Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Hindi

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $(0,0)$ से चर रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ पर लंब का पाद $P(x_1, y_1)$ है।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$,इसलिए $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,$x_1^2 + y_1^2 = 4$,जो $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(D) $P(2, 3)$ और $Q(4, 5)$ का मध्य-बिंदु $(\frac{2+4}{2}, \frac{3+5}{2}) = (3, 4)$ है।
$PQ$ की ढाल $= \frac{5-3}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$ है।
चूंकि रेखा $L$,$PQ$ का लंब समद्विभाजक है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $m = -1$ है।
$(3, 4)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण $y - 4 = -1(x - 3) \Rightarrow x + y - 7 = 0$ है।
मान लीजिए बिंदु $R(0, 0)$ का प्रतिबिंब $S(x_1, y_1)$ है।
$RS$ का मध्य-बिंदु $(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2})$ रेखा $L$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{x_1}{2} + \frac{y_1}{2} - 7 = 0 \Rightarrow x_1 + y_1 = 14$ है।
$RS$ की ढाल $\frac{y_1}{x_1}$ है। चूंकि $RS \perp L$,इसलिए $RS$ की ढाल $1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{y_1}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = y_1$ है।
$x_1 = y_1$ को $x_1 + y_1 = 14$ में रखने पर,$2x_1 = 14 \Rightarrow x_1 = 7$ और $y_1 = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$R$ का प्रतिबिंब $(7, 7)$ है।

(C) मान लीजिए $P(0, 1)$ दिया गया बिंदु है और $L: 2x - y = 0$ रेखा है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ का सूत्र $\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x_1 - 0}{2} = \frac{y_1 - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1)}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
अतः,$x_1 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ और $y_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,एक रेखा में किसी बिंदु का प्रतिबिंब वह बिंदु होता है जिसके लिए रेखा उस बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है। यह दर्शाता है कि बिंदु विपरीत पक्षों पर स्थित हैं और रेखा से समान दूरी पर हैं। अतः,कथन $2$ सत्य है और कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया वक्र $x^{2}+2xy-3y^{2}=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} - 6y\frac{dy}{dx} = 0$।
बिंदु $(2,2)$ पर: $2(2) + 2(2) + 2(2)\frac{dy}{dx} - 6(2)\frac{dy}{dx} = 0$।
$4 + 4 + 4\frac{dy}{dx} - 12\frac{dy}{dx} = 0 \implies 8 - 8\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = 1$।
बिंदु $(2,2)$ पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल $m_{T} = 1$ है।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब (normal) की ढाल $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -1$ है।
बिंदु $(2,2)$ पर अभिलंब का समीकरण $(y - 2) = -1(x - 2) \implies y - 2 = -x + 2 \implies x + y - 4 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $x + y - 4 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|ax_{0} + by_{0} + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$।

(A) विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदुओं $A(1,0)$ और $B(2,3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:n$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left(\frac{n(1)+1(2)}{1+n}, \frac{n(0)+1(3)}{1+n}\right) = \left(\frac{n+2}{n+1}, \frac{3}{n+1}\right)$
रेखाखंड $AB$ की ढाल $m = \frac{3-0}{2-1} = 3$ है।
$AB$ पर लंब रेखा की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{3}$ होगी।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली और $m'$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - \frac{3}{n+1} = -\frac{1}{3} \left(x - \frac{n+2}{n+1}\right)$
$3(n+1)$ से गुणा करने पर:
$3(n+1)y - 9 = -(n+1)x + n + 2$
$(n+1)x + 3(n+1)y = n + 11$

(A) माना मूलबिंदु $O(0, 0)$ है और दिया गया बिंदु $P(-2, 9)$ है।
रेखाखंड $OP$ की ढाल $m_{1} = \frac{9 - 0}{-2 - 0} = -\frac{9}{2}$ है।
चूंकि रेखा $OP$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{1}{(-9/2)} = \frac{2}{9}$ होगी।
बिंदु $P(-2, 9)$ से गुजरने वाली और $\frac{2}{9}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - y_{1} = m(x - x_{1})$
$y - 9 = \frac{2}{9}(x + 2)$
$9y - 81 = 2x + 4$
$2x - 9y + 85 = 0$.

(A) एक रेखाखंड का लंब समद्विभाजक उसके मध्यबिंदु से होकर गुजरता है और उस पर लंब होता है।
रेखाखंड के अंतिम बिंदु $A(3, 4)$ और $B(-1, 2)$ हैं।
$AB$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{3-1}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = (1, 3)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{2-4}{-1-3} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{1/2} = -2$ है।
$(1, 3)$ से गुजरने वाली और $-2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 3) = -2(x - 1)$ है।
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y = 5$.

(A) माना कि $(a, b)$ बिंदु $(-1, 3)$ से रेखा $3x - 4y - 16 = 0$ पर लंब के पाद के निर्देशांक हैं।
$(-1, 3)$ और $(a, b)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{b - 3}{a + 1}$ है।
दी गई रेखा $3x - 4y - 16 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$\therefore \left(\frac{b - 3}{a + 1}\right) \times \left(\frac{3}{4}\right) = -1$
$\Rightarrow 3b - 9 = -4a - 4$
$\Rightarrow 4a + 3b = 5$ ..... $(1)$
बिंदु $(a, b)$ रेखा $3x - 4y - 16 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$3a - 4b = 16$ ..... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$a = \frac{68}{25}$ और $b = -\frac{49}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{68}{25}, -\frac{49}{25}\right)$ हैं।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से डाला गया लंब रेखा को बिंदु $P(-1, 2)$ पर मिलता है।
$(0, 0)$ और $(-1, 2)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ है।
चूंकि रेखा $y = mx + c$ इस रेखाखंड पर लंब है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा।
अतः,$m \times (-2) = -1$,जिससे $m = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(-1, 2)$ रेखा $y = mx + c$ पर स्थित है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2 = m(-1) + c$
$m = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$2 = \frac{1}{2}(-1) + c$
$2 = -\frac{1}{2} + c$
$c = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,$m = \frac{1}{2}$ और $c = \frac{5}{2}$ है।

(A) मान लीजिए $Q(h, k)$ रेखा $x - 3y + 4 = 0$ ... $(1)$ में बिंदु $P(1, 2)$ का प्रतिबिंब है।
रेखा $(1)$ रेखाखंड $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
रेखा $x - 3y + 4 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{3}$ है।
रेखा $PQ$ की ढाल $m_2 = \frac{k - 2}{h - 1}$ है।
चूंकि $PQ$ रेखा $(1)$ के लंबवत है,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{1}{3} \times \frac{k - 2}{h - 1} = -1$,जो $k - 2 = -3(h - 1)$ देता है,या $3h + k = 5$ ... $(2)$।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{h + 1}{2}, \frac{k + 2}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$ रेखा $(1)$ पर स्थित है,$\frac{h + 1}{2} - 3\left(\frac{k + 2}{2}\right) + 4 = 0$,जो $h + 1 - 3k - 6 + 8 = 0$ में सरल होता है,या $h - 3k = -3$ ... $(3)$।
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $9h + 3k = 15$।
समीकरण $(3)$ के साथ जोड़ने पर: $(9h + 3k) + (h - 3k) = 15 - 3$,इसलिए $10h = 12$,$h = \frac{6}{5}$।
$h$ का मान $(3)$ में रखने पर: $\frac{6}{5} - 3k = -3$,इसलिए $3k = \frac{6}{5} + 3 = \frac{21}{5}$,$k = \frac{7}{5}$।
अतः,प्रतिबिंब $\left(\frac{6}{5}, \frac{7}{5}\right)$ है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $x+3y=7$ है ... $(1)$.
माना बिंदु $B(a,b)$ बिंदु $A(3,8)$ का प्रतिबिंब है।
तदनुसार,रेखा $(1)$ $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
$AB$ की ढाल $= \frac{b-8}{a-3}$,जबकि रेखा $(1)$ की ढाल $= -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि रेखा $(1)$ $AB$ पर लंब है,इसलिए $\left(\frac{b-8}{a-3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$.
यह $\frac{b-8}{3a-9} = 1$ में सरल होता है,जिससे $b-8 = 3a-9$ या $3a-b = 1$ प्राप्त होता है ... $(2)$.
$AB$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{a+3}{2}, \frac{b+8}{2}\right)$ है।
चूंकि यह मध्य-बिंदु रेखा $(1)$ पर स्थित है,इसलिए $\left(\frac{a+3}{2}\right) + 3\left(\frac{b+8}{2}\right) = 7$.
$2$ से गुणा करने पर,$a+3 + 3b+24 = 14$,जो $a+3b = -13$ में सरल होता है ... $(3)$.
समीकरणों $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर: समीकरण $(2)$ से $b = 3a-1$। समीकरण $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$a + 3(3a-1) = -13$,अतः $a + 9a - 3 = -13$,$10a = -10$,$a = -1$।
तब $b = 3(-1)-1 = -4$।
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(-1,-4)$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$2x - 3y + 4 = 0$ $(1)$
$3x + 4y - 5 = 0$ $(2)$
$6x - 7y + 8 = 0$ $(3)$
व्यक्ति रेखाओं $(1)$ और $(2)$ द्वारा दर्शाए गए रास्तों के जंक्शन पर खड़ा है।
समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें बिंदु $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ प्राप्त होता है।
कम से कम समय में रास्ते $(3)$ तक पहुँचने के लिए,व्यक्ति को बिंदु $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ से रेखा $(3)$ पर लंबवत चलना चाहिए।
रेखा $(3)$ की ढाल $m = \frac{6}{7}$ है।
लंबवत रेखा की ढाल $m' = -\frac{7}{6}$ होगी।
बिंदु $(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ से गुजरने वाली और $-\frac{7}{6}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$(y - \frac{22}{17}) = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y = 125$.

(D) रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
रेखाखंड $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
अतः,लंब समद्विभाजक की ढाल $m = k-1$ होगी।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)\left(x - \frac{k+1}{2}\right)$ है।
$y$-अंतःखंड $-4$ दिया गया है,इसलिए $x=0$ और $y=-4$ रखने पर:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)\left(-\frac{k+1}{2}\right)$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$k^2 = 16 \Rightarrow k = \pm 4$।

(C) $x$-अंतःखंड $3$ और $y$-अंतःखंड $1$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x + 3y - 3 = 0$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_0, y_0) = (-1, -4)$ का प्रतिबिंब $(x', y')$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $\frac{x' - x_0}{a} = \frac{y' - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{1(-1) + 3(-4) - 3}{1^2 + 3^2}$.
$\frac{x' + 1}{1} = \frac{y' + 4}{3} = -2 \frac{-16}{10} = \frac{16}{5}$.
$x'$ के लिए: $x' + 1 = \frac{16}{5} \Rightarrow x' = \frac{11}{5}$.
$y'$ के लिए: $\frac{y' + 4}{3} = \frac{16}{5}$ $\Rightarrow y' + 4 = \frac{48}{5}$ $\Rightarrow y' = \frac{28}{5}$.
अतः,प्रतिबिंब $\left(\frac{11}{5}, \frac{28}{5}\right)$ है।

(D) माना बिंदु $P(3,5)$ का रेखा $x-y+1=0$ में प्रतिबिंब $P'(x,y)$ है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
मान $x_1=3, y_1=5, a=1, b=-1, c=1$ रखने पर:
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{3-5+1}{1^2+(-1)^2} \right)$
$\frac{x-3}{1} = \frac{y-5}{-1} = -2 \left( \frac{-1}{2} \right) = 1$
अतः,$x-3=1 \implies x=4$ और $y-5=-1 \implies y=4$।
प्रतिबिंब बिंदु $(4,4)$ है।
अब,जाँचें कि कौन सा विकल्प बिंदु $(4,4)$ द्वारा संतुष्ट होता है:
विकल्प $D$ के लिए: $(4-2)^2 + (4-4)^2 = 2^2 + 0^2 = 4$।
इस प्रकार,बिंदु $(4,4)$ वृत्त $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 4$ पर स्थित है।

(B) दिया गया है $A = \left(\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$.
$y$-अक्ष में $A$ का प्रतिबिंब $B = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, \sqrt{a}\right)$ है।
$x$-अक्ष में $B$ का प्रतिबिंब $C = \left(-\frac{3}{\sqrt{a}}, -\sqrt{a}\right)$ है।
$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल सारणिक विधि से:
$\text{Area} = 3\sqrt{a} |\cos \theta - \sin \theta|$
चौथे चतुर्थांश में $\cos \theta - \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।
अतः,$3\sqrt{a} \cdot \sqrt{2} = 12$.
$\sqrt{2a} = 4 \implies 2a = 16 \implies a = 8$.

(A) $P'(2, -3)$,$P(2, 3)$ का $x$-अक्ष $(y=0)$ पर प्रतिबिंब है।
चूंकि किरण $A$ पर परावर्तित होती है,$P', A$ और $Q$ संरेख हैं।
$P'Q$ रेखा का समीकरण: $y + 3 = \frac{4 - (-3)}{5 - 2}(x - 2) \implies 3y + 9 = 7x - 14 \implies 7x - 3y = 23$.
$A$ पर $y = 0$ है,इसलिए $7x = 23 \implies x = \frac{23}{7}$. अतः,$A = (\frac{23}{7}, 0)$.
$R, AQ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। $A = (\frac{23}{7}, 0)$ और $Q = (5, 4)$.
$R = (\frac{2(5) + 1(23/7)}{3}, \frac{2(4) + 1(0)}{3}) = (\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$.
$\angle PAQ$ का समद्विभाजक $A$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष के लंबवत रेखा $x = \frac{23}{7}$ है।
$R(\frac{31}{7}, \frac{8}{3})$ से रेखा $x = \frac{23}{7}$ पर लंब का पाद $M(\frac{23}{7}, \frac{8}{3})$ है।
अतः,$\alpha = \frac{23}{7}$ और $\beta = \frac{8}{3}$.
$7\alpha + 3\beta = 7(\frac{23}{7}) + 3(\frac{8}{3}) = 23 + 8 = 31$.

(C) $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ का परिकेंद्र कर्ण $AC$ का मध्यबिंदु $M$ है।
परावर्तन के गुणों के अनुसार,$AB$,$PP_1$ का लंब समद्विभाजक है और $BC$,$PP_2$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि $AB \perp BC$ है,इसलिए बिंदु $B$,$P, P_1,$ और $P_2$ से समान दूरी पर है,क्योंकि $BP = BP_1$ और $BP = BP_2$ है।
अतः,$B$,$\triangle P_1PP_2$ का परिकेंद्र है।
$\triangle ABC$ में,$M$,$AC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $BM = AM = MC = \frac{AC}{2}$ (समकोण त्रिभुज में कर्ण पर माध्यिका का गुणधर्म)।
इसलिए,परिकेंद्रों $B$ और $M$ के बीच की दूरी $BM = \frac{AC}{2}$ है।

(C) मान लीजिए $\angle PAB = \theta$ और $\angle PAC = \phi$ है।
चूंकि $Q$,$AB$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AQ = AP$ और $\angle QAB = \angle PAB = \theta$ है।
चूंकि $R$,$AC$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $AR = AP$ और $\angle RAC = \angle PAC = \phi$ है।
दिया गया है कि $Q, A, R$ संरेख हैं,इसलिए $\angle QAR = 180^{\circ}$ है।
आकृति से,$\angle QAR = \angle QAB + \angle BAC + \angle RAC = \theta + (\theta + \phi) + \phi = 2(\theta + \phi) = 180^{\circ}$ है।
अतः,$\theta + \phi = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $\angle BAC = \theta + \phi$ है,इसलिए $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।

(B) आपतित किरण मूलबिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इसका समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ है।
रेखा $x + y = 1$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ प्राप्त करने के लिए $y = \frac{x}{\sqrt{3}}$ को $x + y = 1$ में रखने पर:
$x + \frac{x}{\sqrt{3}} = 1 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$.
अतः,$P = \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}, \frac{1}{\sqrt{3} + 1}\right)$.
परावर्तित किरण का ढाल $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1})$ है।
$y = 0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $Q$ के लिए:
$\sqrt{3}x = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} \Rightarrow x = \frac{2}{3 + \sqrt{3}}$.

(C) रेखा $2x+y-6=0$ के सापेक्ष बिंदु $B(7,2)$ का प्रतिबिंब $B'(x', y')$ ज्ञात करने के लिए,
प्रतिबिंब सूत्र $\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{2(7)+1(2)-6}{2^2+1^2} \right)$ का उपयोग करते हुए,
$\frac{x'-7}{2} = \frac{y'-2}{1} = -2 \left( \frac{14+2-6}{5} \right) = -2 \left( \frac{10}{5} \right) = -4$.
अतः,$x'-7 = -8 \implies x' = -1$ और $y'-2 = -4 \implies y' = -2$.
इसलिए,$B' = (-1, -2)$.
आपतित किरण बिंदु $A(3, 10)$ और $B'(-1, -2)$ से गुजरती है।
आपतित किरण की ढाल $m = \frac{10 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{12}{4} = 3$ है।
आपतित किरण का समीकरण $y - 10 = 3(x - 3) \implies y - 10 = 3x - 9 \implies 3x - y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$ax + by + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 3$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a^2 + b^2 + 3ab = (3)^2 + (-1)^2 + 3(3)(-1) = 9 + 1 - 9 = 1$.

(D) मान लीजिए $G$ शीर्ष $(1,3), (3,1)$ और $(2,4)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक है।
$G = \left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{3+1+4}{3}\right) = \left(2, \frac{8}{3}\right)$.
मान लीजिए $(\alpha, \beta)$ रेखा $x+2y-2=0$ के सापेक्ष $G$ का प्रतिबिंब है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x', y')$ का सूत्र $\frac{x'-x_0}{a} = \frac{y'-y_0}{b} = -2\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{2+2(8/3)-2}{1^2+2^2}$.
$\frac{\alpha-2}{1} = \frac{\beta-8/3}{2} = -2\frac{16/3}{5} = -\frac{32}{15}$.
अतः,$\alpha = 2 - \frac{32}{15} = -\frac{2}{15}$ और $\beta = \frac{8}{3} - \frac{64}{15} = \frac{40-64}{15} = -\frac{24}{15}$.
अंत में,$15(\alpha-\beta) = 15\left(-\frac{2}{15} - (-\frac{24}{15})\right) = 15\left(\frac{22}{15}\right) = 22$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करके त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करें:
$1$) $7x-6y+3=0$ और $x+2y-31=0$ बिंदु $A(9, 11)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$2$) $7x-6y+3=0$ और $9x-2y-19=0$ बिंदु $B(3, 4)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$3$) $x+2y-31=0$ और $9x-2y-19=0$ बिंदु $C(5, 13)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{9+3+5}{3}, \frac{11+4+13}{3}\right) = \left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ है।
माना $(h, k)$,रेखा $3x+6y-53=0$ में $G\left(\frac{17}{3}, \frac{28}{3}\right)$ का प्रतिबिंब है। प्रतिबिंब के लिए सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$a=3, b=6, c=-53, x_1=\frac{17}{3}, y_1=\frac{28}{3}$ है।
$\frac{h-17/3}{3} = \frac{k-28/3}{6} = -2\frac{3(17/3)+6(28/3)-53}{3^2+6^2} = -2\frac{17+56-53}{45} = -\frac{8}{9}$.
$h = 3, k = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$h^2+k^2+hk = 3^2+4^2+(3)(4) = 37$।

(A) दी गई रेखाओं के परिवार का समीकरण $x(3 \lambda+1)+y(7 \lambda+2)=17 \lambda+5$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(x+2y-5) + \lambda(3x+7y-17) = 0$ प्राप्त होता है।
यह परिवार $x+2y-5=0$ और $3x+7y-17=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$P(1, 2)$ प्राप्त होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से सबसे दूर स्थित रेखा $L$,$OP$ के लंबवत होती है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = 2$ है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $m_L = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण $x+2y-5=0$ है।
बिंदु $Q(3, 6)$ से रेखा $L$ की दूरी $d = \frac{|3+12-5|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ है।
अतः,$d^2 = 20$.

(D) $P$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ दिए गए हैं।
यदि $Q$,$X$-अक्ष के सापेक्ष $P$ का प्रतिबिंब है,तो त्रिज्यीय दूरी $r$ समान रहती है और कोण $\theta$ बदलकर $-\theta$ हो जाता है।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $\left(2, -\frac{\pi}{6}\right)$ हैं।
कोण को मानक अंतराल $[0, 2\pi)$ में व्यक्त करने के लिए,हम कोण में $2\pi$ जोड़ते हैं:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
इस प्रकार,$Q$ के ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{11\pi}{6}\right)$ हैं।

(D) रेखाखंड $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{-5-3}{6-(-2)} = \frac{-8}{8} = -1$ है।
चूंकि लंब समद्विभाजक $AB$ पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_{AB} = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,अतः $m = 1$।
$AB$ का मध्य बिंदु $M = \left( \frac{-2+6}{2}, \frac{3-5}{2} \right) = (2, -1)$ है।
$(2, -1)$ से गुजरने वाली और $m=1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $y - (-1) = 1(x - 2)$,जो सरल होकर $y + 1 = x - 2$ या $x - y = 3$ हो जाता है।

(C) माना मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और लंब का पाद $N(3, -4)$ है।
रेखाखंड $ON$ की ढाल $m_{ON} = \frac{-4 - 0}{3 - 0} = -\frac{4}{3}$ है।
चूँकि रेखा $L$,$ON$ पर लंब है,इसलिए रेखा $L$ की ढाल $(m_L)$ $m_L \times m_{ON} = -1$ द्वारा दी जाती है।
$m_L \times (-\frac{4}{3}) = -1 \Rightarrow m_L = \frac{3}{4}$।
रेखा $L$,बिंदु $N(3, -4)$ से होकर गुजरती है और इसकी ढाल $m_L = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,रेखा $L$ का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है।
$y - (-4) = \frac{3}{4}(x - 3)$
$4(y + 4) = 3(x - 3)$
$4y + 16 = 3x - 9$
$3x - 4y - 25 = 0$।

(D) माना लंब का पाद $(h, k)$ है।
चूंकि $(h, k)$ रेखा $3x - y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3h - k - 1 = 0 \implies k = 3h - 1$ ... $(i)$.
दी गई रेखा $3x - y - 1 = 0$ की ढाल $m_1 = 3$ है।
बिंदु $(-2, 3)$ और $(h, k)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $3 \times \frac{k - 3}{h + 2} = -1$.
$3(k - 3) = -(h + 2) \implies 3k - 9 = -h - 2 \implies h + 3k = 7$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $k = 3h - 1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$h + 3(3h - 1) = 7 \implies h + 9h - 3 = 7 \implies 10h = 10 \implies h = 1$.
$h = 1$ का मान $(i)$ में रखने पर,$k = 3(1) - 1 = 2$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(A) माना लंब का पाद $(x, y)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ पर लंब के पाद का सूत्र:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
मान $(x_1, y_1) = (1, 2)$ और $x - 3y + 7 = 0$ रखने पर:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 3(2) + 7}{1^2 + (-3)^2}$
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-3} = -\frac{1 - 6 + 7}{1 + 9} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$
अब,$x$ और $y$ के लिए हल करने पर:
$x - 1 = -\frac{1}{5} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
$y - 2 = -3 \times \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5} \Rightarrow y = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$
अतः,लंब का पाद $\left(\frac{4}{5}, \frac{13}{5}\right)$ है।

(B) दिया गया बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (a \cos^{3} \theta, a \sin^{3} \theta)$.
दी गई रेखा: $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$.
दी गई रेखा को ढाल-अंतःखंड रूप में लिखने पर:
$y \operatorname{cosec} \theta = -x \sec \theta + a$
$y = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} x + a \sin \theta$.
अतः,ढाल $m_{1} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{1}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होगी।
अभीष्ट रेखा का समीकरण $(y - y_{1}) = m(x - x_{1})$ के अनुसार:
$y - a \sin^{3} \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} (x - a \cos^{3} \theta)$
$y \sin \theta - a \sin^{4} \theta = x \cos \theta - a \cos^{4} \theta$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{4} \theta - \sin^{4} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a (\cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta) (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(C) माना बिंदु $P(1, 1)$ का प्रतिबिंब $Q(h, k)$ है।
परावर्तन की रेखा $x + y = 0$ है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{h+1}{2}, \frac{k+1}{2}\right)$ है,जो रेखा $x + y = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
$\frac{h+1}{2} + \frac{k+1}{2} = 0 \Rightarrow h + k + 2 = 0 \quad \dots(i)$
रेखा $PQ$,रेखा $x + y = 0$ (जिसकी ढाल $-1$ है) के लंबवत है।
$PQ$ की ढाल $\frac{k-1}{h-1}$ है।
चूंकि $PQ$,$x + y = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा।
$\left(\frac{k-1}{h-1}\right) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{k-1}{h-1} = 1$ $\Rightarrow k - 1 = h - 1$ $\Rightarrow k = h$.
समीकरण $(i)$ में $k = h$ रखने पर:
$h + h + 2 = 0$ $\Rightarrow 2h = -2$ $\Rightarrow h = -1$.
चूंकि $k = h$,इसलिए $k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(1, 1)$ का रेखा $y = -x$ के अनुदिश प्रतिबिंब $(-1, -1)$ है।

(C) माना दी गई रेखा $L_1: x+y=4$ है। $L_1$ की प्रवणता $m_1 = -1$ है।
$L_1$ के लंबवत रेखा $L_2$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(2,4)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण $y-4 = 1(x-2)$ है,जो $y-x=2$ में सरल हो जाता है।
लंब के पाद को ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$x+y=4$
$y-x=2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2y = 6 \Rightarrow y=3$ प्राप्त होता है।
$y=3$ को $x+y=4$ में रखने पर,$x+3=4 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब का पाद $(1,3)$ है।

(A) हम जानते हैं कि बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ पर खींचे गए लंब के पाद $(h, k)$ का सूत्र है:
$\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = \frac{-(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1) = (3,4)$ है और रेखा $2x+y-7=0$ है।
अतः,$a=2, b=1, c=-7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(2(3) + 1(4) - 7)}{2^2 + 1^2}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-(6+4-7)}{4+1}$
$\frac{h-3}{2} = \frac{k-4}{1} = \frac{-3}{5}$
अब,$h$ के लिए हल करने पर:
$h-3 = 2 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-6}{5}$
$h = 3 - \frac{6}{5} = \frac{15-6}{5} = \frac{9}{5}$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k-4 = 1 \times \left(\frac{-3}{5}\right) = \frac{-3}{5}$
$k = 4 - \frac{3}{5} = \frac{20-3}{5} = \frac{17}{5}$
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{9}{5}, \frac{17}{5}\right)$ हैं।

(A) $A(-3, 4)$ का रेखा $2x + y - 7 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $A'(\frac{21}{5}, \frac{38}{5})$ प्राप्त होता है।
सबसे छोटे रास्ते के लिए $B$,$A'C$ रेखा और दी गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
रेखा $A'C$ का समीकरण $11x - 7y + 7 = 0$ है।
दोनों रेखाओं को हल करने पर $B(\frac{42}{25}, \frac{91}{25})$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र के अनुसार $AB = \sqrt{(\frac{42}{25} + 3)^2 + (\frac{91}{25} - 4)^2} = \frac{9 \sqrt{170}}{25}$.

(C) $A(3,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 3)$ है,जिसे $mx - y + (1 - 3m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
दूरी अधिकतम होने के लिए,रेखा को $OA$ के लंबवत होना चाहिए।
$OA$ की ढाल $\frac{1}{3}$ है।
अतः रेखा की ढाल $m = -3$ होगी।
रेखा का समीकरण $3x + y = 10$ प्राप्त होता है।
$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{10}{3}, 0)$ और $(0, 10)$ हैं।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10 = \frac{50}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H(5,8)$ और परिकेंद्र $O(h,k)$ को जोड़ने वाली रेखा को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2h+5}{3}, \frac{2k+8}{3}\right) = \left(3, \frac{14}{3}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2h+5}{3} = 3 \Rightarrow h = 2$
$\frac{2k+8}{3} = \frac{14}{3} \Rightarrow k = 3$
अतः,परिकेंद्र $O(2,3)$ है।
रेखा $x-y=0$ के सापेक्ष लंबकेंद्र $H(5,8)$ का प्रतिबिंब $(8,5)$ है,जो परिवृत्त पर स्थित है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{(8-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
व्यास $= 2R = 4\sqrt{10}$.

(B) चरण $1$: रेखा $x-y=0$ (या $y=x$) में बिंदु $P(4,1)$ का परावर्तन। $y=x$ में परावर्तन का नियम $(x,y) \to (y,x)$ है। अतः,नया बिंदु $P'$ $(1,4)$ होगा।
चरण $2$: धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में $2$ इकाई का स्थानांतरण। नियम $(x,y) \to (x+2, y)$ है। अतः,$P'' = (1+2, 4) = (3,4)$ होगा।
चरण $3$: $X$-अक्ष पर प्रक्षेप। बिंदु $(x,y)$ का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप $(x,0)$ होता है। अतः,अंतिम बिंदु $(3,0)$ होगा।

(D) बिंदु $(x, y)$ का $X$-अक्ष में प्रतिबिंब $(x, -y)$ होता है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $(2, -3)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ का रेखा $x+y=0$ में प्रतिबिंब $(-y, -x)$ होता है।
अतः,$C$ के निर्देशांक $(3, -2)$ हैं।
बिंदु $(x, y)$ का रेखा $x-y=0$ में प्रतिबिंब $(y, x)$ होता है।
अतः,$D$ के निर्देशांक $(-2, 3)$ हैं।
रेखा $AB$,$(2, 3)$ और $(2, -3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $x=2$ है।
रेखा $CD$,$(3, -2)$ और $(-2, 3)$ से गुजरती है। ढाल $m = \frac{3 - (-2)}{-2 - 3} = -1$ है।
$CD$ का समीकरण $y - 3 = -1(x + 2) \Rightarrow x + y = 1$ है।
$x=2$ को $x+y=1$ में रखने पर,$2+y=1 \Rightarrow y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -1)$ है।

(B) दी गई रेखा $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = a$ है,जिसे $\frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = a$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Ax + By + C = 0$ के लंबवत रेखा का रूप $Bx - Ay + k = 0$ होता है।
अतः,दी गई रेखा के लंबवत रेखा $x \operatorname{cosec} \theta - y \sec \theta + k = 0$ या $\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = -k$ है।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ से गुजरती है,इसलिए:
$\frac{a \cos^3 \theta}{\sin \theta} - \frac{a \sin^3 \theta}{\cos \theta} = -k$
$\frac{a(\cos^4 \theta - \sin^4 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = -k$
इस मान को रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{\sin \theta} - \frac{y}{\cos \theta} = \frac{a \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$\sin \theta \cos \theta$ से गुणा करने पर:
$x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2 \theta$.

(A) दी गई रेखा $x \cos \theta - y \sin \theta = 2 \cos 2 \theta$ है।
इसका ढाल $m_1 = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ है।
इस रेखा पर लंब रेखा का ढाल $m_2 = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ होगा।
$(2 \cos^3 \theta, 2 \sin^3 \theta)$ से गुजरने वाली और $m_2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 2 \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - 2 \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + 2 \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$x \sin \theta + y \cos \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
दोनों पक्षों को $\sin \theta \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta = 2$.

(B) व्यक्ति $2x - 3y + 4 = 0$ और $3x + 4y - 5 = 0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खड़ा है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ प्राप्त होता है।
$6x - 7y + 8 = 0$ रास्ते पर कम से कम समय में पहुँचने के लिए,व्यक्ति को लंबवत रेखा पर चलना होगा।
दिए गए रास्ते की ढाल $m_1 = \frac{6}{7}$ है।
अतः लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{7}{6}$ होगी।
$(-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ से गुजरने वाली और $-\frac{7}{6}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - \frac{22}{17} = -\frac{7}{6}(x + \frac{1}{17})$
$119x + 102y - 125 = 0$.

(A) माना $B = (x_1, y_1)$ है। चूँकि $3x + 4y - 18 = 0$ भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक है,$AB$ का मध्यबिंदु $M$ रेखा पर स्थित है।
$M = (\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1-4}{2})$। रेखा के समीकरण में मान रखने पर: $3(\frac{x_1+3}{2}) + 4(\frac{y_1-4}{2}) - 18 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 43$।
साथ ही,$AB$ की ढाल रेखा $3x + 4y - 18 = 0$ (ढाल $-3/4$) के लंबवत है। अतः,$AB$ की ढाल $= 4/3$ है।
$\frac{y_1+4}{x_1-3} = \frac{4}{3} \implies 4x_1 - 3y_1 = 24$।
समीकरणों को हल करने पर: $x_1 = 9$ और $y_1 = 4$ प्राप्त होता है। अतः $B = (9, 4)$ है।
केंद्रक $G = (\frac{3+9+6}{3}, \frac{-4+4+3}{3}) = (6, 1)$ है।

(A) $y$-अक्ष में रेखा $x+y-2=0$ का प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$x+y-2=0$ में $x = -x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-x)+y-2=0$
$-x+y-2=0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x-y+2=0$
वैकल्पिक रूप से,रेखा $x+y=2$ बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
$y$-अक्ष में $A(2, 0)$ का प्रतिबिंब $A'(-2, 0)$ है,और $B(0, 2)$ का प्रतिबिंब $B(0, 2)$ स्वयं है।
$A'(-2, 0)$ और $B(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$y-0 = \frac{2-0}{0-(-2)}(x-(-2))$
$y = \frac{2}{2}(x+2)$
$y = x+2$
$x-y+2=0$

(B) माना बिंदु $A(1, -2)$ और $B(\alpha, \beta)$ हैं। $AB$ का मध्य बिंदु $M$,$\left(\frac{\alpha + 1}{2}, \frac{\beta - 2}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$,रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\left(\frac{\alpha + 1}{2}\right) - 3\left(\frac{\beta - 2}{2}\right) + 5 = 0$,जो $2\alpha - 3\beta + 18 = 0$ $(i)$ में सरल हो जाता है।
रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{\beta + 2}{\alpha - 1}$ है। दी गई रेखा $2x - 3y + 5 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $AB$ दी गई रेखा के लंबवत है,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\left(\frac{\beta + 2}{\alpha - 1}\right) \times \frac{2}{3} = -1$,जो $2\beta + 4 = -3\alpha + 3$ या $3\alpha + 2\beta + 1 = 0$ $(ii)$ देता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $\alpha = -3$ और $\beta = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -3 + 4 = 1$.

(C) $PQ$ का मध्यबिंदु $M = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
रेखा $PQ$ की ढाल $m = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m' = k-1$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{1+k}{2})$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए $x=0$ और $y=-4$ रखने पर:
$-4 - \frac{7}{2} = (k-1)(-\frac{1+k}{2})$
$-\frac{15}{2} = -\frac{k^2-1}{2}$
$15 = k^2 - 1$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$.
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(C) माना आपतित किरण की प्रवणता $m$ है। दर्पण रेखा $7x - y + 1 = 0$ है,जिसकी प्रवणता $m_1 = 7$ है। परावर्तित किरण $y + 2x = 1$ है,जिसकी प्रवणता $m_2 = -2$ है। आपतन बिंदु $(0, 1)$ है।
चूंकि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,इसलिए आपतित किरण और दर्पण के बीच का कोण,परावर्तित किरण और दर्पण के बीच के कोण के बराबर होता है।
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
$\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13}$ या $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$.
स्थिति $1$: $13(m - 7) = 9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = 9 + 63m$ $\Rightarrow -50m = 100$ $\Rightarrow m = -2$ (यह परावर्तित किरण की प्रवणता है)।
स्थिति $2$: $13(m - 7) = -9(1 + 7m)$ $\Rightarrow 13m - 91 = -9 - 63m$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
$(0, 1)$ से गुजरने वाली और $m = \frac{41}{38}$ प्रवणता वाली आपतन रेखा का समीकरण:
$y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0)$ $\Rightarrow 38y - 38 = 41x$ $\Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$.

(B) आपतित रेखा का समीकरण $x-2y-3=0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि कण लंबवत दिशा में परावर्तित होता है,इसलिए परावर्तित रेखा की ढाल $m_2$ को $m_1 \times m_2 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m_2 = -2$ है।
आपतन बिंदु $x-2y-3=0$ और $3x-2y-5=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(3x-2y-5) - (x-2y-3) = 0$ $\Rightarrow 2x-2=0$ $\Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है।
$x=1$ को $x-2y-3=0$ में रखने पर,$1-2y-3=0$ $\Rightarrow -2y=2$ $\Rightarrow y=-1$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -1)$ है।
$(1, -1)$ से गुजरने वाली और $m_2 = -2$ ढाल वाली परावर्तित रेखा का समीकरण है:
$y - (-1) = -2(x - 1)$
$y + 1 = -2x + 2$
$2x + y - 1 = 0$.

(A) माना $l_1 \equiv 2x + 3y = 5$.
चूंकि रेखा $AB$,$l_1$ के लंबवत है,इसलिए $l_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
अतः,$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{1}{m_1} = \frac{3}{2}$ है।
बिंदु $A\left(1, \frac{1}{3}\right)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$\left(y - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{2}(x - 1)$
$\Rightarrow 2y - \frac{2}{3} = 3x - 3$
$\Rightarrow 3x - 2y = \frac{7}{3}$
$\Rightarrow 9x - 6y = 7$ $(i)$
रेखा $l_1$ का समीकरण $2x + 3y = 5$ है। इसे $2$ से गुणा करने पर $4x + 6y = 10$ (ii) प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $13x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{13}$.
$2x + 3y = 5$ में $x$ का मान रखने पर: $2\left(\frac{17}{13}\right) + 3y = 5$ $\Rightarrow 3y = 5 - \frac{34}{13} = \frac{31}{13}$ $\Rightarrow y = \frac{31}{39}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ($AB$ का मध्य-बिंदु) $\left(\frac{17}{13}, \frac{31}{39}\right)$ है।
माना $B = (x_2, y_2)$. चूंकि $P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है:
$\frac{1 + x_2}{2} = \frac{17}{13} \Rightarrow x_2 = \frac{21}{13}$
$\frac{1/3 + y_2}{2} = \frac{31}{39} \Rightarrow y_2 = \frac{49}{39}$
अतः,$B = \left(\frac{21}{13}, \frac{49}{39}\right)$.