Angle between two straight lines Questions in Hindi

(A) रेखा $L$ बिंदु $(-2, -3)$ से गुजरती है और इसकी ढाल अपरिभाषित है,इसलिए इसका समीकरण $x = -2$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) है।
रेखा $x = -2$ और रेखा $ax - 2y + 3 = 0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
रेखा $ax - 2y + 3 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{a}{2}$ है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा और $m_1$ ढाल वाली रेखा के बीच का कोण $\theta$ के लिए $|\tan(90^{\circ} - \theta)| = |\frac{1}{m_1}|$ होता है।
चूंकि कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $|\frac{1}{a/2}| = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
अतः,$\frac{2}{a} = 1$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 2$ को समीकरण $x + ay - 4 = 0$ में रखने पर $x + 2y - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए कोण दूसरे चतुर्थांश में है,अतः $\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$।

(B) रेखा का ढाल $m$ है। रेखा $x + y - 3 = 0$ का ढाल $m_2 = -1$ है।
दिया गया है $\tan \theta = \left|\frac{m - m_2}{1 + m m_2}\right| = \frac{5}{7}$।
$m_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left|\frac{m + 1}{1 - m}\right| = \frac{5}{7}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $7|m + 1| = 5|1 - m|$।
स्थिति $1$: $7(m + 1) = 5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = 5 - 5m$ $\Rightarrow 12m = -2$ $\Rightarrow m = -1/6$।
स्थिति $2$: $7(m + 1) = -5(1 - m)$ $\Rightarrow 7m + 7 = -5 + 5m$ $\Rightarrow 2m = -12$ $\Rightarrow m = -6$।
चूँकि $m \in \mathbb{Z}$,इसलिए $m = -6$ लेना होगा।
$(1, 1)$ से गुजरने वाली और $m = -6$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = -6(x - 1)$ है।
$y - 1 = -6x + 6 \Rightarrow 6x + y - 7 = 0$।
$ax + y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 6$ और $c = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,$ac = 6 \times (-7) = -42$।

(D) दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + m m'} \right|$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $m' = 2$ दिया गया है,इसलिए $\tan \frac{\pi}{6} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
चूँकि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{3} = \frac{(m - 2)^2}{(1 + 2m)^2}$.
$(1 + 2m)^2 = 3(m - 2)^2$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3(m^2 - 4m + 4)$.
$1 + 4m + 4m^2 = 3m^2 - 12m + 12$.
$m^2 + 16m - 11 = 0$.
यह $m$ में एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $m_1$ और $m_2$ हैं।
मूलों का योग $m_1 + m_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{16}{1} = -16$ होगा।

(A) दी गई रेखा $x+y-3=0$ की ढाल $m_1 = -1$ है। मान लीजिए कि अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करने पर,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $\frac{m+1}{1-m} = \sqrt{3}$ या $\frac{m+1}{1-m} = -\sqrt{3}$.
स्थिति $1$: $m+1 = \sqrt{3} - \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1+\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2-\sqrt{3}$.
रेखा का समीकरण $y-1 = (2-\sqrt{3})(x-1)$ है।
स्थिति $2$: $m+1 = -\sqrt{3} + \sqrt{3}m$ $\Rightarrow m(1-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}-1$ $\Rightarrow m = 2+\sqrt{3}$.
रेखा का समीकरण $y-1 = (2+\sqrt{3})(x-1)$ है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) $(1, 2)$ और $(3, 4)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का ढाल $m = \frac{4-2}{3-1} = 1$ है।
माना अभीष्ट रेखाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं। दी गई रेखा के साथ कोण $30^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - 1}{1 + m} \right|$ का उपयोग करने पर,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m - 1}{m + 1} \right|$।
इस समीकरण को हल करने पर $m = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m_1 > m_2$,इसलिए $m_1 = 2 + \sqrt{3}$ और $m_2 = 2 - \sqrt{3}$।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = 7 + 4\sqrt{3}$।

(B) दी गई रेखा $\sqrt{3} x + y = 1$ है,जिसका ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा का ढाल $m_2$ है। दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{-\sqrt{3} - m_2}{1 - \sqrt{3} m_2} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3(1 - \sqrt{3} m_2)^2 = (\sqrt{3} + m_2)^2$
$3(1 + 3m_2^2 - 2\sqrt{3} m_2) = 3 + m_2^2 + 2\sqrt{3} m_2$
$8m_2^2 - 8\sqrt{3} m_2 = 0$
$m_2 = 0$ या $m_2 = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$m_2 = \sqrt{3}$ के लिए,$(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 = \sqrt{3}(x - 3)$
$\sqrt{3} x - y + (2 - 3\sqrt{3}) = 0$.

(C) रेखाओं $x-2y+3=0$ और $kx-y+2=0$ की ढाल क्रमशः $m_1 = \frac{1}{2}$ और $m_2 = k$ हैं।
दिया गया कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए हम सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करते हैं।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - k}{1 + \frac{k}{2}} \right| = 1$.
$|1 - 2k| = |2 + k|$.
स्थिति $1$: $1 - 2k = 2 + k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - 2k = -(2 + k)$ $\Rightarrow 1 - 2k = -2 - k$ $\Rightarrow k = 3$.
चूंकि $k_1 > k_2$,इसलिए $k_1 = 3$ और $k_2 = -\frac{1}{3}$ है।
अतः $k_1 - 2 = 3 - 2 = 1$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $-3k_2 = -3(-\frac{1}{3}) = 1$.
इस प्रकार,$k_1 - 2 = -3k_2$.

(D) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लंबवत होने के लिए,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,या $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
यहाँ,$a_1 = 2, b_1 = (3 - 2k)$ और $a_2 = k, b_2 = (k - 1)$.
प्रतिबंध $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$ लागू करने पर:
$2(k) + (3 - 2k)(k - 1) = 0$
$2k + (3k - 3 - 2k^2 + 2k) = 0$
$-2k^2 + 7k - 3 = 0$
$2k^2 - 7k + 3 = 0$
$(2k - 1)(k - 3) = 0$
अतः,$k = 3$ या $k = \frac{1}{2}$.
दिया गया है कि $\alpha > \beta$,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha^2 + 2\beta = (3)^2 + 2(\frac{1}{2}) = 9 + 1 = 10$.

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और $L_2: \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ हैं।
$L_1$ की ढाल $m_1 = -\frac{b}{a}$ है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{a}{b}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b}{a} - (-\frac{a}{b})}{1 + (-\frac{b}{a})(-\frac{a}{b})} \right| = \left| \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{a^2 - b^2}{2ab} \right|$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{|a^2 - b^2|}{|2ab|}$,कर्ण $\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = |a^2 + b^2|$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \left| \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right|$.

(B) माना दी गई रेखा $L_1: \sqrt{3}x + y - 9 = 0$ है। $L_1$ की ढाल $m_1 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा $L$ की ढाल $m$ है। $L$ और $L_1$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m} \right|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 4m = 0$ $\Rightarrow m = 0$.
समीकरण $y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}$ $\Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2m = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow m = \sqrt{3}$.
रेखा $L$ का समीकरण $y - (-3) = \sqrt{3}(x - 5) \Rightarrow \sqrt{3}x - y - 3 - 5\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $(1, -2)$ और $(3, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
रेखा $x + 2y - 7 = 0$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) रेखाओं $4x - y + 7 = 0$ और $kx - 5y - 9 = 0$ की ढाल (slopes) क्रमशः $m_1 = 4$ और $m_2 = \frac{k}{5}$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{4 - \frac{k}{5}}{1 + 4 \cdot \frac{k}{5}} \right|$
$1 = \left| \frac{20 - k}{5 + 4k} \right|$
इसका अर्थ है $\frac{20 - k}{5 + 4k} = 1$ या $\frac{20 - k}{5 + 4k} = -1$.
स्थिति $1$: $20 - k = 5 + 4k$ $\Rightarrow 5k = 15$ $\Rightarrow k = 3$.
स्थिति $2$: $20 - k = -5 - 4k$ $\Rightarrow 3k = -25$ $\Rightarrow k = -\frac{25}{3}$.
चूंकि $k > 0$ है,इसलिए सही उत्तर $k = 3$ है।

(B) माना कि अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $(y - 2) = m(x - 1)$ है।
दिया गया है कि इस रेखा और $y = 2x + 1$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
दी गई रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
$1 = \left| \frac{m - 2}{1 + 2m} \right|$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = 1$ $\Rightarrow m - 2 = 1 + 2m$ $\Rightarrow m = -3$.
समीकरण $(y - 2) = -3(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -3x + 3$ $\Rightarrow 3x + y = 5$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m - 2}{1 + 2m} = -1$ $\Rightarrow m - 2 = -1 - 2m$ $\Rightarrow 3m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{3}$.
समीकरण $(y - 2) = \frac{1}{3}(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = x - 1$ $\Rightarrow x - 3y + 5 = 0$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3x + y = 5$ सही उत्तर है।

(B) माना बिंदुओं $(1, -2)$ और $(3, 2)$ को जोड़ने वाली रेखा $L_1$ है। $L_1$ की ढाल $m_1 = \frac{2 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ का समीकरण $x + 2y - 7 = 0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$L_2$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल: $m_1 \times m_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,इसलिए दोनों रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया है कि दो रेखाएँ $L_1: \frac{3}{2}x + (2a - 1)y = 3$ और $L_2: 2x + a^2y = -3$ लंबवत हैं।
चूँकि $L_1 \perp L_2$,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$L_1$ की प्रवणता $m_1 = -\frac{3}{4a - 2}$ और $L_2$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{2}{a^2}$ है।
अतः,$(-\frac{3}{4a - 2}) \times (-\frac{2}{a^2}) = -1 \Rightarrow 2a^3 - a^2 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$a = -1$ रखने पर,समीकरण संतुष्ट होता है।
$a = -1$ रखने पर,रेखाएँ $x - 2y = 2$ और $2x + y = -3$ प्राप्त होती हैं।
इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{4}{5}, -\frac{7}{5})$ है।
बिंदु $(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(1 + \frac{4}{5})^2 + (1 + \frac{7}{5})^2} = \sqrt{(\frac{9}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} = \sqrt{\frac{225}{25}} = 3$ इकाई है।

(D) माना दी गई रेखाएँ $L_1: 3x + 4y - 5 = 0$ और $L_2: 4x - 3y - 15 = 0$ हैं। ढाल $m_1 = -\frac{3}{4}$ और $m_2 = \frac{4}{3}$ हैं।
चूँकि $m_1 \times m_2 = -1$,रेखाएँ लंबवत हैं।
माना $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m$ है। इसका समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ या $mx - y + (2 - m) = 0$ है।
चूँकि $AB = AC$,रेखा $BC$ को $L_1$ और $L_2$ के साथ समान कोण बनाना चाहिए। चूँकि $L_1 \perp L_2$,रेखा $BC$ दोनों रेखाओं के साथ $45^\circ$ का कोण बनाएगी।
ढाल $m$ वाली रेखा और $L_1$ के बीच का कोण $\tan 45^\circ = |\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
$|\frac{4m + 3}{4 - 3m}| = 1$.
स्थिति $1$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = 1$ $\Rightarrow 4m + 3 = 4 - 3m$ $\Rightarrow 7m = 1$ $\Rightarrow m = \frac{1}{7}$.
समीकरण $y - 2 = \frac{1}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = x - 1$ $\Rightarrow x - 7y + 13 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{4m + 3}{4 - 3m} = -1$ $\Rightarrow 4m + 3 = -4 + 3m$ $\Rightarrow m = -7$.
समीकरण $y - 2 = -7(x - 1)$ $\Rightarrow y - 2 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + y = 9$ है।
अतः,रेखाएँ $7x + y = 9$ और $x - 7y + 13 = 0$ हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $y-3kx+4=0$ $(i)$ और $(2k-1)x-(8k-1)y-6=0$ (ii) हैं।
रेखा $(i)$ की ढाल $m_1 = \frac{-(-3k)}{1} = 3k$ है।
रेखा (ii) की ढाल $m_2 = \frac{-(2k-1)}{-(8k-1)} = \frac{2k-1}{8k-1}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$।
$3k \times \frac{2k-1}{8k-1} = -1$
$3k(2k-1) = -(8k-1)$
$6k^2 - 3k = -8k + 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k+1) - 1(k+1) = 0$
$(6k-1)(k+1) = 0$
अतः,$k = 1/6$ या $k = -1$।

(B) दी गई रेखा: $\sqrt{3}x + y = 1$,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m_1$ है। रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m_1 - (-\sqrt{3})}{1 + m_1(-\sqrt{3})} \right|$
$\sqrt{3} = \left| \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \right|$
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = 0$. रेखा का समीकरण $y + 2 = 0$ है।
मामला $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m_1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m_1} \implies m_1 = \sqrt{3}$. रेखा का समीकरण $y - x\sqrt{3} + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ है।

(D) दी गई रेखा $x+y=0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -1$ है।
मान लीजिए कि आवश्यक रेखाओं की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$
$1 = \left| \frac{m+1}{1-m} \right|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\frac{m+1}{1-m} = 1 \implies m+1 = 1-m \implies 2m = 0 \implies m = 0$.
$(1,1)$ से गुजरने वाली और $0$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y-1 = 0(x-1) \implies y-1 = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{m+1}{1-m} = -1 \implies m+1 = -1+m \implies 1 = -1$,जो असंभव है (इसका अर्थ है कि रेखा ऊर्ध्वाधर है)।
$(1,1)$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$ या $x-1=0$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $x-1=0$ और $y-1=0$ हैं।