Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(C) સમક્ષિતિજ પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 18 \, ms^{-1}$ છે.
તેથી,જમીન સાથે અથડાતી વખતે,$v_x = 18 \, ms^{-1}$ રહેશે.
જમીન સાથે અથડાવાનો ખૂણો $\theta = 45^o$ આપેલ છે.
વેગના ઘટકો અને ખૂણા વચ્ચેનો સંબંધ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^o = \frac{v_y}{18}$.
કારણ કે $\tan 45^o = 1$,તેથી $1 = \frac{v_y}{18}$.
આમ,$v_y = 18 \, ms^{-1}$ મળે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\alpha$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ માટે:
$R_1 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ - \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ માટે:
$R_2 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ + \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બંને અવધિઓની સરખામણી કરતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}}{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}} = \frac{1}{1}$.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R = H$.
તેથી,$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$u^2$,$g$,અને $\sin \theta$ ને દૂર કરતા:
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 4$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે કારણ કે સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી.
બિંદુ $A$ આગળ,વેગ $\vec{v}_A = 2\hat i + 3\hat j \text{ m/s}$ છે.
બિંદુ $B$ આગળ,જે બિંદુ $A$ ની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે,ત્યાં સમક્ષિતિજ ઘટક $2\hat i \text{ m/s}$ જ રહે છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બદલાય છે. સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર,શિરોલંબ ઘટકનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ તેની દિશા ઉલટાઈ જાય છે.
તેથી,બિંદુ $B$ આગળ શિરોલંબ ઘટક $-3\hat j \text{ m/s}$ થાય છે.
આમ,બિંદુ $B$ આગળ વેગ $\vec{v}_B = 2\hat i - 3\hat j \text{ m/s}$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી $\theta$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે,ત્યારે કોઈપણ બિંદુએ વેગ $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,તે વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,વેગ ન્યૂનતમ $(v = v_x = u \cos \theta)$ હોવાથી,ગતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ મહત્તમ હોય છે કારણ કે ઊંચાઈ $h$ મહત્તમ હોય છે.

(D) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ જેટલો જ રહે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ થાય.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ કિંમત મૂકતા,આપણને $K' = K \cos^2 \theta$ મળે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ હોવાથી,$K' = K \cos^2(30^{\circ}) = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3K}{4}$ થાય.

(C) પ્રારંભિક વેગ $v_0$ અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ નીચેના સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
અહીં,$x$ એ સમક્ષિતિજ અંતર દર્શાવે છે અને $y$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે ખડક $D$ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે છે,તેથી ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે સમીકરણમાં $x = D$ મૂકતા:
$h = D \tan \theta - \frac{gD^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હવામાં ઉડ્ડયનનો કુલ સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{2 \times 50 \times \sin(30^o)}{10} = \frac{100 \times 0.5}{10} = 5 \, s$.
આપેલ છે કે પથ્થર $t_1 = 3 \, s$ પર દીવાલ ઓળંગે છે,તેથી દીવાલ ઓળંગ્યા પછી હવામાં બાકી રહેલો સમય $t_2 = T - t_1 = 5 - 3 = 2 \, s$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ $v_x$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે: $v_x = u \cos \theta = 50 \times \cos(30^o) = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \, m/s$.
દીવાલની પેલે પાર કાપેલું અંતર $d = v_x \times t_2 = 25\sqrt{3} \times 2 = 50\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા,$d = 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ મળે છે.

(B) વેગ સદિશ $\vec{V} = a\hat{i} + (b - ct)\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $\vec{V} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $v_x = a$ અને $v_y = b - ct$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = a$ અને $u_y = b$ છે.
$y$-દિશામાં પ્રવેગ $a_y = \frac{dv_y}{dt} = -c$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ એ સમય છે જ્યારે કણ સમક્ષિતિજ સમતલ પર પાછો ફરે છે,એટલે કે $y$-દિશામાં સ્થાનાંતર $0$ થાય છે.
$s_y = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $bT - \frac{1}{2} cT^2 = 0$ મળે છે,જેનો ઉકેલ $T = \frac{2b}{c}$ છે.
અવધિ $R$ એ ઉડ્ડયન સમય દરમિયાન $x$-દિશામાં થયેલું સ્થાનાંતર છે: $R = u_x T = a \times \left( \frac{2b}{c} \right) = \frac{2ab}{c}$.

(C) ધારો કે દડાને $v_x$ અને $v_y$ વેગના ઘટકો સાથે ફેંકવામાં આવે છે. પક્ષી $u$ ઝડપ સાથે સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે. દડો પક્ષીને સ્પર્શતો હોવાથી,દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ પક્ષીની ઝડપ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $v_x = u$.
સંપર્ક બિંદુ પર દડાનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = v_y t - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા અને શરત મુજબ કે દડો પક્ષીને 'માત્ર સ્પર્શે છે' (જેનો અર્થ છે કે તે ઊંચાઈએ દડાનો શિરોલંબ વેગ શૂન્ય છે),આપણને $h = \frac{v_y^2}{2g}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $v_y = \sqrt{2gh}$.
$h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{v_y}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયનનો કુલ સમય $T = 2t = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v_x T = u \times 2\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2u\sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક બિંદુ $(0,0)$ થી મહત્તમ બિંદુ $(\frac{R}{2}, H)$ સુધીનું સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \frac{R}{2} \hat{i} + H \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{R}{2})^2 + H^2}$ છે.
અહીં $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ અને $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી,$\frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g})^2 + (\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g})^2} = \frac{u^2 \sin \theta}{g} \sqrt{\cos^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{4}} = \frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}$.
મહત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
સરેરાશ વેગ $V_{avg} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}}{\frac{u \sin \theta}{g}} = \frac{u}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$v_x = u \cos \theta$.
ધારો કે $\alpha$ ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ $v$ છે. આ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \alpha$ થાય.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ હોવાથી,$v \cos \alpha = u \cos \theta$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \frac{u \cos \theta}{\cos \alpha} = u \cos \theta \sec \alpha$ મળે છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ છે. ગોળો શિખરને ઓળંગે છે,જે ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુ પર છે.
પાયાથી શિખરનો કોણીય ઉત્સેધકોણ $\beta$ એ $\tan \beta = \frac{H}{R/2} = \frac{2H}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ અને સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ માટેના પ્રમાણિત સૂત્રો મૂકતા:
$\tan \beta = \frac{2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \right)}{\left( \frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \right)}$
$\tan \beta = \frac{u^2 \sin^2 \alpha / g}{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha / g} = \frac{\sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{2}$.
તેથી,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \alpha}{2}\right)$.

(A) જ્યારે અચળ સમક્ષિતિજ વેગથી ઉડતા વિમાનમાંથી બોમ્બ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે બોમ્બ પાસે છોડતી વખતે વિમાન જેટલો જ સમક્ષિતિજ વેગ હોય છે.
હવાનો અવરોધ ન હોવાથી (આદર્શ સ્થિતિમાં) અને બોમ્બ પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તેનો સમક્ષિતિજ વેગ તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
વિમાન અને બોમ્બ બંને સમાન સમક્ષિતિજ વેગ જાળવી રાખતા હોવાથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર બંને પદાર્થોનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર સમાન રહેશે.
તેથી,બોમ્બ તેના નીચે પડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન હંમેશા વિમાનની શિરોલંબ નીચે જ રહેશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\sqrt{H} = \frac{u \sin \theta}{\sqrt{2g}}$,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = \sqrt{2gH}$.
આ કિંમતને ઉડ્ડયન સમયના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{H}$ થાય છે.
તેથી,જે બેઝબોલ મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે તે સૌથી વધુ સમય માટે હવામાં રહેશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે દીવાલોને $t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 6 \ s$ સમયે ઓળંગે છે.
સંમિતિને કારણે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T_{max} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ છે.
લંબવત સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા,$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
$t = 4 \ s$ સમયે,લંબવત વેગ $v_y = 0$ થાય છે.
$v_y = u_y - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u_y - 10(4)$,તેથી $u_y = 40 \ m/s$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{40^2}{2 \times 10} = \frac{1600}{20} = 80 \ m$ થાય છે.

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $v_0$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે દીવાલોને $t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 6 \ s$ સમયે ઓળંગે છે.
ગતિ સમપ્રમાણ હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{max} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી $v_y = v_0 \sin \theta - gt = 0$.
$g = 10 \ ms^{-2}$ લેતા,આપણને $v_0 \sin \theta = 10 \times 4 = 40 \ ms^{-1}$ મળે છે.
બે દીવાલો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 120 \ m$ છે,અને આ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 6 - 2 = 4 \ s$ છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = v_0 \cos \theta = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120}{4} = 30 \ ms^{-1}$.
પ્રક્ષિપ્ત વેગનું મૂલ્ય $v_0 = \sqrt{(v_x)^2 + (v_0 \sin \theta)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ ms^{-1}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \, ms^{-1}$,ખૂણો $\theta = 53^o$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 53^o = 50 \times (3/5) = 30 \, ms^{-1}$.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક: $u_y = u \sin 53^o = 50 \times (4/5) = 40 \, ms^{-1}$.
વિધાન $A$: શરૂઆતમાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક $40 \, ms^{-1}$ છે. આ સાચું છે.
વિધાન $B$: વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $30 \, ms^{-1}$ છે. આ સાચું છે.
વિધાન $C$: પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો લઘુત્તમ વેગ તેના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ હોય છે,જે સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 30 \, ms^{-1}$ જેટલો હોય છે. આ સાચું છે.
આમ,બધા વિધાનો $A, B,$ અને $C$ સાચા હોવાથી,ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ પણ નહીં' છે.

(D) વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 53^o = 50 \times (4/5) = 40 \, m/s$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઊંચાઈ $h$ માટે,સમીકરણ $\frac{1}{2} g t^2 - u_y t + h = 0$ છે.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેના બે ઉકેલો $t_1$ અને $t_2$ છે જે તે સમય દર્શાવે છે જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $h$ ઊંચાઈએ પહોંચે છે.
ઉકેલોનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{-(-u_y)}{\frac{1}{2} g} = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \, s$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે: $1 + 7 = 8 \, s$.
$B$ માટે: $3 + 5 = 8 \, s$.
$C$ માટે: $2 + 6 = 8 \, s$.
બધી જોડીઓ $t_1 + t_2 = 8 \, s$ ની શરત સંતોષતી હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ છે: $u = 50 \, ms^{-1}$,$\theta = 53^o$,$g = 10 \, ms^{-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 53^o = 0.8$ અને $\cos 53^o = 0.6$,તેથી $\tan 53^o = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$y = x \left( \frac{4}{3} \right) - \frac{10 x^2}{2(50)^2 (0.6)^2}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{2(2500)(0.36)}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{1800}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{x^2}{180}$
આખા સમીકરણને $180$ વડે ગુણતા:
$180y = 180 \left( \frac{4x}{3} \right) - x^2$
$180y = 240x - x^2$.

(D) આપેલ છે કે કણનો પ્રવેગ માત્ર ઋણ $y$-દિશામાં છે,તેથી $x$-દિશામાં પ્રવેગ $a_x = 0$ છે. $a_x = 0$ હોવાથી,વેગનો $x$-ઘટક $v_x$ અચળ રહેશે.
સમીકરણ $y = ax - bx^2$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dt} = a\frac{dx}{dt} - 2bx\frac{dx}{dt}$,એટલે કે $v_y = v_x(a - 2bx)$.
ફરીથી સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d^2y}{dt^2} = a\frac{d^2x}{dt^2} - 2b\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{d^2x}{dt^2}\right]$.
$a_x = 0$ અને $a_y = -g$ હોવાથી,આપણને $-g = -2bv_x^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $v_x = \sqrt{\frac{g}{2b}}$.
ઉગમબિંદુ પર $(x = 0)$,$v_y = a v_x = a\sqrt{\frac{g}{2b}}$.
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{a v_x}{v_x} = a$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = \tan^{-1}(a)$.
આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ઉડ્ડયન સમય ફક્ત પ્રારંભિક વેગના શિરોલંબ ઘટક અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે.
પ્રારંભિક વેગ $V$ એ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે આપવામાં આવ્યો છે. તેથી,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $V_y = V \cos \theta$ છે.
શિરોલંબ દીવાલ સાથેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક દિશા બદલે છે,પરંતુ વેગનો શિરોલંબ ઘટક બદલાતો નથી.
કારણ કે શિરોલંબ ગતિ શિરોલંબ દીવાલ સાથેની અથડામણથી પ્રભાવિત થતી નથી,તેથી કુલ ઉડ્ડયન સમય એ કોઈ પણ અથડામણ વગર ગતિ કરતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જેટલો જ રહે છે.
ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2V_y}{g}$ છે.
$V_y = V \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $T = \frac{2V \cos \theta}{g}$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બળ $\vec{F}$ એ નીચેની તરફ લાગતું વજન $m\vec{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,પ્રક્ષેપણ બિંદુથી સમક્ષિતિજ અંતર $x = R/2$ છે,જ્યાં $R$ એ સમક્ષિતિજ અવધિ (range) છે.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^o$,તેથી $R = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{u^2}{g}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,સમક્ષિતિજ સ્થાન $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
લંબ બળ $F = mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = F \cdot x = (mg) \cdot \left( \frac{u^2}{2g} \right) = \frac{1}{2} m u^2$ થાય છે.

(D) ધારો કે કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તેનું દળ $m$ છે। પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
ગતિપથના મહત્તમ બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક બાકી રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos(60^\circ)$ છે.
તેથી, મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K'$ નીચે મુજબ મળે:
$K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(u \cos(60^\circ))^2$
$K' = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2(60^\circ)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, તેથી $\cos^2(60^\circ) = \frac{1}{4}$.
$K = \frac{1}{2}mu^2$ કિંમત મૂકતા, આપણને મળે:
$K' = K \times \frac{1}{4} = \frac{K}{4}$.

(D) પાણીનો ફુવારો એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સ્ત્રોત તરીકે કામ કરે છે જે $v$ ઝડપ સાથે બધી દિશાઓમાં પાણી છાંટે છે. પાણીની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $45^\circ$ હોય.
સમક્ષિતિજ અવધિ માટેનું સૂત્ર: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\sin(2\theta) = 1$,તેથી $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$.
પાણી ફુવારાની આસપાસ $R_{\max}$ ત્રિજ્યા ધરાવતો વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લે છે.
તેથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે: $A = \pi R_{\max}^2 = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max}$ નું સૂત્ર $H_{max} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
અહીં $H_{max} = 10 \ m$ આપેલ છે,તેથી $10 = \frac{u^2}{2g}$,જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 20g$.
મહત્તમ ક્ષૈતિજ અવધિ $R_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $45^\circ$ હોય,જેનું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
$u^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_{max} = \frac{20g}{g} = 20 \ m$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = (1 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 1 \ ms^{-1}$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 2 \ ms^{-1}$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u_x^2}$ છે.
અહીં $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2}{1} = 2$ હોવાથી,કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = x(2) - \frac{10 \cdot x^2}{2(1)^2}$
$y = 2x - \frac{10x^2}{2}$
$y = 2x - 5x^2$.

(D) ધારો કે કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ થઈ જાય છે,પરંતુ સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ છે.
અહીં $\theta = 60^o$ આપેલ છે,તેથી $v_x = u \cos 60^o = u/2$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા $K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2$ છે.
$v_x = u/2$ મૂકતા,આપણને $K' = \frac{1}{2}m(u/2)^2 = \frac{1}{2}m(u^2/4) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mu^2)$ મળે છે.
કારણ કે $K = \frac{1}{2}mu^2$,તેથી $K' = K/4$ થાય.

(C) ધારો કે $t = 0$ સમયે હીરો અને વિલન સમાન આડા સ્તરે છે. આ ક્ષણે,વિલન આડી દિશામાં ગોળી ચલાવે છે.
હીરો અને વિલન બંનેનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_p = 2\ m/s^2$ છે.
ગોળી આડી દિશામાં છોડવામાં આવી હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગ $0$ છે. જો કે,એકવાર ગોળી હવામાં આવી જાય પછી,તેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા),તેથી તેનો ઉર્ધ્વ પ્રવેગ $a_b = g = 10\ m/s^2$ (નીચેની તરફ) છે.
ધારો કે ગોળીને હીરોની આડી સ્થિતિ સુધી પહોંચવામાં $t$ સમય લાગે છે.
$t$ સમયમાં હીરોનું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y_h = u_y t + \frac{1}{2} a_p t^2 = u_y t + \frac{1}{2} (2) t^2 = u_y t + t^2$ છે.
$t$ સમયમાં ગોળીનું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર $y_b = u_y t + \frac{1}{2} a_b t^2 = u_y t + \frac{1}{2} (10) t^2 = u_y t + 5t^2$ છે.
કારણ કે $5t^2 > t^2$,ગોળી સમાન સમયમાં હીરો કરતા વધુ નીચેની તરફ સ્થાનાંતરિત થશે.
તેથી,ગોળી હીરોની નીચેથી પસાર થશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી (હવાનો અવરોધ અવગણતા).
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,જો કોઈ દિશામાં ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તે દિશામાં વેગમાન અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = V_0 \cos(30^o)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહેતો હોવાથી,વેગમાનનો સમક્ષિતિજ ઘટક $p_x = m v_x$ સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે વેગમાનનો સમક્ષિતિજ ઘટક સંરક્ષિત રહેશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
ધારો કે $u = 147 \ m/s$ અને $\theta_1 = 60^{\circ}$. સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos 60^{\circ} = 147 \times 0.5 = 73.5 \ m/s$ છે.
$t$ સમયે,વેગ $v$ છે અને ખૂણો $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 45^{\circ} = v / \sqrt{2}$ છે.
$u_x = v_x$ હોવાથી,$v \cos 45^{\circ} = u \cos 60^{\circ} \Rightarrow v = u \frac{\cos 60^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = 147 \times \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = 73.5 \sqrt{2} \ m/s$.
$t$ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v \sin 45^{\circ} = (73.5 \sqrt{2}) \times (1/\sqrt{2}) = 73.5 \ m/s$ છે.
શરૂઆતનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin 60^{\circ} = 147 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 127.3 \ m/s$ છે.
સમીકરણ $v_y = u_y - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$73.5 = 127.3 - 9.8t$.
$9.8t = 127.3 - 73.5 = 53.8$.
$t = 53.8 / 9.8 \approx 5.49 \ s$.

(B) તરવૈયાની ગતિ આડી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ (horizontal projectile motion) છે.
ધારો કે $h = 10 \ m$ એ ઊભી ઊંચાઈ છે અને $x = 2 \ m$ એ ઓળંગવાનું આડું અંતર છે.
$10 \ m$ નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2} g t^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 10}{9.8}} = \sqrt{2.04} \approx 1.428 \ s$.
પ્લેટફોર્મને ઓળંગવા માટે,તેણે કાપેલું આડું અંતર ઓછામાં ઓછું $2 \ m$ હોવું જોઈએ.
$x = v \times t$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$v = \frac{x}{t} = \frac{2}{1.428} \approx 1.4 \ m/s$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $1.4 \ m/s$ છે.

(A) કણને $u = 10 \ m/s$ ની ઝડપ અને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 60^\circ$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની સંમિતિને કારણે,જ્યારે કણ ફરીથી તે જ સમક્ષિતિજ સપાટી પર આવે છે,ત્યારે તેની ઝડપ $u = 10 \ m/s$ જ રહે છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,પરંતુ નીચેની દિશામાં.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2}{a_n}$ છે,જ્યાં $v$ ઝડપ છે અને $a_n$ એ લંબ પ્રવેગ છે.
લંબ પ્રવેગ $a_n$ એ વેગ સદિશને લંબ પ્રવેગનો ઘટક છે.
જમીન પર પહોંચતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
વેગ સદિશ અને સમક્ષિતિજ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે,તેથી વેગ સદિશ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $30^\circ$ થશે.
વેગને લંબ $g$ નો ઘટક $a_n = g \cos(60^\circ)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{u^2}{g \cos(60^\circ)} = \frac{10^2}{10 \times 0.5} = \frac{100}{5} = 20 \ m$.

(D) ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u \cos \theta = 12 \cos 60^o = 12 \times 0.5 = 6 \, m/s$.
ધારો કે કોઈ સમય $t$ પર કણની ઝડપ $v = 10 \, m/s$ છે. ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10 = \sqrt{6^2 + v_y^2} \implies 100 = 36 + v_y^2 \implies v_y^2 = 64 \implies v_y = \pm 8 \, m/s$.
સમય $t$ પર વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - gt = 12 \sin 60^o - 10t = 6\sqrt{3} - 10t$ છે.
$v_y = 8 \, m/s$ માટે: $6\sqrt{3} - 10t_1 = 8 \implies t_1 = \frac{6\sqrt{3}-8}{10}$.
$v_y = -8 \, m/s$ માટે: $6\sqrt{3} - 10t_2 = -8 \implies t_2 = \frac{6\sqrt{3}+8}{10}$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{6\sqrt{3}+8 - (6\sqrt{3}-8)}{10} = \frac{16}{10} = 1.6 \, s$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,પ્રવેગ હંમેશા $g$ હોય છે જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = g \sin \theta$ અને લંબ પ્રવેગ $a_n = g \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે સ્પર્શકીય અને લંબ પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $a_t = a_n$.
તેથી,$g \sin \theta = g \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$.
ખૂણો $\theta$ એ વેગ સદિશનો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = |v_y / v_x| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|v_y| = |v_x|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v_x = u_x = 10\, m/s$ અને $v_y = u_y - gt = 20 - 10t$.
તેથી,$|20 - 10t| = 10$.
કિસ્સો $1$: $20 - 10t = 10 \Rightarrow 10t = 10 \Rightarrow t = 1\, s$.
કિસ્સો $2$: $20 - 10t = -10 \Rightarrow 10t = 30 \Rightarrow t = 3\, s$.
આમ,$t = 1\, s$ અને $t = 3\, s$ સમયે મૂલ્યો સમાન હોય છે.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_x = V \cos 45^{\circ} = \frac{V}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર કણનું વેગમાન $p = m V_x = \frac{mV}{\sqrt{2}}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L = p \times h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી લંબ અંતર (મહત્તમ ઊંચાઈ) છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{V^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{4g}$ છે.
આ કિંમતોને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \left( \frac{mV}{\sqrt{2}} \right) \times h = \frac{mV}{\sqrt{2}} \times \frac{V^2}{4g} = \frac{mV^3}{4\sqrt{2}g}$.
કારણ કે $h = \frac{V^2}{4g}$,તેથી $V^2 = 4gh$,જેનો અર્થ થાય છે $V = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$.
$V$ ની કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = \frac{m(2\sqrt{gh})^3}{4\sqrt{2}g} = \frac{m(8g^{3/2}h^{3/2})}{4\sqrt{2}g} = \frac{2m g h \sqrt{gh}}{\sqrt{2}g} = \frac{2}{\sqrt{2}} m \sqrt{gh^3} = m\sqrt{2gh^3}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું સામાન્ય સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 12x - \frac{5}{9}x^2$ સાથે સરખાવતા:
$1) \tan \theta = 12$
$2) \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta = 3 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
બીજા સમીકરણમાં $u \cos \theta = 3$ મૂકતા:
$\frac{10}{2 (3)^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$,જે સુસંગત છે.
અવધિ $R$ શોધવા માટે,ગતિના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા:
$0 = 12x - \frac{5}{9}x^2$
$x(12 - \frac{5}{9}x) = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$12 = \frac{5}{9}x$
$x = \frac{12 \times 9}{5} = \frac{108}{5} = 21.6 \ m$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $21.6 \ m$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટેના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર: $d = (u \cos \theta) t$
શિરોલંબ સ્થાનાંતર: $h = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$
સમક્ષિતિજ સમીકરણ પરથી,$d$ અંતર કાપવા માટેનો સમય:
$t = \frac{d}{u \cos \theta}$
આ $t$ ની કિંમત શિરોલંબ સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = (u \sin \theta) \left( \frac{d}{u \cos \theta} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{d}{u \cos \theta} \right)^2$
$h = d \tan \theta - \frac{g d^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
$u^2$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$\frac{g d^2}{2 u^2 \cos^2 \theta} = d \tan \theta - h$
$u^2 = \frac{g d^2}{2 \cos^2 \theta (d \tan \theta - h)}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$u = \frac{d}{\cos \theta} \sqrt{\frac{g}{2(d \tan \theta - h)}}$

(C) ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $u \cos \theta$ હોય છે.
આપેલ છે કે $u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$,તેથી $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 30^{\circ}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $R = P \times H$,તેથી $P = \frac{R}{H}$.
સૂત્રો મૂકતા: $P = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{4 \cos \theta}{\sin \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 30^{\circ}$ માટે,$P = 4 \cot 30^{\circ} = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ મેળવવા માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^\circ$ હોવો જોઈએ,જેનાથી $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$ થાય છે.
આમ,મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 20\; m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\; m/s^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $R_{\max} = \frac{(20)^2}{10} = \frac{400}{10} = 40\; m$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_y(t) = u \sin \theta - gt$ છે.
$t = 3 \, s$ સમયે,પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ છે,તેથી $v_y(3) = 0$.
$u \sin \theta - g(3) = 0 \implies u \sin \theta = 3g = 30 \, m/s$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા).
$t = 2 \, s$ સમયે,ખૂણો $30^o$ છે,તેથી $\tan 30^o = \frac{v_y(2)}{v_x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 2g}{u \cos \theta} = \frac{30 - 20}{u \cos \theta} = \frac{10}{u \cos \theta}$.
$u \cos \theta = 10\sqrt{3} \, m/s$.
પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 30^2} = \sqrt{300 + 900} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, m/s$.
દિશા $\theta = \tan^{-1}(\frac{u \sin \theta}{u \cos \theta}) = \tan^{-1}(\frac{30}{10\sqrt{3}}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(A) આપેલ છે: આડો વેગ $u = 4\, m/s$,સમય $t = 0.4\, s$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
આડું અંતર (અવધિ) $R = u \times t = 4 \times 0.4 = 1.6\, m$.
લંબ ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2}gt^2 = 0.5 \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8\, m$.
અંતિમ લંબ વેગ $v_y = gt = 10 \times 0.4 = 4\, m/s$.
અંતિમ ઝડપ $v = \sqrt{u^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\, m/s$.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\tan \theta = \frac{v_y}{u} = \frac{4}{4} = 1 \implies \theta = 45^o$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
જ્યાં $R$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (horizontal range) છે.
અહીં કુલ સમક્ષિતિજ અંતર $R = d_1 + d_2$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ અંતર $x = d_1$ પર,દડાની ઊંચાઈ $y = h$ છે.
આ કિંમતોને ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{d_1}{d_1 + d_2}\right)$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$:
$h = d_1 \left(\frac{d_1 + d_2 - d_1}{d_1 + d_2}\right)$
$h = d_1 \left(\frac{d_2}{d_1 + d_2}\right)$
$h = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$

(C) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{u^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ તેના ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ ન્યૂનતમ હોય છે,જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ બાકી રહે છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુના યામ $(x, y) = \left( \frac{R}{2}, H \right)$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ મળે છે.
કારણ કે $R = \frac{u^2}{g}$,આપણે $H = \frac{R}{4}$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,જે બિંદુએ ઝડપ ન્યૂનતમ હોય તેના યામ $\left( \frac{R}{2}, \frac{R}{4} \right)$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\alpha$ છે,તેથી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $(90^{\circ}-\alpha)$ છે,તેથી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\alpha)}{2g}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ}-\alpha) = \cos \alpha$,તેથી $H_2 = \frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g}$ થાય.
તેમની મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}}{\frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\tan^2 \alpha : 1$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે.
ત્રણેય દડાઓ માટે $u$ અચળ હોવાથી,$R \propto \sin(2\theta)$ થાય.
$\theta_1 = 15^{\circ}$ માટે,$R_1 \propto \sin(30^{\circ}) = 0.5$.
$\theta_2 = 45^{\circ}$ માટે,$R_2 \propto \sin(90^{\circ}) = 1$.
$\theta_3 = 75^{\circ}$ માટે,$R_3 \propto \sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 0.5$.
આમ,$R_1 = R_3 = 0.5 \times \frac{u^2}{g}$ અને $R_2 = 1 \times \frac{u^2}{g}$ મળે.
તેથી,$R_1 = R_3 < R_2$ સાચો સંબંધ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષેપણ ખૂણો છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $(90^{\circ} - \theta)$ છે. તેથી,અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(2(90^{\circ} - \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\theta)}{g}$ છે.
કારણ કે $\sin(180^{\circ} - 2\theta) = \sin(2\theta)$,તેથી આપણને $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ મળે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે $R_1 = R_2$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત ઝડપ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પર ઝડપ $v_1 = u$ છે.
ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી ઝડપ $v_2 = u \cos \theta$ થાય છે.
પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પરની ઝડપ અને સર્વોચ્ચ બિંદુ પરની ઝડપનો ગુણોત્તર $x$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{v_1}{v_2} = x$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{u}{u \cos \theta} = x$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\cos \theta} = x$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{x}$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{x})$ છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
$t$ સમય પછી,વેગ સદિશ $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ થશે.
આપેલ છે કે વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) = 0$.
$u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)(u \sin \theta) = 0$.
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$.
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$.
$u^2 = ugt \sin \theta$.
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{m\vec{g}}{m} = \vec{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગના ફેરફારના દરને પ્રવેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a} = \vec{g}$.
વેગના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{d\vec{v}}{dt}| = |\vec{g}| = g$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ હોવાથી,વેગના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય પણ અચળ રહે છે.