Multiplication of Vectors Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ઉત્તર દિશા ધન $y$-અક્ષ $(+\hat{j})$ પર છે અને પૂર્વ દિશા ધન $x$-અક્ષ $(+\hat{i})$ પર છે.
સદિશ $\vec{A}$ ઉત્તર દિશામાં હોવાથી,$\vec{A} = A\hat{j}$ થાય.
સદિશ $\vec{B}$ ઉપરની દિશામાં છે,જે સમક્ષિતિજ સમતલને લંબ છે. ધારો કે આ $z$-અક્ષ છે,તેથી $\vec{B} = B\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{j}) \times (B\hat{k})$ થશે.
એકમ સદિશોના ગુણાકારના નિયમ મુજબ $(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i})$,આપણને $\vec{A} \times \vec{B} = AB\hat{i}$ મળે છે.
દિશા $\hat{i}$ એ પૂર્વ દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,સદિશ $\vec{A} \times \vec{B}$ પૂર્વ દિશામાં હશે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $\vec{A} = -(\vec{B} + \vec{C})$.
બંને બાજુ $\vec{B}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} + \vec{C}) \times \vec{B}$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{B}) - (\vec{C} \times \vec{B})$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી $(\vec{B} \times \vec{B} = 0)$:
$\vec{A} \times \vec{B} = 0 - (\vec{C} \times \vec{B})$.
$\vec{C} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{C})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{A} \times \vec{B} = -(-(\vec{B} \times \vec{C})) = \vec{B} \times \vec{C}$.
આમ,$\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{C} = \vec{C} \times \vec{A}$ થાય.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{A} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{B} = 4 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i} [(-3)(2) - (4)(1)] - \hat{j} [(2)(2) - (4)(4)] + \hat{k} [(2)(1) - (-3)(4)]$
$= \hat{i} [-6 - 4] - \hat{j} [4 - 16] + \hat{k} [2 + 12]$
$= -10 \hat{i} + 12 \hat{j} + 14 \hat{k}$
હવે,માન (magnitude) $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-10)^2 + (12)^2 + (14)^2}$ ની ગણતરી કરીએ.
$= \sqrt{100 + 144 + 196}$
$= \sqrt{440}$
$= \sqrt{4 \times 110} = 2 \sqrt{110}$.

(A) બે સદિશો લંબ હોય ત્યારે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
$(a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = 0$
$2a - 3b + 4 = 0 \Rightarrow 2a - 3b = -4$
બીજું સમીકરણ આપેલ છે: $3a + 2b = 7$.
$a$ અને $b$ શોધવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $13a = 13 \Rightarrow a = 1$.
$a = 1$ ને $3a + 2b = 7$ માં મૂકતા: $3(1) + 2b = 7 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2$.
ગુણોત્તર $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,તેથી $\frac{1}{2} = \frac{x}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(D) બે સદિશો લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{P} = \hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{Q} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(\hat{i} + 2m \hat{j} + m \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + m \hat{k}) = 0$
$(1)(4) + (2m)(-2) + (m)(m) = 0$
$4 - 4m + m^2 = 0$
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેને $(m - 2)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$m = 2$.

(D) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}$ શોધો:
$\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & \sqrt{3} & 2.5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(\sqrt{3} \times 2.5 - 2 \times \sqrt{3}) - \hat{j}(3 \times 2.5 - 2 \times 4) + \hat{k}(3 \times \sqrt{3} - 4 \times \sqrt{3})$
$= 0.5\sqrt{3}\hat{i} + 0.5\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k} = \frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}$
હવે,તેનું માન $|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 3} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.
એકમ સદિશ = $\frac{\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}}{|\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{Q}|} = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \sqrt{3}\hat{k}) = \frac{1}{4}(\sqrt{3}\hat{i} + \hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k})$.
આમ,$x = 4$ મળે છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ સૂચવે છે કે ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં (coplanar) છે.
આની ગણતરી ઘટકોના નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} -x & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-x(4(3) - 3(-1)) - (-6)((-1)(3) - 3(-8)) + (-2)((-1)(-1) - 4(-8)) = 0$
$-x(12 + 3) + 6(-3 + 24) - 2(1 + 32) = 0$
$-15x + 6(21) - 2(33) = 0$
$-15x + 126 - 66 = 0$
$-15x + 60 = 0$
$15x = 60$
$x = 4$

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{9}\right)$ છે,તેથી $\cos \theta = \frac{5}{9}$.
આપણને શરત $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{2}|\vec{a}-\vec{b}|$ આપેલી છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}-\vec{b}|^2$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $a^2 + b^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 2(a^2 + b^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$.
$a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 2a^2 + 2b^2 - 4ab\cos\theta$.
પદોને ગોઠવતા: $6ab\cos\theta = a^2 + b^2$.
$\cos\theta = \frac{5}{9}$ મૂકતા: $6ab\left(\frac{5}{9}\right) = a^2 + b^2$.
$\frac{10}{3}ab = a^2 + b^2$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = n|\vec{b}|$,તેથી $a = nb$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{10}{3}(nb)b = (nb)^2 + b^2$.
$\frac{10}{3}nb^2 = n^2b^2 + b^2$.
$b^2$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારીને): $\frac{10}{3}n = n^2 + 1$.
$3n^2 - 10n + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3n - 1)(n - 3) = 0$.
આમ,$n = \frac{1}{3}$ અથવા $n = 3$.
$n$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $3$ છે.

(A) આપેલ છે: $|\vec{A}|=4$,$|\vec{A}+\vec{B}|=10$,અને $\vec{A} \cdot(\vec{A}+\vec{B})=20$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{B} = 20$.
કારણ કે $\vec{A} \cdot \vec{A} = |\vec{A}|^2 = 4^2 = 16$,તેથી $16 + \vec{A} \cdot \vec{B} = 20$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 4$.
હવે,સરવાળાનું માન ધ્યાનમાં લેતા: $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = (\vec{A}+\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $10^2 = 4^2 + |\vec{B}|^2 + 2(4)$.
$100 = 16 + |\vec{B}|^2 + 8$.
$100 = 24 + |\vec{B}|^2$.
$|\vec{B}|^2 = 100 - 24 = 76$.
તેથી,$|\vec{B}| = \sqrt{76}$ એકમ.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{A}_1|=2, |\vec{A}_2|=3$ અને $|\vec{A}_1+\vec{A}_2|=3$.
સરવાળાના માનનો વર્ગ કરતા:
$(|\vec{A}_1+\vec{A}_2|)^2 = 3^2$
$A_1^2 + A_2^2 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$4 + 9 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$13 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = 9$
$2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -4$
$\vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 = -2$
હવે,$(\vec{A}_1+2 \vec{A}_2) \cdot (3 \vec{A}_1-4 \vec{A}_2)$ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 3 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_1 - 4 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 + 6 \vec{A}_2 \cdot \vec{A}_1 - 8 \vec{A}_2 \cdot \vec{A}_2$
$= 3 |\vec{A}_1|^2 + 2 \vec{A}_1 \cdot \vec{A}_2 - 8 |\vec{A}_2|^2$
કિંમતો મૂકતા:
$= 3(2)^2 + 2(-2) - 8(3)^2$
$= 3(4) - 4 - 8(9)$
$= 12 - 4 - 72$
$= 8 - 72 = -64$

(D) સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ એ એક એવો સદિશ છે જે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે,તેથી તે તે સમતલમાં આવેલા કોઈપણ સદિશને લંબ હોવો જોઈએ.
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ અને $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ બંને $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના રેખીય સંયોજનો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા છે.
તેથી,$(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \perp (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ અને $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \perp (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ બંને સાચા છે.
વિધાન $(e)$ ખોટું છે કારણ કે $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}$ એ અદિશ રાશિ છે,સદિશ નથી,અને લંબ હોવાની વ્યાખ્યા માત્ર સદિશો માટે જ હોય છે.

(C) આપેલ છે કે $|\hat{a} \cdot \hat{b}| = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
આમ,$|\cos \theta| = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^\circ$ અથવા $\theta = 120^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 - 2(\hat{a} \cdot \hat{b})$.
કિસ્સો $1$: જો $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{2}$ હોય,તો $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = 1 + 1 - 2(\frac{1}{2}) = 1$,તેથી $|\hat{a} - \hat{b}| = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $\hat{a} \cdot \hat{b} = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $|\hat{a} - \hat{b}|^2 = 1 + 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 3$,તેથી $|\hat{a} - \hat{b}| = \sqrt{3}$.
તેથી,$|\hat{a} - \hat{b}|$ ની કિંમત $1$ અથવા $\sqrt{3}$ હોઈ શકે છે.

(D) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
ધારો કે $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1 \neq 0$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1 \neq 0$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(-1) = -1 - 1 - 1 = -3 \neq 0$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) = (1)(3) + (1)(2) + (1)(-5) = 3 + 2 - 5 = 0$.
અહીં વિકલ્પ $D$ માટે અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,તે સાચો જવાબ છે.

(C) ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b}$
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$ થાય.
વળી,એન્ટિકોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $0 + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - 0 = 2(\vec{a} \times \vec{b})$ બને છે.

(D) આપેલ છે કે $\hat{a}_{1}$ અને $\hat{a}_{2}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}_{1}| = 1$ અને $|\hat{a}_{2}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}|^2 = 3$ મળે છે.
$(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) = 3 \implies |\hat{a}_{1}|^2 + |\hat{a}_{2}|^2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3$.
$1 + 1 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies 2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies \hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2} = -1/2$.
હવે,આપણે $(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (2\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$= 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{1}) - (\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) - 2(\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{1}) + (\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{2})$.
$= 2(1) - 3(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) + 1$.
$= 3 - 3(-1/2) = 3 + 3/2 = 9/2 = 4.5$.

(A) આપેલ શરત $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ પરથી.
ડોટ અને ક્રોસ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$AB \cos \theta = AB \sin \theta$ મળે.
બંને બાજુ $AB$ વડે ભાગતા,$\cos \theta = \sin \theta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન થાય.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 45^{\circ}}$ મળે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \times \frac{1}{\sqrt{2}}}$.
સાદુરૂપ આપતા,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + \sqrt{2} AB}$ મળે.

(D) જો બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય,તો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
આપેલ સદિશો $A = 2i + 2j + 3k$ અને $B = 3i + 6j + nk$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $A \cdot B = (2)(3) + (2)(6) + (3)(n) = 0$.
પદોની ગણતરી કરતા: $6 + 12 + 3n = 0$.
$18 + 3n = 0$.
$3n = -18$.
$n = -6$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $-6$ છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
આપેલ છે $\overrightarrow{A} = a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}$ અને $\overrightarrow{B} = b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}) \cdot (b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $a_{1}b_{1} = -a_{2}b_{2}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{a_{1}}{b_{2}} = -\frac{a_{2}}{b_{1}}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ એ એક સમતલમાં રહેલા બે સદિશો છે. તેમનો સરવાળો $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ એ એક સદિશ છે જે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ધરાવતા સમતલમાં જ રહેલો છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ એ એક એવો સદિશ છે જે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ સદિશ સમતલમાં છે અને $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ સદિશ સમતલને લંબ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ થાય.
ગાણિતિક રીતે,આ બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) + \overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ અને $\overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ થાય છે.
તેથી,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$,જે સાબિત કરે છે કે સદિશો પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{P} = b \hat{i} + 6 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{Q} = \hat{i} - a \hat{j} + 4 \hat{k}$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(b)(1) + (6)(-a) + (1)(4) = 0$.
આ સમીકરણ $b - 6a + 4 = 0$ અથવા $b - 6a = -4$ માં પરિણમે છે.
આપણને બીજું સમીકરણ $3b - a = 5$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3b - 5$.
$a$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $b - 6(3b - 5) = -4$.
$b - 18b + 30 = -4$.
$-17b = -34$,તેથી $b = 2$.
હવે,$a$ શોધો: $a = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 2$ મળે છે.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$
આપેલ છે:
$|\vec{A}| = 5 \sqrt{3}$ એકમ
$|\vec{B}| = 10$ એકમ
$\theta = 30^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = (5 \sqrt{3}) \times (10) \times \sin 30^{\circ}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 50 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 25 \sqrt{3}$ એકમ
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણને $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 35$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta = 35$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$|\cos \theta| = \frac{1}{\sqrt{26}}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \left( \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \pm 7$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $7$ છે.

(D) આપેલ છે: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $(\vec{a} + 3\vec{b})$ અને $(2\vec{a} - \vec{b})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} + 3\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1+9)\hat{i} + (1+6)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = 10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$2\vec{a} - \vec{b} = 2(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = -\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $[(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})] = (10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k})$.
$= (10 \times -1) + (7 \times 0) + (-1 \times 5) = -10 + 0 - 5 = -15$.
$-15$ નું મૂલ્ય (magnitude) $|-15| = 15$ થાય.

(C) બે સદિશો લંબ હોય તો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
ધારો કે $\vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2) + (b)(-3) + (1)(4) = 0$.
$2a - 3b + 4 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2a - 3b = -4$.
આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે:
$1) 2a - 3b = -4$
$2) 3a + 2b = 7$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $13a = 13$,તેથી $a = 1$.
$a = 1$ ને $3a + 2b = 7$ માં મૂકતા: $3(1) + 2b = 7 \implies 2b = 4 \implies b = 2$.
ગુણોત્તર $a/b = 1/2$ છે.
આપણને $a/b = x/2$ આપેલ છે,તેથી $1/2 = x/2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec{A}$ એ સદિશ $\vec{B}$ ને લંબ છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec{A}$ એ સદિશ $\vec{C}$ ને લંબ છે.
સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની દિશાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B} \times \vec{C}$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{A}$ એ $\vec{B} \times \vec{C}$ ને સમાંતર છે.

(B) આપેલ સદિશ $\vec{P} = P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}$ છે.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
ચાલો વિકલ્પ $B$ ચકાસીએ: $\vec{Q} = Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j}$.
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}) \cdot (Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j})$
$= (P \sin \theta)(Q \cos \theta) + (-P \cos \theta)(Q \sin \theta)$
$= PQ \sin \theta \cos \theta - PQ \sin \theta \cos \theta = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $P$ અને $Q$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
અહીં,$Q_P$ એ સદિશ $P$ ની દિશામાં સદિશ $Q$ નો ઘટક છે.
$Q$ નો $P$ પરના પ્રક્ષેપ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણ પરથી,આપણને મળે છે:
$\cos \theta = \frac{Q_P}{Q}$
$\Rightarrow Q_P = Q \cos \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $P \cdot Q = PQ \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{P \cdot Q}{PQ}$.
આ કિંમતને $Q_P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Q_P = Q \left( \frac{P \cdot Q}{PQ} \right)$
$Q_P = \frac{P \cdot Q}{P}$
આમ,$P$ ની દિશામાં $Q$ નો ઘટક $\frac{P \cdot Q}{P}$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\vec{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$.
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$.
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$.
$4 + 8\alpha = 0$.
$8\alpha = -4$.
$\alpha = -4/8 = -1/2$.

(C) આપેલ છે કે સદિશો $A$ અને $B$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $A \cdot B = 0$.
આપણે સદિશ $(A+B)$ ની દિશામાં સદિશ $(A-B)$ નો ઘટક શોધવાનો છે.
કોઈ સદિશ $P$ નો સદિશ $Q$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Component} = \frac{P \cdot Q}{|Q|}$ છે.
અહીં,$P = A-B$ અને $Q = A+B$ છે.
પ્રથમ,$(A+B)$ નું માન શોધીએ:
$|A+B| = \sqrt{(A+B) \cdot (A+B)} = \sqrt{A \cdot A + B \cdot B + 2(A \cdot B)} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 + 0} = \sqrt{|A|^2 + |B|^2}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $(A-B) \cdot (A+B)$ શોધીએ:
$(A-B) \cdot (A+B) = A \cdot A + A \cdot B - B \cdot A - B \cdot B = |A|^2 + 0 - 0 - |B|^2 = |A|^2 - |B|^2$.
છેલ્લે,ઘટક થશે:
$\text{Component} = \frac{(A-B) \cdot (A+B)}{|A+B|} = \frac{|A|^2 - |B|^2}{\sqrt{|A|^2 + |B|^2}}$.

(C) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ થાય.
ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{A} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ છે.
આપણે દરેક વિકલ્પ સાથે $\vec{A}$ નો અદિશ ગુણાકાર ચકાસીએ:
વિકલ્પ $C$ માટે: $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = (4 \times 3) + (-3 \times 4) = 12 - 12 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશ $(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ એ $(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$ ને લંબ છે.

(B) બે સદિશો $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર (cross product) નિશ્ચાયકની રીત દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$
અહીં $\overrightarrow{r} = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ m}$ અને $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 10 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ N}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((-5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((-5)(-10) - (-3)(4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(50 - (-12))$
$= \hat{k}(50 + 12) = 62 \hat{k} \text{ Nm}$.

(C) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ નો સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
બે સમાંતર સદિશો માટે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin(0^\circ) \hat{n} = AB(0) \hat{n} = \vec{0}$.
આમ,બે સમાંતર સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય સદિશ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) બે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર (અદિશ ગુણાકાર) અદિશ પરિણામ આપે છે,જ્યારે ક્રોસ ગુણાકાર (સદિશ ગુણાકાર) સદિશ પરિણામ આપે છે.
$1$. $(\vec{A} \cdot \vec{A})(\vec{B} \cdot \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \cdot \vec{A})$ અને $(\vec{B} \cdot \vec{C})$ બંને અદિશ છે. બે અદિશોનો ગુણાકાર અદિશ હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$2$. $(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \times \vec{B})$ અને $(\vec{B} \times \vec{C})$ બંને સદિશો છે. બે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર અદિશ હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$3$. $(\vec{A} \times \vec{C}) \times(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{A} \times \vec{C})$ અને $(\vec{B} \times \vec{C})$ બંને સદિશો છે. બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર સદિશ હોય છે. તેથી,તે અદિશ મૂલ્ય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
$4$. $\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})$ માટે: $(\vec{B} \times \vec{C})$ એ એક સદિશ છે. $\vec{A}$ નો આ સદિશ સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર પરિણામે બીજો સદિશ આપે છે. આ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{A} = 5 \hat{i} + 12 \hat{j}$ અને $\vec{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
પ્રથમ,આપણે આ સદિશોના માન શોધીએ:
$|\vec{A}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,એકમ સદિશો $\hat{n}_1 = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j})$ અને $\hat{n}_2 = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j})$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $\hat{n}_1 \cdot \hat{n}_2 = \left[ \frac{1}{13}(5 \hat{i} + 12 \hat{j}) \right] \cdot \left[ \frac{1}{5}(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \right]$ થાય.
$= \frac{1}{65} (5 \times 3 + 12 \times 4) = \frac{1}{65} (15 + 48) = \frac{63}{65}$.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{r_1} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overrightarrow{r_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 - (-1)) - \hat{j}(1 - 1) + \hat{k}(-1 - 1)$
$= \hat{i}(2) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-2) = 2\hat{i} - 2\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન $|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}}{|\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{r_2}|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{k}}{2\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} - \frac{\hat{k}}{\sqrt{2}}$ થાય.

(D) આપેલ છે,$A=2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $B=4 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$.
ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$,જ્યાં $|A|$ અને $|B|$ એ અનુક્રમે સદિશો $A$ અને $B$ ના મૂલ્યો છે.
પ્રથમ,મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:
$|A| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|B| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$A \cdot B = (2)(4) + (4)(2) + (4)(-4) = 8 + 8 - 16 = 0$.
આ કિંમતોને અદિશ ગુણાકારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = (6)(6) \cos \theta$.
$0 = 36 \cos \theta$.
$\cos \theta = 0$.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(5) + (2)(3) + (5)(1) = 15 + 6 + 5 = 26$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 9 + 1} = \sqrt{35}$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\cos \theta = \frac{26}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{35}} = \frac{26}{\sqrt{1330}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{\sqrt{1330}}\right)$.

(B) બે સદિશો $\vec{F}$ અને $\vec{d}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{|\vec{F}| |\vec{d}|}$
સૌ પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{F} \cdot \vec{d} = (3)(5) + (4)(4) + (-5)(3) = 15 + 16 - 15 = 16$
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$
$|\vec{d}| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \times \sqrt{50}} = \frac{16}{50}$
તેથી,$\cos \theta = 0.32$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cos^{-1}(0.32)$.

(C) કોઈ સદિશ $\vec{P}$ નો બીજા સદિશ $\vec{Q}$ ની દિશામાં ઘટક પ્રક્ષેપના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{ઘટક} = \vec{P} \cdot \hat{Q} = \vec{P} \cdot \frac{\vec{Q}}{|\vec{Q}|}$.
અહીં $\vec{P} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j}$ અને $\vec{Q} = \hat{i} + \hat{j}$ આપેલ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{Q}$ નું માન શોધો:
$|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{P} \cdot \vec{Q}$ શોધો:
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = (2 \times 1) + (3 \times 1) = 2 + 3 = 5$.
છેલ્લે,$\vec{Q}$ ની દિશામાં $\vec{P}$ નો ઘટક:
$\frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{Q}|} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.

(C) સદિશ $\vec{A}$ નો $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{B}$ નો $\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\vec{A}$ નો $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક એ $\vec{B}$ ના $\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક કરતા બમણો છે:
$\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} = 2 \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|} \right)$.
ધારો કે $\vec{A} \cdot \vec{B} \neq 0$,તો બંને બાજુને $(\vec{A} \cdot \vec{B})$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{|\vec{B}|} = \frac{2}{|\vec{A}|}$.
માનનો ગુણોત્તર $\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{|\vec{A}|}{|\vec{B}|} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(A) કીડીનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{a}$ એ $x$ અને $y$ અક્ષ પરની ગતિ દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{a} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$
$r = \sqrt{2} \ cm$ મૂલ્ય ધરાવતા અને $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ખૂણો બનાવતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{b}$:
$\vec{b} = r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j}$
$\vec{b} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (10 \hat{i} + 20 \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})$
$= (10 \times 1) + (20 \times 1) = 10 + 20 = 30 \ cm^2$