Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Gujarati

(A) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં,કલા પરિવર્તનનો દર $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$ છે,જ્યાં $L$ એ ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$\frac{dm}{dt} = \frac{KA}{l} \left( \frac{\Delta \theta}{L} \right)$ મળે છે.
ધારો કે આ બિંદુ $100^{\circ}C$ વાળા છેડાથી $x$ અંતરે છે. આ બિંદુએ તાપમાન $200^{\circ}C$ છે.
$100^{\circ}C$ અને $200^{\circ}C$ વચ્ચેના ભાગ માટે (લંબાઈ $x$),ઉષ્મા પ્રવાહ વરાળ ઉત્પન્ન કરે છે: $\left( \frac{dm}{dt} \right)_{steam} = \frac{KA}{x} \left( \frac{200 - 100}{540} \right)$.
$200^{\circ}C$ અને $0^{\circ}C$ વચ્ચેના ભાગ માટે (લંબાઈ $3.1 - x$),ઉષ્મા પ્રવાહ બરફને ઓગાળે છે: $\left( \frac{dm}{dt} \right)_{ice} = \frac{KA}{3.1 - x} \left( \frac{200 - 0}{80} \right)$.
દળ બદલાવવાનો દર સમાન હોવાથી,$\frac{100}{540x} = \frac{200}{80(3.1 - x)}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$x = 0.4 \ m = 40 \ cm$ મળે છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા સમકેન્દ્રી ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
સ્થાયી અવસ્થામાં,આ કવચમાંથી પસાર થતો ઉષ્માના વહનનો ત્રિજ્યાવર્તી દર $H$ એ ફુરિયરના ઉષ્મા વહન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{{dQ}}{{dt}} = - KA\frac{{dT}}{{dr}}$
ગોળાકાર કવચનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi {r^2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$H = - K(4\pi {r^2})\frac{{dT}}{{dr}}$
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H}dT$
$r_1$ થી $r_2$ અને $T_1$ થી $T_2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{{r_1}}^{{r_2}} \frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H} \int_{{T_1}}^{{T_2}} dT$
$\left[ - \frac{1}{r} \right]_{{r_1}}^{{r_2}} = - \frac{{4\pi K}}{H} (T_2 - T_1)$
$\left( \frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}} \right) = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{{r_1}{r_2}}} = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$H$ માટે ઉકેલતા:
$H = \frac{{4\pi K{r_1}{r_2}({T_1} - {T_2})}}{{{r_2} - {r_1}}}$
આમ,ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m L_f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સ્લેબમાંથી વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{K A (T_1 - T_2) t}{L}$ છે。
બંનેને સરખાવતા, $\frac{K A (T_1 - T_2) t}{L} = m L_f$。
ઉષ્મા વાહકતા $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $K = \frac{m L_f L}{A (T_1 - T_2) t}$。
આપેલ કિંમતો: $m = 4.8\, kg$, $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$, $L = 0.1\, m$, $A = 0.36\, m^2$, $(T_1 - T_2) = 100^{\circ} C$, અને $t = 1\, \text{કલાક} = 3600\, s$。
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5 \times 0.1}{0.36 \times 100 \times 3600}$。
$K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^4}{0.36 \times 3.6 \times 10^5} = 1.24\, J/m/s/^{\circ} C$。

(B) જ્યારે આપણે કોઈ સપાટીને સ્પર્શ કરીએ છીએ,ત્યારે જો સપાટીનું તાપમાન આપણા શરીરના તાપમાન કરતા ઓછું હોય,તો ઉષ્મા આપણા શરીરમાંથી સપાટી તરફ વહે છે.
ઉષ્મા વાહકતા એ પદાર્થની ઉષ્માનું વહન કરવાની ક્ષમતાનું માપ છે.
ધાતુઓ ઉષ્માની સુવાહક છે,એટલે કે તેમની ઉષ્મા વાહકતા ઘણી વધારે હોય છે,જ્યારે લાકડું એ અવાહક છે અને તેની ઉષ્મા વાહકતા ઘણી ઓછી હોય છે.
ઠંડી સવારમાં,બંને સપાટીઓ સમાન તાપમાને (શરીરના તાપમાન કરતા ઓછી) હોય છે.
ધાતુની ઉષ્મા વાહકતા ઘણી વધારે હોવાથી,તે લાકડાની સરખામણીમાં આપણા હાથમાંથી ઉષ્મા ખૂબ જ ઝડપથી ખેંચી લે છે.
આપણી ત્વચામાંથી ઉષ્માનો આ ઝડપી વ્યય થવાને કારણે ધાતુની સપાટી સ્પર્શ કરવામાં વધુ ઠંડી લાગે છે.

(A) રસોઈના વાસણે અંદર રહેલા ખોરાકને કાર્યક્ષમ રીતે ઉષ્માનું વહન કરવું જોઈએ,જેના માટે ઉચ્ચ ઉષ્માવાહકતા $(K)$ જરૂરી છે.
વધુમાં,વાસણે પોતે જરૂરી તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે વધુ ઉષ્માનું શોષણ ન કરવું જોઈએ,જેના માટે ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(S)$ જરૂરી છે.
જો વિશિષ્ટ ઉષ્મા વધારે હોય,તો વાસણ ખોરાકને બદલે પોતાને ગરમ કરવામાં વધુ ઉર્જા વાપરશે,જે રસોઈ પ્રક્રિયાની એકંદર કાર્યક્ષમતા ઘટાડે છે.
તેથી,રસોઈના વાસણ માટે આદર્શ પદાર્થમાં ઉંચી $K$ અને નીચી $S$ હોવી જોઈએ.

(B) ઉષ્માવહનનો દર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$.
અહીં,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $L$ એ સળીયાની લંબાઈ છે.
સળીયો નળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય. જો તમામ પરિમાણો (ત્રિજ્યા $r$ અને લંબાઈ $L$) બમણા કરવામાં આવે,તો નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ અને નવી લંબાઈ $L' = 2L$ થાય.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r')^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ થાય.
ઉષ્માવહનનો નવો દર $Q_2$ આ મુજબ છે: $Q_2 = \frac{KA'(T_1 - T_2)}{L'} = \frac{K(4A)(T_1 - T_2)}{2L} = 2 \times \frac{KA(T_1 - T_2)}{L} = 2 Q_1$.
તેથી,$Q_2 = 2 Q_1$.

(A) $Ingen-Hauz$ ના પ્રયોગમાં,સળિયા પર મીણ જે લંબાઈ $l$ સુધી ઓગળે છે તે તેની ઉષ્માવાહકતા $K$ સાથે $l \propto \sqrt{K}$ સંબંધ ધરાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $K \propto l^2$.
તેથી,ઉષ્માવાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો $l_1 = 10 \ cm$ અને $l_2 = 25 \ cm$ મૂકતા:
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{10}{25} \right)^2 = \frac{100}{625} = \frac{1}{6.25}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 6.25$ છે.

(A) બરફના દળ $m$ ને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL_f$ છે,જ્યાં $L_f$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બંને પાત્રમાં બરફનું દળ સમાન હોવાથી,બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q$ બંને માટે સમાન રહેશે.
દિવાલમાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્માવાહકતા,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત અને $d$ એ જાડાઈ છે.
$t$ સમયમાં સ્થાનાંતરિત કુલ ઉષ્મા $Q = Ht = \frac{KA(\Delta T)t}{d}$ થાય.
અહીં $Q, A, \Delta T$ અને $d$ બંને પાત્રો માટે સમાન હોવાથી,$K_1 t_1 = K_2 t_2$ મળે.
તેથી,ઉષ્માવાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$ થાય.
આપેલ છે કે $t_1 = 10 \text{ min}$ અને $t_2 = 25 \text{ min}$,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $(H)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{KA \Delta T}{L}$
જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે ઉષ્માના વહનનો દર સમાન છે $(H_1 = H_2)$,લંબાઈ સમાન છે $(L_1 = L_2 = L)$,અને તાપમાનનો તફાવત પણ સમાન છે $(\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T)$.
ઉષ્માના વહન દરને સરખાવતા:
$\frac{K_1 A_1 \Delta T}{L} = \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L}$
બંને બાજુથી સમાન પદો $\Delta T$ અને $L$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$K_1 A_1 = K_2 A_2$
તેથી,જરૂરી શરત $K_1 A_1 = K_2 A_2$ છે.

(C) બરફની $x$ જાડાઈ બનવાનો દર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dx}{dt} = \frac{K\theta}{\rho L x}$, જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે, $\theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે, $\rho$ એ બરફની ઘનતા છે અને $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે。
આનું સંકલન કરતા, $x$ જાડાઈનો બરફ બનવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\rho L}{2K\theta} x^2$ મળે છે。
પ્રથમ $1 \ cm$ $(x_1 = 1 \ cm)$ માટે લાગતો સમય $t_1 = 7 \ \text{કલાક}$ છે。
તેથી, $7 = \frac{\rho L}{2K\theta} (1)^2 \implies \frac{\rho L}{2K\theta} = 7$.
હવે, $2 \ cm$ $(x_2 = 2 \ cm)$ જાડાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2 = \frac{\rho L}{2K\theta} (2)^2 = 7 \times 4 = 28 \ \text{કલાક}$ થાય。
આમ, બરફની જાડાઈ $1 \ cm$ થી $2 \ cm$ કરવા માટે લાગતો વધારાનો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 28 - 7 = 21 \ \text{કલાક}$ થશે。

(C) ઉષ્મા વહનનો દર પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = KA \frac{d\theta}{dx}$.
અહીં,$\frac{dQ/dt}{A}$ એ ઉષ્મા ફ્લક્સ છે,જે $10 \ cal/s \cdot cm^2$ આપેલ છે.
ઉષ્માવાહકતા $K = 0.5 \ cal/cm \cdot s \cdot ^\circ C$.
તાપમાન પ્રચલન $\frac{d\theta}{dx}$ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d\theta}{dx} = \frac{(dQ/dt)/A}{K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{d\theta}{dx} = \frac{10}{0.5} = 20 \ ^\circ C/cm$.

(C) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર (ઉષ્મા ફલક્સ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA \Delta \theta}{\ell}$.
આપેલ છે:
ઉષ્મા ફલક્સ $H = 4000 \, J/s = 4000 \, W$.
લંબાઈ $\ell = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
ક્ષેત્રફળ $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
ઉષ્માવાહકતા $K = 400 \, W/m^{\circ}C$.
તાપમાનના તફાવત $\Delta \theta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \theta = \frac{H \times \ell}{K \times A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 10^{-2}} = \frac{400}{4} = 100^{\circ}C$.
આમ,તાપમાનનો તફાવત $100^{\circ}C$ છે.

(B) $m$ દળના બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL_f$ છે.
ઉષ્માવહનનો નિયમ મુજબ,પાત્રની દીવાલમાંથી પસાર થતી ઉષ્મા $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{d}$ છે.
બંને પાત્ર માટે બરફનું દળ,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$,જાડાઈ $d$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મા $Q$ અચળ રહે છે.
તેથી,$K_1 t_1 = K_2 t_2$.
આના પરથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$ મળે છે.
અહીં $t_1 = 20 \text{ min}$ અને $t_2 = 35 \text{ min}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$ થાય.

(C) ગોળાકાર કવચને $dr$ જાડાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘણા પાતળા સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર સ્તરોનું બનેલું ગણી શકાય.
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા સ્તર માટે,તાપમાન પ્રચલન $-dT/dr$ છે.
આ પાતળા સ્તરનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
આ સ્તરમાંથી પસાર થતો ઉષ્માપ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{dT}{dr} = -k(4\pi r^2) \frac{dT}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $dT = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \frac{dr}{r^2}$ મળે છે.
$r_1$ થી $r_2$ સુધી તાપમાન $T_1$ થી $T_2$ માટે સંકલન કરતા:
$\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2}$.
$T_2 - T_1 = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right]$.
$T_1 - T_2 = \frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right]$.
તેથી,ઉષ્માપ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{4\pi k(T_1 - T_2)}{\left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right]}$ છે.

(A) નળાકાર સપાટીમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\pi r l = 2 \times \pi \times 0.1 \times 2 = 0.4\pi \, m^2$ છે.
આપેલ છે: $K = 390 \, W m^{-1} K^{-1}$,$T_1 = 373 \, K$,$T_2 = 273 \, K$,$L = 5 \, mm = 0.005 \, m$,અને $t = 1 \, s$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{390 \times 0.4\pi \times (373 - 273) \times 1}{0.005}$
$Q = \frac{390 \times 0.4 \times 3.14159 \times 100}{0.005}$
$Q = \frac{156 \times 3.14159 \times 100}{0.005} \approx 98 \times 10^5 \, J$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે $A$ ની ઉષ્માવાહકતા $K_A = 2K$ છે અને $B$ ની ઉષ્માવાહકતા $K_B = K$ છે.
ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $x$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્તરો શ્રેણીમાં હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ અચળ રહે છે:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{x} = \frac{K_B A \Delta T_B}{x}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2K A \Delta T_A}{x} = \frac{K A \Delta T_B}{x} \Rightarrow 2 \Delta T_A = \Delta T_B$.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 36 ^\circ C$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ મૂકતા: $\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36 ^\circ C$.
$3 \Delta T_A = 36 ^\circ C \Rightarrow \Delta T_A = 12 ^\circ C$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને પ્લેટમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
$\frac{Q}{t} = \frac{K_1 A (\theta - \theta_1)}{L_1} = \frac{K_2 A (\theta_2 - \theta)}{L_2}$
આપેલ છે: $\theta_1 = -20^{\circ}C$,$\theta_2 = 20^{\circ}C$,$L_1 = 2 \ cm$,$L_2 = 5 \ cm$,અને $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{5}$.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\theta$ છે.
કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{K_1}{L_1} (\theta - (-20)) = \frac{K_2}{L_2} (20 - \theta)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{L_2}{L_1} = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$1 = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$\theta + 20 = 20 - \theta$
$2\theta = 0$
$\theta = 0^{\circ}C$.

(A) ધારો કે સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને દિવાલોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
$\frac{k_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{k_2 A (T - T_2)}{d_2}$
$\frac{k_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{k_2 (T - T_2)}{d_2}$
$k_1 d_2 (T_1 - T) = k_2 d_1 (T - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 T = k_2 d_1 T - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = T (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$T = \frac{k_1 T_1 d_2 + k_2 T_2 d_1}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(C) ધારો કે સ્ટીલની ઉષ્માવાહકતા $K_s = K$ છે. તો કોપરની ઉષ્માવાહકતા $K_{cu} = 9K$ થશે.
કોપરના સળિયાની લંબાઈ $L_{cu} = 18 \ cm$ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_s = 6 \ cm$ છે.
છેડાઓ પરના તાપમાન $T_1 = 100 \ ^oC$ અને $T_2 = 0 \ ^oC$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે:
$\frac{K_{cu} A (T_1 - T)}{L_{cu}} = \frac{K_s A (T - T_2)}{L_s}$
જ્યાં $T$ એ જંકશનનું તાપમાન છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9K (100 - T)}{18} = \frac{K (T - 0)}{6}$
$\frac{100 - T}{2} = T$
$100 - T = 2T$
$3T = 100$
$T = \frac{100}{3} \approx 33.33 \ ^oC$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયાઓમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\phi$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સળિયા માટે: $H_1 = \frac{K A (\phi - 0)}{1}$.
બીજા સળિયા માટે: $H_2 = \frac{(3K) A (100 - \phi)}{2}$.
કારણ કે $H_1 = H_2$:
$\frac{KA\phi}{1} = \frac{3KA(100 - \phi)}{2}$
$\phi = \frac{3}{2}(100 - \phi)$
$2\phi = 300 - 3\phi$
$5\phi = 300$
$\phi = 60^{\circ}C$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલી પ્લેટોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે $A$ ક્ષેત્રફળ છે,$k_1, k_2$ ઉષ્માવાહકતા છે,અને $d_1, d_2$ જાડાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1/d_2 = 2/3$ અને $k_1/k_2 = 2/3$.
ધારો કે $k_1 = 2k, k_2 = 3k$ અને $d_1 = 2d, d_2 = 3d$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_H - T_L)}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્લેટો માટે ઉષ્મા વહનનો દર સરખાવતા:
$\frac{k_1 A (100 - T_0)}{d_1} = \frac{k_2 A (T_0 - 0)}{d_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(2k) A (100 - T_0)}{2d} = \frac{(3k) A (T_0 - 0)}{3d}$
$k \frac{A}{d} (100 - T_0) = k \frac{A}{d} (T_0)$
$100 - T_0 = T_0$
$2T_0 = 100$
$T_0 = 50 ^\circ C$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સમઘન $A$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર એ સમઘન $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $K_A = 300 \, W/m \, ^\circ C$,$K_B = 200 \, W/m \, ^\circ C$,$L_A = L_B = L$,અને $A_A = A_B = A$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને માટે ઉષ્મા પ્રવાહના દરને સરખાવતા: $\frac{K_A A (100 - t)}{L} = \frac{K_B A (t - 0)}{L}$.
$300(100 - t) = 200(t)$.
$3(100 - t) = 2t$.
$300 - 3t = 2t$.
$5t = 300$.
$t = 60 \, ^\circ C$.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $K = 0.01 \, J/(m \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 1 \, m^2$,$L = 5.0 \, cm = 0.05 \, m$,$\Delta \theta = 30 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 30 \, ^\circ C$.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.01 \times 1 \times 30}{0.05} = 6 \, J/s$.
એક દિવસમાં $(t = 86400 \, s)$ વહન પામતી કુલ ઉષ્મા: $Q = \frac{dQ}{dt} \times t = 6 \times 86400 = 518400 \, J$.
પીગળતા બરફનું દળ $m = \frac{Q}{L_f}$,જ્યાં $L_f = 334 \times 10^3 \, J/kg$.
$m = \frac{518400}{334000} \approx 1.552 \, kg$.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)t}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ બરફ પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા છે,$k$ એ ઉષ્માવાહકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$l$ એ જાડાઈ છે અને $t$ એ સમય છે.
$Q = mL = \rho V L$ હોવાથી,અને $V = 4\pi r^2 l$,તેથી $Q \propto r^2 l$ મળે.
ઉષ્મા વહનને સરખાવતા: $k \frac{r^2}{l} \Delta T t \propto r^2 l$.
આમ,$k \propto \frac{l^2}{t}$.
આપેલ છે કે $r_l = 2r_s$,$l_l = \frac{l_s}{4}$,$t_l = 25 \ min$,અને $t_s = 16 \ min$.
ગુણોત્તર $\frac{k_l}{k_s} = \left( \frac{l_l}{l_s} \right)^2 \times \frac{t_s}{t_l} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \frac{16}{25} = \frac{1}{16} \times \frac{16}{25} = \frac{1}{25}$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t}$ બંને સ્તરો માટે સમાન હોય છે.
$\frac{Q}{t} = \frac{K_A A (\theta_1 - \theta)}{L} = \frac{K_B A (\theta - \theta_2)}{L}$
અહીં ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $L$ બંને સ્તર માટે સમાન હોવાથી:
$K_A (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
આપેલ છે કે $K_A = 3 K_B$,તેથી:
$3 K_B (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
$3(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
ધારો કે $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ અને $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$.
તેથી $3 \Delta T_A = \Delta T_B$.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 20^{\circ}C$ આપેલ છે.
$\Delta T_B = 3 \Delta T_A$ કિંમત મૂકતા:
$\Delta T_A + 3 \Delta T_A = 20^{\circ}C$
$4 \Delta T_A = 20^{\circ}C$
$\Delta T_A = 5^{\circ}C$.

(A) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર (ઉષ્મા પ્રવાહ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta \theta}{\ell}$.
બંને સળિયા માટે,ઉષ્મા વાહકતા $K$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ સમાન છે.
તેથી,ઉષ્મા પ્રવાહ એ સળિયાની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{\ell}$.
સુરેખ સળિયાની લંબાઈ $\ell_{straight} = 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાની લંબાઈ $\ell_{semi} = \pi r$ છે.
આમ,અર્ધવર્તુળાકાર સળિયામાં ઉષ્મા પ્રવાહ અને સુરેખ સળિયામાં ઉષ્મા પ્રવાહનો ગુણોત્તર:
$\frac{(dQ/dt)_{semi}}{(dQ/dt)_{straight}} = \frac{\ell_{straight}}{\ell_{semi}} = \frac{2r}{\pi r} = \frac{2}{\pi}$.

(C) ત્રિજ્યા $x$ અને જાડાઈ $dx$ ધરાવતા ગોળાકાર કવચમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ ફુરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$H = -KA \frac{d\theta}{dx}$
જ્યાં $A = 4\pi x^2$ એ $x$ ત્રિજ્યાએ ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે.
તેથી,$H = -K(4\pi x^2) \frac{d\theta}{dx}$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dx}{x^2} = -\frac{4\pi K}{H} d\theta$
$r_1$ થી $r_2$ અને $T_1$ થી $T_2$ ની મર્યાદામાં સંકલન કરતા:
$\int_{r_1}^{r_2} \frac{dx}{x^2} = -\frac{4\pi K}{H} \int_{T_1}^{T_2} d\theta$
$-\left[\frac{1}{x}\right]_{r_1}^{r_2} = -\frac{4\pi K}{H} (T_2 - T_1)$
$-\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = \frac{4\pi K}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} = \frac{4\pi K (T_1 - T_2)}{H}$
$H = \frac{4\pi K (T_1 - T_2) r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
આમ,ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ $\frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) આપેલ છે: ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = 0.5 \ cal \ s^{-1}$, ત્રિજ્યા $r = 1 \ cm$, લંબાઈ $L = 2 \ m = 200 \ cm$, તાપમાન $T_1 = 250 \ ^oC$, ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.26 \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.142 \times (1)^2 = 3.142 \ cm^2$.
સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર $\frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ છે.
તાપમાનના તફાવત માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $(T_1 - T_2) = \frac{(Q/t) \times L}{KA}$.
કિંમતો મૂકતા: $(T_1 - T_2) = \frac{0.5 \times 200}{0.26 \times 3.142} = \frac{100}{0.81692} \approx 122.4 \ ^oC$.
તેથી, બીજા છેડાનું તાપમાન $T_2 = T_1 - 122.4 \ ^oC = 250 \ ^oC - 122.4 \ ^oC = 127.6 \ ^oC$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{dx}$
આપેલ છે:
ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.2 \ W/(m \cdot K)$
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \ m^2$
તાપમાનનો તફાવત $dT = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20^{\circ}C$
જાડાઈ $dx = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.2 \times 10 \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$\frac{dQ}{dt} = \frac{40}{2 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^3 = 2 \times 10^4 \ J/s$
તેથી,સેકન્ડ દીઠ વહન પામતી ઉષ્મા $2 \times 10^4 \ J$ છે.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર અને સિમેન્ટના ઇન્સ્યુલેશનમાંથી સમાન ઉષ્મા વહન દર $Q$ માટે,જો ક્ષેત્રફળ $A$,તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2)$ અને સમય $t$ અચળ હોય,તો બંને પદાર્થો માટે $\frac{K}{L}$ નો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $K_1 = 1.7 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$ અને $L_1 = 20 \ cm$ એ અનુક્રમે તારની ઉષ્માવાહકતા અને જાડાઈ છે.
ધારો કે $K_2 = 2.9 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$ અને $L_2$ એ સિમેન્ટના ઇન્સ્યુલેશનની ઉષ્માવાહકતા અને જાડાઈ છે.
ગુણોત્તરને સરખાવતા: $\frac{K_1}{L_1} = \frac{K_2}{L_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.7}{20} = \frac{2.9}{L_2}$.
$L_2$ માટે ઉકેલતા: $L_2 = \frac{2.9 \times 20}{1.7} = \frac{58}{1.7} \approx 34.12 \ cm$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પ્લેટની જાડાઈ $x_1 = 2$ અને બીજી પ્લેટની જાડાઈ $x_2 = 3$ છે. સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\theta$ છે. શ્રેણીમાં જોડાયેલ બંને પ્લેટમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{x_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{x_2}$.
$(a)$ જો તેઓ સમાન પદાર્થની બનેલી હોય,તો $K_1 = K_2 = K$. સ્થાયી અવસ્થામાં: $\frac{K A (\theta - (-25))}{2} = \frac{K A (25 - \theta)}{3}$.
$3(\theta + 25) = 2(25 - \theta) \Rightarrow 3\theta + 75 = 50 - 2\theta \Rightarrow 5\theta = -25 \Rightarrow \theta = -5^{\circ}C$.
$(b)$ જો ઉષ્માવાહકતાનો ગુણોત્તર $K_1 : K_2 = 2 : 3$ હોય,તો $\frac{2 A (\theta + 25)}{2} = \frac{3 A (25 - \theta)}{3}$.
$\theta + 25 = 25 - \theta \Rightarrow 2\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0^{\circ}C$.

(D) રસોઈના વાસણ માટે આપણને બે ગુણધર્મોની જરૂર છે:
$1$. ઉચ્ચ ઉષ્મા વાહકતા: આનાથી સ્ટવની ગરમી વાસણની અંદર રહેલા ખોરાકમાં ઝડપથી અને સમાન રીતે પહોંચી શકે છે.
$2$. ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા: આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જ્યારે ગરમી આપવામાં આવે ત્યારે વાસણનું તાપમાન ઝડપથી વધે,જે કાર્યક્ષમ રસોઈ માટે જરૂરી છે.
તેથી,ધાતુઓ આદર્શ છે કારણ કે તેમની ઉષ્મા વાહકતા વધુ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા ઓછી હોય છે.

(B) ઠંડી કે ગરમીનો અનુભવ આપણા શરીર અને પદાર્થ વચ્ચે ઉષ્માના વહનના દર પર આધાર રાખે છે.
ધાતુ ઉષ્માની સુવાહક છે,જ્યારે લાકડું ઉષ્માનું મંદ વાહક (અવાહક) છે.
જ્યારે આપણે ધાતુની સપાટીને સ્પર્શ કરીએ છીએ,ત્યારે તે આપણા શરીરમાંથી ઝડપથી ઉષ્માનું વહન કરી લે છે,જેના કારણે ઉષ્માનો વ્યય વધુ થાય છે અને ઠંડકનો અનુભવ થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,લાકડું શરીરની ઉષ્માનું એટલી કાર્યક્ષમતાથી વહન કરતું નથી,તેથી તે પ્રમાણમાં ગરમ લાગે છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે ધાતુની ઉષ્મા વાહકતા લાકડા કરતાં વધુ હોય છે.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = kA \frac{\Delta T}{L}$
આપેલ છે: $\frac{Q}{t} = 6000 \ J/s$,$L = 1 \ m$,$A = 0.75 \ m^2$,અને $k = 200 \ J/(m \cdot K)$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$6000 = 200 \times 0.75 \times \frac{\Delta T}{1}$
$6000 = 150 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{6000}{150} = 40 \ ^\circ C$
આમ,તેના છેડાઓના તાપમાનનો તફાવત $40 \ ^\circ C$ છે.

(C) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.01 \, m^2$
ઉષ્માવાહકતા $K = 400 \, W/m^\circ C$
ઉષ્મા પ્રવાહ $\frac{dQ}{dt} = 4000 \, J/s$
તાપમાનના તફાવત $\Delta \theta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \theta = \frac{(\frac{dQ}{dt}) \times l}{K \times A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 0.01}$
$\Delta \theta = \frac{400}{4} = 100^\circ C$.

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ/dt}{A} = K \left( \frac{\Delta \theta}{\Delta x} \right) = K \cdot X$,જ્યાં $X$ એ તાપમાન પ્રચલન છે.
અહીં એકમ સમયમાં એકમ આડછેદમાંથી વહેતી ઉષ્મા સમાન હોવાથી,$K \cdot X = \text{અચળ}$ થાય.
તેથી,$X \propto \frac{1}{K}$.
આપેલ ઉષ્માવાહકતાનો ક્રમ $K_c > K_m > K_g$ હોવાથી,વ્યસ્ત સંબંધ મુજબ તાપમાન પ્રચલનનો ક્રમ $X_c < X_m < X_g$ થશે.

(C) આપેલ છે: કોપરની ઉષ્મા વાહકતા $K_1 = 9K_2$,જ્યાં $K_2$ એ સ્ટીલની ઉષ્મા વાહકતા છે.
કોપરના સળિયાની લંબાઈ $l_1 = 18 \, cm$,સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $l_2 = 6 \, cm$.
છેડાઓ પરના તાપમાન $\theta_1 = 100^oC$ અને $\theta_2 = 0^oC$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે:
$\frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{l_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9K_2 (100 - \theta)}{18} = \frac{K_2 (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.33^oC$.

(C) જ્યારે ઉષ્મા સમાંતર વહેતી હોય (જેમ કે આ સંયુક્ત નળાકારમાં),ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K$ એ તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળના આધારે ભારિત સરેરાશ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
અહીં,અંદરના નળાકારની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ:
$A_1 = \pi R^2$
બહારના પોલા નળાકારની બહારની ત્રિજ્યા $2R$ અને અંદરની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેથી તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ:
$A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$
કુલ ક્ષેત્રફળ:
$A_{total} = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$
આ કિંમતોને $K$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2}$
$K = \frac{\pi R^2(K_1 + 3K_2)}{4\pi R^2}$
$K = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મીણ સમાન દરે પીગળે તે માટે,બંને સળિયા માટે ઉષ્માનો પ્રવાહ $H$ સમાન હોવો જોઈએ.
સમાન આડછેદ ધરાવતા સળિયા માટે,મીણ પીગળવાનો દર $K \propto l^2$ ના સંબંધ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$.
અહીં $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{9}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયામાંથી થતા ઉષ્મા વહનનો દર એ વાહકમાં વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહ જેવો જ છે,જ્યાં તાપમાનનો તફાવત એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતને અનુરૂપ છે અને ઉષ્મીય અવરોધ એ વિદ્યુત અવરોધને અનુરૂપ છે.
ઉષ્મા વહનના દર $\frac{dQ}{dt}$ માટેનું સૂત્ર ફૂરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$
અહીં,$k$ એ સળિયાના દ્રવ્યની ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે,અને $(T_1 - T_2)$ એ બે છેડાઓ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.

(B) $L$ લંબાઈ અને $A = \pi R^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા નળાકાર સળિયામાંથી $t$ સમયમાં વહેતી ઉષ્મા $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયાને ઓગાળીને $R' = R/2$ ત્રિજ્યાનો નવો સળિયો બનાવવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (R/2)^2 = A/4$ થાય છે.
કદ $V = AL$ અચળ રહેતું હોવાથી,$AL = A'L'$ થાય.
$A' = A/4$ મૂકતા,$AL = (A/4)L'$,જેનો અર્થ છે કે $L' = 4L$.
તે જ $t$ સમયમાં નવા સળિયા દ્વારા વહન પામતી ઉષ્મા $Q' = \frac{KA'(T_1 - T_2)t}{L'}$ છે.
$A'$ અને $L'$ ની કિંમતો મૂકતા:
$Q' = \frac{K(A/4)(T_1 - T_2)t}{4L} = \frac{1}{16} \left( \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L} \right) = \frac{Q}{16}$.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $L$ છે.
સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{K A \Delta T}{L}$ છે.
સળિયા $1$ માટે,ઉષ્મા વહનનો દર $H_1 = \frac{K_1 A_1 \Delta T}{L}$ છે.
સળિયા $2$ માટે,ઉષ્મા વહનનો દર $H_2 = \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સળિયા $1$ માં ઉષ્મા વહનનો દર સળિયા $2$ કરતા ચાર ગણો છે,તેથી $H_1 = 4 H_2$.
$H_1$ અને $H_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{K_1 A_1 \Delta T}{L} = 4 \left( \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L} \right)$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $\frac{\Delta T}{L}$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$K_1 A_1 = 4 K_2 A_2$.

(D) ધાતુના સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સૂત્ર $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $(T_2 - T_1)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_1 = 110 ^\circ C - 100 ^\circ C = 10 ^\circ C$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H_1 = 4.0 \ J/s$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_2 = 210 ^\circ C - 200 ^\circ C = 10 ^\circ C$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(H \propto \Delta T)$,અને બંને કિસ્સામાં તાપમાનનો તફાવત સમાન $(10 ^\circ C)$ રહેતો હોવાથી,ઉષ્મા વહનનો દર બદલાશે નહીં.
તેથી,$H_2 = H_1 = 4.0 \ J/s$ થશે.

(A) સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\Delta \theta)}{l}$
આપેલ છે કે ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બંને સળિયા માટે સમાન છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$\frac{K_A \Delta \theta_A}{l_A} = \frac{K_B \Delta \theta_B}{l_B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$l_A = 40\, cm$,$\Delta \theta_A = 80^\circ C$
$l_B = 60\, cm$,$\Delta \theta_B = 90^\circ C$
$\frac{K_A \times 80}{40} = \frac{K_B \times 90}{60}$
$2 K_A = 1.5 K_B$
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$
તેથી,તેમની ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(D) પદાર્થમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q/t$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\frac{mL}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
આપેલ છે કે પાત્રો કદમાં સમાન છે ($A$ અને $l$ અચળ છે) અને બરફનો જથ્થો $(m)$ સમાન છે,તેથી ઉષ્મા વાહકતા $K$ એ બરફ ઓગળવા માટે લાગતા સમય $t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{t}$.
તેથી,ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણોત્તર: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($t_1 = 20$ મિનિટ,$t_2 = 40$ મિનિટ): $\frac{K_1}{K_2} = \frac{40}{20} = \frac{2}{1}$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘન હોવાથી અને ક્ષેત્રફળ $A = 4 \text{ cm}^2$ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $l = \sqrt{A} = \sqrt{4} = 2 \text{ cm}$ થશે.
બરફના $m$ દળને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $L = 80 \text{ cal/g}$ એ બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બંનેને સરખાવતા,$mL = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$.
કિંમતો મૂકતા: $m \times 80 = \frac{0.2 \times 4 \times (100 - 0) \times (10 \times 60)}{2}$.
$m \times 80 = 0.2 \times 4 \times 100 \times 600 / 2$.
$m \times 80 = 0.8 \times 100 \times 300 = 24000$.
$m = 24000 / 80 = 300 \text{ gm}$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર (પ્રતિ સેકન્ડ ઉષ્મા) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 10\;m^2$
જાડાઈ $l = 2\;mm = 2 \times 10^{-3}\;m$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta\theta = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20^{\circ}C$
ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.2\;W/(m\cdot K)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{Q}{t} = \frac{0.2 \times 10 \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$\frac{Q}{t} = \frac{40}{2 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^3 = 2 \times 10^4\;J/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 2.35\,m$,ત્રિજ્યા $r = 2.0\,cm = 0.02\,m$,ઉષ્મા વાહકતા $K = 235\,W\cdot m^{-1}K^{-1}$,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 20^{\circ}C$,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L_f = \frac{10}{3} \times 10^5\,J\cdot kg^{-1}$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dH}{dt} = \frac{KA\Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બરફ ઓગળવાનો દર $\frac{dm}{dt} = \frac{1}{L_f} \frac{dH}{dt} = \frac{KA\Delta T}{l \cdot L_f}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dm}{dt} = \frac{235 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 20}{2.35 \times \frac{10}{3} \times 10^5}$.
$\frac{dm}{dt} = \frac{235 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 20 \times 3}{2.35 \times 10^6} = \frac{100 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 60}{10^6} = \frac{2400\pi \times 10^{-4}}{10^6} = 2.4\pi \times 10^{-6}\,kg\cdot s^{-1}$.

(A) સળિયા દ્વારા વહન પામતી ઉષ્માનો દર $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
સમાન દ્રવ્ય હોવાથી $K$ અચળ છે. નિશ્ચિત તાપમાન તફાવત $\Delta T$ માટે,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{r^2}{l}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $X = \frac{r^2}{l}$. આપણે દરેક વિકલ્પ માટે $X$ ની ગણતરી કરીએ:
$A: X = \frac{(2)^2}{0.5} = \frac{4}{0.5} = 8$
$B: X = \frac{(2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$C: X = \frac{(0.5)^2}{0.5} = 0.5$
$D: X = \frac{(1)^2}{1} = 1$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માટે $X$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે,જેનો અર્થ છે કે તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.