Non-uniform Circular Motion (Centrifugal/Centripetal and tangential Accelaration) Questions in Hindi

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल नियत रहती है,लेकिन वेग की दिशा पथ के प्रत्येक बिंदु पर लगातार बदलती रहती है।
चूंकि त्वरण को वेग परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए दिशा में यह परिवर्तन एक त्वरण उत्पन्न करता है।
यह त्वरण वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे अभिकेंद्री या त्रिज्यीय त्वरण के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित एक आंतरिक त्रिज्यीय त्वरण है।

(A) किसी पिंड को एकसमान वृत्तीय गति में गतिमान रखने के लिए,उसे लगातार अपने वेग की दिशा बदलनी पड़ती है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,किसी पिंड को अपनी गति की अवस्था (दिशा) बदलने के लिए एक बाह्य बल की आवश्यकता होती है।
यह बल,जो वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है और वेग सदिश के लंबवत होता है,अभिकेंद्र बल कहलाता है।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान की एक वस्तु जो $r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ की स्थिर चाल से गति कर रही है,केंद्र की ओर कार्य करने वाले त्वरण को अभिकेंद्र त्वरण कहा जाता है,जिसका मान $a_c = v^2/r$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल होता है $(F = ma)$।
अतः,अभिकेंद्र बल का परिमाण $F_c = m \cdot a_c = m(v^2/r) = mv^2/r$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ वृत्तीय पथ पर गतिमान किसी वस्तु का वह त्वरण है जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
यदि कोई वस्तु $r$ त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर $v$ की स्थिर चाल से गति कर रही है,तो अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a_c = \frac{v^2}{r}$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 50\, cm$,चक्करों की संख्या $N = 10$,समय $t = 20\, s$।
आवृत्ति $n = \frac{N}{t} = \frac{10}{20} = 0.5\, Hz = \frac{1}{2}\, Hz$।
अभिकेंद्र त्वरण $a$ का सूत्र $a = \omega^2 r = (2\pi n)^2 r = 4\pi^2 n^2 r$ है।
मान रखने पर: $a = 4 \times (3.14)^2 \times (0.5)^2 \times 50$।
$a = 4 \times 9.8596 \times 0.25 \times 50$।
$a = 492.98\, cm/s^2 \approx 493\, cm/s^2$।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति कर रही वस्तु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जिसे सूत्र $a = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,चाल $v = 400 \, m/s$ और त्रिज्या $r = 160 \, m$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{(400)^2}{160} = \frac{160000}{160} = 1000 \, m/s^2$.
चूंकि $1000 \, m/s^2 = 1 \, km/s^2$ होता है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) अभिकेंद्री त्वरण $a$ का सूत्र $a = v\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कक्षीय गति है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है कि नई कक्षीय गति $v' = 2v$ और नया कोणीय वेग $\omega' = \frac{\omega}{2}$ है।
नया अभिकेंद्री त्वरण $a'$ इस प्रकार है:
$a' = v' \times \omega' = (2v) \times \left( \frac{\omega}{2} \right) = v\omega = a$.
अतः,अभिकेंद्री त्वरण अपरिवर्तित रहता है।

(B) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{R}$ है।
यहाँ द्रव्यमान $m$ और चाल $v$ स्थिर रहने के कारण,अभिकेंद्र बल $F$ त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $F \propto \frac{1}{R}$।
यदि त्रिज्या को दोगुना $(R' = 2R)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F'$ का मान $F' = \frac{mv^2}{2R} = \frac{1}{2} F$ होगा।
अतः,अभिकेंद्र बल आधा हो जाएगा।

(B) कार असमान वृत्तीय गति कर रही है।
त्वरण के दो घटक हैं:
$1$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$: यह गति में परिवर्तन की दर है,जो $a_t = 2 \ m/s^2$ दी गई है।
$2$. अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$: यह वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a_c = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \ m/s^2$.
कुल त्वरण $(a)$ इन दो लंबवत घटकों का सदिश योग है:
$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \ m/s^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,त्वरण $2.7 \ m/s^2$ है।

(D) वृत्तीय गति में,वेग सदिश हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा होता है,जिसे अनुप्रस्थ दिशा कहा जाता है।
गैर-समान वृत्तीय गति में,कण त्वरण के दो घटकों का अनुभव करता है:
$1$. अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $(a_r = v^2/r)$,जो वेग की दिशा बदलता है।
$2$. स्पर्शरेखीय (अनुप्रस्थ) त्वरण $(a_t = dv/dt)$,जो वेग का परिमाण बदलता है।
चूंकि दोनों घटक मौजूद होते हैं,इसलिए त्वरण में त्रिज्यीय और अनुप्रस्थ दोनों घटक होते हैं,जबकि वेग अनुप्रस्थ रहता है।

(D) अभिकेंद्र त्वरण $(a_c = v^2/r)$ वेग सदिश की दिशा बदलने के लिए किसी भी वृत्तीय गति के लिए आवश्यक है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = dv/dt)$ वेग के परिमाण को बदलने के लिए जिम्मेदार है।
चूंकि $a_c$ गति और त्रिज्या पर निर्भर करता है,और $a_t$ गति के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है,इसलिए उनके बीच कोई निश्चित संबंध नहीं है।
एकसमान वृत्तीय गति में,$a_t = 0$ होता है जबकि $a_c \neq 0$ होता है।
असमान वृत्तीय गति में,कण की गतिशीलता के आधार पर दोनों के मान कुछ भी हो सकते हैं।
इसलिए,अभिकेंद्र त्वरण विशिष्ट गति के आधार पर स्पर्शरेखीय त्वरण से अधिक,कम या उसके बराबर भी हो सकता है।

(D) $1$. वृत्तीय गति में,कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के तल में होते हैं।
$3$. दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ वृत्त के तल के लंबवत (घूर्णन अक्ष की दिशा में) होता है।
$4$. भले ही चाल $v$ घट रही हो,घूर्णन अक्ष की दिशा वृत्ताकार पथ के तल के लंबवत स्थिर रहती है।
$5$. इसलिए,कोणीय संवेग सदिश की दिशा नियत रहती है,हालांकि चाल बदलने के साथ इसका परिमाण बदल जाता है।

(D) जब कोई कण वृत्ताकार पथ पर गति करता है,तो उसका स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के तल में होते हैं।
कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गति एक निश्चित तल (वृत्त का तल) में सीमित है,इसलिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार सदिश गुणनफल $\vec{r} \times \vec{v}$ हमेशा तल के लंबवत दिशा में होता है।
भले ही कण की गति बदलती रहे,कोणीय संवेग सदिश की दिशा स्थिर (गति के तल के लंबवत) रहती है।
इसलिए,सही कथन यह है कि कोणीय संवेग की दिशा स्थिर रहती है।

(D) परिणामी त्वरण $a$ का सूत्र $a = \sqrt{a_T^2 + a_r^2}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^2$.
सदिश त्रिभुज की ज्यामिति से,त्रिज्यीय त्वरण $a_r$ आसन्न भुजा है और परिणामी त्वरण $a$ कोण $\theta$ के लिए कर्ण है।
इसलिए,$\cos \theta = \frac{a_r}{a} = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $\sec \theta = \frac{5}{3}$.

(B) अभिकेंद्री बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$,गति $v$ और त्रिज्या $r$ में $50\%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए नए मान $m' = 1.5m$,$v' = 1.5v$ और $r' = 1.5r$ होंगे।
नया अभिकेंद्री बल $F'$ इस प्रकार होगा:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.5m)(1.5v)^2}{1.5r} = \frac{1.5 \times 2.25}{1.5} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
बल में प्रतिशत वृद्धि:
$\frac{F' - F}{F} \times 100\% = \frac{2.25F - F}{F} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$.

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम वेग $v$ ज्ञात करते हैं:
$v^2 = k^2 r^2 t^2 \implies v = k r t$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ गति में परिवर्तन की दर है:
$a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(k r t) = k r$.
बल द्वारा दी गई शक्ति $P = F_t v$ है,जहाँ $F_t = m a_t$ स्पर्शरेखीय बल है।
$P = (m a_t) v = m(k r)(k r t) = m k^2 r^2 t$.

(C) दिया गया है,वेग $v = 1.0t$ और त्रिज्या $r = 0.1 \ m$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(1.0t) = 1.0 \ m/s^2$।
$t = 5 \ s$ पर,वेग $v = 1.0 \times 5 = 5 \ m/s$।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{5^2}{0.1} = \frac{25}{0.1} = 250 \ m/s^2$।
कुल त्वरण $a_{net} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{250^2 + 1^2} = \sqrt{62500 + 1} = \sqrt{62501} \approx 250 \ m/s^2$।

(C) कार एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रही है,इसलिए यह दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करती है:
$1$. अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$,जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है: $a_c = \frac{v^2}{r}$.
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$,जो $a_t = g$ दिया गया है।
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कुल त्वरण $(a_{net})$ दोनों का सदिश योग होगा:
$a_{net} = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$
मान रखने पर:
$a_{net} = \sqrt{(\frac{v^2}{r})^2 + g^2}$
$a_{net} = \sqrt{\frac{v^4}{r^2} + g^2} = [\frac{v^4}{r^2} + g^2]^{1/2}$.

(B) दिया गया है: स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 2 \, m/s^2$,वेग $v = 30 \, m/s$,और त्रिज्या $r = 500 \, m$.
सबसे पहले,अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ की गणना $a_c = \frac{v^2}{r}$ सूत्र का उपयोग करके करें।
$a_c = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \, m/s^2$.
कुल त्वरण $a$,स्पर्शरेखीय और अभिकेंद्र त्वरण का सदिश योग है,जो $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$a = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24}$.
$a \approx 2.69 \, m/s^2$,जिसे पूर्णांकित करने पर $2.7 \, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन $S = \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}$ है।
वेग $v = \frac{dS}{dt} = t + t^2$.
$t = 2 \, s$ पर,$v = 2 + (2)^2 = 6 \, m/s$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = 1 + 2t$.
$t = 2 \, s$ पर,$a_t = 1 + 2(2) = 5 \, m/s^2$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \, m/s^2$.
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m/s^2$.

(A) दिया गया है:
कुल त्वरण $a = 15 \, m s^{-2}$
त्रिज्या $R = 2.5 \, m$
कुल त्वरण और अभिकेंद्र त्वरण के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$,कुल त्वरण $a$ का वृत्त के केंद्र की ओर का घटक है।
आकृति से,$a_c = a \cos(30^{\circ})$.
$a_c = 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 15 \times 0.866 = 12.99 \, m s^{-2}$.
हम जानते हैं कि अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कण की चाल है।
इसलिए,$v = \sqrt{a_c R}$.
$v = \sqrt{12.99 \times 2.5} = \sqrt{32.475} \approx 5.698 \, m/s$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $v \approx 5.7 \, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 50\, cm = 0.5\, m$,कोणीय त्वरण $\alpha = 2.0\, rad\, s^{-2}$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$,और समय $t = 2.0\, s$ है।
सबसे पहले,$t = 2.0\, s$ पर कोणीय वेग $\omega$ की गणना करें: $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + (2.0)(2.0) = 4.0\, rad\, s^{-1}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha = 0.5 \times 2.0 = 1.0\, m\, s^{-2}$ है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = \omega^2 r = (4.0)^2 \times 0.5 = 16 \times 0.5 = 8.0\, m\, s^{-2}$ है।
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{1.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65} \approx 8.06\, m\, s^{-2}$ है।
निकटतम मान लेने पर,कुल त्वरण लगभग $8.0\, m\, s^{-2}$ है।

(B) वृत्तीय गति में,कार दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करती है:
$1$. त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण: $a_r = \frac{v^2}{r}$
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण: $a_t = a$ (गति में परिवर्तन की दर)
चूंकि ये दोनों त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_{net}$ इस प्रकार होगा:
$a_{net} = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
मान रखने पर:
$a_{net} = \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{v^4}{r^2} + a^2}$

(C) दिए गए ग्राफ से,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T$ समय $t$ का एक रैखिक फलन है जो मूल बिंदु से गुजरता है। रेखा की ढाल $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$a_T = \sqrt{3} t$.
चूंकि $a_T = \frac{dv}{dt}$,हमारे पास $\frac{dv}{dt} = \sqrt{3} t$ है।
प्रारंभिक वेग $v(0) = 0$ के साथ समय के सापेक्ष समाकलन करने पर,$v = \int_0^t \sqrt{3} t \ dt = \frac{\sqrt{3} t^2}{2}$ प्राप्त होता है।
अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ है। $r = 1 \ m$ दिया गया है,इसलिए $a_c = \frac{(\sqrt{3} t^2 / 2)^2}{1} = \frac{3 t^4}{4}$.
कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$,त्रिज्यीय त्वरण सदिश $\vec{a}_c$ के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाता है। चूंकि $\vec{a}_c$ और $\vec{a}_T$ लंबवत हैं,इसलिए $\tan \theta = \frac{a_T}{a_c}$ होगा।
मान रखने पर: $\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3} t}{3 t^4 / 4} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3} t}{3 t^4} = \frac{4}{\sqrt{3} t^3}$.
अतः,$t^3 = 4 \Rightarrow t = 4^{1/3} = 2^{2/3} \ s$.

(C) दिए गए ग्राफ से,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T$ समय $t$ का एक रैखिक फलन है जो मूल बिंदु से गुजरता है और जिसका ढाल $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$a_T = \sqrt{3} t$.
चूंकि $a_T = \frac{dv}{dt}$,हमारे पास $\frac{dv}{dt} = \sqrt{3} t$ है।
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर (प्रारंभिक वेग $v=0$ और $t=0$ पर): $v = \int_{0}^{t} \sqrt{3} t \, dt = \frac{\sqrt{3}}{2} t^2$.
अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ है। $r = 1 \, m$ दिया गया है,इसलिए $a_c = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2} t^2)^2}{1} = \frac{3}{4} t^4$.
कुल त्वरण सदिश $\vec{a}$,त्रिज्यीय त्वरण $\vec{a}_c$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_T$ का सदिश योग है। चूंकि $\vec{a}_c$ और $\vec{a}_T$ परस्पर लंबवत हैं,कुल त्वरण द्वारा त्रिज्यीय त्वरण $\vec{a}_c$ के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{a_T}{a_c}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\tan 30^{\circ} = \frac{a_T}{a_c}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} t}{\frac{3}{4} t^4} = \frac{4 \sqrt{3} t}{3 t^4} = \frac{4}{\sqrt{3} t^3}$.
$t^3 = \frac{4 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$.
$t = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3} \, s$.

(D) दिया गया है कि त्रिज्यीय त्वरण $(a_r = v^2/R)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = dv/dt)$ के परिमाण समान हैं:
$dv/dt = v^2/R$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{V_0}^{v} \frac{dv}{v^2} = \int_{0}^{t} \frac{dt}{R}$
$[-1/v]_{V_0}^{v} = t/R \Rightarrow 1/V_0 - 1/v = t/R \Rightarrow t = R(1/V_0 - 1/v) \dots(1)$
साथ ही,$a_t = v(dv/ds) = v^2/R$,जिसका अर्थ है $dv/v = ds/R$.
एक पूर्ण चक्कर के लिए समाकलन करने पर ($s = 0$ से $s = 2\pi R$):
$\int_{V_0}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{2\pi R} \frac{ds}{R}$
$\ln(v/V_0) = 2\pi \Rightarrow v = V_0 e^{2\pi} \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $v$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$t = R/V_0 (1 - 1/e^{2\pi}) = R/V_0 (1 - e^{-2\pi})$.

(A) दिया गया है,पथ की लंबाई $s = t^3 + 5$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 5) = 3t^2 \ m/s$ है।
स्पर्शीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \ m/s^2$ है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(3t^2)^2}{R} = \frac{9t^4}{R} \ m/s^2$ है।
$t = 2 \ s$ पर:
$a_t = 6 \times 2 = 12 \ m/s^2$ है।
$a_c = \frac{9 \times (2)^4}{20} = \frac{9 \times 16}{20} = \frac{144}{20} = 7.2 \ m/s^2$ है।
परिणामी त्वरण $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ है।
$a = \sqrt{(12)^2 + (7.2)^2} = \sqrt{144 + 51.84} = \sqrt{195.84} \approx 14 \ m/s^2$ है।

(C) डिस्क के घूर्णन फ्रेम में,कीड़ा दो छद्म बलों का अनुभव करता है: अपकेंद्री बल $F_c = m\omega^2r$ जो त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है और कोरिओलिस बल $F_{cor} = 2m(\vec{v} \times \vec{\omega})$ जो त्रिज्यीय वेग के लंबवत निर्देशित होता है।
ग्राउंड फ्रेम में,कीड़े का त्वरण त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय घटकों का सदिश योग है।
त्रिज्यीय त्वरण $a_r = -r\omega^2$ (अभिकेंद्र त्वरण) है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 2v\omega$ है (क्योंकि जैसे-जैसे कीड़ा त्रिज्यीय रूप से चलता है,स्पर्शरेखीय वेग में परिवर्तन होता है)।
कुल त्वरण का परिमाण $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2} = \sqrt{(r\omega^2)^2 + (2v\omega)^2}$ है।
चूंकि $(2v\omega)^2 > 0$,इसलिए परिमाण $a = \sqrt{r^2\omega^4 + 4v^2\omega^2}$ स्पष्ट रूप से $r\omega^2$ से अधिक है।

(B) त्वरण सदिश $\vec{a}$ को स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ और अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ में विभाजित किया जा सकता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$ वेग सदिश $\vec{v}$ (और इस प्रकार संवेग $\vec{p}$) के समानांतर होता है,जबकि अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}_c$ वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है।
गति में परिवर्तन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए हम $\vec{a}$ और $\vec{p}$ का अदिश गुणनफल निकालते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{p} = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (8\hat{i} - 6\hat{j}) = (4 \times 8) + (3 \times -6) = 32 - 18 = 14$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{p} > 0$ है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण है।
इसका अर्थ है कि त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक वेग की दिशा में है,जिससे कण की चाल में वृद्धि होती है।
अतः,यह गति त्वरित वृत्तीय गति है।

(B) दिया गया है,$v = a\sqrt{s}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = v \frac{dv}{ds}$।
चूंकि $\frac{dv}{ds} = a \cdot \frac{1}{2\sqrt{s}} = \frac{a}{2\sqrt{s}}$,इसलिए $a_t = (a\sqrt{s}) \cdot (\frac{a}{2\sqrt{s}}) = \frac{a^2}{2}$।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(a\sqrt{s})^2}{R} = \frac{a^2 s}{R}$।
कुल त्वरण सदिश और वेग सदिश के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \frac{a_c}{a_t}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \alpha = \frac{a^2 s / R}{a^2 / 2} = \frac{2s}{R}$।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में,एक पिंड स्थिर चाल के साथ वृत्ताकार पथ पर चलता है।
हालाँकि चाल स्थिर है,लेकिन वेग की दिशा हर बिंदु पर बदलती है,जिसका अर्थ है कि पिंड त्वरित हो रहा है।
इस त्वरण को अभिकेंद्र त्वरण कहा जाता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम $(F = ma)$ के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल त्वरण की दिशा में ही होना चाहिए।
इसलिए,कुल बल (अभिकेंद्र बल) वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो हमेशा तात्कालिक वेग (गति की दिशा) के लंबवत होता है।
चूँकि चाल $(v)$ और त्रिज्या $(r)$ स्थिर हैं,इसलिए अभिकेंद्र बल का परिमाण $(F = mv^2/r)$ स्थिर रहता है।

(C) स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 2 \ m/s^2$ दिया गया है।
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \frac{v^2}{r}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$a_c = \frac{30^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \ m/s^2$.
कुल त्वरण $a_{net}$ स्पर्शरेखीय और अभिकेंद्र त्वरण का सदिश योग है,जो $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$a_{net} = \sqrt{2^2 + 1.8^2} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \ m/s^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,कुल त्वरण $2.7 \ m/s^2$ है।

(B) दी गई गतिज ऊर्जा $k = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ है।
इससे,वेग $v = s\sqrt{\frac{2a}{m}}$ प्राप्त होता है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_R = \frac{v^2}{R} = \frac{2as^2}{mR}$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$ है।
$v$ का मान रखने पर,$a_t = \left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) \frac{d}{ds}\left(s\sqrt{\frac{2a}{m}}\right) = s\left(\frac{2a}{m}\right) = \frac{2as}{m}$ प्राप्त होता है।
कुल त्वरण $a_{net} = \sqrt{a_R^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(\frac{2as^2}{mR}\right)^2 + \left(\frac{2as}{m}\right)^2}$ है।
सरल करने पर,$a_{net} = \frac{2as}{m} \sqrt{\frac{s^2}{R^2} + 1}$ प्राप्त होता है।
कुल बल $F = m \cdot a_{net} = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$ होगा।

(C) वृत्तीय गति में,स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec a_t$ पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है,और अभिकेंद्र त्वरण $\vec a_c$ त्रिज्या के अनुदिश वृत्त के केंद्र की ओर होता है।
चूंकि स्पर्शरेखा त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए $\vec a_t$ और $\vec a_c$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। अतः,$\vec a_t \cdot \vec a_c = 0$.
वेग सदिश $\vec v$ हमेशा पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। चूंकि $\vec a_c$ केंद्र की ओर (त्रिज्या के अनुदिश) होता है,इसलिए $\vec a_c$ हमेशा $\vec v$ के लंबवत होता है। अतः,$\vec a_c \cdot \vec v = 0$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec a_t$ वेग सदिश $\vec v$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है। यदि गति बढ़ रही है,तो $\vec a_t$ और $\vec v$ एक ही दिशा में होते हैं,इसलिए $\vec a_t \cdot \vec v > 0$। यदि गति कम हो रही है,तो $\vec a_t$ और $\vec v$ विपरीत दिशाओं में होते हैं,इसलिए $\vec a_t \cdot \vec v < 0$। इस प्रकार,$\vec a_t \cdot \vec v$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कथन $\vec a_c \cdot \vec v$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है गलत है क्योंकि $\vec a_c \cdot \vec v$ हमेशा शून्य होता है।

(B) अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ का सूत्र $a_c = v^2/r$ है।
दिया गया है कि $a_c = 4/r^2$,इसलिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$v^2/r = 4/r^2$
$v^2 = 4/r$
$v = 2/\sqrt{r}$
कण का संवेग $P$,$P = mv$ द्वारा दिया जाता है।
$v$ का मान रखने पर:
$P = m \times (2/\sqrt{r}) = 2m/\sqrt{r}$.

(D) दिया गया स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = K^2rt^2$ है।
चूंकि $a_t = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = K^2rt^2 dt$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dv = \int K^2rt^2 dt$,जिससे $v = \frac{K^2rt^3}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वेग $v$ समय के साथ बदलता है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ स्थिर नहीं है।
किसी बल $\vec{F}$ द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ द्वारा दी जाती है।
अभिकेंद्र बल $\vec{F}_c$ हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जबकि वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा पथ के स्पर्शरेखीय होता है।
इसलिए,$\vec{F}_c$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण हमेशा $90^\circ$ होता है।
अतः,अभिकेंद्र बल द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P_c = \vec{F}_c \cdot \vec{v} = F_c v \cos(90^\circ) = 0$ है।

(C) कार असमान वृत्तीय गति कर रही है,इसलिए इसके त्वरण के दो घटक हैं: स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ और अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $(a_c)$।
दिया गया है: चाल $v = 40\,m/s$,त्रिज्या $r = 400\,m$,और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 3\,m/s^2$।
अभिकेंद्र त्वरण की गणना इस प्रकार की जाती है: $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{40^2}{400} = \frac{1600}{400} = 4\,m/s^2$।
कुल त्वरण $a$ इन लंबवत घटकों का सदिश योग है: $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$।
मान रखने पर: $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,m/s^2$।

(D) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण का अभिकेंद्र त्वरण $a_{cp} = \frac{v^2}{r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,चाल $v$ है,इसलिए प्रारंभिक अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = \frac{v^2}{r}$ है।
अंत में,चाल $2v$ है,इसलिए अंतिम अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = \frac{(2v)^2}{r} = \frac{4v^2}{r}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $a_2 = 4 \times \left(\frac{v^2}{r}\right) = 4a_1$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिकेंद्र त्वरण में $4$ गुना परिवर्तन हुआ है।

(B) वृत्तीय गति में,वेग सदिश $\vec{v}$,कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के बीच संबंध $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ होता है।
त्वरण सदिश $\vec{a}$,वेग सदिश का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\omega} \times \vec{r})$.
अवकलन के गुणन नियम का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{a} = \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \frac{d\vec{r}}{dt}$.
चूंकि $\frac{d\vec{\omega}}{dt} = \vec{\alpha}$ (कोणीय त्वरण) और $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ है,इसलिए $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$ होता है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,कोणीय त्वरण $\vec{\alpha} = 0$ होता है,इसलिए त्वरण पूरी तरह से अभिकेंद्र होता है: $\vec{a}_c = \vec{\omega} \times \vec{v}$.

(D) कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(a - bt) = -b$ है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = R\alpha = -Rb$ है।
$t = \frac{2a}{b}$ समय पर,कोणीय वेग $\omega = a - b(\frac{2a}{b}) = a - 2a = -a$ है।
त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $a_r = R\omega^2 = R(-a)^2 = Ra^2$ है।
कुल त्वरण का परिमाण $a = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{(-Rb)^2 + (Ra^2)^2} = \sqrt{R^2b^2 + R^2a^4} = R\sqrt{a^4 + b^2}$ है।

(C) वस्तु असमान वृत्तीय गति कर रही है,इसलिए इसमें अभिकेंद्र त्वरण $(a_c)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$ दोनों होते हैं।
दिया गया है: वेग $v = 30\, m/s$,त्रिज्या $r = 450\, m$,और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = 2\, m/s^2$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{30^2}{450} = \frac{900}{450} = 2\, m/s^2$.
कुल त्वरण $a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.828\, m/s^2$.
अतः,त्वरण लगभग $2.8\, m/s^2$ है।

(A) असमान वृत्तीय गति में,कुल त्वरण $a$,त्रिज्यीय त्वरण $a_r$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ का सदिश योग होता है। चूंकि ये दोनों घटक एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए परिणामी त्वरण का परिमाण $a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $a = 5\, ms^{-2}$।
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $a_r = 3\, ms^{-2}$ और $a_t = 4\, ms^{-2}$।
$a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, ms^{-2}$।
यह दिए गए कुल त्वरण से मेल खाता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) वृत्तीय गति में,वेग सदिश हमेशा वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है,जिसे अनुप्रस्थ (transverse) दिशा भी कहा जाता है।
एक समान त्वरित वृत्तीय गति के लिए,कण दो प्रकार के त्वरण का अनुभव करता है:
$1$. त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $(a_r = v^2/r)$,जो वृत्त के केंद्र की ओर होता है।
$2$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = dv/dt)$,जो स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय दोनों त्वरण मौजूद हैं,इसलिए कुल त्वरण में त्रिज्यीय और अनुप्रस्थ दोनों घटक होते हैं।

(B) कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कण एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,इसलिए स्थिति सदिश $\vec{r}$ और वेग सदिश $\vec{v}$ हमेशा लंबवत होते हैं। कोणीय संवेग का परिमाण $L = mvr$ है। चूंकि रैखिक गति $v$ घट रही है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ का परिमाण संरक्षित नहीं रहता है।
हालाँकि,एक समतल में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले कण के लिए,कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ की दिशा गति के समतल के लंबवत होती है (दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्धारित)। जब तक कण उसी वृत्ताकार पथ पर रहता है,$\vec{L}$ की दिशा स्थिर रहती है।
चूंकि कण एक वृत्ताकार पथ तक सीमित है,इसलिए यह केंद्र की ओर सर्पिल गति नहीं कर सकता है। चूंकि गति बदल रही है,इसलिए अभिकेंद्री त्वरण $a_c$ के अलावा एक स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ भी होता है। इसलिए,कुल त्वरण केंद्र की ओर नहीं होता है। अतः,केवल कोणीय संवेग की दिशा ही संरक्षित रहती है।

(A) डोरी की लंबाई,$r = 80\; cm = 0.8\; m$.
चक्करों की संख्या $= 14$,लिया गया समय $= 25\; s$.
आवृत्ति,$\nu = \frac{\text{चक्करों की संख्या}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{14}{25}\; Hz$.
कोणीय आवृत्ति,$\omega = 2\pi\nu = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{25} = \frac{88}{25}\; rad/s = 3.52\; rad/s$.
अभिकेंद्र त्वरण,$a_c = \omega^2 r = (3.52)^2 \times 0.8$.
$a_c = 12.3904 \times 0.8 = 9.91232\; m/s^2 \approx 9.91\; m/s^2$.
अभिकेंद्र त्वरण की दिशा हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के अनुदिश होती है।

(N/A) साइकिल चालक की गति,$v = 27 \; km/h = 7.5 \; m/s$.
वृत्ताकार मोड़ की त्रिज्या,$r = 80 \; m$.
अभिकेंद्र त्वरण इस प्रकार दिया गया है:
$a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(7.5)^2}{80} = 0.703 \; m/s^2 \approx 0.7 \; m/s^2$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_T = 0.5 \; m/s^2$ दिया गया है।
चूंकि $a_c$ और $a_T$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \sqrt{a_c^2 + a_T^2} = \sqrt{(0.7)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.49 + 0.25} = \sqrt{0.74} \approx 0.86 \; m/s^2$.
मान लीजिए $\theta$ परिणामी त्वरण और अभिकेंद्र त्वरण की दिशा के बीच का कोण है।
$\tan \theta = \frac{a_T}{a_c} = \frac{0.5}{0.7} = 0.714$.
$\theta = \tan^{-1}(0.714) \approx 35.5^{\circ}$ अभिकेंद्र त्वरण की दिशा के साथ।

(A) वृत्ताकार पथ पर गति करने वाली वस्तु का त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है,जिसे सूत्र $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
गति $v = 50\, m s^{-1}$
त्रिज्या $r = 250\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$a_c = \frac{(50)^2}{250} = \frac{2500}{250} = 10\, m s^{-2}$.
अतः,त्वरण $10\, m s^{-2}$ है।

(A) एक दृढ़ पिंड में,सभी कण किसी भी क्षण पर समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूर्णन की एक ही धुरी के चारों ओर घूमते हैं। यदि दृढ़ पिंड का कोणीय वेग $\omega$ स्थिर नहीं है,तो इसका मतलब है कि पिंड में कोणीय त्वरण $\alpha = \frac{d\omega}{dt} \neq 0$ है। चूंकि कण एक दृढ़ पिंड का हिस्सा है,इसलिए इसे धुरी के चारों ओर घूमना चाहिए। बदलते कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमने वाला कण अभिकेंद्री त्वरण $(a_c = \omega^2 r)$ और स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t = \alpha r)$ दोनों का अनुभव करता है। त्वरण का यह संयोजन असमान वृत्तीय गति की विशेषता है।

(C) वृत्तीय गति में,रैखिक त्वरण $\vec{a}$ के दो घटक होते हैं:
$1$. स्पर्शरेखीय त्वरण $\vec{a}_t$,जो वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
$2$. त्रिज्यीय (अभिकेंद्र) त्वरण $\vec{a}_r$,जो त्रिज्या के अनुदिश वृत्त के केंद्र की ओर होता है।
चूंकि किसी भी बिंदु पर वृत्त की स्पर्शरेखा उस बिंदु पर त्रिज्या के हमेशा लंबवत होती है,इसलिए स्पर्शरेखीय घटक $\vec{a}_t$ और त्रिज्यीय घटक $\vec{a}_r$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(N/A) त्वरण का त्रिज्यीय घटक,जिसे अभिकेंद्र त्वरण $(a_r = v^2/r)$ के रूप में भी जाना जाता है,कण के रैखिक वेग की दिशा बदलने के लिए जिम्मेदार होता है।
त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक $(a_t = dv/dt)$ कण के रैखिक वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन करने के लिए जिम्मेदार होता है।