Mix Examples-Straight Line Questions in Gujarati

(C) મૂળ રેખા $x-2y-4=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1/2$ છે.
જ્યારે કોઈ રેખાને તેની સમાંતર ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો ઢાળ બદલાતો નથી. તેથી,ખસેડ્યા પછી રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1/2 = \tan \alpha$ રહે છે,જ્યાં $\alpha = \tan^{-1}(1/2)$ છે.
રેખાને $30^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવ્યા પછી,નવો ઢાળ $m$ એ ખૂણાઓના સરવાળાના ટેન્જન્ટના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$m = \tan(\alpha + 30^{\circ}) = \frac{\tan \alpha + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan \alpha \tan 30^{\circ}}$
કિંમતો $\tan \alpha = 1/2$ અને $\tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$ મૂકતા:
$m = \frac{1/2 + 1/\sqrt{3}}{1 - (1/2)(1/\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3}+2)/(2\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-1)/(2\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-1}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$m = \frac{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2}{2} = \frac{5+3\sqrt{3}}{2}$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m \approx \frac{5+3(1.732)}{2} = \frac{5+5.196}{2} = \frac{10.196}{2} = 5.098$
$m$ નો પૂર્ણાંક ભાગ $5$ છે.

(C) આપેલ છે $A=(-5,-4)$ અને રેખા $L$ નો ઢાળ $\tan \theta$ છે. રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $x = -5 + r \cos \theta$ અને $y = -4 + r \sin \theta$ છે.
બિંદુ $B$ એ $x+3y+2=0$ પર આવેલું છે,તેથી $(-5+r_1 \cos \theta) + 3(-4+r_1 \sin \theta) + 2 = 0$.
$-5 + r_1 \cos \theta - 12 + 3r_1 \sin \theta + 2 = 0 \implies r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies AB = r_1 = \frac{15}{\cos \theta + 3 \sin \theta}$.
બિંદુ $C$ એ $2x+y+4=0$ પર આવેલું છે,તેથી $2(-5+r_2 \cos \theta) + (-4+r_2 \sin \theta) + 4 = 0$.
$-10 + 2r_2 \cos \theta - 4 + r_2 \sin \theta + 4 = 0 \implies r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies AC = r_2 = \frac{10}{2 \cos \theta + \sin \theta}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{100}{AC^2} - \frac{225}{AB^2} = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 - (\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 4 \cos 2\theta + \sin 2\theta$.
$(4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) - (\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) = 4(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$3 \cos^2 \theta - 8 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 4 \cos^2 \theta - 4 \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 0$.
$(2 \sin \theta + \cos \theta)^2 = 0 \implies 2 \sin \theta = -\cos \theta \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2-3|x|+2=0$ અને $y^2-3y+2=0$ છે.
$x^2-3|x|+2=0$ ઉકેલતા: $(|x|-2)(|x|-1)=0$,તેથી $|x|=2$ અથવા $|x|=1$,જે $x=\pm 2, \pm 1$ આપે છે.
$y^2-3y+2=0$ ઉકેલતા: $(y-2)(y-1)=0$,તેથી $y=2, 1$.
આ રેખાઓ શિરોબિંદુઓ સાથે બે ચોરસ બનાવે છે:
ચોરસ $1$: $A(-1, 1), B(-1, 2), C(-2, 2), D(-2, 1)$.
ચોરસ $2$: $A'(2, 1), B'(2, 2), C'(1, 2), D'(1, 1)$.
આ ચોરસના વિકર્ણો $x+y=k$ અને $x-y=k$ જેવી રેખાઓ છે.
આ વિકર્ણો દ્વારા રચાયેલા ચોરસ $ABCD$ માટે,બાજુઓ અક્ષોને સમાંતર અથવા $45^\circ$ પર છે.
વિકલ્પો તપાસતા,સમીકરણો $x+y=3$ અને $x-y=-3$ એવી રેખાઓ દર્શાવે છે જે આવા ચોરસની બાજુઓ બનાવી શકે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ:
$2x + 3y - 1 = 0$ $(i)$
$3x + 4y - 6 = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે અને $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y - 3 = 0$
$6x + 8y - 12 = 0$
બાદબાકી કરતા: $y + 9 = 0 \Rightarrow y = -9$.
$y = -9$ ને $(i)$ માં મુકતા: $2x + 3(-9) - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x - 27 - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
છેદબિંદુ $(14, -9)$ છે.
$5x - 2y = 7$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $2x + 5y + k = 0$ છે.
તે $(14, -9)$ માંથી પસાર થાય છે:
$2(14) + 5(-9) + k = 0$
$28 - 45 + k = 0$
$-17 + k = 0 \Rightarrow k = 17$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y + 17 = 0$ છે.

(C) પ્રથમ,$5x - 6y - 1 = 0$ અને $3x + 2y + 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$9x + 6y + 15 = 0$ મળે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(5x - 6y - 1) + (9x + 6y + 15) = 0$ $\Rightarrow 14x + 14 = 0$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $3x + 2y + 5 = 0$ માં મૂકતા: $3(-1) + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow -3 + 2y + 5 = 0$ $\Rightarrow 2y = -2$ $\Rightarrow y = -1$.
છેદબિંદુ $(-1, -1)$ છે.
$3x - 5y + 11 = 0$ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{3}{5}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{5}{3}$ થાય.
$(-1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -\frac{5}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$(y - (-1)) = -\frac{5}{3}(x - (-1))
$ $\Rightarrow 3(y + 1) = -5(x + 1)
$ $\Rightarrow 3y + 3 = -5x - 5
$ $\Rightarrow 5x + 3y + 8 = 0$.

(A) આપેલ રેખા $5x - 2y = 7$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{5}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{5}$ થશે.
તેથી,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y = \lambda$ સ્વરૂપમાં હશે.
હવે,$2x + 3y = 1$ $(i)$ અને $3x + 4y = 6$ (ii) રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીએ.
$(i)$ ને $3$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 9y = 3$
$6x + 8y = 12$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા,$y = -9$ મળે છે.
$y = -9$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2x + 3(-9) = 1$ $\Rightarrow 2x - 27 = 1$ $\Rightarrow 2x = 28$ $\Rightarrow x = 14$.
છેદબિંદુ $(14, -9)$ છે.
માંગેલ રેખા $(14, -9)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આ કિંમતો $2x + 5y = \lambda$ માં મૂકતા:
$2(14) + 5(-9) = \lambda$
$28 - 45 = \lambda$
$\lambda = -17$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $2x + 5y = -17$ છે,જેને $2x + 5y + 17 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(D) રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + 5 = 0$ છે,જેને $3x - 4y = -5$ તરીકે લખી શકાય. $-5$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y = 1$ મળે છે.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
રેખા $ax + by = 1$ એ $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan \alpha = -\frac{4}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{4}{3}(x - 1)$ છે.
$3(y + 1) = -4(x - 1)$ $\Rightarrow 3y + 3 = -4x + 4$ $\Rightarrow 4x + 3y = 1$.
$4x + 3y = 1$ ને $ax + by = 1$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$ અને $b = 3$ મળે છે.
તેથી,$a + ab + b = 4 + (4 \times 3) + 3 = 4 + 12 + 3 = 19$.

(D) રેખાઓ $L_1: x-y-7=0$ અને $L_2: x+y-5=0$ નું છેદબિંદુ $P(6, -1)$ છે.
રેખા $L_1$ પરના બિંદુ $A(x_1, y_1)$ માટે $PA=3\sqrt{2}$ લેતા,સંમિત સ્વરૂપ મુજબ $A = (9, 2)$ મળે છે.
રેખા $L_2$ પરના બિંદુ $B(x_2, y_2)$ માટે $PB=\sqrt{2}$ લેતા,સંમિત સ્વરૂપ મુજબ $B = (5, 0)$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ સાથેના સદિશો $\vec{OA} = (9, 2)$ અને $\vec{OB} = (5, 0)$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}| |\vec{OB}|} = \frac{45}{\sqrt{85} \cdot 5} = \frac{9}{\sqrt{85}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{\sqrt{85}}\right)$.

(A) રેખા $3x - 4y + k = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
$L_1$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{4}{3}$ થશે.
બિંદુ $P(4, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $y - (-3) = -\frac{4}{3}(x - 4)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x + 3y = 7$ થાય છે.
આપણે $P(4, -3)$ નું રેખા $L: 5x - 3y - 2 = 0$ થી $L_1$ ની દિશામાં અંતર શોધવાનું છે. આ અંતર $P(4, -3)$ અને $L_1$ તથા $L$ ના છેદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x + 3y = 7$
$5x - 3y = 2$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $9x = 9 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને $4x + 3y = 7$ માં મૂકતા: $4(1) + 3y = 7$ $\Rightarrow 3y = 3$ $\Rightarrow y = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
$P(4, -3)$ અને $(1, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

(B) ધારો કે રેખા $4x - y - 2 = 0$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
ધારો કે $A = (-5, 6)$ અને $B = (3, 2)$.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$AP = PB$,એટલે કે $AP^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,જેનું સાદુરૂપ $2x - y + 6 = 0$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
આપણને રેખા $4x - y - 2 = 0$ (સમીકરણ $1$) આપેલ છે.
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(4x - y - 2) - (2x - y + 6) = 0$.
$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$.
$x = 4$ ને $4x - y - 2 = 0$ માં મૂકતા: $4(4) - y - 2 = 0$ $\Rightarrow 16 - y - 2 = 0$ $\Rightarrow y = 14$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(4, 14)$ છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_1$ છે. તે $L_2: 10x - 8y - 10 = 0$ (જેનું સાદું રૂપ $5x - 4y - 5 = 0$ થાય છે) ને $P$ બિંદુએ કાટખૂણે છેદે છે.
તે $L_3: \frac{x}{4} - \frac{y}{5} + 1 = 0$ (જેનું સાદું રૂપ $5x - 4y + 20 = 0$ થાય છે) ને $Q$ બિંદુએ કાટખૂણે છેદે છે.
$L_2$ અને $L_3$ સમાંતર રેખાઓ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $L_2$ નું લંબ અંતર $OP = \frac{|5(0) - 4(0) - 5|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{\sqrt{41}}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $L_3$ નું લંબ અંતર $OQ = \frac{|5(0) - 4(0) + 20|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{20}{\sqrt{41}}$ છે.
$P$ અને $Q$ ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$O$ એ $PQ$ નું $OP : OQ = 1 : 4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) શિરોબિંદુઓ $O(0,0), A(-3,-1)$ અને $B(-1,-3)$ છે.
$OB$ નો ઢાળ = $\frac{-3-0}{-1-0} = 3$.
રેખા $OB$ નું સમીકરણ $y = 3x$ અથવા $3x - y = 0$ છે.
$AD \perp OB$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
$A(-3,-1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AD$ નું સમીકરણ $y + 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y + 6 = 0$ થાય છે.
$OB$ $(y=3x)$ અને $AD$ $(x+3y+6=0)$ નું છેદબિંદુ $D$ શોધવા માટે:
$x + 3(3x) + 6 = 0$ $\Rightarrow 10x = -6$ $\Rightarrow x = -\frac{3}{5}$.
$y = 3(-\frac{3}{5}) = -\frac{9}{5}$. તેથી,$D = (-\frac{3}{5}, -\frac{9}{5})$.
બિંદુ $P$ એ $AD$ નું $3:4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{3(-\frac{3}{5}) + 4(-3)}{3+4}, \frac{3(-\frac{9}{5}) + 4(-1)}{3+4} \right) = \left( \frac{-\frac{9}{5} - 12}{7}, \frac{-\frac{27}{5} - 4}{7} \right) = \left( \frac{-69}{35}, \frac{-47}{35} \right)$.
રેખા $L$ એ $OB$ $(y=3x)$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 3x + k$ છે.
રેખા $L$ એ $P(-\frac{69}{35}, -\frac{47}{35})$ માંથી પસાર થાય છે:
$-\frac{47}{35} = 3(-\frac{69}{35}) + k \Rightarrow k = \frac{-47 + 207}{35} = \frac{160}{35} = \frac{32}{7}$.
સમીકરણ $L: y = 3x + \frac{32}{7}$ $\Rightarrow 7y = 21x + 32$ $\Rightarrow 21x - 7y + 32 = 0$.

(C) બિંદુ $(4,1)$ નીચે મુજબના રૂપાંતરણોમાંથી પસાર થાય છે:
$(i)$ રેખા $x-y=0$ માં પરાવર્તન: રેખા $y=x$ (અથવા $x-y=0$) માં બિંદુ $(x,y)$ નું પરાવર્તન $(y,x)$ થાય છે. તેથી,બિંદુ $(4,1)$ એ $(1,4)$ બને છે.
(ii) ધન $X$-અક્ષની દિશામાં $2$ એકમનું સ્થાનાંતર: $x$-યામમાં $2$ ઉમેરતા,આપણને $(1+2, 4) = (3,4)$ મળે છે.
(iii) $X$-અક્ષ પર પ્રક્ષેપ: $X$-અક્ષ પર બિંદુ $(x,y)$ નો પ્રક્ષેપ $(x,0)$ થાય છે. તેથી,બિંદુ $(3,4)$ એ $(3,0)$ બને છે.
તેથી,અંતિમ યામ $(3,0)$ છે.

(D) $x+2y-19=0$ અને $x-2y-3=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(x+2y-19) + \lambda(x-2y-3) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $(1+\lambda)x + (2-2\lambda)y - (19+3\lambda) = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(-2,4)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $5$ એકમ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$5 = \frac{|(1+\lambda)(-2) + (2-2\lambda)(4) - (19+3\lambda)|}{\sqrt{(1+\lambda)^2 + (2-2\lambda)^2}}$.
$5 = \frac{|-13\lambda - 13|}{\sqrt{5\lambda^2-6\lambda+5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25(5\lambda^2-6\lambda+5) = (-13\lambda-13)^2$.
$125\lambda^2 - 150\lambda + 125 = 169\lambda^2 + 338\lambda + 169$.
$44\lambda^2 + 488\lambda + 44 = 0 \Rightarrow 11\lambda^2 + 122\lambda + 11 = 0$.
$(11\lambda+1)(\lambda+11) = 0$,તેથી $\lambda = -1/11$ અથવા $\lambda = -11$.
$\lambda = -1/11$ માટે: $5x+12y-103=0$. અહીં $b=12, c=-103$,તેથી $5+b+c = -86$.
$\lambda = -11$ માટે: $5x-12y-7=0$. અહીં $b=-12, c=-7$,તેથી $5+b+c = -14$.

(B) ધારો કે રેખા $3x + 4y = 5$ પરનું બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(1, 2)$ અને $B(3, 4)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$ થાય.
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25$
$4x + 4y = 20$
$x + y = 5$
હવે,સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો:
$3x + 4y = 5$
$x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$
પ્રથમ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$3(5 - y) + 4y = 5$
$15 - 3y + 4y = 5$
$y = -10$
$x = 5 - (-10) = 15$
આમ,બિંદુ $(15, -10)$ છે.

(A) રેખા $ax + 2y = k$ એ $2x - 3y + 7 = 0$ ને લંબ છે.
$ax + 2y = k$ નો ઢાળ $m_1 = -a/2$ છે.
$2x - 3y + 7 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = 2/3$ છે.
લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$(-a/2) \times (2/3) = -1 \implies -a/3 = -1 \implies a = 3$.
રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y = k$ છે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{k/3} + \frac{y}{k/2} = 1$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\frac{k}{3}| \times |\frac{k}{2}| = 3$ છે.
$\frac{|k^2|}{12} = 3 \implies |k^2| = 36 \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$.
$k$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગુણાકાર $6 \times (-6) = -36$ થાય.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $x+y+c_1=0$ અને $7x-y+c_2=0$ ને સમાંતર છે.
કેન્દ્ર $(1,3)$ હોવાથી,વિકર્ણો બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાઓને દુભાગે છે.
કેન્દ્ર $(1,3)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ $x+y-4=0$ અને $7x-y-4=0$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાના લંબદ્વિભાજક હોય છે.
બાજુઓના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = 7$ છે.
$x+y-4=0$ અને $7x-y-4=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો $\frac{x+y-4}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7x-y-4}{\sqrt{50}}$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$5(x+y-4) = \pm (7x-y-4)$.
કિસ્સો $1$: $5x+5y-20 = 7x-y-4 \implies x-3y+8=0$.
કિસ્સો $2$: $5x+5y-20 = -7x+y+4 \implies 3x+y-6=0$.
શિરોબિંદુ $A(\alpha, \beta)$ એ $15x-5y=6$ અને એક વિકર્ણ પર છે.
$3x+y=6$ અને $15x-5y=6$ ઉકેલતા: $x=1.2, y=2.4$. $\alpha+\beta = 3.6 = \frac{18}{5}$.

(B) ધારો કે રેખા $A(1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-5}{x-1} = m$ છે.
ધારો કે રેખા $5x - y - 4 = 0$ ને $P_1(x_1, y_1)$ પર અને $3x + 4y - 4 = 0$ ને $P_2(x_2, y_2)$ પર છેદે છે.
$(1, 5)$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$P_1 = (1+r\cos\theta, 5+r\sin\theta)$ અને $P_2 = (1-r\cos\theta, 5-r\sin\theta)$ થાય.
$P_1$ ને $5x - y - 4 = 0$ માં મૂકતા: $5(1+r\cos\theta) - (5+r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta}$.
$P_2$ ને $3x + 4y - 4 = 0$ માં મૂકતા: $3(1-r\cos\theta) + 4(5-r\sin\theta) - 4 = 0 \Rightarrow r = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$r$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{4}{5\cos\theta - \sin\theta} = \frac{19}{3\cos\theta + 4\sin\theta}$.
$12\cos\theta + 16\sin\theta = 95\cos\theta - 19\sin\theta$ $\Rightarrow 35\sin\theta = 83\cos\theta$ $\Rightarrow \tan\theta = \frac{83}{35}$.
રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \Rightarrow 83x - 35y + 92 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
રેખા $x-2y+1=0$ થી અંતર $\sqrt{5}$ હોવાથી:
$\left|\frac{h-2k+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}\right| = \sqrt{5} \Rightarrow |h-2k+1| = 5$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $h-2k+1 = 5$ અથવા $h-2k+1 = -5$.
રેખા $2x+3y-1=0$ થી અંતર $\sqrt{13}$ હોવાથી:
$\left|\frac{2h+3k-1}{\sqrt{2^2+3^2}}\right| = \sqrt{13} \Rightarrow |2h+3k-1| = 13$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $2h+3k-1 = 13$ અથવા $2h+3k-1 = -13$.
દરેક સમાંતર રેખાઓની જોડી બીજી જોડીને $2 \times 2 = 4$ ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે.
આમ,આવા કુલ $4$ બિંદુઓ છે.

(D) વિધાન - $1$ નો ઉકેલ:
ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(h, k)$ છે.
લંબકેન્દ્ર $O(0, 0)$ છે.
$AO \perp BC$ હોવાથી,$AO$ નો ઢાળ $m_{AO} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
$m_{AO} \cdot m_{BC} = -1$ હોવાથી,$(-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{k - 3}{h + 2}) = -1 \Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ....$(1)$
$BO \perp AC$ હોવાથી,$BO$ નો ઢાળ $m_{BO} = \frac{0 - 3}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2}$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{k + 1}{h - 5}$ છે.
$m_{BO} \cdot m_{AC} = -1$ હોવાથી,$(-\frac{3}{2}) \cdot (\frac{k + 1}{h - 5}) = -1 \Rightarrow 2h - 3k = 13$ ....$(2)$
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$h = -4$ અને $k = -7$ મળે છે.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન - $2$ નો ઉકેલ:
$2a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = 2a + c \Rightarrow 2a - 2b + c = 0$.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$2a - 2b + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ અને $y = -2$ માટે સમીકરણ $a(2) + b(-2) + c = 0$ સત્ય છે.
તેથી,રેખાઓ $ax + by + c = 0$ એ $(2, -2)$ માં સંગામી છે. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.