Fundamentals of Vectors Questions in Gujarati

(D) આપેલ સદિશ $\vec{A} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
કોઈ સદિશ $\vec{A}$ નો એકમ સદિશ $\hat{n}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવા માટે આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{A} \cdot \hat{n}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$Y$-અક્ષને એકમ સદિશ $\hat{j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot \hat{j} = 3(\hat{i} \cdot \hat{j}) + 0(\hat{j} \cdot \hat{j}) + 4(\hat{k} \cdot \hat{j})$ થશે.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,અને $\hat{k} \cdot \hat{j} = 0$,તેથી પ્રક્ષેપ $0 + 0 + 0 = 0$ મળે છે.

(B) ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં બિંદુ $P(x, y, z)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
અહીં કણના યામ $(3, 2, 5)$ આપેલા છે,જ્યાં $x = 3$,$y = 2$,અને $z = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને સ્થાન સદિશ મળે છે: $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_Q$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_P$ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = (2, 3, 5)$ અને $Q = (3, 4, 5)$.
$\vec{r}_P = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{r}_Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P = (3 - 2)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (5 - 5)\hat{k}$
$\vec{d} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j}$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ $B$ નું માન શોધો:
$|B| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
ત્યારબાદ,$A$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$\hat A = \frac{A}{|A|} = \frac{3\hat i + 4\hat j}{5}$.
જરૂરી સદિશનું માન $B$ જેટલું $(25)$ છે અને તે $A$ ને સમાંતર ($\hat A$ ની દિશામાં) છે:
$\text{જરૂરી સદિશ} = |B| \cdot \hat A = 25 \cdot \left( \frac{3\hat i + 4\hat j}{5} \right) = 5(3\hat i + 4\hat j) = 15\hat i + 20\hat j$.

(A) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના ઘટકો $x, y$ અને $z$ અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે સદિશ તમામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
દિગ્કોસાઇનનો સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
$\alpha = \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
સદિશના ઘટકો $A_x = A \cos \alpha$,$A_y = A \cos \beta$ અને $A_z = A \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A_x = A_y = A_z = A \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{A}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ સદિશ $\overrightarrow A = 2\hat i + 4\hat j - 5\hat k$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overrightarrow A$ નું માન (magnitude) શોધો:
$|\overrightarrow A| = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45}$.
દિક-કોસાઈન $(l, m, n)$ એ ઘટકો અને માનનો ગુણોત્તર છે:
$l = \cos \alpha = \frac{A_x}{|\overrightarrow A|} = \frac{2}{\sqrt{45}}$
$m = \cos \beta = \frac{A_y}{|\overrightarrow A|} = \frac{4}{\sqrt{45}}$
$n = \cos \gamma = \frac{A_z}{|\overrightarrow A|} = \frac{-5}{\sqrt{45}}$
આમ,દિક-કોસાઈન $\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \text{અને } \frac{-5}{\sqrt{45}}$ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ $P(4, -4, 0)$ છે અને અંતિમ બિંદુ $Q(-2, -2, 0)$ છે.
સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{r} = \vec{Q} - \vec{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{r} = (-2 - 4)\hat{i} + (-2 - (-4))\hat{j} + (0 - 0)\hat{k}$.
$\vec{r} = -6\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
સદિશનું માન $|\vec{r}| = \sqrt{(-6)^2 + (2)^2 + (0)^2}$ છે.
$|\vec{r}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$.
$|\vec{r}| = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$.

(A) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{P} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}$ છે.
કોઈ સદિશ $\vec{A} = x\hat{i} + y\hat{j}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|\vec{P}| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}$.
$|\vec{P}| = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.
સદિશનું મૂલ્ય $1$ હોવાથી,તે એકમ સદિશ છે.

(C) કોઈ સદિશ $\vec{A}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u}$ શોધવાનું સૂત્ર $\hat{u} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ છે.
અહીં આપેલ સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
સદિશનું માન (magnitude) $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ થાય.
તેથી,એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ મળે.

(D) સદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે,અને સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરે છે.
દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જોકે બળ એ સદિશ છે,દબાણ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ બધી દિશામાં સમાન રીતે કાર્ય કરે છે.
પૃષ્ઠતાણ એ એકમ લંબાઈ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,પરંતુ તે એક અદિશ રાશિ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા એ ટેન્સર રાશિ (ખાસ કરીને બીજા ક્રમનો ટેન્સર) છે જે પરિભ્રમણ ગતિ સામે પદાર્થના અવરોધનું વર્ણન કરે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સદિશ રાશિ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec P = \vec Q$.
$A$. $\hat P = \hat Q$: સદિશો સમાન હોવાથી તેમની દિશા સમાન હોય છે,તેથી તેમના એકમ સદિશો સમાન હોય છે. આ વિધાન સાચું છે.
$B$. $|\vec P| = |\vec Q|$: સમાન સદિશોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ. આ વિધાન સાચું છે.
$C$. $P\hat Q = Q\hat P$: કારણ કે $\vec P = \vec Q$,તેથી $P = Q$ અને $\hat P = \hat Q$ થાય. આમ,$P\hat Q = Q\hat P$ એ $\vec P = \vec Q$ ને સમાન છે. આ વિધાન સાચું છે.
$D$. $\vec P + \vec Q = \hat P + \hat Q$: ડાબી બાજુ $2P$ મૂલ્ય ધરાવતો સદિશ છે,જ્યારે જમણી બાજુ $2$ મૂલ્ય ધરાવતો સદિશ છે (કારણ કે બે એકમ સદિશોનો સરવાળો $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય છે). જ્યાં સુધી $P = 1$ ન હોય ત્યાં સુધી આ બંને સમાન હોઈ શકે નહીં. તેથી,આ વિધાન સાચું નથી.

(B) એકમ સદિશનું માન $1$ હોય છે.
આપેલ સદિશ $\vec{A} = 0.5\hat i + 0.8\hat j + c\hat k$ છે.
તેનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(0.5)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$ મળે.
$0.25 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.89 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.89 = 0.11$.
તેથી,$c = \sqrt{0.11}$.

(B) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એ સદિશ રાશિ ગણવામાં આવે છે. ક્ષેત્રફળ સદિશનું મૂલ્ય એ સપાટીના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે અને તેની દિશા સપાટીને લંબ (perpendicular) લેવામાં આવે છે. તેથી,તે એક સદિશ રાશિ છે.

(B) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$ છે.
અહીં $\vec A = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$ અને $\vec B = 3\hat i + 4\hat j + 5\hat k$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec A = \vec B$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(5) = 9 + 16 + 25 = 50$ થાય.
તેમના માન $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ અને $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{50}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{50}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{50}{50} = 1$.
તેથી,$\cos \theta = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(1) = 0^o$ મળે.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નું પરિણામી સદિશ $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી સદિશ $R$ મહત્તમ મળે તે માટે $\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^o$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,બે સદિશોનું પરિણામી મહત્તમ મેળવવા માટે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^o$ હોવો જોઈએ.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ધરાવતું સમતલ $xy$-સમતલ છે. તેથી,$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ પણ $xy$-સમતલમાં જ રહે છે.
જેহেতু $\overrightarrow{C}$ આ સમતલની બહાર છે,તેથી તેનો $xy$-સમતલને લંબ (એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં) એક શૂન્યતર ઘટક હોવો જ જોઈએ.
ધારો કે $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ શૂન્ય થવા માટે,$z$-અક્ષ પરના ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના $z$-અક્ષ પરના ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,પરિણામી સદિશનો $z$-ઘટક એ $\overrightarrow{C}$ ના $z$-ઘટક જેટલો જ થાય છે.
કારણ કે $\overrightarrow{C}$ સમતલની બહાર છે,તેનો $z$-ઘટક શૂન્ય નથી,તેથી પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ માટે,ધારો કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$
આપેલ શરત $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A}| + |\vec{B}|$ મુજબ,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = (|\vec{A}| + |\vec{B}|)^2$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}|$
બંને બાજુથી $|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2$ બાદ કરતા:
$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 2|\vec{A}||\vec{B}|$
જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ શૂન્યતર સદિશો હોય,તો $2|\vec{A}||\vec{B}|$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta = 1$
તેથી,$\theta = 0^o$ મળે છે.

(C) સ્થાનાંતર સદિશને $\vec{r} = 12\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પરિણામી સ્થાનાંતર $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{12^2 + 5^2 + 6^2}$.
$R = \sqrt{144 + 25 + 36}$.
$R = \sqrt{205}$.
$R \approx 14.31 \, m$.

(C) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ ના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec R| = |\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ શરત $|\vec A + \vec B| = |\vec A| + |\vec B|$ મુજબ,આપણે મૂલ્યનું સૂત્ર મૂકીએ:
$\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = A + B$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = (A + B)^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 + 2AB$
$2AB \cos \theta = 2AB$
$\cos \theta = 1$
તેથી,$\theta = 0^o$.

(B) ધારો કે $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{B} = -4\hat{i} - 6\hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
જો બે સદિશો $\vec{A} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ અને $\vec{B} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ સમાંતર હોય,તો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} = \frac{-1}{\lambda}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા:
$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -\frac{1}{\lambda}$.
છેલ્લા બે ભાગને સરખાવતા:
$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{\lambda} \implies \lambda = 2$.

(C) બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
ધારો કે $\overrightarrow{B} = \hat{i}B_x + \hat{j}B_y$.
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$ માટે:
$(A\cos\theta)(B_x) + (A\sin\theta)(B_y) = 0$.
જો આપણે $\overrightarrow{B} = B(\hat{i}\sin\theta - \hat{j}\cos\theta)$ લઈએ,તો:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (A\cos\theta)(B\sin\theta) + (A\sin\theta)(-B\cos\theta) = AB\sin\theta\cos\theta - AB\sin\theta\cos\theta = 0$.
આમ,સદિશ $\hat{i}B\sin\theta - \hat{j}B\cos\theta$ એ $\overrightarrow{A}$ ને લંબ છે.

(B) સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{AB}$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{CD}$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (4\hat{i} + 6\hat{j}) - (7\hat{i} + 9\hat{j} + 3\hat{k}) = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
આપણે $\overrightarrow{CD}$ ને આ રીતે લખી શકીએ: $\overrightarrow{CD} = -3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -3\overrightarrow{AB}$.
અહીં $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$ છે,જ્યાં $k = -3$ (એક ઋણ અદિશ),તેથી સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$ પ્રતિ-સમાંતર છે.

(C) બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = |A||B| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\vec A \cdot \vec B = - |A||B|$,તેથી આપણે બંને પદોને સરખાવી શકીએ:
$|A||B| \cos \theta = - |A||B|$
બંને બાજુને $|A||B|$ વડે ભાગતા (શૂન્યતર સદિશો ધારીને),આપણને મળે છે:
$\cos \theta = - 1$
આ સૂચવે છે કે $\theta = 180^\circ$.
તેથી,સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.

(C) શૂન્ય પરિણામી સદિશ મેળવવા માટે,સદિશોએ એક બંધ બહુકોણ બનાવવો જોઈએ.
જો સદિશો એક જ સમતલમાં હોય,તો જરૂરી સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે (જે ત્રિકોણ બનાવે છે).
જોકે,પ્રશ્નમાં સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી છે કે સદિશો જુદા જુદા સમતલોમાં છે.
જો આપણી પાસે જુદા જુદા સમતલોમાં $3$ સદિશો હોય,તો તેમનો પરિણામી સદિશ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં કારણ કે કોઈપણ બે સદિશોનો પરિણામી તે સદિશોને સમાવતા સમતલમાં જ હોય છે,અને ત્રીજો સદિશ (જે અલગ સમતલમાં છે) આ પરિણામીને નાબૂદ કરી શકતો નથી.
તેથી,આપણને ઓછામાં ઓછા $4$ સદિશોની જરૂર પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે,એક ચતુષ્ફલક (tetrahedron) ધ્યાનમાં લો જ્યાં ચાર સદિશો ચાર બાજુઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે; તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. આમ,જુદા જુદા સમતલોમાં રહેલા શૂન્યતર સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા જેનો પરિણામી શૂન્ય મળે તે $4$ છે.

(C) કોઈપણ સદિશ માટે,દિગ્કોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ જાણીએ છીએ.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma)$
$= 3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma)$
$= 3 - 1$
$= 2$

(B) આકૃતિ પરથી,ધારો કે પ્રારંભિક સદિશ $\overrightarrow{OA}$ છે અને અંતિમ સદિશ $\overrightarrow{OB}$ છે. લંબાઈ બદલાતી ન હોવાથી,$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = a$ થાય.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \Delta \overrightarrow{a}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$.
મૂલ્ય $|\Delta \overrightarrow{a}|$ એ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપમાં જીવા $AB$ ની લંબાઈ દર્શાવે છે,જે કેન્દ્ર $O$ પર $d\theta$ ખૂણો આંતરે છે. નાના ખૂણા $d\theta$ માટે,જીવાની લંબાઈ લગભગ ચાપની લંબાઈ જેટલી હોય છે.
સંબંધ $\text{ખૂણો} = \frac{\text{ચાપ}}{\text{ત્રિજ્યા}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$d\theta = \frac{AB}{a}$ મળે,તેથી $AB = a\,d\theta$.
તેથી,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a\,d\theta$.
$\Delta a$ એ સદિશના માન (magnitude) માં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે,જે $\Delta a = |\overrightarrow{OB}| - |\overrightarrow{OA}| = a - a = 0$ થાય.
આમ,મૂલ્યો અનુક્રમે $a\,d\theta$ અને $0$ છે.

(D) કેન્દ્ર $O$ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,આપણી પાસે નીચેના ગુણધર્મો છે:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OF})$
$= 5\overrightarrow{AO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF})$
નિયમિત ષટ્કોણના કેન્દ્ર $O$ માટે,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓ તરફના સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = 0$.
તેથી,$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 5\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AO} = 6\overrightarrow{AO}$.

(A) માણસ $10\,m$ ઉત્તર દિશામાં ($y$-અક્ષ) અને $20\,m$ પૂર્વ દિશામાં ($x$-અક્ષ) ગતિ કરે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 20\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500}$.
$r = 10\sqrt{5} \approx 10 \times 2.236 = 22.36\,m$.

(C) કોઈ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જો એક બળ $\vec{F}_1$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં લાગતું હોય,તો તેને સંતુલિત કરવા માટે બીજું બળ $\vec{F}_2$ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_2 = -\vec{F}_1$.
ઉત્તર-પૂર્વની વિરુદ્ધ દિશા દક્ષિણ-પશ્ચિમ છે.
તેથી,બીજું બળ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં લગાડવું જોઈએ.

(C) કોઈપણ સદિશ માટે,દિશા કોસાઇન સંબંધનું પાલન કરે છે: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$(1 - \sin^2 \alpha) + (1 - \sin^2 \beta) + (1 - \sin^2 \gamma) = 1$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$3 - (\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 1$.
તેથી,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3 - 1 = 2$.

(A) સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$ અને $\overrightarrow{CA}$ એક જ ક્રમમાં બંધ ત્રિકોણ બનાવે છે.
સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપ બનાવતા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{R}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં સાઈન (sine) ના નિયમ મુજબ,$\frac{A}{\sin \beta} = \frac{B}{\sin \alpha}$ મળે.
આના પરથી $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{B}{A}$ લખી શકાય.
જો $A > B$ હોય,તો $\frac{B}{A} < 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin \alpha < \sin \beta$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$\sin \alpha < \sin \beta$ નો અર્થ $\alpha < \beta$ થાય છે.
આમ,પરિણામી સદિશ હંમેશા મોટા મૂલ્ય ધરાવતા સદિશની નજીક હોય છે. તેથી,જો $A > B$ હોય,તો $\alpha < \beta$ સાચું છે.

(C) સદિશ $\vec{A} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ના દિશાકીય કોસાઇન નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$l = \frac{a}{|\vec{A}|}, m = \frac{b}{|\vec{A}|}, n = \frac{c}{|\vec{A}|}$
જ્યાં $|\vec{A}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
આપેલ સદિશ $\vec{A} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$ માટે,તેનું મૂલ્ય:
$|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
હવે,દિશાકીય કોસાઇન ગણતા:
$l = \frac{1}{2}$
$m = \frac{1}{2}$
$n = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ,દિશાકીય કોસાઇન $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{P} - \vec{Q}$.
બંને બાજુથી $\vec{P}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $\vec{Q} = -\vec{Q}$.
બંને બાજુ $\vec{Q}$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે: $2\vec{Q} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{Q} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{Q}$ એ શૂન્ય સદિશ છે.

(B) એક સદિશ $\vec{A}$ નો બીજા સદિશ $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં $\vec{A}$ નો અદિશ ઘટક દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{A}$ નો $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે એકમ સદિશ $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}$ છે,તેથી પ્રક્ષેપ $\vec{A} \cdot \hat{B} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ થાય છે.

(A) વેક્ટર બીજગણિતમાં,$x, y, z$ અક્ષો પરના એકમ સદિશો $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ માટે:
$1$. સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$. તેમજ,$\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$.
$2$. અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો: $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$.
આ ગુણધર્મોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
વિકલ્પ $A$: $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ સાચું છે.
વિકલ્પ $B$: $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ (અહીં $0$ આપેલ છે,તેથી ખોટું છે).
વિકલ્પ $C$: $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ (અહીં $1$ આપેલ છે,તેથી ખોટું છે).
વિકલ્પ $D$: $\hat{k} \cdot \hat{i} = 0$ (અહીં $1$ આપેલ છે,તેથી ખોટું છે).
તેથી,સાચો સંબંધ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ છે.

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
અહીં,ઘટકો $A_x = 1$ અને $A_y = 1$ છે.
સદિશનું મૂલ્ય $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\cos \alpha = \frac{A_x}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\alpha = 45^\circ$.
$y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\beta$ એ $\cos \beta = \frac{A_y}{A} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\beta = 45^\circ$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2$
$|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})$
$A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = A^2 + B^2 - 2\vec{A} \cdot \vec{B}$
$4\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$,તેથી:
$4AB \cos \theta = 0$
જો $A \neq 0$ અને $B \neq 0$ હોય,તો $\cos \theta = 0$ મળે.
તેથી,$\theta = 90^\circ$.

(A) સદિશ $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશ $\vec{A} = 2\hat{i} - 1\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
અહીં,$A_x = 2$,$A_y = -1$,અને $A_z = -5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{A}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (-5)^2}$
$|\vec{A}| = \sqrt{4 + 1 + 25}$
$|\vec{A}| = \sqrt{30}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે જેના મધ્યકેન્દ્ર $O$ હોય,સદિશ સરવાળો $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ થાય છે.
આપણે સદિશ $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ ને મધ્યકેન્દ્ર $O$ ના સાપેક્ષ સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC})$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} + (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$
મધ્યકેન્દ્રના ગુણધર્મ $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$
આ કિંમતને સરવાળામાં મૂકતા:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{AO} = 3\overrightarrow{AO}$
આને $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AO}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 3$ મળે છે.

(C) સદિશ $\vec{P} = P_x\hat{i} + P_y\hat{j} + P_z\hat{k}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર $|\vec{P}| = \sqrt{P_x^2 + P_y^2 + P_z^2}$ છે.
અહીં $\vec{P} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ આપેલ છે,તેથી $P_x = 3$,$P_y = 4$,અને $P_z = 12$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{P}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$
$|\vec{P}| = \sqrt{9 + 16 + 144}$
$|\vec{P}| = \sqrt{169}$
$|\vec{P}| = 13$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{A} + \vec{B} = \vec{C}$ અને $|\vec{A}| = |\vec{B}| = |\vec{C}| = A$ (ધારો).
સદિશ સમીકરણ $\vec{A} + \vec{B} = \vec{C}$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{C}|^2$
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{C}|^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મૂલ્યો મુકતા: $A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$.
$2A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$.
$2A^2 \cos \theta = A^2 - 2A^2 = -A^2$.
$\cos \theta = -A^2 / 2A^2 = -1/2$.
તેથી,$\cos \theta = -1/2$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 120^o$ થાય.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,મધ્યકેન્દ્ર $O$ એ બિંદુ છે જ્યાં મધ્યગાઓ એકબીજાને છેદે છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$ અને $\overrightarrow{OC}$ સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે અને મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓ તરફ નિર્દેશિત છે.
આ સદિશો વચ્ચેના ખૂણાઓ દરેક $120^{\circ}$ છે.
સપ્રમાણ પ્રણાલીઓ માટે સદિશ સરવાળાના સિદ્ધાંત મુજબ,$120^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલા સમાન મૂલ્યના ત્રણ સદિશોનું પરિણામી શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$.

(A) આપેલ સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A_x = 1, A_y = 1, A_z = 1$ મળે છે.
સદિશનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ થાય.
દિગ્કોસાઇન (direction cosines) નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \alpha = \frac{A_x}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos \beta = \frac{A_y}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\cos \gamma = \frac{A_z}{|\vec{A}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,cosine મૂલ્યો $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થવા માટે,જ્યારે તેમને એકબીજાની પાછળ (head-to-tail) ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવવો જોઈએ.
જો અલગ અલગ મૂલ્યના માત્ર $2$ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ હોય,તો તેમનો સરવાળો $\vec{A} + \vec{B} = 0$ નો અર્થ એ થાય કે $\vec{A} = -\vec{B}$. આનો અર્થ એ છે કે તેઓ સમાન મૂલ્ય અને વિરુદ્ધ દિશા ધરાવતા હોવા જોઈએ,જે અલગ અલગ મૂલ્ય હોવાની શરતનો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો અલગ અલગ મૂલ્યના $3$ સદિશો હોય,તો તેઓ ત્રિકોણ (એક બંધ બહુકોણ) બનાવી શકે છે જો કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$3, 4,$ અને $5$ મૂલ્યના સદિશો ત્રિકોણ બનાવી શકે છે અને તેમનો સરવાળો શૂન્ય થઈ શકે છે.
તેથી,શૂન્ય પરિણામી મેળવવા માટે જરૂરી અલગ અલગ મૂલ્યના એક જ સમતલના સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(B) બળો પરસ્પર લંબ હોવાથી,આપણે તેમને $x$,$y$ અને $z$ અક્ષો પરના સદિશો તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\vec{F}_1 = 3\hat{i} \ N$,$\vec{F}_2 = 4\hat{j} \ N$,અને $\vec{F}_3 = 12\hat{k} \ N$.
પરિણામી બળ સદિશ આ સદિશોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$F = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ N$.

(C) પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $C^2 = A^2 + B^2$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$A^2 + B^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^2 + B^2$ બાદ કરતા:
$0 = 2AB \cos \theta$.
અહીં સદિશોના મૂલ્યો $A$ અને $B$ શૂન્ય નથી,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^\circ$.
તેથી,$\vec{A}$ એ $\vec{B}$ ને લંબ છે.

(B) કોઈ ભૌતિક રાશિને સદિશ ત્યારે જ કહેવાય જો તે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવતી હોય અને સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતી હોય (જેમ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ).
ઉદાહરણ તરીકે,વિદ્યુત પ્રવાહ મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે,પરંતુ તે અદિશ છે કારણ કે તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,દિશા હોવી એ સદિશ હોવા માટે જરૂરી શરત છે,પરંતુ પૂરતી શરત નથી.
આમ,દિશા ધરાવતી ભૌતિક રાશિને સદિશ 'કહી શકાય',પરંતુ તે હંમેશા સદિશ જ હોય તે જરૂરી નથી.

(B) ત્રણેય બળો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમને $x$,$y$ અને $z$ અક્ષો પર સદિશ તરીકે $\vec{F_1} = 3\hat{i}$,$\vec{F_2} = 4\hat{j}$ અને $\vec{F_3} = 12\hat{k}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પરિણામી બળ સદિશ $\vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ છે.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169}$.
તેથી,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $13 \ N$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સદિશ $\overrightarrow{OA}$ છે અને પરિભ્રમણ પછીનો અંતિમ સદિશ $\overrightarrow{OB}$ છે.
આપેલ છે કે સદિશનું માન અચળ રહે છે,તેથી $|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = a$.
સદિશમાં થતો ફેરફાર $\Delta \overrightarrow{a} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ત્રિકોણ $OAB$ ની ભૂમિતિ પરથી,સદિશમાં થતા ફેરફારનું માન એ જીવા $AB$ ની લંબાઈ છે.
નાના ખૂણા $d\theta$ માટે,ચાપની લંબાઈ $AB = a \cdot d\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a \cdot d\theta$.
હવે,સદિશના માન (magnitude) માં થતો ફેરફાર ધ્યાનમાં લો,$\Delta a = |\overrightarrow{OB}| - |\overrightarrow{OA}|$.
કારણ કે માન અચળ છે,$\Delta a = a - a = 0$.
આમ,$|\Delta \overrightarrow{a}| = a \cdot d\theta$ અને $\Delta a = 0$.