Fundamentals of Vectors Questions in Gujarati

(B) કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં બિંદુ $P(x, y, z)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ સૂત્ર $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કણના યામ $(3, 2, 5)$ આપેલા છે,જ્યાં $x = 3$,$y = 2$,અને $z = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ મળે છે.

(C) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ બિંદુ $Q$ અને પ્રારંભિક બિંદુ $P$ ના સ્થાન સદિશોના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_P = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
$Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_Q = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_Q - \vec{r}_P$.
$\vec{d} = (3 - 2)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (5 - 5)\hat{k}$.
$\vec{d} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + \hat{j}$.

(D) સૌ પ્રથમ,સદિશ $B$ નું મૂલ્ય શોધો:
$|B| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$.
ત્યારબાદ,$A$ ની દિશા નક્કી કરવા માટે તેનો એકમ સદિશ શોધો:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$\hat{A} = \frac{A}{|A|} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}$.
જરૂરી સદિશ $V$ નું મૂલ્ય $|B|$ છે અને દિશા $\hat{A}$ છે:
$V = |B| \cdot \hat{A} = 25 \cdot \left( \frac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right)$.
$V = 5 \cdot (3\hat{i} + 4\hat{j}) = 15\hat{i} + 20\hat{j}$.

(A) સદિશ $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ નું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\overrightarrow{A}| = \sqrt{(2)^2 + (4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 16 + 25} = \sqrt{45}$.
દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ સદિશના ઘટકો અને તેના માનનો ગુણોત્તર છે:
$l = \cos \alpha = \frac{A_x}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{2}{\sqrt{45}}$
$m = \cos \beta = \frac{A_y}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{4}{\sqrt{45}}$
$n = \cos \gamma = \frac{A_z}{|\overrightarrow{A}|} = \frac{-5}{\sqrt{45}}$
આમ,દિક્કોસાઇન $\frac{2}{\sqrt{45}}, \frac{4}{\sqrt{45}}, \text{અને } \frac{-5}{\sqrt{45}}$ છે.

(B) પરિણામી સદિશ $R = A + B$ હંમેશા મોટા મૂલ્ય ધરાવતા સદિશની નજીક હોય છે.
જો $A > B$ હોય,તો પરિણામી સદિશ $A$ ની નજીક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $B$ સાથેના ખૂણા $\beta$ કરતા નાનો છે (એટલે કે $\alpha < \beta$).
જો $A < B$ હોય,તો પરિણામી સદિશ $B$ ની નજીક હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $B$ સાથેનો ખૂણો $\beta$ એ $A$ સાથેના ખૂણા $\alpha$ કરતા નાનો છે (એટલે કે $\beta < \alpha$,અથવા $\alpha > \beta$).
જો $A = B$ હોય,તો પરિણામી સદિશ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\alpha = \beta$.
તેથી,જો $A < B$ હોય તો $\alpha > \beta$ વિધાન સાચું છે.

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય ત્યારે તેમનું પરિણામી બળ $R$ શોધવાનું સૂત્ર $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ છે.
અહીં $A = 2P$,$B = \sqrt{2}P$ અને $R = P\sqrt{10}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$P\sqrt{10} = \sqrt{(2P)^2 + (\sqrt{2}P)^2 + 2(2P)(\sqrt{2}P) \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$10P^2 = 4P^2 + 2P^2 + 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$10P^2 = 6P^2 + 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$4P^2 = 4\sqrt{2}P^2 \cos \theta$.
$1 = \sqrt{2} \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^{\circ}$.

(B) સદિશ $\vec{A} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ એ એકમ સદિશ છે જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{A}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = 1$.
આપેલ સદિશ $\vec{A} = 0.4\hat{i} + 0.8\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
માનની ગણતરી કરતા: $\sqrt{(0.4)^2 + (0.8)^2 + c^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(0.4)^2 + (0.8)^2 + c^2 = 1^2$.
$0.16 + 0.64 + c^2 = 1$.
$0.80 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.80 = 0.20$.
તેથી,$c = \sqrt{0.2}$.

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{R} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2} \hat{k}$ છે.
આને $\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j} + R_z \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $R_x = 1, R_y = 1, R_z = \sqrt{2}$ મળે છે.
સદિશનું માન $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
દિગ્કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{R_x}{|\vec{R}|}, \cos \beta = \frac{R_y}{|\vec{R}|}, \cos \gamma = \frac{R_z}{|\vec{R}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X$-અક્ષ માટે: $\cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.
$Y$-અક્ષ માટે: $\cos \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 60^\circ$.
$Z$-અક્ષ માટે: $\cos \gamma = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \gamma = 45^\circ$.
આમ,ખૂણાઓ $60^\circ, 60^\circ, 45^\circ$ છે.

(D) આપેલ સદિશ $\vec A = 5\hat i - 12\hat j$ છે.
સદિશ $\vec A$ નું માન (magnitude) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $|\vec A| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$\vec A$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat A$ ને $\hat A = \frac{\vec A}{|\vec A|}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\hat A = \frac{5\hat i - 12\hat j}{13}$ મળે છે.

(A) સદિશ એ એક ભૌતિક રાશિ છે જેનું મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે.
જ્યારે આપણે સદિશને $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ,ત્યારે તેના ઘટકો $(A_x, A_y, A_z)$ કો-ઓર્ડિનેટ અક્ષોના ઓરિએન્ટેશન પર આધાર રાખે છે.
જોકે,સદિશ સરવાળો $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}$ એ પરિણામી સદિશ દર્શાવે છે,જે એક ભૌતિક અસ્તિત્વ છે અને તેને વર્ણવવા માટે વપરાતી કો-ઓર્ડિનેટ સિસ્ટમથી સ્વતંત્ર છે.
વિકલ્પ $B$ અને $C$ એવા ઘટકો અથવા આંશિક સરવાળા દર્શાવે છે જે અક્ષો ફેરવવાથી બદલાય છે.
તેથી,સદિશ સરવાળો $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R}$ એ કો-ઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) ધારો કે સદિશોના માન $|A| = x$,$|B| = x$,અને $|C| = \sqrt{2}x$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow A + \overrightarrow B + \overrightarrow C = 0$,આ ત્રણ સદિશો એક બંધ ત્રિકોણ બનાવે છે.
$x, x, \sqrt{2}x$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે કોસાઇનના નિયમ મુજબ,આપણે જોઈએ છીએ કે $x^2 + x^2 = (\sqrt{2}x)^2$,જે પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આમ,સદિશો એક કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
સદિશો વચ્ચેના ખૂણા શોધવા માટે,આપણે તેમને એકબીજાની પાછળ ગોઠવીએ છીએ.
$\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે (કારણ કે તેઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ છે).
$\overrightarrow B$ અને $\overrightarrow C$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ છે.
$\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow C$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ છે.
તેથી,ખૂણાઓ $90^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}$ છે.

(D) રેખા $x = 0$ એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે. તેથી,$F_1 = 1\,N$ બળ આ રેખા પર કાર્ય કરતું હોવાથી તેને $\vec{F}_1 = 1\hat{j} = \hat{j}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $y = 0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે. તેથી,$F_2 = 2\,N$ બળ આ રેખા પર કાર્ય કરતું હોવાથી તેને $\vec{F}_2 = 2\hat{i}$ તરીકે લખી શકાય.
પરિણામી બળ $\vec{F}$ એ $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ નો સદિશ સરવાળો છે.
તેથી,$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 2\hat{i} + \hat{j}$.

(C) બે સદિશો $P = A_1\hat{i} + B_1\hat{j} + C_1\hat{k}$ અને $Q = A_2\hat{i} + B_2\hat{j} + C_2\hat{k}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.
અહીં $P = 2\hat{i} + b\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $Q = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{2}{1} = \frac{b}{1} = \frac{2}{1}$ મળે છે.
વચ્ચેના પદ પરથી,આપણને $b = 2$ મળે છે.

(A) $\theta$ ખૂણે નમેલા બે સદિશો $A$ અને $B$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ ની દિશાઓ અદલાબદલી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ બદલાતા નથી,તેથી પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
જોકે,પરિણામી સદિશની દિશા $\tan \phi = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $A$ અને $B$ ની અદલાબદલી થાય છે,ત્યારે નવો ખૂણો $\phi'$ એ $\tan \phi' = \frac{A \sin \theta}{B + A \cos \theta}$ બને છે.
કારણ કે $\phi \neq \phi'$,પરિણામી સદિશની દિશા બદલાય છે.
તેથી,માત્ર મૂલ્ય સમાન રહે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે સદિશો $a$ અને $b$ માટે,તેમના તફાવતનું મૂલ્ય $| a - b | \geq | | a | - | b | |$ અસમતાનું પાલન કરે છે.
કારણ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $| a |$ અને $| b |$ માટે $| | a | - | b | | \geq | a | - | b |$ હંમેશા સાચું છે,તેથી તે સાબિત થાય છે કે $| a - b | \geq | a | - | b |$.
આ બે સદિશોની બાદબાકી કરતી વખતે મળતા પરિણામી સદિશના મૂલ્યની ન્યૂનતમ સીમા દર્શાવે છે.

(B) સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,બે સદિશોના સરવાળાનું માન હંમેશા તેમના વ્યક્તિગત માનના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને સદિશો એક જ દિશામાં (સમાંતર) હોય.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ સાચું વિધાન છે.

(C) ધારો કે પરિણામી બળ $\vec{R} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF}$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,કેન્દ્ર $O$ એ વિકર્ણો $AD$,$BE$ અને $CF$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AD}$ (કારણ કે $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AO}$).
તે જ રીતે,$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AD}$.
આ કિંમતોને $\vec{R}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{R} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF}) + \overrightarrow{AD}$
$\vec{R} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AD}$.

(D) આપેલ શરત: $|A + B| = 2|A - B|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|A + B|^2 = 4|A - B|^2$.
સદિશ નિત્યસમ $|u \pm v|^2 = |u|^2 + |v|^2 \pm 2|u||v| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = 4(A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$.
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = 4A^2 + 4B^2 - 8AB \cos \theta$.
$10AB \cos \theta = 3A^2 + 3B^2$.
$\cos \theta = \frac{3(A^2 + B^2)}{10AB}$.
અહીં $\cos \theta$ નું મૂલ્ય $A$ અને $B$ ના માન (magnitudes) પર આધાર રાખે છે,જે આપેલ નથી. તેથી,ખૂણો $\theta$ નિશ્ચિત કરી શકાતો નથી. આમ,માહિતી અપૂરતી છે.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ને સમાવતું સમતલ $xy$-સમતલ છે. તેથી,$\overrightarrow{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ અને $\overrightarrow{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ થાય.
જેহেতু $\overrightarrow{C}$ આ સમતલની બહાર છે,તેથી તેનો $z$-દિશામાં ઘટક શૂન્યતર હોવો જોઈએ: $\overrightarrow{C} = C_x \hat{i} + C_y \hat{j} + C_z \hat{k}$,જ્યાં $C_z \neq 0$.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = (A_x + B_x + C_x) \hat{i} + (A_y + B_y + C_y) \hat{j} + C_z \hat{k}$ થાય.
પરિણામી સદિશ શૂન્ય થવા માટે,બધા જ ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ. પરંતુ,$z$-ઘટક $C_z$ છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $|\frac{\hat{a} + \hat{b}}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{|\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2|\hat{a}||\hat{b}| \cos 60^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 + 1 + 2(1)(1)(0.5)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $|\hat{a} + \hat{b}| = \sqrt{1 + 1 + 2(1)(1)(0.5)} = \sqrt{3} \neq 1$.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $|\hat{a}| = 1$.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $|\hat{b}| = 1$.
આમ,$(A), (C),$ અને $(D)$ માં આપેલા સદિશોનું માન એક છે.

(A) બે સદિશો $a$ અને $b$ નો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$ મળે છે.
આપેલ શરત $(a \cdot b)^2 = a^2 b^2$ મુજબ,આપણે કિંમત મૂકતા:
$|a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta = |a|^2 |b|^2$.
જો $a$ અને $b$ શૂન્યતર સદિશો હોય,તો $|a|^2 |b|^2$ વડે ભાગતા $\cos^2 \theta = 1$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \pm 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$.
બંને કિસ્સામાં,સદિશો $a$ અને $b$ સમાંતર (અથવા પ્રતિ-સમાંતર) છે. આમ,જ્યારે $a$ એ $b$ ને સમાંતર હોય ત્યારે આ શરત સંતોષાય છે.

(A) જ્યારે સદિશ $\vec{A}$ ને નાના ખૂણે $\Delta \theta$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સદિશનું મૂલ્ય બદલાતું નથી,તેથી $|\vec{A}| = |\vec{B}| = A$ થાય.
તફાવત સદિશ $\vec{B} - \vec{A}$ એ બે સદિશોના શીર્ષો વચ્ચેની જીવાની લંબાઈ દર્શાવે છે.
ખૂબ જ નાના ખૂણા $\Delta \theta$ માટે,જીવાની લંબાઈ એ સદિશના શીર્ષ દ્વારા રચાયેલા વર્તુળના ચાપની લંબાઈ જેટલી જ ગણાય છે.
સંબંધ $\text{ચાપની લંબાઈ} = \text{ત્રિજ્યા} \times \text{ખૂણો}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{B} - \vec{A}| \approx |\vec{A}| \Delta \theta$.

(B) એકમ સદિશ એટલે એવો સદિશ કે જેનું મૂલ્ય $1$ હોય.
ચાલો આપેલા વિકલ્પોના મૂલ્યની ચકાસણી કરીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $|\hat{i} + \hat{j}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \neq 1$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $|\cos \theta \hat{i} - \sin \theta \hat{j}| = \sqrt{\cos^2 \theta + (-\sin \theta)^2} = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \sqrt{1} = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|\sin \theta \hat{i} + 2 \cos \theta \hat{j}| = \sqrt{\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta} \neq 1$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $|\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j})| = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \neq 1$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો સદિશ એ એકમ સદિશ છે.

(A) કોઈ સદિશ $\vec{A}$ નો તેની સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી દિશામાં ઘટક $A_\theta = A \cos \theta$ છે.
કોસાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $-1 \le \cos \theta \le 1$ હોવાથી,ઘટકનું મૂલ્ય $|A \cos \theta| = |A| |\cos \theta|$ થાય છે.
કારણ કે $|\cos \theta| \le 1$,તેથી $|A \cos \theta| \le |A|$ સાબિત થાય છે.
આમ,કોઈપણ દિશામાં સદિશનો ઘટક હંમેશા તેના મૂલ્ય કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે.

(D) લંબાઈના ઘનની પાસપાસેની બાજુઓ દર્શાવતા યામ અક્ષો પરના ત્રણ સદિશો $b\hat{i}$,$b\hat{j}$ અને $b\hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો વિકર્ણ સદિશ $\vec{A}$ એ આ ત્રણ સદિશોનું પરિણામી છે: $\vec{A} = b\hat{i} + b\hat{j} + b\hat{k}$.
આ વિકર્ણ સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{b^2 + b^2 + b^2} = \sqrt{3b^2} = b\sqrt{3}$ છે.
વિકર્ણની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{A}$ એ $\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{b\hat{i} + b\hat{j} + b\hat{k}}{b\sqrt{3}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) બે સદિશો $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ અને $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$.
આપેલ છે $\vec{A} = 6\hat{i} + x\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{B} = 5\hat{i} - 6\hat{j} - y\hat{k}$.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{6}{5} = \frac{x}{-6} = \frac{-2}{-y}$.
પ્રથમ,$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{6}{5} = \frac{x}{-6} \implies x = \frac{6 \times (-6)}{5} = -\frac{36}{5}$.
ત્યારબાદ,$y$ માટે ઉકેલતા: $\frac{6}{5} = \frac{-2}{-y} \implies \frac{6}{5} = \frac{2}{y} \implies 6y = 10 \implies y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આમ,$x = -\frac{36}{5}$ અને $y = \frac{5}{3}$.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z} = k$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{3}{1} = 3$,$\frac{6}{2} = 3$,$\frac{9}{3} = 3$. બધા ગુણોત્તર $3$ સમાન હોવાથી,$\vec{A} = 3\vec{B}$,તેથી તેઓ સમાંતર છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{3}{1} = 3$,$\frac{-6}{2} = -3$. ગુણોત્તર સમાન નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{2}{1} = 2$,$\frac{6}{2} = 3$. ગુણોત્તર સમાન નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{2}{1} = 2$,$\frac{3}{-2} = -1.5$. ગુણોત્તર સમાન નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2|^2 = |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરીને,પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) \cdot (\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = (\vec{v}_1 - \vec{v}_2) \cdot (\vec{v}_1 - \vec{v}_2)$.
$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 + 2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 - 2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2)$.
બંને બાજુથી $|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$ બાદ કરતા,$2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = -2(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2)$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $4(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = 0$,એટલે કે $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
જ્યારે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,ત્યારે તેઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.

(B) કોઈપણ ભૌતિક રાશિને સદિશ ત્યારે જ કહેવાય જો તે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવતી હોય અને સદિશ સરવાળાના નિયમોનું (જેમ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ) પાલન કરતી હોય.
સમય,દબાણ,પૃષ્ઠતાણ અને વિદ્યુત પ્રવાહ જેવી ભૌતિક રાશિઓ ચોક્કસ દિશા ધરાવે છે પરંતુ તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,દિશા ધરાવતી ભૌતિક રાશિ સદિશ હોય તે જરૂરી નથી; તે સદિશ હોઈ પણ શકે અને ન પણ હોઈ શકે.

(A) બે સદિશો $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ અને $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$.
અહીં $\vec{A} = 2\hat{i} + p\hat{j} + q\hat{k}$ અને $\vec{B} = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોના ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{2}{5} = \frac{p}{7} = \frac{q}{3}$.
$p$ માટે: $\frac{2}{5} = \frac{p}{7} \Rightarrow p = \frac{2 \times 7}{5} = \frac{14}{5}$.
$q$ માટે: $\frac{2}{5} = \frac{q}{3} \Rightarrow q = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5}$.
આમ,$p = \frac{14}{5}$ અને $q = \frac{6}{5}$ થાય છે.

(B) બે સદિશો $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ અને $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$ સમાંતર હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z}$.
આપેલ છે $\vec{A} = 6 \hat{i} + x \hat{j} - 2 \hat{k}$ અને $\vec{B} = 5 \hat{i} + 6 \hat{j} - y \hat{k}$.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{6}{5} = \frac{x}{6} = \frac{-2}{-y}$.
પ્રથમ,$x$ માટે ઉકેલતા: $\frac{6}{5} = \frac{x}{6} \implies x = \frac{6 \times 6}{5} = \frac{36}{5}$.
ત્યારબાદ,$y$ માટે ઉકેલતા: $\frac{6}{5} = \frac{-2}{-y} \implies \frac{6}{5} = \frac{2}{y} \implies 6y = 10 \implies y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
આમ,$x = \frac{36}{5}$ અને $y = \frac{5}{3}$ મળે છે.

(D) બે સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો તેમની દિશાઓ વચ્ચેના ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોઈ સદિશને ધન અદિશ વડે ગુણવાથી તેની દિશા બદલાતી નથી.
કોઈ સદિશને ઋણ અદિશ વડે ગુણવાથી તેની દિશા ઉલટાઈ જાય છે (એટલે કે,તે $\pi$ રેડિયન અથવા $180^\circ$ જેટલું ફરે છે).
આપેલ છે કે $\vec a$ અને $\vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi }{6}$ છે.
સદિશ $-3\vec a$ એ $\vec a$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
સદિશ $2\vec b$ એ $\vec b$ ની સમાન દિશામાં છે.
તેથી,$-3\vec a$ અને $2\vec b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi - \theta = \pi - \frac{\pi }{6} = \frac{5\pi }{6}$ થશે.

(C) ત્રણ સદિશોનું પરિણામી શૂન્ય થવા માટે,તેઓએ એક બંધ ત્રિકોણ બનાવવો જોઈએ. ત્રિકોણ એ એક સમતલીય આકૃતિ છે,તેથી સદિશો સમતલીય હોવા જોઈએ. આથી વિધાન $(C)$ સાચું છે.
વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે અલગ-અલગ મૂલ્યના ત્રણ સદિશોનો સરવાળો પણ શૂન્ય થઈ શકે છે (દા.ત.,$3-4-5$ ત્રિકોણની બાજુઓ).
વિધાન $(B)$ ખોટું છે કારણ કે ચાર શૂન્યતર બળોનો સરવાળો ત્રિ-પરિમાણમાં શૂન્ય થઈ શકે છે (દા.ત.,નિયમિત ચતુષ્ફલકના કેન્દ્રમાંથી તેના શિરોબિંદુઓ તરફ નિર્દેશ કરતા ચાર સદિશો).
તેથી,માત્ર વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(B) $Z$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{k} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{A}$ અને $Z$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું સૂત્ર $\vec{A} \cdot \hat{k} = |\vec{A}| |\hat{k}| \cos \theta$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{A} \cdot \hat{k} = (3)(0) + (-1)(0) + (4)(1) = 4$.
$\vec{A}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}$ છે.
$\hat{k}$ નું મૂલ્ય $1$ છે.
આમ,$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{26} \times 1} = \frac{4}{\sqrt{26}}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{26}} = \sqrt{\frac{10}{26}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{26}}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{10}/\sqrt{26}}{4/\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
આથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)$.

(B) વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ તેની ઝડપ અને ગતિની દિશામાંના એકમ સદિશના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{A} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{A}$ શોધો:
$|\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$.
વેગ સદિશ $\vec{v} = |\vec{v}| \hat{A} = 6 \left( \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3} \right)$ થશે.
આ પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$\vec{v} = 2(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k} \, m/s$.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{R}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તે જ રીતે,$\vec{R}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ એ $\tan \beta = \frac{A \sin \theta}{B + A \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૌમિતિક રીતે,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ હંમેશા મોટા મૂલ્ય ધરાવતા સદિશની નજીક હોય છે.
જો $A > B$ હોય,તો પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ની નજીક હશે,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\alpha$ એ ખૂણા $\beta$ કરતા નાનો હશે (એટલે કે,$\alpha < \beta$).
તેનાથી ઉલટું,જો $A < B$ હોય,તો $\alpha > \beta$ થાય.
તેથી,જો $A > B$ હોય તો $\alpha < \beta$ સાચું છે.

(A) સદિશ $\vec{A}$ નો એકમ સદિશ $\hat{n}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દિશામાં ઘટક $\vec{A} \cdot \hat{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ $x$-અક્ષની દિશામાં ઘટક: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 3$. આ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી $(A \rightarrow s)$.
$(B)$ સદિશ $\vec{B} = (2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k})$ ની દિશામાં ઘટક: $\vec{A} \cdot \frac{\vec{B}}{|B|} = \frac{(3)(2) + (4)(1) + (-5)(2)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{6 + 4 - 10}{3} = 0$. તેથી,$(B \rightarrow r)$.
$(C)$ સદિશ $\vec{C} = (6 \hat{i} + 8 \hat{j} - 10 \hat{k}) = 2\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક. તે સમાંતર હોવાથી,ઘટક એ $|\vec{A}|$ નું મૂલ્ય છે,જે $\sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે. આ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી $(C \rightarrow s)$.
$(D)$ સદિશ $\vec{D} = (-3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) = -\vec{A}$ ની દિશામાં ઘટક. તે પ્રતિ-સમાંતર હોવાથી,ઘટક $-|\vec{A}| = -5\sqrt{2}$ છે. આ વિકલ્પોમાં નથી,તેથી $(D \rightarrow s)$.
આમ,સાચી જોડ $(A \rightarrow s, B \rightarrow r, C \rightarrow s, D \rightarrow s)$ છે.

(A) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક (મૂલ્ય) શોધવા માટેનું સૂત્ર $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$ છે.
અહીં $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $\vec{B} = \hat{i} + \hat{j}$ આપેલ છે.
ડોટ ગુણાકાર ગણતા: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(1) + (3)(1) = 2 + 3 = 5$.
સદિશ $\vec{B}$ નું મૂલ્ય: $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\vec{A}$ નો $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{5}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $|\vec{A} + \vec{B}| = \frac{1}{2} |\vec{A} - \vec{B}|$ અને $|\vec{A}| = 2|\vec{B}|$.
પ્રથમ સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = \frac{1}{4} |\vec{A} - \vec{B}|^2$
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = \frac{1}{4} (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$
$4(A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$
$4A^2 + 4B^2 + 8AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$
$3A^2 + 3B^2 + 10AB \cos \theta = 0$
સમીકરણમાં $A = 2B$ મૂકતા:
$3(2B)^2 + 3B^2 + 10(2B)(B) \cos \theta = 0$
$3(4B^2) + 3B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$12B^2 + 3B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$15B^2 + 20B^2 \cos \theta = 0$
$20B^2 \cos \theta = -15B^2$
$\cos \theta = -\frac{15}{20} = -\frac{3}{4}$
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{3}{4}\right)$

(A) $x$ મૂલ્ય ધરાવતા સદિશ $\vec{A}$ ને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા તેમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{A}| = |\vec{A}' - \vec{A}| = 2x \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\Delta \vec{A}| = nx$, તેથી $nx = 2x \sin(\theta/2)$, જેનો અર્થ છે કે $n = 2 \sin(\theta/2)$.
$(A)$ $\theta=60^{\circ}$ માટે: $n = 2 \sin(30^{\circ}) = 2(1/2) = 1$. તેથી, $(A \rightarrow q)$.
$(B)$ $\theta=90^{\circ}$ માટે: $n = 2 \sin(45^{\circ}) = 2(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. તેથી, $(B \rightarrow r)$.
$(C)$ $\theta=120^{\circ}$ માટે: $n = 2 \sin(60^{\circ}) = 2(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}$. તેથી, $(C \rightarrow p)$.
$(D)$ $\theta=180^{\circ}$ માટે: $n = 2 \sin(90^{\circ}) = 2(1) = 2$. તેથી, $(D \rightarrow s)$.
આમ, સાચી જોડ $(A \rightarrow q, B \rightarrow r, C \rightarrow p, D \rightarrow s)$ છે.

(N/A) અર્થપૂર્ણ: બે અદિશ રાશિઓનો સરવાળો ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ છે જો તે બંને એક જ ભૌતિક રાશિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી હોય.
$(b)$ અર્થપૂર્ણ નથી: સદિશ રાશિ અને અદિશ રાશિનો સરવાળો અર્થપૂર્ણ નથી કારણ કે તે બંને અલગ પ્રકારની ભૌતિક રાશિઓ છે.
$(c)$ અર્થપૂર્ણ: અદિશ રાશિનો સદિશ સાથે ગુણાકાર કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,બળનો સમય સાથે ગુણાકાર કરવાથી આઘાત $(I = F \cdot \Delta t)$ મળે છે.
$(d)$ અર્થપૂર્ણ: અદિશ રાશિ,તે કઈ ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે તેનાથી સ્વતંત્ર રીતે,સમાન અથવા અલગ પરિમાણ ધરાવતી બીજી અદિશ રાશિ સાથે ગુણી શકાય છે.
$(e)$ અર્થપૂર્ણ: બે સદિશ રાશિઓનો સરવાળો ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ છે જો તે બંને એક જ ભૌતિક રાશિનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી હોય.
$(f)$ અર્થપૂર્ણ: સદિશના ઘટકને તે જ સદિશમાં ઉમેરી શકાય છે કારણ કે તે બંને સમાન પરિમાણ ધરાવે છે અને એક જ ભૌતિક રાશિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) સાચું: સદિશનું માન એ તેની લંબાઈ દર્શાવતી વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તેથી,તે અદિશ છે.
$(b)$ ખોટું: સદિશનો દરેક ઘટક એ યામ અક્ષોની દિશામાં રહેલી સદિશ રાશિ છે.
$(c)$ ખોટું: કુલ પથલંબાઈ એ કાપેલું વાસ્તવિક અંતર છે,જે અદિશ છે,જ્યારે સ્થાનાંતરનું માન એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. કુલ પથલંબાઈ હંમેશા સ્થાનાંતરના માન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે.
$(d)$ સાચું: કારણ કે કુલ પથલંબાઈ હંમેશા સ્થાનાંતરના માન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે,તેથી બંનેને સમાન સમયગાળા વડે ભાગતા સરેરાશ ઝડપ એ સરેરાશ વેગના માન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી મળે છે.
$(e)$ સાચું: એક સમતલમાં ન હોય તેવા ત્રણ સદિશો બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી,જે તેમનો સરવાળો શૂન્ય સદિશ થવા માટેની આવશ્યક શરત છે.

(N/A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OMNP$ ની પાસપાસેની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $\Delta OMN$ માં,બાજુ $ON$ એ $\vec{a} + \vec{b}$ દર્શાવે છે. ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બાજુની લંબાઈ અન્ય બે બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોય છે: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. જ્યારે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એક જ દિશામાં હોય ત્યારે સમાનતા મળે છે.
$(b)$ $\Delta OMN$ માં,બે બાજુઓનો તફાવત ત્રીજી બાજુ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે: $|\vec{a} + \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$. જ્યારે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એક જ દિશામાં હોય ત્યારે સમાનતા મળે છે.
$(c)$ તેવી જ રીતે,સદિશ તફાવત $\vec{a} - \vec{b}$ માટે,$\vec{a}$ અને $-\vec{b}$ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |-\vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$. જ્યારે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે સમાનતા મળે છે.
$(d)$ તફાવત માટે ત્રિકોણની અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}||$. જ્યારે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે સમાનતા મળે છે.

(B, C, D) ખોટું: $a+b+c+d=0$ થવા માટે,ચારેય સદિશો શૂન્ય સદિશ હોવા જરૂરી નથી. અન્ય ઘણા સંયોજનો છે જે શૂન્ય સરવાળો આપી શકે છે.
$(b)$ સાચું: $a+b+c+d=0$ આપેલ છે,તેથી $a+c = -(b+d).$ બંને બાજુ માન (modulus) લેતા,$|a+c| = |-(b+d)| = |b+d|.$ આમ,$(a+c)$ નું મૂલ્ય $(b+d)$ ના મૂલ્ય જેટલું જ છે.
$(c)$ સાચું: $a+b+c+d=0$ પરથી,$a = -(b+c+d).$ બંને બાજુ માન લેતા,$|a| = |-(b+c+d)| = |b+c+d|.$ ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$|b+c+d| \leq |b| + |c| + |d|.$ તેથી,$|a| \leq |b| + |c| + |d|,$ જેનો અર્થ છે કે $a$ નું મૂલ્ય ક્યારેય $b, c,$ અને $d$ ના મૂલ્યોના સરવાળા કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.
$(d)$ સાચું: $a+b+c+d=0$ માટે,આપણે લખી શકીએ કે $(b+c) = -(a+d).$ આ સૂચવે છે કે સદિશ $(b+c)$ એ $a$ અને $d$ ના પરિણામી સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. જો $a$ અને $d$ સમરેખ ન હોય,તો તેઓ એક સમતલ બનાવે છે,અને $(b+c)$ તે સમતલમાં હોવું જોઈએ. જો $a$ અને $d$ સમરેખ હોય,તો સંતુલન સ્થિતિ જાળવવા માટે $(b+c)$ એ તે જ રેખા પર હોવું જોઈએ.

(N/A) ના; હા; ના.
સામાન્ય રીતે,સદિશને અવકાશમાં કોઈ નિશ્ચિત સ્થાન હોતું નથી. આનું કારણ એ છે કે જ્યારે સદિશને એવી રીતે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે કે તેનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન રહે,ત્યારે તે બદલાતો નથી. જોકે,સ્થાન સદિશને અવકાશમાં ચોક્કસ સ્થાન હોય છે.
સદિશ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,ચોક્કસ વેગ સાથે ગતિ કરતા કણનો સ્થાનાંતર સદિશ સમય સાથે બદલાય છે.
અવકાશમાં અલગ-અલગ સ્થાનો પર રહેલા બે સમાન સદિશો સમાન ભૌતિક અસર ઉત્પન્ન કરે તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,કોઈ પદાર્થ પર અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા બે સમાન બળો પદાર્થને ભ્રમણ કરાવી શકે છે,પરંતુ તેમની સંયુક્ત અસર લાગુ પાડવાના બિંદુના આધારે અલગ ટોર્ક (ભ્રમણ અસર) ઉત્પન્ન કરી શકે છે.

(N/A) ના; ના.
જે ભૌતિક રાશિ પાસે મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય તે સદિશ જ હોય તે જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,વિદ્યુત પ્રવાહ પાસે મૂલ્ય અને દિશા બંને છે,પરંતુ તે અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતી નથી.
તે જ રીતે,પદાર્થનું ધરીની આસપાસનું પરિભ્રમણ એ ધરીની દિશા અને પરિભ્રમણના ખૂણા દ્વારા નક્કી થાય છે. જોકે,શાંત (finite) પરિભ્રમણો સદિશ સરવાળાના ક્રમનો નિયમ પાળતા નથી (એટલે કે,શાંત પરિભ્રમણો માટે $\vec{A} + \vec{B} \neq \vec{B} + \vec{A}$). તેથી,શાંત પરિભ્રમણો સદિશ નથી. માત્ર અતિ સૂક્ષ્મ (infinitesimal) પરિભ્રમણો જ સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરે છે અને તેને સદિશ ગણવામાં આવે છે.

(A) ના; હા; ના.
$(a)$ લૂપમાં વાળેલા તારની લંબાઈ એ અદિશ રાશિ છે. તેને માત્ર મૂલ્ય હોય છે પરંતુ તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી,તેથી તેને સદિશ તરીકે દર્શાવી શકાય નહીં.
$(b)$ સમતલ ક્ષેત્રફળને સદિશ સાથે સાંકળી શકાય છે. ક્ષેત્રફળ સદિશનું મૂલ્ય સમતલના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે અને તેની દિશા સપાટીને લંબ (અંદરની તરફ અથવા બહારની તરફ) લેવામાં આવે છે.
$(c)$ ગોળો એ ત્રિ-પરિમાણીય પદાર્થ છે જે તેના કદ (volume) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે અદિશ છે. તેથી,ગોળાના કદ સાથે સદિશને સાંકળી શકાય નહીં. જોકે,ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળ સાથે કોઈપણ બિંદુએ ક્ષેત્રફળ સદિશને સાંકળી શકાય છે,જે ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે.

(N/A) અદિશ ભૌતિક રાશિ: જે ભૌતિક રાશિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે માત્ર મૂલ્યની જરૂર હોય, તેને અદિશ ભૌતિક રાશિ કહે છે.
ઉદાહરણ: $\text{દળ}$, $\text{અંતર}$, $\text{સમય}$, $\text{ઘનતા}$, $\text{તાપમાન}$, $\text{પાવર}$ વગેરે.
સદિશ ભૌતિક રાશિ: જે ભૌતિક રાશિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર હોય, તેને સદિશ ભૌતિક રાશિ કહે છે.
ઉદાહરણ: $\text{સ્થાનાંતર}$, $\text{વેગ}$, $\text{પ્રવેગ}$, $\text{બળ}$ વગેરે.

(A)

સદિશ રાશિઓ	અદિશ રાશિઓ
$(1)$ જે ભૌતિક રાશિઓને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય (magnitude) અને દિશા (direction) બંનેની જરૂર પડે છે,તેને સદિશ રાશિઓ કહે છે.	$(1)$ જે ભૌતિક રાશિઓને માત્ર તેમના મૂલ્ય દ્વારા જ દર્શાવી શકાય છે,તેને અદિશ રાશિઓ કહે છે.
$(2)$ ઉદાહરણો: વેગ,પ્રવેગ,બળ,વજન,સ્થાનાંતર,વેગમાન વગેરે.	$(2)$ ઉદાહરણો: ઝડપ,દળ,કદ,માપ,તાપમાન,દ્રવ્યનો જથ્થો,પાવર,કાર્ય,દબાણ,સમય વગેરે.
$(3)$ આ રાશિઓને દર્શાવતી વખતે મૂલ્ય અને દિશા બંને જણાવવા જરૂરી છે.	$(3)$ આ રાશિઓને દર્શાવતી વખતે માત્ર તેમના મૂલ્યની જરૂર હોય છે,એટલે કે એકમ સાથેની યોગ્ય કિંમત.
$(4)$ આ રાશિઓનો સરવાળો બીજગણિતીય રીતે કરી શકાતો નથી; તેઓ સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરે છે.	$(4)$ આ રાશિઓનો સરવાળો કે બાદબાકી સામાન્ય બીજગણિતીય નિયમો મુજબ કરી શકાય છે.

(B) સદિશ રાશિને તેના સંકેતના ઘાટા અક્ષર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે (દા.ત.,વેગ માટે $v$).
વ્યવહારમાં,સદિશ રાશિને દર્શાવવા માટે સંકેતની ઉપર તીરની નિશાનીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
દાખલા તરીકે,$\vec{v}$ એ વેગ દર્શાવે છે,જ્યાં તીર સદિશની દિશા સૂચવે છે.