Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Gujarati

(C) સ્ટીફનનો નિયમ $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત પાવર છે.
$\sigma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને મળે છે $\sigma = \frac{E}{T^4}$.
$E$ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પાવર) નો એકમ $\frac{\text{Watt}}{\text{m}^2} = W\,m^{-2}$ છે.
તાપમાન $T$ નો એકમ કેલ્વિન $(K)$ છે.
તેથી,$\sigma$ નો એકમ $\frac{W\,m^{-2}}{K^4} = W\,m^{-2}\,K^{-4}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P = \sigma A T^4$
જ્યાં $P$ એ પાવર છે (એકમ સમયમાં ઉર્જા,$J\,s^{-1}$ અથવા $W$),$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(m^2)$ છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(K)$ છે.
$\sigma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$\sigma = \frac{P}{A T^4}$
એકમો મૂકતા:
$\sigma$ નો એકમ = $\frac{W}{m^2 \cdot K^4} = W\,m^{-2}\,K^{-4}$
કારણ કે $W = J\,s^{-1}$,તેથી એકમને $J\,s^{-1}\,m^{-2}\,K^{-4}$ અથવા $J\,m^{-2}\,s^{-1}\,K^{-4}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો એકમ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતી કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $E = \sigma T^4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત વિકિરણનું પ્રમાણ આદર્શ વાયુ માપક્રમ પર તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $P = \sigma e A (T^4 - T_0^4)$ છે.
આપેલ છે:
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 200 \; cm^2 = 200 \times 10^{-4} \; m^2 = 0.02 \; m^2$.
ઉત્સર્જકતા $e = 0.4$.
ગોળાનું તાપમાન $T = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \; K$.
પર્યાવરણનું તાપમાન $T_0 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \; K$.
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \; J/(m^2 \cdot s \cdot K^4)$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.4 \times 0.02 \times (800^4 - 300^4)$.
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.008 \times (4096 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$.
$P = 5.67 \times 0.008 \times (4015)$.
$P = 0.04536 \times 4015 \approx 182.12 \; J/s$.
આમ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર આશરે $182 \; J/s$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 0^{\circ}C = 0 + 273 = 273 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 273^{\circ}C = 273 + 273 = 546 \ K$.
પ્રારંભિક વિકિરણનો દર = $E$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E}{E_2} = \left( \frac{273}{546} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E_2 = 16 \ E$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઊર્જા (ઉત્સર્જન પાવર) એ નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = E$ તાપમાન $T_1 = T$ પર છે.
ધારો કે અંતિમ ઊર્જા $E_2$ તાપમાન $T_2 = \frac{T}{2}$ પર છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4$.
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$E_2 = \frac{E}{16}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 400^{\circ}C = 400 + 273 = 673\;K$.
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત ઉર્જા બમણી થાય છે,તેથી $E_2 = 2E_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \left( \frac{T_2}{673} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $T_2 = 673 \times 2^{1/4}$.
$2^{1/4} \approx 1.189$ હોવાથી,$T_2 \approx 673 \times 1.189 \approx 800\;K$.

(B) $MKS$ પદ્ધતિમાં સ્ટેફન અચળાંક $\sigma$ નો એકમ $\frac{J}{m^2 \cdot s \cdot K^4}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \ J = 10^7 \ erg$ અને $1 \ m^2 = 10^4 \ cm^2$ થાય છે.
આ કિંમતોને એકમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sigma_{MKS} = \frac{1 \ J}{1 \ m^2 \cdot 1 \ s \cdot 1 \ K^4} = \frac{10^7 \ erg}{10^4 \ cm^2 \cdot 1 \ s \cdot 1 \ K^4}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sigma_{MKS} = 10^3 \frac{erg}{cm^2 \cdot s \cdot K^4}$.
આમ,$CGS$ પદ્ધતિમાં ગુણક અવયવ $1000$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$P \propto T^4$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 7^oC = 7 + 273 = 280 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 287^oC = 287 + 273 = 560 \ K$.
ઉર્જા ઉત્સર્જનના દરોનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
આમ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $16$ ગણો વધશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 151^{\circ}C = 151 + 273 = 424 \text{ K}$.
ઉત્સર્જનના દરોનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{Q} = \left( \frac{424}{300} \right)^4$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{424}{300} \approx 1.413$.
તેથી,$1.413^4 \approx 3.99 \approx 4$.
આમ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો નવો દર આશરે $4Q \text{ kW m}^{-2}$ થશે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,વિકિરણના ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
સેલ્સિયસમાં આપેલ તાપમાન: $T_A = 727^{\circ}C$ અને $T_B = 127^{\circ}C$.
તેમને કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$ અને $T_B = 127 + 273 = 400 \ K$.
ઉત્સર્જન દરનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{1000}{400} \right)^4 = \left( \frac{10}{4} \right)^4 = \left( \frac{5}{2} \right)^4$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $\frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ m}^2$,પાવર $P = 1 \text{ J/s}$,અને સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1}{5.67 \times 10^{-8}} \approx 0.176 \times 10^8 = 1.76 \times 10^7$.
$T = (1.76 \times 10^7)^{1/4} \approx 64.7 \text{ K} \approx 65 \text{ K}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જિત પાવર $P = \varepsilon \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-4} \ m^2$,
ઉત્સર્જકતા $\varepsilon = 0.80$,
સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/(m^2 \cdot K^4)$,
ઉત્સર્જિત ઉષ્મા $Q = 1.58 \times 10^5 \ \text{કેલરી} = 1.58 \times 10^5 \times 4.2 \ J = 6.636 \times 10^5 \ J$,
સમય $t = 1 \ \text{કલાક} = 3600 \ s$.
પાવર $P = Q/t = (6.636 \times 10^5) / 3600 \approx 184.33 \ W$.
$P = \varepsilon \sigma A T^4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$184.33 = 0.80 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{-4} \times T^4$.
$184.33 = 4.536 \times 10^{-12} \times T^4$.
$T^4 = 184.33 / (4.536 \times 10^{-12}) \approx 4.06 \times 10^{13}$.
$T \approx (406 \times 10^{11})^{1/4} \approx 2520 \ K \approx 2500 \ K$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ગોળા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E \propto r^2 T^4$.
ગોળાઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$.
આપેલ છે: $r_P = 8 \; cm$,$r_Q = 2 \; cm$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન: $T_P = 127 + 273 = 400 \; K$ અને $T_Q = 527 + 273 = 800 \; K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 \left( \frac{400}{800} \right)^4 = (4)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \varepsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A$,$\varepsilon$,અને $\sigma$ અચળ હોવાથી,$P \propto T^4$ થાય.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
આપેલ છે કે $P_1 = 5 \ W$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,અને $T_2 = 927 + 273 = 1200 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{5} = \left( \frac{1200}{400} \right)^4$.
$\frac{P_2}{5} = (3)^4 = 81$.
$P_2 = 5 \times 81 = 405 \ W$.

(B) ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર (પાવર) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = A \varepsilon \sigma T^4$.
અહીં,ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = (10 \text{ cm})^2 = (0.1 \text{ m})^2 = 0.01 \text{ m}^2$ છે.
ઉત્સર્જકતા $\varepsilon = 1$ અને સ્ટીફનનો અચળાંક $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$ છે.
આપેલ છે $P = 1134 \text{ W}$.
કિંમતો મૂકતા: $1134 = 0.01 \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$1134 = 5.67 \times 10^{-10} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1134}{5.67 \times 10^{-10}} = 200 \times 10^{10} = 2 \times 10^{12}$.
$T = (2 \times 10^{12})^{1/4} = (2)^{1/4} \times 10^3 \approx 1.189 \times 1000 = 1189 \text{ K}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $H$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(H \propto T^4)$.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
ઉત્સર્જિત ઉષ્માના દરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
તેથી,ગુણોત્તર $625:81$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P)$ નું સૂત્ર $P = A\sigma T^4$ છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
અહીં $A$ અને $\sigma$ અચળ હોવાથી,$P \propto T^4$ મળે.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\;K$ અને $P_1 = 10\;J/s$.
નવું તાપમાન $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600\;K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 = P_1 \left( \frac{600}{300} \right)^4 = 10 \times (2)^4 = 10 \times 16 = 160\;J/s$.
તેથી,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત ઉર્જા $160\;J$ થશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
ધારો કે $E_1$ એ પૃથ્વી પર આપાત થતી પ્રારંભિક વિકિરણ ઉર્જા છે અને $T_1$ એ સૂર્યનું પ્રારંભિક તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $E_1 = 20 \, kcal/(m^2 \cdot min)$.
ધારો કે જ્યારે સૂર્યનું તાપમાન $T_2 = 2T_1$ થાય ત્યારે નવી વિકિરણ ઉર્જા $E_2$ છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{20} = \left( \frac{2T_1}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = (2)^4 = 16$
તેથી,$E_2 = 16 \times 20 = 320 \, kcal/(m^2 \cdot min)$.

(D) કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = A\sigma T^4$,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$P \propto r^2 T^4$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $P_1 = 440\;W$,$r_1 = 24\;cm$,$T_1 = 500\;K$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે: $r_2 = r_1 / 2 = 12\;cm$ અને $T_2 = 2T_1 = 1000\;K$.
પ્રમાણસરતા ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$P_2 = 440 \times 4 = 1760\;W$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણી પાસે $E \propto T^4$ છે.
જો તાપમાન બમણું કરવામાં આવે $(T' = 2T)$,તો ઉર્જાનો નવો દર $E'$ એ $E' \propto (2T)^4 = 16T^4$ થશે.
તેથી,પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઊર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
અહીં આપેલ તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ અને $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$ છે.
ઉત્સર્જિત ઊર્જાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{1200} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:256$ થાય છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
સેલ્સિયસમાં આપેલ તાપમાનને કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$
ઉત્સર્જિત વિકિરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{600}{300} \right)^4 = (2)^4 = 16$
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણ $16$ ગણું વધશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $P = A \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $A_1 = 8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$. દર $P_1 = E$.
અંતિમ સ્થિતિ: લંબાઈ અને પહોળાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી $A_2 = (8/2) \text{ cm} \times (4/2) \text{ cm} = 4 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2$. નોંધો કે $A_2 = A_1 / 4$. $T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$.
તેથી,$P_2 = \frac{81}{64}E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$P \propto T^4$
આપેલ છે કે $T_1 = T$ તાપમાને,ઉત્સર્જિત પાવર $P_1 = Q$ છે.
આપણે $T_2 = 3T$ તાપમાને ઉત્સર્જિત પાવર $P_2$ શોધવાનો છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{Q} = \left( \frac{3T}{T} \right)^4$
$\frac{P_2}{Q} = (3)^4$
$\frac{P_2}{Q} = 81$
$P_2 = 81Q$
તેથી,$3T$ તાપમાને ઉત્સર્જિત પાવર $81Q$ હશે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને $T$ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે.
ગોળાકાર પદાર્થ માટે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
તેથી,$P = 4 \pi r^2 \sigma T^4$.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેથી $P_1 = P_2$.
$4 \pi r_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi r_2^2 \sigma T_2^4$.
આને સાદું રૂપ આપતા,$r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2}$ માટે ગોઠવતા,$(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ મળે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $Q \propto T^4$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
આપેલ અંતિમ તાપમાન $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $Q_1 = 2 \ kJ$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{2} = \left( \frac{1200}{600} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{2} = (2)^4 = 16$.
$Q_2 = 16 \times 2 = 32 \ kJ$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ ઉર્જા $Q$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $Q \propto T^4$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \ K$.
આપણે નવું તાપમાન $T_2$ શોધવું છે જેથી વિકિરણ ઉર્જા બમણી થાય,એટલે કે $Q_2 = 2Q_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \left( \frac{T_2}{1000} \right)^4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા: $\frac{T_2}{1000} = (2)^{1/4}$.
કારણ કે $(2)^{1/4} \approx 1.1892$,તેથી $T_2 = 1000 \times 1.1892 = 1189.2 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$T_2 \approx 1190 \ K$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળા દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P)$ $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,$P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$.
બે ગોળાઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1 \; m$,$r_2 = 4 \; m$,$T_1 = 4000 \; K$,અને $T_2 = 2000 \; K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{16}{16} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
અહીં પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_{m1} = \lambda_o$ અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{m2} = \frac{3\lambda_o}{4}$ છે.
સંબંધ $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$T_2 = \frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} T_1 = \frac{\lambda_o}{3\lambda_o/4} T_1 = \frac{4}{3} T_1$ મળે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત $(T^4)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
તેથી,પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ થાય.
$T_2$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{4/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$ મળે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$E \propto T^4$.
અહીં તાપમાન $T = 300 K$ આપેલું છે,તેથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(300)^4$ ના પ્રમાણમાં હશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $Q \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રારંભિક ઉષ્મા વિકિરણ $Q_1 \propto T^4$ છે.
તાપમાનમાં $50\%$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,તેથી નવું તાપમાન $T_2 = T + 0.5T = 1.5T = \frac{3}{2}T$ થશે.
નવું ઉષ્મા વિકિરણ $Q_2 \propto T_2^4 = (1.5T)^4 = (\frac{3}{2})^4 T^4 = \frac{81}{16} T^4$ થશે.
આમ,$Q_2 = \frac{81}{16} Q_1 = 5.0625 Q_1$.
ઉત્સર્જિત ઉષ્મા વિકિરણના જથ્થામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\text{ટકાવારી વધારો} = \frac{Q_2 - Q_1}{Q_1} \times 100\%$
$= \frac{5.0625 Q_1 - Q_1}{Q_1} \times 100\%$
$= 4.0625 \times 100\% = 406.25\%$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનો જવાબ $400\%$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાન ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા $T_0$ તાપમાન ધરાવતા વાતાવરણમાં થતા ઉષ્મા વ્યયનો ચોખ્ખો દર $P = A\varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ સમાન હોવાથી,$A$ અને $\varepsilon$ બંને માટે સમાન રહેશે.
તેથી,ચોખ્ખો ઉષ્મા વ્યય $Q$ એ $(T^4 - T_0^4)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
અહીં $T_1 = 200^{\circ}C = (200 + 273) K = 473 K$.
અહીં $T_2 = 400^{\circ}C = (400 + 273) K = 673 K$.
અહીં $T_0 = 27^{\circ}C = (27 + 273) K = 300 K$.
ચોખ્ખા ઉષ્મા વ્યયનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{473^4 - 300^4}{673^4 - 300^4}$ મળે છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મા વિકિરણ ઉર્જા $(Q)$ નું સૂત્ર $Q = A \varepsilon \sigma T^4$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમની ઉત્સર્જકતા $(\varepsilon)$ સમાન છે. આપેલ છે કે બંને સમાન તાપમાન $(T)$ પર છે,તેથી $Q \propto A$ થાય.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ $4 \pi r^2$ છે,તેથી $Q \propto r^2$ થાય.
આથી,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મા ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ થશે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{Q_1}{Q_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
$T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 1 \ cal/cm^2 \cdot s$
$T_2 = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \ K$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{1} = \left( \frac{800}{400} \right)^4$
$\frac{E_2}{1} = (2)^4 = 16$
તેથી,$E_2 = 16 \ cal/cm^2 \cdot s$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A\sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે:
$P_1 = 20\,W$
$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500\,K$
$T_2 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000\,K$
કારણ કે $P \propto T^4$,તેથી:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{20} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{P_2}{20} = (2)^4$
$\frac{P_2}{20} = 16$
$P_2 = 16 \times 20 = 320\,W$
તેથી,ઉત્સર્જન પાવર $320\,W$ થશે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ગોળા દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \varepsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\varepsilon$ એ ઉત્સર્જકતા છે,અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$\varepsilon$ બંને માટે સમાન છે.
આમ,$P \propto r^2 T^4$.
પ્રથમ ગોળા માટે $(P_1)$: $P_1 \propto (1)^2 \times (4000)^4 = 1 \times (4000)^4$.
બીજા ગોળા માટે $(P_2)$: $P_2 \propto (4)^2 \times (2000)^4 = 16 \times (2000)^4$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1^2}{4^2} \times \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \frac{1}{16} \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
તેથી,$P_1 = P_2$,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા બંને કિસ્સામાં સમાન છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto T^4$.
ધારો કે શરૂઆતનો પાવર $P_1 = W$ છે જ્યારે તાપમાન $T_1 = T$ છે.
ધારો કે અંતિમ પાવર $P_2$ છે જ્યારે તાપમાન $T_2 = T/3$ છે.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{W} = \left( \frac{T/3}{T} \right)^4$
$\frac{P_2}{W} = \left( \frac{1}{3} \right)^4$
$\frac{P_2}{W} = \frac{1}{81}$
તેથી,$P_2 = \frac{W}{81}$ વોટ.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,તારા દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ સપાટીનું તાપમાન છે.
આમ,$P \propto r^2 T^4$.
તારા $A$ માટે: $P_A \propto r^2 T^4$.
તારા $B$ માટે: $P_B \propto (4r)^2 (T/2)^4 = 16r^2 \times (T^4 / 16) = r^2 T^4$.
તેથી,ગુણોત્તર $P_A : P_B = (r^2 T^4) : (r^2 T^4) = 1:1$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર (એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા) $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$P \propto r^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_1$ છે. ધારો કે અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 100r_1$ અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = T_1 / 2$ છે.
અંતિમ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P_2)$ અને પ્રારંભિક ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P_1)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_2}{P_1} = (100)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = 10000 \times \frac{1}{16} = 625$.
આમ,કુલ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $625$ ના અવયવથી વધશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જા $Q$ એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$Q \propto R^2 T^4$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ઉર્જા $Q_1 = k R^2 T^4$ છે અને અંતિમ ઉર્જા $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2R}{R} \right)^2 \times \left( \frac{2T}{T} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \times (2)^4 = 4 \times 16 = 64$.
તેથી,પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $64$ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
અહીં $P_1 = 2.7 \times 10^{-3} \text{ J/s}$ અને $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$.
$P_2 = 4.32 \times 10^{6} \text{ J/s}$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{1/4} = \left( \frac{4.32 \times 10^{6}}{2.7 \times 10^{-3}} \right)^{1/4}$.
$\frac{T_2}{T_1} = (1.6 \times 10^9)^{1/4} = (1600 \times 10^6)^{1/4} = 200$.
તેથી,$T_2 = 200 \times T_1 = 200 \times 400 \text{ K} = 80000 \text{ K}$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઊર્જા $(E)$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
$E_1 = 1 \times 10^5 \ J/s \cdot m^2$
$T_1 = 227^\circ C = 227 + 273 = 500 \ K$
$E_2 = 1 \times 10^9 \ J/s \cdot m^2$
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 \times 10^9}{1 \times 10^5} = \left( \frac{T_2}{500} \right)^4$
$10^4 = \left( \frac{T_2}{500} \right)^4$
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા:
$10 = \frac{T_2}{500}$
$T_2 = 10 \times 500 = 5000 \ K$

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જા $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
હવે,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જાનો ગુણોત્તર શોધો:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતી ઉર્જાનો ગુણોત્તર $1:81$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર તેના નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $Q \propto T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = T$ છે અને પ્રારંભિક વિકિરણ $Q_1 \propto T^4$ છે.
જો તાપમાનમાં $10\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવું તાપમાન $T_2 = T + 0.1T = 1.1T$ થાય.
નવું ઉત્સર્જિત વિકિરણ $Q_2 \propto (1.1T)^4$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{1.1T}{T} \right)^4 = (1.1)^4 = 1.4641$.
આમ,$Q_2 = 1.4641 Q_1$.
વિકિરણમાં થતો ટકાવારી વધારો: $\frac{Q_2 - Q_1}{Q_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $46\%$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા (emissive power) $E$ એ $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $E = 6.3 \times 10^7 \ W m^{-2}$ અને $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$.
સૂત્રને $T$ માટે ગોઠવતા: $T^4 = \frac{E}{\sigma}$.
કિંમતો મૂકતા: $T^4 = \frac{6.3 \times 10^7}{5.7 \times 10^{-8}} = \frac{6.3}{5.7} \times 10^{15} \approx 1.105 \times 10^{15} = 1105 \times 10^{12}$.
ચતુર્થ મૂળ લેતા: $T = (1105 \times 10^{12})^{1/4} \approx 5.77 \times 10^3 \ K$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$T \approx 5.8 \times 10^3 \ K$ મળે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $H$ એ પદાર્થના તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto (T^4 - T_0^4)$.
અહીં $T_1 = 600\,K$,$T_0 = 200\,K$ અને પ્રારંભિક ઠંડા પડવાનો દર $H$ છે.
તેથી,$H = k(600^4 - 200^4)$.
જ્યારે તાપમાન ઘટીને $T_2 = 400\,K$ થાય છે,ત્યારે નવો ઠંડા પડવાનો દર $H'$ એ $H' = k(400^4 - 200^4)$ થશે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{H'}{H} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(400^2 - 200^2)(400^2 + 200^2)}{(600^2 - 200^2)(600^2 + 200^2)}$
$= \frac{(160000 - 40000)(160000 + 40000)}{(360000 - 40000)(360000 + 40000)} = \frac{120000 \times 200000}{320000 \times 400000} = \frac{12 \times 20}{32 \times 40} = \frac{240}{1280} = \frac{3}{16}$.
આમ,$H' = \frac{3}{16}H$.

(A) સ્ટીફન અચળાંક,જેને $\sigma$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક ભૌતિક અચળાંક છે જે સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમમાં જોવા મળે છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) ની સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ પાવર તેના તાપમાનના ચતુર્થ ઘાતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P = \sigma A T^4$.
સ્ટીફન અચળાંકનું મૂલ્ય આશરે $5.67 \times 10^{-8} \text{ W}/\text{m}^2\text{K}^4$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.