Mix Examples-Straight Line Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ એ $(x_1, y_1)$ છે. $B$ એ $x - y - 2 = 0$ પર હોવાથી,$y_1 = x_1 - 2$,તેથી $B = (x_1, x_1 - 2)$.
અંતર $AB = \sqrt{(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 2 - 3)^2} = \frac{\sqrt{29}}{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x_1 - 4)^2 + (x_1 - 5)^2 = \frac{29}{9}$.
$2x_1^2 - 18x_1 + 41 = \frac{29}{9} \implies 18x_1^2 - 162x_1 + 340 = 0 \implies 9x_1^2 - 81x_1 + 170 = 0$.
ઉકેલતા: $(3x_1 - 10)(3x_1 - 17) = 0$,તેથી $x_1 = \frac{10}{3}$ અથવા $x_1 = \frac{17}{3}$.
ઢાળ $1$ કરતા વધુ હોવાથી,$B = (\frac{10}{3}, \frac{4}{3})$ મળે.
વિકલ્પ $(C)$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 2y = \frac{10}{3} + 2(\frac{4}{3}) = 6$.

(D) રેખા $2x + 3y = 18$ એ $Y$-અક્ષને $B$ માં છેદે છે. $x = 0$ મૂકતા,$3y = 18$,તેથી $y = 6$. આમ,$B = (0, 6)$.
$PB = PC$ આપેલ હોવાથી,$P$ એ રેખાખંડ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે. ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ એ રેખા $2x + 3y = 18$ પર છે અને $PD$ એ $BC$ ને લંબ છે,તેથી $BC$ નો ઢાળ $-2/3$ છે. આમ,$PD$ નો ઢાળ $3/2$ છે.
$P(10, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PD$ નું સમીકરણ $y - 10 = \frac{3}{2}(x - 10)$ છે,જે $3x - 2y = 10$ માં પરિણમે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x + 3y = 18$ $(i)$
$3x - 2y = 10$ (ii)
ઉકેલતા $D = (66/13, 34/13)$ મળે છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$a = 132/13$ અને $b = -10/13$ મળે છે.
$8a + 2b = 8(132/13) + 2(-10/13) = 1036/13 \approx 79.69$. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $78$ છે.

(C) રેખા $L$ એ $9x + 5y = 45$ છે. તેના અંતઃખંડો $(5, 0)$ અને $(0, 9)$ છે.
રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(5, 0)$ તથા $(0, 9)$ વચ્ચેના રેખાખંડનું ત્રિભાગ કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ત્રિભાગ બિંદુઓ છે:
$P_1 = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{3}, \frac{2(9) + 1(0)}{3} \right) = \left( \frac{5}{3}, 6 \right)$
$P_2 = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{3}, \frac{1(9) + 2(0)}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, 3 \right)$
ઢાળ $m_1 = \frac{6}{5/3} = \frac{18}{5}$ અને $m_2 = \frac{3}{10/3} = \frac{9}{10}$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = \frac{18}{5} + \frac{9}{10} = \frac{36+9}{10} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$ છે.
રેખા $y = \frac{9}{2}x$ છે,અથવા $9x - 2y = 0$.
$L: 9x + 5y = 45$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(9x + 5y) - (9x - 2y) = 45 - 0 \implies 7y = 45 \implies y = \frac{45}{7}$.
તેથી $9x = 2y = \frac{90}{7} \implies x = \frac{10}{7}$.
બિંદુ $(\frac{10}{7}, \frac{45}{7})$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$C: \frac{45}{7} - \frac{10}{7} = \frac{35}{7} = 5$. આ સાચું છે.
આમ,બિંદુ $y - x = 5$ પર આવેલું છે.

(D) રેખા $4x + 5y = 20$ અક્ષોને $P(5, 0)$ અને $Q(0, 4)$ બિંદુએ છેદે છે.
ધારો કે ત્રિભાજન બિંદુઓ $A$ અને $B$ છે જેથી $PA = AB = BQ$ થાય.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ $PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$A = \left( \frac{1(0) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(4) + 2(0)}{1+2} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{4}{3} \right)$.
$B$ ના યામ $PQ$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:
$B = \left( \frac{2(0) + 1(5)}{2+1}, \frac{2(4) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{5}{3}, \frac{8}{3} \right)$.
રેખા $OA$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{4/3}{10/3} = \frac{2}{5}$.
રેખા $OB$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{8/3}{5/3} = \frac{8}{5}$.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે $\tan \theta$:
$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{8}{5} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{8}{5})(\frac{2}{5})} \right| = \frac{30}{41}$.

(C) આપેલ રેખા $3x + 4y = 12$ છે. ધારો કે $P$ ના યામ $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ છે અને $Q$ ના યામ $(r \cos(90^{\circ} + \theta), r \sin(90^{\circ} + \theta)) = (-r \sin \theta, r \cos \theta)$ છે,કારણ કે $\triangle OPQ$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $OP = OQ = r$ અને $\angle POQ = 90^{\circ}$ છે.
$P$ અને $Q$ રેખા $3x + 4y = 12$ પર આવેલા હોવાથી:
$P$ માટે: $3(r \cos \theta) + 4(r \sin \theta) = 12 \Rightarrow r(3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 12 \ldots(1)$
$Q$ માટે: $3(-r \sin \theta) + 4(r \cos \theta) = 12 \Rightarrow r(4 \cos \theta - 3 \sin \theta) = 12 \ldots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^2(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + r^2(4 \cos \theta - 3 \sin \theta)^2 = 12^2 + 12^2$
$r^2(25 \cos^2 \theta + 25 \sin^2 \theta) = 288$ $\Rightarrow 25r^2 = 288$ $\Rightarrow r^2 = \frac{288}{25}$.
$\triangle OPQ$ માં,$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$.
તેથી $l = OP^2 + PQ^2 + QO^2 = r^2 + 2r^2 + r^2 = 4r^2$.
$l = 4 \times \frac{288}{25} = \frac{1152}{25} = 46.08$.
$l$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $\lfloor 46.08 \rfloor = 46$ છે.

(A) બિંદુ $(4, -9)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y + 9 = m(x - 4)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $A$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $9 = m(x - 4) \Rightarrow x = 4 + \frac{9}{m}$. તેથી,$A = (4 + \frac{9}{m}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $B$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y + 9 = m(-4) \Rightarrow y = -9 - 4m$. તેથી,$B = (0, -(9 + 4m))$.
ઉગમબિંદુથી અંતરનો સરવાળો $S = OA + OB = 4 + \frac{9}{m} + 9 + 4m = 13 + 4m + \frac{9}{m}$ થાય.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{4m + \frac{9}{m}}{2} \geq \sqrt{36} = 6$.
તેથી,$4m + \frac{9}{m} \geq 12$.
આમ,$S \geq 13 + 12 = 25$.

(A) આપેલ રેખાઓ $ax + by + c = 0$ અને $bx + ay + c = 0$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a - b)x + (b - a)y = 0 \Rightarrow (a - b)(x - y) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$a - b \neq 0$,તેથી $x = y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = y$ મુકતા: $ax + bx + c = 0$ $\Rightarrow x(a + b) = -c$ $\Rightarrow x = \frac{-c}{a + b}$.
આમ,છેદબિંદુ $P = \left(\frac{-c}{a + b}, \frac{-c}{a + b}\right)$ છે.
$(1, 1)$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1 - (\frac{-c}{a + b}))^2 + (1 - (\frac{-c}{a + b}))^2} < 2\sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2(1 + \frac{c}{a + b})^2} < 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(1 + \frac{c}{a + b}) < 2\sqrt{2}$.
$1 + \frac{c}{a + b} < 2$ $\Rightarrow \frac{c}{a + b} < 1$ $\Rightarrow c < a + b$.
આ સૂચવે છે કે $a + b - c > 0$.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ પ્રથમ ચરણમાં એક બિંદુ છે,તેથી $x > 0$ અને $y > 0$.
અંતર $d_1(P) = \frac{|x-y|}{\sqrt{2}}$ અને $d_2(P) = \frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલ શરત $2 \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{2}} + \frac{|x+y|}{\sqrt{2}} \leq 4$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2\sqrt{2} \leq |x-y| + |x+y| \leq 4\sqrt{2}$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $x \geq y$. તો $|x-y| + |x+y| = (x-y) + (x+y) = 2x$.
તેથી,$2\sqrt{2} \leq 2x \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2}$. કારણ કે $x \geq y > 0$,આ પ્રદેશ પ્રથમ ચરણમાં એક લંબચોરસ છે.
કિસ્સો $2$: $y > x$. તો $|x-y| + |x+y| = (y-x) + (x+y) = 2y$.
તેથી,$2\sqrt{2} \leq 2y \leq 4\sqrt{2} \implies \sqrt{2} \leq y \leq 2\sqrt{2}$. કારણ કે $y > x > 0$,આ પ્રદેશ પણ એક લંબચોરસ છે.
પ્રદેશ $R$ એ આ બે લંબચોરસનો સંઘ છે,જે $L$-આકારનો પ્રદેશ બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ એ $2\sqrt{2}$ બાજુવાળા મોટા ચોરસ અને $\sqrt{2}$ બાજુવાળા નાના ચોરસના ક્ષેત્રફળનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $= (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6$.

(C) ધારો કે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ છે. બિંદુ $P$ એક રેખાથી $1$ ના અંતરે અને બીજી રેખાથી $4$ ના અંતરે છે.
ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે $PR$ રેખા સાથે બનાવે છે જે $P$ થી $4$ ના અંતરે છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$PR = \frac{4}{\sin \theta} = 4 \operatorname{cosec} \theta$.
તે જ રીતે,$PQ = \frac{1}{\sin(90^{\circ} - (\theta + 30^{\circ}))} = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$\triangle PQR$ સમબાજુ હોવાથી,$PR = PQ = d$.
તેથી,$4 \operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\cos(\theta + 30^{\circ})}$.
$4 \cos(\theta + 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\cos \theta \cos 30^{\circ} - \sin \theta \sin 30^{\circ}) = \sin \theta$.
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \sin \theta$.
$2\sqrt{3} \cos \theta = 3 \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
પછી $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4/3}{1 + 4/3} = \frac{4/3}{7/3} = \frac{4}{7}$.
$d^2 = PR^2 = (4 \operatorname{cosec} \theta)^2 = 16 \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 \times \frac{1}{\sin^2 \theta} = 16 \times \frac{7}{4} = 28$.

(D) ધારો કે $P = (1, 2)$ અને $Q = \left(\frac{57}{13}, \frac{-40}{13}\right)$. રેખા $2x - 3y + \lambda = 0$ એ રેખાખંડ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M$ નીચે મુજબ મળે:
$M = \left(\frac{1 + \frac{57}{13}}{2}, \frac{2 - \frac{40}{13}}{2}\right) = \left(\frac{35}{13}, \frac{-7}{13}\right)$.
$M$ એ રેખા $2x - 3y + \lambda = 0$ પર આવેલું હોવાથી:
$2\left(\frac{35}{13}\right) - 3\left(\frac{-7}{13}\right) + \lambda = 0$
$\frac{70}{13} + \frac{21}{13} + \lambda = 0$ $\Rightarrow 7 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -7$.
ત્રણ રેખાઓ સંગામી હોવાથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & -4 & -\alpha \\ 8 & -11 & -33 \\ 2 & -3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$
$\lambda = -7$ મૂકતા:
$3(77 - 99) + 4(-56 + 66) - \alpha(-24 + 22) = 0$
$-66 + 40 + 2\alpha = 0$ $\Rightarrow 2\alpha = 26$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
તેથી,$|\alpha \lambda| = |13 \times (-7)| = 91$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x + by + c = 0$ છે,જેને $\frac{x}{-c} + \frac{y}{-c/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અંતઃખંડો $a = -c$ અને $b' = -c/b$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |a \cdot b'| = \frac{1}{2} |(-c) \cdot (-c/b)| = \frac{1}{2} |\frac{c^2}{b}| = 48$ છે.
તેથી,$|\frac{c^2}{b}| = 96$.
ઉગમબિંદુમાંથી રેખા $L$ પરનો લંબ ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ લંબનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $-1/b$ છે. લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,$(1) \cdot (-1/b) = -1$,જે આપણને $b = 1$ આપે છે.
$b = 1$ ને $|\frac{c^2}{b}| = 96$ માં મૂકતા,આપણને $|c^2| = 96$ મળે છે,તેથી $c^2 = 96$.
તેથી,$b^2 + c^2 = 1^2 + 96 = 97$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
$y = mx + 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ ના ભાજકો $\{1, -1, 5, -5\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (પૂર્ણાંક છે).
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (પૂર્ણાંક છે).
આમ,$m$ ના $2$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે,જે $\{-1, -2\}$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
આને પ્રથમ રેખા $4x + 3y - 10 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $4x + 3(mx) = 10$ મળે,તેથી $x_A = \frac{10}{4+3m}$ અને $y_A = \frac{10m}{4+3m}$.
આમ,$OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|}$.
$y = mx$ ને બીજી રેખા $8x + 6y + 5 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $8x + 6(mx) = -5$ મળે,તેથી $x_B = \frac{-5}{8+6m}$ અને $y_B = \frac{-5m}{8+6m}$.
આમ,$OB = \sqrt{x_B^2 + y_B^2} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{|8+6m|} = \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|}$.
ગુણોત્તર $OA : OB = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|4+3m|} : \frac{5\sqrt{1+m^2}}{2|4+3m|} = 10 : \frac{5}{2} = 20 : 5 = 4 : 1$.
જેથી $O$ એ $AB$ નું $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(2,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2b + 3a = ab$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $12$ ચોરસ એકમ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{2}|ab| = 12$,એટલે કે $ab = \pm 24$.
કિસ્સો $I$: $ab = 24$. $b = \frac{24}{a}$ ને $2b + 3a = ab$ માં મૂકતા,$2(\frac{24}{a}) + 3a = 24$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - 8a + 16 = 0$ થાય છે. આથી $a = 4$ અને $b = 6$ મળે છે. આ $1$ રેખા આપે છે.
કિસ્સો $II$: $ab = -24$. $b = \frac{-24}{a}$ ને $2b + 3a = ab$ માં મૂકતા,$2(\frac{-24}{a}) + 3a = -24$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 + 8a - 16 = 0$ થાય છે. આના ઉકેલ $a = -4 \pm 4\sqrt{2}$ મળે છે. $b = \frac{-24}{a}$ હોવાથી,$a$ ની દરેક કિંમત માટે $b$ ની ભિન્ન કિંમત મળે છે. આ $2$ વધારાની રેખાઓ આપે છે.
આમ,કુલ શક્ય રેખાઓની સંખ્યા $1 + 2 = 3$ છે.

(A) રેખા $l_1$ નો ઢાળ $= \frac{4-2}{-3-1} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ $(h, k)$ એ $l_1$ પર હોવાથી,$(h, k)$ અને $(1, 2)$ વચ્ચેનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય:
$\frac{k-2}{h-1} = -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k-4 = -h+1$ $\Rightarrow h+2k = 5$ ... $(i)$.
રેખા $l_2$ એ $(h, k)$ અને $(4, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $l_1$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/2} = 2$ થાય.
તેથી,$\frac{3-k}{4-h} = 2$ $\Rightarrow 3-k = 8-2h$ $\Rightarrow 2h-k = 5$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4h-2k = 10$ ... $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $(h+2k) + (4h-2k) = 5+10$ $\Rightarrow 5h = 15$ $\Rightarrow h = 3$.
$h=3$ ને $(i)$ માં મુકતા: $3+2k = 5$ $\Rightarrow 2k = 2$ $\Rightarrow k = 1$.
તેથી,$\frac{k}{h} = \frac{1}{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(1, 2)$ છે. $P$ માંથી પસાર થતી અને $3x - y = 2$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - y = k$ છે. તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$3(1) - 2 = k$,તેથી $k = 1$. રેખાનું સમીકરણ $3x - y = 1$ અથવા $y = 3x - 1$ છે.
આ રેખાનું $x + y = 0$ સાથેનું છેદબિંદુ $Q$ શોધવા માટે,$y = 3x - 1$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા:
$x + (3x - 1) = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
તેથી $y = -x = -\frac{1}{4}$. આમ $Q = (\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(1 - \frac{1}{4})^2 + (2 - (-\frac{1}{4}))^2} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{81}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3 \sqrt{10}}{4}$ એકમ.

(D) આપેલ રેખાઓ:
$4ax + 2ay + c = 0$ $(i)$
$5bx + 2by + d = 0$ $(ii)$
$(i)$ ને $b$ વડે અને $(ii)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$4abx + 2aby + bc = 0$
$5abx + 2aby + ad = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$-abx + bc - ad = 0 \Rightarrow x = \frac{bc - ad}{ab}$
$x$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{4ad - 5bc}{2ab}$
બિંદુ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી અને અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$x = -y$.
$\frac{bc - ad}{ab} = -(\frac{4ad - 5bc}{2ab})$
$2bc - 2ad = -4ad + 5bc$
$2ad - 3bc = 0$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$1. 4x + 6y = 5$
$2. 8x + 12y = 10$
પગલાવાર તપાસ:
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2(4x + 6y) = 2(5) \Rightarrow 8x + 12y = 10$
આ સમીકરણ $(2)$ જેવું જ છે.
નિષ્કર્ષ:
બંને સમીકરણો એક જ રેખા દર્શાવે છે,તેથી આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 4x + 2y - 9 = 0$ અને $L_2: 2x + y + 6 = 0$ છે.
$L_1$ ને $2(2x + y) = 9$ તરીકે લખી શકાય,એટલે કે $2x + y = 4.5$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ ધારો.
$y = mx$ ને $L_1$ માં મૂકતા: $x_P = \frac{4.5}{2+m}$,$y_P = \frac{4.5m}{2+m}$.
$y = mx$ ને $L_2$ માં મૂકતા: $x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$O$ એ $PQ$ નું વિભાજન કરે તે ગુણોત્તર $OP$ અને $OQ$ ના અંતરનો ગુણોત્તર છે.
$OP : OQ = 4.5 : 6 = 3 : 4$.
આમ,$O$ એ $PQ$ નું $3:4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) $2x + y - 4 = 0$ અને $x - 3y + 5 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $(2x + y - 4) + \lambda(x - 3y + 5) = 0$ ... $(i)$
સાદું રૂપ આપતા: $x(2 + \lambda) + y(1 - 3\lambda) + (5\lambda - 4) = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $\sqrt{5}$ છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\left|\frac{5\lambda - 4}{\sqrt{(2 + \lambda)^2 + (1 - 3\lambda)^2}}\right| = \sqrt{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(5\lambda - 4)^2}{10\lambda^2 - 2\lambda + 5} = 5$
$25\lambda^2 - 40\lambda + 16 = 50\lambda^2 - 10\lambda + 25$
$25\lambda^2 + 30\lambda + 9 = 0$
$(5\lambda + 3)^2 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{5}$.
$\lambda = -\frac{3}{5}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મુકતા:
$(2x + y - 4) - \frac{3}{5}(x - 3y + 5) = 0$
$10x + 5y - 20 - 3x + 9y - 15 = 0$
$7x + 14y - 35 = 0$
$7$ વડે ભાગતા: $x + 2y - 5 = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $P$ એ રેખા $3x + y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$y = -3x - 4$ મળે.
ધારો કે $A = (-5, 6)$ અને $B = (3, 2)$.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$.
$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$.
$x^2 + 10x + 25 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4$.
$16x - 8y + 48 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 6 = 0$ થાય.
$y = -3x - 4$ ને $2x - y + 6 = 0$ માં મૂકતા:
$2x - (-3x - 4) + 6 = 0$.
$5x + 10 = 0 \implies x = -2$.
તેથી $y = -3(-2) - 4 = 6 - 4 = 2$.
બિંદુ $(-2, 2)$ છે.

(B) કારણ કે $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે,તેથી તેમના ઢાળ સમાન છે.
$L_2 \equiv 4x-6y+8=0$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$ છે.
$L_1$ એ $L_2$ ને સમાંતર હોવાથી,$L_1 \equiv ax-3y+5=0$ નો ઢાળ $\frac{a}{3} = \frac{2}{3}$ થશે,જે $a=2$ આપે છે.
$L_1: 2x-3y+5=0$ માટે,$X$-અંતઃખંડ $p$ શોધવા માટે $y=0$ લેતા,$2p+5=0 \implies p = -\frac{5}{2}$.
$Y$-અંતઃખંડ $q$ શોધવા માટે $x=0$ લેતા,$-3q+5=0 \implies q = \frac{5}{3}$. બિંદુ $(p, q) = (-\frac{5}{2}, \frac{5}{3})$.
$L_2: 4x-6y+8=0$ માટે,$X$-અંતઃખંડ $m$ શોધવા માટે $y=0$ લેતા,$4m+8=0 \implies m = -2$.
$Y$-અંતઃખંડ $n$ શોધવા માટે $x=0$ લેતા,$-6n+8=0 \implies n = \frac{4}{3}$. બિંદુ $(m, n) = (-2, \frac{4}{3})$.
$(p, q)$ અને $(m, n)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $M = \frac{\frac{4}{3} - \frac{5}{3}}{-2 - (-\frac{5}{2})} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}(x + 2) \implies 3y - 4 = -2x - 4 \implies 2x + 3y = 0$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m$ છે. $(1, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 5 = m(x - 1)$ છે,જે $y = mx + 5 - m$ તરીકે લખી શકાય.
$Q$ એ $5x - y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$y = mx + 5 - m$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5x - (mx + 5 - m) - 4 = 0 \Rightarrow (5 - m)x + m - 9 = 0 \Rightarrow x_Q = \frac{9 - m}{5 - m}$.
તેથી $y_Q = \frac{25 - m}{5 - m}$.
$P$ એ $3x + 4y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$y = mx + 5 - m$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 5 - m) - 4 = 0 \Rightarrow (3 + 4m)x + 16 - 4m = 0 \Rightarrow x_P = \frac{4m - 16}{4m + 3}$.
તેથી $y_P = \frac{m + 15}{4m + 3}$.
$(1, 5)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$x$-યામ $\frac{x_P + x_Q}{2} = 1$ થાય:
$\frac{4m - 16}{4m + 3} + \frac{9 - m}{5 - m} = 2$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $35m = 83 \Rightarrow m = \frac{83}{35}$.

(B) રેખા $x/a - y/b = 1$ એ $(8, 6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8/a - 6/b = 1$ . . . $(i)$.
અંત:ખંડો $(a, 0)$ અને $(0, -b)$ છે. અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $1/2 \times |a| \times |-b| = 12$ છે,તેથી $|ab| = 24$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 24$ અથવા $ab = -24$.
કિસ્સો $1$: $b = 24/a$. $(i)$ માં મૂકતા: $8/a - 6/(24/a) = 1 \implies 8/a - a/4 = 1 \implies 32 - a^2 = 4a \implies a^2 + 4a - 32 = 0 \implies (a+8)(a-4) = 0$.
જો $a = 4$,તો $b = 6$. રેખા $x/4 - y/6 = 1 \implies 3x - 2y = 12 \implies 3x - 2y - 12 = 0$.
જો $a = -8$,તો $b = -3$. રેખા $x/(-8) - y/(-3) = 1 \implies -x/8 + y/3 = 1 \implies -3x + 8y = 24 \implies 3x - 8y + 24 = 0$.
આમ,સમીકરણો $3x - 2y - 12 = 0$ અને $3x - 8y + 24 = 0$ છે.

(A) ધારો કે રેખાનો નમનકોણ $\theta$ છે. તે બિંદુ $A(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખાનું પ્રાચલ સ્વરૂપ $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ છે.
બિંદુ $P$ એ રેખા $x+y=4$ પર હોવાથી,$(1 + r \cos \theta) + (2 + r \sin \theta) = 4$.
$3 + r(\cos \theta + \sin \theta) = 4 \Rightarrow r(\cos \theta + \sin \theta) = 1$.
$r = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ મૂકતા,$\pm \frac{\sqrt{6}}{3}(\cos \theta + \sin \theta) = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{6}{9}(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 \Rightarrow \frac{2}{3}(1 + \sin 2\theta) = 1$.
$1 + \sin 2\theta = \frac{3}{2} \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$2\theta = 30^{\circ}$ અથવા $150^{\circ}$,જે $\theta = 15^{\circ}$ અથવા $75^{\circ}$ આપે છે.

(A) $3x - 4y + 1 = 0$ અને $5x + y - 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની સંહતિનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y + (1 - \lambda) = 0$ મળે.
રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપે તે માટે,રેખાનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
ઢાળ $m = -\frac{3 + 5\lambda}{\lambda - 4} = -1$ $\Rightarrow 3 + 5\lambda = \lambda - 4$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
$\lambda = -\frac{7}{4}$ મૂકતા,$23x + 23y - 11 = 0$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) $3x - 4y + 1 = 0$ અને $5x + y - 1 = 0$ રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ મળે છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda}} + \frac{y}{\frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}} = 1$ છે.
અંતઃખંડ સમાન અને શૂન્યતર હોવાથી,$\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda} = \frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}$ જ્યાં $\lambda \neq 1$.
આથી $\lambda - 4 = 3 + 5\lambda$,જેનો ઉકેલ $4\lambda = -7$ એટલે કે $\lambda = -\frac{7}{4}$ મળે છે.
$\lambda = -\frac{7}{4}$ ને $(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ માં મૂકતા,$(3 - \frac{35}{4})x + (-\frac{7}{4} - 4)y = -\frac{7}{4} - 1$ મળે છે.
સાદું રૂપ આપતા,$-\frac{23}{4}x - \frac{23}{4}y = -\frac{11}{4}$,જે $23x + 23y = 11$ આપે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 3)$ અને $B(2, -1)$ છે. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{\alpha+2}{2}, 1\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજક $M$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો $y$-અંતઃખંડ $1$ છે,જે $M$ ના $y$-યામ જેટલો જ છે. આનો અર્થ એ છે કે $M$ નો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ અથવા રેખા આડી હોવી જોઈએ.
$\frac{\alpha+2}{2} = 0 \implies \alpha = -2$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $\alpha=2$ હોય,તો $AB$ શિરોલંબ રેખા બને અને લંબદ્વિભાજક $y=1$ બને,જેનો $y$-અંતઃખંડ $1$ છે.
આમ,$\alpha = \pm 2$.

(C) . ધારો કે $Y$-અંતઃખંડ $a$ છે,તો $X$-અંતઃખંડ $2a$ છે. સમીકરણ: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1 \Rightarrow x+2y=2a$. તે $(4,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4+2(3)=2a \Rightarrow 2a=10$. સમીકરણ: $x+2y-10=0$ (વિકલ્પ $IV$).
$B$. મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{10}{3}, -\frac{2}{3})$. પરિકેન્દ્ર $O = (\frac{21}{4}, -\frac{5}{4})$. $G$ અને $O$ માંથી પસાર થતી રેખા $7x+23y-8=0$ છે (વિકલ્પ $II$).
$C$. $x-y+2=0$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે. સમીકરણ: $y-0 = -1(x - (-3/5)) \Rightarrow 5x+5y+3=0$ (વિકલ્પ $V$).
$D$. અભિલંબ સ્વરૂપ: $x \cos 45^{\circ} + y \sin 45^{\circ} = 2 \Rightarrow x+y-2\sqrt{2}=0$ (વિકલ્પ $I$).

(B) ધન $x$ અને $y$ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ $a$ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $1$ એકમ હોવાથી:
$\left| \frac{0 + 0 - a}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = 1$
$\left| \frac{-a}{\sqrt{2}} \right| = 1 \implies a = \sqrt{2}$ (કારણ કે અંતઃખંડ ધન અક્ષો પર છે).
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x + y = \sqrt{2}$ છે.
બીજી રેખા $y = 2x + 3 + \sqrt{2}$ આપેલ છે,જેને $2x - y = -3 - \sqrt{2}$ તરીકે લખી શકાય.
છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ શોધવા માટે,સમીકરણો ઉકેલો:
$x + y = \sqrt{2}$
$2x - y = -3 - \sqrt{2}$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$3x = -3 \implies x_0 = -1$.
$x_0 = -1$ ને $x + y = \sqrt{2}$ માં મૂકતા:
$-1 + y_0 = \sqrt{2} \implies y_0 = \sqrt{2} + 1$.
હવે,$2x_0 + y_0$ ની કિંમત:
$2(-1) + (\sqrt{2} + 1) = -2 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$.

(B) આપેલ છે કે $l, m, n$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
તેથી,$2m = l + n$.
રેખાનું સમીકરણ $lx + my + n = 0$ છે.
આપણે બિંદુ $(1, -2)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$l(1) + m(-2) + n = 0$
$l - 2m + n = 0$
$l + n = 2m$
આ શરત $l, m, n$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાની શરત સાથે બંધ બેસે છે,તેથી રેખા હંમેશા બિંદુ $(1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) પગલું $1$: રેખાઓ $3x + y - 4 = 0$ અને $x - y = 0$ નું છેદબિંદુ $A$ શોધો. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$4x = 4 \Rightarrow x = 1$. $x = 1$ ને $x - y = 0$ માં મૂકતા,$y = 1$ મળે. આમ,$A = (1, 1)$.
પગલું $2$: ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m$ છે. રેખા $x - 3y + 5 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 1/3$ છે.
પગલું $3$: રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. સૂત્ર $\tan \theta = |(m - m_1) / (1 + m \cdot m_1)|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 45^{\circ} = |(m - 1/3) / (1 + m/3)| = 1$.
પગલું $4$: આનાથી $(m - 1/3) / (1 + m/3) = 1$ અથવા $(m - 1/3) / (1 + m/3) = -1$ મળે.
કિસ્સો $1$: $m = 2$.
કિસ્સો $2$: $m = -1/2$.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,આપણે $m = -1/2$ પસંદ કરીએ છીએ.
પગલું $5$: $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -1/2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y = 3$ છે.

(A) રેખા $L$ એ $3x - 4y = 6$ ને લંબ છે. આપેલ રેખાનો ઢાળ $3/4$ છે,તેથી રેખા $L$ નો ઢાળ $-4/3$ થશે.
ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $4x + 3y = k$ છે.
અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = k/4$ અને $y = k/3$ છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\frac{k}{4}| |\frac{k}{3}| = 6$ છે.
$|k^2| / 24 = 6$ $\Rightarrow k^2 = 144$ $\Rightarrow k = \pm 12$.
$L$ માટે શક્ય સમીકરણો $4x + 3y - 12 = 0$ અને $4x + 3y + 12 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ થી $ax + by + c = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
$4x + 3y - 12 = 0$ માટે,$d_1 = \frac{|4(1) + 3(1) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|7 - 12|}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$4x + 3y + 12 = 0$ માટે,$d_2 = \frac{|4(1) + 3(1) + 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|19|}{5} = 3.8$.
ન્યૂનતમ અંતર $1$ છે.

(B) $P(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = 30^{\circ}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું પ્રાચલિત સમીકરણ $\frac{x-2}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-3}{\sin 30^{\circ}} = r$ છે.
તેથી,$x = 2 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $y = 3 + \frac{r}{2}$.
આ કિંમતો $x^2 - 2xy - y^2 = 0$ માં મૂકતા:
$(2 + r \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 2(2 + r \frac{\sqrt{3}}{2})(3 + \frac{r}{2}) - (3 + \frac{r}{2})^2 = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$r^2(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) - r(5 + \sqrt{3}) - 17 = 0$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $PA \cdot PB = |r_1 r_2| = |\frac{-17}{(1-\sqrt{3})/2}| = 17(\sqrt{3}+1)$.

(A) આપેલ રેખા $5x - y = 1$ છે,જેને $y = 5x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 5$ છે.
રેખા $L$ આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times 5 = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m = -1/5$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y = -\frac{1}{5}x + c$ અથવા $x + 5y = 5c$ છે. ધારો કે $k = 5c$,તેથી સમીકરણ $x + 5y = k$ છે.
આ રેખાના અંતઃખંડો $x = k$ (જ્યારે $y=0$) અને $y = k/5$ (જ્યારે $x=0$) છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{int} \times y_{int}| = 5$ છે.
$\frac{1}{2} |k \times \frac{k}{5}| = 5 \implies |k^2| = 50 \implies k = \pm \sqrt{50} = \pm 5 \sqrt{2}$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5 \sqrt{2}$ છે.

(D) રેખા $y - 3kx + 4 = 0$ નો ઢાળ $m_1 = 3k$ છે.
રેખા $(2k - 1)x - (8k - 1)y - 6 = 0$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2k - 1}{8k - 1}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1$.
$3k \times \left(\frac{2k - 1}{8k - 1}\right) = -1$.
$6k^2 - 3k = -8k + 1$.
$6k^2 + 5k - 1 = 0$.
$(6k - 1)(k + 1) = 0$.
તેથી,$k = \frac{1}{6}$ અથવા $k = -1$.
$k_1 > k_2$ આપેલ હોવાથી,$k_1 = \frac{1}{6}$ અને $k_2 = -1$.
જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{k_2}{k_1} = \frac{-1}{1/6} = -6$ છે.
$(k_1, k_2) = (\frac{1}{6}, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -6(x - \frac{1}{6})$.
$y + 1 = -6x + 1$.
$6x + y = 0$.

(A) રેખા $4x + 3y - 1 = 0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $m = -4/3$ છે.
ધારો કે રેખા પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. બિંદુ $A(-2, 3)$ થી $r = 10$ અંતરે આવેલા બિંદુઓ માટે પ્રાચલિત સ્વરૂપ: $x = x_0 + r cos \theta$ અને $y = y_0 + r sin \theta$.
ઢાળ $m = \tan \theta = -4/3$ હોવાથી,$\cos \theta = \pm 3/5$ અને $\sin \theta = \mp 4/5$ મળે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે:
$x_1 = -2 + 10(3/5) = 4, y_1 = 3 + 10(-4/5) = -5$
$x_2 = -2 + 10(-3/5) = -8, y_2 = 3 + 10(4/5) = 11$
હવે,$(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2$ ની ગણતરી કરતા:
$(4 - 5)^2 + (-8 + 11)^2 = (-1)^2 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.

(D) ધારો કે રેખા $y=x+3$ પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m=1$ હોવાથી,નમનકોણ $\theta=45^{\circ}$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ એ રેખા $y=x+3$ પર છે અને $(0,3)$ થી $2$ એકમ અંતરે છે.
$(0,3)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta=45^{\circ}$ ખૂણો બનાવતી રેખાના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x-0}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-3}{\sin 45^{\circ}} = r$,જ્યાં $r = \pm 2$.
આથી $x = r \cos 45^{\circ} = \pm 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ અને $y = 3 + r \sin 45^{\circ} = 3 \pm \sqrt{2}$ મળે.
બે શક્ય બિંદુઓ $P_1 = (\sqrt{2}, 3+\sqrt{2})$ અને $P_2 = (-\sqrt{2}, 3-\sqrt{2})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $D$ માટે $D^2 = x^2 + y^2$ થાય.
$P_1$ માટે: $D_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (3+\sqrt{2})^2 = 2 + (9 + 2 + 6\sqrt{2}) = 13 + 6\sqrt{2}$.
$P_2$ માટે: $D_2^2 = (-\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2 = 2 + (9 + 2 - 6\sqrt{2}) = 13 - 6\sqrt{2}$.
તેથી ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{13-6\sqrt{2}}$ છે.

(C) રેખાઓના પ્રથમ સમૂહ $(x-2y-1)+\lambda(3x+2y-11)=0$ નું છેદબિંદુ $x-2y-1=0$ અને $3x+2y-11=0$ નો ઉકેલ મેળવતા $(3,1)$ મળે છે.
રેખાઓના બીજા સમૂહ $(3x+4y-11)+\mu(-x+2y-3)=0$ નું છેદબિંદુ $3x+4y-11=0$ અને $-x+2y-3=0$ નો ઉકેલ મેળવતા $(1,2)$ મળે છે.
બંને સમૂહો માટે સામાન્ય રેખા $(3,1)$ અને $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(3,1)$ અને $(1,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-1}{x-3} = \frac{2-1}{1-3} = \frac{1}{-2}$ છે.
$-2(y-1) = x-3$ $\Rightarrow -2y+2 = x-3$ $\Rightarrow x+2y-5=0$.
$x+2y-5=0$ ને $ax+by-5=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ અને $b=2$ મળે છે.
તેથી,$2a+b = 2(1)+2 = 4$.

(C) રેખાખંડ $PQ$ ને $4:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુ $R$ ના યામ:
$R = \left(\frac{4(1)+1(2)}{4+1}, \frac{4(1)+1(-1)}{4+1}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right)$
બિંદુ $R$ એ રેખા $L \equiv 3x+4y-k=0$ પર હોવાથી:
$3\left(\frac{6}{5}\right) + 4\left(\frac{3}{5}\right) - k = 0 \Rightarrow k=6$
તેથી,$L \equiv 3x+4y-6=0$.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$2x+y-3=0$
સંગામી રેખાઓની સંહતિ:
$(3x+4y-6) + \lambda(2x+y-3) = 0$
રેખા $y=x$ ને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ $1$ થાય:
$-\frac{3+2\lambda}{4+\lambda} = 1 \Rightarrow \lambda = -\frac{7}{3}$
કિંમત મુકતા:
$5x-5y-3=0$

(D) ધારો કે રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - 5 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y + (5 - m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $L$ અને $L_1: 5x - y - 4 = 0$ તથા $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ ના છેદબિંદુઓ અનુક્રમે $A$ અને $B$ છે.
બિંદુ $(1, 5)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $A = (x_1, y_1)$ હોય,તો $B = (2 - x_1, 10 - y_1)$ થાય.
બિંદુ $A$ એ $5x - y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$5x_1 - y_1 - 4 = 0 \implies y_1 = 5x_1 - 4$.
બિંદુ $B$ એ $3x + 4y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0$.
$6 - 3x_1 + 40 - 4y_1 - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$.
$y_1 = 5x_1 - 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $3x_1 + 4(5x_1 - 4) = 42$.
$3x_1 + 20x_1 - 16 = 42 \implies 23x_1 = 58 \implies x_1 = \frac{58}{23}$.
તેથી $y_1 = 5(\frac{58}{23}) - 4 = \frac{290 - 92}{23} = \frac{198}{23}$.
બિંદુ $(1, 5)$ અને $(\frac{58}{23}, \frac{198}{23})$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{\frac{198}{23} - 5}{\frac{58}{23} - 1} = \frac{198 - 115}{58 - 23} = \frac{83}{35}$.
$L$ નું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 35y - 175 = 83x - 83$.
$83x - 35y + 92 = 0$.

(C) આપેલ રેખાઓ $y=x+r$ અને $y=-x+r$ છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આ રેખાઓ ચોરસની ગ્રીડ બનાવે છે.
બે રેખાઓ $y=x+r_1$ અને $y=x+r_2$ સમાંતર છે,અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}}$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{2}$ હોવા માટે,$\frac{|r_1-r_2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $|r_1-r_2| = 2$.
$r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણ માટે,$2$ નો તફાવત ધરાવતી જોડીઓ $(0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ છે. આવી $5$ જોડીઓ છે.
તે જ રીતે,$y=-x+r$ રેખાઓ માટે,બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|r_3-r_4|}{\sqrt{2}}$ છે.
આને $\sqrt{2}$ તરીકે લેતા $|r_3-r_4| = 2$ મળે છે,જે પણ $5$ જોડીઓ આપે છે.
બનતા ચોરસની કુલ સંખ્યા દરેક દિશામાં $2$ લંબાઈના અંતરાલોની સંખ્યાનો ગુણાકાર છે,જે $5 \times 5 = 25$ છે.

(A) રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -2$,$m_2 = -\frac{a}{b}$,અને $m_3 = -\frac{1}{2}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,$L_1$ અને $L_3$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $L_2$ અને $L_3$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોય.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $|\frac{-2 - (-1/2)}{1 + (-2)(-1/2)}| = |\frac{-a/b - (-1/2)}{1 + (-a/b)(-1/2)}|$.
$|\frac{-3/2}{2}| = |\frac{-2a+b}{2b+a}| \Rightarrow \frac{3}{4} = |\frac{2a-b}{a+2b}|$.
કિસ્સો $1$: $\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow 3a+6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 5a = 10b$ $\Rightarrow a=2b$.
$(5,1)$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$5a+b+c=0$ $\Rightarrow 10b+b+c=0$ $\Rightarrow c=-11b$.
તેથી $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(2b)(-11b)|} = \frac{b^2}{22b^2} = \frac{1}{22}$.
કિસ્સો $2$: $-\frac{3}{4} = \frac{2a-b}{a+2b}$ $\Rightarrow -3a-6b = 8a-4b$ $\Rightarrow 11a = -2b$ $\Rightarrow a=-\frac{2b}{11}$.
$(5,1)$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$5(-\frac{2b}{11})+b+c=0 \Rightarrow c = \frac{10b}{11}-b = -\frac{b}{11}$.
તેથી $\frac{b^2}{|ac|} = \frac{b^2}{|(-\frac{2b}{11})(-\frac{b}{11})|} = \frac{b^2}{2b^2/121} = \frac{121}{2}$.

(A) રેખાઓ $3x - 4y + 1 = 0$ અને $5x + y - 1 = 0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(3 + 5\lambda)x + (-4 + \lambda)y + (1 - \lambda) = 0$ મળે.
રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો બનાવે છે,તેથી $3 + 5\lambda = -4 + \lambda$ $\Rightarrow 4\lambda = -7$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{7}{4}$.
સમીકરણમાં $\lambda = -\frac{7}{4}$ મૂકતા,$23x + 23y = 11$ મળે.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{11/23} + \frac{y}{11/23} = 1$.
અંતઃખંડો $a = \frac{11}{23}$ અને $b = \frac{11}{23}$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \frac{11}{23} \times \frac{11}{23} = \frac{121}{1058}$ ચોરસ એકમ.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખા $x+2y+k=0$ છે.
તે $x+2y+3=0$ અને $x+2y+8=0$ વચ્ચેના અંતરનું $1:2$ ગુણોત્તરમાં આંતરિક વિભાજન કરે છે,તેથી $\frac{|k-3|}{|k-8|} = \frac{1}{2}$.
$2|k-3| = |k-8| \Rightarrow 4(k^2-6k+9) = k^2-16k+64$.
$3k^2-8k-28=0 \Rightarrow (3k-14)(k+2)=0$.
રેખા બે આપેલી રેખાઓની વચ્ચે હોવાથી,$k$ એ $3$ અને $8$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ,તેથી $k = \frac{14}{3}$.
સમીકરણ $x+2y+\frac{14}{3}=0$ અથવા $3x+6y+14=0$ છે.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં ફેરવવા માટે,$-3x-6y=14$ લખીએ.
$\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} = \sqrt{45}$ વડે ભાગતા,$\frac{-3}{\sqrt{45}}x + \frac{-6}{\sqrt{45}}y = \frac{14}{\sqrt{45}}$.
અહીં $\cos \alpha = \frac{-3}{\sqrt{45}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$ અને $\sin \alpha = \frac{-6}{\sqrt{45}} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$.
બંને $\cos \alpha$ અને $\sin \alpha$ ઋણ હોવાથી,$\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
$\alpha = \pi + \tan^{-1}(\frac{-2/-1}) = \pi + \tan^{-1}(2)$.