Addition and Subtraction of Vectors Questions in Gujarati

(C) કોણીય વેગ એ સદિશ રાશિ છે. ધારો કે પ્રથમ તક્તિનો કોણીય વેગ $\vec{\omega}_1 = 3 \hat{i} \, rad/s$ છે અને બીજી તક્તિનો કોણીય વેગ $\vec{\omega}_2 = 4 \hat{j} \, rad/s$ છે.
તક્તિઓના સમતલ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમની ભ્રમણાક્ષ પણ પરસ્પર લંબ હોય છે.
પરિણામી કોણીય વેગ $\vec{\omega}_{res}$ એ બે વ્યક્તિગત કોણીય વેગના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\vec{\omega}_{res} = \vec{\omega}_1 + \vec{\omega}_2$.
પરિણામી કોણીય વેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{\omega}_{res}| = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{\omega}_{res}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 50 \; \text{km/h}$ ઉત્તર દિશામાં છે.
$90^{\circ}$ ડાબી તરફ વળ્યા પછી,અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = 50 \; \text{km/h}$ પશ્ચિમ દિશામાં છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{v}_2 + (-\vec{v}_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$-\vec{v}_1 = 50 \; \text{km/h}$ દક્ષિણ દિશામાં છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v_2^2 + v_1^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} \approx 70.7 \; \text{km/h}$ છે.
$\Delta \vec{v}$ ની દિશા પશ્ચિમ અને દક્ષિણ દિશાના સદિશોનું પરિણામી છે,જે દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં છે.

(A) પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\vec{R} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k})$.
ઘટકોનો સરવાળો કરતા: $\vec{R} = (4-1)\hat{i} + (3+3)\hat{j} + (6-8)\hat{k} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{R}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,માન $|\vec{R}|$ ની ગણતરી કરીએ: $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,એકમ સદિશ $\hat{R} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{7} = \frac{1}{7}(3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k})$ થાય.

(C) આપેલ શરત $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા,આપણને $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ નો ઉપયોગ કરીને,પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^2$ અને $|\vec{b}|^2$ ને દૂર કરતા,આપણને $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
જ્યારે બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,ત્યારે તે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) અહીં,બે બળો $F_1 = 3 \ N$ અને $F_2 = 4 \ N$ આપેલા છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^\circ$ છે.
જ્યારે ખૂણો $180^\circ$ હોય,ત્યારે બંને બળો પ્રતિ-સમાંતર (વિરુદ્ધ દિશામાં) હોય છે.
પરિણામી બળ $R$ એ બંને બળોના મૂલ્યોના તફાવત જેટલું હોય છે:
$R = |F_2 - F_1| = |4 \ N - 3 \ N| = 1 \ N$.
પરિણામી બળની દિશા મોટા બળની દિશામાં (એટલે કે $4 \ N$ ના બળની દિશામાં) હોય છે.

(D) જ્યારે બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,ત્યારે સદિશો સમાંતર હોય છે અને એક જ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પરિણામી બળ $R$ એ બે બળોના મૂલ્યોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$R = F_1 + F_2$
અહીં $F_1 = 3\;N$ અને $F_2 = 4\;N$ આપેલ છે,
$R = 3\;N + 4\;N = 7\;N$.
પરિણામી બળની દિશા એ વ્યક્તિગત બળોની દિશામાં જ હોય છે.

(C) ધારો કે બે બળો $F_1 = F$ અને $F_2 = F$ છે.
પરિણામી બળ $R$ નું મૂલ્ય $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $R^2 = 3(F_1 \times F_2) = 3F^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta = 3F^2$
$2F^2 + 2F^2 \cos \theta = 3F^2$
$2F^2 \cos \theta = F^2$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 60^o$.

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ ના પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $|A - B| \leq R \leq A + B$ ની રેન્જમાં હોવું જોઈએ.
અહીં $A = 10 \ N$ અને $B = 6 \ N$ આપેલ છે,તેથી રેન્જ $|10 - 6| \leq R \leq 10 + 6$ એટલે કે $4 \leq R \leq 16$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી બળનું મૂલ્ય $4 \ N$ અને $16 \ N$ ની વચ્ચે (બંનેનો સમાવેશ કરીને) હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2 \ N$ એ $4 \ N$ કરતા ઓછું છે,તેથી તે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય હોઈ શકે નહીં.

(A) પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} = (2\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{R} = (2+1)\hat{i} + (7+2)\hat{j} + (-10+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} - 7\hat{k}$.
ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{S}$ છે. આપણને આપેલ છે કે $\vec{R} + \vec{S} = \hat{i}$ ($X$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ).
તેથી,$\vec{S} = \hat{i} - \vec{R} = \hat{i} - (3\hat{i} + 9\hat{j} - 7\hat{k})$.
$\vec{S} = (1-3)\hat{i} - 9\hat{j} + 7\hat{k} = -2\hat{i} - 9\hat{j} + 7\hat{k}$.

(B) સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું મૂલ્ય:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(90^\circ)} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ m$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સદિશ $\vec{A}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
પરિણામી સદિશની દિશા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} = \frac{12 \sin 90^\circ}{5 + 12 \cos 90^\circ} = \frac{12 \times 1}{5 + 12 \times 0} = \frac{12}{5}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(12/5)$.
સદિશ $\vec{A}$ પોતે x-અક્ષ સાથે $20^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નો x-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha + 20^\circ = \tan^{-1}(12/5) + 20^\circ$ થશે.

(A) આપેલ છે: સદિશોનું મૂલ્ય $A = B = 5$ એકમ,ખૂણો $\theta = 60^\circ$.
$(a)$ સદિશોના સરવાળાનું મૂલ્ય: $R_s = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 25 + 50(0.5)} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ એકમ.
$(b)$ સદિશોના તફાવતનું મૂલ્ય: $R_d = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{5^2 + 5^2 - 2(5)(5) \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 25 - 50(0.5)} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(C) આપેલ છે કે $\vec{R_1} = \vec{A} + \vec{B}$.
તેનું માનનો વર્ગ લેતા: $R_1^2 = |\vec{A} + \vec{B}|^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે સદિશ $\vec{B}$ ને ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{R_2} = \vec{A} - \vec{B}$ થાય છે.
તેનું માનનો વર્ગ લેતા: $R_2^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2 = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$R_1^2 + R_2^2 = (A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) + (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$.
$R_1^2 + R_2^2 = 2A^2 + 2B^2 = 2(A^2 + B^2)$.

(B) ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ છે.
સદિશ સરવાળો $(\vec{F}_1 + \vec{F}_2)$ છે અને સદિશ તફાવત $(\vec{F}_1 - \vec{F}_2)$ છે.
આપેલ છે કે સરવાળો તફાવતને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \cdot (\vec{F}_1 - \vec{F}_2) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_1 - \vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 + \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1 - \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_2 = 0$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1)$,તેથી વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$|\vec{F}_1|^2 - |\vec{F}_2|^2 = 0$
તેથી,$|\vec{F}_1|^2 = |\vec{F}_2|^2$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2|$.
આમ,બળો સમાન મૂલ્ય ધરાવે છે.

(A) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{R} \perp \vec{A}$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{R} \cdot \vec{A} = 0$ થાય.
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ મૂકતા,આપણને $(\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{A} = 0$ મળે છે.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{A} = 0$.
આ સમીકરણ $A^2 + AB \cos \theta = 0$ માં પરિણમે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta$ માટે ઉકેલતા: $\cos \theta = -\frac{A^2}{AB} = -\frac{A}{B}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{A}{B}\right)$.

(A) શૂન્ય પરિણામી સદિશ મેળવવા માટે,સદિશોને જ્યારે એકબીજાની પાછળ (head-to-tail) ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તે એક બંધ બહુકોણ બનાવવો જોઈએ.
સમાન મૂલ્યના સદિશો માટે,બંધ બહુકોણ બનાવવા માટે જરૂરી સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2$ છે (જો તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,એટલે કે $\vec{A} + (-\vec{A}) = 0$).
તેથી,શૂન્ય પરિણામી સદિશ મેળવવા માટે સમાન મૂલ્યના જરૂરી સદિશોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ છે.
જ્યારે $\vec{Q}$ ને બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{R}' = \vec{P} + 2\vec{Q}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{R}'$ એ $\vec{P}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{P} + 2\vec{Q}) \cdot \vec{P} = 0$
$\vec{P} \cdot \vec{P} + 2(\vec{Q} \cdot \vec{P}) = 0$
$P^2 + 2PQ \cos \theta = 0$
$2PQ \cos \theta = -P^2$
હવે,મૂળ પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું મૂલ્ય:
$R = |\vec{P} + \vec{Q}| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$
સમીકરણમાં $2PQ \cos \theta = -P^2$ મૂકતા:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 - P^2}$
$R = \sqrt{Q^2} = Q$

(B) ધારો કે $n$ સદિશો $\vec{A}_1, \vec{A}_2, ..., \vec{A}_n$ છે,જેના $x$-ઘટકો $A_{1x}, A_{2x}, ..., A_{nx}$ અને મૂલ્યો $|\vec{A}_1|, |\vec{A}_2|, ..., |\vec{A}_n|$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \sum_{i=1}^{n} \vec{A}_i$ છે.
પરિણામીનો $x$-ઘટક $R_x = \sum_{i=1}^{n} A_{ix}$ થાય છે. તેથી,વિધાન $(a)$ સાચું છે.
કારણ કે $|A_{ix}| \le |\vec{A}_i|$,તેથી $x$-ઘટકોનો સરવાળો $\sum A_{ix} \le \sum |\vec{A}_i|$ થાય. તેથી,પરિણામીનો $x$-ઘટક સામાન્ય રીતે સદિશોના મૂલ્યોના સરવાળા કરતાં નાનો અથવા તેના જેટલો હોય છે. તેથી,વિધાન $(b)$ સાચું છે.
વિધાન $(c)$ ખોટું છે કારણ કે સદિશનો $x$-ઘટક તેના પોતાના મૂલ્ય કરતાં વધી શકતો નથી,અને પરિણામે,$x$-ઘટકોનો સરવાળો એ મૂલ્યોના સરવાળા કરતાં વધી શકતો નથી.
વિધાન $(d)$ માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જો બધા સદિશો ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હોય. સામાન્ય રીતે,તે સાચું નથી. તેથી,વિધાન $(d)$ ખોટું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(a)$ અને $(b)$ છે.

(C) આપેલ છે કે સદિશોના મૂલ્યો $P = 5$,$Q = 12$ અને $R = 13$ છે.
અહીં $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ થાય છે,તેથી આ સદિશો એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે જેમાં $\vec R$ એ કર્ણ છે.
સદિશો $\vec P$,$\vec Q$ અને $\vec R$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,ખૂણો $\theta$ એ $\vec Q$ અને $\vec R$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{Q}{R}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{12}{13}$ મળે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{12}{13})$ થાય.

(B) સદિશ $\vec{A}$ અને સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ છે.
પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
આપેલ કિંમતો $A = 5 \, m$,$B = 12 \, m$ અને $\theta = 90^\circ$ મૂકતા:
$R = \sqrt{5^2 + 12^2 + 2(5)(12) \cos 90^\circ}$
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી:
$R = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
આમ,પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $13 \, m$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સદિશ $\vec{\ell}_1$ છે અને અંતિમ સદિશ $\vec{\ell}_2$ છે. બંનેનું મૂલ્ય $\ell$ છે,તેથી $|\vec{\ell}_1| = |\vec{\ell}_2| = \ell$ થાય.
શીર્ષના સ્થાન સદિશમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{\ell} = \vec{\ell}_2 - \vec{\ell}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{|\vec{\ell}_2|^2 + |\vec{\ell}_1|^2 - 2|\vec{\ell}_2||\vec{\ell}_1| \cos \theta}$ થાય.
મૂલ્યો મૂકતા,$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{\ell^2 + \ell^2 - 2\ell^2 \cos \theta}$ મળે.
$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{2\ell^2(1 - \cos \theta)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{2\ell^2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{4\ell^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$.
$|\Delta \vec{\ell}| = 2\ell \sin \frac{\theta}{2}$.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ થાય.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}|$.
આનું સાદું રૂપ $|2\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AC}|$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ $a$ હોવાથી,$|\overrightarrow{AC}| = a$ થાય.
તેથી,$|2\overrightarrow{AC}| = 2a$ મળે.
આને આપેલ પદ $na$ સાથે સરખાવતા,$na = 2a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) અહીં,બે બળો $A = 3 \, N$ અને $B = 4 \, N$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
બંને બળો પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી બળ $R$ નીચે મુજબ મળે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$R = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos 90^\circ}$
$\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, N$
$4 \, N$ ના બળ સાથે પરિણામી બળનો ખૂણો:
$\tan \alpha = \frac{3}{4} \implies \alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$.

(A) પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $C = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $C = A + B$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$A + B = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$
$A^2 + B^2 + 2AB = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$
બંને બાજુથી $A^2 + B^2$ બાદ કરતા:
$2AB = 2AB \cos \theta$
ધારો કે $A, B \neq 0$,તો $2AB$ વડે ભાગતા:
$1 = \cos \theta$
તેથી,$\theta = 0$.

(A) પગલું $1$: સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ છે. તો $\vec{a} = \vec{P}$,$\vec{b} = \vec{Q}$ અને $\vec{c} = \vec{R}$ થશે.
પગલું $2$: મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ:
$\vec{R} = \frac{\vec{P} + \vec{Q}}{2}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
તેથી,$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$.

(B) ધારો કે $|\vec{A}| = |\vec{B}| = A$.
આપેલ છે કે $|\vec{A} + \vec{B}| = A$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર: $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$-1 = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -1/2$.
તેથી,$\theta = 120^o$.

(B) સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું મૂલ્ય:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos 90^\circ} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સદિશ $\vec{A}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{12 \sin 90^\circ}{5 + 12 \cos 90^\circ} = \frac{12 \times 1}{5 + 12 \times 0} = \frac{12}{5}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(12/5)$.
સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $20^\circ$ નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નો $X$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha + 20^\circ = \tan^{-1}(12/5) + 20^\circ$ થશે.

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ પર તેમનું પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = (x + y)$,$B = (x - y)$,અને $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y) \cos \theta$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 = (x^2 + y^2 + 2xy) + (x^2 + y^2 - 2xy) + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
ગોઠવણી કરતા: $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
$-(x^2 + y^2) = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-(x^2 + y^2)}{2(x^2 - y^2)}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{-(x^2 + y^2)}{2(x^2 - y^2)} \right)$.

(C) ધારો કે ઉદ્ગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.
પ્રથમ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_1}$ એ પૂર્વ (x-અક્ષ) સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે $6 \, km$ છે.
$\vec{d_1} = 6 \cos 45^\circ \hat{i} + 6 \sin 45^\circ \hat{j} = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j}$.
બીજો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_2}$ એ પૂર્વ સાથે $135^\circ$ ના ખૂણે $4 \, km$ છે.
$\vec{d_2} = 4 \cos 135^\circ \hat{i} + 4 \sin 135^\circ \hat{j} = 4 \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j}$.
પરિણામી સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{s} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \hat{i} + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \hat{j} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j}$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{s}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.

(D) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = x$ અને $|\overrightarrow{C}| = x\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = -\overrightarrow{C}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos(\theta_{AB}) = |\overrightarrow{C}|^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + x^2 + 2x^2\cos(\theta_{AB}) = (x\sqrt{2})^2 = 2x^2$.
$2x^2 + 2x^2\cos(\theta_{AB}) = 2x^2$,જે દર્શાવે છે કે $\cos(\theta_{AB}) = 0$,તેથી $\theta_{AB} = 90^\circ$.
સદિશો એક બંધ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી સદિશો વચ્ચેના ખૂણા $90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$ મળે છે.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow A = 4\hat i - 3\hat j$ અને $\overrightarrow B = 6\hat i + 8\hat j$ છે.
સદિશોનો સરવાળો: $\overrightarrow A + \overrightarrow B = (4+6)\hat i + (-3+8)\hat j = 10\hat i + 5\hat j$.
મૂલ્ય: $|\overrightarrow A + \overrightarrow B| = \sqrt{(10)^2 + (5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
દિશા: $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 20\hat{j} \, m/s$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
વળાંક લીધા પછી,અંતિમ વેગ $\vec{v}_2 = -20\hat{i} \, m/s$ (પશ્ચિમ દિશામાં) છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta \vec{v} = -20\hat{i} - 20\hat{j} = -20(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-20)^2 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ છે.
દિશા $\tan \theta = \frac{|\Delta v_y|}{|\Delta v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^\circ$.
બંને ઘટકો ઋણ હોવાથી,દિશા દક્ષિણ-પશ્ચિમ $(S-W)$ છે.

(B) ધારો કે બે એકમ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જ્યાં $|\vec{A}| = 1$ અને $|\vec{B}| = 1$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો પણ એક એકમ સદિશ છે: $|\vec{A} + \vec{B}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = 1^2$.
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 1$,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1 \implies 2 + 2 \cos \theta = 1 \implies 2 \cos \theta = -1 \implies \cos \theta = -1/2$.
હવે,આપણે તેમના તફાવતનું મૂલ્ય શોધવાનું છે: $|\vec{A} - \vec{B}|$.
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{A} - \vec{B}|^2 = 1 + 1 - 2(1)(1)(-1/2)$.
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{3}$.

(D) $x = 0$ ની રેખા એ $y$-અક્ષ દર્શાવે છે. તેથી,$y$-અક્ષની દિશામાં લાગતું બળ ${F_1} = 1\,N$ ને ${\overrightarrow F _1} = 1\hat j$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$y = 0$ ની રેખા એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે. તેથી,$x$-અક્ષની દિશામાં લાગતું બળ ${F_2} = 2\,N$ ને ${\overrightarrow F _2} = 2\hat i$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
પરિણામી બળ $\overrightarrow F$ એ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\overrightarrow F = {\overrightarrow F _1} + {\overrightarrow F _2} = 2\hat i + 1\hat j$.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow A = 2\hat i + \hat j$,$\overrightarrow B = 3\hat j - \hat k$ અને $\overrightarrow C = 6\hat i - 2\hat k$ છે.
આપણે $\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C$ પદાવલિની ગણતરી કરવાની છે.
આપેલ સદિશોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (2\hat i + \hat j) - 2(3\hat j - \hat k) + 3(6\hat i - 2\hat k)$
$= 2\hat i + \hat j - 6\hat j + 2\hat k + 18\hat i - 6\hat k$
$\hat i$,$\hat j$ અને $\hat k$ ના ઘટકોને જૂથબદ્ધ કરતા:
$= (2 + 18)\hat i + (1 - 6)\hat j + (2 - 6)\hat k$
$= 20\hat i - 5\hat j - 4\hat k$.

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ ના તફાવતનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|A-B| = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|\cos\theta}$
અહીં $|A| = 2$,$|B| = 4$,અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$|A-B| = \sqrt{2^2 + 4^2 - 2(2)(4)\cos(60^{\circ})}$
$|A-B| = \sqrt{4 + 16 - 16 \times \frac{1}{2}}$
$|A-B| = \sqrt{20 - 8}$
$|A-B| = \sqrt{12}$
$|A-B| = 2\sqrt{3}$

(D) ધારો કે સદિશો $A$ અને $B$ નું માન $|A| = |B| = a$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ $R = A - B$ ને ધ્યાનમાં લો. આને $R = A + (-B)$ તરીકે લખી શકાય છે.
સદિશ $-B$ નું માન સદિશ $B$ ના માન જેટલું જ એટલે કે $a$ છે.
$A$ અને $-B$ વચ્ચેનો ખૂણો $(180^{\circ} - \theta)$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી સદિશ $R$ એ $A$ અને $-B$ સાથે એક ત્રિકોણ બનાવે છે.
કારણ કે $|A| = |-B| = a$,તેથી $A$,$-B$ અને $R$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
$A$ અને $R$ (જે $A - B$ છે) વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ આ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયાનો ખૂણો છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. $A$ અને $-B$ વચ્ચેનો ખૂણો $(180^{\circ} - \theta)$ છે.
તેથી,$2\alpha + (180^{\circ} - \theta) = 180^{\circ}$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા,આપણને $2\alpha = \theta$ મળે છે,અથવા $\alpha = \frac{\theta}{2}$.
આમ,ખૂણો $\alpha$ એ $\theta$ ($A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો) પર આધાર રાખે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) બે બળો $F_1$ અને $F_2$ જે $\theta$ ખૂણે કાર્યરત હોય,તેનું પરિણામી બળ $R$ નું સૂત્ર $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
$6\,N$ અને $8\,N$ ના બે બળો માટે,મહત્તમ પરિણામી બળ $F_1 + F_2 = 6 + 8 = 14\,N$ છે (જ્યારે $\theta = 0^\circ$ હોય).
ન્યૂનતમ પરિણામી બળ $|F_1 - F_2| = |6 - 8| = 2\,N$ છે (જ્યારે $\theta = 180^\circ$ હોય).
તેથી,પરિણામી બળ $[2\,N, 14\,N]$ ની રેન્જમાં હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $11\,N$ આ રેન્જમાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ છે,જ્યાં $|\vec{P}| = |\vec{Q}| = A$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$R = \sqrt{2A^2 \cdot 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{4A^2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = 2A \cos \frac{\theta}{2}$ મળે છે.
બે સદિશોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,પરિણામી સદિશ તેમની વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક બને છે. તેથી,દિશા ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશામાં હોય છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $P + Q + R = 0$ છે.
આપણે તેને $P + Q = -R$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ માન (magnitude) લેતા,આપણને $|P + Q| = |-R|$ મળે છે.
સદિશનું માન હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$|-R| = |R|$ થાય છે.
તેથી,$|P + Q| = |R|$.
આમ,સાચું વિધાન $|P + Q| = |R|$ છે.

(C) પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
આપેલ છે: $A = 3$,$B = 4$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$R = \sqrt{9 + 16 + 24(0.5)}$
$R = \sqrt{25 + 12}$
$R = \sqrt{37} \text{ units}$.

(C) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,ત્યારે તેમનો સરવાળો વિરુદ્ધ ક્રમમાં લેવાયેલી ત્રીજી બાજુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,જો આપણે સદિશ $\overrightarrow e$ ની પૂંછડીને સદિશ $\overrightarrow d$ ના શીર્ષ પર મૂકીએ,તો પરિણામી સદિશ $\overrightarrow f$ એ $\overrightarrow d$ ની પૂંછડીને $\overrightarrow e$ ના શીર્ષ સાથે જોડે છે.
તેથી,$\overrightarrow d + \overrightarrow e = \overrightarrow f$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સરવાળાનું માન આ મુજબ છે: $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના તફાવતનું માન આ મુજબ છે: $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
આપેલ છે કે $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^2 + B^2$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
કારણ કે $A$ અને $B$ શૂન્યતર સદિશો છે,$4AB \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^o$.

(C) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
પ્રથમ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_1} = 6 \cos(45^o) \hat{i} + 6 \sin(45^o) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j}$.
બીજો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_2} = 4 \cos(135^o) \hat{i} + 4 \sin(135^o) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j}$.
પરિણામી સ્થાનાંતર $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \hat{i} + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \hat{j} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j}$.
મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.
પૂર્વ દિશા સાથેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x}) = \tan^{-1}(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \tan^{-1}(5)$.

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય ત્યારે તેમનું પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = (x + y)$,$B = (x - y)$ અને $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y) \cos \theta$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
ગોઠવણી કરતા: $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
$- (x^2 + y^2) = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{x^2 + y^2}{2(x^2 - y^2)}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{x^2 + y^2}{2(x^2 - y^2)}\right)$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{R}_1 = \vec{A} + \vec{B}$ અને $\vec{R}_2 = \vec{A} - \vec{B}$.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{R}_1$ માટે,મૂલ્યનો વર્ગ $R_1^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ થાય.
$\vec{R}_2$ માટે,$\vec{A}$ અને $-\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(180^\circ - \theta)$ છે,તેથી $R_2^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(180^\circ - \theta) = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$ થાય.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$R_1^2 + R_2^2 = (A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) + (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$
$R_1^2 + R_2^2 = 2(A^2 + B^2)$.

(B) આપેલ સદિશો $A = 2 \hat{i} + \hat{j}$,$B = 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $C = 6 \hat{i} - 2 \hat{k}$ છે.
આપણે $A - 2B + 3C$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આપેલ સદિશોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$A - 2B + 3C = (2 \hat{i} + \hat{j}) - 2(3 \hat{j} - \hat{k}) + 3(6 \hat{i} - 2 \hat{k})$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k} + 18 \hat{i} - 6 \hat{k}$
$\hat{i}$,$\hat{j}$ અને $\hat{k}$ ના ઘટકોને સાથે લેતા:
$= (2 + 18) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (2 - 6) \hat{k}$
$= 20 \hat{i} - 5 \hat{j} - 4 \hat{k}$

(C) બે સદિશો $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તેમનું પરિણામી બળ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
અહીં $F_1 = 3 \ N$,$F_2 = 5 \ N$ અને $\theta = 60^o$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos 60^o}$.
$\cos 60^o = 0.5$ હોવાથી,$R = \sqrt{9 + 25 + 30(0.5)} = \sqrt{34 + 15} = \sqrt{49} = 7 \ N$.
આ બે બળોને સંતુલિત કરતું બળ પરિણામી બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવતું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તેથી,સંતુલિત કરનાર બળનું મૂલ્ય $7 \ N$ છે.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1 = P + Q$ અને $F_2 = P - Q$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ છે. દ્વિભાજક તેને દરેક $\alpha$ ના બે ખૂણામાં વિભાજિત કરે છે.
જો પરિણામી બળ દ્વિભાજક સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે,તો પરિણામી બળ અને $F_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\alpha - \theta)$ થાય અને પરિણામી બળ અને $F_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\alpha + \theta)$ થાય.
પરિણામી બળને લંબ ઘટકો લેતા,તે એકબીજાને નાબૂદ કરશે:
$(P + Q) \sin (\alpha - \theta) = (P - Q) \sin (\alpha + \theta)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$P \sin (\alpha - \theta) + Q \sin (\alpha - \theta) = P \sin (\alpha + \theta) - Q \sin (\alpha + \theta)$
$P$ અને $Q$ ને અલગ કરતા:
$Q [\sin (\alpha + \theta) + \sin (\alpha - \theta)] = P [\sin (\alpha + \theta) - \sin (\alpha - \theta)]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ અને $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2 \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q [2 \sin \alpha \cos \theta] = P [2 \cos \alpha \sin \theta]$
બંને બાજુ $2 \cos \alpha \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$Q \tan \alpha = P \tan \theta$
આમ,$P \tan \theta = Q \tan \alpha$.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જેમના માન $A = 3$ અને $B = 4$ છે. ધારો કે $\vec{R}$ તેમનું પરિણામી સદિશ છે.
જો આપણે બંને સદિશોને પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ ને લંબ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ,તો આ ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ,કારણ કે પરિણામી સદિશનો તેની પોતાની દિશાને લંબ કોઈ ઘટક હોતો નથી.
આમ,$3$ માન ધરાવતા સદિશનો $\vec{R}$ ને લંબ ઘટક અને $4$ માન ધરાવતા સદિશનો $\vec{R}$ ને લંબ ઘટક માન સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
તેથી,$3 \sin \alpha = 4 \sin \beta$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સદિશોના સરવાળા માટે,તેનું મૂલ્ય $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{3} \approx 1.732$.
કારણ કે $1.732 > 1$,તેથી $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ થાય છે.
સદિશોના તફાવત માટે,તેનું મૂલ્ય $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos 60^{\circ}} = \sqrt{1 + 1 - 2(0.5)} = \sqrt{1} = 1$.
આમ,સાચું વિધાન $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ છે.