Foot of perpendicular, Image of a point and Reflexive properties Questions in Hindi

(C) माना बिंदु $P$ का निर्देशांक $(0, b)$ है क्योंकि यह $Y$-अक्ष पर स्थित है। अतः,$a = 0$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं। इसका अर्थ है कि $Y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(2, 3)$ का प्रतिबिंब,जो $(-2, 3)$ है,परावर्तित किरण वाली रेखा पर स्थित है।
परावर्तित किरण $P(0, b)$ और $(3, 2)$ से गुजरती है।
$(-2, 3)$ और $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 3 = \frac{2 - 3}{3 - (-2)} (x - (-2))$
$y - 3 = \frac{-1}{5} (x + 2)$
$5y - 15 = -x - 2$
$x + 5y = 13$
चूंकि बिंदु $P(0, b)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $x = 0$ और $y = b$ रखने पर:
$0 + 5b = 13$
$5b = 13$
चूंकि $a = 0$ है,हम $13 = a + 13$ लिख सकते हैं।
अतः,$5b = a + 13$.

(A) दी गई रेखा $x-2y+3=0$ है।
$X$-अंतःखंड $A$ ज्ञात करने के लिए,$y=0$ रखें: $x+3=0 \implies x=-3$. अतः,$A = (-3, 0)$.
$Y$-अंतःखंड $B$ ज्ञात करने के लिए,$x=0$ रखें: $-2y+3=0 \implies y=3/2$. अतः,$B = (0, 3/2)$.
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $ax+by+c=0$ पर लंब का पाद $M(x_1, y_1)$ ज्ञात करने का सूत्र $\frac{x_1}{a} = \frac{y_1}{b} = -\frac{c}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$a=1, b=-2, c=3$.
$\frac{x_1}{1} = \frac{y_1}{-2} = -\frac{3}{1+4} = -\frac{3}{5}$.
अतः,$x_1 = -3/5$ और $y_1 = 6/5$. इस प्रकार,$M = (-3/5, 6/5)$.
अब,$A = (-3, 0)$ और $M = (-3/5, 6/5)$ के बीच की दूरी $AM$ ज्ञात करें:
$AM = \sqrt{(-3/5 + 3)^2 + (6/5 - 0)^2} = \sqrt{(12/5)^2 + (6/5)^2} = \sqrt{144/25 + 36/25} = \sqrt{180/25} = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(A) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(h, k)$ का सूत्र $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ है।
यहाँ रेखा $5x - 3y - 2 = 0$ और बिंदु $(2, -3)$ दिए गए हैं,इसलिए $a = 5, b = -3, c = -2, x_1 = 2, y_1 = -3$ है।
$ax_1 + by_1 + c = 5(2) - 3(-3) - 2 = 10 + 9 - 2 = 17$ है।
$a^2 + b^2 = 5^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{h - 2}{5} = \frac{k - (-3)}{-3} = -2 \frac{17}{34} = -1$ है।
अतः,$h - 2 = 5(-1) \implies h = -3$ है।
और $k + 3 = -3(-1) \implies k + 3 = 3 \implies k = 0$ है।
इसलिए,$h + k = -3 + 0 = -3$ है।

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1) = (2, -1)$ है और रेखा $ax + by + c = 0$ अर्थात $x - y + 1 = 0$ है।
बिंदु का प्रतिबिंब $P'(x', y')$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' - (-1)}{-1} = -2 \frac{1(2) - 1(-1) + 1}{1^2 + (-1)^2}$
$\frac{x' - 2}{1} = \frac{y' + 1}{-1} = -2 \frac{4}{2} = -4$
अतः,$x' - 2 = -4 \implies x' = -2$
और $y' + 1 = 4 \implies y' = 3$
अतः,प्रतिबिंब $(-2, 3)$ है।

(B) चूंकि $(a, b)$,$(3, 1)$ से रेखा $x + 3y + 4 = 0$ पर खींचे गए लंब का पाद है,इसलिए $a + 3b + 4 = 0$ $(i)$।
$(3, 1)$ से गुजरने वाली और $x + 3y + 4 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x - y - 8 = 0$ है,इसलिए $3a - b - 8 = 0$ $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $(a, b) = (2, -2)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $(p, q)$,रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ के सापेक्ष $(2, -2)$ का प्रतिबिंब है। मध्यबिंदु $P = \left(\frac{2+p}{2}, \frac{-2+q}{2}\right)$ रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $3(\frac{2+p}{2}) - 4(\frac{-2+q}{2}) + 11 = 0$,जो सरल होकर $3p - 4q + 36 = 0$ $(iii)$ हो जाता है।
$(2, -2)$ और $(p, q)$ को जोड़ने वाली रेखा $3x - 4y + 11 = 0$ के लंबवत है। दी गई रेखा की ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए $(2, -2)$ और $(p, q)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
अतः,$\frac{q - (-2)}{p - 2} = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow 3(q + 2) = -4(p - 2)$ $\Rightarrow 4p + 3q - 2 = 0$ $(iv)$।
$(iii)$ और $(iv)$ को हल करने पर,हमें $p = -4$ और $q = 6$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} = \frac{-4}{2} + \frac{6}{-2} = -2 - 3 = -5$।

(C) माना रेखा $L$,$x + 3y = 7$ है और बिंदु $P$,$(3, 8)$ है। माना $Q(h, k)$ रेखा $L$ में बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है।
चूंकि $L$ एक दर्पण के रूप में कार्य करती है,रेखा $PQ$,$L$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्यबिंदु $R$,$L$ पर स्थित है।
रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -1/3$ है।
चूंकि $PQ \perp L$,$PQ$ की ढाल $m_2 = 3$ होगी।
$(3, 8)$ से गुजरने वाली और $3$ ढाल वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 8 = 3(x - 3) \Rightarrow y = 3x - 1$ है।
$PQ$ का मध्यबिंदु $R$,$(\frac{h+3}{2}, \frac{k+8}{2})$ है।
चूंकि $R$,$x + 3y = 7$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{h+3}{2} + 3(\frac{k+8}{2}) = 7 \Rightarrow h + 3k = -13$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $k = 3h - 1$ रखने पर: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
अतः $k = 3(-1) - 1 = -4$.
इस प्रकार,$(\alpha, \beta) = (-1, -4)$.
इसलिए,$\alpha + \beta = -1 + (-4) = -5$.

(C) माना $L_1: \sqrt{3} x-y+2=0$ और $L_2: \sqrt{3} x+y-2=0$ है।
इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0,2)$ है।
$P$,$L_1$ या $L_2$ पर इस प्रकार है कि $AP=5$ है।
$L_1$ की ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $y$-अक्ष के साथ कोण $30^{\circ}$ है।
माना $Q$,$P$ से $y$-अक्ष पर लंबपाद है।
$\triangle PAQ$ में,$AQ = AP \cos 30^{\circ} = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।
$P$ का $y$-निर्देशांक $y_P = y_A + AQ = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।
$y$-अक्ष पर लंबपाद $Q$,$(0, y_P)$ है।
$(0,0)$ से $Q$ की दूरी $|y_P| = 2 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ है।

(A) माना बिंदु $A(2,4)$ से रेखा $x+y-1=0$ पर लंब का पाद $B(h,k)$ है।
लंब के पाद का सूत्र: $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -\frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$
मान रखने पर:
$\frac{h-2}{1} = \frac{k-4}{1} = -\frac{2+4-1}{1^2+1^2} = -\frac{5}{2}$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$h-2 = -\frac{5}{2} \Rightarrow h = -\frac{1}{2}$
$k-4 = -\frac{5}{2} \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
अतः लंब का पाद $B(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।
रेखा $(0,0)$ और $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ से गुजरती है।
प्रवणता $m = \frac{\frac{3}{2}-0}{-\frac{1}{2}-0} = -3$.
रेखा का समीकरण $y = -3x$ है।

(C) माना रेखा $4x - y - 1 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(3, -4)$ का प्रतिबिंब $P(\alpha, \beta)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ का रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब का सूत्र: $\frac{\alpha - x_1}{a} = \frac{\beta - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{\alpha - 3}{4} = \frac{\beta + 4}{-1} = \frac{-2(4(3) - (-4) - 1)}{4^2 + (-1)^2} = \frac{-30}{17}$.
$\alpha$ के लिए:
$\alpha = 3 - \frac{120}{17} = \frac{-69}{17}$.
$\beta$ के लिए:
$\beta = \frac{30}{17} - 4 = \frac{-38}{17}$.
अतः,$\beta - \alpha = \frac{-38}{17} - (\frac{-69}{17}) = \frac{31}{17}$.

(D) माना प्रतिबिंब $P'(h, k)$ है।
चूंकि $PP'$ दी गई रेखा $x + 3y = 7$ के लंबवत है,$PP'$ की ढाल $m_1 = \frac{k - 8}{h - 3}$ है।
रेखा $x + 3y = 7$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि $PP' \perp \text{रेखा}$,$m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{k - 8}{h - 3} \times (-\frac{1}{3}) = -1$ $\Rightarrow k - 8 = 3(h - 3)$ $\Rightarrow 3h - k = 1 \quad \dots(i)$.
$PP'$ का मध्यबिंदु $(\frac{h + 3}{2}, \frac{k + 8}{2})$ है,जो रेखा $x + 3y = 7$ पर स्थित है।
अतः,$\frac{h + 3}{2} + 3(\frac{k + 8}{2}) = 7$ $\Rightarrow h + 3 + 3k + 24 = 14$ $\Rightarrow h + 3k = -13 \quad \dots(ii)$.
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$k = 3h - 1$.
$(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $h + 3(3h - 1) = -13$ $\Rightarrow h + 9h - 3 = -13$ $\Rightarrow 10h = -10$ $\Rightarrow h = -1$.
तब $k = 3(-1) - 1 = -4$.
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -4)$ है।

(A) माना बिंदु $P(6, 5)$ है और रेखा $x = 3$ है।
चूंकि रेखा ऊर्ध्वाधर $(x = k)$ है,इसलिए प्रतिबिंब $P'(x', y')$ का $y$-निर्देशांक मूल बिंदु के समान रहेगा,अतः $y' = 5$।
बिंदु $P$ की रेखा $x = 3$ से दूरी $|6 - 3| = 3$ इकाई है।
प्रतिबिंब $P'$ रेखा के दूसरी ओर समान दूरी पर होना चाहिए।
अतः,$x' = 3 - 3 = 0$।
इसलिए,रेखा $x = 3$ में बिंदु $(6, 5)$ का प्रतिबिंब $(0, 5)$ है।

(C) रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(x', y')$ का सूत्र $\frac{x'-x_1}{a} = \frac{y'-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ है।
बिंदु $(1,1)$ और रेखा $x+y+5=0$ के लिए, $a=1, b=1, c=5$ है।
$\frac{x'-1}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{1(1)+1(1)+5}{1^2+1^2} = -2 \frac{7}{2} = -7$.
अतः, $x'-1 = -7 \Rightarrow x' = -6$ और $y'-1 = -7 \Rightarrow y' = -6$.
प्रतिबिंब बिंदु $(-6, -6)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $(-6, -6)$ की दूरी $D$ इस प्रकार है:
$D = \sqrt{(-6-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(C) माना $P(2,3)$ दिया गया बिंदु है और $Q$,रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(2,3)$ का प्रतिबिंब है।
जब किसी बिंदु $(x,y)$ को रेखा $y=x$ में परावर्तित किया जाता है,तो उसके निर्देशांक $(y,x)$ हो जाते हैं।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(3,2)$ हैं।
अब,बिंदु $Q$ को $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई की दूरी तक स्थानांतरित किया जाता है।
इसका अर्थ है कि हम $Q$ के $x$-निर्देशांक में $2$ जोड़ते हैं जबकि $y$-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है।
माना $Q$ की नई स्थिति $R$ है।
अतः,$R$ के निर्देशांक $(3+2, 2) = (5,2)$ होंगे।

(C) रेखा $x+3y=7$ के लंबवत रेखा का समीकरण $3x-y+\lambda=0$ के रूप का है।
चूंकि यह रेखा बिंदु $(3,8)$ से गुजरती है,इसलिए:
$3(3) - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow 9 - 8 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंबवत रेखा का समीकरण $3x-y-1=0$ है।
लंबपाद,$x+3y=7$ और $3x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x=1$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
माना बिंदु $(3,8)$ का प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ है। चूँकि $(1,2)$ बिंदु $(3,8)$ और $(x_1, y_1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु है,इसलिए:
$\frac{3+x_1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{8+y_1}{2} = 2 \Rightarrow y_1 = -4$
अतः,प्रतिबिंब $(-1, -4)$ है।

(A) माना बिंदु $P(4, -13)$ का प्रतिबिंब $P^{\prime}(x_1, y_1)$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $5x + y + 6 = 0$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ का सूत्र है:
$\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$
मान $x_0 = 4, y_0 = -13, a = 5, b = 1, c = 6$ रखने पर:
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 - (-13)}{1} = -2 \frac{5(4) + 1(-13) + 6}{5^2 + 1^2}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{20 - 13 + 6}{25 + 1}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -2 \frac{13}{26}$
$\frac{x_1 - 4}{5} = \frac{y_1 + 13}{1} = -1$
अब,$x_1$ और $y_1$ के लिए हल करने पर:
$\frac{x_1 - 4}{5} = -1$ $\Rightarrow x_1 - 4 = -5$ $\Rightarrow x_1 = -1$
$\frac{y_1 + 13}{1} = -1$ $\Rightarrow y_1 + 13 = -1$ $\Rightarrow y_1 = -14$
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(-1, -14)$ है।

(C) माना बिंदु $D(4, 2)$ और $C(-2, 6)$ हैं। रेखा $L=0$,रेखाखंड $CD$ का लंब समद्विभाजक है।
रेखा $CD$ की ढाल $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$ है।
चूंकि रेखा $L$,$CD$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ होगी।
$CD$ का मध्य-बिंदु $O$,$\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ है।
बिंदु $(1, 4)$ से गुजरने वाली और $\frac{3}{2}$ ढाल वाली रेखा $L$ का समीकरण:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(A) रेखा $2x + 3y + 4 = 0$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।
सबसे पहले,$AB$ का मध्य बिंदु $M$ रेखा पर स्थित है:
$M = (\frac{1+\alpha}{2}, \frac{2+\beta}{2})$
$2(\frac{1+\alpha}{2}) + 3(\frac{2+\beta}{2}) + 4 = 0$
$2\alpha + 3\beta + 16 = 0$ ... $(i)$
दूसरा,$AB$ की ढाल दी गई रेखा की ढाल $(-2/3)$ के लंबवत है:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 1} \times (-\frac{2}{3}) = -1$
$3\alpha - 2\beta + 1 = 0$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$13\alpha = -35$ और $\beta = -\frac{46}{13}$
अतः,$13\alpha + 13\beta = -35 - 46 = -81$.

(A) बिंदुओं $A(3,4)$ और $B(-1,2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक $AB$ के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है और $AB$ पर लंब होता है।
सबसे पहले,$AB$ का मध्य-बिंदु $M$ ज्ञात करें:
$M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (1, 3)$.
अब,रेखाखंड $AB$ की ढाल ज्ञात करें:
$m_{AB} = \frac{2 - 4}{-1 - 3} = \frac{1}{2}$.
लंब समद्विभाजक की ढाल $(m_{\perp})$ $m_{AB}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_{\perp} = -2$.
बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करते हुए:
$y - 3 = -2(x - 1)$
$y - 3 = -2x + 2$
$2x + y - 5 = 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बिंदु $B(x_1, y_1)$ रेखा $x-y+5=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करने पर,$B = (-7, 6)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,बिंदु $C(x_2, y_2)$ रेखा $x+2y+5=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करने पर,$C = (\frac{1}{5}, -\frac{18}{5})$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $14x+23y-40=0$ है।

(D) लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेंद्र $O$ है। $x-3y-5=0$ और $x+5y-9=0$ को हल करने पर $O(\frac{13}{2}, \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $O$ परिकेंद्र है,इसलिए $OA=OB=OC$ है।
$OA^2 = (\frac{13}{2}-1)^2 + (\frac{1}{2}-2)^2 = \frac{65}{2}$ है।
$B(x_1, y_1)$ रेखा $x-3y-5=0$ पर $A$ का प्रतिबिंब है,जिससे $B(3,-4)$ प्राप्त होता है।
$C(x_2, y_2)$ रेखा $x+5y-9=0$ पर $B$ का प्रतिबिंब है,जिससे $C(5,6)$ प्राप्त होता है।
$AC = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(A) दिया गया है कि $x-y=0$ भुजा $AB$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि समद्विभाजक की ढाल $1$ है,इसलिए $AB$ की ढाल $-1$ है।
$AB$ का समीकरण $y-3 = -1(x-2)$ है,जो सरल होकर $x+y-5=0$ हो जाता है।
$x-y=0$ और $x+y-5=0$ को हल करने पर $AB$ का मध्य-बिंदु $D(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ प्राप्त होता है।
माना $B = (x_1, y_1)$ है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{x_1+2}{2} = \frac{5}{2}$ और $\frac{y_1+3}{2} = \frac{5}{2}$,जिससे $B = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ (या $x+y-2=0$) $AC$ का लंब समद्विभाजक है।
चूंकि समद्विभाजक की ढाल $-1$ है,इसलिए $AC$ की ढाल $1$ है।
$AC$ का समीकरण $y-3 = 1(x-2)$ है,जो सरल होकर $x-y+1=0$ हो जाता है।
$x+y-2=0$ और $x-y+1=0$ को हल करने पर $AC$ का मध्य-बिंदु $E(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ प्राप्त होता है।
माना $C = (x_2, y_2)$ है। मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{x_2+2}{2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{y_2+3}{2} = \frac{3}{2}$,जिससे $C = (-1, 0)$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $(3, 2)$ और $(-1, 0)$ से गुजरने वाली भुजा $BC$ का समीकरण $\frac{y-0}{2-0} = \frac{x-(-1)}{3-(-1)}$ है।
$\frac{y}{2} = \frac{x+1}{4}$ $\Rightarrow 2y = x+1$ $\Rightarrow x-2y+1=0$.

(A) रेखाओं के समीकरण $L_1: x+y-1=0$ और $L_2: x-y+1=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $R(0,1)$ प्राप्त होता है।
माना $P$ बिंदु $(1,1)$ है।
$P(1,1)$ से $L_1$ पर लंब की लंबाई $PS = \frac{|1+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$P(1,1)$ से $L_2$ पर लंब की लंबाई $PQ = \frac{|1-1+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $PS = PQ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,और त्रिभुज $\triangle PSR$ और $\triangle PQR$ क्रमशः $S$ और $Q$ पर समकोण हैं,इसलिए वे सर्वांगसम हैं।
चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $\triangle PSR$ और $\triangle PQR$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $= PQ \times PS = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ वर्ग इकाई।

(A) मान लीजिए $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। चूंकि $PA = PB$,त्रिभुज $PAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,और रेखाखंड $PM$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।
दी गई रेखा $L: 2x - y + 3 = 0$ की ढाल $m_L = 2$ है।
चूंकि $PM \perp AB$,$PM$ की ढाल $m_{PM} = -\frac{1}{m_L} = -\frac{1}{2}$ है।
रेखा $PM$,$P(1, 2)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $-\frac{1}{2}$ है। इसका समीकरण है:
$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$
$2y - 4 = -x + 1$
$x + 2y = 5$ (समीकरण $ii$)
मध्य-बिंदु $M$,रेखा $2x - y = -3$ (समीकरण $i$) और $x + 2y = 5$ (समीकरण $ii$) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$(i)$ से,$y = 2x + 3$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2(2x + 3) = 5$
$x + 4x + 6 = 5$
$5x = -1 \implies x = -\frac{1}{5}$
$y = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$
अतः,$AB$ का मध्य-बिंदु $M\left(-\frac{1}{5}, \frac{13}{5}\right)$ है।

(D) रेखा $Ax+By+C=0$ पर मूल बिंदु से खींचे गए अभिलंब की ढाल $m = \frac{B}{A}$ होती है।
रेखा $x+y+\sqrt{2}=0$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $x-y=0$ है,इसलिए इसकी ढाल $1$ है। अतः,$\tan \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{5 \pi}{4}$।
रेखा $x-\sqrt{3}y-2=0$ के लिए,अभिलंब का समीकरण $\sqrt{3}x+y=0$ है,इसलिए इसकी ढाल $-\sqrt{3}$ है। अतः,$\tan \beta = -\sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{5 \pi}{3}$।
योग $\alpha + \beta = \frac{5 \pi}{4} + \frac{5 \pi}{3} = \frac{15 \pi + 20 \pi}{12} = \frac{35 \pi}{12}$।

(C) रेखा का समीकरण $2x + 7y + 6 = 0$ है।
रेखा की ढाल $m = -\frac{2}{7}$ है।
मूल बिंदु से रेखा पर खींचा गया अभिलंब रेखा के लंबवत होता है।
माना अभिलंब की ढाल $m'$ है। चूँकि अभिलंब रेखा के लंबवत है,$m \times m' = -1$ होगा।
$(-\frac{2}{7}) \times m' = -1 \Rightarrow m' = \frac{7}{2}$।
माना $\alpha$ वह कोण है जो अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाता है। तब $\tan \alpha = m' = \frac{7}{2}$,इसलिए $\alpha = \tan^{-1} \frac{7}{2}$।
चित्र से,अभिलंब तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए धनात्मक $X$-अक्ष के साथ कोण $\theta = \pi + \alpha$ होगा।
अतः,$\theta = \pi + \tan^{-1} \frac{7}{2}$।

(D) माना बिंदु $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ और इसका प्रतिबिंब $Q = (1, 2)$ है। रेखा $PQ$ का लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।
$PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{2 - (-6/5)}{1 - (-7/5)} = \frac{16/5}{12/5} = \frac{4}{3}$ है।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ होगी।
बिंदु $M$ पर बिंदु-ढाल रूप $y - y_1 = m(x - x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$
$\frac{5y - 2}{5} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{5x + 1}{5}$
$4(5y - 2) = -3(5x + 1)$
$20y - 8 = -15x - 3$
$15x + 20y = 5$
$5$ से विभाजित करने पर,हमें $3x + 4y = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A = (2, -1)$ और $B = (6, 5)$ है। रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{5 - (-1)}{6 - 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $3x - 2y - 8 = 0$ है।
लंब रेखा $PD$ की ढाल $m' = -\frac{2}{3}$ है।
$P(4, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $PD$ का समीकरण $2x + 3y - 11 = 0$ है।
गणना के अनुसार,लंब का पाद $AB$ को $5: 8$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) माना $Q = (h, k)$ है। रेखा $x-y+2=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2, 3)$ का प्रतिबिंब $\frac{h-2}{1} = \frac{k-3}{-1} = -2 \frac{2-3+2}{1^2+(-1)^2} = -1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$h=1$ और $k=4$ है। इसलिए,$Q = (1, 4)$ है।
माना $R = (x_1, y_1)$ है। रेखा $2x+y-2=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2, 3)$ का प्रतिबिंब $\frac{x_1-2}{2} = \frac{y_1-3}{1} = -2 \frac{2(2)+3-2}{2^2+1^2} = -2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$x_1=-2$ और $y_1=1$ है। इसलिए,$R = (-2, 1)$ है।
अब,रेखा $x+y+2=0$ के सापेक्ष $Q(1, 4)$ और $R(-2, 1)$ की स्थिति की जाँच करें:
$Q(1, 4)$ के लिए,$1+4+2 = 7 > 0$ है।
$R(-2, 1)$ के लिए,$-2+1+2 = 1 > 0$ है।
चूँकि दोनों मान धनात्मक हैं,इसलिए $Q$ और $R$ रेखा $x+y+2=0$ के एक ही ओर स्थित हैं।

(A) बिंदु $P(1, 2)$ का रेखा $x + y + 1 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $Q(x_1, y_1)$ है,जो $\frac{x_1 - 1}{1} = \frac{y_1 - 2}{1} = -2 \frac{1(1) + 1(2) + 1}{1^2 + 1^2} = -4$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_1 = -3$ और $y_1 = -2$। यानी $Q = (-3, -2)$।
$M$,$PQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $M = (-1, 0)$।
बिंदु $Q(-3, -2)$ का रेखा $x - y - 1 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $R(x_2, y_2)$ है,जो $\frac{x_2 + 3}{1} = \frac{y_2 + 2}{-1} = -2 \frac{1(-3) - 1(-2) - 1}{1^2 + (-1)^2} = 2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x_2 = -1$ और $y_2 = -4$। यानी $R = (-1, -4)$।
$N$,$QR$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $N = (-2, -3)$।
दूरी $MN = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$।

(D) माना लंबकेंद्र $H = (5, 8)$ और परिकेंद्र $O = (2, 3)$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $R$,परिकेंद्र $O$ और त्रिभुज के किसी भी शीर्ष के बीच की दूरी है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज की किसी भी भुजा के सापेक्ष लंबकेंद्र $H$ का प्रतिबिंब परिवृत्त पर स्थित होता है।
भुजा $L: x - y = 0$ लें।
$x - y = 0$ के सापेक्ष $H(5, 8)$ का प्रतिबिंब $(x', y')$ इस प्रकार है: $\frac{x' - 5}{1} = \frac{y' - 8}{-1} = -2 \frac{5 - 8}{1^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-3}{2} = 3$.
अतः,$x' = 5 + 3 = 8$ और $y' = 8 - 3 = 5$.
बिंदु $(8, 5)$ परिवृत्त पर स्थित है।
त्रिज्या $R$,परिकेंद्र $O(2, 3)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(8, 5)$ के बीच की दूरी है।
$R = \sqrt{(8 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.

(A) रेखा $ax + by + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(h, k)$ का सूत्र $\frac{h - x_1}{a} = \frac{k - y_1}{b} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ है।
बिंदु $(3, -4)$ और रेखा $2x - 3y - 5 = 0$ के लिए:
$\frac{h - 3}{2} = \frac{k - (-4)}{-3} = \frac{-2(2(3) - 3(-4) - 5)}{2^2 + (-3)^2} = \frac{-2(6 + 12 - 5)}{4 + 9} = \frac{-2(13)}{13} = -2$.
अतः,$h - 3 = -4 \implies h = -1$ और $k + 4 = 6 \implies k = 2$.
प्रतिबिंब बिंदु $(-1, 2)$ है।
अब,$(-1, 2)$ से रेखा $3x + 2y + 12 = 0$ पर लंब के पाद $(\ell, m)$ को $\frac{\ell - x_1}{a} = \frac{m - y_1}{b} = \frac{-(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करके ज्ञात करें:
$\frac{\ell - (-1)}{3} = \frac{m - 2}{2} = \frac{-(3(-1) + 2(2) + 12)}{3^2 + 2^2} = \frac{-(-3 + 4 + 12)}{9 + 4} = \frac{-13}{13} = -1$.
इसलिए,$\ell + 1 = -3 \implies \ell = -4$ और $m - 2 = -2 \implies m = 0$.
लंब का पाद $(-4, 0)$ है।
अंत में,$\ell h + mk + 1 = (-4)(-1) + (0)(2) + 1 = 4 + 0 + 1 = 5$।

(C) दिया गया है कि $Q$,बिंदु $P(1,1)$ का रेखा $x+y+1=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ का रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = -2 \left( \frac{1+1+1}{1^2+1^2} \right) = -2 \left( \frac{3}{2} \right) = -3$
अतः,$x-1 = -3 \Rightarrow x = -2$ और $y-1 = -3 \Rightarrow y = -2$।
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(-2, -2)$ हैं।
अब,$Q(-2, -2)$ से रेखा $3x-4y+3=0$ पर लंब की लंबाई:
$d = \left| \frac{3(-2) - 4(-2) + 3}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{-6 + 8 + 3}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{5}{5} \right| = 1$।

(A) बिंदु $(5, -7)$ से गुजरने वाली और $3x - 5y + 1 = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $5x + 3y + k = 0$ है।
चूंकि यह $(5, -7)$ से गुजरती है,हमारे पास $5(5) + 3(-7) + k = 0$ है,जो $25 - 21 + k = 0$ देता है,इसलिए $k = -4$ है।
रेखा $5x + 3y - 4 = 0$ है।
$M$ खोजने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$3x - 5y = -1$ ($3$ से गुणा करने पर $\implies 9x - 15y = -3$)
$5x + 3y = 4$ ($5$ से गुणा करने पर $\implies 25x + 15y = 20$)
जोड़ने पर,$34x = 17$,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ है।
$x = \frac{1}{2}$ को $5x + 3y = 4$ में रखने पर,हमें $\frac{5}{2} + 3y = 4$ मिलता है,इसलिए $3y = \frac{3}{2}$,जो $y = \frac{1}{2}$ देता है।
इस प्रकार,$M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ है।
$M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ से रेखा $2x + 5y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(\frac{1}{2}) + 5(\frac{1}{2}) - 3|}{\sqrt{2^2 + 5^2}} = \frac{|1 + 2.5 - 3|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{|0.5|}{\sqrt{29}} = \frac{1}{2\sqrt{29}}$ है।

(A) माना रेखा $3 x-2 y+4=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(\alpha, 2 \alpha-1)$ का प्रतिबिंब $(x, y)$ है।
रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{-2(ax_1+by_1+c)}{a^2+b^2}$ है।
यहाँ,$x_1=\alpha, y_1=2 \alpha-1, a=3, b=-2, c=4$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-(2 \alpha-1)}{-2}=\frac{-2(3(\alpha)-2(2 \alpha-1)+4)}{3^2+(-2)^2}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(3 \alpha-4 \alpha+2+4)}{9+4}$
$\frac{x-\alpha}{3}=\frac{y-2 \alpha+1}{-2}=\frac{-2(-\alpha+6)}{13} = \frac{2 \alpha-12}{13}$
अब,$x$ और $y$ को $\alpha$ के पदों में ज्ञात करने के लिए भागों की तुलना करें:
$1) \frac{x-\alpha}{3} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13x - 13\alpha = 6\alpha - 36 \implies 13x + 36 = 19\alpha \implies \alpha = \frac{13x+36}{19}$
$2) \frac{y-2\alpha+1}{-2} = \frac{2 \alpha-12}{13} \implies 13y - 26\alpha + 13 = -4\alpha + 24 \implies 13y - 11 = 22\alpha \implies \alpha = \frac{13y-11}{22}$
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{13x+36}{19} = \frac{13y-11}{22}$
$22(13x+36) = 19(13y-11)$

(C) बिंदु $P(x_1, y_1)$ का रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $(h, k)$ सूत्र $\frac{h-x_1}{a} = \frac{k-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों $P(-1, 2)$ और रेखा $x-2y+3=0$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{a-(-1)}{1} = \frac{b-2}{-2} = -2 \frac{1(-1) - 2(2) + 3}{1^2 + (-2)^2} = -2 \frac{-2}{5} = \frac{4}{5}$.
अतः,$a = -\frac{1}{5}$ और $b = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P^{\prime}$ का निर्देशांक $(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ है।
$P^{\prime}$ से रेखा $2x+y-7=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|2(-\frac{1}{5}) + \frac{2}{5} - 7|}{\sqrt{5}} = \frac{|-7|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ है।

(C) बिंदु $B$ के लिए,$2x - 3y + 5 = 0$ के सापेक्ष $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-3} = -2 \frac{2(1) - 3(-2) + 5}{2^2 + (-3)^2} = -2 \frac{13}{13} = -2$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$ और $y + 2 = 6 \Rightarrow y = 4$। इसलिए,$B \equiv (-3, 4)$।
$A(1, -2)$ और $B(-3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 1}(x - 1) \Rightarrow 3x + 2y + 1 = 0$ है।
$P(-4, -1)$ से $3x + 2y + 1 = 0$ पर डाले गए लंब के पाद $R(x, y)$ के लिए,$\frac{x - (-4)}{3} = \frac{y - (-1)}{2} = - \frac{3(-4) + 2(-1) + 1}{3^2 + 2^2} = 1$।
अतः,$x + 4 = 3 \Rightarrow x = -1$ और $y + 1 = 2 \Rightarrow y = 1$।
इसलिए,$R \equiv (-1, 1)$।

(D) चरण $1$: रेखा $x + 2y + 2 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, 1)$ का प्रतिबिंब $B$ ज्ञात करें।
सूत्र $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = -2 \frac{1(1) + 2(1) + 2}{1^2 + 2^2} = -2 \frac{5}{5} = -2$.
$x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$.
$y - 1 = -4 \Rightarrow y = -3$.
अतः,$B = (-1, -3)$.
चरण $2$: बिंदु $B(-1, -3)$ से रेखा $3x + 4y - 10 = 0$ पर लंब का पाद $C$ ज्ञात करें।
सूत्र $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = - \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{x - (-1)}{3} = \frac{y - (-3)}{4} = - \frac{3(-1) + 4(-3) - 10}{3^2 + 4^2} = - \frac{-3 - 12 - 10}{25} = - \frac{-25}{25} = 1$.
$x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.
$y + 3 = 4 \Rightarrow y = 1$.
अतः,$C = (2, 1)$.
चरण $3$: बिंदु $A(1, 1)$ और $C(2, 1)$ के बीच की दूरी $AC$ ज्ञात करें।
$AC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.

(C) माना बिंदु $P(3, -1)$ है और रेखा $L: 2x + y - 1 = 0$ है। रेखा $L$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का प्रतिबिंब $P'(x', y')$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' - (-1)}{1} = -2 \frac{2(3) + 1(-1) - 1}{2^2 + 1^2}$
$\frac{x' - 3}{2} = \frac{y' + 1}{1} = -2 \frac{4}{5} = -\frac{8}{5}$
अतः,$x' = 3 - \frac{16}{5} = -\frac{1}{5}$
और $y' = -1 - \frac{8}{5} = -\frac{13}{5}$
प्रतिबिंब $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ है।
$A(2, 1)$ और $P'(-\frac{1}{5}, -\frac{13}{5})$ के बीच की दूरी:
$D = \sqrt{(\frac{11}{5})^2 + (\frac{18}{5})^2} = \sqrt{\frac{121 + 324}{25}} = \sqrt{\frac{445}{25}} = \sqrt{\frac{89}{5}}$

(D) माना $(0, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = mx$ है,अर्थात $mx - y + 2 = 0$ है।
बिंदु $(4, 4)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $2$ इकाई है।
$\frac{|m(4) - 4 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\frac{|4m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|2m - 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$
$3m^2 - 4m = 0$
$m(3m - 4) = 0$
अतः,$m = 0$ या $m = \frac{4}{3}$ है।
स्थिति $1$: $m = 0$. रेखा $y = 2$ है। $(4, 4)$ से $y = 2$ पर लंब का पाद $D(4, 2)$ है।
स्थिति $2$: $m = \frac{4}{3}$. रेखा $y - 2 = \frac{4}{3}x$ है,अर्थात $4x - 3y + 6 = 0$ है। $(4, 4)$ से लंब का पाद $(x_1, y_1)$ के लिए $\frac{x_1 - 4}{4} = \frac{y_1 - 4}{-3} = -\frac{4(4) - 3(4) + 6}{4^2 + (-3)^2} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5}$ है।
$x_1 = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$,$y_1 = 4 + \frac{6}{5} = \frac{26}{5}$ है। अतः $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ है।
$D(4, 2)$ और $C(\frac{12}{5}, \frac{26}{5})$ को मिलाने वाली रेखा की ढाल $\frac{\frac{26}{5} - 2}{\frac{12}{5} - 4} = \frac{16/5}{-8/5} = -2$ है।
समीकरण $y - 2 = -2(x - 4)$ है,जो सरल होकर $y + 2x = 10$ हो जाता है।

(C) माना $M$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं।
चूंकि रेखा $PM$,दी गई रेखा $x + y = 3$ पर लंब है,इसलिए $PM$ की ढाल रेखा $x + y = 3$ की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होगी।
रेखा $x + y = 3$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $PM$ की ढाल $1$ होगी।
अतः,$\frac{y_1 - 3}{x_1 - 2} = 1 \implies y_1 - 3 = x_1 - 2 \implies x_1 - y_1 = -1$ (समीकरण $i$)।
चूंकि $M(x_1, y_1)$ रेखा $x + y = 3$ पर स्थित है,इसलिए $x_1 + y_1 = 3$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ और $ii$ को जोड़ने पर: $(x_1 - y_1) + (x_1 + y_1) = -1 + 3 \implies 2x_1 = 2 \implies x_1 = 1$।
$x_1 = 1$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर: $1 + y_1 = 3 \implies y_1 = 2$।
अतः,$M$ के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।

(D) रेखाओं के परिवार का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
दी गई शर्त $2a + 3b = 4c$ से,हम इसे $a(\frac{1}{2}) + b(\frac{3}{4}) + c = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,संगामी बिंदु $P$ $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ प्राप्त होता है।
$P(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ से रेखा $x + y + 1 = 0$ पर लंब के पाद $(h, k)$ के लिए:
$\frac{h - 1/2}{1} = \frac{k - 3/4}{1} = -\frac{1/2 + 3/4 + 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{9/4}{2} = -\frac{9}{8}$.
$h = \frac{1}{2} - \frac{9}{8} = -\frac{5}{8}$ और $k = \frac{3}{4} - \frac{9}{8} = -\frac{3}{8}$.
अतः,लंब का पाद $(-\frac{5}{8}, -\frac{3}{8})$ है।

(D) रेखा का समीकरण $4x - 3y + 8 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि लंब रेखा बिंदु $(2, -3)$ से गुजरती है,इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{4}$ है।
लंब रेखा का समीकरण $y - (-3) = -\frac{3}{4}(x - 2)$ है,जो सरल होकर $3x + 4y + 6 = 0$ बनता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $M(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$4a - 3b = -8$ $(1)$
$3a + 4b = -6$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $4$ से और $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर: $16a - 12b = -32$ और $9a + 12b = -18$ प्राप्त होता है।
दोनों को जोड़ने पर $25a = -50$ मिलता है,इसलिए $a = -2$ है।
$a = -2$ को $(2)$ में रखने पर: $3(-2) + 4b = -6$,इसलिए $-6 + 4b = -6$,जिसका अर्थ है $b = 0$ है।
अतः,$M(a, b) = (-2, 0)$ है।
हमें $a^3 - b^3 = k^3$ दिया गया है,इसलिए $(-2)^3 - (0)^3 = k^3$,जिसका अर्थ है $-8 = k^3$ है।
इसलिए,$k = \sqrt[3]{-8} = -2$ है।