Fundamentals of Vectors Questions in Gujarati

(B) સદિશ રાશિનું મૂલ્ય તેનું કદ અથવા લંબાઈ દર્શાવે છે,જે એક અદિશ મૂલ્ય છે.
તેને સદિશ રાશિની સંજ્ઞા પર તીરની નિશાની મૂક્યા વગર લખી શકાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને સદિશ સંજ્ઞાને માનાંક (modulus) માં મૂકીને દર્શાવી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $\vec{F}$ એ બળનો સદિશ હોય,તો તેનું મૂલ્ય $F$ અથવા $|\vec{F}|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો બળનું મૂલ્ય $5 \ N$ હોય,તો $|\vec{F}| = F = 5 \ N$ થાય.

(N/A) સદિશ એ એક ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
સદિશને એક દિશાવાળા રેખાખંડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. રેખાખંડનો તીરવાળો છેડો એ સદિશનું 'શીર્ષ' (head) કહેવાય છે અને તીર વગરનો છેડો એ સદિશની 'પૂંછડી' (tail) કહેવાય છે. સદિશની લંબાઈ ભૌતિક રાશિના મૂલ્યના પ્રમાણમાં દોરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ: $4 \ N$ નું બળ પૂર્વ દિશામાં લાગે છે. ધારો કે આપણે એવું માપદંડ પસંદ કરીએ કે $1 \ cm$ એ $1 \ N$ બળને અનુરૂપ છે. તેથી,પૂર્વ દિશામાં $4 \ cm$ લાંબો સદિશ આ $4 \ N$ બળને દર્શાવી શકે છે.

(N/A) સ્થાન સદિશ: સમતલમાં ગતિ કરતા પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે,આપણે એક અનુકૂળ બિંદુ $O$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવાની જરૂર છે.
ધારો કે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,સમય $t$ અને $t^{\prime}$ પર પદાર્થના સ્થાન અનુક્રમે $P$ અને $P^{\prime}$ છે. $\overrightarrow{OP}$ એ સમય $t$ પર પદાર્થનો સ્થાન સદિશ છે. તેને $\vec{r}$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P^{\prime}$ ને બીજા સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OP^{\prime}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેને $\vec{r}^{\prime}$ કહેવાય છે.
સદિશ $\vec{r}$ ની લંબાઈ સદિશનું મૂલ્ય દર્શાવે છે અને તેની દિશા એ $O$ થી જોતા $P$ જે દિશામાં છે તે દિશા છે.
સ્થાનાંતર સદિશ: જો પદાર્થ $P$ થી $P^{\prime}$ સુધી ગતિ કરે,તો સદિશ $\overrightarrow{PP^{\prime}}$ (જેનું પૂંછડું $P$ પર અને શીર્ષ $P^{\prime}$ પર હોય) ને બિંદુ $P$ (સમય $t$ પર) થી બિંદુ $P^{\prime}$ (સમય $t^{\prime}$ પર) સુધીની ગતિ માટેનો સ્થાનાંતર સદિશ કહેવામાં આવે છે.
મહત્વની નોંધો:
$(1)$ સ્થાનાંતર સદિશ એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનને જોડતી સીધી રેખા છે.
$(2)$ તે બે સ્થાનો વચ્ચે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા વાસ્તવિક પથ પર આધાર રાખતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે,આકૃતિ $(b)$ માં,પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન $P$ અને $Q$ આપેલા હોય,તો મુસાફરીના વિવિધ માર્ગો જેવા કે $PABCQ$,$PDQ$ અને $PBEFQ$ માટે સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ સમાન જ રહે છે.
$(3)$ તેથી,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય બે બિંદુઓ વચ્ચે પદાર્થ દ્વારા કાપેલા પથની લંબાઈ કરતા હંમેશા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.

(N/A) સ્થાન સદિશ: સમતલમાં ગતિ કરતા પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે,આપણે એક અનુકૂળ બિંદુ પસંદ કરવાની જરૂર છે,જેને ઉગમબિંદુ $O$ કહીએ.
ધારો કે $t$ અને $t^{\prime}$ સમયે પદાર્થનું સ્થાન અનુક્રમે $P$ અને $P^{\prime}$ છે. $\overrightarrow{OP}$ એ $t$ સમયે પદાર્થનો સ્થાન સદિશ છે. તેને $\vec{r}$ સંજ્ઞા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બિંદુ $P^{\prime}$ ને બીજા સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OP^{\prime}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેને $\vec{r}^{\prime}$ કહેવાય છે.
સદિશ $\vec{r}$ ની લંબાઈ સદિશનું મૂલ્ય દર્શાવે છે અને તેની દિશા એ $O$ થી જોતા $P$ જે દિશામાં છે તે દિશા છે.
સ્થાનાંતર સદિશ: જો પદાર્થ $P$ થી $P^{\prime}$ સુધી ગતિ કરે,તો સદિશ $\overrightarrow{PP^{\prime}}$ (જેનું પૂંછડું $P$ પર અને શીર્ષ $P^{\prime}$ પર હોય) ને બિંદુ $P$ (સમય $t$ પર) થી બિંદુ $P^{\prime}$ (સમય $t^{\prime}$ પર) સુધીની ગતિને અનુરૂપ સ્થાનાંતર સદિશ કહેવામાં આવે છે.
સદિશોની સમાનતા: બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન ત્યારે જ કહેવાય જો તેમનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન હોય.
આકૃતિ $(a)$ બે સમાન સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દર્શાવે છે. આપણે $\vec{B}$ ને તેની પોતાની સમાંતર દિશામાં ત્યાં સુધી ખસેડી શકીએ જ્યાં સુધી તેનું પૂંછડું $Q$ એ $\vec{A}$ ના પૂંછડા $O$ સાથે સંપાત ન થાય. ત્યારબાદ,તેમના શીર્ષ $S$ અને $P$ પણ સંપાત થાય છે. આથી,બંને સદિશો સમાન કહેવાય છે,જેને $\vec{A} = \vec{B}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે કોઈ સદિશ $\vec{A}$ ને અદિશ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે નવો સદિશ $\vec{A}' = k\vec{A}$ મળે છે.
નવા સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{A}'| = |k| \cdot |\vec{A}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = -\frac{3}{2}$ છે.
તેથી,નવું મૂલ્ય $|-\frac{3}{2}| \cdot |\vec{A}| = \frac{3}{2} |\vec{A}|$ થશે.
આમ,નવા સદિશનું મૂલ્ય મૂળ સદિશના મૂલ્ય કરતાં $\frac{3}{2}$ ગણું થાય છે.

(N/A) શૂન્ય સદિશ: જે સદિશનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય અને દિશા અનિશ્ચિત હોય તેને શૂન્ય સદિશ કહે છે. તેને $\vec{0}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ગાણિતિક વ્યાખ્યા: જો કોઈ સદિશ $\vec{A}$ માંથી તે જ સદિશ બાદ કરવામાં આવે,તો પરિણામ શૂન્ય સદિશ મળે છે: $\vec{A} - \vec{A} = \vec{0}$.
શૂન્ય સદિશના ગુણધર્મો:
$(i)$ $\vec{A} + \vec{0} = \vec{A}$
(ii) $\lambda \vec{0} = \vec{0}$ (જ્યાં $\lambda$ એ અદિશ છે)
(iii) $0 \cdot \vec{A} = \vec{0}$
ભૌતિક મહત્વ:
સદિશ પ્રક્રિયાઓનું પરિણામ સદિશ જ રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે શૂન્ય સદિશ જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે,જે કણ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય સદિશ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક કણ $t=0$ સમયે $P$ સ્થાન પર છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. $t$ સમયે તે $P'$ સ્થાન પર જાય છે જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}'$ છે. જો કણ પાછો $P$ પર આવે,તો સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r} = \vec{r} - \vec{r} = \vec{0}$ થાય,જે એક શૂન્ય સદિશ છે.

(N/A) સદિશ $\overrightarrow{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ તરીકે આપેલ છે.
$\overrightarrow{A}$ નું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{A}$ ને $\hat{A} = \frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
એકમ સદિશનું મૂલ્ય $|\hat{A}| = \sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = \sqrt{1} = 1$ છે.
આમ,એકમ સદિશનું મૂલ્ય $1$ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{A} = 8 \hat{i} + 6 \hat{j}$ છે.
પ્રથમ,સદિશનું માન શોધો: $|\vec{A}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
એકમ સદિશ $\hat{A}$ ને $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\hat{A} = \frac{8 \hat{i} + 6 \hat{j}}{10} = 0.8 \hat{i} + 0.6 \hat{j}$.

(B) સદિશોના સરવાળા માટેની પાયાની શરત એ છે કે સદિશો સમાન ભૌતિક રાશિ દર્શાવતા હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,બળના સદિશનો સરવાળો માત્ર બીજા બળના સદિશ સાથે જ થઈ શકે,વેગના સદિશ સાથે નહીં.
આનું કારણ એ છે કે પરિણામી સદિશનું ભૌતિક અર્થઘટન સાર્થક બને તે માટે ભૌતિક નિયમો અને પરિમાણો સુસંગત હોવા જરૂરી છે.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય મહત્તમ મેળવવા માટે,$\cos \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 0^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\theta = 0^{\circ}$ મૂકતા:
$R_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1)} = \sqrt{(A+B)^2} = A + B$.
તેથી,ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(A) હા,અસમાન મૂલ્યના ત્રણ સદિશોનો પરિણામી સદિશ શૂન્ય સદિશ હોઈ શકે છે.
જો અસમાન મૂલ્યના ત્રણ સદિશોને એકબીજા સાથે જોડતા બંધ ત્રિકોણ રચાતો હોય,તો તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો ત્રણ સદિશોના મૂલ્યો $3, 4,$ અને $5$ એકમ હોય,તો તેઓ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવી શકે છે,અને તેમનો પરિણામી સદિશ શૂન્ય થશે.

(B) પરિણામી સદિશ $\vec{C}$ નું મૂલ્ય $|\vec{C}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}| + |\vec{B}| = |\vec{C}|$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(|\vec{A}| + |\vec{B}|)^2 = |\vec{C}|^2$.
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $2|\vec{A}||\vec{B}| = 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 1$.
તેથી,$\theta = 0^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એક જ દિશામાં છે.

(A) હા,કોઈ ભૌતિક રાશિનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય તો પણ તે સદિશ હોઈ શકે છે. આવા સદિશને શૂન્ય સદિશ (null vector) કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો કોઈ બોલને શિરોલંબ દિશામાં ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે અને તે પાછો ફેંકનારના હાથમાં આવે,તો બોલનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે. સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ હોવાથી,આ શૂન્ય સ્થાનાંતરને શૂન્ય સદિશ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે સદિશ $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{A}| = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
$\vec{A}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{A}$ ને $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\hat{A} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}}$.

(C) એકમ સદિશ $\hat{n}$ નું મૂલ્ય $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $\hat{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k} = 0.6\hat{i} + 0.8\hat{j} + c\hat{k}$.
સદિશનું મૂલ્ય આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $|\hat{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{(0.6)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(0.6)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.36 + 0.64 + c^2 = 1$.
$1.00 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 1 = 0$.
તેથી,$c = 0$.

(A) જ્યારે કોઈ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ને વાસ્તવિક ધન સંખ્યા $\lambda$ વડે ગુણવામાં આવે,ત્યારે મળતા નવા સદિશ $\overrightarrow{B} = \lambda \overrightarrow{A}$ ના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. નવા સદિશનું મૂલ્ય મૂળ સદિશના મૂલ્ય કરતા $\lambda$ ગણું હોય છે,એટલે કે $|\overrightarrow{B}| = \lambda |\overrightarrow{A}|$.
$2$. $\lambda$ ધન હોવાથી,નવા સદિશ $\overrightarrow{B}$ ની દિશા મૂળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં જ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સદિશ $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$-અક્ષ સાથેની દિશા $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{A_y}{A_x} = \frac{1}{1} = 1$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ જે $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.

(C) આપેલ છે: $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય.
વધુમાં આપેલ છે: $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ$. સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 90^{\circ}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin(90^{\circ}) = PQ(1) = PQ$ મળે છે.
આમ,બંને શરતો $\theta = 90^{\circ}$ પર સંતોષાય છે,તેથી $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

સદિશ $\vec{A}$ નો બે સદિશો $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સરવાળા સાથેના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) માટે વિભાજનનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
તેવી જ રીતે,સદિશ ગુણાકાર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ) માટે:
$\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$
આ નિયમ દર્શાવે છે કે એક સદિશનો અન્ય બે સદિશોના સરવાળા સાથેનો ગુણાકાર એ તે સદિશનો બાકીના બે સદિશો સાથેના વ્યક્તિગત ગુણાકારોના સરવાળા બરાબર હોય છે.

(N/A) ત્રણ ગુણધર્મો જે અલગ-અલગ મૂલ્યો અને અલગ-અલગ દિશાઓ ધરાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$1$. ઉષ્મા વાહકતા (Thermal conductivity): વિષમદિગ્ધર્મી (anisotropic) પદાર્થોમાં,ઉષ્માનો પ્રવાહ તાપમાનના ઢાળની દિશા પર આધાર રાખે છે.
$2$. વિદ્યુત વાહકતા (Electrical conductivity): સ્ફટિકીય પદાર્થોમાં,વિદ્યુત પ્રવાહનું વહન સ્ફટિક લેટીસના અભિવિન્યાસ (orientation) પર આધાર રાખે છે.
$3$. સ્થિતિસ્થાપક માપાંક (Elastic modulus) અથવા સંકોચનક્ષમતા (compressibility): વિષમદિગ્ધર્મી ઘન પદાર્થોમાં,લાગુ પાડેલા પ્રતિબળને કારણે થતું વિરૂપણ એ બળની દિશા અને સ્ફટિક અક્ષો પર આધાર રાખે છે.

(B) ખોટું: કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશો ${\hat i}$ અને ${\hat j}$ નું મૂલ્ય અને દિશા અચળ હોય છે,તેથી તે સમય સાથે બદલાતા નથી.
$(b)$ ખોટું: અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = |A||B|\cos{\theta _1}$ અને $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow C = |A||C|\cos{\theta _2}$ થાય છે. જો અદિશ ગુણાકાર સમાન હોય,તો પણ તેનો અર્થ એ નથી કે $\overrightarrow B = \overrightarrow C$ થાય,કારણ કે સદિશોના મૂલ્યો અને ખૂણાઓ સ્વતંત્ર રીતે બદલાઈ શકે છે.
$(c)$ સાચું: સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,એક જ સમતલમાં રહેલા બે સદિશોનો પરિણામી સદિશ પણ તે જ સમતલમાં હોય છે.

(A) કોણીય વેગમાન એ સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાનના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$. તે સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે સદિશ રાશિ છે. તેથી,$(1)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
સ્થિતિઊર્જા એ ઊર્જાનું એક સ્વરૂપ છે,અને ઊર્જાના તમામ સ્વરૂપો અદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેઓ ફક્ત મૂલ્ય ધરાવે છે અને કોઈ દિશા હોતી નથી. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-a)$ છે.

(N/A) જે સદિશનું મૂલ્ય $1$ એકમ હોય તેને એકમ સદિશ કહે છે.
તે સદિશની દિશા દર્શાવે છે.
તેને કોઈ એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરના એકમ સદિશોને અનુક્રમે $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
એકમ સદિશનું મૂલ્ય $1$ હોવાથી:
$|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}| = 1$
આ સદિશો એકબીજાને લંબ હોય છે.
કોઈપણ સદિશને તેના મૂલ્ય વડે ભાગવાથી એકમ સદિશ મેળવી શકાય છે.
ઉદાહરણ: જો $\vec{A}$ નો એકમ સદિશ $\hat{n}$ હોય,તો:
$\hat{n} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{\vec{A}}{A} = \frac{\text{સદિશ}}{\text{સદિશનું મૂલ્ય}}$
આ સમીકરણ મુજબ,$\vec{A} = |\vec{A}| \cdot \hat{n}$
સદિશ $=$ (સદિશનું મૂલ્ય) $\times$ (તેનો એકમ સદિશ)
ઉદાહરણ: $X$-અક્ષની દિશામાં લાગતું $5 \text{ N}$ બળ આ રીતે દર્શાવી શકાય: $\vec{F} = 5\hat{i} \text{ N}$.

(B) આપેલ વેગ સદિશ: $\overrightarrow{v} = 0.5t^2 \hat{i} + 3t \hat{j} + 9 \hat{k}$.
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ $\overrightarrow{v} = 0.5(2)^2 \hat{i} + 3(2) \hat{j} + 9 \hat{k} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k} \, m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11 \, m/s$ છે.
દિશા કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{v_x}{|v|} = \frac{2}{11}$,$\cos \beta = \frac{v_y}{|v|} = \frac{6}{11}$,અને $\cos \gamma = \frac{v_z}{|v|} = \frac{9}{11}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{11})$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\beta = \cos^{-1}(\frac{6}{11})$ છે.
$z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\gamma = \cos^{-1}(\frac{9}{11})$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કેન્દ્ર $O$ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓ સુધીના સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે:
$\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }+\overrightarrow{ OD }+\overrightarrow{ OE }+\overrightarrow{ OF }+\overrightarrow{ OG }+\overrightarrow{ OH }=\overrightarrow{0}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક સદિશ $\overrightarrow{ AX }$ ને $\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OX }$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$\overrightarrow{ AB }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OB }$
$\overrightarrow{ AC }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OC }$
$\overrightarrow{ AD }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OD }$
$\overrightarrow{ AE }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OE }$
$\overrightarrow{ AF }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OF }$
$\overrightarrow{ AG }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OG }$
$\overrightarrow{ AH }=\overrightarrow{ AO }+\overrightarrow{ OH }$
આ સાત સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\sum = 7 \overrightarrow{ AO } + (\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }+\overrightarrow{ OD }+\overrightarrow{ OE }+\overrightarrow{ OF }+\overrightarrow{ OG }+\overrightarrow{ OH })$
પ્રારંભિક ગુણધર્મ મુજબ,કૌંસમાં રહેલો સરવાળો $-\overrightarrow{ OA }$ એટલે કે $\overrightarrow{ AO }$ જેટલો થાય છે:
$\sum = 7 \overrightarrow{ AO } + \overrightarrow{ AO } = 8 \overrightarrow{ AO }$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{ AO }=2 \hat{ i }+3 \hat{ j }-4 \hat{ k }$,તેથી:
$\sum = 8(2 \hat{ i }+3 \hat{ j }-4 \hat{ k }) = 16 \hat{i}+24 \hat{j}-32 \hat{k}$

(B) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $X = Y = A$ છે.
તફાવત સદિશનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)}$ થાય.
સરવાળા સદિશનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = n |\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}|$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)} = n \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2A^2(1 - \cos \theta) = n^2 \cdot 2A^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2 + n^2 \cos \theta$.
$1 - n^2 = \cos \theta(1 + n^2)$.
$\cos \theta = \frac{1 - n^2}{1 + n^2} = \frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C, D$ એ $O$ કેન્દ્ર ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ પરના બિંદુઓ છે. $O$ કેન્દ્ર હોવાથી,$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = R$ (ત્રિજ્યા).
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$
$A, O, D$ એકરેખસ્થ છે અને $O$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $AD$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે),તેથી $\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$ થાય.
આમ,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ અંગે: બહુકોણનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ બહુકોણ બનાવતા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. સમીકરણ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$ એ બહુકોણના નિયમનું પ્રમાણિત પરિણામ નથી અને આપેલ ભૂમિતિ માટે ગાણિતિક રીતે ખોટું છે. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.
આમ,$A$ સાચું છે પરંતુ $R$ સાચું નથી.

(D) સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,બંધ બહુકોણ માટે,ચક્રીય ક્રમમાં લીધેલા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
પંચકોણની બહારની બાજુઓ માટે: $A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$.
તેથી,$A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$.
કેન્દ્ર અને બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણો પર લાગુ પડતા સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$B_1 + A_1 = B_2$
$B_2 + A_2 = B_3$
$B_3 + A_3 = B_4$
$B_4 + A_4 = B_5$
$B_5 + A_5 = B_1$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(B_1 + B_2 + B_3 + B_4 + B_5) + (A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5) = (B_2 + B_3 + B_4 + B_5 + B_1)$
$A_i$ નો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,આપણે સુસંગતતાની પુષ્ટિ કરીએ છીએ.
વૈકલ્પિક રીતે,સરવાળો $S = B_2 + B_3 + B_4 + B_5$ ધ્યાનમાં લો.
ભૂમિતિ પરથી,$B_2 + A_3 = B_3$,$B_3 + A_4 = B_4$,$B_4 + A_5 = B_5$,અને $B_5 + A_1 = B_1$.
આનો સરવાળો કરતા: $B_2 + (A_3 + A_4 + A_5 + A_1) = B_1$.
$A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 = 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $A_3 + A_4 + A_5 + A_1 = -A_2$ છે.
આને મૂકતા: $B_2 - A_2 = B_1$.
આકૃતિના અભિગમ મુજબ,સાચું પરિણામ $-B_1$ મળે છે.

(A) સદિશ રાશિ કો-ઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની પસંદગીથી સ્વતંત્ર હોય છે. સદિશોનો સરવાળો કે બાદબાકી,જેમ કે $\vec{a}+\vec{b}$ અથવા $(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})$,એક નવો સદિશ આપે છે,જે ભૌતિક રાશિ તરીકે કો-ઓર્ડિનેટ અક્ષોના ઓરિએન્ટેશનથી સ્વતંત્ર છે.
જોકે,સદિશના ઘટકો (જેમ કે $a_x$ અથવા $b_y$) કો-ઓર્ડિનેટ અક્ષોના ઓરિએન્ટેશન પર આધાર રાખે છે. તેથી,પદ $3a_x+2b_y$ ચોક્કસ ઘટકોનો સમાવેશ કરે છે અને જો અક્ષોને ફેરવવામાં આવે તો તે બદલાઈ જશે.
આમ,માત્ર $(b)$ કો-ઓર્ડિનેટ અક્ષોના ઓરિએન્ટેશનની પસંદગી પર આધારિત છે.

(C) જ્યારે એક સદિશ $\vec{A}$ ને તેના સમાન અને વિરુદ્ધ સદિશ $-\vec{A}$ સાથે ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + (-\vec{A}) = 0$ મળે છે.
આ પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $0$ છે અને તેની દિશા અનિશ્ચિત હોય છે,જેને શૂન્ય સદિશ (null vector) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એકમ સદિશ એ એવો સદિશ છે જેનું મૂલ્ય $1$ હોય છે અને તેનો ઉપયોગ અવકાશમાં દિશા દર્શાવવા માટે થાય છે.
એકમ સદિશનું મૂલ્ય $1$ (પરિમાણરહિત સંખ્યા) હોવાથી,તેને કોઈ ભૌતિક એકમ હોતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વેક્ટર તેના મૂલ્ય અને દિશા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો તેના મૂલ્ય અથવા તેની દિશામાં ફેરફાર થાય તો વેક્ટરમાં ફેરફાર થાય છે.
$1$. જો વેક્ટર પોતે પરિભ્રમણ કરે,તો તેની દિશા બદલાય છે,જેના પરિણામે વેક્ટરમાં ફેરફાર થાય છે.
$2$. સંદર્ભ ફ્રેમનું પરિભ્રમણ માત્ર વેક્ટરના ઘટકો (યામ) બદલે છે,પરંતુ વેક્ટર પોતે અવકાશમાં અપરિવર્તિત (સ્થિર) રહે છે.
તેથી,વેક્ટરમાં ફેરફાર વેક્ટરના પોતાના પરિભ્રમણને કારણે થાય છે.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો નાનો ખૂણો છે જ્યારે તેમને પૂંછડીથી પૂંછડી (tail-to-tail) જોડવામાં આવે છે.
આકૃતિ $(C)$ માં,બંને સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ તેમની પૂંછડીઓ પર જોડાયેલા છે. તેથી,આ આકૃતિ બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે કે સદિશ $\vec{A}$ નું માન $2.7$ એકમ છે અને તે પૂર્વ દિશામાં છે.
ધારો કે પૂર્વ દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{i}$ છે. તેથી,$\vec{A} = 2.7 \hat{i}$.
આપણે સદિશ $4 \vec{A}$ શોધવાનો છે.
$4 \vec{A} = 4 \times (2.7 \hat{i}) = 10.8 \hat{i}$.
નવા સદિશનું માન $10.8$ એકમ છે,અને તેની દિશા $\hat{i}$ હોવાથી,તે પૂર્વ દિશામાં છે.

(A) પ્રારંભિક સદિશ $\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
સદિશનું માન $|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
સદિશ ધન $x$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 45^{\circ}$.
જ્યારે સદિશને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $45^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ધન $x$-અક્ષ સાથેનો નવો ખૂણો $45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય છે.
$2\sqrt{2}$ માન ધરાવતો સદિશ જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તે સંપૂર્ણપણે ધન $y$-અક્ષ પર આવેલો હોય છે.
તેથી,નવો સદિશ $2\sqrt{2}\hat{j}$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય શોધો:
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{A}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો:
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$\hat{A} = \frac{\overrightarrow{A}}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{4\hat{i} + 3\hat{j}}{5}$.
જરૂરી સદિશ $\overrightarrow{R}$ એ $\overrightarrow{A}$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય $5|\overrightarrow{B}| = 5\sqrt{20}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{R} = (5|\overrightarrow{B}|) \hat{A} = (5\sqrt{20}) \left( \frac{4\hat{i} + 3\hat{j}}{5} \right) = \sqrt{20}(4\hat{i} + 3\hat{j})$.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\overrightarrow{A} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ નું મૂલ્ય શોધો.
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{B} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
$|\overrightarrow{B}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$\hat{B} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5}$.
જરૂરી સદિશ $\overrightarrow{V}$ નું મૂલ્ય $5$ છે અને તે $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\overrightarrow{V} = |\overrightarrow{A}| \hat{B} = 5 \times \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j}}{5} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$.
આને આપેલા ઘટકો $X \hat{i} + 3 \hat{j}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $X = 4$ મળે છે.

(B) સદિશના દિક્કોસાઇન સંબંધ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x, y, z$ અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા છે.
અહીં $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \cos^2 \gamma = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{2}$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$.

(A) સદિશ $\vec{b}$ ની દિશામાં સદિશ $\vec{a}$ નો ઘટક પ્રક્ષેપના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{ઘટક} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = (4)(-1) + (5)(1) = -4 + 5 = 1$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન (magnitude) શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
તેથી,ઘટકની લંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.

(C) આપેલ શરત: $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$.
$|\vec{V}|^2 = \vec{V} \cdot \vec{V}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોનું વિસ્તરણ કરીએ:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^2 + B^2$ બાદ કરતા:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
અહીં $A$ અને $B$ શૂન્યતર સદિશો હોવાથી,$\cos \theta = 0$.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(D) આપેલ સદિશ $\vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
$y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{j} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{B}$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}| |\hat{j}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{B}$ નું માન શોધો: $|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$\hat{j}$ નું માન $1$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $\vec{B} \cdot \hat{j} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 2$ થાય છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{29}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$.

(C) સદિશ $\vec{A} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 12 \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{A}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ થાય.
$x$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{i} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{A}$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \hat{i}}{|\vec{A}| |\hat{i}|}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (4 \times 1) + (3 \times 0) + (12 \times 0) = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{4}{13 \times 1} = \frac{4}{13}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{4}{13})$.

(D) એકમ સદિશનું માન $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{u} = 0.4 \hat{i} + 0.7 \hat{j} + c \hat{k}$.
સદિશનું માન $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{(0.4)^2 + (0.7)^2 + c^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $0.16 + 0.49 + c^2 = 1$ મળે છે.
$0.65 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.65 = 0.35$.
તેથી,$c = \sqrt{0.35}$.

(D) એકમ સદિશનું માન $1$ હોય છે. સદિશ $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશ $(0.8 \hat{i} + b \hat{j} + 0.4 \hat{k})$ હોવાથી,તેનું માન $1$ લેતા:
$\sqrt{(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2} = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(0.8)^2 + b^2 + (0.4)^2 = 1^2$
$0.64 + b^2 + 0.16 = 1$
$0.80 + b^2 = 1$
$b^2 = 1 - 0.80$
$b^2 = 0.2$
$b = \sqrt{0.2}$

(D) ધારો કે બે બળો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
સદિશ સરવાળો $(\vec{A} + \vec{B})$ છે અને સદિશ તફાવત $(\vec{A} - \vec{B})$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો તફાવતને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,જેથી આ પદો ઉડી જશે:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
તેથી,બળો સમાન મૂલ્યના છે.

(D) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{n} = a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}$ છે અને આપેલ સદિશ $\vec{r} = \hat{\imath} + \hat{\jmath}$ છે.
જ્યારે $\hat{n}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\hat{n} \cdot \vec{r} = 0$.
$(a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}) \cdot (\hat{\imath} + \hat{\jmath}) = a + b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = -a$.
$\hat{n}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,તેનું માન $1$ છે: $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$.
$b = -a$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{a^2 + (-a)^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2a^2} = 1$ અથવા $|a|\sqrt{2} = 1$ થાય છે.
આમ,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે.

(D) સદિશ $\vec{A}$ નો અન્ય સદિશ $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક એ $\vec{B}$ ની દિશામાં રહેલા એકમ સદિશ પર $\vec{A}$ ના પ્રક્ષેપ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\hat{b}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
$\vec{B}$ ની દિશામાં $\vec{A}$ નો ઘટક $\vec{A} \cdot \hat{b}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $\hat{b} = \frac{\vec{B}}{|B|}$,આને $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|B|}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) આપેલ છે કે સદિશો $(A + B)$ અને $(A - B)$ એકબીજાને કાટખૂણે છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(A + B) \cdot (A - B) = 0$
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$A \cdot A - A \cdot B + B \cdot A - B \cdot B = 0$
ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(A \cdot B = B \cdot A)$,તેથી $-A \cdot B$ અને $B \cdot A$ પદો ઉડી જશે.
$|A|^2 - |B|^2 = 0$
$|A|^2 = |B|^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે:
$|A| = |B|$
આમ,શરત એ છે કે બંને સદિશોના માન સમાન હોવા જોઈએ.

(D) સદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
તેનાથી વિપરીત,અદિશ રાશિ એટલે એવી ભૌતિક રાશિ કે જે ફક્ત મૂલ્ય ધરાવે છે,દિશા નહીં.
$1$. વજન એ પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે મૂલ્ય અને દિશા (નીચેની તરફ) બંને ધરાવે છે,તેથી તે સદિશ છે.
$2$. ન્યુક્લિયર સ્પિન એ ન્યુક્લિયસનું આંતરિક કોણીય વેગમાન છે,જે સદિશ રાશિ છે.
$3$. વેગમાન એ દળ અને વેગનો ગુણાકાર છે $(p = mv)$. વેગ સદિશ હોવાથી,વેગમાન પણ સદિશ છે.
$4$. સ્થિતિ ઊર્જા એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે પદાર્થની સ્થિતિ અથવા ગોઠવણીને કારણે સંગ્રહિત ઊર્જા દર્શાવે છે,જેને કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા એ સદિશ રાશિ નથી.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{P}+\vec{Q}|=|\vec{P}|=|\vec{Q}|$. ધારો કે $|\vec{P}|=|\vec{Q}|=P$.
સદિશ સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$|\vec{P}+\vec{Q}| = \sqrt{P^2+Q^2+2PQ \cos \theta}$.
કારણ કે $|\vec{P}+\vec{Q}|=P$,તેથી $P = \sqrt{P^2+P^2+2P^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$P^2 = 2P^2 + 2P^2 \cos \theta$.
$P^2$ વડે ભાગતા,$1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$.