Mix Examples-Motion in Plane Questions in Hindi

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ \text{g} = 0.1 \ \text{kg}$,प्रारंभिक वेग $u = 20 \ \text{m/s}$,प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ}$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20)^2 = 0.05 \times 400 = 20 \ \text{J}$.
उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ शेष रहता है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m (u \cos 60^{\circ})^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times (20 \times 0.5)^2 = 0.05 \times (10)^2 = 0.05 \times 100 = 5 \ \text{J}$.
गतिज ऊर्जा में कमी $\Delta K = K_i - K_f = 20 \ \text{J} - 5 \ \text{J} = 15 \ \text{J}$.

(D) खिलाड़ी बिंदु $A$ से शुरू करता है,एक पूरा चक्कर लगाकर वापस $A$ पर आता है,और फिर अर्ध-वृत्ताकार चाप के माध्यम से बिंदु $B$ तक जाता है।
दूरी तय किए गए कुल पथ की लंबाई है। एक पूरा चक्कर $2 \pi r$ है और $A$ से $B$ तक का अर्ध-वृत्ताकार चाप $\pi r$ है। अतः,कुल दूरी $= 2 \pi r + \pi r = 3 \pi r$.
विस्थापन प्रारंभिक स्थिति $A$ और अंतिम स्थिति $B$ के बीच की सबसे छोटी सीधी रेखा की दूरी है। चूंकि $A$ और $B$ वृत्त पर व्यास के विपरीत बिंदु हैं,इसलिए विस्थापन वृत्त के व्यास के बराबर होता है,जो $2 r$ है।

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $h_m$ का मानक सूत्र $h_m = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है,जहाँ $\theta$ क्षैतिज अक्ष से मापा गया प्रक्षेपण कोण है।
यह दिया गया है कि प्रक्षेपण कोण $\phi$ ऊर्ध्वाधर अक्ष से मापा जाता है,इसलिए क्षैतिज अक्ष के साथ कोण $\theta = 90^\circ - \phi$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h_m = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \phi)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \phi}{2g}$.
जैसे-जैसे $\phi$,$0^\circ$ से $90^\circ$ तक बढ़ता है,$\cos \phi$,$1$ से $0$ तक घटता है। इसलिए,जैसे-जैसे $\phi$,$0^\circ$ से $90^\circ$ तक जाता है,$h_m$,$\frac{u^2}{2g}$ से $0$ तक घटता है। यह व्यवहार विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R = 3H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
इसे सरल करने पर,$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{2} \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{4}{3}$.
$\tan \theta = \frac{4}{3}$ का उपयोग करके,हमें $\sin \theta = \frac{4}{5}$ और $\cos \theta = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 (2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5})}{g} = \frac{24 u^2}{25 g}$.
इसकी तुलना $\frac{n u^2}{25 g}$ से करने पर,हमें $n = 24$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक गति $v$ है। प्रक्षेपण कोण $\theta_1 = 45^{\circ} + \alpha$ और $\theta_2 = 45^{\circ} - \alpha$ हैं।
उड़ान समय का सूत्र $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ है।
उड़ान समय $T_1$ और $T_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin(45^{\circ} + \alpha)}{\sin(45^{\circ} - \alpha)}$.
त्रिकोणमितीय विस्तार $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 45^{\circ} \cos \alpha + \cos 45^{\circ} \sin \alpha}{\sin 45^{\circ} \cos \alpha - \cos 45^{\circ} \sin \alpha}$.
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos \alpha - \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.
अंश और हर को $\cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$.

(D) कणों के टकराने के लिए,उनके वेग के ऊर्ध्वाधर घटक समान होने चाहिए और दिए गए समय में उनकी क्षैतिज सापेक्ष दूरी तय होनी चाहिए।
$(a)$ ऊर्ध्वाधर गति:
कण $A$ के लिए वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{Ay} = V_A \sin \theta = 20 \sin \theta$ है।
कण $B$ के लिए वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{By} = 10 \ ms^{-1}$ (ऊपर की ओर) है।
चूंकि वे टकराते हैं,इसलिए $t = 0.5 \ s$ पर उनकी ऊर्ध्वाधर स्थिति समान होनी चाहिए। यह मानते हुए कि वे एक ही क्षैतिज स्तर से शुरू होते हैं,उनके एक ही ऊंचाई पर मिलने के लिए $V_{Ay} = V_{By}$ आवश्यक है।
$20 \sin \theta = 10$
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$.
$(b)$ क्षैतिज गति:
कण $A$ के लिए वेग का क्षैतिज घटक $V_{Ax} = V_A \cos \theta = 20 \cos 30^{\circ} = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \ ms^{-1}$ है।
कण $B$ का कोई क्षैतिज वेग घटक नहीं है $(V_{Bx} = 0)$।
टकराने के लिए,कण $A$ को $t = 0.5 \ s$ समय में $x$ क्षैतिज दूरी तय करनी होगी।
$x = V_{Ax} \times t = (10\sqrt{3}) \times 0.5 = 5\sqrt{3} \ m$.

(D) $n$ भुजाओं और $a$ लंबाई वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,जहाँ प्रत्येक व्यक्ति $v$ की गति से अगले व्यक्ति की ओर चलता है,दो निकटवर्ती व्यक्तियों के बीच सापेक्ष वेग $v_{rel} = v - v \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बहुभुज का बाह्य कोण है।
$n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के लिए,बाह्य कोण $\theta = \frac{2 \pi}{n}$ है।
मिलने में लगा समय $t = \frac{a}{v_{rel}} = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{2 \pi}{n})}$ है।
चूँकि $n = 12$ दिया गया है,हमारे पास है:
$t = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{2 \pi}{12})} = \frac{a}{v(1 - \cos \frac{\pi}{6})}$.
चूँकि $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$t = \frac{a}{v(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{a}{v(\frac{2 - \sqrt{3}}{2})} = \frac{2 a}{v(2 - \sqrt{3})}$.

(A) $P$ बिंदु पर,वेग के घटक $v_x = v \cos 45^{\circ}$ और $v_y = v \sin 45^{\circ}$ हैं। संवेग $\vec{P}_i = m(v \cos 45^{\circ} \hat{i} + v \sin 45^{\circ} \hat{j})$ है।
$Q$ बिंदु पर,जो $P$ के समान क्षैतिज स्तर पर है,क्षैतिज वेग $v_x = v \cos 45^{\circ}$ रहता है और ऊर्ध्वाधर वेग $v_y' = -v \sin 45^{\circ}$ हो जाता है। संवेग $\vec{P}_f = m(v \cos 45^{\circ} \hat{i} - v \sin 45^{\circ} \hat{j})$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i = -2mv \sin 45^{\circ} \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = 2mv \sin 45^{\circ} = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} mv$ है।

(D) समान वृत्तीय गति में,अभिकेंद्री बल हमेशा वेग सदिश के लंबवत होता है,इसलिए इसके द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। हालाँकि,कथन कहता है कि 'वृत्तीय गति में,अभिकेंद्री बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य नहीं होता है'। यह गलत है क्योंकि अभिकेंद्री बल को केंद्र की ओर निर्देशित नेट बल के घटक के रूप में परिभाषित किया गया है,जो हमेशा तात्कालिक विस्थापन के लंबवत होता है। इस प्रकार,किसी भी वृत्तीय गति में अभिकेंद्री बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
कारण बताता है कि यदि चाल बदलती है,तो नेट बल केंद्र की ओर नहीं होता है। यह सत्य है क्योंकि,असमान वृत्तीय गति में,एक स्पर्शरेखीय त्वरण घटक होता है,जिसका अर्थ है कि नेट बल में त्रिज्यीय (अभिकेंद्री) और स्पर्शरेखीय दोनों घटक होते हैं। इसलिए,नेट बल केंद्र की ओर निर्देशित नहीं होता है। चूँकि कथन असत्य है और कारण सत्य है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $d = 30\ m$ कैमरे से ट्रैक की लंबवत दूरी है।
मान लीजिए कि दिए गए क्षण पर कैमरे से कार की दूरी $r$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,$\cos 30^{\circ} = \frac{d}{r}$,इसलिए $r = \frac{d}{\cos 30^{\circ}} = \frac{30}{\sqrt{3}/2} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\ m$ है।
दृष्टि रेखा (कैमरे और कार को जोड़ने वाली रेखा) के लंबवत कार के वेग का घटक $v_{\perp} = v \cos 30^{\circ}$ है।
$v_{\perp} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ m/s$ है।
कोणीय वेग $\omega$ को $\omega = \frac{v_{\perp}}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega = \frac{20\sqrt{3}}{20\sqrt{3}} = 1\ rad/s$ है।

(C) प्रक्षेप्य पर कार्य करने वाला कुल बल $\vec{F}_{net} = m \frac{d\vec{v}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज दिशा में,केवल श्यान ड्रैग बल $F_x = -c v_x$ कार्य करता है।
अतः,$m \frac{dv_x}{dt} = -c v_x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv_x}{v_x} = -\frac{c}{m} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t = 0$ से $t$ और $v_x = v_{0x}$ से $v_x$ तक समाकलन करने पर,हमें $\ln \left( \frac{v_x}{v_{0x}} \right) = -\frac{c}{m} t$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v_x = v_{0x} e^{-(c/m)t}$.
यहाँ $m = 200 \ g = 0.2 \ kg$ और $c = 0.1 \ kg/s$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $c/m = 0.1 / 0.2 = 0.5 \ s^{-1}$ है।
अतः,$v_x = v_{0x} e^{-0.5t}$.
चूँकि $v_x = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $x = \int_0^t v_{0x} e^{-0.5t} dt = v_{0x} \left[ \frac{e^{-0.5t}}{-0.5} \right]_0^t = 2 v_{0x} (1 - e^{-0.5t})$.
यहाँ $v_0 = 270 \ m/s$ और कोण $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $v_{0x} = v_0 \cos 60^{\circ} = 270 \times 0.5 = 135 \ m/s$.
$t = 2 \ s$ पर,$x = 2 \times 135 \times (1 - e^{-0.5 \times 2}) = 270 \times (1 - e^{-1}) = 270 \times (1 - 1/2.7) = 270 \times (1.7 / 2.7) = 100 \times 1.7 = 170 \ m$.

(D) कण की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है। चूँकि $v = \omega r = 2 \pi f r$,इसलिए $E_i = \frac{1}{2} m (2 \pi f_1 r_1)^2 = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना $(r_2 = 2 r_1)$ और आवृत्ति को दोगुना $(f_2 = 2 f_1)$ किया जाता है,तो अंतिम गतिज ऊर्जा $E_f$ इस प्रकार होगी:
$E_f = 2 \pi^2 m (r_2)^2 (f_2)^2 = 2 \pi^2 m (2 r_1)^2 (2 f_1)^2$.
$E_f = 2 \pi^2 m (4 r_1^2) (4 f_1^2) = 32 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$.
चूँकि $E_i = 2 \pi^2 m r_1^2 f_1^2$,हम लिख सकते हैं कि $E_f = 16 E_i$।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_f - E_i = 16 E_i - E_i = 15 E_i$ होगा।

(A) $T$ आवर्तकाल और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षा में गति कर रहे पिंड का अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ सूत्र $a_c = \omega^2 r$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi / T$ कोणीय वेग है।
चूंकि दोनों पिंडों के लिए आवर्तकाल $T$ समान है,इसलिए उनका कोणीय वेग $\omega$ भी समान होगा।
$10 \ kg$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले पहले पिंड के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_1 = \omega^2 R$ है।
$5 \ kg$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले दूसरे पिंड के लिए,अभिकेंद्र त्वरण $a_2 = \omega^2 r$ है।
उनके अभिकेंद्र त्वरण का अनुपात $a_1 / a_2 = (\omega^2 R) / (\omega^2 r) = R / r$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) वेग के घटक स्थिति निर्देशांकों के समय के सापेक्ष अवकलन द्वारा प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(bt^2) = 2bt$
चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(2at)^2 + (2bt)^2}$
$v = \sqrt{4a^2t^2 + 4b^2t^2}$
$v = \sqrt{4t^2(a^2 + b^2)}$
$v = 2t \sqrt{a^2 + b^2}$

(D) कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} = \alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग सदिश $\vec{v}$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति सदिश का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3 \hat{i} + \beta t^3 \hat{j}) = 3\alpha t^2 \hat{i} + 3\beta t^2 \hat{j}$.
चाल वेग सदिश का परिमाण है:
$v = |\vec{v}| = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$.
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$.
$v = \sqrt{9 t^4 (\alpha^2 + \beta^2)}$.
$v = 3 t^2 \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.

(B) उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ अधिकतम ऊँचाई है।
ऊर्ध्वाधर रूप से प्रक्षेपित पहले पत्थर के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_1 = 90^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{V^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{2g}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{V^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{V^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{V^2}{8g}$ है।
स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{V^2/2g}{V^2/8g} = \frac{8}{2} = 4:1$ है।

(C) प्रारंभिक अभिकेंद्र बल $F_1 = \frac{mv^2}{r}$ है।
$20 \%$ की वृद्धि के बाद,नए मान $m' = 1.2m$,$v' = 1.2v$ और $r' = 1.2r$ हैं।
आवश्यक नया बल $F_2$ इस प्रकार है:
$F_2 = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(1.2m)(1.2v)^2}{1.2r}$
$F_2 = \frac{1.2m \times 1.44v^2}{1.2r} = 1.44 \frac{mv^2}{r} = 1.44 F_1$.
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_2 - F_1 = 1.44 F_1 - F_1 = 0.44 F_1$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 = 0.44 \times 100 = 44 \%$ है।
अतः,बल में $44 \%$ की वृद्धि करना आवश्यक है।

(B) एकसमान वृत्तीय गति में किसी वस्तु का अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ सूत्र $a_c = \omega^2 R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $R$ त्रिज्या है।
हम जानते हैं कि कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है,जहाँ $n$ आवृत्ति है।
इस मान को अभिकेंद्र त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a_c = (2 \pi n)^2 R$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$
हमें प्रति इकाई त्रिज्या अभिकेंद्र त्वरण ज्ञात करना है,जो $\frac{a_c}{R}$ है।
$\frac{a_c}{R} = 4 \pi^2 n^2$
इस व्यंजक की $(n)^x$ से तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि यह पद $n^2$ के समानुपाती है।
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(B) माना कण का द्रव्यमान '$m$' है। चूंकि चाल '$v$' एकसमान है,इसलिए किसी भी बिंदु पर संवेग का परिमाण $p = mv$ होगा।
जब कण एक बिंदु से व्यासाग्र विपरीत बिंदु तक जाता है,तो उसके वेग सदिश की दिशा उलट जाती है।
माना प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m\vec{v}$ है और अंतिम संवेग $\vec{p}_f = -m\vec{v}$ है।
संवेग में परिवर्तन इस प्रकार है:
$\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -m\vec{v} - (m\vec{v}) = -2m\vec{v}$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2mv$ है।
चूंकि चाल एकसमान है,इसलिए गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ स्थिर रहती है,अतः गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $0$ है।

(C) माना प्रारंभिक वेग $\vec{V}_i = V \hat{i}$ है और आधे चक्कर के बाद अंतिम वेग $\vec{V}_f = -V \hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{V}| = 2V$ है।
आधे वृत्त में तय की गई दूरी $d = \pi r$ है।
आधा चक्कर पूरा करने में लगा समय $t = \frac{d}{V} = \frac{\pi r}{V}$ है।
औसत त्वरण की परिभाषा के अनुसार $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{V}}{t}$ होता है।
मान रखने पर,$a_{avg} = \frac{2V}{\frac{\pi r}{V}} = \frac{2V^2}{\pi r}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक मान $m, v, r$ हैं। प्रारंभिक बल $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
यह दिया गया है कि $m, v$ और $r$ तीनों में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नए मान हैं:
$m' = m + 0.5m = 1.5m = \frac{3}{2}m$
$v' = v + 0.5v = 1.5v = \frac{3}{2}v$
$r' = r + 0.5r = 1.5r = \frac{3}{2}r$
नया बल $F'$ इस प्रकार है:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{3}{2}v)^2}{\frac{3}{2}r} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{9}{4}v^2)}{\frac{3}{2}r} = \frac{9}{4} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
बल में परिवर्तन $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ है।
बल में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = \frac{1.25F}{F} \times 100 = 125 \%$ है।

(A) माना भारी पिंड ($3m$ द्रव्यमान) की स्पर्शरेखीय चाल $v$ है।
तब हल्के पिंड ($m$ द्रव्यमान) की स्पर्शरेखीय चाल $nv$ होगी।
अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
पहले पिंड के लिए: $F_1 = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$.
दूसरे पिंड के लिए: $F_2 = \frac{(3m)v^2}{(r/3)} = \frac{9mv^2}{r}$.
चूंकि अभिकेंद्र बल समान हैं $(F_1 = F_2)$:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{9mv^2}{r}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $m, v^2$ और $r$ को हटाने पर:
$n^2 = 9$.
अतः,$n = 3$.

(A) परिक्रमण के आधे आवर्तकाल में,कण अपनी प्रारंभिक स्थिति से व्यास के विपरीत बिंदु पर पहुँच जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है,जो वृत्त का व्यास है: $2 R$.
तय की गई दूरी पथ की लंबाई है,जो वृत्त की परिधि की आधी है: $\frac{1}{2} \times (2 \pi R) = \pi R$.
अतः,विस्थापन $2 R$ है और तय की गई दूरी $\pi R$ है।

(C) एकसमान वृत्तीय गति में,कण की चाल स्थिर होती है,इसलिए कोणीय त्वरण $\vec{\alpha} = 0$ होता है।
चूंकि $\vec{\alpha} = 0$ है,इसलिए सदिश $\vec{\alpha}$ एक शून्य सदिश है।
परिभाषा के अनुसार,कोणीय वेग $\vec{\omega}$ गति के तल के लंबवत होता है,और रैखिक वेग $\vec{v}$ गति के तल में स्थित होता है,इसलिए $\vec{\omega} \perp \vec{v}$ सत्य है।
अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}$ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है,जो गति के तल में स्थित होता है,इसलिए $\vec{\omega} \perp \vec{a}$ सत्य है।
रैखिक वेग $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है,और अभिकेंद्र त्वरण $\vec{a}$ त्रिज्यीय होता है,इसलिए $\vec{v} \perp \vec{a}$ सत्य है।
हालाँकि,चूंकि $\vec{\alpha} = 0$ (एक शून्य सदिश) है,इसकी कोई परिभाषित दिशा नहीं होती है जिसके आधार पर यह $\vec{\omega}$ के लंबवत हो सके। अतः,एकसमान वृत्तीय गति के संदर्भ में $\vec{\omega} \perp \vec{\alpha}$ कथन गलत माना जाता है।

(D) $m$ द्रव्यमान की वस्तु जो $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रही है,उस पर लगने वाला अभिकेंद्र बल $F = m r \omega^2$ होता है।
चूंकि दोनों कारें समान समय $t$ में अपना वृत्त पूरा करती हैं,इसलिए उनका कोणीय वेग समान है: $\omega = \frac{2\pi}{t}$.
अतः,अभिकेंद्र बलों $F_{1}$ और $F_{2}$ का अनुपात होगा:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m_{1} r_{1} \omega^2}{m_{2} r_{2} \omega^2} = \frac{m_{1} r_{1}}{m_{2} r_{2}}$.
इस प्रकार,अनुपात $m_{1} r_{1} : m_{2} r_{2}$ है।

(A) कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में $V$ की स्थिर चाल से गति कर रहा है। आधे चक्कर के बाद,वेग सदिश $\vec{v}_i = V \hat{i}$ से बदलकर $\vec{v}_f = -V \hat{i}$ हो जाता है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$ है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = 2V$ है।
आधे चक्कर में तय की गई दूरी $\pi R$ है।
लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}} = \frac{\pi R}{V}$ है।
औसत त्वरण $a_{avg} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{t} = \frac{2V}{\frac{\pi R}{V}} = \frac{2V^2}{\pi R}$ है।

(A) $v$ वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण की गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण $U.C.M.$ कर रहा है,इसलिए अभिकेंद्र त्वरण $a = \frac{v^2}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $v^2 = a r$।
गतिज ऊर्जा के समीकरण में $v^2 = a r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
$E = \frac{m a r}{2}$
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$a = \frac{2 E}{m r}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = m \omega^2 r$ होता है।
चूँकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ है,इसलिए $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ होगा।
इस मान को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^2 r = \frac{4 \pi^2 m r}{T^2}$ प्राप्त होता है।
बल के परिमाण का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{F} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m r}{T^2}} = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{m r}$।

(A) अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $v$ रैखिक वेग है।
इससे,हम $v = \frac{a}{\omega}$ लिख सकते हैं।
कोणीय त्वरण को $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
संबंध $v = r\omega$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि वृत्तीय गति के लिए स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha$ होता है।
दिए गए चरों के बीच संबंध को देखते हुए:
चूंकि $\omega = \frac{a}{v}$ है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\alpha = \frac{\omega a}{v}$ वह विमीय रूप से सही संबंध है जिसका उपयोग सरल गतिकी समस्याओं में किया जाता है।

(A) एकसमान वृत्तीय गति $(UCM)$ में,पिंड पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल हमेशा वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
पिंड का वेग हमेशा किसी भी बिंदु पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
चूंकि त्रिज्या (स्थिति सदिश) स्पर्शरेखा के लंबवत होती है,इसलिए अभिकेंद्र बल हमेशा पिंड के तात्कालिक वेग सदिश के लंबवत होता है।
किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $d\vec{s}$ का अदिश गुणनफल है,जो $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$ होता है।
चूंकि $UCM$ में प्रत्येक बिंदु पर $\vec{F} \perp d\vec{s}$ होता है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = \int F \cdot ds \cdot \cos(90^{\circ}) = 0$.
इस प्रकार,वृत्तीय पथ के किसी भी भाग में,जिसमें $\left(\frac{2}{3}\right)$ भाग भी शामिल है,अभिकेंद्र बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(D) जब गेंद को हवा में फेंका जाता है,तो उस पर दो मुख्य बल कार्य करते हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल (भार),जो हमेशा लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,जिसे $mg$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. वायु प्रतिरोध (घर्षण बल),जो हमेशा गेंद के तात्कालिक वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
स्थिति $X$ पर,गेंद एक परवलयाकार पथ पर गति कर रही है। इसका वेग सदिश उस बिंदु पर पथ के स्पर्शरेखा है,जो ऊपर और आगे की ओर निर्देशित है। इसलिए,वायु प्रतिरोध नीचे और पीछे की ओर (वेग सदिश के विपरीत) कार्य करता है।
इन दोनों को मिलाने पर,भार लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है,और वायु प्रतिरोध नीचे और पीछे की ओर एक कोण पर कार्य करता है। यह विकल्प $D$ में दिए गए सदिश आरेख के अनुरूप है।

(C) प्रक्षेप्य गति में प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $H$ का सूत्र है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \phi}{2g}$
जहाँ $u$ प्रारंभिक चाल है और $\phi$ प्रक्षेपण कोण है।
चूंकि $u$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $H \propto \sin^2 \phi$ है।
दोनों वस्तुओं के लिए,कोण $\phi_1 = \theta$ और $\phi_2 = 90^{\circ} - \theta$ हैं।
उनकी अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात है:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2(90^{\circ} - \theta)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$
अतः,उनकी अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊंचाइयों का अनुपात $\tan^2 \theta : 1$ है।

(C) एक पूर्ण चक्कर में, तय की गई कुल दूरी $2\pi r$ है, जहाँ $r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है। चूँकि दूरी शून्य नहीं है, इसलिए औसत चाल (कुल दूरी / कुल समय) शून्य नहीं है। अतः, कथन $C$ गलत है।
वृत्तीय गति में, यदि कोई कण एक चक्कर पूरा करता है, तो वह अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है, इसलिए विस्थापन शून्य होता है। अतः, कथन $B$ सही है।
औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि विस्थापन शून्य है, इसलिए औसत वेग भी शून्य है। अतः, कथन $D$ सही है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए, त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और प्रत्येक बिंदु पर शून्य नहीं होता है। इसलिए, एक पूर्ण चक्कर पर औसत त्वरण भी शून्य होता है। अतः, कथन $A$ सही है।

(A) दिया गया है, हवाई जहाज की गति $v = 720 \text{ km/h} = 720 \times \frac{5}{18} \text{ m/s} = 200 \text{ m/s}$.
बैंकिंग का कोण $\theta = 45^{\circ}$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
क्षैतिज लूप की त्रिज्या के लिए सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
मान रखने पर: $r = \frac{(200)^2}{10 \times \tan 45^{\circ}}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$, इसलिए $r = \frac{40000}{10 \times 1} = 4000 \text{ m}$.
किलोमीटर में बदलने पर, $r = 4 \text{ km}$.

(D) गेंद पर हवा के कारण लगने वाला घर्षण बल $f_a$ हमेशा गेंद के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। प्रक्षेप्य पथ के किसी भी बिंदु पर गेंद का वेग हमेशा उस बिंदु पर पथ की स्पर्शरेखा (tangent) की दिशा में होता है।
पिंड का भार $W$ हमेशा पृथ्वी की सतह के लंबवत नीचे की ओर और पृथ्वी के केंद्र की दिशा में कार्य करता है।
स्थिति $X$ पर,गेंद अपने प्रक्षेप्य पथ के ऊपर की ओर वाले हिस्से में है,इसलिए इसका वेग सदिश ऊपर और आगे की ओर निर्देशित है। अतः,वायु प्रतिरोध $f_a$ को नीचे और पीछे की ओर (वेग के विपरीत) कार्य करना चाहिए। भार $W$ लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है। यह विन्यास विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 4 \,m \,s^{-1}$, बल $F = 3 \,N$, समय $t = 2 \,s$.
चूंकि बल प्रारंभिक वेग के लंबवत लगाया जाता है, इसलिए प्रारंभिक वेग $x$-अक्ष के अनुदिश है ($u_x = 4 \,m \,s^{-1}$, $u_y = 0$).
बल द्वारा उत्पन्न त्वरण $a = F/m = 3/2 = 1.5 \,m \,s^{-2}$ है।
यह त्वरण $y$-दिशा में कार्य करता है, इसलिए $a_y = 1.5 \,m \,s^{-2}$ और $a_x = 0$.
$t = 2 \,s$ के बाद अंतिम वेग के घटक:
$v_x = u_x + a_x t = 4 + 0 = 4 \,m \,s^{-1}$.
$v_y = u_y + a_y t = 0 + (1.5)(2) = 3 \,m \,s^{-1}$.
परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m \,s^{-1}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.6 \, kg$, त्रिज्या $r = 1 \, m$, आवृत्ति $f = \frac{900}{\pi} \, \text{rpm}$.
सबसे पहले, आवृत्ति को चक्कर प्रति सेकंड (Hz) में बदलें:
$f = \frac{900}{\pi} \times \frac{1}{60} = \frac{15}{\pi} \, \text{Hz}$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{15}{\pi} = 30 \, \text{rad/s}$.
रेखीय वेग $v = \omega r = 30 \times 1 = 30 \, \text{m/s}$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 0.6 \times (30)^2$.
$K = 0.3 \times 900 = 270 \, \text{J}$.

(C) कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि जब कोई वाहन मुड़ता है,तो वह एक वृत्ताकार या वक्र पथ का अनुसरण करता है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि वेग एक सदिश राशि है,जिसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों शामिल होते हैं।
भले ही मोड़ के दौरान वाहन की चाल स्थिर रहे,लेकिन वक्र पथ पर प्रत्येक बिंदु पर गति की दिशा लगातार बदलती रहती है।
चूंकि दिशा बदलती है,इसलिए वेग सदिश भी बदल जाता है।
अतः,वाहन का वेग समान नहीं रहता है।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $\vec{u} = -\hat{i} + \hat{j} \,ms^{-1}$, त्वरण $\vec{a} = 6\hat{i} + 4\hat{j} \,ms^{-2}$, और समय $t = 2 \,s$.
विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$.
मान रखने पर:
$\vec{s} = (-\hat{i} + \hat{j})(2) + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(2)^2$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{1}{2}(6\hat{i} + 4\hat{j})(4)$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 2(6\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{s} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{i} + 8\hat{j}$
$\vec{s} = 10\hat{i} + 10\hat{j} \,m$.
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \,m$.
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$, इसलिए परिमाण $10 \times 1.414 = 14.14 \,m$ होगा।

(A) पिंड का प्रारंभिक वेग $u = 10\sqrt{2} \ m/s$ उत्तर-पूर्व दिशा में है। इसे पूर्व $(\hat{i})$ और उत्तर $(\hat{j})$ दिशा के घटकों में वियोजित करने पर:
$u = (10\sqrt{2} \cos 45^{\circ}) \hat{i} + (10\sqrt{2} \sin 45^{\circ}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} \ m/s$.
त्वरण दक्षिण दिशा में है, इसलिए $a = -2 \hat{j} \ m/s^2$.
गति के प्रथम समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए, $t = 5 \ s$ के लिए:
$v = (10 \hat{i} + 10 \hat{j}) + (-2 \hat{j}) \times 5$
$v = 10 \hat{i} + 10 \hat{j} - 10 \hat{j}$
$v = 10 \hat{i} \ m/s$.
अतः, अंतिम वेग $10 \ m/s$ पूर्व दिशा में होगा।

(B) दिया गया गति का समीकरण: $y = bx^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = 2bx \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $v_y = 2bx v_x$।
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv_y}{dt} = 2b \left( \frac{dx}{dt} \cdot v_x + x \cdot \frac{dv_x}{dt} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-दिशा में त्वरण शून्य है $(a_x = 0)$,इसलिए $\frac{dv_x}{dt} = 0$ है।
अतः,$a_y = 2b(v_x^2)$।
दिया गया है कि $a_y = a$,इसलिए $a = 2bv_x^2$ है।
$v_x$ के लिए हल करने पर: $v_x^2 = \frac{a}{2b}$,जिससे $v_x = \sqrt{\frac{a}{2b}}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि परास समान हैं,इसलिए $\sin(2\theta_1) = \sin(2\theta_2)$।
इसका अर्थ है $2\theta_1 = 180^\circ - 2\theta_2$,जो सरल होकर $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ या $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$ हो जाता है।
उड्डयन काल $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
उड्डयन काल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \theta_1}{g}}{\frac{2u \sin \theta_2}{g}} = \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}$ है।
चूंकि $\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$,इसलिए $\sin \theta_2 = \sin(90^\circ - \theta_1) = \cos \theta_1$।
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \theta_1}{\cos \theta_1} = \tan \theta_1$।

(B) प्रक्षेप्य की परास (Range) $R = d_1 + d_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$ होगा।
अतः,$R = d_1 + d_2 = \frac{u^2}{g}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$.
प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ है।
$y = h$,$x = d_1$,और $\theta = 45^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} - \frac{g d_1^2}{2u^2 \cos^2 45^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ है,हमारे पास है:
$h = d_1 - \frac{g d_1^2}{2u^2 (1/2)} = d_1 - \frac{g d_1^2}{u^2}$.
$\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$ रखने पर:
$h = d_1 - \frac{d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1(d_1 + d_2) - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1^2 + d_1 d_2 - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

(D) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपण के लिए,उड्डयन काल $T_1 = \frac{2 u_1}{g}$ है।
प्रक्षेप्य गति के लिए,उड्डयन काल $T_2 = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए $\frac{2 u_1}{g} = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$,जिसका अर्थ है $u_1 = u_2 \sin \theta$.
ऊर्ध्वाधर गति के लिए अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य गति के लिए अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{(u_2 \sin \theta)^2 / 2g} = \left( \frac{u_1}{u_2 \sin \theta} \right)^2$.
चूंकि $u_1 = u_2 \sin \theta$,इसलिए अनुपात $1^2 : 1^2 = 1:1$ प्राप्त होता है।

(D) समान परास के लिए,$R_1 = R_2 = R$।
मान लीजिए कि दो प्रक्षेपण कोण $\theta$ और $(90^{\circ} - \theta)$ हैं।
प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले कोण $\theta_1 = \theta$ के लिए,उड़ान का समय $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
दूसरे कोण $\theta_2 = (90^{\circ} - \theta)$ के लिए,उड़ान का समय $T_2 = \frac{2u \sin(90^{\circ} - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
उड़ान के समय का गुणनफल $T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right)$ है।
$T_1 T_2 = \frac{2}{g} \left(\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}\right)$।
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,इसलिए $T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए $T_1 T_2 \propto R$।

(A) गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $V_x = V_0 \cos \alpha$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए गेंद अपनी पूरी उड़ान के दौरान इस निरंतर क्षैतिज वेग के साथ चलती है।
उड़ान का समय $T$,$T = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
गेंद द्वारा तय की गई क्षैतिज परास $R$,$R = V_x \times T = (V_0 \cos \alpha) \times \left( \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g} \right)$ है।
गेंद को पकड़ने के लिए,लड़के को उसी समय $T$ में समान क्षैतिज दूरी $R$ तय करनी होगी।
मान लीजिए लड़के का वेग $v_b$ है। इसलिए,$R = v_b \times T$.
$R$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $v_b \times T = (V_0 \cos \alpha) \times T$ प्राप्त होता है।
अतः,लड़के का वेग $v_b = V_0 \cos \alpha$ होना चाहिए।

(A) अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
कोण $(90^{\circ}-\theta)$ के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$।
क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
$H_1$ और $H_2$ का गुणा करने पर:
$H_1 H_2 = \left(\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\right) \left(\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}\right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $H_1 H_2 = \frac{(2u^2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{R^2}{16}$।
अतः,$R^2 = 16 H_1 H_2$,जिससे $R = 4 \sqrt{H_1 H_2}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रक्षेप्य की कुल परास $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{30^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{900 \times \sin 60^{\circ}}{10} = 90 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 45 \sqrt{3} \,m$.
उड़ान का समय (Time of flight) $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2u \sin \theta}{g} = \frac{2 \times 30 \times \sin 30^{\circ}}{10} = \frac{60 \times 0.5}{10} = 3 \,s$.
दूसरा खिलाड़ी पहले खिलाड़ी से $d = 21 \sqrt{3} \,m$ की दूरी पर खड़ा है। गेंद के जमीन पर गिरने से पहले उसे पकड़ने के लिए, खिलाड़ी को उस बिंदु तक पहुँचना होगा जहाँ गेंद गिरती है। इसके लिए आवश्यक न्यूनतम गति वह है जिससे वह उड़ान के समय $T$ में दूरी $R$ तक पहुँच सके।
दूसरे खिलाड़ी द्वारा तय की जाने वाली दूरी $S = R - d = 45 \sqrt{3} - 21 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \,m$ है।
चूंकि खिलाड़ी किक मारने के समय ही दौड़ना शुरू करता है, इसलिए इस दूरी को तय करने के लिए उपलब्ध समय $T = 3 \,s$ है।
अतः, न्यूनतम गति $v$:
$v = \frac{S}{T} = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} \,ms^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) अधिकतम ऊँचाई पर,प्रक्षेप्य का वेग $v = u \cos \theta$ होता है।
दिया गया है कि अधिकतम ऊँचाई पर चाल प्रारंभिक चाल $u$ की आधी है,इसलिए $u \cos \theta = \frac{1}{2} u$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2}$,अर्थात $\theta = 60^{\circ}$।
प्रक्षेप्य की परास $R = \frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होती है।
परास और अधिकतम ऊँचाई का अनुपात $\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin 2 \theta / g}{u^2 \sin^2 \theta / 2g} = \frac{2 \sin 2 \theta}{\sin^2 \theta}$ है।
सर्वसमिका $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{R}{H} = \frac{2(2 \sin \theta \cos \theta)}{\sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$ प्राप्त होता है।
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर,$\frac{R}{H} = 4 \cot 60^{\circ} = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य की गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ कण का तात्क्षणिक वेग है।
चूंकि वेग का क्षैतिज घटक $(v_x = u \cos \theta)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए कुल वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ पर निर्भर करता है।
ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt$ का परिमाण प्रक्षेपण बिंदु $(t=0)$ और जमीन पर गिरने के बिंदु ($t=T$,जहाँ $T$ कुल उड़ान का समय है) पर अधिकतम होता है।
प्रक्षेपण बिंदु पर तय की गई क्षैतिज दूरी $0 \ m$ है। जमीन पर गिरने के बिंदु पर तय की गई क्षैतिज दूरी उसकी परास $R = 100 \ m$ के बराबर होती है।
विकल्पों की तुलना करने पर,गतिज ऊर्जा शुरुआत में और अंत में अधिकतम होती है। चूंकि $0 \ m$ विकल्प में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $100 \ m$ है।