Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि दो कारें $A$ और $B$ हैं। चूंकि वे $v = 30 \, km/hr$ की समान गति से एक ही दिशा में चल रही हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $v_{BA} = v_B - v_A = 30 - 30 = 0 \, km/hr$ है।
इस प्रकार,उनके बीच की दूरी $d = 5 \, km$ स्थिर रहती है।
मान लीजिए विपरीत दिशा में चल रही तीसरी कार $C$ की गति $v_C \, km/hr$ है।
कारों $A$ और $B$ के सापेक्ष कार $C$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_C - (-30) = (v_C + 30) \, km/hr$ होगा।
दोनों कारों को पार करने में लगा समय $t = 4 \, minutes = \frac{4}{60} \, hours = \frac{1}{15} \, hours$ है।
सूत्र $t = \frac{d}{v_{rel}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{15} = \frac{5}{v_C + 30}$
$v_C + 30 = 5 \times 15$
$v_C + 30 = 75$
$v_C = 75 - 30 = 45 \, km/hr$.

(B) माना $\vec{v}_{rg}$ जमीन के सापेक्ष बारिश का वेग है,$\vec{v}_{mg}$ जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग है,और $\vec{v}_{rm}$ व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग है।
जब व्यक्ति स्थिर होता है,तो बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $30^\circ$ के कोण पर गिरती है। यह $\vec{v}_{rg}$ की दिशा को दर्शाता है।
जब व्यक्ति $10 \ km/hr$ की गति से दौड़ता है,तो बारिश लंबवत गिरती हुई प्रतीत होती है,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_{rm}$ का क्षैतिज घटक शून्य है।
सापेक्ष वेग समीकरण का उपयोग करते हुए: $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_{mg}$.
क्षैतिज घटकों की तुलना करने पर: $v_{rg} \sin 30^\circ = v_{mg}$.
दिया गया है कि $v_{mg} = 10 \ km/hr$,इसलिए $v_{rg} \sin 30^\circ = 10$.
चूंकि $\sin 30^\circ = 0.5$,हमें $v_{rg} = 10 / 0.5 = 20 \ km/hr$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $\vec{v}_{rg}$ जमीन के सापेक्ष बारिश का वेग है,$\vec{v}_{mg}$ जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग है,और $\vec{v}_{rm}$ व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग है।
सापेक्ष वेग समीकरण से: $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_{mg}$,जिसका अर्थ है $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_{rg} - \vec{v}_{mg}$।
जब व्यक्ति स्थिर होता है,तो बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $30^\circ$ पर गिरती है। मान लीजिए $v_r$ बारिश के वेग का परिमाण है। तब $\vec{v}_{rg} = v_r \sin 30^\circ \hat{i} - v_r \cos 30^\circ \hat{j}$।
जब व्यक्ति $10 \, km/h$ की गति से दौड़ता है,तो उसका वेग $\vec{v}_{mg} = 10 \hat{i}$ होता है।
व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rm} = (v_r \sin 30^\circ - 10) \hat{i} - v_r \cos 30^\circ \hat{j}$ है।
चूंकि बारिश व्यक्ति पर लंबवत गिरती है,इसलिए $\vec{v}_{rm}$ का क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए:
$v_r \sin 30^\circ - 10 = 0 \implies v_r (1/2) = 10 \implies v_r = 20 \, km/h$।
व्यक्ति के सापेक्ष बारिश की बूंदों की गति ऊर्ध्वाधर घटक है: $v_{rm} = v_r \cos 30^\circ = 20 \times (\sqrt{3}/2) = 10\sqrt{3} \, km/h$।

(C) माना जमीन के सापेक्ष नाव का वेग $\vec{v}_b = 3i + 4j$ है।
माना जमीन के सापेक्ष पानी का वेग $\vec{v}_w = -3i - 4j$ है।
पानी के सापेक्ष नाव का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{bw} = \vec{v}_b - \vec{v}_w$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\vec{v}_{bw} = (3i + 4j) - (-3i - 4j)$.
$\vec{v}_{bw} = 3i + 4j + 3i + 4j = 6i + 8j$.

(D) ट्रेन की लंबाई $L = 150\, m$ है।
ट्रेन का वेग $v_t = 10\, m/s$ (उत्तर दिशा में) है।
तोते का वेग $v_p = -5\, m/s$ (दक्षिण दिशा में,उत्तर दिशा को धनात्मक मानते हुए) है।
ट्रेन के सापेक्ष तोते का आपेक्षिक वेग $v_{rel} = v_p - v_t = -5 - 10 = -15\, m/s$ है।
आपेक्षिक वेग का परिमाण $|v_{rel}| = 15\, m/s$ है।
तोते द्वारा ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{L}{|v_{rel}|} = \frac{150}{15} = 10\, s$ होगा।

(A) नदी को सबसे कम समय में पार करने के लिए,तैराक के वेग का नदी के प्रवाह के लंबवत घटक अधिकतम होना चाहिए।
मान लीजिए नदी की चौड़ाई $d$ है और स्थिर जल में तैराक का वेग $v_s = 10\, m/min$ है।
नदी पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_s \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वह कोण है जो तैराक नदी के प्रवाह की लंबवत दिशा के साथ बनाता है।
$t$ को न्यूनतम करने के लिए,$\cos \theta$ अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 0^\circ$ होने पर होता है।
इसलिए,तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत,यानी सीधे उत्तर की ओर तैरना चाहिए।

(C) मान लीजिए $v_m$ आदमी का वेग है और $v_r$ नदी के प्रवाह का वेग है।
आदमी बिल्कुल विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए नदी के प्रवाह की दिशा के साथ $120^\circ$ के कोण पर तैरता है।
इसका मतलब है कि नदी के प्रवाह की दिशा में आदमी के वेग का घटक नदी के वेग को रद्द कर देना चाहिए।
आदमी के वेग सदिश और किनारे के लंबवत रेखा के बीच का कोण $120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ है।
अतः,आदमी के वेग का क्षैतिज घटक $v_m \sin(30^\circ)$ है।
आदमी के विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए,यह क्षैतिज घटक नदी के वेग के बराबर होना चाहिए:
$v_r = v_m \sin(30^\circ)$
दिया गया है कि $v_m = 0.5\, m/s$ और $\sin(30^\circ) = 0.5$,
$v_r = 0.5 \times 0.5 = 0.25\, m/s$।

(C) वस्तु $A$ का वेग $v_A = 65 \, km/h$ है।
वस्तु $B$ का वेग $v_B = 80 \, km/h$ है।
चूंकि दोनों वस्तुएं एक ही दिशा में गति कर रही हैं,इसलिए $A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{BA} = v_B - v_A$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_{BA} = 80 \, km/h - 65 \, km/h = 15 \, km/h$।
अतः,$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $15 \, km/h$ है।

(C) मान लीजिए व्यक्ति बहाव की दिशा के साथ $\theta$ कोण पर तैरता है। वेग के घटक $v_x = u + v \cos \theta$ और $v_y = v \sin \theta$ हैं।
नदी पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v \sin \theta}$ है।
बहाव की दिशा में तय की गई दूरी $x = v_x t = (u + v \cos \theta) \frac{d}{v \sin \theta} = \frac{d}{v} (u \csc \theta + v \cot \theta)$ है।
अधिकतम समय के लिए,$\sin \theta$ न्यूनतम होना चाहिए। चूँकि $\theta$ बहाव के साथ कोण है,$0 < \theta < \pi$ है। जैसे-जैसे $\theta \to 0$ होता है,$x \to \infty$ होता है,इसलिए विकल्प $(a)$ गलत है।
$x$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{v} (-u \csc \theta \cot \theta - v \csc^2 \theta) = 0$.
इससे $u \cos \theta + v = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\cos \theta = -v/u$।
चूँकि $\theta$ बहाव के साथ कोण है,बहाव के लंबवत दिशा के साथ कोण $\alpha = \theta - \pi/2$ है। $\cos \theta = -v/u$ का उपयोग करने पर,$\sin \alpha = v/u$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = \sin^{-1}(v/u)$।
बहाव के साथ कोण $\theta = \pi/2 + \sin^{-1}(v/u)$ है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) मान लीजिए $\vec{v}_m$ पश्चिम से पूर्व की ओर जा रही बस (व्यक्ति) का वेग है।
मान लीजिए $\vec{v}_r$ बारिश का वास्तविक वेग है।
मान लीजिए $\vec{v}_{rm}$ बस में बैठे व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का वेग है।
हमें दिया गया है कि $\vec{v}_{rm}$ लंबवत (नीचे की ओर) है।
सापेक्ष वेग की परिभाषा के अनुसार,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$,जिसका अर्थ है कि $\vec{v}_r = \vec{v}_{rm} + \vec{v}_m$.
चूंकि $\vec{v}_{rm}$ लंबवत है और $\vec{v}_m$ पश्चिम से पूर्व की ओर निर्देशित है,इसलिए परिणामी सदिश $\vec{v}_r$ का क्षैतिज घटक पश्चिम से पूर्व की ओर होना चाहिए।
इसलिए,जमीन पर खड़े एक स्थिर प्रेक्षक के लिए,बारिश एक कोण पर पश्चिम से पूर्व की ओर गिरती हुई दिखाई देगी।

(B) नाव स्थिर जल में कुल $16 \, km$ की दूरी ($8 \, km$ आगे और $8 \, km$ पीछे) $2 \, h$ में तय करती है।
अतः,स्थिर जल में नाव का वेग $v_B = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ है।
जल का वेग $v_w = 4 \, km/h$ दिया गया है।
धारा के प्रतिकूल $8 \, km$ जाने में लगा समय: $t_1 = \frac{8}{v_B - v_w} = \frac{8}{8 - 4} = \frac{8}{4} = 2 \, h$.
धारा के अनुकूल $8 \, km$ जाने में लगा समय: $t_2 = \frac{8}{v_B + v_w} = \frac{8}{8 + 4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \, h = 40 \, min$.
कुल लगा समय = $t_1 + t_2 = 2 \, h + 40 \, min = 2 \, h \, 40 \, min$.

(D) ट्रेन $v_t = 10 \, m/s$ (पश्चिम) के वेग से पश्चिम दिशा में गति कर रही है।
पक्षी $v_b = 5 \, m/s$ (पूर्व) के वेग से पूर्व दिशा में उड़ रहा है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $v_{rel}$ उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगा:
$v_{rel} = v_t + v_b = 10 \, m/s + 5 \, m/s = 15 \, m/s$.
पक्षी द्वारा तय की जाने वाली दूरी (ट्रेन की लंबाई) $L = 120 \, m$ है।
ट्रेन को पार करने में लगा समय $t$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$t = \frac{L}{v_{rel}} = \frac{120 \, m}{15 \, m/s} = 8 \, sec$.
अतः,पक्षी द्वारा ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $8 \, sec$ है।

(B) मान लीजिए $\overrightarrow{v_b}$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है और $\overrightarrow{v_r}$ जमीन के सापेक्ष नदी के पानी का वेग है।
जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाव नदी के प्रवाह के लंबवत पार करती है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{v_b}$ और $\overrightarrow{v_r}$ एक दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,परिणामी वेग का परिमाण $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ होगा।
यहाँ $v_{bg} = 10 \, km/h$ और $v_b = 8 \, km/h$ दिया गया है,इसलिए:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(B) नदी को पार करने का सबसे छोटा रास्ता नदी के प्रवाह के लंबवत सीधी रेखा है।
मान लीजिए नाव का वेग $v_b = 5 \; km/hr$ है और नदी की धारा का वेग $u$ है।
जब नाव सबसे छोटे रास्ते से नदी पार करती है,तो जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $v_r = \sqrt{v_b^2 - u^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई चौड़ाई $d = 1 \; km$ और समय $t = 15 \; min = 0.25 \; hr = \frac{1}{4} \; hr$ है।
परिणामी वेग $v_r = \frac{d}{t} = \frac{1}{1/4} = 4 \; km/hr$ है।
मान रखने पर: $4 = \sqrt{5^2 - u^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16 = 25 - u^2$।
$u^2 = 25 - 16 = 9$।
$u = 3 \; km/hr$।

(D) मान लीजिए कि नदी की धारा की गति $v_r$ है और शांत जल में आदमी की गति $v_m$ है।
दिया गया है कि आदमी नदी को धारा के लंबवत पार करता है,इसलिए उसका परिणामी वेग $v_{res} = \sqrt{v_m^2 - v_r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
नदी की चौड़ाई $d = 320 \ m$ है और लिया गया समय $t = 4 \ min$ है।
अतः,परिणामी वेग $v_{res} = \frac{d}{t} = \frac{320}{4} = 80 \ m/min$ है।
हमें दिया गया है $v_m = \frac{5}{3} v_r$।
इसे वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $80 = \sqrt{(\frac{5}{3} v_r)^2 - v_r^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $80^2 = \frac{25}{9} v_r^2 - v_r^2$।
$6400 = \frac{16}{9} v_r^2$।
$v_r^2 = \frac{6400 \times 9}{16} = 400 \times 9 = 3600$।
$v_r = \sqrt{3600} = 60 \ m/min$।

(B) ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 50 \, m + 50 \, m = 100 \, m$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग उनके व्यक्तिगत वेगों का योग होगा: $v_{rel} = 10 \, m/s + 15 \, m/s = 25 \, m/s$.
पार करने में लगा समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{D}{v_{rel}}$.
मान रखने पर: $t = \frac{100 \, m}{25 \, m/s} = 4 \, s$.

(A) सबसे पहले,सभी वेगों को $m/s$ में बदलें:
पुलिस जीप का वेग $(v_p)$ $= 45 \, km/h = 45 \times \frac{5}{18} \, m/s = 12.5 \, m/s$.
चोर की जीप का वेग $(v_t)$ $= 153 \, km/h = 153 \times \frac{5}{18} \, m/s = 42.5 \, m/s$.
गोली का मज़ल वेग $(v_b)$ $= 180 \, m/s$.
जमीन के सापेक्ष गोली का वेग $v_{bg} = v_b + v_p = 180 + 12.5 = 192.5 \, m/s$.
चोर की कार के सापेक्ष गोली का वेग $v_{bt} = v_{bg} - v_t$.
$v_{bt} = 192.5 \, m/s - 42.5 \, m/s = 150 \, m/s$.

(C) मान लीजिए कि $\vec{v}_b$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है और $\vec{v}_r$ जमीन के सापेक्ष नदी का वेग है।
जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $\vec{v} = \vec{v}_b + \vec{v}_r$ है।
दी गई आकृति से,पानी के सापेक्ष नाव का वेग $\vec{AB} = 8 \, km/hr$ (नदी के प्रवाह के लंबवत) द्वारा दर्शाया गया है।
जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $\vec{AC} = 10 \, km/hr$ द्वारा दर्शाया गया है।
नदी का वेग $\vec{BC}$ द्वारा दर्शाया गया है।
चूंकि $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle ABC = 90^\circ$ है,इसलिए:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}$
$BC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \, km/hr$.

(D) ट्रेन की लंबाई $L = 150 \ m$ है।
ट्रेन का वेग $v_t = 10 \ m/s$ (उत्तर दिशा में) है।
तोते का वेग $v_p = 5 \ m/s$ (दक्षिण दिशा में) है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए ट्रेन के सापेक्ष तोते का आपेक्षिक वेग $v_{rel} = v_t + v_p = 10 + 5 = 15 \ m/s$ होगा।
तोते द्वारा ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{L}{v_{rel}}$ है।
मान रखने पर,$t = \frac{150}{15} = 10 \ s$ प्राप्त होता है।

(B) पानी के सापेक्ष नाव का आपेक्षिक वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\vec{v}_{bw} = \vec{v}_b - \vec{v}_w$
दिया गया है:
$\vec{v}_b = 3\hat i + 4\hat j$
$\vec{v}_w = -3\hat i - 4\hat j$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\vec{v}_{bw} = (3\hat i + 4\hat j) - (-3\hat i - 4\hat j)$
$\vec{v}_{bw} = 3\hat i + 4\hat j + 3\hat i + 4\hat j$
$\vec{v}_{bw} = 6\hat i + 8\hat j$
अतः,पानी के सापेक्ष नाव का आपेक्षिक वेग $6\hat i + 8\hat j$ है।

(D) माना पानी के सापेक्ष नाव की गति $v_b = 5 \, km/h$ है और नदी की गति $v_r = 3 \, km/h$ है। नदी की चौड़ाई $d = 1 \, km$ है।
राउंड ट्रिप के लिए समय को न्यूनतम करने के लिए,नाव को नदी के प्रवाह के लंबवत पार करना चाहिए।
नदी को पार करने के लिए नाव का प्रभावी वेग $v_{eff} = \sqrt{v_b^2 - v_r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \, km/h$ होगा।
नदी को एक बार पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{eff}} = \frac{1 \, km}{4 \, km/h} = 0.25 \, h$ है।
राउंड ट्रिप के लिए,नाव को नदी पार करके वापस आना होगा,इसलिए कुल समय $T = 2 \times t = 2 \times 0.25 \, h = 0.5 \, h$ होगा।
मिनटों में बदलने पर,$T = 0.5 \times 60 \, min = 30 \, min$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे छोटे संभव मार्ग के लिए,व्यक्ति का परिणामी वेग नदी के प्रवाह के लंबवत होना चाहिए (अर्थात,सीधे दक्षिण की ओर)।
माना $v_r = 5 \, m/min$ नदी का वेग है और $v_m = 10 \, m/min$ स्थिर जल में व्यक्ति का वेग है।
माना $\theta$ वह कोण है जो व्यक्ति नदी के प्रवाह के लंबवत रेखा के साथ बनाता है (धारा के विपरीत दिशा में)।
सदिश त्रिभुज से,$\sin \theta = \frac{v_r}{v_m} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^\circ$।
धारा की दिशा के साथ कोण $90^\circ + \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ होगा।

(B) मान लीजिए ट्रेन की गति $v$ है और कार की गति भी $v$ है।
ट्रेन का वेग $\vec{v_t} = v \hat{i}$ है।
कार का वेग $\vec{v_c} = v \hat{j}$ है।
ट्रेन के सापेक्ष कार का वेग $\vec{v_{ct}} = \vec{v_c} - \vec{v_t}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{v_{ct}} = v \hat{j} - v \hat{i} = v(-\hat{i} + \hat{j})$ प्राप्त होता है।
सदिश $(-\hat{i} + \hat{j})$ पश्चिम $(-\hat{i})$ और उत्तर $(+\hat{j})$ दिशाओं के बीच की दिशा को इंगित करता है।
अतः,ट्रेन में बैठे यात्री के लिए कार की प्रेक्षित दिशा पश्चिम-उत्तर है।

(C) चूंकि व्यक्ति ट्रेन के अंदर है,इसलिए वह और सिक्का दोनों ट्रेन के समान ही प्रारंभिक क्षैतिज वेग साझा करते हैं।
चूंकि सिक्के और प्रेक्षक (व्यक्ति) दोनों के लिए क्षैतिज वेग समान है,इसलिए उनके बीच सापेक्ष क्षैतिज विस्थापन शून्य होगा।
इसलिए,व्यक्ति के सापेक्ष सिक्का केवल गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर त्वरण का अनुभव करेगा।
परिणामस्वरूप,व्यक्ति द्वारा देखा गया सिक्के का पथ एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा होगी।

(D) दो कणों के टकराने के लिए,समय $t$ पर उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए। मान लीजिए समय $t$ पर कणों की स्थितियाँ $\overrightarrow{r_1}(t)$ और $\overrightarrow{r_2}(t)$ हैं।
$\overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{r_1} + \overrightarrow{v_1}t = (3\hat{i} + 5\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})t = (3+4t)\hat{i} + (5+3t)\hat{j}$
$\overrightarrow{r_2}(t) = \overrightarrow{r_2} + \overrightarrow{v_2}t = (-5\hat{i} - 3\hat{j}) + (\alpha\hat{i} + 7\hat{j})t = (-5+\alpha t)\hat{i} + (-3+7t)\hat{j}$
टक्कर के समय,$t = 2 \text{ s}$ पर $\overrightarrow{r_1}(t) = \overrightarrow{r_2}(t)$ होगा।
$\hat{i}$ घटकों की तुलना करने पर:
$3 + 4(2) = -5 + \alpha(2)$
$3 + 8 = -5 + 2\alpha$
$11 = -5 + 2\alpha$
$16 = 2\alpha$
$\alpha = 8$
सत्यापन के लिए $\hat{j}$ घटकों की तुलना करने पर:
$5 + 3(2) = -3 + 7(2)$
$5 + 6 = -3 + 14$
$11 = 11$. यह परिणाम की पुष्टि करता है।

(B) मान लीजिए कि कण $A$ द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x_1$ है और कण $B$ द्वारा तय की गई दूरी $x_2$ है।
कण $A$,क्षैतिज के साथ $30^\circ$ के कोण पर $v_A = u/\sqrt{3}$ के वेग से गति करता है। इसका क्षैतिज वेग घटक $v_{Ax} = (u/\sqrt{3}) \cos 30^\circ = (u/\sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2) = u/2$ है।
कण $B$,क्षैतिज के साथ $60^\circ$ के कोण पर $v_B = u$ के वेग से गति करता है। इसका क्षैतिज वेग घटक $v_{Bx} = u \cos 60^\circ = u \times (1/2) = u/2$ है।
चूंकि दोनों कण एक-दूसरे की ओर गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष क्षैतिज वेग $v_{rel} = v_{Ax} + v_{Bx} = u/2 + u/2 = u$ होगा।
उनके बीच की प्रारंभिक क्षैतिज दूरी $x$ है।
अतः,क्षैतिज दूरी शून्य होने में लगा समय $t = \text{दूरी} / \text{सापेक्ष वेग} = x / u$ होगा।

(B) मान लीजिए एस्केलेटर की दूरी $d$ है।
स्थिर एस्केलेटर पर प्रीति का वेग $v_1 = \frac{d}{t_1}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर का वेग $v_2 = \frac{d}{t_2}$ है।
जब प्रीति चलते हुए एस्केलेटर पर चलती है,तो जमीन के सापेक्ष उसका कुल वेग $v = v_1 + v_2$ होता है।
$v = \frac{d}{t_1} + \frac{d}{t_2} = d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$.
कुल वेग $v$ के साथ $d$ दूरी तय करने में लगा समय $t$ इस प्रकार है:
$t = \frac{d}{v} = \frac{d}{d \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

(B) मान लीजिए जहाज $A$ की प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और यह ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $\vec{r}_A = (-10t, 0)$ है।
जहाज $B$ शुरू में $(0, -100)$ पर है और धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $\vec{r}_B = (0, -100 + 10t)$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (10t, -100 + 10t)$ है।
दूरी का वर्ग $D^2 = (10t)^2 + (-100 + 10t)^2 = 100t^2 + 10000 - 2000t + 100t^2 = 200t^2 - 2000t + 10000$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,$D^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 400t - 2000 = 0$.
$400t = 2000 \Rightarrow t = 5 \, hr$.
वैकल्पिक रूप से,सापेक्ष वेग का उपयोग करते हुए: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (0, 10) - (-10, 0) = (10, 10) \, km \, h^{-1}$।
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, km \, h^{-1}$ है।
न्यूनतम दूरी तब होती है जब सापेक्ष स्थिति सदिश,सापेक्ष वेग सदिश के लंबवत होता है। ज्यामिति से,लगा समय $t = 5 \, hr$ है।

(A) मान लीजिए कि कण $A$ और $B$ समय $t$ पर टकराते हैं। उनके टकराने के लिए,समय $t$ पर दोनों कणों के स्थिति सदिश समान होने चाहिए,अर्थात:
$\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) t$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
$|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| t$
$t = \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
$t$ के इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\vec{r}_1 - \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$

(B) मान लीजिए झील की चौड़ाई $l$ है और नाव का वेग $v_b$ है।
शांत दिन पर,जाने और वापस आने में लगा समय:
$t_Q = \frac{l}{v_b} + \frac{l}{v_b} = \frac{2l}{v_b}$ .....$(i)$
अब,यदि $v_a$ हवा के प्रवाह का वेग है,तो झील के पार जाने में लगा समय:
$t_1 = \frac{l}{v_b + v_a}$ [चूंकि प्रवाह गति में मदद करता है]
और वापस आने में लगा समय:
$t_2 = \frac{l}{v_b - v_a}$ [चूंकि प्रवाह गति का विरोध करता है]
अतः,तूफानी दिन पर कुल समय:
$t_R = t_1 + t_2 = \frac{l(v_b - v_a) + l(v_b + v_a)}{v_b^2 - v_a^2} = \frac{2lv_b}{v_b^2 - v_a^2} = \frac{2l}{v_b[1 - (v_a/v_b)^2]}$ .....(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{t_R}{t_Q} = \frac{1}{1 - (v_a/v_b)^2}$. चूंकि $1 - (v_a/v_b)^2 < 1$,इसलिए $\frac{t_R}{t_Q} > 1$,जिसका अर्थ है कि $t_R > t_Q$.
अतः,शांत दिन पर यात्रा पूरी करने में लगा समय तूफानी दिन की तुलना में कम है।

(A) माना कार का वेग $\vec{v}_C = 25\hat{i}\, km/hr$ (पूर्व दिशा में) है।
माना ट्रेन का वेग $\vec{v}_T = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$ है।
कार के सापेक्ष ट्रेन का वेग $\vec{v}_{TC} = \vec{v}_T - \vec{v}_C = (v_x - 25)\hat{i} + v_y\hat{j}$ होगा।
यह दिया गया है कि ट्रेन उत्तर दिशा में चलती हुई दिखाई देती है,इसलिए सापेक्ष वेग का क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए: $v_x - 25 = 0$,अतः $v_x = 25\, km/hr$।
सापेक्ष वेग का परिमाण $25\sqrt{3}\, km/hr$ दिया गया है,जो कि ऊर्ध्वाधर घटक है: $v_y = 25\sqrt{3}\, km/hr$।
ट्रेन का वास्तविक वेग $\vec{v}_T = 25\hat{i} + 25\sqrt{3}\hat{j}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{v}_T| = \sqrt{25^2 + (25\sqrt{3})^2} = \sqrt{625 + 1875} = \sqrt{2500} = 50\, km/hr$ होगा।

(B) माना नदी की चौड़ाई $d$ है।
न्यूनतम समय के लिए,तैराक नदी के प्रवाह के लंबवत तैरता है। लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए,तैराक को धारा के विपरीत दिशा के साथ $\theta$ कोण पर इस प्रकार तैरना चाहिए कि परिणामी वेग नदी के किनारे के लंबवत हो। किनारे के लंबवत वेग का घटक $v \sin \theta$ है (जहाँ $\theta$ धारा के विपरीत दिशा के साथ कोण है)। अतः,लिया गया समय $t' = \frac{d}{v \sin \theta}$ है।
न्यूनतम समय में लगे समय और न्यूनतम दूरी में लगे समय का अनुपात $\frac{t}{t'} = \frac{d/v}{d/(v \sin \theta)} = \sin \theta$ है।

(B) मान लीजिए एस्केलेटर की लंबाई $x$ है।
एस्केलेटर की गति,$v_e = \frac{x}{1} = x \text{ m/min}$.
स्थिर एस्केलेटर पर चलते हुए व्यक्ति की गति,$v_m = \frac{x}{3} \text{ m/min}$.
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर ऊपर की ओर चलता है,तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_e + v_m = x + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3} \text{ m/min}$ होती है।
ऊपर पहुँचने में लगा समय $t = \frac{x}{v_{eff}} = \frac{x}{4x/3} = \frac{3}{4} \text{ मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर: $t = \frac{3}{4} \times 60 \text{ s} = 45 \text{ s}$.

(D) मान लीजिए कि प्रतिच्छेदन बिंदु $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है। मान लीजिए कि एक कण $Q$,$x$-अक्ष के अनुदिश $O$ की ओर चलता है और दूसरा कण $P$,$x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर $O$ की ओर चलता है।
वेग $\vec{v}_Q = -20 \hat{i} \, cm/s$ और $\vec{v}_P = -20 \cos 60^{\circ} \hat{i} - 20 \sin 60^{\circ} \hat{j} = -10 \hat{i} - 10\sqrt{3} \hat{j} \, cm/s$ हैं।
$P$ के सापेक्ष $Q$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{QP} = \vec{v}_Q - \vec{v}_P = (-20 - (-10)) \hat{i} - (-10\sqrt{3}) \hat{j} = -10 \hat{i} + 10\sqrt{3} \hat{j} \, cm/s$ है।
प्रारंभिक स्थितियाँ $\vec{r}_Q = 400 \hat{i} \, cm$ और $\vec{r}_P = 300 \cos 60^{\circ} \hat{i} + 300 \sin 60^{\circ} \hat{j} = 150 \hat{i} + 150\sqrt{3} \hat{j} \, cm$ हैं।
सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{QP} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = (400 - 150) \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j} = 250 \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j} \, cm$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|\vec{r}_{QP} \times \vec{v}_{QP}|}{|\vec{v}_{QP}|}$ द्वारा दी जाती है।
$|\vec{v}_{QP}| = \sqrt{(-10)^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = 20 \, cm/s$।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{r}_{QP} \times \vec{v}_{QP} = (250 \hat{i} - 150\sqrt{3} \hat{j}) \times (-10 \hat{i} + 10\sqrt{3} \hat{j}) = (250 \times 10\sqrt{3} - (-150\sqrt{3}) \times (-10)) \hat{k} = (2500\sqrt{3} - 1500\sqrt{3}) \hat{k} = 1000\sqrt{3} \hat{k}$।
इसका परिमाण $1000\sqrt{3}$ है।
अतः,$d = \frac{1000\sqrt{3}}{20} = 50\sqrt{3} \, cm$।

(B) माना $V_{SR} = 5 \text{ km/hr}$ नदी के सापेक्ष तैराक का वेग है।
माना $V_R = 4 \text{ km/hr}$ जमीन के सापेक्ष नदी का वेग है।
नदी के प्रवाह के साथ कोण $127^{\circ}$ है। जमीन के सापेक्ष तैराक के वेग के घटक:
$V_{Sx} = V_R + V_{SR} \cos(127^{\circ}) = 4 + 5(-\cos 53^{\circ}) = 4 - 5(0.6) = 4 - 3 = 1 \text{ km/hr}$.
$V_{Sy} = V_{SR} \sin(127^{\circ}) = 5 \sin(53^{\circ}) = 5(0.8) = 4 \text{ km/hr}$.
$d = 0.2 \text{ km}$ चौड़ी नदी को पार करने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{V_{Sy}} = \frac{0.2}{4} = 0.05 \text{ hr} = 3 \text{ minutes}$.
प्रवाह की दिशा में तय की गई क्षैतिज दूरी $CB = V_{Sx} \times t_1 = 1 \text{ km/hr} \times 0.05 \text{ hr} = 0.05 \text{ km} = 50 \text{ m}$.
$3 \text{ km/hr}$ की गति से $CB$ दूरी चलने में लगा समय $t_2 = \frac{0.05 \text{ km}}{3 \text{ km/hr}} = \frac{1}{60} \text{ hr} = 1 \text{ minute}$.
कुल समय $= t_1 + t_2 = 3 \text{ min} + 1 \text{ min} = 4 \text{ minutes}$.

(B) नदी को पार करने का सबसे छोटा पथ नदी के किनारों के लंबवत सीधी रेखा होती है। मान लीजिए $v_b = 5 \, km/hr$ स्थिर जल में नाव की चाल है और $v_r$ नदी की चाल है।
सबसे छोटे पथ के अनुदिश परिणामी वेग $v_{res}$ इस प्रकार है:
$v_{res} = \frac{\text{नदी की चौड़ाई}}{\text{लिया गया समय}} = \frac{1 \, km}{15 \, min} = \frac{1 \, km}{15/60 \, hr} = 4 \, km/hr$.
सबसे छोटे पथ के अनुदिश नदी पार करने के लिए सदिश त्रिभुज में,स्थिर जल में नाव का वेग $(v_b)$ कर्ण के रूप में,परिणामी वेग $(v_{res})$ एक भुजा के रूप में और नदी का वेग $(v_r)$ दूसरी भुजा के रूप में कार्य करता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$v_b^2 = v_{res}^2 + v_r^2$
$5^2 = 4^2 + v_r^2$
$25 = 16 + v_r^2$
$v_r^2 = 25 - 16 = 9$
$v_r = 3 \, km/hr$.

(C) कार का वेग $\vec{v}_c = 20 \hat{j} \, km/hr$ (उत्तर) है।
हवा का वेग $\vec{v}_w = 20 \hat{i} \, km/hr$ (पूर्व) है।
झंडा कार के सापेक्ष हवा के आपेक्षिक वेग की दिशा में रहेगा,जो $\vec{v}_{wc} = \vec{v}_w - \vec{v}_c$ है।
$\vec{v}_{wc} = 20 \hat{i} - 20 \hat{j}$.
इस सदिश की दिशा $\tan \theta = \frac{|v_y|}{|v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ द्वारा प्राप्त होती है,इसलिए $\theta = 45^\circ$ है।
चूंकि $x$-घटक धनात्मक (पूर्व) है और $y$-घटक ऋणात्मक (दक्षिण) है,इसलिए परिणामी दिशा दक्षिण-पूर्व होगी।

(B) मान लीजिए कि स्थिर पानी में आदमी का वेग $v$ है और नदी के प्रवाह का वेग $u = 5\, m/s$ है।
सीधे सामने के बिंदु तक पहुँचने के लिए,आदमी को धारा के विरुद्ध इस तरह तैरना होगा कि परिणामी वेग नदी के किनारे के लंबवत हो।
किनारे के लंबवत आदमी का प्रभावी वेग $v_{eff} = \sqrt{v^2 - u^2}$ है।
नदी पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = 60\, m$ नदी की चौड़ाई है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5 = \frac{60}{\sqrt{v^2 - 5^2}}$.
$\sqrt{v^2 - 25} = \frac{60}{5} = 12$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 - 25 = 144$.
$v^2 = 144 + 25 = 169$.
$v = \sqrt{169} = 13\, m/s$.

(B) माना स्थिर जल में तैराक की चाल $v_s$ है और नदी की चाल $v_r$ है।
जब तैराक धारा की दिशा में चलता है,तो उसकी प्रभावी चाल $(v_s + v_r)$ होती है।
जब तैराक धारा के विपरीत दिशा में चलता है,तो उसकी प्रभावी चाल $(v_s - v_r)$ होती है।
तैरता हुआ पदार्थ नदी की चाल $v_r$ से गति करता है।
माना $D$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1$ है और वापस लौटने में लगा समय $t_2$ है।
समय $t_1 = D / (v_s + v_r)$.
इस समय पर,तैरता हुआ पदार्थ $x = v_r t_1 = v_r D / (v_s + v_r)$ दूरी तय कर चुका होता है।
वापस मुड़ने के बाद,तैराक $M$ से $D/2$ की दूरी पर तैरते हुए पदार्थ से मिलता है। इसका मतलब है कि तैराक धारा के विपरीत $D - D/2 = D/2$ दूरी तय करता है।
उसी समय $t_2$ में तैरता हुआ पदार्थ $D/2 - x$ दूरी तय करता है।
$t_2 = (D/2) / (v_s - v_r) = (D/2 - x) / v_r$.
$x$ का मान रखने पर,$t_2 = (D/2) / (v_s - v_r) = (D/2 - v_r D / (v_s + v_r)) / v_r$.
$D$ से भाग देने और सरल करने पर: $1 / (2(v_s - v_r)) = (1/2 - v_r / (v_s + v_r)) / v_r$.
$1 / (2(v_s - v_r)) = (v_s + v_r - 2v_r) / (2v_r(v_s + v_r)) = (v_s - v_r) / (2v_r(v_s + v_r))$.
$(v_s + v_r) = (v_s - v_r)^2 / v_r$.
माना $k = v_s / v_r$. तब $k + 1 = (k - 1)^2 = k^2 - 2k + 1$.
$k^2 - 3k = 0$. अतः $k = 3$.

(A) मान लीजिए कार का वेग $\vec{v}_c = 2\hat{i}$ है और वर्षा की बूंदों का वेग $\vec{v}_r = -6\hat{j}$ है।
कार के सापेक्ष वर्षा की बूंदों का वेग $\vec{v}_{rc} = \vec{v}_r - \vec{v}_c = -2\hat{i} - 6\hat{j}$ होगा।
वर्षा की बूंदों के विंडस्क्रीन से लंबवत टकराने के लिए,विंडस्क्रीन को सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_{rc}$ के लंबवत होना चाहिए।
सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_{rc}$ ऊर्ध्वाधर ($-y$ अक्ष) के साथ जो कोण $\alpha$ बनाता है,वह $\tan \alpha = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,विंडस्क्रीन को ऊर्ध्वाधर के साथ ऐसे कोण पर झुकाया जाना चाहिए कि उसका अभिलंब सापेक्ष वेग सदिश के समानांतर हो। विंडस्क्रीन का ऊर्ध्वाधर के साथ कोण वही होता है जो सापेक्ष वेग सदिश क्षैतिज के साथ बनाता है,जो $\theta = \tan^{-1}(\frac{6}{2}) = \tan^{-1}(3)$ है।

(B) बारिश के वेग का क्षैतिज घटक हवा के वेग के बराबर होता है,जो उत्तर दिशा में $2 \, m/s$ है।
मान लीजिए $\vec{v}_r$ बारिश का वेग है और $\vec{v}_w$ हवा का वेग है। बारिश का क्षैतिज घटक $\vec{v}_{r,h} = \vec{v}_w = 2 \, m/s$ (उत्तर) है।
साइकिल चालक के लिए,बारिश तब ऊर्ध्वाधर गिरती हुई दिखाई देगी यदि साइकिल चालक के सापेक्ष बारिश का क्षैतिज वेग शून्य हो।
मान लीजिए $\vec{v}_c$ साइकिल चालक का वेग है। साइकिल चालक के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{r/c} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ है।
क्षैतिज घटक को शून्य करने के लिए,साइकिल चालक का वेग बारिश के क्षैतिज वेग के समान होना चाहिए।
इसलिए,साइकिल चालक का वेग $\vec{v}_c = 2 \, m/s$ उत्तर दिशा में होना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि प्रेक्षक $v$ वेग के साथ दो स्थिर वस्तुओं $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा पर गति करता है।
चूंकि वस्तुएं जमीन के फ्रेम में स्थिर हैं,इसलिए उनका वेग $v_A = 0$ और $v_B = 0$ है।
प्रेक्षक के सापेक्ष वस्तुओं का वेग $v_{\text{rel}} = v_{\text{object}} - v_{\text{observer}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों वस्तुओं के लिए,$v_{\text{rel}} = 0 - v = -v$।
इसका अर्थ है कि दोनों वस्तुएं प्रेक्षक की गति की विपरीत दिशा में समान चाल $v$ से गति करती हुई प्रतीत होती हैं।
चूंकि दोनों का वेग सदिश (प्रेक्षक के सापेक्ष $-v$) समान है,इसलिए दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) मान लीजिए नदी का वेग $v_r = 5 \ km/hr$ है और स्थिर जल में नाव का वेग $v_{br} = 3 \ km/hr$ है।
चूँकि $v_{br} < v_r$,नाव $A$ के ठीक सामने वाले बिंदु $(B)$ तक नहीं पहुँच सकती।
ड्रिफ्ट को कम करने के लिए,नाव को एक ऐसे कोण पर चलाया जाना चाहिए कि उसका परिणामी वेग नदी के प्रवाह के लंबवत हो।
हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि नाव एक सीधा रास्ता बनाए रखते हुए बिंदु $C$ पर पहुँचती है।
ऐसे प्रश्नों की मानक व्याख्या के अनुसार,जहाँ नाव सबसे छोटे रास्ते का लक्ष्य रखती है लेकिन बहाव के साथ बह जाती है,ड्रिफ्ट $BC = (v_r - v_{br} \sin \theta) \times t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $t = b / (v_{br} \cos \theta)$ है।
न्यूनतम दूरी के रास्ते के लिए,नाव को कोण $\theta$ पर चलाया जाता है ताकि नदी के लंबवत वेग का घटक अधिकतम हो।
दिए गए मापदंडों के आधार पर,परिणामी वेग $v_b$ किनारे के साथ एक कोण बनाता है।
दूरी $AC = \sqrt{b^2 + BC^2}$ होती है।
दिए गए विकल्पों और ज्यामिति के आधार पर,सही दूरी $500 \ m$ है।

(A) मान लीजिए कि टॉवर मूल बिंदु $(0, 80)$ पर है। शेल $1$ का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 200(\cos 37^o \hat{i} + \sin 37^o \hat{j}) = 200(0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j}) = 160 \hat{i} + 120 \hat{j}\ m/s$ है।
जीप $\vec{v}_J = 10 \hat{i}\ m/s$ के वेग से चलती है। जीप के सापेक्ष शेल $2$ का वेग $\vec{v}_{2J} = 250(\cos 53^o \hat{i} + \sin 53^o \hat{j}) = 250(0.6 \hat{i} + 0.8 \hat{j}) = 150 \hat{i} + 200 \hat{j}\ m/s$ है।
शेल $2$ का निरपेक्ष वेग $\vec{v}_2 = \vec{v}_{2J} + \vec{v}_J = (150 \hat{i} + 200 \hat{j}) + 10 \hat{i} = 160 \hat{i} + 200 \hat{j}\ m/s$ है।
चूंकि दोनों शेल गुरुत्वाकर्षण के अधीन हैं,उनका सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{21} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-g \hat{j}) - (-g \hat{j}) = 0$ है। इस प्रकार,सापेक्ष गति एकसमान है।
सापेक्ष वेग $\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (160 \hat{i} + 200 \hat{j}) - (160 \hat{i} + 120 \hat{j}) = 80 \hat{j}\ m/s$ है।
प्रारंभिक सापेक्ष स्थिति $\vec{r}_{21} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (0, 0) - (0, 80) = -80 \hat{j}\ m$ है।
समय $t$ पर सापेक्ष स्थिति $\vec{r}(t) = \vec{r}_{21} + \vec{v}_{21} t = -80 \hat{j} + 80t \hat{j} = 80(t-1) \hat{j}$ है।
शेल तब सबसे करीब होते हैं जब सापेक्ष स्थिति सदिश का परिमाण न्यूनतम होता है,जो $t = 1\ s$ पर होता है,जहाँ सापेक्ष दूरी $0$ है।

(A) मान लीजिए कि नदी का वेग $\vec{u}$ है और पानी के सापेक्ष तैराक का वेग $\vec{v}$ है।
नदी के संदर्भ फ्रेम में,तैरता हुआ लट्ठा स्थिर है।
तैराक पानी के सापेक्ष (और इसलिए लट्ठे के सापेक्ष) '$v$' गति से '$l$' दूरी तक लट्ठे से दूर जाता है।
दूर जाने में लगा समय $t_1 = \frac{l}{v}$ है।
इसके बाद,तैराक वापस मुड़ता है और पानी के सापेक्ष (और इसलिए लट्ठे के सापेक्ष) '$v$' गति से उतनी ही '$l$' दूरी के लिए लट्ठे की ओर वापस आता है।
वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{l}{v}$ है।
इस प्रक्रिया में तैराक द्वारा लिया गया कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{l}{v} + \frac{l}{v} = \frac{2l}{v}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि $Q$ की स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और $P$ की स्थिति $(0, 10)$ पर है।
$P$ का वेग $\vec{v}_P = -10 \hat{i} \ kmph$ है।
$Q$ का वेग $\vec{v}_Q = 10 \hat{j} \ kmph$ है।
$Q$ के सापेक्ष $P$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{PQ} = \vec{v}_P - \vec{v}_Q = -10 \hat{i} - 10 \hat{j} \ kmph$ है।
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{PQ}| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = 10\sqrt{2} \ kmph$ है।
सापेक्ष वेग सदिश $y$-अक्ष के साथ $45^\circ$ का कोण बनाता है।
न्यूनतम पृथक्करण तब होता है जब $Q$ के सापेक्ष $P$ का स्थिति सदिश,सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_{PQ}$ के लंबवत होता है।
लगा समय $t = \frac{d \cos 45^\circ}{|\vec{v}_{PQ}|} = \frac{10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5 \ hr$ है।

(A) दिया गया है:
ब्लॉक $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 2 \ m/s$ (क्षैतिज के नीचे $75^\circ$ के कोण पर)।
$A$ के सापेक्ष बेल्ट के भाग $CD$ का वेग,$\vec{v}_{CD/A} = 2 \ m/s$ (क्षैतिज के साथ $\theta = 15^\circ$ के कोण पर)।
हम जानते हैं कि $\vec{v}_{CD} = \vec{v}_{CD/A} + \vec{v}_A$.
$\vec{v}_A$ और $\vec{v}_{CD/A}$ के बीच का कोण $\alpha = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ है।
सदिश योग के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$v_{CD}^2 = v_A^2 + v_{CD/A}^2 + 2 v_A v_{CD/A} \cos(60^\circ)$
$v_{CD}^2 = 2^2 + 2^2 + 2(2)(2)(0.5)$
$v_{CD}^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$v_{CD} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \ m/s$.