Addition and Subtraction of Vectors Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\theta = 60^{\circ}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ધારો કે $\alpha = 45^{\circ}$ એ પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ અને $\overrightarrow{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી સદિશની દિશા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \alpha = \frac{b \sin \theta}{a + b \cos \theta}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \frac{2 \sin 60^{\circ}}{a + 2 \cos 60^{\circ}}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$1 = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{a + 2(\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{a + 1}$
$a + 1 = \sqrt{3}$
$a = \sqrt{3} - 1$.

(C) પરિણામી સદિશ $R$ નું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|R| = \sqrt{|P|^2 + |Q|^2 + 2|P||Q| \cos \theta}$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|P| = |Q| = \sqrt{3}$ અને $|R| = 3$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$3 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{3}) \cos \theta}$
$3 = \sqrt{3 + 3 + 6 \cos \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = 6 + 6 \cos \theta$
$3 = 6 \cos \theta$
$\cos \theta = 3 / 6 = 1 / 2$
તેથી,$\cos \theta = 1 / 2$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ અથવા $\pi / 3$ રેડિયન થાય.

(C) અને $B$ મૂલ્ય ધરાવતા બે સદિશોનો પરિણામી સદિશ $R$ એ અસમતા $|A - B| \leq R \leq A + B$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$13 \, cm$ નો પરિણામી સદિશ મેળવવા માટે,આપેલા મૂલ્યોએ $|A - B| \leq 13 \leq A + B$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) \, |4 - 16| = 12$ અને $4 + 16 = 20$. $12 \leq 13 \leq 20$ હોવાથી,આ શક્ય છે.
$B) \, |20 - 7| = 13$ અને $20 + 7 = 27$. $13 \leq 13 \leq 27$ હોવાથી,આ શક્ય છે.
$C) \, |1 - 15| = 14$ અને $1 + 15 = 16$. $14 \leq 13 \leq 16$ એ ખોટું છે,તેથી આ શક્ય નથી.
$D) \, |6 - 8| = 2$ અને $6 + 8 = 14$. $2 \leq 13 \leq 14$ હોવાથી,આ શક્ય છે.
તેથી,જે જોડી $13 \, cm$ નો પરિણામી સદિશ આપી શકતી નથી તે $1 \, cm$ અને $15 \, cm$ છે.

(A) પરિણામી સદિશ $\overrightarrow C = \overrightarrow A + \overrightarrow B$ નું મૂલ્ય $|\overrightarrow C| = \sqrt{|\overrightarrow A|^2 + |\overrightarrow B|^2 + 2|\overrightarrow A||\overrightarrow B| \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિધાન $(A)$: જો $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ એવા સદિશો હોય કે તેમનો સરવાળો $\overrightarrow C$ બંને કરતા નાનું મૂલ્ય ધરાવે,તો તે શક્ય છે જો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય (ખાસ કરીને,$90^\circ < \theta \le 180^\circ$). તેથી,$(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$: આ ખોટું છે કારણ કે જો $\overrightarrow B$ શૂન્ય સદિશ હોય અથવા જો ખૂણો $\theta$ એવો હોય કે પરિણામી મૂલ્ય ઘટે,તો $|\overrightarrow C|$ એ $|\overrightarrow A|$ કરતા નાનું અથવા તેના જેટલું હોઈ શકે છે.
વિધાન $(C)$: જો $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ એક જ દિશામાં હોય $(\theta = 0^\circ)$,તો $|\overrightarrow C| = |\overrightarrow A| + |\overrightarrow B|$ થાય. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
વિધાન $(D)$: આ $(C)$ નું નકારાત્મક છે અને તેથી તે ખોટું છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{A} + \vec{B} = \vec{R}$.
આપેલ છે કે $\vec{A}$ ના ઘટકો $A_x = 7$ અને $A_y = 6$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ ના ઘટકો $R_x = 11$ અને $R_y = 9$ છે.
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ હોવાથી,$\vec{B} = \vec{R} - \vec{A}$ થાય.
$\vec{B}$ ના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$B_x = R_x - A_x = 11 - 7 = 4$
$B_y = R_y - A_y = 9 - 6 = 3$
$\vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{B}| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{B}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\vec{C}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો $|\vec{A}| = 4, |\vec{B}| = 5$ અને $|\vec{C}| = \sqrt{61}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\sqrt{61})^2 = 4^2 + 5^2 + 2(4)(5) \cos \theta$
$61 = 16 + 25 + 40 \cos \theta$
$61 = 41 + 40 \cos \theta$
$61 - 41 = 40 \cos \theta$
$20 = 40 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 60^o$ થાય.

(A) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $|\vec A| = |\vec B| = A$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec A + \vec B| = n |\vec A - \vec B|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec A + \vec B|^2 = n^2 |\vec A - \vec B|^2$ મળે.
સદિશ નિત્યસમ $|\vec A \pm \vec B|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = n^2 (A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta)$.
$2A^2 (1 + \cos \theta) = n^2 [2A^2 (1 - \cos \theta)]$.
બંને બાજુ $2A^2$ વડે ભાગતા:
$1 + \cos \theta = n^2 (1 - \cos \theta)$.
$1 + \cos \theta = n^2 - n^2 \cos \theta$.
$\cos \theta (1 + n^2) = n^2 - 1$.
$\cos \theta = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left[ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \right]$.

(A) ધારો કે મૂલ્યો $P = 2F$ અને $Q = 3F$ છે. બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ નું પરિણામી બળ $R_1$ નીચે મુજબ મળે: $R_1^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $R_1^2 = (2F)^2 + (3F)^2 + 2(2F)(3F) \cos \theta = 4F^2 + 9F^2 + 12F^2 \cos \theta = F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
જ્યારે બળ $Q$ ને બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $Q' = 2Q = 6F$ થાય છે. નવું પરિણામી બળ $R_2 = 2R_1$ હોવાથી,$R_2^2 = 4R_1^2$ થાય.
નવું પરિણામી બળ $R_2$ માટે: $R_2^2 = P^2 + (Q')^2 + 2P(Q') \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $R_2^2 = (2F)^2 + (6F)^2 + 2(2F)(6F) \cos \theta = 4F^2 + 36F^2 + 24F^2 \cos \theta = F^2(40 + 24 \cos \theta)$.
$R_2^2 = 4R_1^2$ ને સરખાવતા: $F^2(40 + 24 \cos \theta) = 4 \times F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
$4F^2$ વડે ભાગતા: $10 + 6 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$.
$-3 = 6 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = -1/2$.
તેથી,$\theta = 120^o$.

(A) આપેલ સદિશો $A = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $B = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $(A - B)$ ની ગણતરી કરો:
$A - B = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$A - B = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$A - B = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2A$
અહીં $(A - B)$ એ $A$ નો ધન અદિશ ગુણાંક હોવાથી,સદિશ $(A - B)$ એ $A$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$(A - B)$ અને $A$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(A) બે સદિશોનું પરિણામી શોધવા માટે,જ્યારે તેઓ પૂંછડી-થી-પૂંછડી જોડાયેલા હોય ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો લેવો જોઈએ.
આપેલ આકૃતિમાં,બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
પરિણામી $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$
અહીં,$P = 10$ $dyne$,$Q = 10$ $dyne$,અને $\theta = 120^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 120^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 120^{\circ} = -1/2$:
$R = \sqrt{100 + 100 + 200(-1/2)}$
$R = \sqrt{100 + 100 - 100}$
$R = \sqrt{100} = 10$ $dyne$.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે તેમના સરવાળાનું મૂલ્ય તેમના તફાવતના મૂલ્ય જેટલું છે: $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2$.
$|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^2 + B^2$ બાદ કરતા: $2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
આથી: $4AB \cos \theta = 0$.
કારણ કે $A$ અને $B$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી $\cos \theta = 0$.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.

(D) કુલ સ્થાનાંતર $\vec{d}$ એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,આપેલી દિશાઓ માટે એકમ સદિશો શોધો:
પ્રથમ સદિશ $\vec{v_1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ માટે,તેનું મૂલ્ય $|\vec{v_1}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{u_1} = \frac{6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{7}$ છે.
તેથી,$\vec{d_1} = 21 \times \hat{u_1} = 21 \times \frac{6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{7} = 3(6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 18\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}$.
બીજા સદિશ $\vec{v_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ માટે,તેનું મૂલ્ય $|\vec{v_2}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{u_2} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ છે.
તેથી,$\vec{d_2} = 14 \times \hat{u_2} = 14 \times \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7} = 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$.
કુલ સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (18\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}) + (6\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) = 24\hat{i} + 2\hat{j} + 21\hat{k}$.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના પરિણામી સદિશનું મહત્તમ મૂલ્ય $R_{\text{max}} = |\vec{a}| + |\vec{b}| = a + b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી સદિશનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $R_{\text{min}} = |\vec{a}| - |\vec{b}| = a - b$ (ધારો કે $a > b$) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R_{\text{max}}}{R_{\text{min}}} = \frac{3}{1}$ છે.
સૂત્રો મૂકતા,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{3}{1}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$a + b = 3(a - b)$ મળે.
$a + b = 3a - 3b$.
પદોને ગોઠવતા,$4b = 2a$ મળે.
તેથી,$a = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$.

(C) બે બળો $F_1$ અને $F_2$ નું પરિણામી બળ $R$ એ $|F_1 - F_2| \leq R \leq F_1 + F_2$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
અહીં $F_1 = 5\, N$ અને $F_2 = 7\, N$ આપેલ છે.
ન્યૂનતમ પરિણામી બળ $F_{min} = |7 - 5| = 2\, N$ છે.
મહત્તમ પરિણામી બળ $F_{max} = 7 + 5 = 12\, N$ છે.
તેથી,પરિણામી બળ $[2\, N, 12\, N]$ ની શ્રેણીમાં હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$14\, N$ આ શ્રેણીની બહાર છે,તેથી તે પરિણામી બળ હોઈ શકે નહીં.

(C) બે સદિશો $A$ અને $B$ કે જેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તેમનું પરિણામી સદિશ $C$ નું મૂલ્ય $C = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 120^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\cos 120^{\circ} = -0.5$ થાય.
આમ,$C = \sqrt{A^2 + B^2 - AB}$.
હવે,તફાવત સદિશ $D = |A - B| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^2 + B^2 + AB}$.
$C = \sqrt{A^2 + B^2 - AB}$ અને $D = \sqrt{A^2 + B^2 + AB}$ ની સરખામણી કરતા,સ્પષ્ટ છે કે $C < D$ થાય છે,પરંતુ જો આપણે સદિશોના મૂલ્યોની દ્રષ્ટિએ જોઈએ તો સાચો સંબંધ $C > |A - B|$ મળે છે.

(B) કિસ્સો $1$: આપેલ છે કે $\vec A + \vec B = \vec C$ અને $A = B = C$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec A + \vec B|^2 = |\vec C|^2$ મળે,જેનો અર્થ થાય છે $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = C^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. $A=B=C$ હોવાથી,$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$,તેથી $2A^2 \cos \theta = -A^2$,જે $\cos \theta = -1/2$ આપે છે,એટલે કે $\theta = 120^\circ$. $\vec A$ અને $\vec C$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1 = 60^\circ$ છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
કિસ્સો $2$: આપેલ છે કે $\vec A + \vec B + \vec C = 0$ અને $A = B = C$. આ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. $\vec A$ અને $\vec C$ વચ્ચેનો ખૂણો એ બહારનો ખૂણો છે,જે $\theta_2 = 120^\circ$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\theta_2 = 2\theta_1$,અથવા $\theta_1 = \theta_2 / 2$.

(B) ધારો કે $\vec P = P \hat{i}$ અને $\vec Q = Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j}$.
આપેલ છે કે,પરિણામી સદિશ $\vec R = \vec P + \vec Q$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી તેનો $x$-ઘટક શૂન્ય છે.
$R_x = P + Q_x = 0 \implies Q_x = -P$.
$\vec Q$ નું મૂલ્ય $8$ છે,તેથી $Q_x^2 + Q_y^2 = 8^2 = 64$.
$Q_x = -P$ મૂકતા,આપણને $P^2 + Q_y^2 = 64$ મળે છે.
પરિણામી સદિશ $\vec R$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec R = R_y \hat{j} = (P + Q_y) \hat{j}$ (કારણ કે $P+Q_x=0$,$x$-ઘટક શૂન્ય છે).
આપેલ છે કે $|\vec R| = 2|\vec P| = 2P$,તેથી $Q_y = 2P$.
$Q_y = 2P$ ને $P^2 + Q_y^2 = 64$ માં મૂકતા:
$P^2 + (2P)^2 = 64$
$P^2 + 4P^2 = 64$
$5P^2 = 64$
$P^2 = \frac{64}{5}$
$P = \sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ સદિશો $A = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $B = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $C = A - B$ ની ગણતરી કરો:
$C = (2 - 2)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ $C$ નું માન (magnitude) શોધો:
$|C| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$.
દિક-કોસાઇન $(l, m, n)$ એ સદિશના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગવાથી મળે છે:
$l = \frac{C_x}{|C|} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0$.
$m = \frac{C_y}{|C|} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$n = \frac{C_z}{|C|} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$.
આમ,દિક-કોસાઇન $0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec B$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $\vec B = 1 \hat{i}$.
આપેલ છે કે $\vec A$ નું માન $2$ છે અને $\vec A$ તથા $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $\vec A = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$.
હવે,સદિશ $\vec C = \frac{\vec A}{2} - \vec B$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec C = \frac{1}{2}(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) - \hat{i} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j} - \hat{i} = -\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
$\vec C$ નું માન $|\vec C| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ છે.
આમ,સદિશનું માન $1$ છે.

(B) ધારો કે પૂર્વ દિશાનો એકમ સદિશ $\hat{i}$ અને ઉત્તર દિશાનો એકમ સદિશ $\hat{j}$ છે.
$s_1 = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
$s_2 = -2 \hat{j}$ (કારણ કે તે દક્ષિણ દિશામાં છે)
$s_3 = 4 \cos 150^{\circ} \hat{i} + 4 \sin 150^{\circ} \hat{j} = 4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{i} + 4(\frac{1}{2}) \hat{j} = -2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$
કુલ સ્થાનાંતર $\vec{s} = s_1 + s_2 + s_3 = (1 - 2\sqrt{3}) \hat{i} + (1 - 2 + 2) \hat{j} = (1 - 2\sqrt{3}) \hat{i} + \hat{j}$
મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 12 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{14 - 4\sqrt{3}} \ m$.

(D) સદિશોના સમૂહનો સરવાળો શૂન્ય સદિશ મળે તે માટે,જ્યારે તેમને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવતા હોવા જોઈએ.
જો $n = 2$ હોય,તો શૂન્ય સદિશ મેળવવા માટે સદિશોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ. પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે સદિશોના મૂલ્યો અલગ-અલગ છે,તેથી $n = 2$ શક્ય નથી.
જો $n = 3$ હોય,તો સદિશો એક ત્રિકોણ બનાવી શકે છે,જે એક બંધ બહુકોણ છે,જો કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય.
કોઈપણ $n \ge 3$ માટે,અલગ-અલગ મૂલ્ય ધરાવતા સદિશો વડે બંધ બહુકોણ બનાવવો શક્ય છે.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $2$ હોઈ શકે નહીં.

(A) $\triangle OAB$ માં,$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\triangle OAC$ માં,$\vec{p} = \vec{r} + \vec{AC} \implies \vec{AC} = \vec{p} - \vec{r}$.
$\triangle OBC$ માં,$\vec{q} = \vec{r} + \vec{BC} \implies \vec{BC} = \vec{q} - \vec{r}$.
કારણ કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,સદિશ $\vec{AC}$ એ સદિશ $\vec{CB}$ ને સમાન છે.
તેથી,$\vec{AC} = -\vec{BC}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $\vec{p} - \vec{r} = -(\vec{q} - \vec{r})$.
$\vec{p} - \vec{r} = -\vec{q} + \vec{r}$.
$\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{r}$.
આમ,સાચો સંબંધ $p+q=2r$ છે.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો વિરુદ્ધ ક્રમમાં ત્રીજી બાજુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,સદિશ $Z$ માટે,તે તેમના દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણમાં સદિશો $B$ અને $C$ નું પરિણામી છે. આમ,$Z = B + C$. આ સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
સદિશ $Y$ માટે,$A$,$Y$ અને સદિશ $Z$ (જે $B+C$ છે) દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,આપણી પાસે $A + Y = Z$ છે. તેથી,$Y = Z - A = B + C - A$. આ સાબિત કરે છે કે વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
આમ,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
પ્રથમ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_1} = 6 \cos(45^\circ) \hat{i} + 6 \sin(45^\circ) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
બીજો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_2} = 4 \cos(135^\circ) \hat{i} + 4 \sin(135^\circ) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
પરિણામી સ્થાનાંતર $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
મૂલ્ય $R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.
પૂર્વ સાથેનો ખૂણો $\theta$: $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \implies \theta = \tan^{-1}(5)$.

(C) ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ (પૂર્વ દિશામાં) અને $\vec{F}_2$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
બંનેના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,$|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F$ લો.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ થાય.
પૂર્વ અને ઉત્તર દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી બળ આ બે સદિશો દ્વારા બનતા ચોરસના વિકર્ણની દિશામાં લાગશે.
આ વિકર્ણ બરાબર ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં હોય છે.
તેથી,પદાર્થ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત થશે.

(B) આપેલ છે: સદિશોના મૂલ્યો $P = x$ અને $Q = x$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે. પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ છે.
સદિશ સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{x^2 + x^2 + 2(x)(x) \cos 45^\circ}$.
કારણ કે $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $R = \sqrt{2x^2 + 2x^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $R = \sqrt{2x^2 + \sqrt{2}x^2} = \sqrt{x^2(2 + \sqrt{2})} = x\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
આને આપેલ પરિણામી સાથે સરખાવતા: $x\sqrt{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
તેથી,$x = 1$.

(B) આપેલ છે કે $|\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}| = |\overrightarrow{P}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta = P^2$ મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{P}$ અને $\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $Q^2 + 2PQ \cos \theta = 0$ અથવા $Q(Q + 2P \cos \theta) = 0$ મળે છે.
$Q \neq 0$ હોવાથી,$Q + 2P \cos \theta = 0$ થાય.
હવે,ધારો કે $\overrightarrow{R'} = 2\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$. $\overrightarrow{R'}$ દ્વારા $\overrightarrow{Q}$ સાથે બનતો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{|2\overrightarrow{P}| \sin \theta}{|\overrightarrow{Q}| + |2\overrightarrow{P}| \cos \theta} = \frac{2P \sin \theta}{Q + 2P \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q + 2P \cos \theta = 0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tan \alpha = \frac{2P \sin \theta}{0} = \infty$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 90^{\circ}$.

(N/A) ધારો કે $OP$ અને $OQ$ એ બે સદિશો $A$ અને $B$ દર્શાવે છે જે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. સદિશ સરવાળાની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$OS$ એ પરિણામી સદિશ $R = A + B$ દર્શાવે છે. $SN$ ને $OP$ ના લંબાવેલા ભાગ પર લંબ દોરવામાં આવે છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
$ON = OP + PN = A + B \cos \theta$
$SN = B \sin \theta$
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OSN$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OS^2 = ON^2 + SN^2$
$R^2 = (A + B \cos \theta)^2 + (B \sin \theta)^2$
$R^2 = A^2 + B^2 \cos^2 \theta + 2AB \cos \theta + B^2 \sin^2 \theta$
$R^2 = A^2 + B^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2AB \cos \theta$
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
દિશા માટે,ધારો કે $\alpha$ એ પરિણામી સદિશ $R$ દ્વારા સદિશ $A$ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. $\Delta OSN$ માં:
$\tan \alpha = \frac{SN}{ON} = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} \right)$

(N/A) ધારો કે આપણે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને એક સમતલમાં વિચારીએ છીએ,જે આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ છે.
આ સદિશોને દર્શાવતા રેખાખંડોની લંબાઈ સદિશોના મૂલ્યના પ્રમાણમાં હોય છે.
સરવાળો $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ શોધવા માટે,આપણે સદિશ $\vec{B}$ ને એવી રીતે મૂકીએ છીએ કે તેની પૂંછડી (tail) સદિશ $\vec{A}$ ના શીર્ષ (head) પર હોય,જે આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
ત્યારબાદ,આપણે $\vec{A}$ ની પૂંછડીને $\vec{B}$ ના શીર્ષ સાથે જોડીએ છીએ.
આ રેખાખંડ $\vec{OQ}$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ દર્શાવે છે,જે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો છે.
સદિશ સરવાળાની આ પ્રક્રિયામાં સદિશોને હેડ-ટુ-ટેલ (શીર્ષ-થી-પૂંછડી) ગોઠવવામાં આવતા હોવાથી,આ આલેખનીય પદ્ધતિને હેડ-ટુ-ટેલ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
બે સદિશો અને તેમનું પરિણામી સદિશ ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ બનાવે છે,તેથી આ પદ્ધતિને સદિશ સરવાળાની ત્રિકોણની રીત તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

(N/A) $1$. આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ લો.
$2$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીતનો ઉપયોગ કરીને તેમનો સરવાળો કરવા માટે,આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ બંને સદિશોની પૂંછડીઓને સામાન્ય બિંદુ $O$ પર મૂકો.
$3$. એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OPSQ$ ની રચના કરો જેથી $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ તેની પાસપાસેની બાજુઓ બને. $O$ થી શરૂ થતો વિકર્ણ $OS$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ દર્શાવે છે.
$4$. ત્રિકોણની રીતમાં,આપણે $\vec{B}$ ની પૂંછડીને $\vec{A}$ ના શીર્ષ પર મૂકીએ છીએ. પરિણામી સદિશ એ $\vec{A}$ ની પૂંછડીથી $\vec{B}$ ના શીર્ષ સુધીનો સદિશ છે,જે આકૃતિ $(c)$ માં દર્શાવેલ છે.
$5$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બાજુ $PS$ એ $OQ$ (જે $\vec{B}$ છે) ને સમાંતર અને સમાન હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીતમાં બનતો ત્રિકોણ $OPS$ એ ત્રિકોણની રીતમાં બનતા ત્રિકોણ જેવો જ છે.
$6$. આમ,બંને પદ્ધતિઓ સમાન પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ આપે છે.
$7$. પરિણામી સદિશનું માન ત્રિકોણની અસમતાનું પાલન કરે છે: $|\vec{R}| \leq |\vec{A}| + |\vec{B}|$.

(N/A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધ્યાનમાં લો. સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,આપણે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OPRQ$ બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં $\vec{OP} = \vec{A}$ અને $\vec{OR} = \vec{B}$ છે.
$\Delta OPQ$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{A} + \vec{B} = \vec{OP} + \vec{PQ} = \vec{OQ} \quad \dots (i)$
$\Delta ORQ$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ:
$\vec{B} + \vec{A} = \vec{OR} + \vec{RQ} = \vec{OQ} \quad \dots (ii)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $\vec{PQ} = \vec{OR} = \vec{B}$ અને $\vec{RQ} = \vec{OP} = \vec{A}$ હોવાથી,સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા આપણને મળે છે:
$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$
આ સાબિત કરે છે કે સદિશ સરવાળો ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(N/A) સદિશ સરવાળાનો જૂથનો નિયમ $(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$ સાબિત કરવા માટે,ત્રણ સદિશો $\vec{A}, \vec{B}$ અને $\vec{C}$ ધ્યાનમાં લો જે બહુકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $\vec{A} = \overrightarrow{OP}$,$\vec{B} = \overrightarrow{PQ}$ અને $\vec{C} = \overrightarrow{QR}$ છે.
$\Delta OPQ$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{A} + \vec{B} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}$.
હવે,બંને બાજુ $\vec{C} = \overrightarrow{QR}$ ઉમેરતા:
$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} \quad \dots (i)$.
હવે,$\Delta PQR$ ધ્યાનમાં લો:
$\vec{B} + \vec{C} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.
હવે,બંને બાજુ $\vec{A} = \overrightarrow{OP}$ ઉમેરતા:
$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$.
આમ,સદિશ સરવાળાનો જૂથનો નિયમ સાબિત થાય છે.

(N/A) સદિશોની બાદબાકીને સદિશોના સરવાળાના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
આપણે બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના તફાવતને બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $-\overrightarrow{B}$ ના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$
આમ,સદિશોની બાદબાકી એટલે એક સદિશમાં બીજા સદિશનો વિરોધી સદિશ ઉમેરવો.
આકૃતિ $(a)$ માં,$\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $-\vec{B}$ દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ $(b)$ માં,$-\vec{B}$ ને $\vec{A}$ માં ઉમેરવામાં આવે છે.
સદિશ સરવાળાની ત્રિકોણની રીત મુજબ,
$\overrightarrow{R_{2}} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$
$\therefore \overrightarrow{R_{2}} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$
(સરખામણી માટે,$\overrightarrow{R_{1}} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ દર્શાવેલ છે).

(N/A) સદિશ સરવાળા માટેની બે સામાન્ય પદ્ધતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. સદિશ સરવાળાનો ત્રિકોણનો નિયમ.
$2$. સદિશ સરવાળાનો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ.
સદિશ સરવાળાનો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ બિંદુએ એકસાથે કાર્ય કરતા બે સદિશોને એક બિંદુમાંથી દોરેલી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ દ્વારા માન અને દિશામાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો પરિણામી સદિશ તે જ બિંદુમાંથી પસાર થતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ દ્વારા માન અને દિશામાં દર્શાવવામાં આવે છે.

બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ જ્યારે સદિશો સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે $\theta = 0^{\circ}$ થાય. તેથી,$R = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 0^{\circ}} = \sqrt{16 + 9 + 24(1)} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.
$(ii)$ જ્યારે સદિશો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે $\theta = 180^{\circ}$ થાય. તેથી,$R = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 180^{\circ}} = \sqrt{16 + 9 + 24(-1)} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$ એકમ.

(B) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય $|\overrightarrow{R}| = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 + 2|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી (જ્યારે $\theta = 0^\circ$ હોય),$|\overrightarrow{R}|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $|\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ થાય છે.
કોઈપણ અન્ય ખૂણા માટે,$|\overrightarrow{R}|$ એ $|\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ કરતા નાનું હશે.
તેથી,સંબંધ $|\overrightarrow{R}| \leq |\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ છે.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ની બાદબાકીને સદિશ $\vec{A}$ અને સદિશ $\vec{B}$ ના ઋણ સદિશના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$.
અહીં,$(-\vec{B})$ એ એવો સદિશ છે જેનું મૂલ્ય $\vec{B}$ જેટલું જ છે પરંતુ તેની દિશા વિરુદ્ધ છે.
તેથી,$\vec{A}$ માંથી $\vec{B}$ ની બાદબાકી કરવી એ $\vec{A}$ માં સદિશ $(-\vec{B})$ ઉમેરવા સમાન છે.

(N/A) સદિશ સરવાળાના બે ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. ક્રમનો નિયમ: સદિશ સરવાળો ક્રમનો નિયમ પાળે છે,જેનો અર્થ છે કે સરવાળાનો ક્રમ બદલવાથી પરિણામી સદિશ બદલાતો નથી. ગાણિતિક રીતે,$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$.
$2$. જૂથનો નિયમ: સદિશ સરવાળો જૂથનો નિયમ પાળે છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રણ સદિશોનો સરવાળો કરતી વખતે,સદિશોના જૂથ બનાવવાથી પરિણામી સદિશ બદલાતો નથી. ગાણિતિક રીતે,$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$.

(N/A) સદિશ સરવાળા માટેની વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિમાં સદિશોના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે.
ધારો કે $xy$-સમતલમાં બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ છે,જેના ઘટકો અનુક્રમે $(A_{x}, A_{y})$ અને $(B_{x}, B_{y})$ છે.
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$
$\overrightarrow{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j}$
ધારો કે $\overrightarrow{R}$ એ પરિણામી સદિશ છે,જેથી $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$.
ઘટક સ્વરૂપો મૂકતા:
$\overrightarrow{R} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}) + (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j})$
સદિશ સરવાળો ક્રમનો અને જૂથનો નિયમ પાળતો હોવાથી,આપણે ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:
$\overrightarrow{R} = (A_{x} + B_{x}) \hat{i} + (A_{y} + B_{y}) \hat{j}$
જો આપણે $\overrightarrow{R} = R_{x} \hat{i} + R_{y} \hat{j}$ લખીએ,તો ઘટકોની સરખામણી કરતા આપણને મળે છે:
$R_{x} = A_{x} + B_{x}$
$R_{y} = A_{y} + B_{y}$
આમ,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R}$ નો દરેક ઘટક એ $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો છે.

(N/A) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ નો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે તેમના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (3\widehat{i} + 2\widehat{j}) + (1\widehat{i} + 1\widehat{j} - 2\widehat{k})$
$\widehat{i}$,$\widehat{j}$,અને $\widehat{k}$ ના ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$= (3 + 1)\widehat{i} + (2 + 1)\widehat{j} + (0 - 2)\widehat{k}$
$= 4\widehat{i} + 3\widehat{j} - 2\widehat{k}$

બે સદિશો $\overrightarrow A$ અને $\overrightarrow B$ ની બાદબાકી શોધવા માટે,આપણે તેમના અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરીએ છીએ.
આપેલ છે: $\overrightarrow A = 2\widehat i + 3\widehat j + 4\widehat k$ અને $\overrightarrow B = \widehat i - \widehat j + \widehat k$.
બાદબાકી આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\overrightarrow A - \overrightarrow B = (A_x - B_x)\widehat i + (A_y - B_y)\widehat j + (A_z - B_z)\widehat k$.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = (2 - 1)\widehat i + (3 - (-1))\widehat j + (4 - 1)\widehat k$.
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = 1\widehat i + (3 + 1)\widehat j + 3\widehat k$.
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = \widehat i + 4\widehat j + 3\widehat k$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય: સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,મૂલ્ય $R$ એ $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$2$. પરિણામી સદિશની દિશા: જો $\alpha$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ દ્વારા સદિશ $\vec{A}$ સાથે બનાવેલો ખૂણો હોય,તો દિશા $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ દ્વારા મળે છે.

(C) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$R$ ને લઘુતમ કરવા માટે,$\cos \theta$ ની કિંમત શક્ય તેટલી નાની હોવી જોઈએ.
$\cos \theta$ ની લઘુતમ કિંમત $-1$ છે,જે $\theta = 180^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
સૂત્રમાં $\cos \theta = -1$ મૂકતા:
$R_{\min} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB} = \sqrt{(A - B)^2} = |A - B|$
આમ,પરિણામી સદિશ લઘુતમ મળે તે માટે ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.

(C) ધારો કે દરેક સદિશનું મૂલ્ય $A$ છે. પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$
આપેલ છે કે $R = A$,તેથી આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$
$A^2$ વડે ભાગતા (ધારીએ કે $A \neq 0$):
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -1/2$
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$.

(B) $\vec{A} - \vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A} - \vec{B}|$ છે અને $\vec{B} - \vec{A}$ નું મૂલ્ય $|\vec{B} - \vec{A}|$ છે. કારણ કે $|\vec{A} - \vec{B}| = |-(\vec{B} - \vec{A})| = |\vec{B} - \vec{A}|$ થાય છે,તેથી તેમના મૂલ્યો સમાન છે.
જોકે,$\vec{A} - \vec{B} = -(\vec{B} - \vec{A})$ હોવાથી,તે દર્શાવે છે કે સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
તેથી,તેમના મૂલ્યો સમાન છે,પરંતુ દિશાઓ વિરુદ્ધ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}$.
બંને બાજુથી $\vec{A}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે: $\vec{B} = -\vec{B}$.
બંને બાજુ $\vec{B}$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે: $2\vec{B} = 0$.
તેથી,$\vec{B} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\vec{B}$ શૂન્ય સદિશ હોય.

(B) બે સદિશોના સરવાળાનું મૂલ્ય $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સદિશોની બાદબાકીનું મૂલ્ય $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેને સમાન લેતા: $\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4AB \cos \theta = 0$ મળે છે.
અહીં $A$ અને $B$ શૂન્યતર સદિશો હોવાથી,$\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.
આમ,જ્યારે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તેમના મૂલ્યો સમાન થાય છે.

(N/A) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તેમના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$(i)$ $\theta = 0^{\circ}$ માટે,$\cos 0^{\circ} = 1$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(1)} = \sqrt{64 + 36 + 96} = \sqrt{196} = 14$ એકમ.
$(ii)$ $\theta = 180^{\circ}$ માટે,$\cos 180^{\circ} = -1$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(-1)} = \sqrt{64 + 36 - 96} = \sqrt{4} = 2$ એકમ.
$(iii)$ $\theta = 90^{\circ}$ માટે,$\cos 90^{\circ} = 0$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(0)} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ એકમ.
$(iv)$ $\theta = 120^{\circ}$ માટે,$\cos 120^{\circ} = -0.5$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(-0.5)} = \sqrt{64 + 36 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ એકમ.

(A) મહત્તમ પરિણામી સદિશ $\vec{R}_{max} = \vec{P} + \vec{Q}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ હોય. આ કિસ્સામાં, બંને સદિશો એક જ દિશામાં હોય છે.
લઘુતમ પરિણામી સદિશ $\vec{R}_{min} = \vec{P} - \vec{Q}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ હોય. આ કિસ્સામાં, $\vec{Q}$ એ $\vec{P}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
આપેલ છે કે $|\vec{P}| > |\vec{Q}|$, તેથી સદિશ $\vec{R}_{max}$ એ $\vec{P}$ ની દિશામાં હોય છે, અને સદિશ $\vec{R}_{min}$ પણ $\vec{P}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
તેથી, બંને પરિણામી સદિશો એક જ દિશામાં હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ થાય છે.