s^2$ हैं।
बीता हुआ समय $t = 4 \; s$ है।
दोनों अक्षों के लिए गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$x$-अक्ष के लिए: $x = 0(4) + \frac{1}{2} \times 6 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48 \; m$.
$y$-अक्ष के लिए: $y = 0(4) + \frac{1}{2} \times 8 \times (4)^2 = 4 \times 16 = 64 \; m$.
मूल बिंदु से दूरी $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \sqrt{(48)^2 + (64)^2} = \sqrt{2304 + 4096} = \sqrt{6400} = 80 \; m$.

(A) कण के स्थिति निर्देशांक समय $t$ के फलन के रूप में दिए गए हैं:
$x = 5t - 2t^2$
$y = 10t$
वेग के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति निर्देशांकों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t - 2t^2) = 5 - 4t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(10t) = 10$
त्वरण के घटकों को ज्ञात करने के लिए,हम वेग के घटकों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 4t) = -4 \, m/s^2$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(10) = 0 \, m/s^2$
त्वरण सदिश $\vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} = -4 \hat{i} + 0 \hat{j} = -4 \hat{i} \, m/s^2$ है।
चूंकि त्वरण के घटक स्थिर हैं,इसलिए $t = 2 \, s$ सहित किसी भी समय पर कण का त्वरण $x$-दिशा में $-4 \, m/s^2$ होगा।

(C) प्रारंभिक बिंदु $P$ से पथ पर किसी भी बिंदु $Q$ तक का औसत वेग सदिश $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{r}_Q - \vec{r}_P}{t_Q - t_P}$ द्वारा दिया जाता है,जो विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$ की दिशा में होता है।
किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक वेग सदिश $\vec{v}_{inst}$ उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
औसत वेग सदिश और तात्क्षणिक वेग सदिश के एक ही दिशा में होने के लिए,विस्थापन सदिश $\vec{r}_Q - \vec{r}_P$ को बिंदु $Q$ पर पथ के स्पर्शरेखा होना चाहिए।
ज्यामितीय रूप से,इसका अर्थ है कि प्रारंभिक बिंदु $P$ को बिंदु $Q$ से जोड़ने वाली रेखा बिंदु $Q$ पर वक्र के स्पर्शरेखा होनी चाहिए।
पथ को देखने पर,यदि हम $P$ से $C$ तक एक रेखा खींचते हैं,तो यह रेखा बिंदु $C$ पर पथ के स्पर्शरेखा है। इसलिए,बिंदु $C$ पर,औसत वेग सदिश तात्क्षणिक वेग सदिश की दिशा में ही है।

(C) दिया गया वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = a \hat{i} + bx \hat{j}$ है।
अतः,$v_x = \frac{dx}{dt} = a$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = bx$ है।
$v_x = a$ से,समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int_0^x dx = \int_0^t a dt$,जिससे $x = at$ या $t = \frac{x}{a}$ प्राप्त होता है।
अब,$v_y$ के व्यंजक में $t$ का मान रखने पर: $\frac{dy}{dt} = bx$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{bx}{a}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int_0^y dy = \int_0^x \frac{b}{a} x dx$ है।
इस प्रकार,$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{bx^2}{2a}$ प्राप्त होता है।

(A) गति के दिए गए समीकरण:
$x = kt$
$y = kt(1 - \alpha t)$
पहले समीकरण से,हम समय $t$ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$t = \frac{x}{k}$
$t$ के इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = k \left( \frac{x}{k} \right) \left( 1 - \alpha \left( \frac{x}{k} \right) \right)$
$y = x \left( 1 - \frac{\alpha x}{k} \right)$
$y = x - \frac{\alpha x^2}{k}$
अतः,प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x - \frac{\alpha x^2}{k}$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = c$ और $\frac{dy}{dt} = c$। चूँकि $c$ एक नियतांक है,इसलिए द्वितीय अवकलज $\frac{d^2x}{dt^2} = 0$ और $\frac{d^2y}{dt^2} = 0$ होंगे।
पथ का समीकरण $z = ax^3 + by^2$ है।
$z$-दिशा में वेग का घटक ज्ञात करने के लिए,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dt} = 3ax^2 \frac{dx}{dt} + 2by \frac{dy}{dt} = 3ax^2(c) + 2by(c) = 3acx^2 + 2bcy$.
$z$-दिशा में त्वरण का घटक ज्ञात करने के लिए,$\frac{dz}{dt}$ का समय $t$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2z}{dt^2} = \frac{d}{dt}(3acx^2 + 2bcy) = 3ac(2x \frac{dx}{dt}) + 2bc(\frac{dy}{dt})$.
$\frac{dx}{dt} = c$ और $\frac{dy}{dt} = c$ रखने पर:
$\frac{d^2z}{dt^2} = 6acx(c) + 2bc(c) = 6ac^2x + 2bc^2$.
त्वरण सदिश $\vec{a} = \frac{d^2x}{dt^2} \hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \hat{k}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{a} = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} + (6ac^2x + 2bc^2) \hat{k} = (6ac^2x + 2bc^2) \hat{k}$.

(A) वेग के घटक स्थिति निर्देशांकों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = -a \omega \sin \omega t$
$v_y = \frac{dy}{dt} = a \omega \cos \omega t$
$v_z = \frac{dz}{dt} = a \omega$
चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$
$v = \sqrt{(-a \omega \sin \omega t)^2 + (a \omega \cos \omega t)^2 + (a \omega)^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + a^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + a^2 \omega^2}$
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t) + a^2 \omega^2}$
चूंकि $\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$v = \sqrt{a^2 \omega^2 (1) + a^2 \omega^2} = \sqrt{2 a^2 \omega^2} = \sqrt{2} a \omega$

(D) स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = (15t^2) \hat{i} + (4 - 20t^2) \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\vec{r}$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{i} + \frac{d}{dt}(4 - 20t^2) \hat{j} = (30t) \hat{i} - (40t) \hat{j}$.
त्वरण सदिश $\vec{a}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\vec{v}$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(30t) \hat{i} - \frac{d}{dt}(40t) \hat{j} = 30 \hat{i} - 40 \hat{j}$.
त्वरण स्थिर है और समय पर निर्भर नहीं है।
त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{(30)^2 + (-40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ m/s^2$ है।

(N/A) $v(t) = \frac{dr}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 t \hat{i} + 2.0 t^{2} \hat{j} + 5.0 \hat{k}) = 3.0 \hat{i} + 4.0 t \hat{j} \ m/s$.
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 \hat{i} + 4.0 t \hat{j}) = 4.0 \hat{j} \ m/s^{2}$.
$t = 1.0 \ s$ पर,वेग सदिश $v = 3.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} \ m/s$ है।
इसका परिमाण $|v| = \sqrt{3.0^{2} + 4.0^{2}} = \sqrt{9 + 16} = 5.0 \ m/s$ है।
$x$-अक्ष के साथ दिशा $\theta = \tan^{-1}(\frac{v_{y}}{v_{x}}) = \tan^{-1}(\frac{4.0}{3.0}) \approx 53^{\circ}$ है।

(A) समय $t$ पर कण का स्थिति सदिश $r(t) = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $v_0 = 5.0 \hat{i} \; m/s$ और $a = (3.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j}) \; m/s^2$,अतः:
$r(t) = (5.0 \hat{i})t + \frac{1}{2}(3.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t^2 = (5.0t + 1.5t^2) \hat{i} + (1.0t^2) \hat{j}$.
इस प्रकार,$x(t) = 5.0t + 1.5t^2$ और $y(t) = 1.0t^2$.
$x = 84 \; m$ के लिए,हम $1.5t^2 + 5.0t - 84 = 0$ को हल करते हैं। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = \frac{-5.0 \pm \sqrt{25 + 4(1.5)(84)}}{2(1.5)} = \frac{-5.0 \pm \sqrt{529}}{3} = \frac{-5.0 \pm 23}{3}$. चूंकि $t > 0$,इसलिए $t = 6 \; s$.
$(a)$ $t = 6 \; s$ पर,$y = 1.0(6)^2 = 36.0 \; m$.
$(b)$ वेग सदिश $v(t) = \frac{dr}{dt} = (5.0 + 3.0t) \hat{i} + (2.0t) \hat{j}$ है।
$t = 6 \; s$ पर,$v = (5.0 + 3.0(6)) \hat{i} + (2.0(6)) \hat{j} = 23.0 \hat{i} + 12.0 \hat{j} \; m/s$.
चाल $|v| = \sqrt{23^2 + 12^2} = \sqrt{529 + 144} = \sqrt{673} \approx 25.94 \; m/s \approx 26 \; m/s$.

(N/A) कण की स्थिति इस प्रकार है:
$\vec{r} = 3.0 t \hat{i} - 2.0 t^{2} \hat{j} + 4.0 \hat{k}$
वेग $\vec{v}$,स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 t \hat{i} - 2.0 t^{2} \hat{j} + 4.0 \hat{k}) = 3.0 \hat{i} - 4.0 t \hat{j} \; m/s$
त्वरण $\vec{a}$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3.0 \hat{i} - 4.0 t \hat{j}) = -4.0 \hat{j} \; m/s^{2}$
$(b)$ $t = 2.0 \; s$ पर,वेग सदिश:
$\vec{v} = 3.0 \hat{i} - 4.0(2.0) \hat{j} = 3.0 \hat{i} - 8.0 \hat{j} \; m/s$
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(3.0)^{2} + (-8.0)^{2}} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \approx 8.54 \; m/s$
$x$-अक्ष के साथ दिशा $\theta$:
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-8.0}{3.0}\right) \approx -69.45^{\circ}$
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि दिशा धनात्मक $x$-अक्ष के नीचे $69.45^{\circ}$ के कोण पर है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10.0 \hat{j} \; m/s$,त्वरण $\vec{a} = (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j}) \; m/s^2$.
स्थिति के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\vec{r}(t) = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$.
मान रखने पर: $\vec{r}(t) = (10.0 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t^2 = 4.0 t^2 \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
घटकों की तुलना करने पर: $x = 4.0 t^2$ और $y = 10t + t^2$.
$x = 16 \; m$ के लिए: $16 = 4.0 t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \; s$.
$t = 2 \; s$ पर,$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \; m$.
$(b)$ वेग सदिश $\vec{v}(t) = \vec{u} + \vec{a}t = 10.0 \hat{j} + (8.0 \hat{i} + 2.0 \hat{j})t = 8.0 t \hat{i} + (10 + 2.0 t) \hat{j}$.
$t = 2 \; s$ पर: $\vec{v} = 8.0(2) \hat{i} + (10 + 2.0(2)) \hat{j} = 16 \hat{i} + 14 \hat{j}$.
चाल $|\vec{v}| = \sqrt{16^2 + 14^2} = \sqrt{256 + 196} = \sqrt{452} \approx 21.26 \; m/s$.

(B) एक-आयामी गति में,विस्थापन,वेग और त्वरण जैसी भौतिक राशियों को दिशा दर्शाने के लिए $(+)$ और $(-)$ संकेतों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है,क्योंकि एक सीधी रेखा पर केवल दो ही दिशाएँ संभव हैं।
हालाँकि,जब कोई वस्तु दो आयामों (समतल) या तीन आयामों (अंतरिक्ष) में गति करती है,तो दिशा केवल दो संभावनाओं तक सीमित नहीं रहती है। ऐसे मामलों में,इन भौतिक राशियों का पूर्ण वर्णन करने के लिए हमें वेक्टर (सदिशों) का उपयोग करना पड़ता है,क्योंकि वेक्टर किसी भी दिशा में परिमाण और दिशा दोनों को ध्यान में रखते हैं।

(N/A) एक-विमीय गति: सीधी पटरी पर चलती ट्रेन की गति एक-विमीय गति का उदाहरण है,क्योंकि किसी भी समय इसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए केवल एक निर्देशांक की आवश्यकता होती है।
द्वि-विमीय गति: कैरम बोर्ड पर स्ट्राइकर की गति द्वि-विमीय गति का उदाहरण है,क्योंकि स्ट्राइकर एक समतल में गति करता है और इसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए दो निर्देशांक $(x, y)$ की आवश्यकता होती है।
त्रि-विमीय गति: पानी में तैरती मछली या आकाश में उड़ते पक्षी की गति त्रि-विमीय गति का उदाहरण है,क्योंकि किसी भी समय इसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए तीन निर्देशांक $(x, y, z)$ की आवश्यकता होती है।

(N/A) स्थिति सदिश: मूल बिंदु $O$ के संदर्भ में समतल में स्थित कण $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}$ इस प्रकार है:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$
जहाँ $x$ और $y$,$\vec{r}$ के क्रमशः $x$ और $y$-अक्ष के अनुदिश घटक हैं,जो वस्तु के निर्देशांक दर्शाते हैं।
विस्थापन सदिश:
मान लीजिए कि एक कण एक वक्र पथ पर गति करता है और समय $t$ पर $P$ स्थिति में है तथा समय $t^{\prime}$ पर $P^{\prime}$ स्थिति में है।
$P$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j}$ है।
$P^{\prime}$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r}^{\prime} = x^{\prime} \hat{i} + y^{\prime} \hat{j}$ है।
विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r}$,$P$ से $P^{\prime}$ तक स्थिति सदिश में हुआ परिवर्तन है:
$\Delta \vec{r} = \vec{r}^{\prime} - \vec{r}$
$\Delta \vec{r} = (x^{\prime} - x) \hat{i} + (y^{\prime} - y) \hat{j}$
$\Delta \vec{r} = \Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}$
जहाँ $\Delta x = x^{\prime} - x$ और $\Delta y = y^{\prime} - y$ क्रमशः $x$ और $y$ निर्देशांकों में परिवर्तन हैं।

(N/A) किसी वस्तु का औसत वेग $(\vec{v})$ विस्थापन और संबंधित समयांतराल का अनुपात है।
मान लीजिए कि कोई वस्तु $\Delta t$ समयांतराल में $\Delta \vec{r}$ विस्थापन तय करती है।
औसत वेग:
$\langle\vec{v}\rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x \hat{i} + \Delta y \hat{j}}{\Delta t} = \hat{i} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right) + \hat{j} \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)$
या,$\langle\vec{v}\rangle = \langle v_{x} \rangle \hat{i} + \langle v_{y} \rangle \hat{j}$
औसत वेग की दिशा विस्थापन सदिश $\Delta \vec{r}$ की दिशा के समान होती है।
तात्क्षणिक वेग को औसत वेग के उस सीमांत मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जब समयांतराल शून्य की ओर अग्रसर होता है:
$\vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$
पथ पर किसी भी बिंदु पर वेग की दिशा उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखीय होती है और गति की दिशा में होती है।
घटकों के रूप में,तात्क्षणिक वेग:
$\vec{v} = \hat{i} \left( \frac{dx}{dt} \right) + \hat{j} \left( \frac{dy}{dt} \right) = v_{x} \hat{i} + v_{y} \hat{j}$
जहाँ $v_{x} = \frac{dx}{dt}$ और $v_{y} = \frac{dy}{dt}$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर वेग के घटक हैं।
वेग सदिश का परिमाण:
$v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
$MKS$ प्रणाली में वेग का मात्रक $m/s$ है और $CGS$ प्रणाली में $cm/s$ है।

औसत त्वरण को एक निश्चित समयांतराल में वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{औसत त्वरण} = \frac{\text{वेग में परिवर्तन}}{\text{समयांतराल}}$
$xy$-समतल में गति कर रहे किसी वस्तु के लिए $\Delta t$ समयांतराल में औसत त्वरण $\vec{a}$,वेग में परिवर्तन और समयांतराल का अनुपात है:
$\vec{a} = \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{\Delta(v_x \hat{i} + v_y \hat{j})}{\Delta t} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} \hat{i} + \frac{\Delta v_y}{\Delta t} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
तात्क्षणिक त्वरण,औसत त्वरण का वह सीमांत मान है जब समयांतराल शून्य की ओर अग्रसर होता है:
$\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt}$
चूंकि $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$,इसलिए:
$\vec{a} = \frac{d}{dt}(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = \frac{dv_x}{dt} \hat{i} + \frac{dv_y}{dt} \hat{j} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$
जहाँ $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ और $a_y = \frac{dv_y}{dt}$ है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$,त्वरण को समय के सापेक्ष स्थिति के द्वितीय अवकलज के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{\vec{r}}$

(B) कण का स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = (3t)\hat{i} + (4t^2)\hat{j}$ है।
वेग सदिश $\vec{v}(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} [(3t)\hat{i} + (4t^2)\hat{j}]$
$\vec{v}(t) = 3\hat{i} + (8t)\hat{j}$.
अब,वेग समीकरण में $t = 2 \ s$ रखने पर:
$\vec{v}(2) = 3\hat{i} + (8 \times 2)\hat{j}$
$\vec{v}(2) = 3\hat{i} + 16\hat{j} \ m/s$.

(D) दो या तीन आयामों में गति में,वेग सदिश $\vec{v}$ और त्वरण सदिश $\vec{a}$ के बीच का कोण $\theta$ ऐसा हो सकता है कि $0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ हो।
यदि $\theta = 0^{\circ}$ है,तो गति बढ़ती है।
यदि $\theta = 180^{\circ}$ है,तो गति घटती है।
यदि $\theta = 90^{\circ}$ है,तो गति स्थिर रहती है (समान वृत्तीय गति)।
इसलिए,कोण $[0^{\circ}, 180^{\circ}]$ की सीमा में कोई भी मान हो सकता है।

मान लीजिए कि एक कण एक समतल में एकसमान त्वरण $\vec{a}$ के साथ गति कर रहा है। समय $t=0$ पर,वेग प्रारंभिक वेग $\vec{v_0}$ है और स्थिति $\vec{r_0}$ है। समय $t=t$ पर,वेग $\vec{v}$ है और स्थिति $\vec{r}$ है।
$1$. $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ की व्युत्पत्ति:
चूंकि त्वरण एकसमान है,तात्क्षणिक त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t - 0}$
$\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{v_0}}{t}$
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$
घटकों के रूप में:
$v_x = v_{0x} + a_x t$
$v_y = v_{0y} + a_y t$
$2$. $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ की व्युत्पत्ति:
एकसमान त्वरण के लिए,औसत वेग $\vec{v}_{avg} = \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2}$ होता है।
विस्थापन $\vec{r} - \vec{r_0} = \vec{v}_{avg} \cdot t = \left( \frac{\vec{v} + \vec{v_0}}{2} \right) t$ है।
$\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{\vec{v_0} + \vec{a}t + \vec{v_0}}{2} \right) t$
$\vec{r} - \vec{r_0} = \left( \frac{2\vec{v_0} + \vec{a}t}{2} \right) t$
$\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.

(B) समतल में गति को द्विविमीय गति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गति की स्वतंत्रता के सिद्धांत के अनुसार,समतल में किसी भी गति को दो परस्पर लंबवत दिशाओं (आमतौर पर $x$ और $y$ अक्ष) के अनुदिश दो स्वतंत्र गतियों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(N/A) समतल में एकसमान त्वरण $\vec{a}$ के साथ गति के लिए,गति को $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश दो स्वतंत्र घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
$1$. $x$-अक्ष के लिए:
$v_x = u_x + a_x t$
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$v_x^2 = u_x^2 + 2 a_x x$
$2$. $y$-अक्ष के लिए:
$v_y = u_y + a_y t$
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$
$v_y^2 = u_y^2 + 2 a_y y$
यहाँ,$\vec{u} = (u_x, u_y)$ प्रारंभिक वेग है,$\vec{v} = (v_x, v_y)$ समय $t$ पर अंतिम वेग है,और $\vec{a} = (a_x, a_y)$ नियत त्वरण है।

(C) कण के निर्देशांक समय $t$ के फलन के रूप में दिए गए हैं:
$x = 4t^2$
$y = 2t$
कण का पथ (locus) ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों से प्राचल $t$ को विलुप्त करेंगे।
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ के इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = 4 \left( \frac{y}{2} \right)^2$
$x = 4 \left( \frac{y^2}{4} \right)$
$x = y^2$
समीकरण $x = y^2$ धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में खुलने वाले एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,कण का पथ एक परवलय है।

(A) $t = 1$ पर,कण $A$ की स्थितियाँ हैं:
$x_A(1) = 3(1) = 3$
$y_A(1) = 1$
अतः,कण $A$ की स्थिति $(3, 1)$ है।
$t = 1$ पर,कण $B$ की स्थितियाँ हैं:
$x_B(1) = 6$
$y_B(1) = 2 + 3(1)^2 = 2 + 3 = 5$
अतः,कण $B$ की स्थिति $(6, 5)$ है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (5 - 1)^2}$
$d = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$d = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(B) किसी भी समय $t$ पर कण का स्थिति सदिश $\vec{r}(t) = x(t) \hat{i} + y(t) \hat{j} + z(t) \hat{k}$ है।
दिया गया है कि $x = 3t$,$y = 5t^3$,और $z = 7$ (स्थिर)।
अतः,$\vec{r}(t) = 3t \hat{i} + 5t^3 \hat{j} + 7 \hat{k}$।
वेग सदिश $\vec{v}$ स्थिति का समय के सापेक्ष पहला अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(5t^3) \hat{j} + \frac{d}{dt}(7) \hat{k} = 3 \hat{i} + 15t^2 \hat{j}$।
त्वरण सदिश $\vec{a}$ वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3) \hat{i} + \frac{d}{dt}(15t^2) \hat{j} = 0 \hat{i} + 30t \hat{j}$।
$t = 1 \, \text{s}$ पर,त्वरण $\vec{a} = 30(1) \hat{j} = 30 \hat{j} \, \text{cm/s}^2$ होगा।

(B) स्थिति सदिश $\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 6t \hat{j} + \hat{k}$ है।
वेग सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 \hat{i} + 6t \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6t) \hat{i} + (6) \hat{j} + (0) \hat{k}$
$y$-अक्ष के अनुदिश वेग का घटक $\hat{j}$ इकाई सदिश का गुणांक है,जो $v_y = 6$ है।
अतः,$y$-अक्ष के अनुदिश वेग का परिमाण $6$ है।

(A) दिया गया वेग सदिश: $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 3 \hat{i} + 6x \hat{j}$ है।
घटकों की तुलना करने पर,$v_x = \frac{dx}{dt} = 3$ और $v_y = \frac{dy}{dt} = 6x$ प्राप्त होता है।
पथ की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{6x}{3} = 2x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dy = \int 2x dx$।
चूँकि कण मूल बिंदु $(0,0)$ से चलना शुरू करता है,इसलिए समाकलन स्थिरांक $0$ है।
अतः,$y = x^2$।

(B) किसी कण की स्वतंत्रता की कोटि को उन स्वतंत्र निर्देशांकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अंतरिक्ष में उसकी स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक होते हैं।
चूंकि चींटी एक समतल क्षैतिज सतह पर चल रही है,इसलिए उसकी स्थिति को कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दो निर्देशांकों $(x, y)$ द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है।
अतः,चींटी के पास $2$ स्वतंत्रता की कोटि है।

(D) चींटी का स्थिति सदिश $\vec{S} = 2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ द्वारा दिया गया है।
वेग $\vec{v}$ स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = 4t \hat{j}$।
$t = 1 \ s$ पर,वेग $\vec{v} = 4(1) \hat{j} = 4 \hat{j} \ m/s$ होगा।
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = 4 \ m/s$ है।
इसकी दिशा धनात्मक $y$-अक्ष की ओर है (जो इकाई सदिश $\hat{j}$ द्वारा दर्शाया गया है)।

(C) स्थिति सदिश $\overrightarrow{r} = 5t^2 \hat{i} - 5t \hat{j}$ है।
वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 10t \hat{i} - 5 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर,वेग सदिश $\overrightarrow{v} = 10(2) \hat{i} - 5 \hat{j} = 20 \hat{i} - 5 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
वेग का परिमाण $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{400 + 25} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17} \text{ m/s}$ है।
दिशा ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $\theta$ ऋणात्मक $\text{Y}$-अक्ष के साथ कोण है। सदिश घटकों से,$\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{20}{5} = 4$. अतः,$\theta = \tan^{-1} 4$ ऋणात्मक $\text{Y}$-अक्ष के साथ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 10 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$, त्वरण $\vec{a} = 8 \hat{i} + 2 \hat{j} \text{ ms}^{-2}$.
गति के समीकरण $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a}t^2$ का उपयोग करने पर:
$\vec{s} = (10 \hat{j})t + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j})t^2$
$\vec{s} = (4t^2) \hat{i} + (10t + t^2) \hat{j}$.
$\vec{s} = x \hat{i} + y \hat{j}$ के साथ घटकों की तुलना करने पर, हमें $x = 4t^2$ और $y = 10t + t^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $x = 16 \text{ m}$, इसलिए $4t^2 = 16 \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow t = 2 \text{ s}$.
$y$ के व्यंजक में $t = 2 \text{ s}$ रखने पर:
$y = 10(2) + (2)^2 = 20 + 4 = 24 \text{ m}$.

(B) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = (4t + t^2)\hat{i} + (2t + \frac{t^2}{2})\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j}$.
$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $v_x = \frac{d}{dt}(4t + t^2) = 4 + 2t$.
$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $v_y = \frac{d}{dt}(2t + \frac{t^2}{2}) = 2 + t$.
अतः,वेग सदिश $\vec{v} = (4 + 2t)\hat{i} + (2 + t)\hat{j} \text{ m/s}$ है।

(A) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{r} = 3t^2 \hat{i} + 2t \hat{j} + \hat{k}$.
वेग,स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = 6t \hat{i} + 2 \hat{j}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर,वेग सदिश $\vec{v} = 6(2) \hat{i} + 2 \hat{j} = 12 \hat{i} + 2 \hat{j}$ है।
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{12^2 + 2^2} = \sqrt{144 + 4} = \sqrt{148} \text{ m/s}$ है।
त्वरण,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = 6 \hat{i}$.
त्वरण का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{6^2} = 6 \text{ m/s}^2$ है।
अतः,त्वरण का परिमाण $6$ और वेग का परिमाण $\sqrt{148}$ है।

(C) वेग सदिश $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $V_x = 6 + 2t$ और $V_y = 4 + 2\sqrt{3}t$ है।
त्वरण $\vec{a}$ वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{dV_x}{dt} \hat{i} + \frac{dV_y}{dt} \hat{j}$.
घटकों की गणना करने पर:
$a_x = \frac{d}{dt}(6 + 2t) = 2 \text{ m/s}^2$.
$a_y = \frac{d}{dt}(4 + 2\sqrt{3}t) = 2\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
अतः,त्वरण सदिश $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2\sqrt{3} \hat{j} \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।

(A) गति के दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = a \cos t$
$y = a \sin t$
$z = t$
सबसे पहले,$xy$-समतल पर गति के प्रक्षेप पर विचार करें:
$x^2 + y^2 = (a \cos t)^2 + (a \sin t)^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^2$
यह $xy$-समतल में $a$ त्रिज्या का एक वृत्त दर्शाता है।
साथ ही,कण $z$-अक्ष के अनुदिश एक समान वेग से गति करता है क्योंकि $z = t$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dz}{dt} = 1$ है।
चूंकि कण $xy$-समतल में एक वृत्ताकार पथ में गति करता है और साथ ही $z$-अक्ष पर रैखिक रूप से आगे बढ़ता है,इसलिए परिणामी प्रक्षेप पथ एक हेलिक्स (सर्पिल) है।