Addition and Subtraction of Vectors Questions in Gujarati

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{R}$ છે.
આપેલ સદિશો $\vec{A} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{B} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 7\hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ છે,જે $\hat{j}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{R} = \hat{j}$.
પ્રથમ,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો શોધો:
$\vec{A} + \vec{B} = (1+3)\hat{i} + (-3+6)\hat{j} + (2-7)\hat{k} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$.
હવે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકો:
$4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} + \vec{R} = \hat{j}$.
$\vec{R} = \hat{j} - (4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k})$.
$\vec{R} = -4\hat{i} + (1-3)\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{R} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$.

(B) સદિશોના સમૂહનું પરિણામી શૂન્ય મેળવવા માટે,જ્યારે તેમને એકબીજાની પાછળ (head-to-tail) ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવતા હોવા જોઈએ.
જો આપણી પાસે જુદા જુદા મૂલ્યો ધરાવતા બે સદિશો હોય,તો તેમનું પરિણામી ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં કારણ કે તેઓ બંધ આકૃતિ બનાવી શકતા નથી (જો તેઓ એકરેખીય હોય તો તેઓ એક રેખાખંડ બનાવે છે અથવા જો તેઓ એકરેખીય ન હોય તો તેઓ એક ખુલ્લી બાજુવાળો ત્રિકોણ બનાવે છે).
જુદા જુદા મૂલ્યો ધરાવતા ત્રણ સમતલીય સદિશો સાથે,આપણે એક ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ જેથી સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય (દા.ત.,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$).
તેથી,શૂન્ય પરિણામી મેળવવા માટે જરૂરી જુદા જુદા મૂલ્યો ધરાવતા સમતલીય સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ નો સરવાળો કરીને પરિણામી સદિશ $\vec R$ શોધો:
$\vec R = \vec A + \vec B = (4\hat i + 3\hat j + 6\hat k) + (- \hat i + 3\hat j - 8\hat k)$
$\vec R = (4 - 1)\hat i + (3 + 3)\hat j + (6 - 8)\hat k = 3\hat i + 6\hat j - 2\hat k$
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશનું માન $|\vec R|$ ગણો:
$|\vec R| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
અંતે,એકમ સદિશ $\hat R$ એ $\hat R = \frac{\vec R}{|\vec R|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\hat R = \frac{3\hat i + 6\hat j - 2\hat k}{7} = \frac{1}{7}(3\hat i + 6\hat j - 2\hat k)$

(A) આપેલ સદિશો $\vec a = 4\hat i - \hat j$,$\vec b = -3\hat i + 2\hat j$ અને $\vec c = -\hat k$ છે.
ધારો કે આ સદિશોનો સરવાળો $\vec r = \vec a + \vec b + \vec c$ છે.
$\vec r = (4\hat i - \hat j) + (-3\hat i + 2\hat j) + (-\hat k)$.
ઘટકોને ભેગા કરતા,આપણને મળે $\vec r = (4 - 3)\hat i + (-1 + 2)\hat j - \hat k = \hat i + \hat j - \hat k$.
સદિશ $\vec r$ નું માન $|\vec r| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ છે.
$\vec r$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat r = \frac{\vec r}{|\vec r|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\hat r = \frac{\hat i + \hat j - \hat k}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i + \hat j - \hat k)$.

(B) પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (4\hat{i} - 3\hat{j}) + (8\hat{i} + 8\hat{j})$
$\vec{R} = (4 + 8)\hat{i} + (-3 + 8)\hat{j} = 12\hat{i} + 5\hat{j}$
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય:
$|\vec{R}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$
પરિણામી સદિશને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{R}$ નીચે મુજબ છે:
$\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{12\hat{i} + 5\hat{j}}{13}$

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી $R$ એ $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $R = 17\, N$ માટે: $17 = 5 + 12$ હોવાથી,સદિશો સમાન દિશામાં હોવા જોઈએ. તેથી,$\theta = 0^o$.
$2$. $R = 7\, N$ માટે: $7 = 12 - 5$ હોવાથી,સદિશો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ. તેથી,$\theta = 180^o$.
$3$. $R = 13\, N$ માટે: પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\, N$. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય,તેથી $\theta = 90^o$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow A = 4\hat i - 3\hat j$ અને $\overrightarrow B = 6\hat i + 8\hat j$ છે.
પ્રથમ,પરિણામી સદિશ $\overrightarrow R = \overrightarrow A + \overrightarrow B$ શોધો:
$\overrightarrow R = (4\hat i - 3\hat j) + (6\hat i + 8\hat j) = (4+6)\hat i + (-3+8)\hat j = 10\hat i + 5\hat j$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\overrightarrow R| = \sqrt{(10)^2 + (5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$x$-અક્ષ સાથેની દિશા $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 20\hat{j} \, m/s$ (ઉત્તર તરફ) છે.
પશ્ચિમ તરફ વળ્યા પછી,અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = -20\hat{i} \, m/s$ (પશ્ચિમ તરફ) છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta\vec{v} = -20\hat{i} - 20\hat{j} = -20(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-20)^2 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ છે.
દિશા $\tan\theta = \frac{|\Delta v_y|}{|\Delta v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^\circ$.
બંને ઘટકો ઋણ હોવાથી,દિશા દક્ષિણ-પશ્ચિમ $(S-W)$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે $\hat{n}_1$ અને $\hat{n}_2$ બે એકમ સદિશો છે. તેમના સરવાળાનું મૂલ્ય $|\hat{n}_1 + \hat{n}_2|^2 = |\hat{n}_1|^2 + |\hat{n}_2|^2 + 2|\hat{n}_1||\hat{n}_2|\cos\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરવાળો એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|\hat{n}_1 + \hat{n}_2| = 1$ થાય. મૂલ્યો $|\hat{n}_1| = 1$ અને $|\hat{n}_2| = 1$ મૂકતા,આપણને $1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1)\cos\theta$ મળે છે.
$1 = 2 + 2\cos\theta \implies 2\cos\theta = -1 \implies \cos\theta = -1/2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 120^\circ$.
તફાવત સદિશનું મૂલ્ય $|\hat{n}_1 - \hat{n}_2| = \sqrt{|\hat{n}_1|^2 + |\hat{n}_2|^2 - 2|\hat{n}_1||\hat{n}_2|\cos\theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$|\hat{n}_1 - \hat{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-1/2)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow A = 2\hat i + \hat j$,$\overrightarrow B = 3\hat j - \hat k$,અને $\overrightarrow C = 6\hat i - 2\hat k$ છે.
આપણે $\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આપેલ સદિશોને મૂકતા:
$\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C = (2\hat i + \hat j) - 2(3\hat j - \hat k) + 3(6\hat i - 2\hat k)$
$= 2\hat i + \hat j - 6\hat j + 2\hat k + 18\hat i - 6\hat k$
$\hat i$,$\hat j$,અને $\hat k$ ના ઘટકોને સાથે લેતા:
$= (2 + 18)\hat i + (1 - 6)\hat j + (2 - 6)\hat k$
$= 20\hat i - 5\hat j - 4\hat k$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચે $\theta$ ખૂણો હોય ત્યારે તેમનું પરિણામી સદિશ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને બળોના મૂલ્યો $A = F$ અને $B = F$ છે,અને તેમનું પરિણામી મૂલ્ય $R = F$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2(F)(F) \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $F^2 = F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta$.
$F^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos \theta$.
$F^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$-1 = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 120^\circ$ મળે છે.

(D) જ્યારે બે બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ એક કણ પર લાગે છે,ત્યારે પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
મહત્તમ પરિણામી બળ ત્યારે મળે છે જ્યારે બળો એક જ દિશામાં હોય $(\theta = 0^\circ)$:
$R_{\text{max}} = F_1 + F_2 = 4\, N + 3\, N = 7\, N$.
ન્યૂનતમ પરિણામી બળ ત્યારે મળે છે જ્યારે બળો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય $(\theta = 180^\circ)$:
$R_{\text{min}} = |F_1 - F_2| = |4\, N - 3\, N| = 1\, N$.
તેથી,કણ પરનું પરિણામી બળ $1\, N$ અને $7\, N$ ની વચ્ચે કોઈપણ મૂલ્ય ધરાવી શકે છે,જે બળો વચ્ચેના ખૂણા પર આધાર રાખે છે.

(D) ધારો કે બે બળો $\vec{F_1}$ અને $\vec{F_2}$ છે,જેના મૂલ્યો $F_1$ અને $F_2$ છે,જ્યાં $F_1 > F_2$ છે.
પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણને આપેલ છે કે $R < F_1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta < F_1^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta < 0$ મળે છે.
$F_2$ વડે ભાગતા ($F_2 > 0$ હોવાથી),$F_2 + 2F_1 \cos \theta < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta < -\frac{F_2}{2F_1}$.
$F_1 > F_2$ હોવાથી,$\frac{F_2}{2F_1}$ ની કિંમત $0$ અને $0.5$ ની વચ્ચે હોય છે.
આમ,$\cos \theta$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય (અથવા તેમની વચ્ચે ગુરુકોણ હોય) તે જ શરત પરિણામી બળને મોટા બળ કરતાં નાનું બનાવે છે.

(C) જ્યારે બે સદિશો એકબીજા સાથે $\theta$ ખૂણે કાર્ય કરતા હોય,ત્યારે તેમનું પરિણામી મૂલ્ય $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
સૂત્રમાં $\cos 90^\circ = 0$ મૂકતા:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2(0)}$
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - AB}$.
તફાવત સદિશ $|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB (-1/2)} = \sqrt{A^{2} + B^{2} + AB}$.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,કારણ કે $A$ અને $B$ શૂન્યતર મૂલ્યો છે,તેથી $\sqrt{A^{2} + B^{2} - AB} < \sqrt{A^{2} + B^{2} + AB}$.
તેથી,$|\overrightarrow{C}| < |\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$ થાય.

(C) આપેલ છે કે સદિશોના માન $|\overrightarrow{A}| = 12$,$|\overrightarrow{B}| = 5$ અને $|\overrightarrow{C}| = 13$ છે.
અહીં $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C}$ હોવાથી,આપણે ચકાસી શકીએ કે શું તેમના માન પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે: $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = |\overrightarrow{C}|^2$.
કારણ કે $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 = |\overrightarrow{C}|^2$ થાય છે,તેથી સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi / 2$ રેડિયન (અથવા $90^{\circ}$) છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A} = 6\hat{i} + 7\hat{j}$ અને $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો છે:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (6\hat{i} + 7\hat{j}) + (3\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{R} = (6 + 3)\hat{i} + (7 + 4)\hat{j} = 9\hat{i} + 11\hat{j}$
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
$|\vec{R}| = \sqrt{9^2 + 11^2}$
$|\vec{R}| = \sqrt{81 + 121}$
$|\vec{R}| = \sqrt{202}$

(C) સૌ પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસીને તેઓ ત્રિકોણ બનાવે છે કે નહીં તે તપાસો. $\vec A + \vec B + \vec C = 6\hat i - 4\hat j + 2\hat k \neq 0$. જો આપણે આ સદિશોના માનને ત્રિકોણની બાજુઓ તરીકે લઈએ,તો આપણે માનની ગણતરી કરીએ:
$|\vec A| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}$
$|\vec B| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{35}$
$|\vec C| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{21}$
અહીં,$|\vec A|^2 + |\vec C|^2 = 14 + 21 = 35 = |\vec B|^2$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,આ બાજુઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો વિરુદ્ધ ક્રમમાં લીધેલી ત્રીજી બાજુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સદિશો $\overrightarrow C$ અને $\overrightarrow A$ ક્રમમાં (એકનું શીર્ષ બીજાની પૂંછડી સાથે) ગોઠવાયેલા છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow B$ છે,જે $\overrightarrow C$ ની પૂંછડીને $\overrightarrow A$ ના શીર્ષ સાથે જોડે છે.
તેથી,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણને મળે છે: $\overrightarrow C + \overrightarrow A = \overrightarrow B$.

(B) પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી સદિશના મૂલ્યની રેન્જ $|A - B| \le |\vec{C}| \le A + B$ છે.
જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય (એટલે કે $90^\circ < \theta \le 180^\circ$),તો પરિણામી સદિશ $\vec{C}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}|$ અથવા $|\vec{B}|$ કરતા નાનું હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન મૂલ્ય $A=B$ ધરાવતા સદિશો હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ હોય,તો $|\vec{C}| = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2A^2 - A^2} = A$ થાય. જો ખૂણો $120^\circ$ કરતા વધારે હોય,તો $|\vec{C}|$ એ $A$ અને $B$ કરતા નાનું હશે. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ ને સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
પરિણામી મૂલ્ય $R$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,જ્યાં $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના મૂલ્યો છે અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.

(A) ધારો કે બે બળો $A$ અને $B$ છે,જ્યાં $A < B$. આપેલ છે કે $A + B = 16$ (સમીકરણ $i$).
પરિણામી બળ $R = 8\, N$ એ નાના બળ $A$ ને લંબ હોવાથી,$R$ અને $A$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ$ છે.
પરિણામી બળની દિશાનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} = \tan 90^\circ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A + B \cos \theta = 0$,તેથી $\cos \theta = -A/B$ (સમીકરણ $ii$).
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ છે.
$\cos \theta = -A/B$ ને પરિણામી બળના સૂત્રમાં મૂકતા: $8^2 = A^2 + B^2 + 2AB(-A/B) = A^2 + B^2 - 2A^2 = B^2 - A^2$.
આમ,$B^2 - A^2 = 64$,જેનું અવયવીકરણ $(B - A)(B + A) = 64$ થાય છે.
$B + A = 16$ હોવાથી,$(B - A)(16) = 64$,તેથી $B - A = 4$.
$A + B = 16$ અને $B - A = 4$ ને ઉકેલતા $2B = 20$ મળે,તેથી $B = 10\, N$ અને $A = 6\, N$.

(C) આપેલ મૂલ્યો $|\overrightarrow P| = 5$,$|\overrightarrow Q| = 12$,અને $|\overrightarrow R| = 13$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow P + \overrightarrow Q = \overrightarrow R$,આ સદિશો એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે કારણ કે $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ થાય છે.
આ સદિશો દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,$\overrightarrow Q$ અને $\overrightarrow R$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow Q$ અને $\overrightarrow R$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન (cosine) એ પાસેની બાજુ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે.
$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow Q|}{|\overrightarrow R|} = \frac{12}{13}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{12}{13})$.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{R}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપેલા સદિશો અને $\vec{R}$ નો સરવાળો $X$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ એટલે કે $\hat{i}$ જેટલો થાય છે.
$(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \vec{R} = \hat{i}$
આપેલા સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$(1+2)\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} + \vec{R} = \hat{i}$
$3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} + \vec{R} = \hat{i}$
હવે,$\vec{R}$ માટે ઉકેલતા:
$\vec{R} = \hat{i} - (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{R} = \hat{i} - 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{R} = -2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$

(A) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec R$ છે.
આપેલા સદિશો $\vec A = \vec P + \vec Q$ અને $\vec B = \vec P - \vec Q$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec R$ એ આ બે સદિશોનો સરવાળો છે:
$\vec R = \vec A + \vec B = (\vec P + \vec Q) + (\vec P - \vec Q) = 2\vec P$.
કારણ કે $\vec R = 2\vec P$,પરિણામી સદિશ $\vec P$ ની દિશામાં જ છે.
તેથી,$\vec P$ અને પરિણામી સદિશ $\vec R$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ ડિગ્રી છે.

(B) ધારો કે સદિશ $\overrightarrow P$ અને $\overrightarrow Q$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow R = \overrightarrow P + \overrightarrow Q$ એ $\overrightarrow P$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જે $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow P$ ને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\alpha = 90^\circ$ થાય.
તેથી,$\tan 90^\circ = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$.
$\tan 90^\circ$ અવ્યાખ્યાયિત હોવાથી,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$P + Q \cos \theta = 0$
$Q \cos \theta = -P$
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{P}{Q}\right)$.

(A) બે સદિશો $P$ અને $Q$ ના પરિણામી સદિશનું મહત્તમ મૂલ્ય $R_{max} = P + Q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સદિશો $P$ અને $Q$ ના પરિણામી સદિશનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $R_{min} = |P - Q|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યનો ગુણોત્તર $3:1$ છે,તેથી $\frac{P + Q}{P - Q} = \frac{3}{1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $P + Q = 3(P - Q)$ મળે છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,$P + Q = 3P - 3Q$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$4Q = 2P$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $P = 2Q$ થાય છે.

(C) ધારો કે નાનું બળ $F_1 = F$ છે અને મોટું બળ $F_2 = 2F$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $R$ એ મોટા બળ જેટલું છે,તેથી $R = 2F$.
બે સદિશોના પરિણામી બળનું સૂત્ર $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2F = \sqrt{F^2 + (2F)^2 + 2(F)(2F) \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2F)^2 = F^2 + 4F^2 + 4F^2 \cos \theta$.
$4F^2 = 5F^2 + 4F^2 \cos \theta$.
બંને બાજુથી $5F^2$ બાદ કરતા: $-F^2 = 4F^2 \cos \theta$.
$4F^2$ વડે ભાગતા: $\cos \theta = -1/4$.
તેથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(-1/4)$ થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $\vec{d_1} = 25\hat{i} - 6\hat{j} \text{ m}$ છે.
ધારો કે ઉમેરવાનું જરૂરી સ્થાનાંતર $\vec{d_x}$ છે.
પરિણામી સ્થાનાંતર $\vec{d_R} = 7.0\hat{i} \text{ m}$ આપેલ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ: $\vec{d_1} + \vec{d_x} = \vec{d_R}$.
તેથી,$\vec{d_x} = \vec{d_R} - \vec{d_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{d_x} = (7.0\hat{i}) - (25\hat{i} - 6\hat{j})$.
$\vec{d_x} = 7.0\hat{i} - 25\hat{i} + 6\hat{j}$.
$\vec{d_x} = -18\hat{i} + 6\hat{j} \text{ m}$.

(D) પદાર્થ બે પરસ્પર લંબ દિશાઓમાં ગતિ કરે છે: પૂર્વ અને ઉત્તર.
ધારો કે પૂર્વ દિશાનો વેગ $\vec{v}_1 = 20 \, km/h$ ($x$-અક્ષ પર) અને ઉત્તર દિશાનો વેગ $\vec{v}_2 = 15 \, km/h$ ($y$-અક્ષ પર) છે.
પરિણામી વેગ $\vec{v}_R$ એ સદિશ સરવાળો છે: $\vec{v}_R = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી વેગનું મૂલ્ય પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
$v_R = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
$v_R = \sqrt{20^2 + 15^2}$
$v_R = \sqrt{400 + 225}$
$v_R = \sqrt{625}$
$v_R = 25 \, km/h$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે મૂલ્યો $|vec A| = 3$,$|vec B| = 4$,અને $|vec C| = 5$ છે.
કારણ કે $\vec A + \vec B = \vec C$,આપણે ચકાસી શકીએ કે શું આ મૂલ્યો પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે: $|vec A|^2 + |\vec B|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = |\vec C|^2$.
કારણ કે $|vec A|^2 + |\vec B|^2 = |\vec C|^2$ થાય છે,તેથી સદિશો $\vec A$ અને $\vec B$ એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
તેથી,$\vec A$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
પ્રથમ સ્થાનાંતર: $75 \, km$ ઉત્તર $\rightarrow \vec{d_1} = 75 \hat{j}$.
બીજું સ્થાનાંતર: $60 \, km$ ઉત્તર-પૂર્વ $\rightarrow \vec{d_2} = 60 \cos 45^{\circ} \hat{i} + 60 \sin 45^{\circ} \hat{j} = 30\sqrt{2} \hat{i} + 30\sqrt{2} \hat{j}$.
ત્રીજું સ્થાનાંતર: $20 \, km$ પૂર્વ $\rightarrow \vec{d_3} = 20 \hat{i}$.
કુલ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} + \vec{d_3} = (30\sqrt{2} + 20) \hat{i} + (75 + 30\sqrt{2}) \hat{j}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$x = 30(1.414) + 20 = 62.42 \, km$.
$y = 75 + 30(1.414) = 117.42 \, km$.
લઘુત્તમ અંતર (સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય) $S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(62.42)^2 + (117.42)^2} \approx \sqrt{17683} \approx 132.97 \, km$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,અંતર $132 \, km$ મળે છે.

(D) બે બળો $A$ અને $B$ નું પરિણામી બળ $R$ એ $(A - B) \le R \le (A + B)$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $2 \, N$ અને $2 \, N$,શ્રેણી $(2 - 2) \le R \le (2 + 2)$ એટલે કે $0 \le R \le 4 \, N$ છે. $2 \, N$ આ શ્રેણીમાં હોવાથી,તે શક્ય છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $1 \, N$ અને $1 \, N$,શ્રેણી $(1 - 1) \le R \le (1 + 1)$ એટલે કે $0 \le R \le 2 \, N$ છે. $2 \, N$ આ શ્રેણીમાં હોવાથી,તે શક્ય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $1 \, N$ અને $3 \, N$,શ્રેણી $(3 - 1) \le R \le (3 + 1)$ એટલે કે $2 \le R \le 4 \, N$ છે. $2 \, N$ આ શ્રેણીમાં હોવાથી,તે શક્ય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $1 \, N$ અને $4 \, N$,શ્રેણી $(4 - 1) \le R \le (4 + 1)$ એટલે કે $3 \le R \le 5 \, N$ છે. $2 \, N$ આ શ્રેણીમાં નથી,તેથી $2 \, N$ નું પરિણામી બળ મેળવવું અશક્ય છે.

(D) ધારો કે બે બળો $F_1 = 3\,N$ અને $F_2 = 2\,N$ છે. પરિણામી બળ $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3)(2) \cos \theta} = \sqrt{9 + 4 + 12 \cos \theta} = \sqrt{13 + 12 \cos \theta}$ ... $(i)$.
જ્યારે પ્રથમ બળ વધારીને $F_1' = 6\,N$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પરિણામી બળ $2R$ થાય છે. તેથી,$(2R)^2 = (F_1')^2 + F_2^2 + 2F_1'F_2 \cos \theta$.
$4R^2 = 6^2 + 2^2 + 2(6)(2) \cos \theta = 36 + 4 + 24 \cos \theta = 40 + 24 \cos \theta$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$R^2 = 13 + 12 \cos \theta$. આ કિંમત $4R^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(13 + 12 \cos \theta) = 40 + 24 \cos \theta$.
$52 + 48 \cos \theta = 40 + 24 \cos \theta$.
$24 \cos \theta = -12$.
$\cos \theta = -\frac{12}{24} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 120^\circ$.

(C) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી બળ $R$ એ $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી બળ મહત્તમ હોવા માટે,બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ હોવો જોઈએ.
આમ,$R_{\max} = A + B$.
અહીં $A = 12 \, N$ અને $B = 8 \, N$ આપેલ છે.
તેથી,$R_{\max} = 12 + 8 = 20 \, N$.

(C) બે સદિશો $A$ અને $B$ જે $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય,તેમના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
અહીં આપેલ છે કે બંને બળો સમાન છે,એટલે કે $A = B = P$,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 120^\circ$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \sqrt{P^2 + P^2 + 2(P)(P) \cos(120^\circ)}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(120^\circ) = -1/2$ થાય છે:
$R = \sqrt{2P^2 + 2P^2(-1/2)}$
$R = \sqrt{2P^2 - P^2}$
$R = \sqrt{P^2} = P$
આમ,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $P$ છે.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A} = 5\hat{i} + 8\hat{j}$ અને $\vec{B} = 2\hat{i} + 7\hat{j}$ છે.
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા,આપણને પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (5+2)\hat{i} + (8+7)\hat{j} = 7\hat{i} + 15\hat{j}$ મળે છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$|\vec{R}| = \sqrt{7^2 + 15^2} = \sqrt{49 + 225} = \sqrt{274}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}$.
સમીકરણની બંને બાજુએથી $\vec{A}$ બાદ કરતા:
$(\vec{A} - \vec{A}) + \vec{B} = -\vec{B}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $0 + \vec{B} = -\vec{B}$.
બંને બાજુ $\vec{B}$ ઉમેરતા:
$\vec{B} + \vec{B} = 0$.
$2\vec{B} = 0$.
તેથી,$\vec{B} = 0$.

(A) આપેલ છે કે $(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ એ $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ ને લંબ છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,આપણને મળે:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} + \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} = 0$
અદિશ ગુણાકારના ક્રમના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$,તેથી વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$|\overrightarrow{A}|^2 - |\overrightarrow{B}|^2 = 0$
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2$
$|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$
તેથી,તેમના માનનો ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow{A}|}{|\overrightarrow{B}|} = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે: $|{\vec V_1} + {\vec V_2}| = |{\vec V_1} - {\vec V_2}|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|{\vec V_1} + {\vec V_2}|^2 = |{\vec V_1} - {\vec V_2}|^2$
ગુણધર્મ $|\vec A \pm \vec B|^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 \pm 2(\vec A \cdot \vec B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|{\vec V_1}|^2 + |{\vec V_2}|^2 + 2(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = |{\vec V_1}|^2 + |{\vec V_2}|^2 - 2(\vec V_1 \cdot \vec V_2)$
$2(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = -2(\vec V_1 \cdot \vec V_2)$
$4(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = 0$
$\vec V_1 \cdot \vec V_2 = 0$
આ સૂચવે છે કે સદિશો ${\vec V_1}$ અને ${\vec V_2}$ પરસ્પર લંબ છે.

(A) આપેલ છે કે $|\vec{A}| = |\vec{B}|$.
ધારો કે $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ અને $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{R} \cdot \vec{D} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})$ લો.
$= \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B}$.
$= |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2$.
કારણ કે $|\vec{A}| = |\vec{B}|$,તેથી અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{A} + \vec{B}$ એ $\vec{A} - \vec{B}$ ને લંબ છે.

(C) $2$ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નું પરિણામી $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી શૂન્ય થવા માટે,$\vec{A} + \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{A} = -\vec{B}$.
આનો અર્થ એ છે કે બંને સદિશોનું મૂલ્ય સમાન $(|A| = |B|)$ હોવું જોઈએ અને તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ (તેમની વચ્ચે $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયનનો ખૂણો).
તેથી,સાચી શરત એ છે કે $2$ સદિશો મૂલ્યમાં સમાન પણ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય.

(C) ધારો કે $P$ એ નાનું બળ છે અને $Q$ એ મોટું બળ છે. રકમ મુજબ:
$P + Q = 18$......$(i)$
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $R = 12 \; N$ એ નાના બળ $P$ ને લંબ છે,તેથી $R$ અને $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળની દિશા માટેનું સૂત્ર: $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$.
અહીં $\alpha = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 90^{\circ} = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $P + Q \cos \theta = 0$,તેથી $Q \cos \theta = -P$......$(ii)$
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$R = 12$ અને $Q \cos \theta = -P$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)$
$144 = P^2 + Q^2 - 2P^2$
$144 = Q^2 - P^2$
$144 = (Q - P)(Q + P)$
$Q + P = 18$ હોવાથી,$144 = (Q - P)(18)$,જે આપણને $Q - P = 8$ આપે છે......$(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $2Q = 26 \implies Q = 13 \; N$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $2P = 10 \implies P = 5 \; N$.
આમ,બળોના મૂલ્યો $5 \; N$ અને $13 \; N$ છે.

(B) ધારો કે સદિશોને કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{OA}$ એ ધન $x$-અક્ષ પર છે: $\overrightarrow{OA} = R\hat{i}$.
સદિશ $\overrightarrow{OC}$ એ ધન $y$-અક્ષ પર છે: $\overrightarrow{OC} = R\hat{j}$.
સદિશ $\overrightarrow{OB}$ એ $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે: $\overrightarrow{OB} = R\cos(45^{\circ})\hat{i} + R\sin(45^{\circ})\hat{j} = \frac{R}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{R}{\sqrt{2}}\hat{j}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}_{net} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (R + \frac{R}{\sqrt{2}})\hat{i} + (R + \frac{R}{\sqrt{2}})\hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{R}_{net}| = \sqrt{(R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2 + (R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{2(R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{2}(R + \frac{R}{\sqrt{2}}) = R\sqrt{2} + R = R(\sqrt{2} + 1)$.

(B) બે બળો $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તેમનું પરિણામી બળ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $F_1 = F$,$F_2 = F$ અને પરિણામી બળ $R = F$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $F^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos \theta$.
$F^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
તેથી,$\cos \theta = -1/2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(120^\circ) = -1/2$,તેથી બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 120^\circ$ છે.

(A) બે સદિશો $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય ત્યારે તેમના પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $F_1 = F_2 = F$ અને $R = F/3$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(F/3)^2 = F^2 + F^2 + 2(F)(F)\cos\theta$.
$F^2/9 = 2F^2 + 2F^2\cos\theta$.
બંને બાજુ $F^2$ વડે ભાગતા:
$1/9 = 2 + 2\cos\theta$.
$1/9 - 2 = 2\cos\theta$.
$-17/9 = 2\cos\theta$.
$\cos\theta = -17/18$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(-17/18)$.

(C) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી બળ $R$ એ $|A - B| \le R \le |A + B|$ ની શ્રેણીમાં હોય છે.
અહીં $A = 5 \, N$ અને $B = 10 \, N$ આપેલ છે.
મહત્તમ પરિણામી બળ $F_{\max} = 10 + 5 = 15 \, N$ થાય.
ન્યૂનતમ પરિણામી બળ $F_{\min} = 10 - 5 = 5 \, N$ થાય.
તેથી,પરિણામી બળ $5 \, N \le R \le 15 \, N$ ની શ્રેણીમાં હોવું જોઈએ.
અહીં $4 \, N$ એ ન્યૂનતમ શક્ય પરિણામી બળ $5 \, N$ કરતા ઓછું હોવાથી,પરિણામી બળ $4 \, N$ હોઈ શકે નહીં.

(B) ધારો કે બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશોના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી બળ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R^2 = (3P)^2 + (2P)^2 + 2(3P)(2P) \cos \theta$
$R^2 = 9P^2 + 4P^2 + 12P^2 \cos \theta = 13P^2 + 12P^2 \cos \theta$ ... $(i)$
જ્યારે પ્રથમ બળ બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે તે $6P$ થાય છે. નવું પરિણામી બળ $2R$ છે:
$(2R)^2 = (6P)^2 + (2P)^2 + 2(6P)(2P) \cos \theta$
$4R^2 = 36P^2 + 4P^2 + 24P^2 \cos \theta = 40P^2 + 24P^2 \cos \theta$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $4$ વડે ભાગતા:
$R^2 = 10P^2 + 6P^2 \cos \theta$ ... (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) ને સરખાવતા:
$13P^2 + 12P^2 \cos \theta = 10P^2 + 6P^2 \cos \theta$
$3P^2 = -6P^2 \cos \theta$
$\cos \theta = -3/6 = -1/2$
તેથી,$\theta = 120^\circ$.

(B) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે,જ્યાં $F_1$ મોટું બળ છે અને $F_2$ નાનું બળ છે.
આપેલ છે: $F_1 + F_2 = 18 \,N$ $(i)$
ધારો કે પરિણામી બળ $R = 12 \,N$ એ નાના બળ $F_2$ ને લંબ છે.
પરિણામી બળ $R$ અને બળ $F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 90^\circ$ છે.
પરિણામી બળની દિશા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{F_1 \sin \theta}{F_2 + F_1 \cos \theta} = \tan 90^\circ$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે છેદ $F_2 + F_1 \cos \theta = 0$,તેથી $\cos \theta = -\frac{F_2}{F_1}$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos \theta$ છે.
$\cos \theta = -\frac{F_2}{F_1}$ મૂકતા,આપણને $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 (-F_2/F_1) = F_1^2 - F_2^2$ મળે છે.
આપેલ છે $R = 12$,તેથી $144 = F_1^2 - F_2^2 = (F_1 + F_2)(F_1 - F_2)$.
$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$144 = 18(F_1 - F_2)$,જે $F_1 - F_2 = 8 \,N$ આપે છે (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2F_1 = 26 \,N \implies F_1 = 13 \,N$.
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $2F_2 = 10 \,N \implies F_2 = 5 \,N$.
આમ,બળોના મૂલ્યો $13 \,N$ અને $5 \,N$ છે.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં (એકનું શીર્ષ બીજાની પૂંછડી પર) દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો (પરિણામી સદિશ) ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુ દ્વારા વિરુદ્ધ ક્રમમાં (પ્રથમની પૂંછડીથી બીજાના શીર્ષ સુધી) દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $D$ માં,સદિશ $\overrightarrow {{F_2}} $ ને એવી રીતે મૂકવામાં આવ્યો છે કે તેની પૂંછડી $\overrightarrow {{F_1}} $ ના શીર્ષ પર છે. પરિણામી સદિશ $\overrightarrow {{F_3}} $ એ $\overrightarrow {{F_1}} $ ની પૂંછડીથી શરૂ થાય છે અને $\overrightarrow {{F_2}} $ ના શીર્ષ પર સમાપ્ત થાય છે. આ સાચી રીતે $\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} $ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચી ગોઠવણી $D$ છે.