Mix Examples-Heat Transfer Questions in Gujarati

(D) ઉષ્મા વહનની અસ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્માના વહનનો દર પદાર્થની ઉષ્મીય પ્રસરણશીલતા (thermal diffusivity) દ્વારા નક્કી થાય છે. ઉષ્મીય પ્રસરણશીલતા $\alpha$ ને $\alpha = \frac{K}{\rho c}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$\rho$ એ ઘનતા છે,અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
અસ્થાયી અવસ્થામાં તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર ઉષ્મીય પ્રસરણશીલતા પર આધાર રાખે છે,તેથી ઉષ્માના વહનનો દર આ ત્રણેય પરિબળો: ઉષ્મીય વાહકતા $(K)$,ઘનતા $(\rho)$,અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) બંધ રૂમમાં,અંદરની હવા એક તરલ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે ગરમીનો સ્ત્રોત હાજર હોય છે,ત્યારે સ્ત્રોતની નજીકની હવા ગરમ થાય છે,તેની ઘનતા ઘટે છે અને તે ઉપર તરફ જાય છે,જ્યારે ઠંડી અને વધુ ઘનતાવાળી હવા તેની જગ્યા લેવા માટે નીચે આવે છે. હવાનું આ સતત પરિભ્રમણ,જેને ઉષ્માનયન (Convection) કહેવામાં આવે છે,તે સમગ્ર રૂમમાં ઉષ્માના સ્થળાંતર માટેનું મુખ્ય કારણ છે. જોકે દીવાલો દ્વારા વહન અને સપાટીઓ દ્વારા વિકિરણ પણ થાય છે,પરંતુ રૂમમાં ઉષ્માનું એકંદર વિતરણ મુખ્યત્વે ઉષ્માનયન દ્વારા થાય છે. તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
$1$. ઊંચાઈ પર વાતાવરણ પાતળું હોય છે,જે પર્વતના તળિયાની તુલનામાં ગ્રીનહાઉસ અસર અને ગરમી જાળવી રાખવાની ક્ષમતા ઘટાડે છે.
$2$. સપાટી પર પહોંચતા સૌર વિકિરણની તીવ્રતા આપાતકોણ પર આધાર રાખે છે. પર્વતની ટોચ પર,એડિબેટિક લેપ્સ રેટને કારણે હવાનું તાપમાન નોંધપાત્ર રીતે ઓછું હોય છે.
$3$. વધુમાં,ટોચ પરની વસ્તુ વધુ પવનની ગતિ અને નીચા આસપાસના તાપમાનના સંપર્કમાં આવે છે,જેના કારણે તળિયે રહેલી વસ્તુની સરખામણીમાં વધુ સંવહન (convective) ઉષ્માનો વ્યય થાય છે.
$4$. તેથી,પર્વતની ટોચ પરની વસ્તુ તળિયે મૂકેલી સમાન વસ્તુ કરતા ઓછું તાપમાન નોંધશે.

(A) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
અહીં,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
બંને સળિયા સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$K$ બંને માટે સમાન છે.
તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે.
તેથી,ઉષ્મા વહનનો દર સળિયાની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{l}$.
સીધા સળિયાની લંબાઈ $l_{straight} = 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અર્ધવર્તુળાકાર સળિયાની લંબાઈ $l_{semi} = \pi r$ છે.
આમ,સ્થાનાંતરિત ઉષ્માનો ગુણોત્તર:
$\frac{(dQ/dt)_{semi}}{(dQ/dt)_{straight}} = \frac{l_{straight}}{l_{semi}} = \frac{2r}{\pi r} = \frac{2}{\pi}$.

(C) ઉષ્મા નળાકારની લંબાઈની દિશામાં વહેતી હોવાથી,બંને નળાકાર સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A_1$ એ આંતરિક નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે: $A_1 = \pi R^2$.
$A_2$ એ બાહ્ય નળાકાર કવચનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે: $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(A) $0^\circ C$ તાપમાને $500 \ g$ બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $m = 500 \ g$ અને $L = 80 \ cal/g$ છે.
$Q = 500 \times 80 = 40,000 \ cal$.
કોર્ક દ્વારા ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta\theta}{\Delta x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = 0.0075 \ cal/(cm \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 75 \ cm^2$,$\Delta\theta = (40 - 0) = 40^\circ C$,અને $\Delta x = 5 \ cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{40,000}{t} = \frac{0.0075 \times 75 \times 40}{5}$
$\frac{40,000}{t} = 0.0075 \times 15 \times 40$
$\frac{40,000}{t} = 4.5$
$t = \frac{40,000}{4.5} \approx 8888.89 \ s$.
સમયને કલાકમાં ફેરવવા માટે,$3600$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{8888.89}{3600} \approx 2.47 \ hr$.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતી ઉષ્મા એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ.
$H = H_1 + H_2$
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે:
$\frac{3K \cdot A \cdot (100 - \theta)}{l} = \frac{2K \cdot A \cdot (\theta - 50)}{l} + \frac{K \cdot A \cdot (\theta - 20)}{l}$
બધા સળિયા માટે $A$ અને $l$ સમાન હોવાથી,તેઓ ઉડી જશે:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + 1(\theta - 20)$
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta - 20$
$300 - 3\theta = 3\theta - 120$
$420 = 6\theta$
$\theta = 70^oC$
આમ,જંકશનનું તાપમાન $70^oC$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કુલ વિકિરણ પાવર $P = e A \sigma T^4$ છે. કારણ કે $P_A = P_B$ અને $A_A = A_B$,તેથી $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ થાય.
આપેલ છે કે $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,અને $T_A = 5802\;K$.
$T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4} = 5802 \times \frac{1}{3} = 1934\;K$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ વાપરતા,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (અચળાંક).
$\lambda_A = \frac{b}{T_A}$ અને $\lambda_B = \frac{b}{T_B}$.
આપેલ છે કે $\lambda_B - \lambda_A = 1.00\;\mu m$.
$\frac{b}{T_B} - \frac{b}{T_A} = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{1}{1934} - \frac{1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{3 - 1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m \Rightarrow b = \frac{5802}{2} = 2901\;\mu m \cdot K$.
હવે,$\lambda_B = \frac{b}{T_B} = \frac{2901}{1934} = 1.5\;\mu m$.
આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તકતીઓ કાર્બન બ્લેકથી કોટેડ હોવાથી તે કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે $(\varepsilon = 1)$.
તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$P \propto r^2 T^4$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $\lambda_m T = b$ (અચળ) પરથી,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
તેથી,$P \propto \frac{r^2}{\lambda_m^4}$.
$Q_A, Q_B$ અને $Q_C$ માટે સાપેક્ષ કિંમતો ગણતા:
$Q_A \propto \frac{2^2}{300^4} \approx 0.049 \times 10^{-8}$
$Q_B \propto \frac{4^2}{400^4} = 0.0625 \times 10^{-8}$
$Q_C \propto \frac{6^2}{500^4} \approx 0.0576 \times 10^{-8}$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Q_B$ મહત્તમ છે.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. ચોરસ ચાર સળિયા $AC, CB, BD, DA$ નો બનેલો છે. બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના તાપમાન $T_A = \sqrt{2}T$ અને $T_B = T$ જાળવી રાખવામાં આવે છે.
પરિપથની સમપ્રમાણતાને કારણે,$A$ માંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ બે સમાન માર્ગોમાં વહેંચાય છે: $AC-CB$ અને $AD-DB$.
ધારો કે બિંદુ $C$ અને $D$ ના તાપમાન અનુક્રમે $T_C$ અને $T_D$ છે.
માર્ગ $AC-CB$ માટે: ઉષ્મા પ્રવાહ $H_1 = \frac{T_A - T_C}{R} = \frac{T_C - T_B}{R}$ છે. આ સૂચવે છે કે $T_A - T_C = T_C - T_B$,તેથી $T_C = \frac{T_A + T_B}{2}$.
માર્ગ $AD-DB$ માટે: ઉષ્મા પ્રવાહ $H_2 = \frac{T_A - T_D}{R} = \frac{T_D - T_B}{R}$ છે. આ સૂચવે છે કે $T_A - T_D = T_D - T_B$,તેથી $T_D = \frac{T_A + T_B}{2}$.
ચૂંક $T_C = T_D$ હોવાથી,$C$ અને $D$ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $T_C - T_D = 0$ થશે.

(A) આપેલ છે: $\lambda_m = 0.48 \ \mu m = 0.48 \times 10^{-6} \ m$,$r = 6.96 \times 10^8 \ m$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$,$b = 0.293 \times 10^{-2} \ m \cdot K$.
$1$. વીનના સ્થાનાંતરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સૂર્યનું તાપમાન શોધો: $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{0.293 \times 10^{-2}}{0.48 \times 10^{-6}} \approx 6104 \ K$.
$2$. સૂર્યની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો: $A = 4\pi r^2 = 4 \times 3.1416 \times (6.96 \times 10^8)^2 \approx 6.084 \times 10^{18} \ m^2$.
$3$. સ્ટિફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમનો ઉપયોગ કરીને સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર (ઊર્જા પ્રતિ સેકન્ડ) શોધો: $P = A \sigma T^4 = (6.084 \times 10^{18}) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (6104)^4 \approx 4.789 \times 10^{26} \ J/s$.
$4$. આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રતિ સેકન્ડ દળમાં થતો ઘટાડો શોધો: $\Delta m = \frac{P}{c^2} = \frac{4.789 \times 10^{26}}{(3 \times 10^8)^2} \approx 5.32 \times 10^9 \ kg/s$.

(B) ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર $Q = K A \frac{\Delta \theta}{l} t$ છે.
આના પરથી જોઈ શકાય છે કે અચળ ઉષ્મા $Q$ અને તાપમાનના તફાવત $\Delta \theta$ માટે,સમય $t$ એ $\frac{l}{A}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $t \propto \frac{l}{A}$.
આકૃતિ $1$ માં,$l$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ લંબાઈ $2l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે. તેથી,$t_1 \propto \frac{2l}{A}$.
આકૃતિ $2$ માં,બે સળિયા સમાંતર જોડાયેલા છે. લંબાઈ $l$ છે અને કુલ ક્ષેત્રફળ $2A$ છે. તેથી,$t_2 \propto \frac{l}{2A}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{2l/A}{l/2A} = \frac{2l}{A} \times \frac{2A}{l} = 4$.
આપેલ છે કે $t_1 = 12 \, sec$,તેથી $t_2 = \frac{t_1}{4} = \frac{12}{4} = 3 \, sec$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં, ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = -kA(dT/dx)$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
આપેલ છે કે $k(x) = 2K - (K/L)x = K(2 - x/L)$.
તેથી, $H = -K(2 - x/L)A(dT/dx) = \text{અચળ} = C$.
ગોઠવતા, $dT = -[C / (KA(2 - x/L))] dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, $T(x) = -[C / (KA)] \int [1 / (2 - x/L)] dx$.
$T(x) = [CL / (KA)] \ln(2 - x/L) + C_0$.
કારણ કે $T(x)$ માં લઘુગણકીય વિધેયનો સમાવેશ થાય છે, તેથી ઢાળ $dT/dx = -C / [KA(2 - x/L)]$ અચળ નથી.
જેમ $x$ એ $0$ થી $L$ સુધી વધે છે, તેમ પદ $(2 - x/L)$ એ $2$ થી $1$ સુધી ઘટે છે.
તેથી, ઢાળનું મૂલ્ય $|dT/dx| = C / [KA(2 - x/L)]$ જેમ $x$ વધે છે તેમ વધે છે.
જે વક્રમાં ઢાળનું મૂલ્ય $x$ વધવાની સાથે વધતું હોય તે બહિર્મુખ (concave up) હોય છે. તેથી, આલેખ બહિર્મુખ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{kA \Delta T}{L}$ ત્રણેય સ્તરોમાંથી પસાર થતી વખતે સમાન રહે છે. કારણ કે ત્રણેય સ્તરો માટે ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $L$ સમાન છે,તેથી દરેક સ્તર પર તાપમાનનો ઘટાડો $\Delta T$ તેની ઉષ્મીય વાહકતા $k$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(\Delta T = \frac{HL}{kA} \propto \frac{1}{k})$.
ઈંટની ઉષ્મીય વાહકતા $(k_b)$ એ હવા $(k_a)$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,હવાના સ્તર પર તાપમાનનો ઘટાડો ઈંટના દરેક સ્તર પરના તાપમાનના ઘટાડા કરતા ઘણો વધારે હશે.
તેથી,આલેખમાં હવાના સ્તર પર તાપમાનમાં તીવ્ર રેખીય ઘટાડો અને ઈંટના સ્તરો પર ધીમો રેખીય ઘટાડો દર્શાવવો જોઈએ. વિકલ્પ $(D)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) અવાહક પડ વગરના ધાતુના સળિયા માટે,સળિયાની સપાટી પરથી ઉષ્મા સંવહન અને વિકિરણ દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ગુમાવાય છે.
ધારો કે $T_1$ તાપમાને જાળવી રાખેલા છેડાથી $x$ અંતરે તાપમાન $T$ છે. અવાહક પડ વગરના સળિયા માટે સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનું સમીકરણ $\frac{d^2T}{dx^2} = k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે અને $k$ એ પદાર્થ અને સપાટીના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ $T(x) = T_s + A e^{mx} + B e^{-mx}$ સ્વરૂપમાં મળે છે.
આના પરિણામે તાપમાનનો આલેખ અંતર્મુખ (concave upwards) મળે છે (આસપાસના તાપમાન તરફ ઘાતાંકીય ઘટાડો).
સળિયા તેની લંબાઈ દરમિયાન આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા ગુમાવતું હોવાથી,ગરમ છેડાથી દૂર જતાં તાપમાનનો ઢાળ ઘટે છે,જેના પરિણામે અંતર્મુખ વક્ર મળે છે.
તેથી,સાચી રજૂઆત અંતર્મુખ વક્ર છે.

(A) બંને સળિયા $AB$ અને $CD$ સ્થાયી અવસ્થામાં છે.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનનો ઢાળ અચળ છે અને અંતર સાથે તાપમાનમાં રેખીય ઘટાડો થાય છે.
$AB$ ના મધ્યબિંદુએ તાપમાન $T_{P} = \frac{T_{A} + T_{B}}{2} = \frac{0^{\circ} C + 100^{\circ} C}{2} = 50^{\circ} C$ છે.
$CD$ ના મધ્યબિંદુએ તાપમાન $T_{Q} = \frac{T_{C} + T_{D}}{2} = \frac{30^{\circ} C + 60^{\circ} C}{2} = 45^{\circ} C$ છે.
જેহেতু $P$ પરનું તાપમાન $(50^{\circ} C)$ એ $Q$ પરના તાપમાન $(45^{\circ} C)$ કરતા વધારે છે,તેથી ઉષ્મા $P$ થી $Q$ તરફ વહે છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે અને અંતિમ તાપમાન $T'$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
$\lambda_{\max, 1} T_1 = \lambda_{\max, 2} T_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\lambda_0 T = \frac{3}{4}\lambda_0 T'$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T' = \frac{4}{3}T$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$.
તેથી,નવા પાવર $P'$ અને પ્રારંભિક પાવર $P$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{P'}{P} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(A) સમાન ધાતુના સળિયામાંથી સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહન દરમિયાન,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
ફુરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ:
$\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{d\theta}{dx}$
જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{d\theta}{dx}$ એ તાપમાનનો ઢાળ છે.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt}$,$k$,અને $A$ અચળ છે,તેથી તાપમાનનો ઢાળ $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{kA} \frac{dQ}{dt}$ પણ અચળ હોવો જોઈએ.
આ સૂચવે છે કે તાપમાન $\theta$ ગરમ છેડાથી અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,$\theta$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે આકૃતિ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$
જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણાંક છે,$l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે અને $A$ એ સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,તાંબાના સળિયા દ્વારા જંકશનમાં આવતી ઉષ્મા એ પિત્તળ અને સ્ટીલના સળિયા દ્વારા બહાર જતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ:
$Q_{\text{copper}} = Q_{\text{brass}} + Q_{\text{steel}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{0.92 \times 4 \times (100 - T)}{46} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} + \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$0.08 \times (100 - T) = 0.08 \times T + 0.04 \times T$
$8 - 0.08T = 0.12T$
$8 = 0.2T$
$T = \frac{8}{0.2} = 40^\circ C$
હવે,તાંબાના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર શોધીએ:
$Q_{\text{copper}} = \frac{0.92 \times 4 \times (100 - 40)}{46} = \frac{0.92 \times 4 \times 60}{46} = 0.02 \times 4 \times 60 = 4.8 \ cal \ s^{-1}$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ: $\lambda_{m} \cdot T = b$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
અહીં $\lambda_{m1} = 20,000 \ \mathring{A}$ અને $\lambda_{m2} = 10,000 \ \mathring{A}$ આપેલ છે.
જેમ કે $\lambda_{m}$ અડધું થાય છે,તેથી તાપમાન $T$ બમણું થશે,એટલે કે $T_{2} = 2T_{1}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $e = \sigma T^{4}$ છે.
તેથી,$\frac{e_{2}}{e_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4} = (2)^{4} = 16$.
આપેલ છે કે $e_{1} = 16 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.
આમ,$e_{2} = 16 \times 16 = 256 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,જે આવૃત્તિ $v_{max}$ પર મહત્તમ તીવ્રતા મળે છે તે નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $v_{max} \propto T$.
તાપમાન $T$ થી વધીને $3T$ થતું હોવાથી,નવી આવૃત્તિ $v' = 3v$ થશે. તેથી,વિધાન $(ii)$ સાચું છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના ચતુર્થ ઘાત (ચોથી ઘાત) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
શરૂઆતની ઉર્જા $T$ તાપમાને $E$ છે,તેથી $3T$ તાપમાને નવી ઉર્જા $E' = E \times (3T/T)^4 = E \times 3^4 = 81E$ થશે. તેથી,વિધાન $(iii)$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $(ii)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(D) $(i)$ કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,સારા શોષકો સારા ઉત્સર્જકો હોય છે. ઉચ્ચ પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ નબળો શોષક હોવાથી,તે નબળો ઉત્સર્જક પણ છે. આ વિધાન $CORRECT$ છે.
$(ii)$ પિત્તળ ઉષ્માનું સુવાહક છે,જ્યારે લાકડું અવાહક છે. ઠંડા દિવસે,પિત્તળનો ગ્લાસ હાથમાંથી લાકડાની ટ્રે કરતા ઘણી ઝડપથી ઉષ્માનું વહન કરે છે,તેથી તે વધુ ઠંડો લાગે છે. આ વિધાન $CORRECT$ છે.
$(iii)$ વાતાવરણ ગ્રીનહાઉસ અસર દ્વારા ગરમીને જાળવી રાખે છે. તેના વિના,પૃથ્વી વિકિરણ દ્વારા તેની મોટાભાગની ગરમી ગુમાવી દેત અને અતિશય ઠંડી બની જાત. આ વિધાન $CORRECT$ છે.
$(iv)$ વરાળ બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા ધરાવે છે,જે ઘનીકરણ દરમિયાન મુક્ત થાય છે. આ ગરમ પાણીની તુલનામાં એકમ દળ દીઠ ઘણી વધારે ઉષ્મા આપે છે,જે ફક્ત સંવેદનશીલ ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. તેથી,વરાળ-આધારિત સિસ્ટમો વધુ કાર્યક્ષમ છે. આ વિધાન $CORRECT$ છે.
તેથી,બધા વિધાનો સાચા છે.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{\max} T = b$,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
કારણ કે $\lambda_{\max} = \frac{c}{f_{\max}}$,તેથી $\frac{c}{f_{\max}} T = b$,જે સૂચવે છે કે $f_{\max} = \frac{c}{b} T$.
તેથી,$f_{\max} \propto T$.
જો તાપમાન $T$ બમણું કરવામાં આવે $(T' = 2T)$,તો મહત્તમ તીવ્રતાની નવી આવૃત્તિ $f'_m = 2f_m$ થશે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $Q = e \sigma A T^4$ છે.
આમ,$Q \propto T^4$.
જો તાપમાન બમણું કરવામાં આવે,તો નવી ઉર્જા $Q' \propto (2T)^4 = 16T^4 = 16Q$ થાય.
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતાની આવૃત્તિ બમણી થાય છે અને કુલ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $16$ ગણી વધે છે.

(N/A) કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ,જે પદાર્થો વિકિરણના સારા શોષક હોય છે તે સારા ઉત્સર્જક પણ હોય છે. મોટી પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ મોટાભાગના આપાત વિકિરણને પરાવર્તિત કરે છે,તેથી તે નબળો શોષક છે. પરિણામે,તે નબળો ઉત્સર્જક પણ છે.
$(b)$ પિત્તળ ઉષ્માનું સુવાહક છે,જ્યારે લાકડું ઉષ્માનું મંદ વાહક છે. જ્યારે તમે પિત્તળના ગ્લાસને સ્પર્શ કરો છો,ત્યારે તમારા હાથમાંથી ઉષ્મા ઝડપથી ધાતુમાં વહે છે,જેનાથી ઠંડકનો અનુભવ થાય છે. લાકડાની ટ્રે સાથે,ઉષ્માનું વહન ખૂબ ધીમું હોય છે,તેથી તમારા હાથમાંથી ઓછી ઉષ્મા ગુમાવાય છે,જેથી તે ગરમ લાગે છે.
$(c)$ ઓપ્ટિકલ પાયરોમીટર વિકિરણની તીવ્રતાના આધારે તાપમાન માપે છે. ખુલ્લામાં રહેલા લાલચોળ લોખંડના ટુકડાની ઉત્સર્જકતા $1$ કરતા ઓછી હોય છે. તે આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ ન હોવાથી,તે સમાન તાપમાને કૃષ્ણ પદાર્થ કરતા ઓછું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે,જેના કારણે તાપમાનનું માપ ઓછું આવે છે. ભઠ્ઠીમાં,વાતાવરણ એક પોલાણ (કૃષ્ણ પદાર્થ) જેવું કામ કરે છે,તેથી લોખંડનો ટુકડો કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે અને સચોટ માપ આપે છે.
$(d)$ વાતાવરણ પૃથ્વી માટે ધાબળા જેવું કામ કરે છે,જે ગ્રીનહાઉસ અસર દ્વારા સપાટી દ્વારા ઉત્સર્જિત ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણને પકડી રાખે છે. વાતાવરણ વિના,આ ઉષ્મા અવકાશમાં જતી રહેત,જેનાથી પૃથ્વીનું તાપમાન ખૂબ જ ઘટી જાત.
$(e)$ $100 \, ^{\circ}C$ તાપમાને વરાળમાં બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા $(540 \, cal/g)$ ને કારણે $100 \, ^{\circ}C$ તાપમાને પાણી કરતા ઘણી વધારે ઉર્જા હોય છે. જ્યારે વરાળ રેડિયેટરમાં ઠંડી પડે છે,ત્યારે તે આ મોટી માત્રામાં ગુપ્ત ઉષ્મા મુક્ત કરે છે,જે તેને ગરમ કરવા માટે વધુ કાર્યક્ષમ બનાવે છે.

(N/A) ઉષ્મા ઉર્જાનું સ્થાનાંતરણ ત્રણ અલગ-અલગ પદ્ધતિઓ દ્વારા થઈ શકે છે:
$1$. ઉષ્મા વહન (Thermal Conduction): ઘન પદાર્થોમાં થતું ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ,જેમાં કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે અને કોઈ ચોખ્ખું સ્થાનાંતર થતું નથી. આ માટે ગુરુત્વાકર્ષણની જરૂર હોતી નથી અને તેમાં પ્રવાહો રચાતા નથી.
$2$. ઉષ્મા નયન (Thermal Convection): તરલ પદાર્થો (પ્રવાહી અને વાયુ) માં થતું ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ,જેમાં કણો ભૌતિક રીતે એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ગતિ કરે છે અને ઉષ્મા ઉર્જાનું વહન કરે છે. આ પ્રક્રિયા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ જરૂરી છે અને તેનાથી ઉષ્મા નયનના પ્રવાહો રચાય છે.
$3$. ઉષ્મા વિકિરણ (Thermal Radiation): વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (ખાસ કરીને ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ) ના સ્વરૂપમાં ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ. આ પ્રક્રિયા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી અને તે શૂન્યાવકાશમાં પણ થઈ શકે છે.

(D) જ્યારે બે પદાર્થો અથવા વિસ્તારો વચ્ચે તાપમાનનો તફાવત હોય ત્યારે ઉષ્માનું પ્રસરણ થાય છે. ઉષ્માના પ્રસરણની ત્રણ મુખ્ય રીતો છે:
$1$. ઉષ્માવહન: ઘન પદાર્થ અથવા સ્થિર તરલના કણો વચ્ચે સીધા સંપર્ક દ્વારા ઉષ્માનું પ્રસરણ.
$2$. ઉષ્માનયન: ગરમ થયેલા તરલ (પ્રવાહી અથવા વાયુ) ના કણોના વાસ્તવિક સ્થાનાંતર દ્વારા ઉષ્માનું પ્રસરણ.
$3$. ઉષ્માવિકિરણ: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો દ્વારા ઉષ્માનું પ્રસરણ,જેમાં કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
આ ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ તાપમાનના તફાવતને કારણે થતી હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

$(a)$ ખોટું. ઉષ્માવહન અટકતું નથી; પરંતુ તાપમાનનો ઢાળ અચળ બને છે અને ઉષ્માના વહનનો દર સ્થાયી રહે છે.
$(b)$ સાચું. કિર્ચોફના વિકિરણના નિયમ મુજબ, ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા પદાર્થ માટે ઉત્સર્જકતા અને શોષકતા સમાન હોય છે.
$(c)$ ખોટું. સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થની વ્યાખ્યા તેની તમામ આપાત વિકિરણોને શોષવાની ક્ષમતા પરથી કરવામાં આવે છે, તે દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં કેવા રંગનો દેખાય છે તેના પર નહીં.
$(d)$ ખોટું. ઉષ્મા ધારિતા પદાર્થની અવસ્થા અને જે પરિસ્થિતિમાં ઉષ્મા આપવામાં આવે છે (દા.ત. અચળ દબાણ કે અચળ કદ) તેના પર આધાર રાખે છે.

(N/A) આપેલ છે કે $1 \text{ cal} = 4.184 \text{ J}$ અને $1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$.
$0.49 \frac{\text{cal}}{\text{cm} \cdot \text{K} \cdot \text{s}} = 0.49 \times \frac{4.184 \text{ J}}{10^{-2} \text{ m} \cdot \text{K} \cdot \text{s}} = 0.49 \times 418.4 \approx 205 \frac{\text{J}}{\text{m} \cdot \text{K} \cdot \text{s}}$.
નોંધ: જો $1 \text{ cal} = 4.2 \text{ J}$ લેવામાં આવે,તો $0.49 \times 420 = 205.8 \approx 206$.
$(b)$ જો શોષણનો દર ઉત્સર્જનના દર કરતા વધારે હોય,તો પદાર્થ ચોખ્ખી ઉર્જા મેળવે છે,તેથી તેનું તાપમાન વધશે.
$(c)$ ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો તફાવત નાનો હોય.

(A) $(a) - (iii, iv)$ અને $(b) - (ii, iv)$.
$(a)$ ગરમ ચાનો કપ તેની આસપાસની હવાને મુખ્યત્વે ઉષ્મા વહન (કપની સપાટી દ્વારા) અને ઉષ્મા વિકિરણ (ચા અને કપની સપાટીમાંથી) દ્વારા ગરમી ગુમાવે છે.
$(b)$ અગ્નિની નજીક રાખેલ પદાર્થ મુખ્યત્વે કુદરતી ઉષ્મા નયન (અગ્નિ પાસેની હવા ગરમ થઈને ઉપર જાય છે) અને ઉષ્મા વિકિરણ (અગ્નિમાંથી સીધા ઉષ્મા તરંગો) દ્વારા ગરમી મેળવે છે.

(B) સિસ્ટમ અથવા પદાર્થ માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $\Delta S = \frac{Q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિસ્ટમ સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી,$T_{1}$ તાપમાને રહેલા રિઝર્વોયર દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ $T_{2}$ તાપમાને રહેલા રિઝર્વોયર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા (ધારો કે $Q$) જેટલી હોવી જોઈએ.
વહન પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારનો કુલ દર એ બંને રિઝર્વોયરના એન્ટ્રોપી ફેરફારોનો સરવાળો છે:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{-Q}{T_{1}} + \frac{Q}{T_{2}} \right) = \left( \frac{dQ}{dt} \right) \left( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right)$
ઉષ્મા વહનના ફુરિયરના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = kA \frac{(T_{1} - T_{2})}{L}$ છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
આને એન્ટ્રોપી દરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dS}{dt} = \left( kA \frac{(T_{1} - T_{2})}{L} \right) \left( \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1} T_{2}} \right) = \frac{kA}{L} \frac{(T_{1} - T_{2})^2}{T_{1} T_{2}}$
આપણે આને ગુણોત્તર $x = T_{1} / T_{2}$ ના સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{dS}{dt} = \frac{kA}{L} \frac{T_{2}^2 (x - 1)^2}{T_{2}^2 x} = \frac{kA}{L} \frac{(x - 1)^2}{x} = \frac{kA}{L} \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right)$
જ્યારે $x = 1$ $(T_{1} = T_{2})$,ત્યારે $\frac{dS}{dt} = 0$ થાય છે. $x > 1$ અથવા $x < 1$ માટે,$\frac{dS}{dt} > 0$ થાય છે. વિધેય $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x}$ એ $x=1$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે અને તે આલેખ $(b)$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(C) ધારો કે $Q$ એ કુલ આપાત ઉષ્મીય ઊર્જા છે,$Q_a$ એ શોષાયેલી ઊર્જા છે,$Q_t$ એ પ્રસારિત ઊર્જા છે અને $Q_r$ એ પરાવર્તિત ઊર્જા છે.
આપેલ છે: $Q = 120 \ J$,$Q_t = 12 \ J$ અને શોષણનો ગુણાંક $a = 0.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શોષણનો ગુણાંક $a = \frac{Q_a}{Q}$.
તેથી,$Q_a = a \times Q = 0.6 \times 120 \ J = 72 \ J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ આપાત ઊર્જા એ શોષાયેલી,પ્રસારિત અને પરાવર્તિત ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$Q = Q_a + Q_t + Q_r$
$120 \ J = 72 \ J + 12 \ J + Q_r$
$120 \ J = 84 \ J + Q_r$
$Q_r = 120 \ J - 84 \ J = 36 \ J$.
આમ,પરાવર્તિત ઉષ્માનું મૂલ્ય $36 \ J$ છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = \text{અચળ}$.
અહીં $\lambda_{m1} = \lambda_0$ અને $\lambda_{m2} = \frac{\lambda_0}{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2 \implies \lambda_0 T_1 = \frac{\lambda_0}{2} T_2 \implies T_2 = 2T_1$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^4$.
આમ,નવા પાવર $P_2$ અને પ્રારંભિક પાવર $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ થાય.
$T_2 = 2T_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{P_2}{P_1} = (2)^4 = 16$ મળે છે.
આમ,ઉત્સર્જિત પાવરમાં $16$ ગણો વધારો થશે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,તાપમાન $T$ એ મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ડિસ્ક માટે $A = \pi r^2$ હોવાથી (બંને બાજુથી ઉત્સર્જન ગણતા,$A = 2\pi r^2$),આપણને $P \propto r^2 T^4$ મળે છે.
$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$ મૂકતા,આપણને $P \propto \frac{r^2}{\lambda_{\max }^4}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_x = 2 \ m, r_y = 2 \ m, r_z = 6 \ m$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda_x = 3 \ \mu m, \lambda_y = 4 \ \mu m, \lambda_z = 5 \ \mu m$ માટે:
$P_x \propto \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81} \approx 0.049$
$P_y \propto \frac{2^2}{4^4} = \frac{4}{256} = 0.0156$
$P_z \propto \frac{6^2}{5^4} = \frac{36}{625} = 0.0576$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$P_z > P_x > P_y$ મળે છે. તેથી,$P_z$ મહત્તમ છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$ (અચળ),તેથી $T \propto 1/\lambda_m$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\lambda_P : \lambda_Q = 3:4$ આપેલ છે,તેથી તાપમાનનો ગુણોત્તર $T_P : T_Q = 4:3$ થશે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \frac{9}{4} \times \frac{256}{81} = \frac{1}{1} \times \frac{64}{9} = \frac{64}{9}$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_{\max} T = \text{અચળ}$, તેથી $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
આપેલ છે કે $\lambda_{1} = \lambda$ અને $\lambda_{2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
તેથી, $T_{2} = \frac{\lambda_{1} T_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{\lambda T_{1}}{2 \lambda / 3} = \frac{3}{2} T_{1}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ $T^{4}$ ના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $E = \sigma A T^{4}$.
તેથી, $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$.
$T_{2}$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{E_{2}}{E} = \left( \frac{3/2 T_{1}}{T_{1}} \right)^{4} = \left( \frac{3}{2} \right)^{4} = \frac{81}{16}$.
આમ, $E_{2} = \frac{81 E}{16}$.

(D) સ્ટેફનના અચળાંક $\sigma$ નું પરિમાણ સૂત્ર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ પાવર છે,$A$ ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ તાપમાન છે.
$[\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[ML^2 T^{-3}]}{[L^2][K^4]} = [MT^{-3} K^{-4}]$.
વિનના અચળાંક $b$ નું પરિમાણ $\lambda_{max} T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે અને $T$ તાપમાન છે.
$[b] = [L][K]$.
તેથી,$\sigma b$ ના પરિમાણો:
$[\sigma b] = [MT^{-3} K^{-4}] \times [LK] = [L^1 M^1 T^{-3} K^{-3}]$.

(A) ધારો કે સળિયાની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ અને આડછેદનો ક્ષેત્રફળ $A$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બરફમાં રહેલા ભાગ માટે (લંબાઈ $x_1 = 60 \, cm$): તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_1 = 325^{\circ} C - 0^{\circ} C = 325^{\circ} C$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_1 = \frac{KA(325)}{60}$ છે।
આ ઉષ્મા બરફને ઓગાળે છે: $H_1 = m_{ice} L_f$, જ્યાં $L_f$ એ ગલનની ગુપ્ત ઉષ્મા છે।
ઉકળતા પાણીમાં રહેલા ભાગ માટે (લંબાઈ $x_2 = 100 - 60 = 40 \, cm$): તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_2 = 325^{\circ} C - 100^{\circ} C = 225^{\circ} C$ છે। ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_2 = \frac{KA(225)}{40}$ છે।
આ ઉષ્મા પાણીને વરાળમાં ફેરવે છે: $H_2 = m_{steam} L_v$, જ્યાં $L_v = 6.75 L_f$.
આપેલ છે કે $m_{steam} = 2 \, g/s$, તેથી $H_2 = 2 \times 6.75 L_f = 13.5 L_f$.
$H_2$ ને સરખાવતા: $\frac{KA(225)}{40} = 13.5 L_f$ implies $KA = \frac{13.5 \times 40}{225} L_f = 2.4 L_f$.
હવે $KA$ ની કિંમત $H_1$ માં મૂકતા: $H_1 = \frac{2.4 L_f \times 325}{60} = 0.04 \times 325 L_f = 13 L_f$.
તેથી $m_{ice} = 13 \, g/s$.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: સંવહન એ અસમાન તાપમાનને કારણે ઘનતામાં થતા ફેરફારને લીધે પ્રવાહીના કણોના વાસ્તવિક સ્થાનાંતરણ દ્વારા ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ કરવાની પ્રક્રિયા છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: જ્યારે ગરમ સળિયાને વહેતા નળના પાણી નીચે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાના સંપર્કમાં રહેલું પાણી ગરમ થાય છે,તેની ઘનતા ઘટે છે અને તે ઉપર જાય છે,જ્યારે ઠંડું પાણી તેની જગ્યા લે છે. આ પરિભ્રમણને સંવહન કહેવાય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે: ઉષ્માને તાપમાનના તફાવતને કારણે વહન પામતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તાપમાનના તફાવત વિના,ઉષ્માનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતરણ શક્ય નથી.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે સંવહન દ્વારા ઉષ્મા વ્યયનો દર = વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા વ્યયનો દર.
ધારો કે $h$ સંવહન અચળાંક છે,$A$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$e$ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ આસપાસનું તાપમાન છે.
$T = 400 + 273 = 673 \ K$
$T_0 = 30 + 273 = 303 \ K$
સંવહન દ્વારા ઉષ્મા વ્યયનો દર $P_{conv} = hA(T - T_0)$ છે.
વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા વ્યયનો દર $P_{rad} = eA\sigma(T^4 - T_0^4)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $hA(T - T_0) = eA\sigma(T^4 - T_0^4)$.
$20(673 - 303) = e(5.67 \times 10^{-8})(673^4 - 303^4)$.
$20(370) = e(5.67 \times 10^{-8})(2.049 \times 10^{11} - 0.0084 \times 10^{11})$.
$7400 = e(5.67 \times 10^{-8})(2.0406 \times 10^{11})$.
$7400 = e(11570.2)$.
$e = 7400 / 11570.2 \approx 0.6397$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$e \approx 0.66$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P \propto T^4$ છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉર્જાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda \propto \frac{1}{T}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto \frac{1}{\lambda}$.
આને પાવરના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $P \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4 = \frac{1}{\lambda^4}$ મળે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^4$ થાય.
અહીં $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ મળે.
આમ,$P_2 = 16 P_1 = 16 P$ થાય.

(B) સ્ટેફનના નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(E)$ એ $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફનનો અચળાંક છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$\sigma$ માટે પરિમાણીય વિશ્લેષણ:
$\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2 T]} = [\sigma] [K^4]$
$[M T^{-3}] = [\sigma] [K^4]$
$[\sigma] = [M T^{-3} K^{-4}]$
વિયનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $b = \lambda T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે અને $T$ એ તાપમાન છે.
$b$ નું પરિમાણ = $[L K]$.
હવે,$\sigma b^4$ ના પરિમાણોની ગણતરી કરતા:
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L K]^4$
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L^4 K^4]$
$[\sigma b^4] = [M L^4 T^{-3}]$.