ગેલેલિયોએ તેમના પુસ્તક $Two \text{ } new \text{ } sciences$ માં જણાવ્યું છે કે "જે ખૂણાઓ $45^{\circ}$ થી સમાન પ્રમાણમાં વધારે કે ઓછા હોય,તેમના માટે અવધિ (range) સમાન હોય છે". આ વિધાન સાબિત કરો.

(N/A) $v_{o}$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી $\theta_{o}$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{v_{o}^{2} \sin(2\theta_{o})}{g}$
ધારો કે બે પ્રક્ષિપ્ત ખૂણાઓ $\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ અને $\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ સમાન તફાવત છે.
$\theta_{1} = 45^{\circ} + \alpha$ માટે,અવધિ $R_{1}$:
$R_{1} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} + \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} + 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
$\theta_{2} = 45^{\circ} - \alpha$ માટે,અવધિ $R_{2}$:
$R_{2} = \frac{v_{o}^{2} \sin(2(45^{\circ} - \alpha))}{g} = \frac{v_{o}^{2} \sin(90^{\circ} - 2\alpha)}{g} = \frac{v_{o}^{2} \cos(2\alpha)}{g}$
અહીં $R_{1} = R_{2}$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $45^{\circ}$ થી સમાન તફાવત ધરાવતા ખૂણાઓ માટે અવધિ સમાન હોય છે.