Locus of Point Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 1$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 1$.
બિંદુઓ $P(x, y), A(-1, 2), B(1, -2)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |x(2 - (-2)) + (-1)(-2 - y) + 1(y - 2)| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2 + y + y - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |4x + 2y| = 1$
$|2x + y| = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2x + y)^2 = 1^2$
$4x^2 + 4xy + y^2 = 1$.

(C) ધારો કે $P(x, y)$,$A=(5,3)$,$B=(3,-2)$.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(3 - (-2)) - y(5 - 3) + 1(5(-2) - 3(3))| = 9$.
$\frac{1}{2} |5x - 2y - 19| = 9$.
$|5x - 2y - 19| = 18$.
$5x - 2y - 19 = 18$ અથવા $5x - 2y - 19 = -18$.
$5x - 2y = 37$ અથવા $5x - 2y = 1$.
આ સમીકરણો સમાન ઢાળ $m = \frac{5}{2}$ ધરાવતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે,જે સમાંતર રેખાઓ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 9x + 12y + 7 = 0$ છે.
પ્રથમ,$L_2$ ને $3$ વડે ભાગતા: $3x + 4y + \frac{7}{3} = 0$.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુનો બિંદુપથ એ બંનેની વચ્ચે આવેલી ત્રીજી સમાંતર રેખા છે.
તેથી,બિંદુપથ એક સુરેખા છે.

(B) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ છે. બિંદુના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુનું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $5$ છે,તેથી $|x| + |y| = 5$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(5, 0), (0, 5), (-5, 0),$ અને $(0, -5)$ છે.
આ ચોરસના વિકર્ણની લંબાઈ $(5, 0)$ અને $(0, 5)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
વિકર્ણ $d$ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ ધ્રુવીય સમીકરણ: $\theta = \tan^{-1} 2$
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા,આપણને મળે છે: $\tan \theta = 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્તેઝિયન યામમાં,$\tan \theta = \frac{y}{x}$
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\frac{y}{x} = 2$
તેથી,કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ છે: $y = 2x$

(D) રેખાઓના કુટુંબનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ અને શરત $4a^2 + 9b^2 - c^2 - 12ab = 0$ આપેલ છે.
શરતને ફરીથી ગોઠવતા: $4a^2 - 12ab + 9b^2 = c^2$,જે $(2a - 3b)^2 = c^2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $c = \pm(2a - 3b)$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $c = 2a - 3b$. આને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $ax + by + (2a - 3b) = 0 \implies a(x + 2) + b(y - 3) = 0$.
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
કિસ્સો $2$: $c = -(2a - 3b) = -2a + 3b$. આને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $ax + by + (-2a + 3b) = 0 \implies a(x - 2) + b(y + 3) = 0$.
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,$(2, -3)$ અને $(-2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા શરતનું પાલન કરે છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. ઉગમબિંદુથી અંતર $c$ હોવાથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) = (x, y)$ છે. તેથી $a=2x, b=2y$. કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$.

(B) ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$(x, y) = \left(\frac{a + a \cos t + b \sin t}{3}, \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3}\right)$
આથી:
$3x = a + a \cos t + b \sin t \Rightarrow 3x - a = a \cos t + b \sin t$
$3y = a \sin t - b \cos t$
આ બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - a)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 + a^2 - 6ax + 9y^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax + a^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6ax = b^2$
આપેલ બિંદુપથ $9x^2 + 9y^2 - 6x = 49$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ અને $b^2 = 49$ મળે છે,તેથી $b = 7$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1} + \frac{y}{7} = 1$ છે.
અંતઃખંડો $x = 1$ અને $y = 7$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 1 \times 7 = \frac{7}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે,જ્યાં $a, b > 0$.
$(a, 0)$ અને $(0, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(4, 9)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ મળે.
આપણે $S = a + b$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે.
સમીકરણ $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} = 1$ પરથી,$b = \frac{9a}{a-4}$ મળે.
તેથી,$S(a) = a + \frac{9a}{a-4}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$a$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $S'(a) = 1 - \frac{36}{(a-4)^2}$.
$S'(a) = 0$ લેતા,$(a-4)^2 = 36$,તેથી $a-4 = 6$ (કારણ કે $a > 4$),જે $a = 10$ આપે છે.
ત્યારબાદ $b = \frac{9(10)}{10-4} = 15$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $S = a + b = 10 + 15 = 25$ થાય.

(A, D) કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 12 \text{ સેકન્ડ}$ આપેલ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય $t = \frac{T}{2} = 6 \text{ સેકન્ડ}$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = 32 \text{ ft/sec}^2$:
$0 = u - (32)(6) \Rightarrow u = 192 \text{ ft/sec}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = ut - \frac{1}{2}gt^2$:
$H = (192)(6) - \frac{1}{2}(32)(6)^2 = 1152 - 576 = 576 \text{ ft}$.
આમ,પ્રક્ષેપણનો વેગ $192 \text{ ft/sec}$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈ $576 \text{ ft}$ છે.
વિકલ્પ $A$ અને $D$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી $AB = AC$,એટલે કે $AB^2 = AC^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x + 2)^2 + (y - 7)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 14y + 49$.
$8y - 6x = 43$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$A = (2, -3)$ અને $B = (-2, 1)$ હોવાથી,$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $G$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
છેદ દૂર કરવા માટે $3$ વડે ગુણતા:
$2x + 3(y - 2) = 3$.
$2x + 3y - 6 = 3$.
$2x + 3y = 9$.
આમ,બિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.

(B) બિંદુ $P(x, y)$ નું $A(8, 0)$ અને $B(0, 12)$ થી અંતરનો સરવાળો ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર હોય.
$(8, 0)$ અને $(0, 12)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{8} + \frac{y}{12} = 1$ છે.
$24$ વડે ગુણતા,$3x + 2y = 24$ મળે.
$x$ અને $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી $(x, y \in \mathbb{N})$,આપણે રેખાખંડ પરના પૂર્ણાંક ઉકેલો ચકાસીએ.
જો $x = 2$,તો $3(2) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 18$ $\Rightarrow y = 9$.
જો $x = 4$,તો $3(4) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$.
જો $x = 6$,તો $3(6) + 2y = 24$ $\Rightarrow 2y = 6$ $\Rightarrow y = 3$.
આ બિંદુઓ $(2, 9), (4, 6), (6, 3)$ એ $S$ માં છે.
આમ,આવા $3$ બિંદુઓ છે.

(D) ધારો કે ચલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a^2 + b^2 = 1$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d = ax_1 + by_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(2,0)$,$(0,2)$ અને $(1,1)$ થી અંતરનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય છે:
$(2a + 0b + c) + (0a + 2b + c) + (1a + 1b + c) = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
રેખાના સમીકરણમાં $c = -(a + b)$ મૂકતા:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું છે જો $x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ હોય.
આમ,રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-5 - 0}{0 - 7} = \frac{5}{7}$ છે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = -\frac{7}{5}$ છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{7}{5}(x - a)$ છે,જે $7x + 5y = 7a$ થાય છે.
$Q(0, b)$ એ $PQ$ પર હોવાથી,$5b = 7a$,તેથી $b = \frac{7a}{5}$.
$R(h, k)$ એ $AQ$ અને $BP$ નું છેદબિંદુ છે.
$A(7, 0)$ અને $Q(0, b)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{7} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$B(0, -5)$ અને $P(a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BP$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{-5} = 1$ છે.
$R(h, k)$ બંને રેખાઓ પર હોવાથી:
$(1)$ $\frac{h}{7} + \frac{k}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{h}{7} + \frac{5k}{7a} = 1$ $\Rightarrow ah + 5k = 7a$ $\Rightarrow a(7 - h) = 5k$ $\Rightarrow a = \frac{5k}{7 - h}$.
$(2)$ $\frac{h}{a} - \frac{k}{5} = 1$ $\Rightarrow 5h - ak = 5a$ $\Rightarrow 5h = a(k + 5)$ $\Rightarrow a = \frac{5h}{k + 5}$.
$a$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{5k}{7 - h} = \frac{5h}{k + 5}$ $\Rightarrow k(k + 5) = h(7 - h)$ $\Rightarrow k^2 + 5k = 7h - h^2$.
ગોઠવતા $h^2 + k^2 - 7h + 5k = 0$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 7x + 5y = 0$ મળે છે.

(B) ના યામ $(0,4)$ અને $B$ ના યામ $(2t, 0)$ છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $L$ એ $\left(\frac{0+2t}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (t, 2)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0-4}{2t-0} = -\frac{2}{t}$ છે.
$AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = \frac{t}{2}$ છે.
$L(t, 2)$ માંથી પસાર થતા લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{t}{2}(x - t)$ છે.
$M$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $y - 2 = \frac{t}{2}(0 - t) \Rightarrow y = 2 - \frac{t^2}{2} = \frac{4-t^2}{2}$.
તેથી,$M$ એ $\left(0, \frac{4-t^2}{2}\right)$ છે.
ધારો કે $N(h, k)$ એ $LM$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $h = \frac{t+0}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$.
$k = \frac{2 + \frac{4-t^2}{2}}{2} = \frac{4+4-t^2}{4} = \frac{8-t^2}{4} = 2 - \frac{t^2}{4}$.
$k$ ના સમીકરણમાં $t = 2h$ મૂકતા: $k = 2 - \frac{(2h)^2}{4} = 2 - \frac{4h^2}{4} = 2 - h^2$.
આમ,$N(x, y)$ નો બિંદુપથ $y = 2 - x^2$ છે,જે એક પરવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$ છે.
નિત્યસમ $\sin ^2 y = 1 - \sin ^2 x = \cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આથી $\sin y = \pm \cos x$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\sin y = \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.
તેનો વ્યાપક ઉકેલ $y = n\pi + (-1)^n(\frac{\pi}{2} - x)$ છે,જે $\pm 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: $\sin y = -\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2})$.
તેનો વ્યાપક ઉકેલ $y = n\pi + (-1)^n(x - \frac{\pi}{2})$ છે,જે પણ $\pm 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓ દર્શાવે છે.
$n$ એ કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે,તેથી આવી અનંત રેખાઓ મળે છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો,$x=0$ અને $y=0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ નું રેખા $x=0$ થી અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y=0$ થી અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ એકમ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ છે.

(A) ધારો કે $B = (2\alpha, 0)$.
$A = (0, 4)$ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\alpha, 2)$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{0-4}{2\alpha-0} = -\frac{2}{\alpha}$ છે.
$AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{MR} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{\alpha}{2}$ થાય.
$M(\alpha, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{\alpha}{2}$ ઢાળવાળી રેખા $MR$ નું સમીકરણ $y-2 = \frac{\alpha}{2}(x-\alpha)$ છે.
$R$ શોધવા માટે,$x=0$ મૂકતા: $y-2 = \frac{\alpha}{2}(0-\alpha) \Rightarrow y = 2 - \frac{\alpha^{2}}{2}$.
તેથી,$R = (0, 2 - \frac{\alpha^{2}}{2})$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ $MR$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $x = \frac{\alpha+0}{2} = \frac{\alpha}{2}$ અને $y = \frac{2 + (2 - \alpha^{2}/2)}{2} = 2 - \frac{\alpha^{2}}{4}$.
$x = \frac{\alpha}{2}$ પરથી,$\alpha = 2x$ મળે.
$y$ ના સમીકરણમાં $\alpha = 2x$ મૂકતા: $y = 2 - \frac{(2x)^{2}}{4} = 2 - x^{2}$.
આમ,$y+x^{2}=2$.

(B) ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
ધારો કે $A = (\alpha, -\alpha)$ અને $B = (\beta, \beta)$.
તેથી,મધ્યબિંદુ $(h, k) = \left(\frac{\alpha+\beta}{2}, \frac{\beta-\alpha}{2}\right)$.
માટે,$\alpha+\beta = 2h$ અને $\beta-\alpha = 2k$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2} + (-\alpha)^{2}} \sqrt{\beta^{2} + \beta^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^{2}} \sqrt{2\beta^{2}} = |\alpha\beta| = C$.
આમ,$\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\beta+\alpha)^{2} - (\beta-\alpha)^{2} = 4\alpha\beta$.
તેથી,$4\alpha\beta = (2h)^{2} - (2k)^{2} = 4(h^{2}-k^{2})$,જે સૂચવે છે કે $\alpha\beta = h^{2}-k^{2}$.
આ કિંમત $\alpha^{2}\beta^{2} = C^{2}$ માં મૂકતા,આપણને $(h^{2}-k^{2})^{2} = C^{2}$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x^{2}-y^{2})^{2} = C^{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ છે.
રેખા એક નિશ્ચિત બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{x_{1}}{a}+\frac{y_{1}}{b}=1$
$OAPB$ લંબચોરસ હોવાથી,$P$ ના યામ $(a, b)$ થશે.
$a$ ને $x$ અને $b$ ને $y$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ છે:
$\frac{x_{1}}{x}+\frac{y_{1}}{y}=1$

(A) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ આપેલ નિશ્ચિત બિંદુ છે અને $O(0, 0)$ એ ઉગમબિંદુ છે.
ધારો કે $Q(x, y)$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી $P$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
કારણ કે $OQ \perp PQ$,તેથી $\angle OQP = 90^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $Q$ એ $OP$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $O(0, 0)$ અને $P(\alpha, \beta)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-\alpha) + (y-0)(y-\beta) = 0$
$x(x-\alpha) + y(y-\beta) = 0$
$x^{2} - \alpha x + y^{2} - \beta y = 0$
આમ,બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} - \alpha x - \beta y = 0$ છે.

(A) રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x - 5y = 15$ થાય છે.
રેખા $PQ$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $5x + 3y = \lambda$ સ્વરૂપનું છે.
$P$ ના યામ $(\frac{\lambda}{5}, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, \frac{\lambda}{3})$ છે.
$A(5,0)$ અને $Q(0, \frac{\lambda}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખા $AQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{\lambda/3} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{x}{5} + \frac{3y}{\lambda} = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5})$.
$B(0,-3)$ અને $P(\frac{\lambda}{5}, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BP$ નું સમીકરણ $\frac{x}{\lambda/5} + \frac{y}{-3} = 1$ છે,એટલે કે $\frac{5x}{\lambda} - \frac{y}{3} = 1$. તેથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$.
$\frac{1}{\lambda}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{3y}(1 - \frac{x}{5}) = \frac{1}{5x}(\frac{y}{3} + 1)$
$5x(1 - \frac{x}{5}) = 3y(\frac{y}{3} + 1)$
$5x - x^{2} = y^{2} + 3y$
$x^{2} + y^{2} - 5x + 3y = 0$.

(A) $P(h, k)$ માંથી પસાર થતી અને $X$-અક્ષને સમાંતર રેખા $y=k$ છે.
$y=k$ અને $y=x$ નું છેદબિંદુ $B(k, k)$ છે.
$y=k$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ $C(2-k, k)$ છે.
$y=x$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ $A(1, 1)$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| = h^2$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{2} |1(k-k) + k(k-1) + (2-k)(1-k)| = h^2$
$\frac{1}{2} |0 + k^2 - k + 2 - 2k - k + k^2| = h^2$
$\frac{1}{2} |2k^2 - 4k + 2| = h^2$
$|k^2 - 2k + 1| = h^2$
$(k-1)^2 = h^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$k-1 = \pm h$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$y-1 = \pm x$ મળે.
આમ,$x = y-1$ અથવા $x = -(y-1)$.

(B) બંને અક્ષો પર $2a$ અંતઃખંડ ધરાવતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{2a} + \frac{y}{2a} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 2a$ થાય છે.
ધારો કે રેખા $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(2h, 2k)$ છે.
બિંદુ $P$ રેખા $x + y = 2a$ પર હોવાથી,$2h + 2k = 2a$,જેનું સાદું રૂપ $h + k = a$ થાય છે.
અક્ષો પર લંબ $PR$ અને $PS$ દોરવામાં આવે છે,તેથી $R$ ના યામ $(2h, 0)$ અને $S$ ના યામ $(0, 2k)$ છે.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{2h+0}{2}, \frac{0+2k}{2}) = (h, k)$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુના યામ $(x, y)$ છે,તેથી $x = h$ અને $y = k$.
આ કિંમતોને $h + k = a$ માં મૂકતા,આપણને $x + y = a$ મળે છે.
આમ,$RS$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x + y = a$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ $(1)$
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = \frac{1}{K}$ $(2)$
ધારો કે છેદબિંદુ $(x, y)$ છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\frac{x}{a} + \frac{y}{b})(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) = K \times \frac{1}{K}$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
આ અતિવલયનું સમીકરણ છે. તેથી,બિંદુપથ એક અતિવલય છે.

(A) ધારો કે $R$ ના યામ $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(2, -3), Q(-2, 1)$ અને $R(h, k)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ થશે.
મધ્યકેન્દ્ર રેખા $2x + 3y = 1$ પર હોવાથી,તે આ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$
$3$ વડે ગુણતા:
$2h + 3(k - 2) = 3$
$2h + 3k - 6 = 3$
$2h + 3k = 9$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$R$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $x+2y=4$ $(i)$ અને $2x+y=4$ (ii) છે.
સમીકરણો $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,છેદબિંદુ $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ મળે છે.
આ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ધારો.
તે $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{3a} + \frac{4}{3b} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{4}$ (iii) થાય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ ધારો. તેથી $h = \frac{a}{2}$ અને $k = \frac{b}{2}$,એટલે કે $a = 2h$ અને $b = 2k$.
આ કિંમતો સમીકરણ (iii) માં મૂકતા,$\frac{1}{2h} + \frac{1}{2k} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
$2hk$ વડે ગુણતા,$k + h = \frac{3}{2}hk$,અથવા $2(h+k) = 3hk$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2(x+y) = 3xy$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ $(1)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) y = a \sin \theta + a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta \implies y = a \sin \theta$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2x \sin \theta + (1 - \cos \theta - 1 - \cos \theta) y = 0$
$2x \sin \theta - 2y \cos \theta = 0$
$x \sin \theta = y \cos \theta$
$y = a \sin \theta$ મુકતા:
$x \sin \theta = (a \sin \theta) \cos \theta$
$x = a \cos \theta$
હવે,$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2$
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2$ છે.

(C) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
રેખા $x = 0$ થી $P$ નું અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y = 0$ થી $P$ નું અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
ચોરસ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણનો એક પ્રકાર છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાં ચોરસનો ઉલ્લેખ નથી. જો પ્રશ્નમાં અંતરોના વર્ગોનો સરવાળો અચળ હોય તેમ આપેલું હોત,તો તે વર્તુળ થાત. પરંતુ $|x| + |y| = 1$ માટે બિંદુપથ ચોરસ જ મળે છે.

(B) $x^{3}-y x^{2}+x-y=0$
પદોને જૂથબદ્ધ કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2}(x-y)+1(x-y)=0$
$(x^{2}+1)(x-y)=0$
કારણ કે $x^{2}+1=0$ માટે $x$ ના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી,તેથી માત્ર વાસ્તવિક બિંદુઓનો પથ નીચે મુજબ મળે છે:
$x-y=0$
$x=y$
આમ,આ સમીકરણ એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$3tx - 2y + 6t = 0$ $(i)$
$3x + 2ty - 6 = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,$3t(x+2) = 2y \Rightarrow t = \frac{2y}{3(x+2)}$.
$t$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$3x + 2\left(\frac{2y}{3(x+2)}\right)y - 6 = 0$
$3x(3(x+2)) + 4y^{2} - 6(3(x+2)) = 0$
$9x(x+2) + 4y^{2} - 18(x+2) = 0$
$9x^{2} + 18x + 4y^{2} - 18x - 36 = 0$
$9x^{2} + 4y^{2} = 36$
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ મળે છે,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વક્ર $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુના પ્રચલિત યામ $(x, y) = (a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ લો.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{dy}{d\theta} = 3a \sin^2 \theta \cos \theta$ અને $\frac{dx}{d\theta} = -3a \cos^2 \theta \sin \theta$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{3a \sin^2 \theta \cos \theta}{-3a \cos^2 \theta \sin \theta} = -\tan \theta$.
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$.
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = a \sin \theta \cos \theta$.
$a \sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{a \cos \theta} + \frac{y}{a \sin \theta} = 1$ મળે છે.
$x$-અંતઃખંડ $a \cos \theta$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $a \sin \theta$ છે.
અંતઃખંડિત ભાગની લંબાઈ $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ છે.
જેમ કે $a$ અચળ છે,તેથી અંતઃખંડિત ભાગની લંબાઈ અચળ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $4x + 3y = 1$ અને $3x + 4y = 1$ છે. આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = 1/7$ અને $y = 1/7$ મળે છે. તેથી,છેદબિંદુ $A(1/7, 1/7)$ છે.
ધારો કે $A(1/7, 1/7)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1/7 = m(x - 1/7)$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $P$ (જ્યાં $y=0$) અને $y$-અક્ષને $Q$ (જ્યાં $x=0$) માં મળે છે.
$P$ માટે,$-1/7 = m(x_1 - 1/7) \implies x_1 = 1/7 - 1/(7m) = (m-1)/(7m)$. તેથી $P = ((m-1)/(7m), 0)$.
$Q$ માટે,$y_1 - 1/7 = m(-1/7) \implies y_1 = (1-m)/7$. તેથી $Q = (0, (1-m)/7)$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $h = (m-1)/(14m)$ અને $k = (1-m)/14$.
$k = (1-m)/14$ પરથી,$14k = 1-m$,તેથી $m = 1-14k$.
$m$ ની કિંમત $h = (m-1)/(14m)$ માં મૂકતા,$h = (1-14k-1)/(14(1-14k)) = -14k/(14(1-14k)) = -k/(1-14k)$.
આમ,$h(1-14k) = -k \implies h - 14hk = -k \implies h + k = 14hk$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x + y = 14xy$ અથવા $x + y - 14xy = 0$ મળે છે.