Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Gujarati

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં, શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સ્લેબમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે, $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે, $L$ એ જાડાઈ છે અને $(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
ધારો કે જંકશન $EF$ નું તાપમાન $T$ છે.
પ્રથમ સ્લેબ માટે (જાડાઈ $d$, વાહકતા $2k$): $H_1 = \frac{(2k)A(100 - T)}{d}$
બીજા સ્લેબ માટે (જાડાઈ $2d$, વાહકતા $k$): $H_2 = \frac{kA(T - 0)}{2d}$
કારણ કે $H_1 = H_2$:
$\frac{2kA(100 - T)}{d} = \frac{kA(T - 0)}{2d}$
$2(100 - T) = \frac{T}{2}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^oC$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને શીટ્સમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
$H = \frac{K_1 A (T_A - T_B)}{d} = \frac{K_2 A (T_B - T_C)}{2d}$
આપેલ છે કે $T_A, T_B, T_C$ એ $r = 2$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે ભૂમિતિ શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$T_B = 2 T_A$ અને $T_C = 4 T_A$.
આ કિંમતોને ઉષ્મા પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{K_1 (T_A - 2 T_A)}{d} = \frac{K_2 (2 T_A - 4 T_A)}{2d}$
$\frac{K_1 (-T_A)}{d} = \frac{K_2 (-2 T_A)}{2d}$
$- \frac{K_1 T_A}{d} = - \frac{K_2 T_A}{d}$
$K_1 = K_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = 1$ થાય.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સ્તરો $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $\dot{Q}$ સમાન હોવો જોઈએ.
આપેલ છે: જાડાઈ $d_A = d_B = d$,ઉષ્મીય વાહકતા $k_A = 2k$ અને $k_B = k$.
ઉષ્માના વહનનો દર $\dot{Q} = \frac{kA \Delta T}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\dot{Q}$ અચળ છે અને $A$ તથા $d$ બંને સ્તરો માટે સમાન હોવાથી,$k_A \Delta T_A = k_B \Delta T_B$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(2k) \Delta T_A = (k) \Delta T_B$.
આપેલ છે કે $\Delta T_B = 36^{\circ}C$,તેથી $2 \Delta T_A = 36^{\circ}C$.
આમ,$\Delta T_A = \frac{36}{2} = 18^{\circ}C$ મળે.

(B) સળિયા $AB$ માં ઉષ્માનો કોઈ પ્રવાહ ન હોવાથી,જંકશન $B$ નું તાપમાન $A$ ના તાપમાન જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\theta_B = \theta_A = 20^{\circ} C$.
$D$ થી $B$ તરફ વહેતી ઉષ્મા એ $B$ થી $C$ તરફ વહેતી ઉષ્મા જેટલી જ હોવી જોઈએ (કારણ કે $AB$ માં કોઈ ઉષ્મા વહેતી નથી),તેથી:
$\frac{KA(90^{\circ} - 20^{\circ})}{L_{BD}} = \frac{KA(20^{\circ} - 0^{\circ})}{L_{BC}}$
$\frac{70}{L_{BD}} = \frac{20}{L_{BC}}$
$\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$
આમ,$BD$ અને $BC$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $7/2$ છે.

(C) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે અને સળિયાઓમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ અનુક્રમે $H_{1}, H_{2}$ અને $H_{3}$ છે.
જંકશન પર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા ઉષ્મા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ઉષ્મા $30^{\circ}C$ ના છેડાથી જંકશન તરફ વહે છે,અને જંકશનથી $20^{\circ}C$ અને $10^{\circ}C$ ના છેડાઓ તરફ વહે છે:
$H_{1} = H_{2} + H_{3}$
ઉષ્મા પ્રવાહના સૂત્ર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $L$ એ લંબાઈ છે:
$\frac{30 - \theta}{\left(\frac{30}{KA}\right)} = \frac{\theta - 20}{\left(\frac{20}{KA}\right)} + \frac{\theta - 10}{\left(\frac{10}{KA}\right)}$
બંને બાજુથી $KA$ ને દૂર કરતા:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
છેદ દૂર કરવા માટે $60$ વડે ગુણતા:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$11\theta = 180$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ}C \approx 16.4^{\circ}C$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $A = 9.0 \, cm^2 = 9.0 \times 10^{-4} \, m^2$,$l = 0.54 \, m$,$\Delta T = 100 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 100 \, K$.
ઉષ્મા વહનનો દર એ બરફ ઓગળવાના દર જેટલો હોય છે: $H = \frac{m L_f}{t}$,જ્યાં $L_f = 334 \, J/g$ (બરફની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા).
$H = \frac{1 \, g \times 334 \, J/g}{33 \, s} \approx 10.12 \, W$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{K \times 9.0 \times 10^{-4} \times 100}{0.54} = \frac{334}{33}$.
$K \times \frac{0.09}{0.54} = 10.12$.
$K \times \frac{1}{6} = 10.12$.
$K = 60.72 \, W m^{-1} K^{-1}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$K = 60 \, W m^{-1} K^{-1}$.

(A) સ્તરોના શ્રેણી જોડાણમાંથી સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt}$ બંને સ્તરોમાં અચળ રહે છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{\Delta T}{\Delta x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{\Delta T}{\Delta x}$ એ તાપમાન પ્રચલન ($T-x$ આલેખનો ઢાળ) છે.
જેમ કે $\frac{dQ}{dt}$ અને $A$ અચળ છે,તેથી $\frac{\Delta T}{\Delta x} \propto \frac{1}{k}$ થાય.
આલેખ પરથી,સ્તર $(1)$ માં તાપમાન પ્રોફાઇલનો ઢાળ સ્તર $(2)$ ના ઢાળ કરતા ઓછો છે,એટલે કે $|\frac{\Delta T}{\Delta x}|_1 < |\frac{\Delta T}{\Delta x}|_2$.
ઢાળ એ $k$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,નાનો ઢાળ મોટી ઉષ્મા વાહકતા સૂચવે છે.
તેથી,$k_1 > k_2$.

(B) સળિયામાંથી વહેતા ઉષ્માનો દર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને સળિયામાંથી વહેતો ઉષ્માનો દર $\dot{Q}$ સમાન હોવો જોઈએ.
સળિયા $A$ માટે (ઉષ્મા વાહકતા $3K$): $\dot{Q}_A = \frac{(3K)A T_A}{l}$.
સળિયા $B$ માટે (ઉષ્મા વાહકતા $K$): $\dot{Q}_B = \frac{KA T_B}{l}$.
કારણ કે $\dot{Q}_A = \dot{Q}_B$,તેથી:
$\frac{3KA T_A}{l} = \frac{KA T_B}{l}$
$3 T_A = T_B$
તેથી,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{3}$.

(B) શ્રેણી જોડાણમાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = KA \frac{\Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta T/l$ એ તાપમાનનો ઢાળ $(G)$ છે.
કારણ કે $H$ બંને સળિયા માટે અચળ છે,તેથી $H = K_A A G_A = K_B A G_B$.
અહીં $K_A = 3K$ અને $K_B = K$ આપેલ છે,તેથી $(3K) A G_A = (K) A G_B$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $3 G_A = G_B$ મળે છે.
તેથી,તાપમાનના ઢાળનો ગુણોત્તર $\frac{G_A}{G_B} = \frac{1}{3}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પાતળી શીટ (જાડાઈ $d$) અને જાડી શીટ (જાડાઈ $3d$) ની ઉષ્મીય વાહકતા અનુક્રમે $K_1$ અને $K_2$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને શીટ્સમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (A - B)}{d} = \frac{K_2 A (B - C)}{3d}$
કારણ કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $B - A = C - B$,જેનો અર્થ છે કે $A - B = B - C$.
આ કિંમતને ઉષ્મા પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{K_1}{d} = \frac{K_2}{3d}$
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{3}$
આમ,પાતળી શીટ અને જાડી શીટની ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $1 : 3$ છે.

(A) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = -KA \frac{dT}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયો અવાહક હોવાથી,સમગ્ર લંબાઈ પર $H$ અચળ રહે છે.
$K = \frac{\alpha}{T}$ મૂકતા,આપણને $H = -\frac{\alpha A}{T} \frac{dT}{dx}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{H}{\alpha A} dx = -\frac{dT}{T}$.
$x=0$ થી $x$ અને $T=T_1$ થી $T$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^x \frac{H}{\alpha A} dx = -\int_{T_1}^T \frac{dT}{T}$.
$\frac{H}{\alpha A} x = -(\ln T - \ln T_1) = \ln \frac{T_1}{T}$.
$x=L$ પર,$T=T_2$ હોવાથી,$\frac{H}{\alpha A} L = \ln \frac{T_1}{T_2}$.
આમ,$\frac{H}{\alpha A} = \frac{1}{L} \ln \frac{T_1}{T_2}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $\frac{x}{L} \ln \frac{T_1}{T_2} = \ln \frac{T_1}{T}$.
$\ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \ln \frac{T_1}{T}$.
બંને બાજુ એક્સપોનેન્શિયલ લેતા: $\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \frac{T_1}{T}$.
તેથી,$T = T_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{x}{L}}$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને વિભાગોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે જોડાણ બિંદુ આગળનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વિભાગ માટે: $H = \frac{K_1 A(T_1 - T)}{l_1}$.
બીજા વિભાગ માટે: $H = \frac{K_2 A(T - T_2)}{l_2}$.
બંને દરોને સરખાવતા: $\frac{K_1 A(T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 A(T - T_2)}{l_2}$.
$\frac{K_1(T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2(T - T_2)}{l_2}$.
$K_1 l_2(T_1 - T) = K_2 l_1(T - T_2)$.
$K_1 l_2 T_1 - K_1 l_2 T = K_2 l_1 T - K_2 l_1 T_2$.
$K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2 = T(K_1 l_2 + K_2 l_1)$.
$T = \frac{K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2}{K_1 l_2 + K_2 l_1}$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના બંને વિભાગોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે જોડાણ બિંદુ પરનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વિભાગો માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી:
$\frac{K_1 A (T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{l_2}$
$\frac{K_1 (T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{l_2}$
$K_1 l_2 (T_1 - T) = K_2 l_1 (T - T_2)$
$K_1 l_2 T_1 - K_1 l_2 T = K_2 l_1 T - K_2 l_1 T_2$
$K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2 = T (K_1 l_2 + K_2 l_1)$
$T = \frac{K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2}{K_1 l_2 + K_2 l_1}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સમાન ધાતુના સળિયાના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ અચળ હોય છે.
ઉષ્મા વહન માટેના ફુરિયરના નિયમ મુજબ,$H = -kA \frac{d\theta}{dx}$,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{d\theta}{dx}$ એ તાપમાન પ્રચલન છે.
સમાન સળિયા માટે $H$,$k$,અને $A$ અચળ હોવાથી,તાપમાન પ્રચલન $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{H}{kA}$ પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
આ સમીકરણનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\theta(x) = -(\frac{H}{kA})x + C$ મળે છે,જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે જે ગરમ છેડા $(x=0)$ પરનું તાપમાન દર્શાવે છે.
આ સમીકરણ $\theta = -mx + C$ સ્વરૂપનું છે,જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,સળિયાની લંબાઈ સાથે તાપમાન રેખીય રીતે ઘટે છે.

(C) ધારો કે જંકશન $D$ નું તાપમાન $T_D$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં, જંકશન $D$ પર ચોખ્ખો ઉષ્મા પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે: $i_{AD} + i_{CD} = 0$.
$\frac{KA}{L}(100 - T_D) + \frac{KA}{L}(0 - T_D) = 0 \implies 100 - T_D - T_D = 0 \implies 2T_D = 100 \implies T_D = 50^{\circ}C$. (વિધાન $B$ સાચું છે).
હવે, ઉષ્મા પ્રવાહની ગણતરી કરો:
$i_{AB} = \frac{KA}{L}(100 - 40) = 1 \times 60 = 60 \text{ J/s}$.
$i_{BC} = \frac{KA}{L}(40 - 0) = 1 \times 40 = 40 \text{ J/s}$.
$i_{AD} = \frac{KA}{L}(100 - 50) = 50 \text{ J/s}$.
$i_{DC} = \frac{KA}{L}(50 - 0) = 50 \text{ J/s}$.
$i_{AB}$ અને $i_{BC}$ ની સરખામણી કરતા: $i_{AB} = 60 \text{ J/s}$ અને $i_{BC} = 40 \text{ J/s}$. તેથી, $i_{AB} = 1.5 \times i_{BC}$. (વિધાન $A$ સાચું છે, વિધાન $C$ ખોટું છે).
$B$ પર દૂર કરવામાં આવતો ઉષ્મા પ્રવાહ: જંકશન $B$ એ $A$ પાસેથી ઉષ્મા મેળવે છે $(i_{AB} = 60 \text{ J/s})$ અને $C$ ને ઉષ્મા ગુમાવે છે $(i_{BC} = 40 \text{ J/s})$. બાકીની ઉષ્મા $B$ માંથી દૂર કરવી પડે: $i_{withdrawn} = i_{AB} - i_{BC} = 60 - 40 = 20 \text{ J/s}$. (વિધાન $D$ સાચું છે).

(B) સમાન આડછેદ ધરાવતા સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનની સ્થાયી અવસ્થામાં, ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(dQ/dt)$ અચળ હોય છે.
ફુરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ, $dQ/dt = -kA(d\theta/dx)$, જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $d\theta/dx$ એ તાપમાન પ્રચલન (temperature gradient) છે.
કારણ કે $dQ/dt$, $k$, અને $A$ અચળ છે, તેથી તાપમાન પ્રચલન $d\theta/dx$ પણ અચળ હોવું જોઈએ.
આ સૂચવે છે કે તાપમાન $\theta$ એ ગરમ છેડાથી અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
તેથી, તાપમાન વિરુદ્ધ અંતરનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા મળે છે.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,જંકશન પર કુલ ઉષ્માનો પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ દરેક સળિયાની લંબાઈ છે.
ત્રણ સળિયા માટે ઉષ્મા પ્રવાહ:
$H_1 = \frac{K A (110 - T)}{L}$
$H_2 = \frac{2K A (20 - T)}{L}$
$H_3 = \frac{3K A (T - 0)}{L}$
જંકશન પર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતો ઉષ્મા પ્રવાહ = જંકશનમાંથી બહાર નીકળતો ઉષ્મા પ્રવાહ.
$H_1 + H_2 = H_3$
$\frac{KA(110-T)}{L} + \frac{2KA(20-T)}{L} = \frac{3KA(T-0)}{L}$
$\frac{KA}{L}$ વડે ભાગતા:
$(110 - T) + 2(20 - T) = 3T$
$110 - T + 40 - 2T = 3T$
$150 - 3T = 3T$
$6T = 150$
$T = 25\ ^oC$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સૂત્ર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$K$ અચળ છે. આપેલ છે કે $\Delta T$ પણ સમાન છે,તેથી $H \propto \frac{A}{L}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,તેથી $A \propto d^2$.
આમ,ઉષ્મા વહનનો ગુણોત્તર $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \times \left( \frac{L_2}{L_1} \right)$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{1}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:8$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સ્તરો $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{L} = \frac{K_B A \Delta T_B}{L}$
બંને સ્તરો માટે ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $L$ સમાન હોવાથી:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
આપેલ છે કે $A$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $B$ કરતા બમણી છે,એટલે કે $K_A = 2K_B$:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \implies \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
દીવાલની બંને બાજુનો કુલ તાપમાનનો તફાવત $36\,^{\circ}C$ આપેલ છે:
$\Delta T_A + \Delta T_B = 36$
સમીકરણમાં $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ મૂકતા:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36$
$3 \Delta T_A = 36$
$\Delta T_A = 12\,^{\circ}C$

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયાઓમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\varphi$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સળિયા માટે: $H_1 = \frac{K \cdot A \cdot (\varphi - 0)}{1}$.
બીજા સળિયા માટે: $H_2 = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \varphi)}{2}$.
$H_1 = H_2$ હોવાથી:
$K \cdot A \cdot \varphi = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \varphi)}{2}$.
બંને બાજુથી $K$ અને $A$ ને દૂર કરતા:
$\varphi = \frac{3(100 - \varphi)}{2}$.
$2\varphi = 300 - 3\varphi$.
$5\varphi = 300$.
$\varphi = 60\,^{\circ}C$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે,એટલે કે $\left(\frac{dQ}{dt}\right)_{A} = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_{B}$.
સૂત્ર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
સળિયા $A$ માટે: $L_A = 30 \text{ cm}$,$\Delta T_A = 100 - 70 = 30^{\circ}\text{C}$.
સળિયા $B$ માટે: $L_B = 100 - 30 = 70 \text{ cm}$,$\Delta T_B = 70 - 35 = 35^{\circ}\text{C}$.
ધારો કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે:
$\frac{K_A A (30)}{30} = \frac{K_B A (35)}{70}$
$K_A = K_B \times \frac{35}{70}$
$K_A = K_B \times 0.5$
તેથી,$\frac{K_A}{K_B} = 0.5$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોય છે.
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A \Delta T_A}{L_A} = \frac{K_B A \Delta T_B}{L_B}$
આપેલ છે: $L_A = 30 \text{ cm}$,$L_B = 70 \text{ cm}$,$\Delta T_A = 100 - 70 = 30 \text{ } ^\circ\text{C}$,$\Delta T_B = 70 - 35 = 35 \text{ } ^\circ\text{C}$.
ધારો કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે:
$\frac{K_A \cdot 30}{30} = \frac{K_B \cdot 35}{70}$
$K_A = K_B \cdot 0.5$
$\frac{K_A}{K_B} = 0.5$

(C) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે અને $H_1, H_2, H_3$ એ સળિયામાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ છે.
જંકશન પર ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં પ્રવેશતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા ઉષ્મા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
આકૃતિ પરથી,$H_1 = H_2 + H_3$.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે તમામ સળિયા માટે $K$ અને $A$ સમાન છે,તેથી:
$\frac{30 - \theta}{(30/KA)} = \frac{\theta - 20}{(20/KA)} + \frac{\theta - 10}{(10/KA)}$
$KA$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$11\theta = 180$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ}C \approx 16.4^{\circ}C$.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં આવતી ઉષ્માનો દર એ જંકશનમાંથી બહાર જતી ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$100\,^{\circ}C$ સાથે જોડાયેલા $3k$ વાહકતા ધરાવતા સળિયા માટે,જંકશન તરફ ઉષ્માનો પ્રવાહ $H_1 = \frac{3k A(100 - \theta)}{L}$ છે.
અન્ય બે સળિયાઓ માટે,ઉષ્મા જંકશનથી દૂર $50\,^{\circ}C$ અને $0\,^{\circ}C$ તરફ વહે છે:
$H_2 = \frac{2k A(\theta - 50)}{L}$
$H_3 = \frac{k A(\theta - 0)}{L}$
જંકશનના નિયમ મુજબ,$H_1 = H_2 + H_3$:
$\frac{3k A(100 - \theta)}{L} = \frac{2k A(\theta - 50)}{L} + \frac{k A(\theta - 0)}{L}$
બંને બાજુથી $\frac{kA}{L}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + \theta$
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta$
$300 - 3\theta = 3\theta - 100$
$400 = 6\theta$
$\theta = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}\,^{\circ}C$

(B) સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = -KA \frac{dT}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે.
આપેલ છે કે $K = C/T$,તેથી $H = -\frac{C}{T} A \frac{dT}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા,$H \frac{dx}{A} = -C \frac{dT}{T}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x=0$ થી $x=l$ અને $T=T_1$ થી $T=T_2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^l \frac{H}{A} dx = -\int_{T_1}^{T_2} C \frac{dT}{T}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $J_H = H/A$ અચળ રહે છે.
$J_H \int_0^l dx = -C [\ln T]_{T_1}^{T_2}$.
$J_H \cdot l = -C (\ln T_2 - \ln T_1) = C \ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$.
તેથી,ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતાનું મૂલ્ય $J_H = \frac{C}{l} \ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$ મળે છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર અચળ હોય છે.
ધારો કે બિંદુ $C$ પર તાપમાન $\theta$ છે,જે છેડા $A$ થી $x = 0.6\,m$ અંતરે છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આખા સળિયા $AB$ માટે (લંબાઈ $L = 1\,m$): $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(80 - 0)}{1} = 80KA$.
વિભાગ $AC$ માટે (લંબાઈ $x = 0.6\,m$): $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(80 - \theta)}{0.6}$.
બંને દરોને સરખાવતા: $80KA = \frac{KA(80 - \theta)}{0.6}$.
$80 = \frac{80 - \theta}{0.6}$.
$80 \times 0.6 = 80 - \theta$.
$48 = 80 - \theta$.
$\theta = 80 - 48 = 32^{\circ}C$.

(A) ધારો કે સ્ટીલની ઉષ્મીય વાહકતા $K_{steel} = k$ છે.
તેથી,તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા $K_{copper} = 9k$ થશે.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી અને આસપાસના વાતાવરણથી અવાહક હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હશે.
$H = \frac{K_{copper} A (100 - \theta)}{L/2} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L/2}$
બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $L/2$ સમાન હોવાથી:
$K_{copper} (100 - \theta) = K_{steel} (\theta - 0)$
$9k (100 - \theta) = k \theta$
$900 - 9\theta = \theta$
$10\theta = 900$
$\theta = 90\,^oC$.

(A) ઉર્જા ફ્લક્સ (ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા) $J$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $J = \frac{1}{A} \frac{dQ}{dt} = k \frac{\Delta T}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો:
ઉષ્મીય વાહકતા $k = 0.1\, W\, K^{-1}\, m^{-1}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T_1 - T_2 = 10^3 - 10^2 = 1000 - 100 = 900\, K$.
જાડાઈ $\ell = 1\, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$J = 0.1 \times \frac{900}{1} = 90\, W\, m^{-2}$.
તેથી,ઉર્જા ફ્લક્સ $90\, W\, m^{-2}$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને પદાર્થોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $H_1 = \frac{(3K)A(\theta_2 - \theta)}{d}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $H_2 = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$.
$H_1$ અને $H_2$ ને સરખાવતા:
$\frac{3KA(\theta_2 - \theta)}{d} = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$
$9(\theta_2 - \theta) = \theta - \theta_1$
$9\theta_2 - 9\theta = \theta - \theta_1$
$10\theta = 9\theta_2 + \theta_1$
$\theta = \frac{9\theta_2 + \theta_1}{10} = \frac{\theta_1}{10} + \frac{9\theta_2}{10}$.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(Q)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{KA \Delta T}{L}$,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
બધા સળિયા માટે $K$ અને $\Delta T$ સમાન હોવાથી,$Q \propto \frac{A}{L}$ થાય.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$Q \propto \frac{r^2}{L}$ મળે.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{L}$ નો ગુણોત્તર ગણીએ:
$A: \frac{1^2}{50} = \frac{1}{50} = 0.02$
$B: \frac{2^2}{100} = \frac{4}{100} = 0.04$
$C: \frac{0.5^2}{25} = \frac{0.25}{25} = 0.01$
$D: \frac{1.5^2}{75} = \frac{2.25}{75} = 0.03$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ $(0.04)$ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ વાળો સળિયો સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
$H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} = \frac{T_A - T_C}{R_{AC}}$
ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સળિયાની લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(R = \frac{L}{kA})$,આપણને મળે છે $\frac{R_{AC}}{R_{AB}} = \frac{L_{AC}}{L_{AB}}$.
તેથી,$\frac{T_A - T_C}{T_A - T_B} = \frac{L_{AC}}{L_{AB}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T_A = 100\,^{\circ}C$,$T_B = 0\,^{\circ}C$,$L_{AC} = 9\,cm$,અને $L_{AB} = 20\,cm$.
$\frac{100 - T_C}{100 - 0} = \frac{9}{20}$
$100 - T_C = \frac{9}{20} \times 100$
$100 - T_C = 45$
$T_C = 100 - 45 = 55\,^{\circ}C$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ સમાન હોય છે.
ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $\Delta T = H \cdot \frac{L}{KA}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$dx$ લંબાઈના નાના ભાગ માટે,તાપમાનમાં ઘટાડો $dT = H \cdot \frac{dx}{KA}$ થાય છે.
આમ,તાપમાનનો ઢાળ $\frac{dT}{dx} = -\frac{H}{KA}$ છે.
જેમ કે $H$ અને $A$ અચળ છે,તાપમાનના ઢાળનું મૂલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $|\frac{dT}{dx}| \propto \frac{1}{K}$).
આપેલ છે કે $K_{Cu} > K_{Steel}$,તેથી તાંબાના સળિયામાં તાપમાનના ઢાળનું મૂલ્ય સ્ટીલના સળિયા કરતા ઓછું હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T-x$ આલેખનો ઢાળ તાંબાના સળિયા $(0 < x < L)$ માટે ઓછો અને સ્ટીલના સળિયા $(L < x < 2L)$ માટે વધારે હોય છે.
આલેખ $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) શ્રેણીમાં જોડાયેલા સળિયાઓમાંથી થતા સ્થાયી ઉષ્મા વહનમાં,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dH}{dt}$ બંને સળિયા માટે સમાન હોય છે.
ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર $\frac{dH}{dt} = K A \left| \frac{dT}{dx} \right|$ છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\left| \frac{dT}{dx} \right|$ એ તાપમાન પ્રચલન (temperature gradient) છે.
કારણ કે $\frac{dH}{dt}$ અને $A$ બંને સળિયા માટે અચળ છે,તેથી $K_1 \left| \frac{dT}{dx} \right|_1 = K_2 \left| \frac{dT}{dx} \right|_2$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી,તાપમાન-અંતર રેખાનો ઢાળ એ તાપમાન પ્રચલનના મૂલ્ય $\left| \frac{dT}{dx} \right|$ ને દર્શાવે છે.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બીજા સળિયા માટેનો ઢાળ ($L$ થી $2L$ સુધી) એ પહેલા સળિયાના ઢાળ ($0$ થી $L$ સુધી) કરતા વધારે છે.
તેથી,$\left| \frac{dT}{dx} \right|_2 > \left| \frac{dT}{dx} \right|_1$.
આમ,$K_1 \left| \frac{dT}{dx} \right|_1 = K_2 \left| \frac{dT}{dx} \right|_2$ હોવાથી અને $\left| \frac{dT}{dx} \right|_2 > \left| \frac{dT}{dx} \right|_1$ હોવાથી,$K_1 > K_2$ સાબિત થાય છે.

(B) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T_0$ છે.
સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા ઉષ્મા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{T_0 - 100}{R_1} + \frac{T_0 - 50}{R_2} + \frac{T_0 - 0}{R_3} = 0$
સળિયા સમાન પરિમાણો (લંબાઈ $L$ અને ક્ષેત્રફળ $A$) ધરાવતા હોવાથી,ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{L}{kA}$ થાય.
તેથી,$R_1 = \frac{L}{3KA}$,$R_2 = \frac{L}{2KA}$,અને $R_3 = \frac{L}{KA}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T_0 - 100}{L/(3KA)} + \frac{T_0 - 50}{L/(2KA)} + \frac{T_0 - 0}{L/(KA)} = 0$
$3K' (T_0 - 100) + 2K' (T_0 - 50) + K' (T_0) = 0$ (જ્યાં $K' = \frac{KA}{L}$)
$3T_0 - 300 + 2T_0 - 100 + T_0 = 0$
$6T_0 = 400$
$T_0 = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના બંને ભાગોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે ધાતુની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે,બંને ભાગોની લંબાઈ $l_1 = l_2 = 1\, m$ છે,અને જંકશન $C$ પાસેનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ભાગ માટે: $H_1 = \frac{K(2A)(100 - T)}{1}$.
બીજા ભાગ માટે: $H_2 = \frac{K(A)(T - 70)}{1}$.
$H_1 = H_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2KA(100 - T) = KA(T - 70)$
$2(100 - T) = T - 70$
$200 - 2T = T - 70$
$3T = 270$
$T = 90\,^{\circ}C$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના વહનનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_H - T_L)}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2k$ ઉષ્મા વાહકતા ધરાવતા સળિયા માટે ($100^oC$ સાથે જોડાયેલ): $\frac{dQ_1}{dt} = \frac{2kA(100 - T)}{\ell}$.
$k$ ઉષ્મા વાહકતા ધરાવતા સળિયા માટે ($20^oC$ સાથે જોડાયેલ): $\frac{dQ_2}{dt} = \frac{kA(T - 20)}{\ell}$.
બંને દરોને સરખાવતા: $\frac{2kA(100 - T)}{\ell} = \frac{kA(T - 20)}{\ell}$.
$2(100 - T) = T - 20$.
$200 - 2T = T - 20$.
$3T = 220$.
$T = \frac{220}{3} \approx 73.3^oC$.

(B) રસોઈના વાસણમાં નીચેના ગુણધર્મો હોવા જોઈએ:
$1$. ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતા,જેથી તે ગરમીને સ્ત્રોતમાંથી અંદર રહેલા ખોરાક સુધી કાર્યક્ષમ રીતે પહોંચાડી શકે.
$2$. ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા,જેથી વાસણ પોતે ન્યૂનતમ ગરમી શોષીને ઝડપથી જરૂરી તાપમાન પ્રાપ્ત કરી શકે.

(C) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
જ્યારે સળિયાને ઓગાળીને નવો આકાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે કદ $V = A \cdot l = \pi r^2 l$ અચળ રહે છે.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ છે.
$V = \pi (r')^2 l' = \pi (\frac{r}{2})^2 l' = \pi \frac{r^2}{4} l'$ હોવાથી,$\pi r^2 l = \pi \frac{r^2}{4} l'$ મળે,જે નવી લંબાઈ $l' = 4l$ દર્શાવે છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi (r')^2 = \pi (\frac{r}{2})^2 = \frac{A}{4}$ છે.
નવા સળિયા દ્વારા $t$ સમયમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q' = \frac{kA' (T_1 - T_2) t}{l'}$ છે.
$A' = \frac{A}{4}$ અને $l' = 4l$ મૂકતા:
$Q' = \frac{k (A/4) (T_1 - T_2) t}{4l} = \frac{1}{16} \frac{kA(T_1 - T_2) t}{l}$.
$Q = \frac{kA(T_1 - T_2) t}{l}$ હોવાથી,આપણને $Q' = \frac{Q}{16}$ મળે છે.

(A) $L$ લંબાઈ અને છેડાઓ પર $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા શંકુ આકારના સળિયા માટે,$r_1$ ત્રિજ્યાવાળા છેડાથી $x$ અંતરે ત્રિજ્યા $r(x) = r_1 + \frac{r_2 - r_1}{L}x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dx$ જાડાઈના નાના ઘટકનો ઉષ્મીય અવરોધ $dR = \frac{dx}{K A(x)} = \frac{dx}{K \pi (r(x))^2}$ છે.
કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ $0$ થી $L$ સુધી $dR$ નું સંકલન છે:
$R = \int_{0}^{L} \frac{dx}{K \pi (r_1 + \frac{r_2 - r_1}{L}x)^2}$.
આ સંકલન ઉકેલતા $R = \frac{L}{K \pi r_1 r_2}$ મળે છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R} = \frac{K \pi r_1 r_2 (T_2 - T_1)}{L}$ છે.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta T}{L}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સળિયા માટે ($100\,^{\circ}C$ સાથે જોડાયેલ): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = \frac{3KA}{L}(100 - \theta)$.
બીજા સળિયા માટે ($50\,^{\circ}C$ સાથે જોડાયેલ): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_2 = \frac{2KA}{L}(\theta - 50)$.
ત્રીજા સળિયા માટે ($20\,^{\circ}C$ સાથે જોડાયેલ): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_3 = \frac{KA}{L}(\theta - 20)$.
જંકશન પર,ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત (સ્થાયી અવસ્થા) મુજબ,અંદર આવતી ઉષ્મા બહાર જતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ:
$\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = \left( \frac{dQ}{dt} \right)_2 + \left( \frac{dQ}{dt} \right)_3$.
પદો મૂકતા:
$\frac{3KA}{L}(100 - \theta) = \frac{2KA}{L}(\theta - 50) + \frac{KA}{L}(\theta - 20)$.
બંને બાજુથી $\frac{KA}{L}$ દૂર કરતા:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + (\theta - 20)$.
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta - 20$.
$300 - 3\theta = 3\theta - 120$.
$6\theta = 420$.
$\theta = 70\,^{\circ}C$.

(A) પિત્તળ એ ધાતુ છે અને તે ઉષ્માનું સુવાહક છે. ઠંડીના દિવસે,જ્યારે આપણે પિત્તળના ગ્લાસને સ્પર્શ કરીએ છીએ,ત્યારે તેની ઊંચી ઉષ્મા વાહકતાને કારણે આપણા શરીરની ગરમી ઝડપથી પિત્તળમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. શરીર ઝડપથી ગરમી ગુમાવતું હોવાથી,ગ્લાસ ઠંડો લાગે છે.
બીજી તરફ,લાકડું એ ઉષ્માનું મંદ વાહક (અવાહક) છે. આપણા શરીરથી લાકડામાં ગરમીનું સ્થાનાંતરણ ખૂબ જ ધીમું અને ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી લાકડાની ટ્રે પિત્તળના ગ્લાસ જેટલી ઠંડી લાગતી નથી.

(D) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = -K A \frac{dT}{dx}$.
અહીં,$\frac{dQ}{dt}$ એ ઉષ્મા પ્રવાહનો દર છે જેનો એકમ વોટ ($W$ અથવા $J/s$) છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે જેનો એકમ $m^2$ છે,અને $\frac{dT}{dx}$ એ તાપમાન પ્રચલન છે જેનો એકમ $K/m$ છે.
ઉષ્મા વાહકતા $(K)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{(dQ/dt)}{A \cdot (dT/dx)}$
એકમો મૂકતા:
$K = \frac{W}{m^2 \cdot (K/m)} = \frac{W}{m \cdot K} = W m^{-1} K^{-1}$.
તેથી,ઉષ્મા વાહકતાનો એકમ $W m^{-1} K^{-1}$ છે.

(A) $x$ જાડાઈ ધરાવતા બરફના સ્તરમાંથી $dt$ સમયમાં વહન પામતી ઉષ્મા $dQ = \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} dt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T_2 = 0^{\circ}C$ (પાણી-બરફની સપાટીનું તાપમાન) અને $T_1 = -26^{\circ}C$ (બહારના હવાનું તાપમાન).
તેથી,$dQ = \frac{KA(0 - (-26))}{x} dt = \frac{26KA}{x} dt$.
આ ઉષ્માને કારણે $dx$ જેટલી વધારાની જાડાઈનું પાણી બરફમાં ફેરવાય છે. આ નવા બરફના સ્તરનું દળ $dm = A \cdot dx \cdot \rho$ છે.
આ અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = dm \cdot L = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$ છે.
$dQ$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{26KA}{x} dt = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$.
જાડાઈમાં થતા વધારાનો દર $\frac{dx}{dt}$ શોધવા માટે:
$\frac{dx}{dt} = \frac{26K}{\rho x L}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર કોપરના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_H - T_L)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટીલના સળિયા $(1)$ માટે: $K_1 = 50.2 \; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,$A_1 = 2A_2$,$L_1 = 0.15 \; m$,$T_H = 300^{\circ} C$,$T_L = T$.
કોપરના સળિયા $(2)$ માટે: $K_2 = 385 \; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,$A_2$,$L_2 = 0.10 \; m$,$T_H = T$,$T_L = 0^{\circ} C$.
ઉષ્મા પ્રવાહના દરોને સરખાવતા:
$\frac{K_1 A_1 (300 - T)}{L_1} = \frac{K_2 A_2 (T - 0)}{L_2}$
$\frac{50.2 \times (2 A_2) \times (300 - T)}{0.15} = \frac{385 \times A_2 \times T}{0.10}$
$\frac{100.4 \times (300 - T)}{0.15} = \frac{385 \times T}{0.10}$
$669.33 \times (300 - T) = 3850 \times T$
$200799 - 669.33 T = 3850 T$
$4519.33 T = 200799$
$T \approx 44.4^{\circ} C$.

(A) સમઘન આઈસબોક્સની બાજુ,$s = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
આઈસબોક્સની જાડાઈ,$l = 5.0 \,cm = 0.05 \,m$.
શરૂઆતમાં બરફનું દળ,$m_{initial} = 4 \,kg$.
સમયગાળો,$t = 6 \,h = 6 \times 3600 \,s = 21600 \,s$.
તાપમાનનો તફાવત,$\Delta T = 45 \,^{\circ}C - 0 \,^{\circ}C = 45 \,K$.
ઉષ્મા વાહકતા ગુણાંક,$K = 0.01 \,J \,s^{-1} \,m^{-1} \,K^{-1}$.
પાણીની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 335 \times 10^{3} \,J \,kg^{-1}$.
સમઘન બોક્સનું કુલ પૃષ્ઠફળ,$A = 6s^{2} = 6 \times (0.3)^{2} = 0.54 \,m^{2}$.
બોક્સમાં દાખલ થતી ઉષ્મા $Q = \frac{K A \Delta T t}{l}$ દ્વારા મળે છે.
$Q = \frac{0.01 \times 0.54 \times 45 \times 21600}{0.05} = 104976 \,J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ,$m_{melt} = \frac{Q}{L} = \frac{104976}{335 \times 10^{3}} \approx 0.313 \,kg$.
બાકી રહેલા બરફનું દળ $m_{remaining} = m_{initial} - m_{melt} = 4 - 0.313 = 3.687 \,kg \approx 3.69 \,kg$.

(B) બોઈલરની જાડાઈ,$l = 1.0\; cm = 0.01\; m$.
પાણી ઉકળવાનો દર,$R = 6.0\; kg/min$.
દળ,$m = 6.0\; kg$.
સમય,$t = 1\; min = 60\; s$.
પિત્તળની ઉષ્મા વાહકતા,$K = 109\; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$.
બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 2256 \times 10^{3}\; J kg^{-1}$.
બોઈલરના પિત્તળના પાયા દ્વારા પાણીમાં વહેતી ઉષ્મા નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{K A (T_{1} - T_{2}) t}{l} \dots (i)$
જ્યાં $T_{1}$ એ જ્યોતનું તાપમાન છે અને $T_{2} = 100^{\circ}C$ એ પાણીનું ઉત્કલન બિંદુ છે.
પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m L \dots (ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$m L = \frac{K A (T_{1} - T_{2}) t}{l}$
$T_{1} - T_{2} = \frac{m L l}{K A t} = \frac{6.0 \times 2256 \times 10^{3} \times 0.01}{109 \times 0.15 \times 60} \approx 137.98^{\circ}C$.
આમ,$T_{1} = 137.98 + 100 = 237.98^{\circ}C \approx 238^{\circ}C$.

(N/A) ધારો કે $L$ લંબાઈ અને $A$ જેટલા સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક ધાતુનો સળિયો છે,જેના બે છેડાઓ અલગ-અલગ તાપમાને રાખવામાં આવ્યા છે. આ માટે,છેડાઓને $T_{C}$ અને $T_{D}$ તાપમાન ધરાવતા મોટા ઉષ્મા સંગ્રાહકો સાથે સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{C} > T_{D}$ છે.
સળિયાની બાજુઓ સંપૂર્ણપણે અવાહક છે તેમ માનતા,આસપાસના વાતાવરણ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી. શરૂઆતમાં,સળિયાના વિવિધ ભાગોનું તાપમાન સમય સાથે વધે છે. થોડા સમય પછી,એક 'સ્થાયી અવસ્થા' (steady state) પ્રાપ્ત થાય છે,જેમાં સળિયાનું તાપમાન $T_{C}$ થી $T_{D}$ સુધી અંતર સાથે સમાન રીતે ઘટે છે.
આ સ્થાયી અવસ્થામાં,$C$ પાસેનો સંગ્રાહક અચળ દરે ઉષ્મા પૂરી પાડે છે,જે સળિયામાંથી પસાર થઈને $D$ પાસેના સંગ્રાહકને તે જ દરે મળે છે. ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt}$ અને તાપમાન પ્રચલન $\frac{dT}{dx}$ બંને સમય સાથે અચળ રહે છે.
પ્રાયોગિક રીતે જોવા મળ્યું છે કે ઉષ્મા વહનનો દર (અથવા ઉષ્મા પ્રવાહ) $H$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{dQ}{dt} = KA \frac{T_{C} - T_{D}}{L}$
જ્યાં $K$ એ પદાર્થની ઉષ્મા વાહકતા છે.

(N/A) તાંબું એ ઉષ્માનું ઉત્તમ સુવાહક છે. રસોઈના વાસણના તળિયે તાંબાનું પડ લગાવવાથી,સ્ટવમાંથી મળતી ગરમી વાસણના તળિયે ઝડપથી અને સમાન રીતે ફેલાય છે. આનાથી વાસણમાં ગરમ જગ્યાઓ (hot spots) બનતી અટકે છે અને ખોરાક એકસરખો રાંધવામાં મદદ મળે છે. તેથી,રસોઈના વાસણોની ઉષ્મીય કાર્યક્ષમતા સુધારવા માટે તાંબાના પડનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(N/A) ઉષ્મા વાહકતા $(k)$ એટલે પદાર્થના એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી,એકમ જાડાઈ દીઠ અને એકમ તાપમાનના તફાવત માટે પસાર થતી ઉષ્માનો દર.
તેનું સૂત્ર: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)t}{d}$ છે,જ્યાં $Q$ એ સ્થાનાંતરિત ઉષ્મા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$d$ એ જાડાઈ છે,અને $(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
$k$ માટે સૂત્ર: $k = \frac{Qd}{A(T_1 - T_2)t}$.
$SI$ એકમ: ઉષ્માનો એકમ જૂલ $(J)$,ક્ષેત્રફળનો $m^2$,જાડાઈનો $m$,તાપમાનનો કેલ્વિન $(K)$ અને સમયનો સેકન્ડ $(s)$ છે. તેથી,એકમ $\frac{J \cdot m}{m^2 \cdot K \cdot s} = W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ થાય છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: $Q$ એ ઉર્જા $([ML^2T^{-2}])$ છે,$d$ એ લંબાઈ $([L])$ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ $([L^2])$ છે,$\Delta T$ એ તાપમાન $([K])$ છે,અને $t$ એ સમય $([T])$ છે:
$k = \frac{[ML^2T^{-2}][L]}{[L^2][K][T]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$.

(A) ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$ એ પદાર્થનો એક ગુણધર્મ છે જે પદાર્થની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે. કોઈ પદાર્થની ઉષ્મીય વાહકતા અચળ રહે તે માટે,તે પદાર્થ સમાંગ (સમગ્ર રીતે એકસમાન બંધારણ ધરાવતો) અને સમદિગ્ધર્મી (બધી દિશાઓમાં સમાન ભૌતિક ગુણધર્મો ધરાવતો) હોવો જોઈએ. જો આ શરતોનું પાલન થાય,તો ઉષ્મીય વાહકતા તાપમાનના ઢાળ અથવા પદાર્થના આકારથી સ્વતંત્ર રહે છે.