Addition and Subtraction of Vectors Questions in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સદિશ $\overrightarrow{A_{1}} = \overrightarrow{A}$ છે.
દિશા ઉલટાવવામાં આવતી હોવાથી,અંતિમ સદિશ $\overrightarrow{A_{2}} = -\overrightarrow{A}$ થશે.
$(i)$ સદિશમાં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$\Delta \overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_{2}} - \overrightarrow{A_{1}}$
$\Delta \overrightarrow{A} = -\overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} = -2\overrightarrow{A}$.
$(ii)$ સદિશમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય:
$|\Delta \overrightarrow{A}| = |-2\overrightarrow{A}| = 2|\overrightarrow{A}| = 2A$.

(A) સદિશ સરવાળાના બહુકોણના નિયમ મુજબ,જો ઘણા બધા સદિશોને એક બંધ બહુકોણની બાજુઓ દ્વારા સમાન ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો પરિણામી સદિશ શૂન્ય થાય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પાંચ સદિશો $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D},$ અને $\vec{E}$ ને ચક્રીય ક્રમમાં ગોઠવેલા છે જે એક બંધ નિયમિત પંચકોણ બનાવે છે.
તેથી,પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D} + \vec{E} = 0$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $0$ છે.

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ કણ પર લાગતા તમામ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} + \overrightarrow{F_4}$
$\overrightarrow{F} = (3\hat{i} - \hat{j} + 9\hat{k}) + (2\hat{i} - 2\hat{j} + 16\hat{k}) + (9\hat{i} + \hat{j} + 18\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} - 18\hat{k})$
ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$x$-ઘટક: $3 + 2 + 9 + 1 = 15$
$y$-ઘટક: $-1 - 2 + 1 + 2 = 0$
$z$-ઘટક: $9 + 16 + 18 - 18 = 25$
આમ,$\overrightarrow{F} = 15\hat{i} + 0\hat{j} + 25\hat{k}$.
અહીં $y$-ઘટક $0$ હોવાથી,કણ એવા સમતલમાં ગતિ કરશે જ્યાં $y = 0$ હોય,જે $xz$-સમતલ છે.

(A-II, B-III, C-I, D-IV) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પરિણામી સદિશ એ છે જે અન્ય બે સદિશોને શીર્ષ-થી-પૂંછડી જોડીને ત્રિકોણ પૂર્ણ કરે છે.
$(a) \vec a + \vec b = \vec c$ માટે,સદિશો $\vec a$ અને $\vec b$ ને શીર્ષ-થી-પૂંછડી જોડવા જોઈએ,અને $\vec c$ એ પરિણામી સદિશ છે. આકૃતિ $(ii)$ માં,$\vec a$ એ $+X$ દિશામાં,$\vec b$ એ $+Y$ દિશામાં છે અને $\vec c$ એ પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$(a) \rightarrow (ii)$.
$(b) \vec a - \vec c = \vec b$ માટે,આપણે $\vec a = \vec b + \vec c$ લખી શકીએ છીએ. આકૃતિ $(iii)$ માં,$\vec c$ એ $+X$ દિશામાં,$\vec a$ એ $+Y$ દિશામાં છે અને $\vec b$ એ $\vec c$ ના શીર્ષને $\vec a$ ના શીર્ષ સાથે જોડે છે. તેથી,$\vec c + \vec b = \vec a$,જેનો અર્થ છે કે $\vec a - \vec c = \vec b$. તેથી,$(b) \rightarrow (iii)$.
$(c) \vec b - \vec a = \vec c$ માટે,આપણે $\vec b = \vec a + \vec c$ લખી શકીએ છીએ. આકૃતિ $(i)$ માં,$\vec a$ એ $+Y$ દિશામાં,$\vec c$ એ $+X$ દિશામાં છે અને $\vec b$ એ પરિણામી સદિશ છે. તેથી,$(c) \rightarrow (i)$.
$(d) \vec a + \vec b + \vec c = 0$ માટે,સદિશોએ બંધ લૂપ બનાવવી જોઈએ. આકૃતિ $(iv)$ માં,$\vec a$ એ $-X$ દિશામાં,$\vec b$ એ $-Y$ દિશામાં છે અને $\vec c$ એ લૂપ પૂર્ણ કરતો સદિશ છે. તેથી,$(d) \rightarrow (iv)$.

(B) બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નું પરિણામી $R$ એ $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી મહત્તમ હોવા માટે,$\cos \theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^o$. તેથી,$(1-c)$.
પરિણામી ન્યૂનતમ હોવા માટે,$\cos \theta$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\cos \theta = -1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 180^o$. તેથી,$(2-a)$.
તેથી,સાચી જોડ $(1-c), (2-a)$ છે.

(D) બે સદિશોના સરવાળાનું માન $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકીનું માન $|\vec{A}-\vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{A}+\vec{B}|^2 = |\vec{A}-\vec{B}|^2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ થાય.
બંને બાજુથી સમાન પદો $|\vec{A}|^2$ અને $|\vec{B}|^2$ ને દૂર કરતા,$2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = -2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$4|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 0$ મળે.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\vec{A}| \neq 0$ અને $|\vec{B}| \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(C) આપેલ આકૃતિ પરથી,$\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
$\overrightarrow{A}$ અને $(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\beta$ શોધવા માટે,આપણે સદિશ બાદબાકી $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\overrightarrow{A}$ અને $(-\overrightarrow{B})$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશનો $\overrightarrow{A}$ સાથેનો ખૂણો $\beta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\tan \beta = \frac{|-\overrightarrow{B}| \sin(120^{\circ})}{A + |-\overrightarrow{B}| \cos(120^{\circ})}$
અહીં $|-\overrightarrow{B}| = B$ હોવાથી:
$\tan \beta = \frac{B \sin(120^{\circ})}{A + B \cos(120^{\circ})}$
$\sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$\tan \beta = \frac{B(\sqrt{3}/2)}{A + B(-1/2)} = \frac{\sqrt{3}B}{2A - B}$
આમ,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}B}{2A - B}\right)$.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$ અને $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}$. કારણ કે $\overrightarrow{P} \perp \overrightarrow{Q}$,તેથી મૂલ્યો $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$ થાય.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^{2} + |\overrightarrow{B}|^{2} + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}| \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2}) + 2(P^{2} + Q^{2}) \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})(1 + \cos \theta)}$ છે.
$\theta_{1}$ માટે,$R_{1} = \sqrt{3(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{1}) = 3 \implies \cos \theta_{1} = 0.5 \implies \theta_{1} = 60^{\circ}$.
$\theta_{2}$ માટે,$R_{2} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{2}) = 2 \implies \cos \theta_{2} = 0 \implies \theta_{2} = 90^{\circ}$.
કારણ કે $60^{\circ} < 90^{\circ}$,તેથી $\theta_{1} < \theta_{2}$ સાચું છે. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ દ્વારા વિરુદ્ધ ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
$(a)$ $\vec{C} - \vec{A} - \vec{B} = 0 \implies \vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$. આ આકૃતિ (iv) ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{C}$ એ વિરુદ્ધ ક્રમમાં પરિણામી સદિશ છે.
$(b)$ $\vec{A} - \vec{C} - \vec{B} = 0 \implies \vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$. આ આકૃતિ $(i)$ ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{A}$ એ પરિણામી સદિશ છે.
$(c)$ $\vec{B} - \vec{A} - \vec{C} = 0 \implies \vec{B} = \vec{A} + \vec{C}$. આ આકૃતિ (ii) ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{B}$ એ પરિણામી સદિશ છે.
$(d)$ $\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C} \implies \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$. આ આકૃતિ (iii) ને અનુરૂપ છે જ્યાં બધા સદિશો ચક્રીય ક્રમમાં છે.
આમ,સાચી જોડ $(a) \rightarrow (iv), (b) \rightarrow (i), (c) \rightarrow (iii), (d) \rightarrow (ii)$ છે.

(B) બે એકમ સદિશો $\hat{A}$ અને $\hat{B}$ માટે જેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે:
$|\hat{A}+\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 + 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1+2 \cos \theta} = \sqrt{2(1+\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \cos^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
$|\hat{A}-\hat{B}| = \sqrt{|\hat{A}|^2 + |\hat{B}|^2 - 2|\hat{A}||\hat{B}| \cos \theta} = \sqrt{1+1-2 \cos \theta} = \sqrt{2(1-\cos \theta)} = \sqrt{2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})} = 2 \sin \frac{\theta}{2}$.
બંને મૂલ્યોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{|\hat{A}-\hat{B}|}{|\hat{A}+\hat{B}|} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.
તેથી,$|\hat{A}-\hat{B}| = |\hat{A}+\hat{B}| \tan \frac{\theta}{2}$.

(C) ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ના મૂલ્યો $A = B = a$ છે.
સરવાળાનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos \theta} = 2a \cos(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \theta} = 2a \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}| = 2|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$.
કિંમતો મૂકતા,$2a \cos(\theta/2) = 2(2a \sin(\theta/2))$.
આથી,$\cos(\theta/2) = 2 \sin(\theta/2)$,એટલે કે $\tan(\theta/2) = 1/2$.
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(3/5)$.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{0}$.
પદોની પુનઃગોઠવણી કરતા,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએથી $\vec{Q}$ બાદ કરીએ છીએ.
આનાથી આપણને મળે છે: $\vec{P} = -\vec{Q}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{P}$ એ સદિશ $\vec{Q}$ ના મૂલ્યમાં સમાન છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\vec{P}+\vec{Q} = \vec{P}-\vec{Q}$.
સમીકરણની બંને બાજુએથી $\vec{P}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\vec{Q} = -\vec{Q}$.
બંને બાજુએ $\vec{Q}$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$2\vec{Q} = \vec{0}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\vec{Q} = \vec{0}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_f$ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $\vec{r}_i$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $\vec{r}_i = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ અને $\vec{r}_f = 5 \hat{i} + 1 \hat{j}$.
$\vec{d} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (5 \hat{i} + 1 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$.
$\vec{d} = (5 - 2) \hat{i} + (1 - 4) \hat{j} = 3 \hat{i} - 3 \hat{j}$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{d}| = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2}$ છે.
$|\vec{d}| = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$ એકમ.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ને લંબ છે.
આપેલ છે કે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $150^{\circ}$ છે.
સદિશ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$\vec{R}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.
$\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{R}$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan 30^{\circ} = \frac{R}{A} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{A} \Rightarrow A = 10\sqrt{3}$.
તેમજ,$\sin 30^{\circ} = \frac{R}{B} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{B} \Rightarrow B = 20$.
અહીં સદિશોના મૂલ્યો $A = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ અને $B = 20$ છે. તેથી નાનો સદિશ $\vec{A}$ છે જેનું મૂલ્ય $10\sqrt{3}$ છે.

(C) બે સદિશો $A$ અને $B$ વચ્ચે $\theta$ ખૂણો હોય ત્યારે તેમનું પરિણામી બળ $R$ શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ છે.
આપેલ છે: $A = 8 \, N$,$B = 15 \, N$,અને $R = 17 \, N$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$17^2 = 8^2 + 15^2 + 2(8)(15) \cos \theta$
$289 = 64 + 225 + 240 \cos \theta$
$289 = 289 + 240 \cos \theta$
બંને બાજુથી $289$ બાદ કરતા:
$0 = 240 \cos \theta$
$\cos \theta = 0$
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$ થાય.

(A) બે સદિશો $A$ અને $B$ નું પરિણામી બળ $R$ એ $|A - B| \leq R \leq |A + B|$ ની રેન્જમાં હોય છે.
અહીં $A = 10 \,N$ અને $B = 6 \,N$ આપેલ છે.
ન્યૂનતમ પરિણામી બળ $|10 - 6| = 4 \,N$ છે.
મહત્તમ પરિણામી બળ $|10 + 6| = 16 \,N$ છે.
તેથી,પરિણામી બળ $4 \,N$ અને $16 \,N$ ની વચ્ચે (સહિત) હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $15 \,N$ એ $[4 \,N, 16 \,N]$ ની રેન્જમાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે બે એકમ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જ્યાં $|\vec{A}| = 1$ અને $|\vec{B}| = 1$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ પણ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{R}| = 1$.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta = 1^2$.
$2 + 2 \cos \theta = 1 \Rightarrow 2 \cos \theta = -1 \Rightarrow \cos \theta = -1/2$.
આમ,ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ છે.
હવે,તેમના તફાવતનું મૂલ્ય $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos 120^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 120^{\circ} = -1/2$,તેથી $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{1 + 1 - 2(-1/2)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
તેથી,તફાવતનું મૂલ્ય $\sqrt{3}$ અને ખૂણો $120^{\circ}$ છે.

(D) ધારો કે બે બળો $\vec{F}_1$ અને $\vec{F}_2$ છે,જ્યાં $|\vec{F}_1| = A$ અને $|\vec{F}_2| = \frac{A}{2}$ છે.
બળો એકબીજાને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 90^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,સમીકરણ આ રીતે સાદું બને છે:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{F}| = \sqrt{A^2 + \left(\frac{A}{2}\right)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \sqrt{\frac{4A^2 + A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \frac{\sqrt{5}A}{2}$

(B) આપેલ છે કે $\vec{B} - \overrightarrow{A} = 2\hat{j}$.
સમીકરણમાં $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\vec{B} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{j}$
$\vec{B} = 2\hat{j} + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{B} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
સદિશ $\vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{B}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2^2}$
$|\vec{B}| = \sqrt{4 + 25 + 4}$
$|\vec{B}| = \sqrt{33}$

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{V}_i = V(-\hat{j})$ (દક્ષિણ દિશામાં) છે.
ધારો કે અંતિમ વેગ $\vec{V}_f = V(\hat{i})$ (પૂર્વ દિશામાં) છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta\vec{V} = \vec{V}_f - \vec{V}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta\vec{V} = V\hat{i} - (-V\hat{j}) = V\hat{i} + V\hat{j}$ મળે છે.
બળ $\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta\vec{V}}{\Delta t}$ હોવાથી,બળની દિશા એ વેગમાં થતા ફેરફાર $\Delta\vec{V}$ ની દિશામાં જ હોય છે.
સદિશ $V\hat{i} + V\hat{j}$ એ ઉત્તર-પૂર્વ દિશા દર્શાવે છે.
તેથી,બળ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં લાગે છે.

(C) બે સદિશોના સરવાળાનું મૂલ્ય $|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = B = R$ આપેલ છે,તેથી:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 + \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \cos^2(\theta/2)} = \sqrt{4R^2 \cos^2(\theta/2)} = 2R \cos(\theta/2)$.
તે જ રીતે,બે સદિશોની બાદબાકી માટે:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{2R^2(1 - \cos \theta)}$.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{2R^2 \cdot 2 \sin^2(\theta/2)} = 2R \sin(\theta/2)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે નાના બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}_1| = F$ છે.
તેથી મોટા બળનું મૂલ્ય $|\vec{F}_2| = 3F$ થશે.
પરિણામી બળ $\vec{F}_R$ નું મૂલ્ય મોટા બળ જેટલું છે,તેથી $|\vec{F}_R| = 3F$.
પરિણામી બળના મૂલ્યનું સૂત્ર $F_R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3F)^2 = F^2 + (3F)^2 + 2(F)(3F) \cos \theta$.
$9F^2 = F^2 + 9F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$9F^2 = 10F^2 + 6F^2 \cos \theta$.
$-F^2 = 6F^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{6}$.
આને $\cos \theta = \frac{1}{n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = -6$ મળે છે.
તેથી,$|n| = |-6| = 6$.

(A) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P})$ અને $\vec{B} = (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ આ બે સદિશોનો સરવાળો છે:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (2 \vec{Q} + 2 \vec{P}) + (2 \vec{Q} - 2 \vec{P})$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\vec{R} = 2 \vec{Q} + 2 \vec{Q} + 2 \vec{P} - 2 \vec{P} = 4 \vec{Q}$.
અહીં પરિણામી સદિશ $\vec{R} = 4 \vec{Q}$ એ $\vec{Q}$ નો ધન અચળાંક $(4)$ સાથેનો ગુણાકાર હોવાથી,સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{Q}$ ની દિશામાં જ છે.
તેથી,સદિશ $\vec{Q}$ અને પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{R} \perp \vec{A}$,તેથી $\vec{R}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
ભૌમિતિક રીતે,જો $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ને લંબ હોય,તો $\vec{B}$ નો $\vec{A}$ ને લંબ ઘટક એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ ના મૂલ્ય જેટલો થાય.
આકૃતિ પરથી,$\sin \phi = \frac{R}{B} = \frac{B/2}{B} = \frac{1}{2}$,જ્યાં $\phi$ એ $\vec{B}$ અને લંબ દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$\phi = 30^{\circ}$ અથવા $\cos \phi = \frac{R}{B}$ જેવી ભૂલ ટાળવા માટે,આકૃતિમાં દર્શાવેલ ખૂણો $\theta$ એ $\vec{B}$ અને લંબ દિશા વચ્ચેનો છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{R}{B} = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $\theta = 60^{\circ}$.
આમ,$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\vec{A} = a \hat{i}$ અને $\vec{B} = a \cos \omega t \hat{i} + a \sin \omega t \hat{j}$.
$\vec{A} + \vec{B} = a(1 + \cos \omega t) \hat{i} + a \sin \omega t \hat{j}$.
$|\vec{A} + \vec{B}|^2 = a^2(1 + \cos \omega t)^2 + a^2 \sin^2 \omega t = a^2(1 + 2 \cos \omega t + \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = a^2(2 + 2 \cos \omega t) = 4a^2 \cos^2(\omega t / 2)$.
તેથી,$|\vec{A} + \vec{B}| = 2a \cos(\omega t / 2)$.
તે જ રીતે,$\vec{A} - \vec{B} = a(1 - \cos \omega t) \hat{i} - a \sin \omega t \hat{j}$.
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = a^2(1 - \cos \omega t)^2 + a^2 \sin^2 \omega t = a^2(1 - 2 \cos \omega t + \cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = a^2(2 - 2 \cos \omega t) = 4a^2 \sin^2(\omega t / 2)$.
તેથી,$|\vec{A} - \vec{B}| = 2a \sin(\omega t / 2)$.
આપેલ છે કે $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{3}|\vec{A} - \vec{B}|$,તેથી $2a \cos(\omega t / 2) = \sqrt{3} \cdot 2a \sin(\omega t / 2)$.
$\tan(\omega t / 2) = 1 / \sqrt{3}$.
$\omega t / 2 = \pi / 6 \implies \omega t = \pi / 3$.
કારણ કે $\omega = \pi / 6 \text{ rad s}^{-1}$,આપણને મળે છે $(\pi / 6) \cdot t = \pi / 3$.
તેથી,$t = 2 \text{ s}$.

(A) આકૃતિ પરથી,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
ધારો કે $\vec{A} = 3\vec{a}$ અને $\vec{B} = 2\vec{b}$.
તેથી $|\vec{A}| = 3|\vec{a}| = 3(2) = 6$ અને $|\vec{B}| = 2|\vec{b}| = 2(3) = 6$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{R}| = \sqrt{|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta}$
$|\vec{R}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + 2(6)(6) \cos(120^{\circ})}$
કારણ કે $\cos(120^{\circ}) = -1/2$:
$|\vec{R}| = \sqrt{36 + 36 + 72(-1/2)}$
$|\vec{R}| = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6$.

(A) પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ શોધો.
$\vec{R} = (4\hat{i} - \hat{j}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j}) + (-\hat{k})$
$\vec{R} = (4 - 3)\hat{i} + (-1 + 2)\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન શોધો:
$|\vec{R}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$\vec{R}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u}$ એ $\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(B) ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{P}$ અને $\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $R_{1}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$R_{1}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta$ --- $(1)$
જ્યારે $\overrightarrow{Q}$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે નવો સદિશ $-\overrightarrow{Q}$ બને છે. $\overrightarrow{P}$ અને $-\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\pi - \theta)$ થાય છે.
નવા પરિણામી સદિશ $R_{2}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos(\pi - \theta)$
કારણ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = (P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta) + (P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta)$
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = 2(P^{2} + Q^{2})$

(C) આપેલ છે કે ત્રણેય સદિશોના મૂલ્યો સમાન છે,$A = B = C$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ આપેલ છે. પ્રથમ કિસ્સા માટે કોઈ ચોક્કસ શરત ન હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે સદિશો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે જે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
બીજા કિસ્સામાં,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સદિશોને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ બંધ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે.
જો કે,બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો તેમની પૂંછડીઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ હોય,તો $\vec{A} + \vec{C} = -\vec{B}$.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $|\vec{A} + \vec{C}|^2 = |-\vec{B}|^2$.
$A^2 + C^2 + 2AC \cos(\beta) = B^2$.
$A = B = C$ હોવાથી,$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$.
$2A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$.
$2A^2 \cos(\beta) = -A^2$.
$\cos(\beta) = -1/2$.
તેથી,$\beta = 120^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $\alpha$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવે છે,જે સામાન્ય રીતે $60^{\circ}$ લેવામાં આવે છે.
આમ,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{60^{\circ}}{120^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે સદિશોના માન $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે $A + B = 8$,તેથી $B = 8 - A$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે,જેનું માન $R = 4$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{A}$ અને $\vec{R}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$B^2 = A^2 + R^2$ સંબંધ મળે છે.
$B = 8 - A$ અને $R = 4$ મુકતા:
$(8 - A)^2 = A^2 + 4^2$
$64 - 16A + A^2 = A^2 + 16$
$64 - 16 = 16A$
$48 = 16A$
$A = 3$.
તેથી $B = 8 - 3 = 5$.
આમ,સદિશોના માન $3$ અને $5$ છે.

(B) સમાન મૂલ્ય $A$ ધરાવતા બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તેમના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$ છે.
અહીં $R = \frac{2A}{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{2A}{3} = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{4A^2}{9} = 2A^2(1 + \cos \theta)$.
બંને બાજુ $2A^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{9} = 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\cos \theta = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$.
તેથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{9}\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{B} = (\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k})$ અને $\vec{C} = (-2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k})$ છે.
આ સદિશોનો સરવાળો $\vec{B} + \vec{C} = (1-2)\hat{\imath} + (-2+1)\hat{\jmath} + (2-1)\hat{k} = -\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \hat{\jmath}$ ($y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ).
સરવાળાની કિંમત મૂકતા: $\vec{A} + (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath}$.
$\vec{A}$ માટે ઉકેલતા: $\vec{A} = \hat{\jmath} - (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath} + \hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k} = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - \hat{k}$.
$\vec{A}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ છે.

(A) ધારો કે બે બળો $\vec{F_1}$ અને $\vec{F_2}$ છે,જ્યાં $|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = R$ છે. પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\vec{R_{res}}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{R_{res}}| = \frac{R}{2}$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$\frac{R^2}{4} = 2R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$R^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 2 + 2 \cos \theta$.
$\frac{1}{4} - 2 = 2 \cos \theta$.
$-\frac{7}{4} = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{7}{8}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)$.

(A) ધારો કે દરેક સદિશનું મૂલ્ય $A$ છે. પરિણામી સદિશ $R$ પણ $A$ જેટલો છે.
બે સદિશોના પરિણામી સદિશનું સૂત્ર વાપરતા: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos \theta}$.
અહીં $R = A$ આપેલ છે,તેથી $A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
$\cos \theta = -1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(-0.5) = 120^{\circ}$.

(C) ધારો કે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
$\vec{C}$ નો તેની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા,આપણને $C^2 = A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}$ મળે છે.
જ્યારે $\vec{B}$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{C}'$ એ $\vec{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{A} \cdot \vec{C}' = 0$.
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\vec{A} \cdot \vec{B} = -A^2$.
આ કિંમતને $C^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
તેથી,$\vec{C}$ નું મૂલ્ય $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે સદિશ $\vec{P}$ ના ઘટકો $P_x = 1$ અને $P_y = 3$ છે. તેથી,$\vec{P} = 1\hat{i} + 3\hat{j}$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ છે. $\vec{R}$ ના ઘટકો $R_x = 5$ અને $R_y = 6$ આપેલ છે. તેથી,$\vec{R} = 5\hat{i} + 6\hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{Q} = (5\hat{i} + 6\hat{j}) - (1\hat{i} + 3\hat{j}) = (5-1)\hat{i} + (6-3)\hat{j} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$.
$\vec{Q}$ નું મૂલ્ય $|\vec{Q}| = \sqrt{Q_x^2 + Q_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ છે.
તેના માનનો વર્ગ $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ થાય ... $(1)$
જ્યારે $\vec{Q}$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે નવો સદિશ $-\vec{Q}$ બને છે. નવો પરિણામી સદિશ $\vec{S} = \vec{P} - \vec{Q}$ છે.
તેના માનનો વર્ગ $S^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta$ થાય ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$R^2 + S^2 = (P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta) + (P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta)$
$R^2 + S^2 = 2(P^2 + Q^2)$
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જેમના માન અનુક્રમે $A$ અને $B$ છે.
તેમના સરવાળાનું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta}$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેમના તફાવતનું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta}$.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta = A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^{2}+B^{2}$ બાદ કરતા:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
અહીં $A$ અને $B$ એ સદિશોના માન હોવાથી,$A \neq 0$ અને $B \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$.
આમ,$\theta = 90^{\circ}$ થાય.

(D) પ્રશ્ન મુજબ,સદિશ $P$ અને $Q$ ને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$P = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$
$Q = -6 \hat{i}$
હવે,સદિશ $(Q - P)$ ની ગણતરી કરીએ:
$Q - P = (-6 \hat{i}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$Q - P = -6 \hat{i} - 2 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$Q - P = -8 \hat{i} - 4 \hat{j}$
$-4$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$Q - P = -4(2 \hat{i} + \hat{j})$

(C) ધારો કે $\vec{P} = \vec{A} + \vec{B}$ અને $\vec{Q} = \vec{A} - \vec{B}$.
પરિણામી સદિશ $|\vec{R}|^2 = |\vec{P}|^2 + |\vec{Q}|^2 + 2|\vec{P}||\vec{Q}| \cos \phi$.
આપેલ છે કે $|\vec{R}|^2 = A^2 + B^2$.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,ગણતરી કરતા:
$A^2+B^2 = (A+B)^2 + (A-B)^2 + 2(A+B)(A-B) \cos \theta$.
$A^2+B^2 = 2(A^2+B^2) + 2(A^2-B^2) \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}$.
આમ,$\theta = \cos ^{-1}\left[\frac{-(A^2+B^2)}{2(A^2-B^2)}\right]$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશોના માનનો વર્ગ શોધો:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B^2 = A^2 + C^2$ $(35 = 14 + 21)$,જે કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય સંતોષે છે.
હવે,સદિશ સરવાળાનો સંબંધ ચકાસો:
$\vec{B} + \vec{C} = (1+2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} = \vec{A}$
આમ,$\vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$ અને $B^2 = A^2 + C^2$ એ સાચી શરત છે.

(A) પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે.
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (-2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$\vec{R} = (-2 + 1) \hat{i} + (3 + 2) \hat{j} + (1 - 4) \hat{k} = -\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$
હવે,પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નું માન શોધો:
$|\vec{R}| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$
$\vec{R}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{R} = \frac{-\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{35}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
જ્યારે $\vec{B}$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{C}'$ એ $\vec{A}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0$.
$A^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2AB \cos \theta = 0$.
આમ,$2AB \cos \theta = -A^2$.
મૂળ પરિણામી સદિશ $\vec{C}$ નું મૂલ્ય $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણમાં $2AB \cos \theta = -A^2$ મૂકતા:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
તેથી,$\vec{C}$ નું મૂલ્ય $B$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો શોધો:
$\vec{A}+\vec{B} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
$\vec{A}+\vec{B} = (2+3) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (1-2) \hat{k}$
$\vec{A}+\vec{B} = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
હવે,$(\vec{A}+\vec{B})$ નો $\vec{C}$ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે તેનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5)(3) + (-2)(2) + (-1)(1)$
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = 15 - 4 - 1 = 10$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ એ $\vec{P}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{R}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
પરિણામી સદિશની દિશા માટેનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ $\vec{R}$ અને $\vec{P}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\alpha = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 90^{\circ}$ અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$P + Q \cos \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = -\frac{P}{Q} \dots (1)$
આપેલ છે કે $|\vec{P}| = |\vec{R}|$,તેથી આપણે માનનું સૂત્ર $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ વાપરીએ.
$R = P$ મૂકતા:
$P^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$0 = Q^2 + 2PQ \cos \theta$
$Q^2 = -2PQ \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{Q}{2P} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી:
$-\frac{P}{Q} = -\frac{Q}{2P} \Rightarrow Q^2 = 2P^2 \Rightarrow Q = \sqrt{2}P$.
$Q = \sqrt{2}P$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\cos \theta = -\frac{P}{\sqrt{2}P} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 135^{\circ} = \frac{3 \pi}{4}$ રેડિયન.