Addition and Subtraction of Vectors Questions in Gujarati

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી $R$ એ $|A-B| \leq R \leq |A+B|$ ની રેન્જમાં હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $|1-2| \leq R \leq |1+2| \implies 1 \leq R \leq 3$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $|2-5| \leq R \leq |2+5| \implies 3 \leq R \leq 7$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $|3-6| \leq R \leq |3+6| \implies 3 \leq R \leq 9$. અહીં $3$ રેન્જમાં હોવાથી,પરિણામી $3$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $|4-8| \leq R \leq |4+8| \implies 4 \leq R \leq 12$. રેન્જ $[4, 12]$ છે. $3$ આ રેન્જમાં ન હોવાથી,પરિણામી ક્યારેય $3$ એકમ હોઈ શકે નહીં.

(D) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ છે.
ધારો કે પરિણામી બળ $R = 10 \,kg$-wt એ બળ $F_1$ ને લંબ છે.
પરિણામી બળ $F_1$ સાથે બનાવે છે તે ખૂણા $\alpha$ માટેનું સૂત્ર:
$\tan \alpha = \frac{F_2 \sin \theta}{F_1 + F_2 \cos \theta}$
પરિણામી બળ $F_1$ ને લંબ હોવાથી, $\alpha = 90^{\circ}$, તેથી $\tan 90^{\circ} = \infty$.
આનો અર્થ એ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $F_1 + F_2 \cos 120^{\circ} = 0$.
$F_1 + F_2 (-0.5) = 0 \implies F_1 = 0.5 F_2 \implies F_2 = 2 F_1$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos 120^{\circ}$ દ્વારા મળે છે.
$10^2 = F_1^2 + (2 F_1)^2 + 2 F_1 (2 F_1) (-0.5)$.
$100 = F_1^2 + 4 F_1^2 - 2 F_1^2 = 3 F_1^2$.
$F_1^2 = \frac{100}{3} \implies F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt.
આમ, પરિણામી બળને લંબ રહેલું બળ $\frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt છે.

(D) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું મહત્તમ પરિણામી મૂલ્ય $R_{max} = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સદિશો $A$ અને $B$ નું ન્યૂનતમ પરિણામી મૂલ્ય $R_{min} = A - B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$R_{max} = n \cdot R_{min}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $A + B = n(A - B)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $A + B = nA - nB$.
$A$ અને $B$ ના પદોને એકસાથે લાવતા: $A - nA = -nB - B$.
$A(1 - n) = -B(n + 1)$.
બંને બાજુ $B(1 - n)$ વડે ભાગતા: $\frac{A}{B} = \frac{-(n + 1)}{1 - n}$.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા: $\frac{A}{B} = \frac{n + 1}{n - 1}$.

(B) ધારો કે ત્રણ સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$,અને $\vec{C}$ છે. દરેક સદિશનું મૂલ્ય $A = B = C = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ $(60^\circ)$ હોવાથી,આપણે તેમને $3D$ યામ પદ્ધતિમાં મૂકી શકીએ છીએ.
ધારો કે $\vec{A} = A \hat{i}$.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,$\vec{B} = A(\cos 60^\circ \hat{i} + \sin 60^\circ \hat{j}) = A(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$.
ત્રીજા સદિશ $\vec{C}$ માટે,તે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બંને સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C}$ છે.
મૂલ્યનો વર્ગ $R^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB \cos 60^\circ + BC \cos 60^\circ + CA \cos 60^\circ)$ થાય.
$R^2 = 3A^2 + 2(3 \cdot A^2 \cdot \frac{1}{2}) = 3A^2 + 3A^2 = 6A^2$.
અહીં $A = 3 \sqrt{1.5} = 3 \sqrt{\frac{3}{2}}$ હોવાથી,$A^2 = 9 \cdot \frac{3}{2} = 13.5$.
$R^2 = 6 \times 13.5 = 81$.
તેથી,$R = \sqrt{81} = 9$ એકમ.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\overrightarrow{A} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (2+2) \hat{i} + (3-7) \hat{j} + (4-4) \hat{k} = 4 \hat{i} - 4 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ છે.
પરિણામી સદિશ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનતો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{R_x}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R_x = 4$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ મળે.

(C) ધારો કે બે બળો $F_1 = 5x$ અને $F_2 = 3x$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $R = 35 \ N$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બે સદિશોના પરિણામી બળનું સૂત્ર $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{(5x)^2 + (3x)^2 + 2(5x)(3x) \cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$,તેથી $35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 30x^2(0.5)}$.
$35 = \sqrt{25x^2 + 9x^2 + 15x^2} = \sqrt{49x^2} = 7x$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 35 / 7 = 5$.
તેથી,$F_1 = 5 \times 5 = 25 \ N$ અને $F_2 = 3 \times 5 = 15 \ N$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જ્યાં $|\vec{A}|$ એ નાનું મૂલ્ય છે.
આપેલ છે: $|\vec{A}| + |\vec{B}| = 18$ અને $|\vec{R}| = 12$.
ધારો કે $|\vec{A}| = x$,તો $|\vec{B}| = 18 - x$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ નાના સદિશ $\vec{A}$ સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે હોવાથી,સંબંધ મળે: $|\vec{R}|^2 + |\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$.
કિંમતો મૂકતા: $12^2 + x^2 = (18 - x)^2$.
$144 + x^2 = 324 + x^2 - 36x$.
$36x = 324 - 144$.
$36x = 180$.
$x = 5$.
આમ,$|\vec{A}| = 5$ અને $|\vec{B}| = 18 - 5 = 13$.

(B) સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = 45^{\circ}$ છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{a}$ સાથે જે ખૂણો $\phi$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan(\phi) = \frac{|\vec{b}| \sin(\theta)}{|\vec{a}| + |\vec{b}| \cos(\theta)}$
આપેલ કિંમતો $|\vec{b}| = 2$,$\theta = 60^{\circ}$,અને $\phi = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{2 \sin(60^{\circ})}{|\vec{a}| + 2 \cos(60^{\circ})}$
કારણ કે $\tan(45^{\circ}) = 1$,$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$1 = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{|\vec{a}| + 2 \times (\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{|\vec{a}| + 1}$
$|\vec{a}| + 1 = \sqrt{3}$
$|\vec{a}| = \sqrt{3} - 1$ એકમ.

(D) ધારો કે સદિશ $P = P \hat{i}$ છે.
સદિશ $Q$ નું મૂલ્ય $10 \ m$ હોવાથી,$Q = 10 \cos \theta \hat{i} + 10 \sin \theta \hat{j}$ લો.
પરિણામી સદિશ $R = P + Q = (P + 10 \cos \theta) \hat{i} + (10 \sin \theta) \hat{j}$ થાય.
આપેલ છે કે પરિણામી સદિશ $Y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી તેનો $X$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$P + 10 \cos \theta = 0 \Rightarrow 10 \cos \theta = -P$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $R = 10 \sin \theta$ છે.
આપણને $R = 2P$ આપેલ છે,તેથી $10 \sin \theta = 2P \Rightarrow 5 \sin \theta = P$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(P/5)^2 + (-P/10)^2 = 1$.
$P^2/25 + P^2/100 = 1$.
$(4P^2 + P^2) / 100 = 1 \Rightarrow 5P^2 = 100$.
$P^2 = 20 \Rightarrow P = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \ m$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i$ છે અને અંતિમ વેગ $\vec{v}_f$ છે. તેમના મૂલ્યો $|\vec{v}_i| = \sqrt{5} \ m/s$ અને $|\vec{v}_f| = 2\sqrt{5} \ m/s$ આપેલા છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_f - \vec{v}_i| = 5 \ m/s$ છે.
સદિશ બાદબાકીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$|\Delta \vec{v}|^2 = |\vec{v}_f|^2 + |\vec{v}_i|^2 - 2|\vec{v}_f||\vec{v}_i| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}_i$ અને $\vec{v}_f$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2(2\sqrt{5})(\sqrt{5}) \cos \theta$
$25 = 20 + 5 - 2(2 \times 5) \cos \theta$
$25 = 25 - 20 \cos \theta$
$0 = -20 \cos \theta$
$\cos \theta = 0$
$\theta = 90^{\circ}$.
આમ,પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે બે બળો સદિશ સ્વરૂપે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
તેમનો સદિશ સરવાળો $(\vec{A} + \vec{B})$ છે અને તેમનો સદિશ તફાવત $(\vec{A} - \vec{B})$ છે.
જેમ કે સદિશ સરવાળો અને સદિશ તફાવત એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
કારણ કે ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,તેથી પદો રદ થાય છે:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
તેથી,બંને બળોના મૂલ્યો સમાન છે.

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ સદિશ સરવાળાના નિયમ (ત્રિકોણનો નિયમ) મુજબ:
$\triangle PQR$ માં,સદિશ $B$ અને $E$ ક્રમમાં છે,અને $A$ એ ત્રિકોણને પૂર્ણ કરતો પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$A = B + E$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $E = A - B$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $-E = -(A - B) = -A + B$.
$\triangle PSR$ માં,સદિશ $A$ અને $D$ ક્રમમાં છે,અને $C$ એ પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$C = A + D$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $A = C - D$ મળે છે,જેને $A = -D + C$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણો છે:
$A_1+A_2=5 A_3$ ---$(i)$
$A_1-A_2=3 A_3$ ---(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2 A_1 = 8 A_3 \Rightarrow A_1 = 4 A_3$
કારણ કે $A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$,તેથી $A_1 = 4(2 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 8 \hat{i} + 16 \hat{j}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$2 A_2 = 2 A_3 \Rightarrow A_2 = A_3 = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$.
હવે,મૂલ્યોનો ગુણોત્તર શોધતા:
$\frac{|A_1|}{|A_2|} = \frac{|8 \hat{i} + 16 \hat{j}|}{|2 \hat{i} + 4 \hat{j}|} = \frac{\sqrt{8^2 + 16^2}}{\sqrt{2^2 + 4^2}}$
$= \frac{\sqrt{64 + 256}}{\sqrt{4 + 16}} = \frac{\sqrt{320}}{\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{320}{20}} = \sqrt{16} = 4$.

(A) આપેલ સદિશો $r_1 = 2 \hat{x}$ અને $r_2 = 2 \hat{y}$ છે.
તેમનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 2 \hat{x} + 2 \hat{y}$ થાય.
કોઈ સદિશ $A = a \hat{x} + b \hat{y}$ નું મૂલ્ય $|A| = \sqrt{a^2 + b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$|r_1 + r_2| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$\sqrt{8}$ નું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે, જ્યાં $F_1$ નાનું બળ છે.
આપેલ છે: $F_1 + F_2 = 25$ (સમીકરણ $1$)
પરિણામી બળ $R$ એ $F_1$ ને લંબ છે. પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R = 10 \,N$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ, $R \perp F_1$ હોવાથી, $F_1$, $R$ અને $F_2$ (કર્ણ તરીકે) એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$
$F_2^2 - F_1^2 = 10^2 = 100$
$(F_2 - F_1)(F_2 + F_1) = 100$
સમીકરણમાં $F_1 + F_2 = 25$ મૂકતા:
$(F_2 - F_1)(25) = 100$
$F_2 - F_1 = 4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા:
$2F_2 = 29 \implies F_2 = 14.5 \,N$
સમીકરણ $1$ માંથી $2$ બાદ કરતા:
$2F_1 = 21 \implies F_1 = 10.5 \,N$
આમ, બે બળો $14.5 \,N$ અને $10.5 \,N$ છે.

(A) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે, જ્યાં $F_1$ નાનું બળ છે. ધારો કે $F_1 = x$.
આપેલ છે કે બળોના મૂલ્યોનો સરવાળો $16 \,N$ છે, તેથી $F_2 = 16 - x$.
પરિણામી બળ $R = 8 \,N$ એ નાના બળ $F_1$ ને લંબ છે.
સદિશ ત્રિકોણ અથવા પરિણામી બળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા, આપણને સંબંધ મળે છે: $F_2^2 = F_1^2 + R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(16 - x)^2 = x^2 + 8^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $256 + x^2 - 32x = x^2 + 64$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $256 - 32x = 64$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $32x = 256 - 64 = 192$.
$x = \frac{192}{32} = 6 \,N$.
તેથી, નાનું બળ $F_1 = 6 \,N$ અને મોટું બળ $F_2 = 16 - 6 = 10 \,N$ છે.
આમ, બળો $6 \,N$ અને $10 \,N$ છે.

(B) ધારો કે બે સદિશોના મૂલ્યો $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = a$ છે.
પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ એ સદિશ $\overrightarrow{A}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$
અહીં $A = B = a$ હોવાથી:
$\tan \alpha = \frac{a \sin \theta}{a + a \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$ અને $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})}{2 \cos^2(\frac{\theta}{2})} = \tan(\frac{\theta}{2})$
તેથી,$\alpha = \frac{\theta}{2}$.
આ દર્શાવે છે કે પરિણામી સદિશ સમાન મૂલ્યના બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$1$. વ્યક્તિ $30 \,m$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે: સ્થાન $(0, 30)$ થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ $20 \,m$ પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે: સ્થાન $(20, 30)$ થાય છે.
$3$. અંતે $30 \sqrt{2} \,m$ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં ગતિ કરે છે. દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશા દક્ષિણ અને પશ્ચિમ અક્ષો સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ સ્થાનાંતરના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = -30 \sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
$\Delta y = -30 \sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
નવું સ્થાન = $(20 - 30, 30 - 30) = (-10, 0)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(-10, 0)$ સુધીનું સ્થાનાંતર પશ્ચિમ દિશામાં $10 \,m$ છે.