Projectile Motion on an Inclined Plane Questions in Hindi

(A) नति कोण $\alpha$ वाले समतल पर प्रक्षेप्य की अधिकतम परास का सूत्र है:
ऊपर की ओर प्रक्षेप्य के लिए: $(R_{\max})_{up} = \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha )}$
नीचे की ओर प्रक्षेप्य के लिए: $(R_{\max})_{down} = \frac{u^2}{g(1 - \sin \alpha )}$
प्रश्न के अनुसार,$(R_{\max})_{down} = 3 \times (R_{\max})_{up}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{u^2}{g(1 - \sin \alpha )} = 3 \times \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha )}$
सरल करने पर: $1 + \sin \alpha = 3(1 - \sin \alpha )$
$1 + \sin \alpha = 3 - 3 \sin \alpha$
$4 \sin \alpha = 2$
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$
अतः,$\alpha = 30^o$.

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 21 \, m/s$,क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\beta = 60^o$,झुकाव कोण $\alpha = 30^o$ है।
नत समतल के सापेक्ष प्रक्षेपण कोण $\theta = \beta - \alpha = 60^o - 30^o = 30^o$ है।
नत समतल पर परास $R$ का सूत्र $R = \frac{2u^2 \sin \theta \cos(\theta + \alpha)}{g \cos^2 \alpha}$ है।
मान रखने पर: $R = \frac{2 \times (21)^2 \times \sin 30^o \times \cos(30^o + 30^o)}{9.8 \times \cos^2 30^o}$.
$R = \frac{2 \times 441 \times (1/2) \times \cos 60^o}{9.8 \times (\sqrt{3}/2)^2} = \frac{441 \times 0.5}{9.8 \times 0.75} = \frac{220.5}{7.35} = 30 \, m$.
अतः,परास $30 \, m$ है।

(C) क्षैतिज जमीन पर अधिकतम परास का सूत्र $R_{max, horizontal} = \frac{u^2}{g} = 6 \, km$ है।
झुकाव कोण $\alpha$ वाले समतल पर प्रक्षेप्य की अधिकतम परास का सूत्र $R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + \sin \alpha)}$ है।
यहाँ $\alpha = 30^o$ दिया गया है,मान रखने पर:
$R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + \sin 30^o)}$.
चूँकि $\sin 30^o = 0.5$,इसलिए:
$R_{max, inclined} = \frac{u^2}{g(1 + 0.5)} = \frac{u^2}{g(1.5)} = \frac{u^2}{g(3/2)} = \frac{2}{3} \left( \frac{u^2}{g} \right)$.
$\frac{u^2}{g} = 6 \, km$ का मान रखने पर:
$R_{max, inclined} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \, km$.

(D) जब किसी वस्तु को $\theta$ कोण वाले नत समतल से $u$ गति से क्षैतिज रूप से फेंका जाता है,तो समतल के लंबवत प्रभावी त्वरण $g \cos \theta$ होता है और लंबवत प्रारंभिक वेग घटक $u \sin \theta$ (नीचे की ओर) होता है।
समतल के लंबवत अक्ष के अनुदिश गति के समीकरण $s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ कुल उड्डयन काल $T$ के लिए $s_y = 0$ है:
$0 = (u \sin \theta) T + \frac{1}{2} (g \cos \theta) T^2$
चूंकि प्रक्षेप्य को क्षैतिज रूप से फेंका गया है,लंबवत प्रारंभिक वेग $u \sin \theta$ नीचे की ओर है और त्वरण का लंबवत घटक $g \cos \theta$ ऊपर की ओर है।
$T = \frac{2 u \sin \theta}{g \cos \theta} = \frac{2 u \tan \theta}{g}$
दिया गया है $u = 50 \ m/s$,$\theta = 45^{\circ}$,और $g = 10 \ m/s^2$:
$T = \frac{2 \times 50 \times \tan 45^{\circ}}{10} = \frac{100 \times 1}{10} = 10 \ s$.

(C) मान लीजिए कि ढलान $x$-अक्ष है और ढलान के लंबवत दिशा $y$-अक्ष है।
चूंकि प्रक्षेप्य को ढलान के समकोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = 0$ और $u_y = v$ हैं।
त्वरण के घटक $a_x = -g \sin \theta$ और $a_y = -g \cos \theta$ हैं।
प्रक्षेप्य के ढलान पर वापस आने के लिए,$y$-दिशा में विस्थापन शून्य होना चाहिए: $y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0$.
$v t - \frac{1}{2} g \cos \theta t^2 = 0 \implies t = \frac{2v}{g \cos \theta}$.
ढलान के अनुदिश परास $R$,समय $t$ पर $x$-दिशा में विस्थापन है: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$.
$R = 0(t) + \frac{1}{2} (-g \sin \theta) \left( \frac{2v}{g \cos \theta} \right)^2$.
$R = -\frac{1}{2} g \sin \theta \left( \frac{4v^2}{g^2 \cos^2 \theta} \right) = -\frac{2v^2 \sin \theta}{g \cos^2 \theta} = -\frac{2v^2}{g} \tan \theta \sec \theta$.
परिमाण लेने पर,$R = \frac{2v^2}{g} \tan \theta \sec \theta$.

(D) माना बिंदु $P$ पर प्रक्षेप्य का वेग $v$ है। चूँकि $P$ पर वेग नत समतल के लंबवत है,इसलिए $P$ पर नत समतल के समानांतर वेग का घटक शून्य है।
माना $u$ बिंदु $Q$ पर प्रारंभिक वेग है और $\alpha$ नत समतल के साथ प्रक्षेपण कोण है। नत समतल के समानांतर त्वरण का घटक $-g \sin \theta$ है।
नत समतल के अनुदिश गति के समीकरण का उपयोग करने पर: $v_p = u_p + a_p T$,जहाँ $v_p = 0$ ($P$ पर समतल के समानांतर वेग शून्य है)।
$0 = u \cos \alpha - g \sin \theta T \implies u \cos \alpha = g \sin \theta T$.
दूरी $PQ$ नत समतल के अनुदिश परास है,जो $PQ = (u \cos \alpha) T - \frac{1}{2} (g \sin \theta) T^2$ द्वारा दी जाती है।
$PQ$ के समीकरण में $u \cos \alpha = g \sin \theta T$ रखने पर:
$PQ = (g \sin \theta T) T - \frac{1}{2} g \sin \theta T^2 = \frac{1}{2} g \sin \theta T^2$.
साथ ही,इस शर्त से कि $P$ पर वेग समतल के लंबवत है,$P$ तक पहुँचने का उड्डयन काल $T = \frac{u \cos \alpha}{g \sin \theta}$ है।
दिया गया है कि $P$ पर वेग $v$ है,और यह समतल के लंबवत है,इसलिए $v$,$P$ पर समतल के लंबवत वेग का घटक है। $v = u \sin \alpha - g \cos \theta T$.
चूँकि $v$ बिंदु $P$ पर अंतिम वेग है और यह समतल के लंबवत है,इसलिए वेग का समानांतर घटक $v \sin \theta = u \cos \alpha$ है।
अतः,$PQ = (v \sin \theta) T / \cos \theta = v T \tan \theta$.

(A) कण का वेग $\vec{V}_{P} = (10\sqrt{3} \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (10\sqrt{3} \sin 60^{\circ}) \hat{j} = 5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
वेज का वेग $\vec{V}_{W} = 10\sqrt{3} \hat{i} \text{ m/s}$ है।
वेज के सापेक्ष कण का आपेक्षिक वेग $\vec{V}_{P/W} = \vec{V}_{P} - \vec{V}_{W} = (5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j}) - 10\sqrt{3} \hat{i} = -5\sqrt{3} \hat{i} + 15 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
इस आपेक्षिक गति का विश्लेषण $30^{\circ}$ के झुकाव वाले स्थिर नत समतल पर प्रक्षेप्य गति के रूप में किया जा सकता है।
नत समतल पर उड़ान का समय $T = \frac{2 u \sin(\alpha - \beta)}{g \cos \beta}$ है,जहाँ $\alpha = 60^{\circ}$ और $\beta = 30^{\circ}$ है।
$T = \frac{2(10\sqrt{3}) \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{10 \cos 30^{\circ}} = \frac{20\sqrt{3} \sin 30^{\circ}}{10 \cdot (\sqrt{3}/2)} = \frac{10\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = 2 \text{ s}$.

(D) माना कि $\theta$ समतल का झुकाव कोण है।
समतल पर गेंद का त्वरण निचले किनारे के लंबवत नीचे की ओर $g \sin \theta$ है।
निचले किनारे के लंबवत प्रारंभिक वेग का घटक $u_{\perp} = u \sin 30^{\circ} = 10 \sin 30^{\circ} = 5 \ m/s$ है।
निचले किनारे के लंबवत त्वरण का घटक $a_{\perp} = g \sin \theta$ है।
चूंकि गेंद किनारे पर वापस आ जाती है,इसलिए किनारे के लंबवत विस्थापन शून्य है।
किनारे के लंबवत दिशा में $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = (u \sin 30^{\circ})T - \frac{1}{2}(g \sin \theta)T^2$
$T = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{g \sin \theta}$
दिया गया है $T = 2 \ s$,$u = 10 \ m/s$,और $g = 10 \ m/s^2$:
$2 = \frac{2 \times 10 \times \sin 30^{\circ}}{10 \sin \theta}$
$2 = \frac{2 \times 0.5}{\sin \theta}$
$2 = \frac{1}{\sin \theta}$
$\sin \theta = 0.5$
$\theta = 30^{\circ}$.

(D) माना नत समतल का झुकाव कोण $\alpha$ है। प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $\theta = 60^o$ पर प्रक्षेपित किया गया है। चूंकि यह समतल से क्षैतिज रूप से टकराता है,इसलिए टकराने के बिंदु पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ है। अतः,$v_y = u \sin 60^o - gt = 0$,जिससे $t = \frac{u \sqrt{3}}{2g}$ प्राप्त होता है।
इस समय $t$ पर,क्षैतिज विस्थापन $x = u \cos 60^o \cdot t = \frac{u^2 \sqrt{3}}{4g}$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u \sin 60^o \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{3u^2}{8g}$ है।
नत समतल का कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
नत समतल पर परास $R = \frac{x}{\cos \alpha}$ है। $\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होने के कारण,$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = \frac{u^2 \sqrt{21}}{8g}$।

(B) मान लीजिए गेंद को मूल बिंदु $(0,0)$ से प्रक्षेपित किया गया है। क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = \frac{1}{2} g t^2$ और $x = vt$ है।
$t = \frac{x}{v}$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v} \right)^2 = \frac{gx^2}{2v^2}$ प्राप्त होता है।
नत समतल क्षैतिज के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। समतल का समीकरण $y = x \tan(45^{\circ}) = x$ है।
$y$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{gx^2}{2v^2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{2v^2}{g}$ मिलता है।
चूंकि $y = x$,इसलिए ऊर्ध्वाधर निर्देशांक भी $y = \frac{2v^2}{g}$ होगा।
प्रक्षेपण बिंदु से दूरी $l = \sqrt{x^2 + y^2}$ द्वारा दी जाती है।
$x$ और $y$ के मान रखने पर,$l = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$।
अतः,$l = \sqrt{2} \left[ \frac{2v^2}{g} \right]$।

(D) नत समतल पर प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{g \sin \alpha}{2} \left( \frac{2 u \sin \theta}{g \cos \alpha} \right)^2$
इसे सरल करने पर:
$R = \frac{2 u^2 \cos \theta \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} - \frac{2 u^2 \sin^2 \theta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta}{g \cos^2 \alpha} (\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha)$
$R = \frac{2 u^2 \sin \theta \cos(\theta + \alpha)}{g \cos^2 \alpha}$
यहाँ $u = 2 \, m/s$,$\theta = 15^o$,$\alpha = 30^o$,और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है:
$R = \frac{2 \times (2)^2 \times \sin(15^o) \times \cos(45^o)}{10 \times \cos^2(30^o)}$
$R = \frac{8 \times \sin(15^o) \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{10 \times \frac{3}{4}}$
$R = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}-1}{4}}{7.5} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{7.5} = \frac{2(1.732-1)}{7.5} = \frac{1.464}{7.5} \approx 0.195 \, m = 19.5 \, cm \approx 20 \, cm$.

(C) मान लीजिए कि टक्कर के समय कण का वेग $v$ है।
चूंकि कण समतल $BC$ से समकोण पर टकराता है,इसलिए प्रभाव के क्षण में समतल $BC$ के समानांतर वेग का घटक शून्य होना चाहिए।
समतल $BC$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर झुका हुआ है।
प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u\sqrt{2} \cos 45^{\circ} = u\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = u$ है।
टक्कर के बिंदु पर,वेग सदिश $v$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है (क्योंकि यह क्षैतिज से $60^{\circ}$ पर झुके हुए समतल के लंबवत है)।
इसलिए,अंतिम वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 60^{\circ}$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
अतः,$v_x = u_x$।
$v \cos 60^{\circ} = u$
$v \cdot \frac{1}{2} = u$
$v = 2u$.

(B) $x$-अक्ष को ढलान की दिशा में और $y$-अक्ष को उसके लंबवत लेने पर।
ढलान के साथ प्रक्षेपण कोण $\alpha = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = u \cos(30^{\circ}) = 5\sqrt{3}\,m/s$ और $u_y = u \sin(30^{\circ}) = 5\,m/s$ हैं।
त्वरण के घटक $a_x = -g \sin(30^{\circ}) = -5\,m/s^2$ और $a_y = -g \cos(30^{\circ}) = -5\sqrt{3}\,m/s^2$ हैं।
बिंदु $B$ पर,$y$-अक्ष पर विस्थापन $s_y = 0$ है।
$s_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करने पर,$0 = 5t + \frac{1}{2}(-5\sqrt{3})t^2$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{2}{\sqrt{3}}\,s$ प्राप्त होता है।
परास $R$,$x$-अक्ष पर विस्थापन है: $R = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2 = (5\sqrt{3}) \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + \frac{1}{2}(-5) \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = 10 - \frac{10}{3} = 6.67\,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $13.3$ है।

(A) पत्थर को मूल बिंदु $(0, 0)$ से $v_0$ गति के साथ क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है।
किसी भी समय $t$ पर,क्षैतिज स्थिति $x = v_0 t$ है और ऊर्ध्वाधर स्थिति $y = -\frac{1}{2} g t^2$ है।
पहाड़ी की सतह का समीकरण जो मूल बिंदु से गुजरती है और क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,वह $y = -x \tan \theta$ है।
$x$ और $y$ के व्यंजकों को पहाड़ी की सतह के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{1}{2} g t^2 = -(v_0 t) \tan \theta$
$\frac{1}{2} g t^2 = v_0 t \tan \theta$
$t$ के लिए हल करने पर (जहाँ $t \neq 0$):
$t = \frac{2 v_0 \tan \theta}{g}$
अब,$t$ का मान $x$ और $y$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = v_0 \left(\frac{2 v_0 \tan \theta}{g}\right) = \frac{2 v_0^2 \tan \theta}{g}$
$y = -\frac{1}{2} g \left(\frac{2 v_0 \tan \theta}{g}\right)^2 = -\frac{1}{2} g \left(\frac{4 v_0^2 \tan^2 \theta}{g^2}\right) = -\frac{2 v_0^2 \tan^2 \theta}{g}$
अतः,निर्देशांक $\left(\frac{2 v_0^2 \tan \theta}{g}, -\frac{2 v_0^2 \tan^2 \theta}{g}\right)$ हैं।

(N/A) संलग्न चित्र पर विचार करें।
निर्देशांक प्रणाली को इस प्रकार निर्धारित करें कि $X$-अक्ष झुकी हुई सतह के अनुदिश हो और $Y$-अक्ष उसके लंबवत हो।
प्रारंभिक वेग के घटक: $U_x = v_0 \cos \beta$,$U_y = v_0 \sin \beta$।
त्वरण के घटक: $a_x = -g \sin \alpha$,$a_y = -g \cos \alpha$।
$(b)$ उड़ान का समय $(T)$:
टकराव के बिंदु $P$ पर,$Y$-अक्ष पर विस्थापन $y = 0$ है।
$y = U_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = (v_0 \sin \beta) T - \frac{1}{2} (g \cos \alpha) T^2$
$T = \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}$।
$(a)$ परास $(R)$:
परास समय $T$ पर $X$-अक्ष पर विस्थापन है।
$R = U_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = (v_0 \cos \beta) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2} (g \sin \alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right)^2$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{g \cos \alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin^2 \beta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta}{g \cos^2 \alpha} [\cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha]$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta)}{g \cos^2 \alpha}$।
$(c)$ अधिकतम परास:
अधिकतम परास के लिए,$\frac{dR}{d\beta} = 0$।
सर्वसमिका $2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \frac{v_0^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha]$।
$R$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin(2\beta + \alpha) = 1$,अतः $2\beta + \alpha = 90^\circ$।
$\beta = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$।

(D) मान लीजिए कि प्रभाव का बिंदु मूल बिंदु $O$ है। हम $x$-अक्ष को झुके हुए समतल के अनुदिश (नीचे की ओर) और $y$-अक्ष को झुके हुए समतल के लंबवत (ऊपर की ओर) निर्धारित करते हैं।
प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_0$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर है। इसे $x$ और $y$ अक्षों पर घटकों में विभाजित करने पर:
$u_x = v_0 \sin \theta$
$u_y = -v_0 \cos \theta$
गुरुत्वीय त्वरण $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। इसे घटकों में विभाजित करने पर:
$a_x = g \sin \theta$
$a_y = -g \cos \theta$
कण के दोबारा समतल से टकराने के लिए,$y$-अक्ष पर विस्थापन शून्य $(y = 0)$ होना चाहिए।
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ का उपयोग करते हुए:
$0 = (-v_0 \cos \theta) t + \frac{1}{2} (-g \cos \theta) t^2$
$0 = -t (v_0 \cos \theta + \frac{1}{2} g \cos \theta t)$
चूंकि $t \neq 0$,हमें $v_0 \cos \theta = -\frac{1}{2} g \cos \theta t$ प्राप्त होता है,जिससे $t = \frac{2 v_0}{g}$ मिलता है।
अब,$t = \frac{2 v_0}{g}$ समय पर $x$-अक्ष पर विस्थापन ज्ञात करें:
$x = u_x t + \frac{1}{2} a_x t^2$
$x = (v_0 \sin \theta) \left( \frac{2 v_0}{g} \right) + \frac{1}{2} (g \sin \theta) \left( \frac{2 v_0}{g} \right)^2$
$x = \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} + \frac{1}{2} g \sin \theta \left( \frac{4 v_0^2}{g^2} \right)$
$x = \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} + \frac{2 v_0^2 \sin \theta}{g} = \frac{4 v_0^2 \sin \theta}{g}$.

(C) माना क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। पहाड़ी का झुकाव कोण $\alpha = 30^{\circ}$ है।
ढलान की दिशा में प्रारंभिक वेग का घटक: $u_x = u \cos(\theta + \alpha) = 10 \cos(30^{\circ} + 30^{\circ}) = 10 \cos 60^{\circ} = 5 \text{ m/s}$.
ढलान के लंबवत प्रारंभिक वेग का घटक: $u_y = u \sin(\theta + \alpha) = 10 \sin(60^{\circ}) = 5\sqrt{3} \text{ m/s}$.
त्वरण के घटक: $a_x = g \sin 30^{\circ} = 5 \text{ m/s}^2$ और $a_y = -g \cos 30^{\circ} = -5\sqrt{3} \text{ m/s}^2$.
उड्डयन काल $T$ के लिए,ढलान के लंबवत विस्थापन शून्य होगा:
$0 = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 \implies T = \frac{-2 u_y}{a_y} = 2 \text{ s}$.
दूरी $AB = u_x T + \frac{1}{2} a_x T^2 = 5(2) + \frac{1}{2}(5)(2^2) = 10 + 10 = 20 \text{ m}$.

(D) प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग, $u = 10 \,m/s$ है।
क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण $60^{\circ}$ है और नत समतल का झुकाव $\alpha = 30^{\circ}$ है।
नत समतल के सापेक्ष प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
नत समतल पर परास $R$ का सूत्र:
$R = \frac{2 u^2 \cos 60^{\circ} \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{g \cos^2 30^{\circ}}$
$R = \frac{2 \times (10)^2 \times (1/2) \times \sin 30^{\circ}}{10 \times (\sqrt{3}/2)^2}$
$R = \frac{200 \times 0.5 \times 0.5}{10 \times 0.75} = \frac{50}{7.5} = \frac{20}{3} \,m$.