Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Gujarati

(C) ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે તેની ઉષ્મા વહન કરવાની ક્ષમતા માપે છે.
તે મુખ્યત્વે પદાર્થની પ્રકૃતિ (પરમાણુ બંધારણ,ઘનતા અને બંધન) અને પદાર્થના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
જેમ તાપમાન બદલાય છે,તેમ પરમાણુઓની કંપન ઉર્જા અને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ (ધાતુઓમાં) બદલાય છે,જે ઉષ્મા સ્થાનાંતરણના દરને અસર કરે છે.
તેથી,ઉષ્મીય વાહકતા પદાર્થના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(N/A) ગરમી કે ઠંડકની સંવેદના આપણી ત્વચા અને પદાર્થ વચ્ચેના ઉષ્માના વહન દર પર આધાર રાખે છે.
ધાતુની ઉષ્મીય વાહકતા લાકડા કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
જ્યારે આપણે આપણા શરીરના તાપમાન કરતા વધુ તાપમાન ધરાવતા ધાતુના સળિયાને સ્પર્શ કરીએ છીએ,ત્યારે તેની ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતાને કારણે ધાતુમાંથી આપણી આંગળીઓમાં ઉષ્મા ખૂબ જ ઝડપથી વહે છે,જેનાથી તે વધુ ગરમ લાગે છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે બંને પદાર્થો આપણા શરીરના તાપમાન કરતા ઓછા તાપમાને હોય છે,ત્યારે આપણી આંગળીઓમાંથી ધાતુમાં ઉષ્મા ખૂબ જ ઝડપથી વહે છે,જેના કારણે તે લાકડાના સળિયા કરતા વધુ ઠંડો લાગે છે,કારણ કે લાકડું ઉષ્માનું વહન ખૂબ જ ધીમેથી કરે છે.

તાંબુ એ સ્ટીલ કરતા ઉષ્માનું ઘણું સારું વાહક છે. જ્યારે સ્ટીલના વાસણના તળિયે તાંબાનું પડ આપવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઉચ્ચ ઉષ્મા વાહકતાને કારણે તે જ્યોતમાંથી ઉષ્માને ખૂબ જ ઝડપથી શોષી લે છે.
કારણ કે તાંબુ સમગ્ર આધાર પર ઉષ્માને ઝડપથી ફેલાવે છે,તે વાસણની અંદરના ખોરાકને સમાન રીતે ગરમ કરવાની ખાતરી આપે છે.
આનાથી ગરમ બિંદુઓ (hot spots) બનતા અટકે છે અને ખોરાક વધુ કાર્યક્ષમ રીતે અને ઝડપથી રાંધવામાં મદદ મળે છે.

(D) ઉષ્મા પ્રવાહનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = kA \frac{dT}{dx}$
જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dT}{dx}$ એ તાપમાન પ્રચલન છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $k = \frac{(dQ/dt)}{A(dT/dx)}$
પરિમાણો મૂકતા:
$[dQ/dt] = [ML^2T^{-3}]$ (પાવર)
$[A] = [L^2]$
$[dT/dx] = [KL^{-1}]$
$[k] = \frac{[ML^2T^{-3}]}{[L^2][KL^{-1}]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$

(A) સળિયા સમાન છે,એટલે કે તેમની લંબાઈ $(\ell)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બધા સળિયા માટે ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હોય છે.
ધારો કે ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ છે.
$H = \frac{K_{1} A (100 - 70)}{\ell} = \frac{K_{2} A (70 - 20)}{\ell} = \frac{K_{3} A (20 - 0)}{\ell}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$30 K_{1} = 50 K_{2} = 20 K_{3}$
$10$ વડે ભાગતા:
$3 K_{1} = 5 K_{2} = 2 K_{3}$
$3 K_{1} = 2 K_{3}$ પરથી,આપણને $\frac{K_{1}}{K_{3}} = \frac{2}{3}$ અથવા $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ મળે છે.
$5 K_{2} = 2 K_{3}$ પરથી,આપણને $\frac{K_{2}}{K_{3}} = \frac{2}{5}$ અથવા $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ અને $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ છે.

(C) ફુરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ,સ્થાયી અવસ્થામાં પદાર્થમાંથી થતા ઉષ્મા વહનનો દર (ઉષ્મા પ્રવાહ) એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ અને તાપમાનના તફાવત $\Delta T = (T_{1} - T_{2})$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,અને સળિયાની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આ સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{1} - T_{2})}{L}$
જ્યાં $k$ એ પદાર્થની ઉષ્મા વાહકતા છે.

(A) પદાર્થની અંદર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
આ પાતળા કવચનો ઉષ્મીય અવરોધ $dR$ નીચે મુજબ છે:
$dR = \frac{dr}{K(4 \pi r^{2})}$
કવચો વચ્ચેનો કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R$ શોધવા માટે,આપણે $r_{1}$ થી $r_{2}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$R = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{4 \pi K r^{2}} = \frac{1}{4 \pi K} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}$
$R = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)$
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર (ઉષ્મીય પ્રવાહ $i$) નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{R}$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{\frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)} = \frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહન માટે,બંને બ્લોકમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હોય છે.
$H = \frac{K_{1} A \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} A \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
આપેલ છે: $\ell_{1} = 16 \text{ cm}$,$\ell_{2} = 8 \text{ cm}$,$K_{2} = K$,$K_{1} = xK$.
$M_{1}$ માટે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{1} = 100^{\circ}C - 80^{\circ}C = 20^{\circ}C$ છે.
$M_{2}$ માટે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_{2} = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી:
$\frac{K_{1} \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
$\frac{(xK) \times 20}{16} = \frac{K \times 80}{8}$
$x \times \frac{20}{16} = 10$
$x = 10 \times \frac{16}{20} = 8$.
આમ,$M_{1}$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $8K$ છે.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta T}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોક્સનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2(0.6 \times 0.5 + 0.5 \times 0.2 + 0.2 \times 0.6) = 2(0.3 + 0.1 + 0.12) = 2(0.52) = 1.04\,m^2$ થાય.
અહીં ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.05\,W\,m^{-1\circ}C^{-1}$,જાડાઈ $\ell = 1\,cm = 0.01\,m$,અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 40^{\circ}C - 0^{\circ}C = 40^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.05 \times 1.04 \times 40}{0.01} = 0.05 \times 1.04 \times 4000 = 208\,J/s$.
બરફના ઓગળવાનો દર $m$ એ $\frac{dQ}{dt} = m L_f$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L_f = 3.4 \times 10^5\,J/kg$ છે.
$m = \frac{208}{3.4 \times 10^5} = \frac{208}{3.4} \times 10^{-5} \approx 61.17 \times 10^{-5}\,kg/s$.
આમ,બરફના ઓગળવાનો દર આશરે $61 \times 10^{-5}\,kg/s$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર એ કોપરના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_{1} A_{1} (T_{1} - T)}{L_{1}} = \frac{K_{2} A_{2} (T - T_{2})}{L_{2}}$
આપેલ છે: $T_{1} = 450^{\circ}C$,$T_{2} = 0^{\circ}C$,$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 9$,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 2$,$\frac{L_{1}}{L_{2}} = 2$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{450 - T}{T - 0} = \frac{K_{2}}{K_{1}} \times \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{L_{1}}{L_{2}}$
$\frac{450 - T}{T} = 9 \times \frac{1}{2} \times 2 = 9$
$450 - T = 9T$
$10T = 450$
$T = 45^{\circ}C$

(B) સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $R$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે $E = -\frac{dV}{dR}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ સામ્યતા મુજબ,ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ને સમતુલ્ય છે,અને તાપમાન $T$ એ સ્થિતિમાન $V$ ને સમતુલ્ય છે.
આમ,સ્ત્રોતથી $R$ અંતરે ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ એ $\frac{1}{R^2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટીમાંથી વહેતી કુલ ઉષ્માનો દર $\dot{Q}$ એ ઉષ્મા પ્રવાહ ઘનતા $j$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi R^2$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\dot{Q} = j \cdot A \propto \left( \frac{1}{R^2} \right) \cdot R^2 = R^0$.
જોકે,અનંત અંતરની સાપેક્ષે અચળ તાપમાનના તફાવતે રાખેલા ગોળા માટે,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\dot{Q}$ એ ગોળાની કેપેસીટન્સના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $R$ ના પ્રમાણમાં છે.
ચોક્કસ રીતે,$\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{th}}$,જ્યાં $R_{th} = \frac{1}{4\pi k R}$.
આમ,$\dot{Q} = 4\pi k R \Delta T \propto R^1$.
તેથી,$n = 1$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે જોડાણ પાસેનું તાપમાન $T$ છે.
$\left(\frac{kA(T_1 - T)}{l}\right)_{\text{steel}} = \left(\frac{kA(T - T_2)}{l}\right)_{\text{copper}}$
બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે:
$\frac{50(100 - T)}{0.1} = \frac{400(T - 0)}{0.2}$
$500(100 - T) = 2000(T)$
$100 - T = 4T$
$5T = 100$
$T = 20^{\circ}C$

(D) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,તાંબાના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર અને સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ,એમ ધારીએ કે બાજુઓમાંથી કોઈ ઉષ્માનો વ્યય થતો નથી.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ એ $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સળિયા માટે ઉષ્મા પ્રવાહને સરખાવતા:
$\frac{K_{\text{copper}} A (100 - T)}{l} = \frac{K_{\text{steel}} A (T - 0)}{l}$
કારણ કે બંને સળિયા માટે લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે,તેથી તે ઉડી જશે:
$K_{\text{copper}} (100 - T) = K_{\text{steel}} T$
આપેલ કિંમતો $K_{\text{copper}} = 385$ અને $K_{\text{steel}} = 50$ મૂકતા:
$385(100 - T) = 50T$
$38500 - 385T = 50T$
$38500 = 435T$
$T = \frac{38500}{435} \approx 88.5^{\circ} C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જંકશનનું તાપમાન $88^{\circ} C$ મળે છે.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
બરફ એ ઉષ્માનો મંદ વાહક છે,જેનો અર્થ છે કે તેની ઉષ્મીય વાહકતા ખૂબ જ ઓછી હોય છે.
આ ઓછી ઉષ્મીય વાહકતાને કારણે,ઇગ્લૂની બરફની દીવાલો એક ઇન્સ્યુલેટર તરીકે કામ કરે છે,જે અંદર ઉત્પન્ન થતી ગરમીને બહારના ઠંડા વાતાવરણમાં જતી અટકાવે છે અને બહારની ઠંડીને અંદર આવતી અટકાવે છે.
આનાથી ઇગ્લૂની અંદરનું તાપમાન $20^{\circ} C$ જેવું આરામદાયક સ્તર જાળવી રાખવું શક્ય બને છે,ભલે બહારનું તાપમાન અત્યંત નીચું હોય.
બરફની ઉષ્મીય વાહકતા આશરે $1.6 \, W m^{-1} K^{-1}$ છે.

(B) ઉષ્મા પ્રવાહ નળાકાર પાઈપમાંથી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ વહે છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતા નળાકાર કવચ માટે,ઉષ્મીય અવરોધ $dR_T = \frac{dx}{k(2\pi x \ell)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરની ત્રિજ્યા $R_1$ થી બહારની ત્રિજ્યા $R_2$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R_T$ મળે છે:
$R_T = \int_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{2\pi k \ell x} = \frac{1}{2\pi k \ell} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{2\pi k \ell (T_1 - T_2)}{\ln(R_2/R_1)}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 110^{\circ} C$,$T_2 = 10^{\circ} C$,$\Delta T = 100^{\circ} C$,$k = 0.38 \,kW/m/^{\circ} C$,$\ell = 10 \,m$,$R_1 = 2 \,cm$,$R_2 = 4 \,cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{2 \times 3.14159 \times 0.38 \times 10 \times 100}{\ln(4/2)} = \frac{2387.6}{0.6931} \approx 3444.6 \,kW$.
આમ,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર આશરે $3445 \,kW$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,લોખંડના સ્લેબમાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર અને પિત્તળના સ્લેબમાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે આંતરપૃષ્ઠ પરનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ છે.
અહીં જાડાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બંને સ્લેબ માટે સમાન હોવાથી:
$K_{\text{iron}} \cdot A \cdot \frac{(100 - T)}{l} = K_{\text{brass}} \cdot A \cdot \frac{(T - 0)}{l}$
આપેલ કિંમતો $K_{\text{iron}} = 0.2$ અને $K_{\text{brass}} = 0.3$ મૂકતા:
$0.2(100 - T) = 0.3(T - 0)$
$20 - 0.2T = 0.3T$
$20 = 0.5T$
$T = \frac{20}{0.5} = 40^{\circ} C$
તેથી,આંતરપૃષ્ઠ પરનું તાપમાન $40^{\circ} C$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
રસોઈના વાસણ માટે,આપણને ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતાની જરૂર હોય છે જેથી ગરમી સ્ત્રોતમાંથી ખોરાક સુધી ઝડપથી પહોંચી શકે.
વધુમાં,આપણને ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતાની જરૂર હોય છે જેથી વાસણ પોતે જરૂરી તાપમાન સુધી પહોંચવા માટે વધુ ગરમી શોષી ન લે,જેનાથી ખોરાક રાંધવા માટે વધુ ઉર્જાનો ઉપયોગ થઈ શકે.

(C) પદાર્થની ઉષ્મીય વાહકતા $(k)$ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે,જેમ કે તેની પરમાણુ રચના અને ઇલેક્ટ્રોનિક ગોઠવણી.
તે સળિયાના ભૌમિતિક પરિમાણો,જેમ કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર સળિયાનું દ્રવ્ય તેની ઉષ્મીય વાહકતાને અસર કરે છે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે જંકશન પરનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ બંને માટે સમાન છે.
$H_{Cu} = H_{Steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{\ell} = \frac{K_{Steel} A (\theta - 0)}{\ell}$
અહીં $K_{Cu} = 385 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ અને $K_{Steel} = 50 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ આપેલ છે.
$385(100 - \theta) = 50(\theta - 0)$
$5$ વડે ભાગતા:
$77(100 - \theta) = 10\theta$
$7700 - 77\theta = 10\theta$
$87\theta = 7700$
$\theta = \frac{7700}{87} \approx 88.5^{\circ} \, C$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,પ્લેટ $A$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર એ પ્લેટ $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H$ એ $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્લેટો માટે ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $L$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A(100 - T)}{L} = \frac{K_B A(T - 0)}{L}$
$K_A(100 - T) = K_B(T)$
આપેલ કિંમતો $K_A = 84 \, W m^{-1} K^{-1}$ અને $K_B = 126 \, W m^{-1} K^{-1}$ મુકતા:
$84(100 - T) = 126T$
બંને બાજુને $42$ વડે ભાગતા:
$2(100 - T) = 3T$
$200 - 2T = 3T$
$5T = 200$
$T = 40^{\circ} C$

(A) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે.
સિસ્ટમ સ્થાયી અવસ્થામાં અને ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,$PQ$ માંથી વહેતો ઉષ્માનો દર $RS$ માંથી વહેતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હશે.
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
આપેલ છે કે $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,તેથી:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
તાર $PQ$ માટે,તાપમાનનો ઢાળ $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ છે.
$P$ થી $x$ અંતરે તાપમાન $T(x) = 10 + 130x$ છે.
$dx$ લંબાઈના તત્વમાં લંબાઈનો ફેરફાર $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ છે.
$x = 0$ થી $x = 1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને નળાકારોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે નાના નળાકારની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને મોટા નળાકારની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_2 = 2 r_1$,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2$ અને $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2 r_1)^2 = 4 \pi r_1^2 = 4 A_1$ થાય.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{K A \Delta T}{L}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ નળાકાર માટે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$.
બીજા નળાકાર માટે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$.
બંને ઉષ્મા વહનના દરને સરખાવતા:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$.
$K_1 = 4 K_2$.
તેથી,$\frac{K_1}{K_2} = 4$.

(B) ધારો કે એકમ સમયમાં પીગળતા બરફનું દળ અને બાષ્પીભવન પામતા પાણીનું દળ $m$ છે.
$A$ પાસે બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ છે.
$B$ પાસે પાણીને બાષ્પીભવન કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ છે.
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વિભાગ $AP$ માટે: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
વિભાગ $PB$ માટે: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને નળાકારોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે નાના નળાકારની ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને મોટા નળાકારની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
આપેલ છે કે $r_2 = 2r_1$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r_1^2$ અને $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ થાય.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ નળાકાર માટે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$.
બીજા નળાકાર માટે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$.
ઉષ્મા વહનના દરોને સરખાવતા:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$.
$K_1 = 4K_2$.
તેથી,$K_1 / K_2 = 4$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,દરેક સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર સમાન હોય છે:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_3$
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_H - T_L)}{L}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2KA(3T - T_1)}{L} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L} = \frac{2KA(T_2 - T)}{L}$
$KA/L$ વડે ભાગતા:
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$
પ્રથમ સમાનતા પરથી:
$6T - 2T_1 = T_1 - T_2 \Rightarrow 3T_1 - T_2 = 6T$ --- $(1)$
બીજી સમાનતા પરથી:
$T_1 - T_2 = 2T_2 - 2T \Rightarrow T_1 - 3T_2 = -2T$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3T_1 - 9T_2 = -6T$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(3T_1 - T_2) - (3T_1 - 9T_2) = 6T - (-6T)$
$8T_2 = 12T \Rightarrow T_2 = 1.5T$
$T_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$T_1 - 3(1.5T) = -2T \Rightarrow T_1 - 4.5T = -2T \Rightarrow T_1 = 2.5T$
તેથી,ગુણોત્તર $T_1 / T_2 = 2.5T / 1.5T = 5/3$ થાય.

(A) મુખ્ય વિચાર: ઉષ્મીય અવરોધકતા એ ઉષ્મીય વાહકતાનો વ્યસ્ત છે.
ઉષ્મીય અવરોધકતા = $\frac{1}{\text{ઉષ્મીય વાહકતા}}$
ઉષ્મીય અવરોધકતા = $\frac{1}{2} = 0.5$

(B) સળિયામાં ઉષ્મા વહનનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{x}$
જ્યાં:
$Q/t$ એ ઉષ્મા વહનનો દર છે,
$K$ એ ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક છે,
$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,
$x$ એ સળિયાની લંબાઈ છે,
$(T_1 - T_2)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
$K$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$K = \frac{(Q/t) \cdot x}{A(T_1 - T_2)}$
$K = \frac{xQ}{tA(T_1 - T_2)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
પ્રારંભિક સળિયા માટે,$H_1 = \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1}$.
જ્યારે તમામ પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_2 = 2l_1$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ થાય છે.
નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $H_2 = \frac{kA_2(T_2 - T_1)}{l_2}$ છે.
$A_2$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$H_2 = \frac{k(4A_1)(T_2 - T_1)}{2l_1} = 2 \left[ \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1} \right] = 2H_1$.

(A) ઉષ્મા વહનનો દર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{k A (T_1 - T_2)}{l}$.
ઓગાળતી વખતે અને નવો આકાર આપતી વખતે પદાર્થનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_1 l_1 = A_2 l_2$ થાય.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $l_2 = 4 l_1$ છે,તેથી કદના સમીકરણમાં મૂકતા: $A_1 l_1 = A_2 (4 l_1)$,જે આપણને $A_2 = \frac{A_1}{4}$ આપે છે.
નવા સળિયા માટે,'$t$' સમયમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q_2 = \frac{k A_2 (T_1 - T_2) t}{l_2}$ છે.
$A_2 = \frac{A_1}{4}$ અને $l_2 = 4 l_1$ ને $Q_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Q_2 = \frac{k (A_1 / 4) (T_1 - T_2) t}{4 l_1} = \frac{1}{16} \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$.
કારણ કે $Q_1 = \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$,તેથી આપણને $Q_2 = \frac{1}{16} Q_1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{Q_1}{Q_2} = 16$ થાય.

(B) ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણાંક $(K)$ એ સળિયાના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થની ઉષ્મા વહન કરવાની ક્ષમતા દર્શાવે છે.
તે સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,લંબાઈ અથવા દળ જેવા ભૌતિક પરિમાણો પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,તે માત્ર સળિયાના દ્રવ્ય પર જ આધાર રાખે છે.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $\dot{Q}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$.
અહીં,$K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા $P$ અને $Q$ માટે લંબાઈ $l$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ સમાન છે,તેથી ઉષ્મા વહનનો દર $KA$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સળિયા $Q$ માંથી ઉષ્મા વહનનો દર સળિયા $P$ કરતા ત્રણ ગણો છે:
$(\dot{Q})_Q = 3 (\dot{Q})_P$
સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{K_2 A_2 \Delta T}{l} = 3 \left( \frac{K_1 A_1 \Delta T}{l} \right)$
કારણ કે $l$ અને $\Delta T$ સમાન છે,તેથી તે બંને બાજુથી ઉડી જશે:
$K_2 A_2 = 3 K_1 A_1$ અથવા $3 K_1 A_1 = K_2 A_2$.

(B) સળિયામાંથી વહેતી ઉષ્માનો દર નીચે મુજબ છે: $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે,તેથી $Q = mL$,જ્યાં $m$ એ ઓગળેલા બરફનું દળ છે અને $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mL = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
આપેલ કિંમતો: $K = 96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$,$A = 10^{-3} \,m^2$,$\Delta \theta = 100^{\circ}C$,$t = 60 \,s$,$\ell = 1 \,m$,અને $L = 8 \times 10^4 \,cal/kg$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = \frac{96 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{1 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{96 \times 10^{-1} \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{576}{8 \times 10^5} = 72 \times 10^{-4} \,kg = 7.2 \times 10^{-3} \,kg$.

(C) વાહકમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta \theta}{d}$.
ઉષ્મીય વાહકતા $k$ ને કર્તા બનાવતા: $k = \frac{Q}{tA} \cdot \frac{d}{\Delta \theta}$.
આપેલ છે: ઉષ્મા ફ્લક્સ $\frac{Q}{tA} = 900 \ kcal / (min \cdot m^2) = \frac{900}{60} \ kcal / (s \cdot m^2) = 15 \ kcal / (s \cdot m^2)$.
જાડાઈ $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 15^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{15 \times 3 \times 10^{-2}}{15} = 3 \times 10^{-2} \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ}C)$.

(C) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\ell$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે ત્રિજ્યા $r$ એ $2r$ થાય છે અને લંબાઈ $\ell$ એ $2\ell$ થાય છે.
નવું ક્ષેત્રફળ $A' = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ થાય છે.
નવી લંબાઈ $\ell' = 2\ell$ થાય છે.
ઉષ્મા વહનનો નવો દર $Q'$ એ $Q' = \frac{kA'(\theta_1 - \theta_2)}{\ell'}$ દ્વારા મળે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $Q' = \frac{k(4A)(\theta_1 - \theta_2)}{2\ell} = 2 \left( \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell} \right) = 2Q$.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વહનનો દર નીચે મુજબ છે: $\frac{Q}{At} = \frac{k \Delta \theta}{d}$.
આપેલ છે:
ઉષ્મા ફ્લક્સ $\frac{Q}{At} = 10 \ kcal / (s \cdot m^2)$
જાડાઈ $d = 1.8 \ cm = 1.8 \times 10^{-2} \ m$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 9^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = k \times \frac{9}{1.8 \times 10^{-2}}$
$10 = k \times \frac{9}{0.018}$
$10 = k \times 500$
$k = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$.

(D) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,જ્યાં $A = \pi r^2$.
આમ,$Q_1 = \frac{k \pi r_1^2 (T_1 - T_2)}{L_1}$.
જ્યારે લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે $L_2 = 2L_1$ અને $r_2 = 2r_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $Q_2 = \frac{k \pi r_2^2 (T_1 - T_2)}{L_2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{L_1}{L_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
તેથી,$Q_2 = 2 Q_1$.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{\Delta x}$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta x$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આમ,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{r^2}{\Delta x}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને લંબાઈ $\Delta x_1 = L$ છે. પ્રારંભિક દર $Q \propto \frac{r^2}{L}$ છે.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ અને નવી લંબાઈ $\Delta x_2 = 2L$ થાય છે.
ઉષ્મા વહનનો નવો દર $Q'$ એ $\frac{(2r)^2}{2L} = \frac{4r^2}{2L} = 2 \left( \frac{r^2}{L} \right)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$Q' = 2Q$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$H \propto \frac{r^2}{l}$ થાય.
સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરવા માટે,ગુણોત્તર $\frac{r^2}{l}$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{l}$ નું મૂલ્ય ગણીએ:
$A: \frac{1^2}{1} = 1$
$B: \frac{1^2}{0.5} = 2$
$C: \frac{2^2}{2} = 2$
$D: \frac{2^2}{0.5} = 8$
વિકલ્પ $D$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(D) આ તંત્ર ઉષ્માના વહન માટે બે સમાંતર માર્ગો ધરાવે છે: અંદરનો નક્કર નળાકાર અને બહારનું નળાકાર કવચ.
તંત્ર સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી અને નળાકાર સપાટી પરથી ઉષ્માનો વ્યય થતો ન હોવાથી,કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $Q_{\text{total}}$ એ બંને ભાગોમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $Q_{\text{total}} = Q_{1} + Q_{2}$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરના નળાકાર માટે,ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \pi R^{2}$ છે.
બહારના કવચ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \pi (2R)^{2} - \pi R^{2} = 3\pi R^{2}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_{1} + A_{2} = 4\pi R^{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહને સરખાવતા: $\frac{K(4\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} = \frac{K_{1}(\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} + \frac{K_{2}(3\pi R^{2}) \Delta \theta}{L}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{\pi R^{2} \Delta \theta}{L}$ ને દૂર કરતા:
$4K = K_{1} + 3K_{2}$.
તેથી,અસરકારક ઉષ્મા વાહકતા $K = \frac{K_{1} + 3K_{2}}{4}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{1} = \frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}}$ છે.
બીજા સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $H_{2} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$ છે.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંનેમાંથી વહેતો ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હશે,તેથી $H_{1} = H_{2}$.
$\frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$\frac{K_{1} (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$K_{1} d_{2} (\theta_{1} - \theta) = K_{2} d_{1} (\theta - \theta_{2})$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} - K_{1} d_{2} \theta = K_{2} d_{1} \theta - K_{2} d_{1} \theta_{2}$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} + K_{2} d_{1} \theta_{2} = \theta (K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1})$
$\theta = \frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$

(D) ધારો કે જોડાણ પાસેનું તાપમાન $\theta$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં,તાંબાના સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સ્ટીલના સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
$H_{Cu} = H_{steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{L_{Cu}} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L_{steel}}$
અહીં $K_{Cu} = 9 K_{steel}$,$L_{Cu} = 18 \text{ cm}$,અને $L_{steel} = 6 \text{ cm}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{9 K_{steel} (100 - \theta)}{18} = \frac{K_{steel} (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.3^{\circ} C$
આમ,જોડાણ પાસેનું તાપમાન આશરે $33^{\circ} C$ છે.

(A) ધારો કે જંકશન $C$ નું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા સમાન હોવાથી,બંને માટે $A$ અને $L$ સમાન છે.
તેથી,$K_1(100 - \theta) = K_2(\theta - 25)$.
ગોઠવતા,આપણને $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(100 - \theta) = 3(\theta - 25)$ મળે.
$200 - 2\theta = 3\theta - 75$.
$5\theta = 275$.
$\theta = 55^{\circ}C$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$,સમય $t = 60 \ s$,બરફનું દળ $m = 5 \ g$,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 80 \ cal/g = 80 \times 4.2 \ J/g = 336 \ J/g = 336000 \ J/kg$.
સળિયામાંથી વહેતી ઉષ્મા $H = \frac{kA \Delta \theta}{l}$.
બરફ ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{kA \Delta \theta}{l} = \frac{mL}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{5 \times 10^{-3} \ kg \times 336000 \ J/kg}{60 \ s}$.
$k \times 0.2 = \frac{1680}{60} = 28$.
$k = \frac{28}{0.2} = 140 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(A) બોક્સની દીવાલોમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 6 \times (\text{બાજુ})^2 = 6 \times (0.2 \, m)^2 = 6 \times 0.04 = 0.24 \, m^2$.
જાડાઈ $d = 0.04 \, m$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 50^{\circ}C - 0^{\circ}C = 50^{\circ}C$.
તેથી, $dQ/dt = (0.01 \times 0.24 \times 50) / 0.04 = 0.12 / 0.04 = 3 \, Js^{-1}$.
કુલ સમય $t = 10 \, \text{કલાક } = 10 \times 3600 = 36000 \, s$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $Q = (dQ/dt) \times t = 3 \times 36000 = 108000 \, J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m_{melted} = Q / L = 108000 / (335 \times 10^3) \approx 0.322 \, kg$.
બાકી રહેલા બરફનું દળ $= 4 \, kg - 0.322 \, kg = 3.678 \, kg$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા તાંબા અને પિત્તળના સ્લેબમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
$H = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{L} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{L}$
આપેલ છે કે બાજુઓ સમાન છે,તેથી બંને ઘનનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને લંબાઈ $(L)$ સમાન છે.
ધારો કે $K_c$ એ તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $K_b$ એ પિત્તળની ઉષ્મીય વાહકતા છે.
આપેલ છે $K_c : K_b = 4 : 1$,તેથી $K_c = 4K_b$.
ધારો કે $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
$4K_b (100 - T) = K_b (T - 0)$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$.

(D) ધારો કે $K_b$ અને $K_c$ એ અનુક્રમે પિત્તળ અને તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા છે. આપેલ છે કે $K_b : K_c = 1 : 4$.
ધારો કે $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પ્લેટોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હશે.
$H = \frac{K_c A(100 - T)}{x} = \frac{K_b A(T - 0)}{x}$
જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ દરેક પ્લેટની જાડાઈ છે.
બંને બાજુથી $A$ અને $x$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$K_c(100 - T) = K_b(T)$
$\frac{K_c}{K_b} = \frac{T}{100 - T}$
કારણ કે $\frac{K_b}{K_c} = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{K_c}{K_b} = 4$.
આ કિંમત મૂકતા:
$4 = \frac{T}{100 - T}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$

(C) આપેલ છે કે બે પ્લેટોનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
ધારો કે $K_1, K_2$ તેમની ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $t_1, t_2$ તેમની જાડાઈ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુણોત્તર છે:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પ્લેટોમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{t_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{t_2}$
જ્યાં $T$ એ સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન છે.
આપેલ કિંમતો $T_1 = 10^{\circ} C$ અને $T_2 = 0^{\circ} C$ મૂકતા:
$\frac{K_1}{t_1} (10 - T) = \frac{K_2}{t_2} (T - 0)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{t_2}{t_1} (10 - T) = T$
ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{2}$ મૂકતા:
$\left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) (10 - T) = T$
$1 \cdot (10 - T) = T$
$10 - T = T$
$2T = 10$
$T = 5^{\circ} C$

(C) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ $L = 2 \,m = 200 \,cm$.
ગરમ છેડાનું તાપમાન $\theta_1 = 100^{\circ} C$.
ઠંડા છેડાનું તાપમાન $\theta_2 = 0^{\circ} C$.
ઠંડા છેડાથી અંતર $x_2 = 120 \,cm$.
ગરમ છેડાથી અંતર $x_1 = L - x_2 = 200 \,cm - 120 \,cm = 80 \,cm$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયાના કોઈપણ આડછેદમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $(dQ/dt)$ અચળ રહે છે.
$dQ/dt = KA(\Delta \theta / \Delta x)$ હોવાથી,અને સળિયા માટે $K$ અને $A$ અચળ હોવાથી,તાપમાન પ્રચલન $(\Delta \theta / \Delta x)$ સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{\theta_1 - \theta}{x_1} = \frac{\theta - \theta_2}{x_2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100^{\circ} C - \theta}{80 \,cm} = \frac{\theta - 0^{\circ} C}{120 \,cm}$.
$120(100 - \theta) = 80\theta$.
$12000 - 120\theta = 80\theta$.
$200\theta = 12000$.
$\theta = \frac{12000}{200} = 60^{\circ} C$.
આમ,તે બિંદુએ તાપમાન $60^{\circ} C$ છે.

(D) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
તાપમાનનો તફાવત,$\Delta T = 80^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 80 \text{ K}$
પીગળેલા બરફનું દળ,$m = 20 \text{ g}$
લીધેલ સમય,$t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s}$
બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા,$L = 80 \text{ cal/g} = 80 \times 4.184 \text{ J/g} = 334.72 \text{ J/g}$
બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા,$Q = m \times L = 20 \text{ g} \times 334.72 \text{ J/g} = 6694.4 \text{ J}$
ઉષ્મા વહનનો દર,$H = \frac{Q}{t} = \frac{6694.4 \text{ J}}{300 \text{ s}} \approx 22.314 \text{ W}$
ઉષ્મીય વહન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$H = \frac{k A \Delta T}{l}$
$22.314 = \frac{k \times (2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 80 \text{ K}}{0.1 \text{ m}}$
$22.314 = k \times 0.224$
$k = \frac{22.314}{0.224} \approx 99.61 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$k \approx 100 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$.

(C) સમઘનની દીવાલોમાંથી વહન દ્વારા થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_0)}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 6a^2 = 6 \times (60 \text{ cm})^2 = 21600 \text{ cm}^2$.
જાડાઈ $x = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
ઉષ્મા વાહકતા $k = 4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 1000^{\circ}\text{C}$.
ઉષ્મા પ્રવાહના દરને $SI$ એકમ (વોટ) માં ફેરવવા માટે,આપણે $4.184 \text{ J/cal}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$P = \frac{k A \Delta T}{x} \times 4.184 = \frac{4 \times 10^{-4} \times 21600 \times 1000}{0.1} \times 4.184 \text{ W}$.
$P = 86400 \times 4.184 = 361497.6 \text{ W}$.
$P = V^2/R$ હોવાથી,$R = V^2/P = (400)^2 / 361497.6 = 160000 / 361497.6 \approx 0.4426 \Omega$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,અવરોધ $0.441 \Omega$ છે.